第三讲 有效前沿与最优证 券组合
2021年6月基金从业考试《证券投资基金基础知识》真题(考生回忆版)
2021年6月基金从业考试《证券投资基金基础知识》真题（考生回忆版）第1题单选题（每题1分，共83题，共83分）下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。
1．关于货币市场工具，以表述正确是（）。
A．一般是低流动性高风险的证券B．剩余期限超过397天C．主要是个人投资者交易买卖D．包括银行定期存款（一年以内）【参考答案】D【参考解析】货币市场工具一般指短期的（1年之内）、具有高流动性的低风险证券，具体包括银行回购协议、定期存款、商业票据、银行承兑汇票、短期国债、中央银行票据等。
在我国，货币市场工具主要包括现金，期限在1年以内（含1年）的银行存款、债券回购、中央银行票据、同业存单，剩余期限在397天以内（含397天）的债券、非金融企业债务融资工具、资产支持证券，以及中国证监会、中国人民银行认可的其他具有良好流动性的其他货币市场工具。
货币市场工具有以下特点：①均是债务契约；②期限在1年以内（含1年）；③流动性高；④大宗交易，主要由机构投资者参与，个人投资者很少有机会参与买卖；⑤本金安全性高，风险较低。
2．风险价值（VaR）采用概率论和数理统计的方法对风险进行测量，最大的优点是（），因此具备广泛适用性。
A．可测是投资组合的风险并通过一个数值表示B．可用于测量不同市场的不同风险并通过一个数值表示C．可准确测量投资组合的风险是否符合预期D．可测量投资市场变化的风险并通过一个数值表示【参考答案】B【参考解析】VaR采用概率论和数理统计的方法对风险进行量化和测度，其最大的优点是可用于测量不同市场的不同风险并用一个数值表示出来，因此具有广泛的适用性。
VaR已成为计量市场风险的主要指标，巴塞尔银行监督委员会、美国联邦储备银行、美国证券交易委员会、欧盟都接受VaR作为风险度量和风险披露的工具。
最常用的VaR估算方法有参数法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法。
3．关于期货市场的风险管理功能，以下表述正确的有（）。
金融经济学十讲——史树中
1、一般经济均衡：假定市场上一共有k 种商品，每一种商品的供给和需求都是这k 种商品的价格的函数。
这k 种商品的供需均衡就得到k 个方程。
但是价格需要有一个计量单位，这k 种商品的价格之间只有k-1 种商品的价格是独立的。
瓦尔拉斯又加入了一个财务均衡的关系，即所有商品供给的总价值应该等于所有商品需求的总价值。
这一关系目前就称为“瓦尔拉斯法则”，它被用来消去一个方程。
2、从“华尔街革命”追溯到1900年▪3、对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风险－收益平面上，就可画出一条曲线，它称为组合前沿。
马科维茨理论的基本结论是：在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿。
对于有效前沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方面都优于它的证券组合。
▪4、夏普：假定所有投资者都以马科维茨的准则来决策，而导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及所谓资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM)。
这一模型认为，每种证券的收益率都只与市场收益率有关。
5、米勒与莫迪利阿尼：探讨“公司的财务政策(分红、债权/股权比等)是否会影响公司的价值”这一主题。
他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与财务政策无关。
后来他们的这些结论就被称为莫迪利阿尼－米勒定理(Modigliani-Miller Theorem,MMT▪无套利假设是指在一个完善的金融市场中，不存在套利机会(即确定的低买高卖之类的机会)。
因此，如果两个公司将来的(不确定的) 价值是一样的，那么它们今天的价值也应该一样，而与它们财务政策无关；否则人们就可通过买卖两个公司的股票来获得套利。
‘▪布莱克和肖尔斯先把模型连续动态化。
他们假定模型中有两种证券，一种是债券，它是无风险证券，其收益率是常数；另一种是股票，它是风险证券，沿用马科维茨的传统，它也可用证券收益率的期望和方差来刻划，但是动态化以后，其价格的变化满足一个随机微分方程，其含义是随时间变化的随机收益率，其期望值和方差都与时间间隔成正比。
有效前沿曲线公式
有效前沿曲线公式
有效前沿曲线（Efficient Frontier）是投资组合理论中的一个重要概念，它描述了在给定的风险水平下，投资者可以期望获得的最大回报。
这条曲线是在均值-方差框架下，通过优化投资组合中各个资产的权重来得到的。
在投资组合理论中，通常假设投资者是理性的，并且希望在给定的风险水平下最大化预期收益，或者在给定的预期收益水平下最小化风险。
有效前沿曲线就是在这样的假设下得到的，它表示了所有可能的投资组合中，风险和预期收益之间的最优权衡关系。
有效前沿曲线的公式通常是通过优化问题来得到的，而不是一个简单的数学表达式。
优化问题的一般形式可以表示为：最大化：预期收益率- 风险厌恶系数* 风险（方差或标准差）
或者
最小化：风险（方差或标准差）
约束条件：预期收益率>= 某个目标值
其中，预期收益率和风险可以用投资组合中各个资产的预期收益率、方差和协方差来计算。
风险厌恶系数是一个反映投资者对风险厌恶程度的参数，它的取值越大，表示投资者对风险的厌恶程度越高。
通过解这个优化问题，可以得到在给定的风险水平下，预期收益最大的投资组合，以及在给定的预期收益水平下，风险最小的投资组合。
这些投资组合构成了有效前沿曲线上的点。
需要注意的是，有效前沿曲线是在一定的假设条件下得到的，实际应用中可能受到多种因素的影响，如交易成本、市场不完全性、投资者偏好等。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和改进。
投资学之最优投资组合与有效边界
MaxU y
rf
y[E
(rP
)
rf
]
1 2
Ay
2
2 P
最优风险资产配置比例y* E(rP ) rf
A
2 P
7
4.2 两种风险资产的投资组合
设某一风险资产组合P由长期债券组合D和股票基金E组成
则有：E(rP ) wD E(rD ) wE E(rE )
2 P
wD2
2 D
wE2
2 E
2wDwECov(rD , rE )
有效组合 E
F C
B 可行组合，但非有效
D A
0.40
0.60
0.80
组合标准差
1.00
1.20
13
命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集 合是一条直线。 证明：由资产组合的计算公式可得
EP(rP
) wD
wD D
E
(rD )
wE E
wE
E
(rE
)
(1) ( 2)
wD wE 1
( 3)
则有：
2 P
(wD D
wE E )2
即： P wD D wE E
令wD D - wE E 0
wD
E D E
, wE
1 wD
D D E
结论： 1时组合P的风险可降至零 10
情况三
若 1 DE 1， 则有： P wD D wE E 结论： 1时组合P的风险可有一定程度降低
11
组合的机会集与有效集
4最优投资组合与有效边界
投资组合优化的五种形式 1C=F+P 2P=D+E 3C=F+D+E 4P=S1+S2+…+Sn 5C=F+ 4P=S1+S2+…+Sn
资产定价理论讲义(中文版-上海财经大学)
2
《资产定价理论》 曹志广
第一讲 预备知识 1. 线性组合、仿射组合（Affine ）、凸组合 Combination
x1, x2 ∈ S
α x1 + β x2 ：线性组合 α x1 + (1−α )x2 ：仿射组合 ， ：凸组合 α x1 + (1−α )x2 0 ≤ α ≤ 1
上海财经大学金融学院
var[ε2 ε1 = x1] = B22 − B21B11−1B12
不动点定理 15. Brouwer's 假设 A⊂ RN 为一非空紧凸集， f : A → A 是从 A 到 A 的连续函数。则∃x* ∈ A，使得
。 f (x*) = x*
16. 偏好关系 偏好关系是定义在集合C 上的一个二元关系，并满足以下条件： （1）完备性： ∀a,b ∈ C ，有 a b 或b 或a b ∼ a
集。如果存在 B 使得∀x∈S 都有 x ≤ B ，则称集合 S 是有界的。有界闭集称为紧集。
4. A 为矩阵， X 为列向量，则
∂AX = A′ ∂X
∂X ′AX = ( A + A′) X ∂X
5. 正定矩阵 （1）∀X ≠ 0 ， X ′HX > 0， H 是正定矩阵； X ′HX ≥ 0 H 是半正定矩阵 如果 H 是正定矩阵，则 H −1 也是正定矩阵。
上海财经大学金融学院
（1） f 为定义在凸集 R 上的凸函数，则∀β > 0 ， β f 为凸集 R 上的凸函数 （2） f1, f2 为定义在凸集 R 上的凸函数，则 f1 + f2 为凸集 R 上的凸函数 （3） f 为定义在凸集 R 上的凸函数，则∀β ， Sβ ={x x ∈ R, f (x) ≤ β}是凸集
第三讲有效前沿与最优证券组合
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB 1
2） AB 1
p x A (1 x) B
p [x A (1 x) B ]
3）1 AB 1
_2 _
2 p D r p Frp G
__
D
(
2 A
B2
2AB A B) /(rA rB)2
C
把代回X中可得最优投资比例 ：
X * AU1 V 1r 2U2 A
[1 AU1 ]V 1I 2U2 C
AU1 2U 2
Xd
[1
AU1 2U 2
]X g
定理3.1 当市场上只有风险证券时，任何投 资者的最优证券组合都是由 和 的凸组合 构成的。
又最优证券组合O*是投资者的无差异曲线 和有效前沿的切点，故有：
1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。
2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。
则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿
0
2种和3种风险证券的有效前沿
r p
B
ab=-1 ab=1
CD
A
O
p
图3.1
r p 43
C 2
1B A
O
p
图3.2
例题
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为
r a=4.6% 和 rb=8.5% ，方差和协方差分别为
2 a
《证券投资学》课后习题答案
卖空股票所得资金 初始保证金 融入股票的市值
卖空股票所得资金
卖空股票所得资金
P
20%，
得到：P 12元。
由：保证金的实际维持率
保证金实际值
卖空股票所得资金 初始保证金 融入股票的市值 投入的现金
卖空股票所得资金
卖空股票所得资金
投入的现金 40%，
得到：投入的现金 10 000元。
第四章 复习题
一、名词解释 （略）
二、讨论题 1. ①期望收益率主要是根据持有期内租金和房价的预测进行计算。必要收益率主要是根据房 地产的风险进行计算，包括无风险收益以及风险溢价。对于自主性购房，购房者主要从房屋的使 用价值出发；对于投资性购房，购房者主要从房屋的投资价值出发。
②打新股的平均收益率需要考虑中签率、资金占用天数、新股持有时间假设、持有期间的价 格与中签价格之间的比较等等。普通股票投资不存在中签率的问题，持有的时间和持有的目的也 不一样。
组合的期望收益率为 19.24%（ = 10% × 500 + 25% × 800 +13.33% × 240 + 24% × 300 ）。
1840
1840
1840
1840
3.答：资产
1、资产
2、资产
3
和资产
4
的期望收益率分别是
10%
⎛ ⎜⎝
=
550 − 500 500
⎞ ⎟⎠
、25%、
13.33%、24%，投资组合的期望收益率为 19.24%
)S1 × 1+ f1,5 4 )S2 2 × 1+ f2,3
= (1+ S5 )5 = (1+ S3 )3
( ) ⎨
证券投资学吴晓求第四版课后题答案
《证券投资学》吴晓求第四版课后题答案第一章证券市场概述1.什么是证券市场？答：证券市场指的是买卖证券的场所和组织。
2.证券市场的基本功能有哪些？答：证券市场的基本功能包括资金融通、风险管理和价格发现三个方面。
3.证券市场的分类有哪些？答：证券市场可按照发行市场和交易市场划分。
发行市场包括新股发行市场和债券市场；交易市场包括一级市场和二级市场。
4.举例说明场内交易和场外交易的区别。
答：场内交易和场外交易的主要区别在于交易的场所不同。
场内交易指的是在交易所进行的证券交易，如上交所、深交所；场外交易则指的是在交易所以外的地方进行的证券交易。
5.什么是证券的价格？价格的形成条件是什么？答：证券的价格是指在市场上交易时，买卖双方同意的交易价格。
价格的形成条件包括供需关系、市场心理、经济基本面和政策因素等方面。
第二章投资组合理论1.投资组合的目的是什么？答：投资组合的目的是实现资产配置和风险管理的目标，以获得预期收益。
2.投资组合的本质是什么？答：投资组合本质上是通过对不同风险和收益特性的资产进行统计分析和选择，使其相互之间呈现理想的相关性，从而使得组合的整体效用达到最大。
3.什么是有效前沿？有效前沿有什么作用？答：有效前沿是指在风险相同的情况下，最大化预期收益水平的投资组合集合。
有效前沿对于投资者而言，是制定投资决策和风险管理的重要依据。
4.投资组合的优化目标是什么？答：投资组合的优化目标是在规定的风险水平下，实现预期收益最大化或在预期收益水平下，实现风险最小化。
5.什么是最小方差组合？答：最小方差组合是指在所有组合中，使得组合方差最小的投资组合。
第三章股票投资分析1.什么是股票？答：股票是公司吸收资金的一种证明，并代表对公司部分所有权。
2.股票的价格是由什么因素影响的？答：股票的价格受到多个因素的影响，包括公司基本面、市场情绪、政策环境等。
3.什么是价值投资？相对于价值投资，什么是成长投资？答：价值投资强调挑选低估值的股票，即选择价格低于股票内在价值的股票；成长投资则强调选择未来能够快速增长的公司。
投资组合优化模型及有效前沿分析方法
投资组合优化模型及有效前沿分析方法随着金融市场的发展和个人财富增长的需求，投资组合优化和有效前沿分析成为了投资者关注的重要内容。
本文将介绍投资组合优化模型的概念、意义以及有效前沿分析的方法。
投资组合优化模型是一种通过选择合适的资产组合来实现最大收益或者最小风险的数学模型。
通常情况下，投资者面临着多个投资标的和投资目标，如何在有限的资源和时间内做出最佳的投资选择，是一个值得探索的问题。
投资组合优化模型通常包括以下几个要素：投资标的、预期收益率、风险度量和决策变量。
投资标的是指投资者可以选择的各种资产，如股票、债券、房地产等。
预期收益率是对不同投资标的未来收益的估计。
风险度量是对投资标的风险的度量，通常使用标准差等方式来描述。
决策变量是指投资者需要做出的投资比例选择。
通过建立这些要素之间的数学关系，可以得到一个最优化的投资组合。
有效前沿分析方法是用来帮助投资者找到有效的投资组合的一种方法。
有效前沿是指在给定风险下，可以达到的最大收益；或者在给定收益下，可以达到的最小风险。
有效前沿分析方法通过对不同投资组合的收益和风险进行综合评估，找到处于有效前沿上的投资组合，为投资者提供一个合理的选择范围。
有效前沿分析方法通常包括以下几个步骤：首先，收集和整理投资标的的历史数据，包括收益率和风险度量。
其次，利用统计方法对历史数据进行分析，计算出各个投资标的的平均收益率、标准差等参数。
然后，通过建立投资组合的数学模型，计算出投资组合的预期收益率、标准差等指标。
最后，利用最优化算法，找到处于有效前沿上的投资组合。
有一些经典的有效前沿分析方法，如马科维茨理论和索提诺模型等。
马科维茨理论是通过均值-方差模型来实现有效前沿分析的一种方法。
该方法假设投资者追求的是最大化收益，并且认为收益与风险之间存在一定的权衡关系。
索提诺模型是一种基于期望效用理论的有效前沿分析方法。
该方法考虑了投资者对收益的偏好程度，通过一个效用函数来度量投资者的效用。
cfa一级知识点
cfa一级知识点CFA一级知识点：投资组合理论投资组合理论是金融领域的重要理论之一，它是指通过在不同资产之间进行合理配置，以达到预期收益率和风险的平衡。
投资组合理论旨在帮助投资者最大化收益并降低风险。
1. 投资组合理论的基本原理投资组合理论基于以下两个基本原理：多样化和有效前沿。
- 多样化原理：投资者应将资金分散投资于不同的资产类别，以降低整体投资组合的风险。
多样化可以通过投资于不同行业、不同地区、不同资产类型等方式来实现。
- 有效前沿原理：投资者应选择在风险和收益之间取得最佳平衡的投资组合，即有效前沿。
有效前沿上的每个点代表着在给定风险水平下能够取得的最大收益。
2. 投资组合的风险和收益投资组合的风险和收益取决于其中各个资产的风险和收益。
投资者需要了解不同资产类别的特点，包括股票、债券、期货等。
不同资产类别具有不同的收益率和风险水平，投资者可以通过组合这些资产来平衡收益和风险。
3. 马科维茨均值-方差模型马科维茨均值-方差模型是投资组合理论的核心模型之一。
该模型通过计算资产的预期收益率、协方差矩阵和风险厌恶系数，确定最佳的投资组合。
4. 投资组合的权衡在构建投资组合时，投资者需要权衡多个因素，包括预期收益、风险、流动性、成本等。
投资者应根据自身的投资目标和风险承受能力来确定合适的权衡。
5. 有效市场假说有效市场假说是投资组合理论的重要假设之一。
该假说认为市场是高效的，即所有信息都已经被充分反映在资产价格中，投资者无法通过分析信息获取超额收益。
6. 投资组合的动态调整投资组合不是一成不变的，投资者需要根据市场情况和个人需求进行动态调整。
投资者可以通过定期重新平衡投资组合或根据市场趋势进行调整。
7. 风险管理与投资组合理论投资组合理论中强调了风险管理的重要性。
投资者可以通过多种方式来管理投资组合的风险，包括风险分散、期权策略、对冲等。
8. 投资组合理论的应用投资组合理论可以应用于各种投资场景，包括个人投资、机构投资、资产配置等。
投资组合理论中的有效前沿模型
投资组合理论中的有效前沿模型投资组合理论是现代金融学的基石之一，它旨在通过合理配置资金来优化投资组合的风险和收益。
其中，有效前沿模型是一个重要的工具，用于确定最佳的投资组合组合，以实现给定风险水平下的最大收益或最小风险。
有效前沿模型的核心思想是通过通过组合不同的资产，可以实现收益的最大化或风险的最小化。
这种思想的基础是资产之间的相关性。
如果两个资产的收益率高度相关，那么它们在投资组合中提供的多样性将较小，风险也相应较高。
但是，如果两个资产的收益率几乎没有相关性，那么它们可以通过投资组合来实现更高的收益，并降低整体风险。
在有效前沿模型中，首先需要确定投资组合的收益率和风险。
收益率可以通过历史数据或基本分析来预测，而风险则可以通过标准差或方差来衡量。
接下来，需要计算每个资产与其他资产之间的相关系数，并根据这些数据构建投资组合。
然后，可以使用投资组合的收益率和风险来绘制有效前沿曲线。
有效前沿曲线显示了给定风险水平下可实现的最大收益。
曲线上的任何一点代表一个具体的投资组合，而曲线越往上越靠近顶点，意味着更高的收益。
根据投资者的风险偏好，可以从曲线上选择一个适合的投资组合。
然而，投资者在确定最佳投资组合时还需要考虑其他因素，如流动性和成本。
流动性是指资产的易变现性，而成本则包括购买和卖出资产所需的费用。
在实际操作中，投资者通常需要权衡收益、风险、流动性和成本等多个因素。
有效前沿模型还可以与资本资产定价模型（CAPM）相结合，来进一步完善投资组合的选择。
CAPM通过分析市场风险和无风险利率来确定每个资产的期望收益率，从而帮助投资者评估资产的估值和潜在回报。
将CAPM与有效前沿模型结合，可以更准确地确定投资组合的收益和风险，并提供更具体的投资建议。
总之，投资组合理论中的有效前沿模型为投资者提供了一个清晰的框架，用于确定最佳的投资组合。
通过分析资产之间的相关性和考虑其他因素，投资者可以在不同的风险偏好下选择适合自己的投资策略。
《最优投资组合理论》课件
投资组合的实现
实施方式
投资组合可以通过交易所、基金 等不同的实施方式来进行买卖和 持有。
交易成本
交易成本是投资组合实施的一个 重要考虑因素，包括佣金、印花 税等。
维护和更新
投资组合需要定期维护和更新， 以适应市场变化和投资目标的变 化。
投资组合优化的应用
风险控制
投资组合优化可以帮助投资者实现风险控制，减少投资组合的波动性。
最优投资组合理论基于现代投资组合理
约束条件
2
论 (MPT) 和资本资产定价模型 (CAPM) 等 经典理论。
投资组合优化需要考虑投资者所设定的
约束条件，如最大风险、最小回报等。
3
求解算法
通过数学模型和计算技术，可以求解最 优投资组合，例如线性规划和蒙特卡罗 模拟等方法。
风险和收益
投资组合的风险来源包括市场风险、系统风险和个别风险，可以通过波动率 等指标度量。 收益可以来自资本增值、股息和利息等，通常用年化回报率来度量。 投资组合的优化需要在风险和收益之间进行权衡，以实现最佳的投资结果。
资产分配
投资组合优化可以帮助投资者在不同资产之间分配资金，以实现最佳的资产配置。
期望收益与风险平衡
投资组合优化可以帮助投资者在追求高收益的同时，保持风险的可控范围内。
最优投资组合的挑战和限制
1 数据取样误差
投资组合优化的结果受限于输入数据的准确性和可靠性。
2 优化方法的局限性
不同的优化方法可能对不同的情况表现更为适用，没有一种方法适用于所有情况。
3 实施成本
投资组合优化需要付出一定的实施成本，包括时间、资源和人力等。
总结
最优投资组合理论的贡献
最优投资组合理论帮助投资者在风险和回报之间做 出明智的选择，提升投资效益。
有效前沿与最优证券组合
目录与最优证券组合的应用 • 有效前沿与最优证券组合的实证研
究 • 未来研究方向与展望
01
有效前沿概述
定义与特性
定义
有效前沿是指由全部有效投资组合构成的集合，它代表了投资者在给定风险水平下可以获得的 最大预期回报。
特性
05
未来研究方向与展望
动态有效前沿研究
动态有效前沿研究
随着时间的变化，有效前沿也会发生变化。未来的研究可以探 索如何动态地调整和优化有效前沿，以更好地适应市场的变化
。
考虑市场非完全有效性的影响
市场并非完全有效，因此有效前沿的研究需要考虑市场的非完 全有效性，探索如何利用市场的不完全有效性来获取更高的收
1 2 3
基于机器学习的有效前沿研究
随着机器学习技术的发展，未来的研究可以尝试 利用机器学习技术来探索有效前沿，以更好地指 导投资组合的构建和管理。
数据驱动的投资策略
基于机器学习的有效前沿研究可以尝试从大量数 据中挖掘出有用的信息，并利用这些信息来构建 数据驱动的投资策略。
自动化和智能化投资决策
通过机器学习技术，未来的研究可以尝试实现投 资决策的自动化和智能化，以提高投资组合的管 理效率和效果。
益。
引入新的投资策略和风险管理方法
在动态有效前沿的研究中，可以引入新的投资策略和风险 管理方法，以更好地控制风险并获取更高的收益。
多因子模型的有效前沿研究
01
多因子模型的有效前 沿研究
多因子模型可以更好地解释证券的收 益率，未来的研究可以进一步探索多 因子模型的有效前沿，以更好地指导 投资组合的构建和管理。
在马科维茨投资组合理论中，有 效前沿是由所有可能投资组合中 具有最高期望收益率且与特定风 险水平相匹配的组合构成的边界。
有效前沿与最优证券组合课件
3
回测
对组合的实际业绩进行回测，以评估组合的实际 表现。
07
结论与展望
研究结论
有效前沿模型更贴近实际市场情况，比传统模型更加准 确地刻画了证券组合的风险与收益关系。
最优证券组合的选取需要考虑投资者风险偏好和资产配 置的约束条件。
随着风险水平的增加，有效前沿上的证券组合收益率呈 现出明显的非线性变化。
研究不足与展望
01
研究未充分考虑市场微观结 构对有效前沿的影响，如交
易成本、信息披露等。
02
未对不同资产之间的相关性 进行深入分析，未来可进一
步探讨。
03
可以将机器学习等先进方法 引入研究中，提高模型预测
的准确性和鲁棒性。
THANKS
模型求解
01
利用历史数据
通过分析历史数据，计算资产 的历史收益率和波动率等参数
。
02
估计参数
使用历史数据估计模型中的参 数，包括无风险利率、资产收
益率的协方差矩阵等。
03
最优解计算
根据估计的参数，利用优化算 法计算最优证券组合，包括最 小化风险或最大化收益等目标
。
实证分析
01
02
03
数据选择
选择适合分析的投资数据 集，包括历史价格数据、 财务数据等。
研究有效前沿与最优证券组合具有重要的理论和实践意义。 理论方面，可以深化我们对投资组合理论的理解和认识；实 践方面，可以为投资者提供一种有效的投资策略，帮助他们 更好地管理风险和获取收益。
主要内容与结构
本文主要分为以下几个部分
01
02
1. 介绍有效前沿的基本概念和技术；
2. 分析有效前沿与最优证券组合之间的关 系；
投资组合管理中有效前沿及最优比例计算方法探讨
投资组合管理中有效前沿及最优比例计算方法探讨投资组合管理是投资者在追求最大化收益的同时控制风险的关键任务之一。
有效前沿是一个重要的概念，指的是在给定风险水平下，能够实现最大化投资收益的投资组合集合。
本文将探讨有效前沿的构建方法以及最优比例计算的相关技术。
有效前沿是现代投资组合理论的重要组成部分。
这个概念最早由Markowitz提出，在他的研究中引入了资产的协方差矩阵来度量投资组合的风险和收益。
有效前沿通过评估不同资产配置方案的风险-收益比来确定最佳的投资组合。
投资组合中的每一种配置方案都可以看作是一个点，构成了一个由风险和收益构成的二维曲线。
尽管曲线上的每个点都是有效的投资组合，但只有在曲线上的点才是最有吸引力的选择，因为它们提供了最佳的风险-收益权衡。
有效前沿的构建通常使用优化算法来完成。
常见的方法包括均值-方差模型和Monte Carlo模拟。
均值-方差模型通过最小化投资组合的方差，同时最大化投资组合的收益来确定有效前沿。
这个模型的核心是有效边界，即在给定风险水平下可以实现的最大投资收益。
Monte Carlo模拟则通过随机生成大量的投资组合以覆盖整个投资空间，然后计算每个投资组合的收益和风险，以此来构建有效前沿。
在构建有效前沿之后，投资者需要选择最优的投资组合比例。
最优比例的计算方法可以有多种。
其中，一个常见的方法是最小方差法。
最小方差法通过最小化整个投资组合的方差来确定最优的资产比例。
这个方法在实践中比较简单易用，并且可以通过历史数据来估计资产的协方差矩阵。
另一个方法是马尔科维茨模型，它通过引入风险规避系数来实现收益和风险之间的权衡，从而确定最优比例。
除了以上方法外，还有一些其他的方法可以用来计算最优比例。
例如，基于风险平价的方法可以将不同资产配置的风险权重调整为相等，以实现更平衡的投资组合。
而基于收益平价的方法则将不同资产配置的收益权重调整为相等，以实现更平均的投资收益。
这些方法通常需要根据投资者的特定目标和约束条件来确定最优比例。
多种种风险资产组合有效前沿
数学模型论文题目多种种风险资产组合有效前沿系别班级姓名学号新疆农业大学数理学院目录摘要、关键词与定义 (3)多种种风险资产组合有效前沿的定义 (3)多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： (3)部分选股数据处理及计算 (4)结论 (7)多种种风险资产组合有效前沿作者： 指导教师：摘要：针对投资者总希望用尽可能小的风险来获得尽可能大的收益，本文进行了有效组合的详细构建。
文章中通过抽样的方式选取几只有代表性的股票来构建中国股票市场的有效前沿。
关键词：投资组合；有效前沿；股票市场；预期收益。
证券投资组合有效前沿的定义：有效边界是组合证券资产选择的重要基础。
根据现代证券投资组合理论，理性的投资者应具有“非满足性”和“风险回避”这两个特征，即一定风险下的期望收益率最大化和一定收益下风险最下化。
在多种风险证券组合收益模型中，对于每一个给定的收益率水平，得到的对应投资组合的方差或标准差比在同样收益水平的任何组合的方差或标准差要来得小，称之为有效前沿。
在均值—方差坐标系当中，组合的前沿是抛物线；在标准差—均值坐标系中，则是一条双曲线。
收益率高于最小方差组合所对应的收益率的组合，位于组合前沿的上半部分，被称为有效前沿。
为了更加具体地描述有效前沿，我们将采取浅入深出的方式来阐述这一问题。
多种证券构成的投资组合的有效前沿推导原理： 设市场上有n 种证券，其收益率为x i （i=1,2…n ），x i 为随机变量。
用向量的形式可以表示为：x=(x 1, x 2….x n )T 其数学期望与方差为:E （x ）=[E(x1),E(x2),…E(x3)]=u=(u 1,u 2,…u n ) Var(x)=E((x-u)(x-u)T )=Σ=(σij )n*n设投资组合投资于第i 种证券的比例为ω（i=1,2，…n ）, 用向量表示为：ω=(ω1, ω2…ωn )T 这里Σωi=1令 1T ω=1 其中 1T =（1,1...1）这一组合的期望收益就是该组合所有证券期望收益的加权平均，即：E （ωT x ）=ωT E(x)= ωT u该投资组合的方差为：Var （ωT x ）=E((ωT x-E （ωT x ）)( ωT x-E(ωT ))= ωT Σω 为了计算证券的有效前沿，我们假设投资组合的期望收益率为已知量，即ωT u=a ， 且有 1T ω=1,在此已知条件下，求符合限定条件的ω，使得组合的风险ωT Σω最小。
证券组合有效前沿的数学推导PPT课件
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
四、当存在一个无风险证券情况下的有效证券组合的设置
问题
› 在抛弃投资者的决定完全取决于证券组合的期望和方差的假 设下，共同基金定理应该如何导出？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
› 美国哈佛商学院教授
二、在有风险证券下的有效证券组合的设置
收益率
用到的符号
E
单个证券的比重
› 均值-方差模型 › 均值-标准差模型方差单个证券的 期望回报率
协方差
协方差矩阵
均值-方差模型
均值-标准差模型
三、共同基金定理
› 定理一：给予m个证券满足第二章的条件存在从这些证券中 构建2个证券组合（共同基金），对于那些选择决定于证券 组合的方差和期望收益的风险厌恶的投资者，他们并不在乎 如何去选择证券组合。
证券组合有效前沿的数学推导
An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier
2014.11
报告简介
› 作者简介 › 在有风险证券下的有效证券组合的设置 › 共同基金定理 › 存在一个无风险资产下的有效证券组合的设置
一、作者简介 罗伯特·C·莫顿
› 罗伯特·C·莫顿（Robert Carhart Merton）于1944年7月31日生于纽 约。其父为美国著名的社会学家Robert K Merton 。
› 上世纪70年代，莫顿与 Fischer Black和Myron Scholes 共同发明了 金融期权数学模型，并因此与Myron Scholes共同获得了1997年诺贝 尔经济学奖。1970年，他提出了著名的“Merton模型”，被广泛应 用于各种风险资产及金融衍生产品的定价工作，并为当今蓬勃发展的 金融工程学奠定了基础。1973年，他提出了多时间段资本资产定价模 型，这个模型明确提出了投资者在不断变化的市场环境中，如何实现 最佳证券组合的问题。莫顿在资产组合领域的研究成果，为现代金融 理论作出了巨大贡献，指明了金融学术界的研究方向。
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14
3．2 允许对无风险证券投资的有 效前沿
无风险证券（例如国库券等）的期末收 入是确定的。 因此这种证券的方差为零，从而它和任 何一种股票的协方差也为零。我们把无 风险证券简称为债券。
15
一种风险证券和一种无风险证券
股票A和债券 以 x1 记投入债券的比例，则 x2 1 x1 是 购买股票的比例。 证券组合的期望收益率和标准差分别为：
第三讲 有效前沿与最优证券组合
1
有效前沿的定义： 定义3.1 设S是N种证券的选择集，如果其 中存在一个子集F(p)，具有如下性质： 1.在给定的标准差（或方差）中，F(p)中的 证券组合在S中具有最大的期望收益率。 2.在给定的期望收益率中，F(p)中的证券组 合在S中具有最小的标准差（或方差）。 则称F(p)为有效前沿（efficient frontier）， 简称前沿（边界）。
20
一阶条件：
_ L VX (r rf I ) 0 T X
_ L _ T rp rf X (r rf I ) 0
21
得证券组合的投资比例
X p V (r rf I )(rp rf ) / H
其中 H (r rf I )T V 1 (r rf ) B 2rf A rf2C 证券组合的方差为
X ( x1, x2 ,...,xN )T
证券组合期望收益率和方差分别为
rp X T r
_
T 2 X VX p
8
按有效前沿的定义，求有效前沿即要求解下 规划问题：
1 T min X VX 2
s.t , X r rp
T
_
_
X I 1
T
9
构造拉格朗日函数
_ _ 1 T L X VX (rp X T r ) (1 X T I ) 2
D BC A2 0
11
对于另一个指定的 rq ，在前沿上的证券 组合为：
C rq A 1 _ B A rq 1 Xq V r V I D D
_ _
C rp A 1 _ B A rp 1 Xp V r V I D D _
_
_
12
两个证券组合的协方差为
rp x1rf (1 x1 ) rA
_
_
p (1 x1 ) A
16
一种风险证券和一种无风险证券
得证券组合的期望收益率 和标准差的关 系：
rp rf [(rA rf ) / A ] p
_
_
17
图3.5
rp
rA
C 。 B A
rf
O
A
p
18
两种股票A和B，及一种债券
一阶条件：
_ L VX r I 0 T X _ L _ rp X T r 0
L 1 X T I 0
10
由于V为正定阵，V的逆矩阵存在。
求解得
_ 1 X V ( r I ) _ _ _ _ _ (C rp A) / D T 1 T 1 rp (r V r ) (r V I ) _ _ _ (B A rp ) / D 1 T 1 1 (I V r) (I V I ) _ _ _ T 1 T 1 T 1 AI V r C I V I Br V r
rp x 4.6% (1 x) 8.3%
2 p x2 (5.62%)2 (1 x)2 (6.33%)2 2x(1 x) 4.7%
6
N种风险证券的有效前沿
rp
E
O
图3.3
p
7
（二)N中风险证券组合泽的有效 前沿
设市场上有N种风险证券，它们的收益率 和方差为有限值 ，这些收益率的方差-协 方差矩阵V为正定矩阵 ， N种证券的期望 _ _ _ T 收益率为： r (r1 , r2 ,...,rN ) N种证券组合P表示为：
cov(rp , rq )
C D
( rp
A C
A )(rq C
1 ) C
令 r p rq ，则得前沿上的证券组合 方差为：2 pC ( D
r
A )2 p C
1 C
13
rp
2 p
1/ C
( rp A / C ) 2 D/C
2
1
A/C
MVP
O
(1/C)1/2
p
2
3.1 N种风险证券组合的有效前沿
（一）两种风险证券组合的有效前沿 两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 ra 2 2 和 r b，方差和协方差分别为 a , b , ab a b 对任一组合p= (x，1-x)，x∈[0，1] ，证券组合 p的期望收益率和方差如下：
rp x ra (1 x) rb
rp
C
有效前沿为从(0，rf)出发，与双曲线AB相切 的射线 rp
e A
rf
D
B O
p
19
N 种股票及一种债券
问题
1 T min X VX 2
T _ T _
s.t X r (1 X I )rf rp 构造拉格朗日函数：
_ _ 1 T L X VX [ X T r (1 X T I )rf rp ] 2
_ _
_2
1 AB 1 3）
2 2
_
D ( A B 2 AB A B ) /(rA rB )2 0
4
2种和3种风险证券的有效前沿
r
p
B ab=-1 ab=1
rp
4 3 1
C 2 B A
C
D A O 图3.1 p O 图3.2
p
5
例题
两种风险证券A和B，A和B的期望收益率为 r a=4.6% 和 rb=8.5% ，方差和协方差分别为 2 2 a (5.62%) 2 , b (6.33%) 2 , a b 4.7% 求这两种风险资产的有效前沿。
_
x (1 x) 2x(1 x)ab ab
2 p 2 2 a 2 2 b
3
讨论证券组合P的有效前沿形状
1） AB 1 2） AB 1
p x A (1 x) B
p [ x A (1 x) B ]
2 p D r p Frp G