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2dsin = n －－ 布拉格方程 其中，d为晶面间距， 为衍射半角
材料现代分析方法 北京工业大学
第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
布拉格方程的讨论
1、衍射产生的必要条件：选择反射，反射受、 、d的制约。反射 线实质是各原子面反射方向上散射线干涉加强的结果，即衍射，因此， 此处“反射”与“衍射”可不作区别。 2、干涉指数和干涉面：将布拉格方程改写成 2dHKLsin = ，其中， dHKL＝d/n， H=nh，K=nk，L=nl。即把 (hkl)晶面的n级反射看成是 与之平行、面间距为d/n的晶面(HKL)的一级反射。(HKL)不一定是真 实的原子面，通常称为干涉面，而将 (HKL)称为干涉指数。 3、产生衍射的极限条件：由布拉格方程可知，晶体中只有满足d> /2的晶面才产生衍射，所以产生的衍射线时有限的，利用此条件可判 断出现衍射线条的数目。 4、布拉格方程反映晶体结构中晶胞大小及形状，而对晶胞中原子的 品种和位置并未反映，d相同， 相同。
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的各种问题， 必须在衍射现象与晶体结构之间建立关系。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程
得到了“选择反射”的结 果
＝15和＝32 时有反射
反射线光程差： ＝ ML +LN= 2dsin 干涉一致加强的条件为： ＝ n
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理
第二节 X射线衍射强度
上一节曾指出，衍射几何理论（布拉格方程）不能 反映晶体中原子的品种和位置。实际上，解决这类问题 必须应用衍射的强度理论，即建立晶体结构中原子品种 和位置与衍射线束强度之间的定量关系。由于电子是散 射X射线的最基本单元，因此，首先要研究一个电子的 散射，然后再讨论一个原子的散射，一个单胞的散射， 最后再讨论整个晶体所能给出的衍射线束强度。
I e I e x I e z I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i z n I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i x n I 0 R 2 m e 4 2 c 4 ( 1 c 2 2 2 o ) s
这里，z＝90 º- 2； x=90 º。由此可知，电子散射在各个方向 的强度不同，非偏振X光被偏振化了，故称(1+cos22)/2为偏振因子。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
厄瓦尔德图解步骤
具体步骤见书P.71。下图为某晶体(001)*倒易面上 倒易点与反射球相交截情形
材料现代分析方法 北京工业大学
第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
四、衍射几何理论小结
布拉格方程、衍射矢量方程、厄瓦尔德图解均为X射线衍射必要 条件的表达式，在表达衍射线在空间分布与晶体结构、入射线波长及 方位的关系方面是等效的，具体讲： 1、布拉格方程：是代数方程，可进行定量计算，但其物理图象不直观； 2、衍射矢量方程：是布拉格方程的矢量表达，是图解法的依据； 3、厄瓦尔德图解：是衍射矢量方程的图示，求解衍射方向简单、直观、 方便，易于进行衍射几何分析，但不能精确求解； 4、 X射线衍射必要条件的各种表达式，也适用于电子衍射几何分析。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
二、原子散射强度
wenku.baidu.com
一个原子对X射线的散射是原子中各电子散射波总的叠加
（1）理想情形：一个原子中Z个电子集中在一点，则原子散射振幅Ea：
Ea=Z字母，从而原子散射强度Ia：Ia=Z2Ie
（2）实际情况：X射线波长与原子直径为同一数量级，因此不能认为 原子中所有电子都集中在一点，它们的散射波之间存在着相位差。散 射线强度由于受干涉作用的影响而减弱，所以必须引入一个新的参量 来表达一个原子散射和一个电子散射之间的对应关系，即一个原子的 相干散射强度为：Ia=f2Ie，f称为原子散射因子。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
二、衍射矢量方程
s0和s分别为入射线和反射线方向 单位矢量， s－ s0称为衍射矢量。 由图可知， |s－ s0|=2dsin， 则
根据倒易矢量性质 (s－ s0)/ = r*HKL 或 s－ s0= R*HKL
(|r*HKL|= 1/dHKL) (|R*HKL|= /dHKL)
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度
根据汤姆逊的工作，一个电子对入射
强度为I0的偏振X射线（电场矢量E0只沿 一个固定方向振动）的散射强度Ie为：
Ie
I0
e4 R2m2c4
sin2φ
对于非偏振X射线，将其电场矢量E0分解为垂直的两束偏振光，如 图，E0x和E0z，且 I0 = E02 = E0x2 + E0z2。对于完全非偏振光有： E＝ E0z，所以E0x2 ＝ E0z2＝ E02 /2 ，即I0x=I0z= I0 /2。因而有：
第二篇 衍射分析
第五章 X射线衍射原理
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散射 波互相干涉的结果。每种晶体所产生的衍射花样都反映出 晶体内部的原子分布规律。
衍射花样的特征可以认为由两个方面内容组成：一方面 是衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何），由晶胞 的大小、形状和位向决定；另一方面是衍射线束的强度， 取决于原子的品种和它们在晶胞中的位置。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
三、厄瓦尔德图 － 衍射矢量方程的几何图解
晶体中每一个可能产生反射的(HKL)晶面均有各 自的衍射矢量三角形，s0为各三角形的公共腰边。 三角形的另一腰s的终点落在以|s0|为半径的球 面上，此球被称为反射球。
s0 、 s 及R*HKL构成等 腰三角形， s0 的终点 是倒易原点， s 的终点 是R*HKL的终点，即倒 易点， s0 与 s 夹角为 2，为衍射角。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
布拉格方程的讨论
1、衍射产生的必要条件：选择反射，反射受、 、d的制约。反射 线实质是各原子面反射方向上散射线干涉加强的结果，即衍射，因此， 此处“反射”与“衍射”可不作区别。 2、干涉指数和干涉面：将布拉格方程改写成 2dHKLsin = ，其中， dHKL＝d/n， H=nh，K=nk，L=nl。即把 (hkl)晶面的n级反射看成是 与之平行、面间距为d/n的晶面(HKL)的一级反射。(HKL)不一定是真 实的原子面，通常称为干涉面，而将 (HKL)称为干涉指数。 3、产生衍射的极限条件：由布拉格方程可知，晶体中只有满足d> /2的晶面才产生衍射，所以产生的衍射线时有限的，利用此条件可判 断出现衍射线条的数目。 4、布拉格方程反映晶体结构中晶胞大小及形状，而对晶胞中原子的 品种和位置并未反映，d相同， 相同。
为了通过衍射现象来分析晶体内部结构的各种问题， 必须在衍射现象与晶体结构之间建立关系。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理
第一节 衍射方向 一、布拉格方程
得到了“选择反射”的结 果
＝15和＝32 时有反射
反射线光程差： ＝ ML +LN= 2dsin 干涉一致加强的条件为： ＝ n
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理
第二节 X射线衍射强度
上一节曾指出，衍射几何理论（布拉格方程）不能 反映晶体中原子的品种和位置。实际上，解决这类问题 必须应用衍射的强度理论，即建立晶体结构中原子品种 和位置与衍射线束强度之间的定量关系。由于电子是散 射X射线的最基本单元，因此，首先要研究一个电子的 散射，然后再讨论一个原子的散射，一个单胞的散射， 最后再讨论整个晶体所能给出的衍射线束强度。
I e I e x I e z I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i z n I 2 0 R 2 m e 4 2 c 4 s 2 i x n I 0 R 2 m e 4 2 c 4 ( 1 c 2 2 2 o ) s
这里，z＝90 º- 2； x=90 º。由此可知，电子散射在各个方向 的强度不同，非偏振X光被偏振化了，故称(1+cos22)/2为偏振因子。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
厄瓦尔德图解步骤
具体步骤见书P.71。下图为某晶体(001)*倒易面上 倒易点与反射球相交截情形
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
四、衍射几何理论小结
布拉格方程、衍射矢量方程、厄瓦尔德图解均为X射线衍射必要 条件的表达式，在表达衍射线在空间分布与晶体结构、入射线波长及 方位的关系方面是等效的，具体讲： 1、布拉格方程：是代数方程，可进行定量计算，但其物理图象不直观； 2、衍射矢量方程：是布拉格方程的矢量表达，是图解法的依据； 3、厄瓦尔德图解：是衍射矢量方程的图示，求解衍射方向简单、直观、 方便，易于进行衍射几何分析，但不能精确求解； 4、 X射线衍射必要条件的各种表达式，也适用于电子衍射几何分析。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
二、原子散射强度
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一个原子对X射线的散射是原子中各电子散射波总的叠加
（1）理想情形：一个原子中Z个电子集中在一点，则原子散射振幅Ea：
Ea=Z字母，从而原子散射强度Ia：Ia=Z2Ie
（2）实际情况：X射线波长与原子直径为同一数量级，因此不能认为 原子中所有电子都集中在一点，它们的散射波之间存在着相位差。散 射线强度由于受干涉作用的影响而减弱，所以必须引入一个新的参量 来表达一个原子散射和一个电子散射之间的对应关系，即一个原子的 相干散射强度为：Ia=f2Ie，f称为原子散射因子。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
二、衍射矢量方程
s0和s分别为入射线和反射线方向 单位矢量， s－ s0称为衍射矢量。 由图可知， |s－ s0|=2dsin， 则
根据倒易矢量性质 (s－ s0)/ = r*HKL 或 s－ s0= R*HKL
(|r*HKL|= 1/dHKL) (|R*HKL|= /dHKL)
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第二节 X射线衍射强度
一、一个电子的散射强度
根据汤姆逊的工作，一个电子对入射
强度为I0的偏振X射线（电场矢量E0只沿 一个固定方向振动）的散射强度Ie为：
Ie
I0
e4 R2m2c4
sin2φ
对于非偏振X射线，将其电场矢量E0分解为垂直的两束偏振光，如 图，E0x和E0z，且 I0 = E02 = E0x2 + E0z2。对于完全非偏振光有： E＝ E0z，所以E0x2 ＝ E0z2＝ E02 /2 ，即I0x=I0z= I0 /2。因而有：
第二篇 衍射分析
第五章 X射线衍射原理
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散射 波互相干涉的结果。每种晶体所产生的衍射花样都反映出 晶体内部的原子分布规律。
衍射花样的特征可以认为由两个方面内容组成：一方面 是衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何），由晶胞 的大小、形状和位向决定；另一方面是衍射线束的强度， 取决于原子的品种和它们在晶胞中的位置。
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第二篇 衍射分析 － X射线衍射原理 第一节 衍射方向
三、厄瓦尔德图 － 衍射矢量方程的几何图解
晶体中每一个可能产生反射的(HKL)晶面均有各 自的衍射矢量三角形，s0为各三角形的公共腰边。 三角形的另一腰s的终点落在以|s0|为半径的球 面上，此球被称为反射球。
s0 、 s 及R*HKL构成等 腰三角形， s0 的终点 是倒易原点， s 的终点 是R*HKL的终点，即倒 易点， s0 与 s 夹角为 2，为衍射角。