哈工大 机电控制系统 第二章

f( t ) m K B x( t )
解：根据牛顿第二定律 d2 x dx m 2 f (t ) B Kx dt dt 在零初始条件下对上式进行拉式变换， 整理可得该隔振系统的传递函数为：
G( s) X ( s) 1 2 F ( s) m s Bs K
图2-1
2.1 机械移动系统建模
0 V mg
由方程(a)和方程(c)左右相加，得
(d)
(M m) ml u x
(e)
由方程(b)、(c)、(d)，得 即
J mgl Hl mgl l (m ml) x
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( J ml2 ) ml mgl x
[(m1s 2 Bs K1 K 2 )(m2 s 2 Bs K 2 K 3 ) ( Bs K 2 ) 2 ] X 1 ( s) (m2 s 2 Bs K 2 K 3 )U ( s)
2.1 机械移动系统建模
由此得到传递函数：
m2 s 2 Bs K 2 K 3 X 1 ( s) U (s) (m1 s 2 Bs K1 K 2 )(m2 s 2 Bs K 2 K 3 ) ( Bs K 2 ) 2
2.1 机械移动系统建模
对上面两式简化后整理得
m1 1 Bx1 ( K1 K 2 ) x1 Bx2 K 2 x2 u x m2 2 Bx2 ( K 2 K 3 ) x2 Bx1 K 2 x1 x
对上边两方程在零初始条件下进行拉式变换，得
整理得系统的传递函数为：
m K P xi B xo
X 0 ( s) Bs K X i (s) m s2 Bs K
2.2 机械转动系统建模
转动更是一种非常常见的机械装置运动形式，如：机床主 轴、飞轮装置等。下面也仅就一些实例说明其建模与分析方法 问题。 例2-4 图2-4所示为扭摆的简化物理模型，假设 K 力矩M直接施加在摆锤上。求系统的传递函数。
J1e B1e1 M 0e M i 1
由上式可以看出，对于减速传动，从动轴等效到主动轴上的 转动惯量和阻尼系数都下降为本身转动惯量和阻尼系数乘以减速 比的平方。许多伺服传动系统也正是通过这种方式获得负载惯量 与伺服电动机之间的惯量匹配的有效方法。
2.4 摩擦对控制系统性能的影响
y

y x l l
x
图2-7
l cos O u M P mg l V x O u V M H mg l H x
a
b
2.2 机械转动系统建模
yG l cos 为导出系统的运动方程，右图 表示系统的隔离体受力图。摆杆绕 其重心的转动运动方程为：
J Vl sin Hl cos 其中J为摆杆绕重心的转动惯 量
M (s )

Bs K J m s 2 Bs K
1 J Ls2
0 ( s )
Jms2
Bs K J L s 2 ( J m s 2 Bs K ) J m s 2 ( Bs K ) Bs K J J ( J L J m ) s 2 L m s 2 Bs K JL Jm
M
i
K Jm JL
0
J mi M B(i 0 ) K (i 0 )
对输出轴列写力矩平衡方程
J L0 B( 0 i ) K ( 0 i )
在零初始条件下对上两式进行拉式变换，得
J m s 2 i (s) M (s) (Bs K )[i (s) 0 (s)]
解：设摆杆重心在xy坐标系中的坐标为 ( x G , yG ) xG x l sin y
x

l
V H O u V
mg l H x M
摆杆重心的水平运动、垂直运动，小车水平运动方程分别为：
d2 m 2 ( x l sin ) H dt d2 m 2 l cos V m g dt d2 x M 2 uH dt
[m1 s 2 Bs ( K1 K 2 )]X 1 ( s) ( Bs K 2 ) X 2 ( s) U ( s) [m2 s 2 Bs ( K 2 K 3 )]X 2 ( s) ( Bs K 2 ) X 1 ( s)
从上边第二个方程中解出X2(s),并代入第一个方程，简 化后得到：
2 2 ( J1 n12 J 2 ) (B1 n12 B2 )1 n12 M 0 M i 1
(e)
2.3 转动惯量换算
引入符号：
2 J 1e J 1 n12 J 2 2 B1e B1 n12 B2
(f)
M 0e n12 M 0
它们分别表示折算到输入轴上的等效转动惯量、等效阻尼系 数、等效负载力矩。于是，(e)式改写为
(a)
2.2 机械转动系统建模
由于我们要求保持摆杆垂直，所以可以假设摆杆的偏离角度和 角速度都很小，因而 sin , cos 1, 且 2 0 所以上面的方 程可以线性化处理，线性化的方程为
J Vl Hl m( l) H x
(b) (c)
1. 对摩擦力的重新认识 互相接触的两物体有相对运动或有相对运动趋势时，就 存在摩擦，在接触面间产生的切向运动阻力，即为摩擦力。 摩擦力的大小和形式取决于两物体结构、压力、相对速度、 润滑情况及其他一些因素。因此，准确用数学描述是困难 的。 在应用上分为： 粘滞摩擦 库仑摩擦 静摩擦
解：根据牛顿第二定律，
J M B K
在零初始条件下对上式进行拉式变换，得
J M

( Js Bs K )(s) M (s)
2
图2-4
整理得系统的传递函数为
( s) 1 2 M ( s) Js Bs K
2.2 机械转动系统建模
例2-5 图2-5所示为打印机中步进电机——同步齿形带驱动 装置的简化物理模型，其中Jm和JL分别表示步进电机轴和负载的 转动惯量。求系统的传递函数。 解：根据牛顿第二定律，对输 入轴列写力矩平衡方程
2.3 转动惯量换算
解：输入轴和输出轴的运动方程分别为：
J 1 B11 M 1 M i 1 J B M M
2 2 2 2 0
(a)
2
(b)
假设齿轮1和齿轮2之间没有传动功率损耗，则有 2 M M (c) 1 1 2 2 M1 M 2 1 将(b)和(c)带入(a)，整理可得 2 (d) J 1 B11 J 22 B2 2 M 0 M i 1 1 2 2 引入n12表示由输入轴1到输出轴2的传动比 n12 1 1
图2-5
J L s 2 0 (s) (Bs K )[i (s) 0 (s)]
2.2 机械转动系统建模
根据以上两式，可画出系统传递函数方块图，如图2-6(a)， 并依次简化为图2-6(b)和图2-6(c)
i (s )
M (s )

1 Jms2

Bs K
1 J Ls2
0 ( s )
第二章
机电控制系统建模与分析
院 学 （系）: 科 : 机电工程学院 机械电子工程 陈维山
2.1 机械移动系统建模
线性移动是一种非常常见的机械装置运动形式，如：机床 工作台、隔振装置等。下面仅就一些实例说明其建模与分析方 法问题。 例2-1 图2-1为一简单隔振装置的物理模型，假设运动是一 维的，即出现 x ( t ) 方向的运动，试建立其动态数学模型。
由该传递函数可以看出，系统中相当于附加了一个低通滤波 器，对步进电机的振动有隔离作用，其传递函数为
Bs K JLJm 2 s Bs K JL Jm
2.2 机械转动系统建模
例2-6 图2-7所示为一安装在电机驱动车上的倒立摆模型， 这实际上是一个空间起飞助推器的姿态控制模型(姿态控制问题 的目的是保持助推器的垂直位置)。倒立摆是不稳定的，如果没 有适当的控制力作用在它上面，它随时可能向任意方向倾倒。这 里我们只考虑二维问题，认为其只能在图示平面内运动。控制力 作用在小车上，假设摆杆重心位于其几何中心。试求该系统的数 学模型。
J m 2
2.3 转动惯量换算
例2-8 图2-9所示齿轮齿条和同步齿形带传动简图，试折算 负载等效到电动机轴上的等效转动惯量，其中齿条和带的质量均 计入m。
m r r x m


图2-9
解：对于上图两种传动情况，均可看作质量m绕半径为r 的圆周转动，则等效到驱动轴上的转动惯量为：
例2-2 求2-2所示机械系统的传递函数X1 ( s ) / U ( s )和 X2 ( s ) / U ( s ) 。
u
1 2
K2 K3 m1 K1 m2 B
图2-2
解：根据牛顿第二定律
m11 K1 x1 K 2 ( x1 x2 ) B( x1 x2 ) u x m2 2 K3 x2 K 2 ( x2 x1 ) B( x2 x1 ) x
(a)
M (s )

Bs K Jms2
1 J Ls2
0 ( s )
M (s )

Bs K J m s 2 Bs K
1 J Ls2
0 ( s )
Jms2
Jms2
(b)
图2-6
(c)
2.2 机械转动系统建模
根据图2-6(c)，求得该系统的传递函数为
Bs K 0 (s) J L s 2 ( J m s 2 Bs K ) J m s 2 ( Bs K ) M (s) 1 J L s 2 ( J m s 2 Bs K )
和传递函数：
X 2 ( s) Bs K 2 U (s) (m1 s 2 Bs K1 K 2 )(m2 s 2 Bs K 2 K 3 ) ( Bs K 2 ) 2
u
图2-2
1
2
K2 K3 m1 K1 B m2
2.1 机械移动系统建模
例2-3 图2-3(a)表示一个汽车悬浮系统。当汽车沿着道路行 驶时，轮胎的垂直位移作为一种激励作用在汽车的悬浮系统上。 该悬浮隔振系统可简化为图2-3(b)的简化模型。假设P点上的 运动xi作为系统的输入量，车体的垂直运动xo为输出量，位移 xo 从无输入量 xi 作用时的平衡位置开始测量，求系统的传递函 数。
J mr
2
2.3 转动惯量换算
例2-9 图2-10所示齿轮传动简图，试折算该传动系统等效到 输入轴上的等效转动惯量。
Mi
1
J1 B1 M1
Mi
1
Je Be n12 M0
M2
2
M0
J2 B2
图2-10
非常有用：实现机械负载与驱 动电机之间的惯量匹配时要经 常用到；将来计算系统的机电 时间常数时要用，这是系统最 主要的一个时间常数，直接关 系到系统响应速度的快慢！切 记！！！
倒立摆数学模型
2.3 转动惯量换算
机械传动机构是许多伺服系统必不可少的重要部件： 齿轮传动、齿轮齿条传动、丝杠螺母传动、蜗轮蜗杆传动、 同步齿形带传动、连杆传动、谐波齿轮传动、链传动等。 下面就典型传动形式的转动惯量等效算法分别进行说明。 例2-7 图2-8所示为丝杠螺母传动简图，试折算负载等效到 电动机轴上的等效转动惯量，忽略摩擦力的影响。 解：设丝杠的导程为L， 将负载质量m等效到距电动 电动机 M 机回转轴线距离r的半径上， m 则负载平移L的距离相当于 绕电动机轴线转过2 r的圆 图2-8 周位移，即令L= 2 r 2 则等效转动惯量： L
m K
车体
B P
xo
xi
a 图2-3 b
2.1 机械移动系统建模
解：图2-3(b)所示系统的运动方程为：
m0 B( x0 xi ) K ( x0 xi ) 0 x
即
m0 Bx0 Kx0 Bxi Kxi x
对上式在零初始条件下进行拉式变换
(ms2 Bs K ) X 0 (s) ( Bs K ) X i (s)