2018届苏教版 选讲部分 单元测试

专题15 选讲部分一．基础题组1.【2014课标Ⅰ，理23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与夹角为30︒的直线，交于点A ，PA 的最大值与最小值．【答案】（I ）2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩260x y +-=；（II ）.当sin()1θα+=时，PA 取到最小值，最小值为． 2. 【2014课标Ⅰ，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若0,0ab >>，且11a b+=（Ⅰ）求33ab +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．【解析】（I ）由11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33a b +≥≥，且当a b ==时取等号．所以33a b +的最小值为．（II ）由（I ）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．3.【2011全国新课标，理23】选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x ay a =⎧⎨=+⎩(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线3πθ=与C 1的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与C 2的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝4. 【2011全国新课标，理24】选修4—5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解析】：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x ax a x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为a ＞0，所以不等式组的解集为{}2ax x ≤-．由题设可得12a-=-，故a ＝2. 二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.2. 【2013课标全国Ⅰ，理24】(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.3. 【2010新课标，理23】（10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，圆C 2：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)当α＝3π时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－ (α为参数)．P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．4. 【2010新课标，理24】（10分）选修4－5：不等式选讲 设函数f(x)＝|2x －4|＋1. (1) 画出函数y ＝f(x)的图像；(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空，求a 的取值范围． 【解析】： (1)由于f (x )＝⎧⎨≥⎩－2x+5,x<2,2x －3,x 2,则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－ 2)∪12，＋∞)． 三．拔高题组1. 【2012全国，理23】选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．即A(1)，B(，1)，C(－1，，D，－1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是32,52]．2. 【2012全国，理24】选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|．(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1,2］，求a的取值范围．(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|4－x－(2－x)≥|x＋a|－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为－3,0]．3. 【2015高考新课标1，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :=2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 4. 【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲已知函数=|x +1|-2|x-a |，a >0.（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法5. 【2016新课标1，理23】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【答案】（I ）圆，222sin 10a ρρθ-+-=；（II ）1将θρθρsin ,cos ==y x 代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧==-+-,cos 4,01sin 222θρθρρa 若0≠ρ，由方程组得01cos sin 8cos 1622=-+-a θθθ，由已知2tan =θ，可得0cos sin 8cos162=-θθθ，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.6. 【2016新课标1，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像； （II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集.【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，)(x f y =的图像如图所示.（II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ；当1)(-=x f 时，可得31=x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{}31<<x x ；1)(-<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><531x x x 或， 所以1)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<<53131x x x x 或或. 【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.7.【2017新课标1，理22】选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线的普通方程为430x y +-=. 由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到的距离为d =. 当4a ≥-时，d.=，所以8a =； 当4a <-时，d.=16a =-. 综上，8a =或16a =-.【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.8.【2017新课标1，理23】选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含–1，1]，求a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以的取值范围为[1,1]-.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。