人教版数学七年级下册第八章二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法同步练习题

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人教版数学七年级下册第八章《8.4 三元一次方程组及其解法》课件

探究活动二：
自学提示：
自学课本38页-39页内容，思考下面的问题：
1.此方程和上一个方程组有何区别?不能将一个方程代入另外两个方程怎么办？ 2.能否先消去X（或Y)? 3.哪种方法更简便？
解方程组
2x-3y+4z= 3 ① （方法一：用代入法先消未知数z）
3x-2y+ z= 7 x+2y-3z=1
x= 1 y= -3 Z=-2
解方程组
2x-3y+4z= 3 ① （方法二：用加减法先消未知数x）
3x-2y+ z= 7 x+2y-3z=1
你②③能用加减法先消未知数y吗？
解：①-③×2，得 -7y+10z=1 ④
解这个二元一次方程组，得
｛ y=-3 z=-2
②-③×3，得 -4y+5z=2
得方程组
｛ -7y+10z=1 -4y+5z=2
代入③，得 x=1
所以原方程组的解为
x= 1 y= -3 Z=-2
解三元一次方程组的一般步骤是什么？
一般步骤： 1.利用代入法或加减法先消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组. 2.解二元一次方程组. 3.将二元一次方程组的解代入其中一个方程，求出第三个未知数.
思考：问题中有哪些等量关系?问题中有三个未知量该怎样设？
设该球队胜x场、平y场、负z场，可以得到关于x、y、z的三个方程：
x＋y＋z＝10， 3x＋y＝18， x＝4 y ＋ z ．这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，我们把这三个方程联立在一起，可写成
｛x＋y＋z＝10 3x＋y＝18 x＝4 y ＋ z
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是

人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。

七年级数学下册第八章二元一次方程组8-4三元一次方程组的解法作业新版新人教版

的值求出未知数 z 的值，最后解得这个三元一次方程组的解为___z_＝__1________
5．(10 分)解下列三元一次方程组：
2x＋y＝4， (1) x＋3z＝1，
x＋y＋z＝7；
z＝x＋y， (2) 3x－2y－2z＝－5，
2x＋y－z＝3.
x＝－2，解：(1)y＝8，
z＝1
x＝3， (2)y＝2，
三、解答题(共 36 分)
11．(8 分)解下列方程组： 2x＋3y＋z＝6，
(1) x－y＋2z＝－1， x＋2y－z＝5；
x∶y＝1∶5， (2) y∶z＝2∶3，
x＋y＋z＝27.
x＝2，解：y＝1，
z＝－1
x＝2，解：y＝10，
z＝15
12．(12分)我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．每辆汽车的运载量及每种脐橙每吨的获利如下表：
x＝3，
x＝2，
x＝3，
x＝1，
A． y＝2， B． y＝3， C． y＝1， D． y＝2，
z＝1
z＝1
z＝2
z＝3
3．(5 分)观察方程组32xx－＋yy＋－24zz＝＝311，，的系数特点，若要使求解简便，消元的 7x＋y－5z＝1
方法应选取( B )
A．先消去 x B．先消去 y
C．先消去 z D．以上说法都不对
z＋x－y＝7 A．1 B．2 C．－2 D．12
二、填空题(每小题 6 分，共 12 分)
ax－by＝8，
x＝1，
9．如果方程组 cy－bz＝1，的解是 y＝－2，则 a＝_2__，b＝_3___，c＝__1_．

人教版七年级数学下第8章二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法习题课件

脐橙品种
ABC
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/百元 12 16 10
如何安排三种脐橙装运，才能使此次销售获利达到 14.08 万元？
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
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解：设装运 A，B，C 三种脐橙的车辆数分别为 x，y，z 辆，
x＋y＋z＝20，
依题意，得6x＋5y＋4z＝100， 72x＋80y＋40z＝1 408.
3
7
＝__2__；将 x 的值代入变形得到的二元一次方程组中，求得 y＝__6__；最
5
后将 x 和 y 的值同时代入①得 z＝__6__.
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
七年级数学下册人教版
x＝－2，
y＝2，
y＝2，
3．方程组x＋y＝0，
的解是___z_＝__4______.
x－y＋z＝0
x＝2，解由①、④组成的方程组，得z＝1.
x＝2，将z＝1 代入③，得 y＝4.
x＝2，
∴原方程组的解为y＝4， z＝1.
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
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15．已知x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x，且 xyz≠0，求 x∶y∶z 的值．
解：设x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x＝k
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*8.4 三元一次方程组的解法
名师点拨
预习反馈
基础训练
能力训练
综合拓展
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1．三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想仍是消元．一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．

人教版七年级数学下册_8.4三元一次方程组的解法

农作物每公顷需每公顷需投入品种劳动力的设备资金
水稻 4人
1 万元
棉花 8人
1 万元
蔬菜 5人
2 万元
感悟新知
知3－练
已知该农场计划投入设备资金67 万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的设备资金正好够用？
感悟新知
知3－练
解：设种植水稻 x 公顷，棉花 y 公顷，蔬菜 z 公顷．
③与④组成二元一次方程组
2 5
x－y x＋8
7, y 7.
解得
把x=3，y=－1 代入①，得3+3×(－1)+2z=2，
x y
3, －1.
所以z=1.
x 3,
所以这个三元一次方程组的解为
y
－1,
z 1.
感悟新知
(2)① + ③，得3x+5y=11；④
知2－讲
③ ×2+ ②，得3x+3y=9，即x+y=3. ⑤
解：A 选项中，方程x2－y=1 与xz=2 中有含未知数的项
的次数为2 的，不符合三元一次方程组的定义，故A 选
项不是；B
选项中，1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故B
选项不是；
C 选项中，方程组含有四个未知数，故C 选项不是；
D 选项符合三元一次方程组的定义.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( B )
将 z＝2 代入方程②，得 y＝53.
x＝－34，故这个三元一次方程组的解为y＝53，
z＝2.
感悟新知
(3)②×2－③，得 5x＋27z＝34.④ ①和④组成方程组45xx－＋92z7＝z＝173，4，解得xz＝＝135.，

人教版数学七年级下册8.4.1 三元一次方程组的解法1 课件

活动2
怎么解三元一次方程组？
活动2
观察方程组：为了消掉x x y z 12 ① ② x 2 y 5 z 22 x 4y ③ 把③分别代入①②得
5 y z 12 6 y 5 z 22
基本思路
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
活动1
解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、 y张、 z张。
x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y
活动1
把三个方程合在一起写成
x y z 12 x 2 y 5 z 22 x 4y
三元一次方程组
三元一次方程组：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
人教版七年级数学下册
第八章二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
学习目标：

1．了解三元一次方程组的概念. 2．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路，会解三元一次方程.
重点：1、会解三元一次方程组. 2、体会“消元”的基本思想。难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法.

回顾知新
怎样解下列的方程组，有什么方法？ 6x-5y=3 ① x + y=22 ①
2x+y=40 ②
-6x+y= -15 ②
（代入消元法和加减消元法）
基本思路: 二元化归思想
ห้องสมุดไป่ตู้

人教版七年级数学下册 8-4 三元一次方程组的解法(同步练习)

第8章二元一次方程组*8.4三元一次方程组的解法班级：姓名：知识点1三元一次方程组的概念及解1.写一个三元一次方程组,使它的解为x=1,y=1,z=1,这个三元一次方程组为.2.以下方程中,属于三元一次方程组的是()A.ìíîïï2x +3y =4,2y +z =5,x 2+y =1 B.ìíîïïïï1x +1y +1z =16,3x -4y =3,x +z =2C.ìíîïïx +y +z =2,x -2y =3,y -6z =9D.ìíîïïx -y =2,2x -3y =4,2x -2y =43.三元一次方程组{x +y =1,y +z =5,z +x =6的解是()A.{x =1,y =0,z =5 B.{x =1,y =2,z =4C.{x =1,y =0,z =4D.{x =4,y =1,z =0知识点2解三元一次方程组4.解方程组ìíîïïïïx +y -z =11,①y +z -x =5,②z +x -y =1,③若要使运算简便,消元的方法应选()A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对5.解下列三元一次方程组:(1)ìíîïïy =2x -7,5x +3y +2z =2,3x -4z =4;(2)ìíîïïx +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y .6.解下列三元一次方程组:(1)ìíîïï3x -y +z =4,2x +3y -z =12,x +y +z =6;(2)ìíîïï2x +4y +3z =9,3x -2y +5z =11,5x -6y +7z =13;(3)ìíîïïïï4x +9y =12,3y -2z =1,7x +5z =434;(4)ìíîïï3x -y +2z =3,2x +y -3z =11,x +y +z =12.7.解方程组ìíîïï2x +3y +z =6,x -y +2z =-1,x +2y -z =5.8.解方程组ìíîïï3x +y -4z =13,5x -y +3z =5,x +y -z =3.9.解方程组:(1)ìíîïïïï2x +6y +3z =6,①3x +15y +7z =6,②4x -9y +4z =9;③(2)ìíîïïïïx +2y +3z =4,①3x +y +2z =5,②2x +3y +z =6.③知识点3解三元一次方程组的应用10.方程组{3x +5y =6,6x +15y =16的解也是方程3x+ky=10的解,则()A.k=6B.k=10C.k=9D.k=11011.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=1,y=kx-9有公共解,则k 的值为()A.3B.-3C.-4D.412.李红在做这样一个题目:在等式y=ax 2+bx+c 中,当x=1时,y=6;当x=2时,y=21;当x=-1时,y=0;当x=-2时,y 等于多少?她想,在求y 值之前应先求a,b,c 的值,你认为她的想法对吗?你能帮她求出a,b,c 的值吗?知识点4列三元一次方程组解应用题13.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购买铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需3.15元;若购买铅笔4支、练习本8本、圆珠笔2支共需4.2元,那么,购买铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需()A.1.2元B.1.05元C.0.95元D.0.9元14.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成,乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成,丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花、3750朵紫花,则黄花一共用了朵.15.一个三位数,个位与百位上的数的和等于十位上的数,百位上的数的7倍比个位与十位上的数的和大2,个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.综合点1根据方程组的特点,灵活选用解法16.解方程组:{x +y =9,y +z =11,x +z =10.17.解方程组:ìíîïïx ∶y =3∶2,y ∶z =5∶4,x +y +z =66.综合点2方程组与其他知识结合18.已知|x-8y|+2(4y-1)2+3|8z-3x|=0,求x+y+z的值.19.已知单项式-ab 11c y+z-x 与12a x+z-yb x+y-zc 5是同类项,求x,y,z 的值.拓展点1利用整体的思想解题20.有甲、乙、丙三种商品,如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱,购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱,那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元.拓展点2不定方程的整数解21.用100元买15张邮票,其中有4元、8元、10元三种面值,问可以怎么买?(列出三元一次方程组)第8章二元一次方程组*8.4三元一次方程组的解法答案与点拨1.不唯一,如:{x +y +z =3,2x -y =1,3y -z =2.(点拨:根据题意任意写出一个三元一次方程组,满足x=1,y=1,z=1就行,答案不唯一.)2.C3.A(点拨:可利用三元一次方程组解的定义逐个验证.)4.D(点拨:原方程组中,①+②可消去x,z,求出y;①+③可消去y,z,求出x;②+③可消去x,y,求出z;故选D.)5.(1)ìíîïïïïx =2,y =-3,z =12.(2){x =8,y =2,z =2.6.(1){x =2,y =3,z =1.(2)ìíîïïïïx =-1,y =12,z =3.(3)ìíîïïïïïïïïx =-34,y =53,z =2.(4){x =3,y =8,z =1.7.ìíîïï2x +3y +z =6,①x -y +2z =-1,②x +2y -z =5.③③+①得,3x+5y=11.④③×2+②得,3x+3y=9.⑤④-⑤得2y=2,y=1.将y=1代入⑤得,3x=6,x=2.将x=2,y=1代入①得,z=6-2×2-3×1=-1,∴原方程组的解为{x =2,y =1,z =-1.8.ìíîïï3x +y -4z =13,①5x -y +3z =5,②x +y -z =3.③①+②得z=8x-18,②+③×3得y=7-4x.把z=8x-18,y=7-4x,代入③得x=2,则z=-2,y=-1.所以原方程组的解是:{x =2,y =-1,z =-2.9.(1)ìíîïïïïx =5,y =13,z =-2.(2)ìíîïïïïïïïïx =76,y =76,z =16.10.B11.D(点拨:解{3x -y =7,2x +3y =1得:{x =2,y =-1,代入y=kx-9得:-1=2k-9,解得k=4.故选D.)12.她的想法正确.根据题意,得{a +b +c =6,4a +2b +c =21,a -b +c =0,解得{a =4,b =3,c =-1.∴该等式为y=4x 2+3x-1.∴当x=-2时,y=4×4-3×2-1=9,即y=9.13.B14.438015.设此数个位上数字为x,十位为y,百位为z,得{x +z =y,7z -(x +y )=2,x +y +z =14,解得{x =5,y =7,z =2,答:此三位数为275.16.{x =4,y =5,z =6.(点拨:三个方程相加得2x+2y+2z=9+10+11.)17.{x =30,y =20,z =16.18.由已知得{x -8y =0,4y -1=0,8z -3x =0,解之得ìíîïïïïïïïïx =2,y =14,z =34.∴x+y+z=2+14+34=3.19.由已知可得{x +z -y =1,x +y -z =11,y +z -x =5,解之得{x =6,y =8,z =3.20.15021.设4元、8元、10元三种面值邮票的张数分别为x,y,z 张,由题意得{x +y +z =15,4x +8y +10z =100,整理得4y+6z=40,则2y+3z=20,z=20-2y3,所以y=1,4,7,10,对应z=6,4,2,0.代入①求得x=8,7,6,5.所以方程组的解为{x =8,y =1,z =6;{x =7,y =4,z =4;{x =6,y =7,z =2;{x =5,y =10,z =0.也就是买8张4元,1张8元,6张10元或买7张4元,4张8元,4张10元或买6张4元,7张8元,2张10元或买5张4元,10张8元.。

人教版七年级初一数学下册第八章二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法

2x＋y＋3z＝5， (2)3x－2y－z＝6，
4x－3y＋2z＝4.
B.y＝－7 z＝－3
C.xy＝＝－3 2 D.xy＝＝75 z＝－7 z＝－3
2019/9/12
3
知识点 2：三元一次方程组的解法
3．对于方程组22xx＋＋3y＋y＝z＝5 6 ，最优的解法是先( C ) 3x－2y－z＝－2
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z－m＝4
a＝2 C.b＝3
xy＋z＝2 D.x＋yz＝4
b－c＝4 xz＋y＝6
2019/9/12
2
2．满足方程组xy－－yx－－zz＝＝51
的解是( D )
－x＋z－y＝－15
A.xy＝＝－－27 z＝4
x＝－5 感谢您下载包图网平台上提供的PPT作品，为了您和包图网以及原创作者的利益，请勿复制、传播、销售，否则将承担法律责任！包图网将对作品进行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
6
10．解方程组：
(1)23xx＋－yz＝＝73 x－y＋3z＝0
解：xy＝＝2－1 z＝－1
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二元一次方程组为__5_x_＋__9_y_＝__4_3___．
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8.4 三元一次方程组的解法人教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)

第八章　二元一次方程组*8.4　三元一次方程组的解法基础过关全练知识点1　三元一次方程(组)1.(2023河北唐山遵化期中)下列是三元一次方程组的是( )A.2x=5x2+y=7x+y+z=6-y+z=-22y+z=9=-3C.x+y-z=7xyz=1x-3y=4 D.x+y=2y+z=1x+z=9知识点2　三元一次方程组的解法2.(2021四川遂宁安居期中)解方程组3x-y+z=4①,2x+3y-z=12②,x+y-2z=3③,以下解法不正确的是( )A.由①②消去z,再由①③消去zB.由①③消去z,再由②③消去zC.由①③消去y,再由①②消去yD.由①②消去z,再由①③消去y3.(2023云南昆明十中期中)解方程组2x-y+3z=1,3x+y-7z=2,5x-y+3z=3,若要使运算简便,则消元时最好( )A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.先消常数项4.(2023天津南开期末)已知2x+3y=z,3x+4y=2z+6中的x,y满足x+y=3,则z 的值为( )A.9B.-3C.12D.不确定5.【新考法】请认真观察,动脑筋想一想,图中“?”表示的数是( )A.420B.240C.160D.706.在等式y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=-5;当x=2时,y=3;当x=-2时,y=11,则a= ,b= ,c= .7.一个三位数,个位,百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍比个位,十位上的数字的和大2,个位,十位,百位上的数字的和是14,则这个三位数是 .8.解方程组:(1)2x-3y+4z=12, x-y+3z=4,4x+y-3z=-2.(2)【一题多解】x+y=27,①y+z=33,②z+x=30.③9.【新独家原创】一只蜘蛛有8条腿,一只蜻蜓有6条腿和2对翅膀,一只小鸟有2条腿和1对翅膀.现在这三种动物共有14只,共有70条腿和17对翅膀,则每种动物各有几只?10.小明从家到学校的路程为3.3千米,且从家到学校分别为一段上坡路,一段平路和一段下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米,平路每小时行4千米,下坡路每小时行5千米.那么小明从家到学校要用一个小时,从学校到家要用44分钟,求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米.能力提升全练11.(2023浙江杭州拱墅期中,15,★★☆)若关于x,y的方程组3x+5y=m+2,2x+3y=m满足x、y的和等于3,则m= .12.(2022湖北武汉汉阳期末,14,★★☆)某联赛中A,B,C,D,E五支球队的积分和胜负情况如下表:队名比赛场次胜场平场负场积分A1684428B16016016C16012412D16286aE16b82c从中可知a= ,b= ,c= .13.(2023四川资阳安岳期中,13,★★☆)有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件、乙7件、丙1件共需63元;购买甲4件、乙10件、丙1件共需84元,则购买甲、乙、丙各一件共需元.14.(2022广东深圳龙岗月考,27,★★☆)A、B、C三个阀门,同时开放,1小时可注满水池.只开放A、C两个阀门,1.5小时可注满水池.只开放B、C两个阀门,2小时可注满水池.问:只开放A、B两个阀门,需多少时间才能注满水池?素养探究全练15.【运算能力】阅读材料:我们把多元方程(组)的非负整数解叫做这个方程(组)的“好解”.例如:x=1,y=8是方程3x+y=11的一组“好解”;x=1, y=2, z=3是方程组3x+2y+z=10,x+y+z=6的一组“好解”.(1)求方程x+2y=5的所有“好解”.(2)关于x,y,k的方程组x+y+k=15,x+5y+3k=27有“好解”吗?若有,请求出对应的所有“好解”;若没有,请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.DA选项,第二个方程中x2的次数是2;B选项,第一个方程中分母含有未知数;C选项,第二个方程中xyz的次数是3;D选项,方程组中含有三个未知数,且含未知数的项的次数都是1,故D选项中的方程组是三元一次方程组.故选D.2.D解方程组3x-y+z=4①,2x+3y-z=12②,x+y-2z=3③,利用加减法消去同一个未知数,组成二元一次方程组,故解法不正确的是由①②消去z,再由①③消去y.故选D.3.B观察各方程未知数x,y,z的系数发现:未知数y的系数要么相等,要么互为相反数,所以要使运算简便,那么消元时最好先消去y,故选B.4.B由题意,得2x+3y=z①,3x+4y=2z+6②, x+y=3③,①×2-②,得x+2y=-6④,④-③,得y=-9.把y=-9代入③,得x-9=3,解得x=12.把x=12,y=-9代入①,得z=2×12+3×(-9)=-3.5.B设题图中一个篮球表示的数是x,一顶帽子表示的数是y,一双鞋表示的数是z,依题意得x-3y+z=30②,2x-3z=20③,①+②,得2x+3z=140④,③+④,得4x=160,解得x=40,把x=40代入③得2×40-3z=20,解得z=20,把x=40,z=20代入①得40+3y+2×20=110,解得y=10,则方程组的解为x=40, y=10, z=20.故x+yz=40+10×20=240.故选B.6.3;-2;-5解析　根据题意,得c=-5,①4a+2b+c=3,②4a-2b+c=11,③②-③,得4b=-8,解得b=-2,把b=-2,c=-5代入②得4a-4-5=3,解得a=3,∴a=3,b=-2,c=-5.7.275解析　设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z.根据题意得x+z=y①,7z=x+y+2②,x+y+z=14③,把①代入③得2y=14,解得y=7,把y=7代入①得x+z=7④,把y=7代入②得7z=x+9⑤,④+⑤得8z=16,解得z=2,把z=2代入④得x+2=7,解得x=5,∴这个三位数为2×100+7×10+5=275.8.解析　(1)x -y +3z =4②,4x +y -3z =-2③,②+③,得5x=2,解得x=25,①+③×3,得14x-5z=6④,把x=25代入④得285-5z=6,解得z=-225.把x=25,z =―225代入②得25―y ―625=4,解得y=-9625.所以原方程组的解为x =25,y =-9625,z =-225.(2)解法一:由①+②+③得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45,④④-①,得z=18,④-②,得x=12,④-③,得y=15,所以原方程组的解为x =12,y =15,z =18.解法二:由①+②-③得2y=30,解得y=15,由①+③-②得2x=24,解得x=12,由②+③-①得2z=36,解得z=18,所以原方程组的解为x =12,y =15,z =18.解法三:由①得x=27-y,④把④代入③,得z+27-y=30,即z-y=3,⑤由②与⑤组成方程组,得y +z =33,z -y =3,解得y =15,z =18,把y=15代入④,得x=12,所以原方程组的解为x =12,y =15,z =18.9.解析　设蜘蛛有x 只,蜻蜓有y 只,小鸟有z 只,由题意得x +y +z =14,8x +6y +2z =70,2y +z =17,解得x =3,y =6,z =5.答:蜘蛛3只,蜻蜓6只,小鸟5只.10.解析　设小明家到学校上坡路是x 千米,平路是y 千米,下坡路是z 千米.+y +z =3.3,+y 4+z 5=1,+y 4+x5=4460,解得x =2.25,y =0.8,z =0.25.答:上坡路是2.25千米,平路是0.8千米,下坡路是0.25千米.能力提升全练11.5解析　由题意,得3x +5y =m +2①,2x +3y =m ②,x +y =3③,由①-②得x+2y=2④,联立③④得方程组x +y =3③,x +2y =2④,解得x =4,y =-1,把x =4,y =-1代入②得m=2×4+3×(-1)=5.12.14;6;26解析　设胜一场得x 分,平一场得y 分,负一场得z 分,∴8x+4y+4z=28,16y=16,12y+4z=12,∴x=3,y=1,z=0.a=2x+8y+6z=14,b=16-8-2=6,c=6x+8y+2z=26.故答案为14;6;26.13.21解析　设甲的单价为x元,乙的单价为y元,丙的单价为z元,根据题意,得3x+7y+z=63①, 4x+10y+z=84②,②-①得x+3y=21,∴3x+9y=63,由②得x+(3x+9y)+y+z=84,∴x+63+y+z=84,∴x+y+z=21.14.解析　设单独开放A、B、C三个阀门,分别需要x、y、z小时才能注满水池,易知x,y,z都不为0,+1+×1=1, +×1.5=1, +×2=1,∴1x =12,1y=13,1z=16,∴1x+1y=56,∴开放A、B两个阀门需要的时间为+=1÷56=65(小时),∴开放A、B两个阀门,需65小时才能注满水池.素养探究全练15.解析　(1)当y=0时,x=5;当y=1时,x=3;当y=2时,x=1,所以方程x+2y=5的所有“好解”为x =5,y =0,x =3,y =1,x =1,y =2.(2)有.x +y +k =15,①x +5y +3k =27.②②-①,得4y+2k=12,则k=6-2y.①×3-②,得2x-2y=18,则x=9+y.∵x,y,k 为非负整数,∴当y=0时,x=9,k=6;当y=1时,x=10,k=4;当y=2时,x=11,k=2;当y=3时,x=12,k=0,∴关于x,y,k 的方程组x +y +k =15,x +5y +3k =27的“好解”为x =9,y =0,k =6,x =10,y =1,k =4,x =11,y =2,k =2,x =12,y =3,k =0.。

七年级数学第八章二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法第1课时三元一次方程组的解法

解这个方程组，得z＝－3.
把x＝－1，z＝－3代入④，得y＝12，
x＝－1， ∴yz＝＝－12，3.
(方法二：用加减法)②×2，得 6x－4y－8z＝16.④ ①＋④，得8x－11z＝25.⑤ ②×(－3)，得－9x＋6y＋12z＝－24.⑥ ③＋⑥，得－4x＋7z＝－17.⑦ (以下解法同方法一，略)
x＋2z＝2， (2)若先消去y，可得含x，z的方程组是 ___x_－__3_z＝__7___(_答__案__不__唯__一_)_____；
x＋2y＝10， (3)若先消去z，可得含x，y的方程组是 ___x_－__3_y_＝_－__5__(_答__案__不__唯__一_)_____．
x＋y＋z＝12，① 4．[2017春·南召期末]解方程组x＋2y＋5z＝22，②
当堂测评
1．下列方程组中，为三元一次方程组的是( A )
A.ba＝＝21 b－c＝3
B.xy＋＋yz＝＝12 z＋c＝3
C.45xx－－32yy＝＝714 D.xx＋y＋yzz＝＝53
2x－y＝4
xz＋y＝7
2．解三元一次方程组aa＋＋b2－ b－c＝c＝13，，①② 2a－3b＋2c＝5.③
解：(方法一：用代入法)由②，得－2y＝8－3x＋4z， y＝－4＋32x－2z.④
把④代入①，得2x＋4－4＋32x－2z－3z＝9， 8x－11z＝25.⑤ 把④代入③，得5x－6－4＋32x－2z－5z＝7，－4x＋7z＝－17.⑥
⑤与⑥组成方程组为－8x－4x＋11z7＝z＝25－，17. x＝－1，
x－2y＝9，① 解方程组x＋y－z＝7，②
2x－3y＋z＝12.③
解：(方法一)由①，得x＝2y＋9.④ 把④分别代入②、③，得3y＋y－z＝z＝－－62. ，

人教版七年级数学下册精品教学课件第八章二元一次方程组三元一次方程组及其解法

第八章二元一次方程组 8.4 三元一次方程组及其解法
七年级数学·人教版
学习目标：
1.了解三元一次方程组的概念. 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想. 3.会解较复杂的三元一次方程组.
重点难点：
1.理解三元一次方程组的概念． 2.能解简单的三元一次方程组.
情景导入
y
5z
22,
x 4 y.
归纳：在这个方程组中，含有三个未知数，每个方程中所含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
例1 下列方程组中，是三元一次方程组的是( D )
x2 y 1,
A. y z 0,
xz 2
1 y 1, x
B. 1 z 2,
y
1x6 z
一元纸币的数量
x张
两元纸币的数量五元纸币的数量
y张
三个未知数（张）
z张
问题2：等量关系：用方程表示等量关系.
(1)一元纸币的数量+两元纸币的数量+五元纸币的数量=12 x+y+z=12.
(2)一元纸币的数量=4×两元纸币的数量 x=4y.
(3)一元纸币的数量+2×两元纸币的数量+5×五元纸币的数量=22 x+2y+5z=22.
z＋x－y＝1. ③
z＝___3____.
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
a b 1 0,
可得方程组 b 2a c 0,
2c b 0.
a 3,
解得 b 4,
c 2.

人教版数学七年级下册《8-4三元一次方程组的解法》教案

人教版数学七年级下册《8-4三元一次方程组的解法》教案一. 教材分析《8-4三元一次方程组的解法》是人教版数学七年级下册的一章内容。

本章主要介绍了三元一次方程组的解法，包括代入法、加减法和矩阵法。

通过本章的学习，学生能够掌握三元一次方程组的基本解法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了二元一次方程组的解法，具备了一定的方程组解法基础。

但是，对于三元一次方程组，学生可能存在一定的困惑和难度。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解和掌握三元一次方程组的解法，并通过实例让学生感受到方程组在实际问题中的应用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三元一次方程组的概念，掌握三元一次方程组的解法，并能够运用到实际问题中。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够自主探究三元一次方程组的解法，培养学生的解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：三元一次方程组的解法。

2.难点：三元一次方程组的解法的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究三元一次方程组的解法。

2.实例教学法：通过具体的实例，让学生理解和掌握三元一次方程组的解法。

3.小组合作学习：学生分组讨论和解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2.教学素材：实际问题实例、解法步骤图解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际问题实例，引导学生思考如何解决该问题。

通过问题的引入，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——三元一次方程组的解法。

2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，呈现三元一次方程组的解法：代入法、加减法和矩阵法。

引导学生理解和掌握每一种解法的步骤和应用。

3.操练（10分钟）学生分组讨论和解决问题，教师巡回指导。

人教版七年级下册数学： 8.4 三元一次方程组的解法 (共23张PPT)

把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路：三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚，根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①

七年级下- 4 三元一次方程组(解析版)

七年级下册数学《第八章二元一次方程组》8.4三元一次方程组◆◆1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程．◆◆2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；②未知数的项的次数是1；③方程组中一共有三个方程.（2）三元一次方程组不一定都是由三个三元一次方程合在一起组成的，其中有的方程也可以是一元一次方程或二元一次方程.◆◆1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.◆◆2、解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．◆◆列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组．（4）解方程组：解方程组求出未知数的值.（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．【例题1】下列方程组不是三元一次方程组的是（）A ．�+�=12�+�=−23�=6B ．�2−4=0�+1=��−�=−3C．�=22�=−3�−�=1D．�−�=−1�+�=3 2�−�=0【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；B、x2﹣4＝0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选：B．【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．【变式1-1】下列方程组是三元一次方程组的是（）A．3�+5�+�=−8�+�+�=3�−2�+�=21B．�=5�=2�=3C．�+�=3�+�=−1�+�=8D．�+�=92�−��=2�−�+�=0【分析】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【解答】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；B、满足三元一次方程组的定义，故选项正确；C、含有四个未知数，不满足三元一次方程组的定义，错误；D、ab，未知数的次数为2次，∴不是三元一次方程，故D选项错误；【点评】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组，二元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d＝0其中a、b、c不为零．【变式1-2】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（）A．�=3�=6�+�+�=0B．�+�=3�+�=0�+�=1C．3�+2�+�=184�−�+�=6�+�+2�=4D．2��+�=184��=6�−�−2�=4【分析】根据三元一次方程组的定义判断求解．【解答】解：A：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以A是三元一次方程组；B：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以B是三元一次方程组；C：含有三个未知数x，y，z，且最高次数是1，都是整式方程，所以C是三元一次方程组；D：含有三个未知数x，y，z，但是4xyz的次数是3，所以D不是三元一次方程组；故选：D．【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．【变式1-3】下列方程组中，是三元一次方程组的是（）A．�+�=2��+�=4�−�=1B．�−3�=4�+�=6�−2�=7C．�=9�−�=4�−�=5D．�+�=8�−�=3�−�=5【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：A 选项：方程的次数为2，错误；B 选项：有分式方程，错误；C 选项，有三个未知数，每个方程的次数是1，均为整式方程，正确；D 选项，有4个未知数，错误；故选：C ．【点评】本题考查了三元一次方程组的定义，理解三元一次方程的定义是解题的关键．【例题2】（2021春•普陀区期末）解方程组：�−2�=−12�+�+�=5�−3�−�=0．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：�−2�=−1①2�+�+�=5②�−3�−�=0③，②+③得：3x ﹣2y ＝5④，由④和①组成一个二次一次方程组�−2�=−13�−2�=5，解得：�=3�=2，把�=3�=2代入③3﹣6﹣z ＝0，解得：z ＝﹣3，所以原方程组的解是：�=3�=2�=−3．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-1】（2022春•南关区校级月考）解三元一次方程组�3�+2�+�=10②2�−�+�=−1③，如果消掉未知数z ，则应对方程组变形为（）A ．①+③，①×2﹣②B ．①+③，③×2+②C ．②﹣①，②﹣③D ．①﹣②，①×2﹣③【分析】观察z 的系数，利用加减消元法消去z 即可．【解答】解：解三元一次方程组�+�+�=3①3�+2�+�=10②2�−�+�=−1③，如果消掉未知数z ，则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．故选：C．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-2】（2021春•安居区期中）解方程组3�−�+�=4①2�+3�−�=12②�+�−2�=3③，以下解法不正确的是（）A．由①，②消去z，再由①，③消去zB．由①，③消去z，再由②，③消去zC．由①，③消去y，再由①，②消去yD．由①，②消去z，再由①，③消去y【分析】根据解三元一次方程组的思路，把三元转化为二元，即可解答．【解答】解：解方程组3�−�+�=4①2�+3�−�=12②�+�−2�=3③，利用加减法消去一个未知数，组成二元一次方程组，故以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．故选：D．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-3】解三元一次方程组�−�+�=−3，①�+2�−�=1，②�+�=0，③要使解法较为简便，首先应进行的变形为（）A ．①+②B ．①﹣②C ．①+③D ．②﹣③【分析】观察发现：第三个方程不含z ，故前两个方程相加消去z ，可将三元一次方程组转化为二元一次方程组来求解．【解答】解：解三元一次方程组�−�+�=−3①�+2�−�=1②�+�=0③要使解法较为简便，首先应进行的变形为①+②．故选：A ．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-4】（2022春•青龙县期末）三元一次方程组�−�=1�−�=1�+�=6的解是（）A ．�=2�=3�=4B ．�=2�=4�=3C ．�=3�=2�=4D ．�=4�=3�=2【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：�−�=1①�−�=1②�+�=6③，②+③得：x +y ＝7④，①+④得：2x ＝8，即x ＝4，把x ＝4代入①得：y ＝3，把x ＝4代入③得：z ＝2，则方程组的解为�=4�=3�=2，故选：D ．【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，解三元一次方程组的基本方法是利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到二元一次方程组，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值，再求出第三个未知数的值．【变式2-5】（2022春•海口期中）已知x +y ＝1，y +z ＝5，x +z ＝6，则xyz 等于（）A ．0B ．7C ．8D ．9【分析】①+②+③得出2x +2y +2z ＝12，求出x +y +z ＝6④，④﹣①求出z ，④﹣②求出x ，④﹣③求出y ，再求出答案即可．【解答】解：由题意得：�+�=1①�+�=5②�+�=6③，①+②+③，得2x +2y +2z ＝12，x +y +z ＝6④，④﹣①，得z ＝5，④﹣②，得x ＝1，④﹣③，得y ＝0，所以xyz ＝1×0×5＝0，故选：A ．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程是解此题的关键．【变式2-6】（2022春•绍兴期末）若关于x 、y 的二元一次方程组��−��=−2푐�+��=4的解为�=3�=2，则方程组��−��+2�+�=−2푐�+��−�=4−2푐的解为（）A ．�=1�=2B ．�=1�=3C ．�=2�=2D ．�=2�=3【分析】先将所求的方程组化简为�(�+2)−�(�−1)=2푐(�+2)+�(�−1)=4，再结合已知方程组的解可得�+2=3�−1=2，求解即可．【解答】解：化简方程组��−��+2�+�=−2푐�+��−�=4−2푐为方程组�(�+2)−�(�−1)=2푐(�+2)+�(�−1)=4，∵二元一次方程组��−��=−2푐�+��=4的解为�=3�=2，∴�+2=3�−1=2，解得�=1�=3，故选：B ．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解题是关键．【变式2-7】解下列三元一次方程组：（1）�+�=7，2�+�=6，�−�=7；（2）2�+2�+�=4，2�+�+2�=7，�+2�+2�=−6．【分析】各方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）�+�=7①2�+�=6②�−�=7③，②+③得：x +2y ＝13④，④﹣①得：y ＝6，把y ＝6代入④得：x ＝1，把x ＝1代入③得：z ＝﹣6，则方程组的解为�=1�=6�=−6；（2）2�+2�+�=4①2�+�+2�=7②�+2�+2�=−6③，②﹣③得：x ﹣y ＝13④，①×2﹣②得：2x +3y ＝1⑤，③×3+④得：5x ＝40，解得：x ＝8，把x ＝8代入④得：y ＝﹣5，把x ＝8，y ＝﹣5代入①得：z ＝﹣2，则方程组的解为�=8�=−5�=−2．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-8】解下列三元一次方程组：（1）�−4�+�=−32�+�−�=18，�−�−�=7；（2）�+�−3=0，2�−�+2�=2，�−�−�=−3．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）�−4�+�=−3①2�+�−�=18②�−�−�=7③，①+②得：3x ﹣3y ＝15，即x ﹣y ＝5④，①+③得：2x ﹣5y ＝4⑤，④×5﹣⑤得：3x ＝21，解得：x ＝7，把x ＝7代入④得：7﹣y ＝5，解得：y ＝2，把x ＝7，y ＝2代入③得：7﹣2﹣z ＝7，解得：z ＝﹣2，则方程组的解为�=7�=2�=−2；（2）�+�−3=0①2�−�+2�=2②�−�−�=−3③，②﹣③得：x +3z ＝5④，④﹣①得：2z ＝2，解得：z ＝1，把z ＝1代入①得：x +1﹣3＝0，解得：x ＝2，把x ＝2，z ＝1代入③得：2﹣y ﹣1＝﹣3，解得：y ＝4，则方程组的解为�=2�=4�=1．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-9】解下列三元一次方程组：（1）3�−�+2�=32�+�−3�=11�+�+�=12；（2）�：�=3：2�：�=2：1�+�+�=60【分析】（1）由①+②和①+③分别消去y ，再解关于x 和z 的二元一次方程组，再将解得的x 和z 值代入③，解出y 即可；（2）先将①和②分别用y 表示出x 和z ，再代入③即可解出y ，进而求出x 和z 即可．【解答】解：（1）3�−�+2�=3①2�+�−3�=11②�+�+�=12③①+②得5x ﹣z ＝14④①+③得4x +3z ＝15⑤④×3+⑤得19x ＝57∴x ＝3⑥将⑥代入④得15﹣z ＝14∴z ＝1⑦将⑥⑦代入③得y ＝8∴原方程组的解为：�=3�=8�=1．（2）�：�=3：2①�：�=2：1②�+�+�=60③由①得x =32�④由②得z =�2⑤将④⑤代入③得32�+y +�2=60∴y ＝20⑥将⑥分别代入④⑤得x ＝30，z ＝10∴原方程组的解为：�=30�=20�=10．【点评】本题是三元一次方程组的求解问题，分别可以用加减消元法和代入消元法化简成二元一次方程组，进而得解．【例题3】（2022春•荷塘区校级期中）已知代数式ax 2+bx +c ，当x ＝﹣1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为（）A ．4B ．8C ．62D ．52【分析】根据已知条件可知�+�+푐=8②�−�+푐=4①4�+2�+푐=25③，由此解方程组求出a 、b 、c 的值即可得到答案．【解答】解：由题意得知�+�+푐=8②�−�+푐=4①4�+2�+푐=25③，用①+②得：a +c ＝6④，用①×2+③得：2a +c ＝11⑤，用⑤﹣④得：a＝5，把a＝5代入④得：5+c＝6，解得c＝1，把a＝5，c＝1代入①得：5﹣b+1＝4，解得b＝2，∴ax2+bx+c＝5x2+2x+1，∴当x＝3时，ax2+bx+c＝5×32+2×3+1＝45+6+1＝52．故选：D．【点评】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（）A．3B．−163C．﹣2D．4【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k 值．【解答】解：3�−�=7①2�+3�=1②，把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x ＝22，得x ＝2，把x ＝2代入①得6﹣y ＝7，解得y ＝﹣1，将�=2�=−1代入y ＝kx ﹣9得2k ﹣9＝﹣1，解得k ＝4．故选：D ．【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．【变式3-2】（2022春•娄底期中）在等式y ＝ax 2+bx +c 中，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝﹣1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12，则a +b +c ＝（）A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】先把x ＝0时，y ＝2；x ＝﹣1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝12分别代入y ＝ax 2+bx +c ，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a ，b ，c 的值，进而求得结果．【解答】解：把x ＝0时，y ＝2；x ＝﹣1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝12分别代入y ＝ax 2+bx +c ，得2=푐0=�−�+푐12=4�+2�+푐，解得，�=1�=3푐=2，∴a +b +c ＝1+3+2＝6，故选：C ．【点评】此题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解．【变式3-3】（2022春•荣县校级期中）对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28，∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，②﹣①得：a+2b＝13，①+②得：7a+12b+2c＝43，则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，整理得：b﹣c＝24，∴2⊗3＝2a+3b+c＝2（a+2b）﹣（b﹣c）＝2×13﹣24＝26﹣24＝2．故选：A．【点评】本题主要考查解三元一次方程组，整体思想，解答的关键是由所给的条件得出：a+2b＝13，b﹣c＝24．【变式3-4】（2022•南京模拟）若方程组�−��+4�=1�−2��+3�=3的解是�=��=1�=푐，则a +b +6c的值是（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．6【分析】先把�=��=1�=푐代入原方程组，可得�−�+4푐①�−2�+3푐②，由①﹣②可得b ＝﹣2﹣c ，再把b ＝﹣2﹣c 代入①，可得a +5c ＝﹣1，然后代入，即可求解．【解答】解：∵方程组�−��+4�=1�−2��+3�=3的解是�=��=1�=푐，∴�−�+4푐=1①�−2�+3푐=3②，由①﹣②得：b +c ＝﹣2，∴b ＝﹣2﹣c ，把b ＝﹣2﹣c 代入①，得：a ﹣（﹣2﹣c ）+4c ＝1，∴a +5c ＝﹣1，∴a +b +6c ＝a +5c +b +c ＝﹣1﹣2＝﹣3．故选：A ．【点评】本题主要考查了三元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解方程组的解就是使方程组中每一个方程都成立的未知数的值是解题的关键．【变式3-5】已知方程组�+�=3��+�=5��+�=4�的解使式子x ﹣2y +3z 的值等于﹣10，求a 的值．【分析】把a 看作已知数求出方程组的解表示出x ，y ，z ，代入x ﹣2y +3z ＝﹣10中计算即可求出a 的值．【解答】解：�+�=3�①�+�=5�②�+�=4�③，①+②+③得：x+y+z＝6a，解得：z＝3a，x＝a，y＝2a，代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10，解得：a=−5 3．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．【变式3-6】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．（1）求a，b，c的值；（2）当x＝﹣3时，求y的值．【分析】（1）把x、y的值分别代入y＝ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；（2）求出y=73x2+113x+2，再把x＝﹣3代入，即可求出答案．【解答】解：（1）根据题意得：�+�+푐=8①푐=2②4�−2�+푐=4③，把②代入①，得a+b+2＝8④，把②代入③，得4a﹣2b+2＝4⑤，由④和⑤组成方程组�+�+2=84�−2�+2=4，解得：a =73，b =113，所以a =73，b =113，c ＝2；（2）由（1）得：y =73x 2+113x +2，当x ＝﹣3时，y =73×（﹣3）2+113×（﹣3）+2＝12．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．【例题4】（2022春•荣县校级期中）若�=3��+4�=0（y ≠0），则��=（）A ．65B ．−112C ．﹣12D ．112【分析】先观察所给方程组与所求代数式的特点可发现，所求代数式中不含未知数y ，故可用代入法把y 消去，直接求出x 、z 的比值．【解答】解：①可变形为y =�3⋯③，把③代入②得，�3+4z ＝0，去分母、移项得，x ＝﹣12z ，两边同除以12得��=−12．故选：C ．【点评】本题考查三元一次方程组，解答此题的关键是注意观察方程组中的方程与所求代数式之间的关系，消去所求代数式中不含有的未知数，利用等式的性质直接求出x 、z 的比值．【变式4-1】（2022春•巴东县期末）已知�=3��+4�=0，且y ≠0，则��的值为（）A ．34B ．−34C ．﹣12D ．12【分析】由②得出y ＝﹣4z ③，把③代入①得出x ＝3×（﹣4z ），求出x ＝﹣12z ，再等式两边都除以z 即可．【解答】解：�=3�①�+4�=0②，由②，得y ＝﹣4z ③，把③代入①，得x ＝3×（﹣4z ），即x ＝﹣12z ，等式两边都除以z 得：��=−12，故选：C ．【点评】本题考查了解三元一次方程组，能求出y ＝﹣4z 是解此题的关键．【变式4-2】（2021春•蓬溪县期中）已知3�+5�+3�=03�−5�−8�=0（z ≠0），则x ：y ：z ＝．【分析】把z 看作已知数表示出x 与y ，即可求出所求．【解答】解：方程组整理得：3�+5�=−3�①3�−5�=8�②，①+②得：6x ＝5z ，解得：x =56z ，①﹣②得：10y ＝﹣11z ，解得：y =−1110z ，则x ：y ：z =56z ：（−1110z ）：z ＝25：（﹣33）：30．故答案为：25：（﹣33）：30．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式4-3】设�2=�3=�4，则�−2�+3��+�+�的值为（）A ．27B ．23C ．89D ．57【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：设�2=�3=�4=k ，得到x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，则原式=2�−6�+12�2�+3�+4�=89．故选：C ．【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式4-4】（2022秋•海淀区校级期末）已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2�+�+�2�−�+�=．【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．【解答】解：x+y+7z＝0①，x﹣y﹣3z＝0②，①﹣②，得4y+10z＝0，即y＝﹣2.5z，①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，∴2�+�+�2�−�+�=−4�−2.5�+�−4�+2.5�+�=−5.5�−0.5�=11．故答案为：11．【点评】本题考查了解三元一次方程组，正确用z的代数式表示出x、y是解答本题的关键．【变式4-5】已知x、y、z都不为零，且4�−3�−3�=02�−3�+�=0，求式子�−3�+4�6�+�的值．【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可．【解答】解：4�−3�−3�=0①2�−3�+�=0②，①﹣②得：2x＝4z，解得：x＝2z，把x ＝2z 代入②得：y =53z ，把x ＝2z ，y =53z 代入�−3�+4�6�+�得：2�−5�+4�10�+�=111．【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用z 表示出x ，y 的值，再把x ，y的代入要求的式子，用到的知识点是代入法和加减法．【例题5】若|x ﹣3y +5|+（3x +y ﹣5）2+�+�−3�=0，求�+�+�的值．【分析】先根据非负数性质得出x 、y 、z 的三元一次方程组，解之求得x 、y 、z 的值，代入计算可得．【解答】解：∵若|x ﹣3y +5|+（3x +y ﹣5）2+�+�−3�=0，∴�−3�=−53�+�=5�+�=3�，解得：�=1�=2�=1，∴�+�+�=1+2+1=2．【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握非负数的性质、解方程组的能力．【变式5-1】已知x，y，z满足|x﹣2﹣z|+（3x﹣6y﹣7）2+|3y+3z﹣4|＝0．求x，y，z的值．【分析】已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，可组成方程组，求x、y、z的值．【解答】解：根据非负数的性质，得�−2−�=03�−6�−7=03�+3�−4=0①×3+③，得3x+3y﹣10＝0④④﹣③，得y=13，把y=13代入④得x＝3，把x＝3代入①得z＝1．∴原方程的解为�=3�=13�=1．故x＝3，y=13，z＝1．【点评】本题是方程组的运用，根据已知等式的特点，结合非负数的性质，组成方程组求解．【变式5-2】已知|x﹣8y|+2（4y﹣1）2+3|8z﹣3x|＝0，求x+y+z的值．【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可．【解答】解：由题意得�−8�=04�−1=08�−3�=0，解得�=2�=14�=34，故x +y +z ＝2+14+34=3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．【变式5-3】已知（a ﹣2b ﹣4）2+（2b +c ）2+|a ﹣4b +c |＝0，求3a +b ﹣c 的值．【分析】根据题意列出三元一次方程组，再根据解三元一次方程组的步骤求出a ，b ，c 的值，再把它代入3a +b ﹣c 中，进行计算即可．【解答】解：∵（a ﹣2b ﹣4）2+（2b +c ）2+|a ﹣4b +c |＝0，∴a ﹣2b ﹣4＝0，2b +c ＝0，a ﹣4b +c ＝0，∴�−2�−4=02�+푐=0�−4�+푐=0，解得：�=6�=1푐=−2，则3a +b ﹣c ＝3×6+1﹣（﹣2）＝21．【点评】此题考查了解三元一次方程组和绝对值，偶次方，解题的关键是根据绝对值，偶次方列出三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值．【变式5-4】已知|a ﹣c ﹣2|+�−9�+（3b +3c ﹣4）2＝0，求a 2016b 2015c 2017﹣a 的值．【分析】首先由非负数的性质得出三元一次方程组，进一步解方程组求得答案即可．【解答】解：∵|a ﹣c ﹣2|+�−9�+（3b +3c ﹣4）2＝0，∴�−푐−2=0�−9�=03�+3푐−4=0，解得：�=3�=13푐=1，∴a 2016b 2015c 2017﹣a＝32016×（13）2015×12017﹣3＝3﹣3＝0．【点评】此题考查解三元一次方程组，非负数的性质，利用非负数的性质建立方程组是解决问题的关键．【变式5-5】若x ，y ，z 满足关系式|4x ﹣4y +1|+（z −12）2＝0，求x 2（y ﹣z ）的值．【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x ，y ，z 的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵|4x ﹣4y +1|+（z −12）2＝0，∴4�−4�+1=02�+�=0�−12=0，解得：x=−12，y=−14，z=12，则原式=14×（−14−12）=−316．【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式5-6】已知x，y，z满足|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，求xyz的值．【分析】利用非负数的性质，将所给的绝对值方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解决问题．【解答】解：∵|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|＝﹣（3y+2z﹣13）2，∴|x﹣z﹣2|+|3x﹣3y﹣3|+（3y+2z﹣13）2＝0，∵|x﹣z﹣2|≥0，|3x﹣3y﹣3|≥0，（3y+2z﹣13）2≥0，∴�−�−2=0①3�−3�−3=0②3�+2�−13=0③，由②÷3得：x﹣y﹣1＝0④，由①﹣④得：y﹣z﹣1＝0⑤，由③+2×⑤得：5y＝15，y＝3；将y＝3代入④得：x＝4；将y＝3代入⑤得：z＝2，∴xyz＝24．【点评】该题主要考查了非负数的应用、三元一次方程组的解法及其应用问题等重要代数知识点；对求解运算能力、整体代换思想等均提出了较高的要求．【例题6】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍，百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和，个位、十位、百位上的数字的和是12．求这个三位数．【分析】设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z，因为个位、百位上的数字的和等于十位上数字的2倍可列x+z＝2y，因为百位上的数字的3倍等于个位、十位上的数字的和可列3z＝x+y，因为个位、十位、百位上的数字的和是12可列x+y+z＝12，再用消元法求出x，y，z即可．【解答】解：设个位、十位、百位上的数字分别是x，y，z．由题意可列：�+�=2�①3�=�+�②�+�+�=12③，将②代入③得：4z＝12，∴z＝3，将z代入①，②得：�−2�=−3④�+�=9⑤，⑤﹣④，得：3y＝12，解得：y＝4，将y＝4代入⑤，得：x＝5，∴方程组的解为�=5�=4�=3，答：这个数是543．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．（2022春•宜阳县期中）已知某个三角形的周长为18cm ，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的13，求这个三角形三边的长度．【分析】设这个三角形的三边长分别为a 、b 、c ．根据题意列出方程组并解答．【解答】解：设这个三角形的三边长分别为acm 、bcm 、ccm ．依题意得：�+�+푐=18�+�=2푐�−�=13푐，解得�=7�=5푐=6．答：这个三角形的三边长分别为7cm 、5cm 、6cm ．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．【变式6-2】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文a +1，﹣a +2b +4，b +3c +9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（）A ．6，2，7B ．2，6，7C ．6，7，2D ．7，2，6【分析】根据“加密规则为：明文a ，b ，c ，对应密文a +1，﹣a +2b +4，b +3c +9”，即可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：依题意得：�+1=7−�+2�+4=12�+3푐+9=22，解得：�=6�=7푐=2．故选：C ．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．【变式6-3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？【分析】首先种植水稻x 公顷，棉花y 公顷，蔬菜为z 公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设种植水稻x 公顷，棉花y 公顷，蔬菜为z 公顷，由题意得：�+�+2�=674�+8�+5�=300�+�+�=51，解得：�=15�=20�=16，答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．【变式6-4】甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km ，平路每小时走4km ，下坡每小时走5km ，那么从甲地到乙地需51min ，从乙地到甲地需53.4min ，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？【分析】设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x 千米，y 千米，z 千米，根据全程3.3km ，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x 千米，y 千米，z 千米，根据题意得：+�+�=3.3�4+�5=5160�3+�4+�5=53.460，解得�=1.2�=0.6�=1.5．答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．【点评】此题考查了三元一次方程组的应用，解答此题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．【变式6-5】（2022•南京模拟）有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购买甲、乙、丙各1件，共需（）A．105元B．210元C．170元D．不能确定【分析】等量关系为：甲3件的总价+乙7件的总价+丙1件的总价＝315，4件的总价+乙10件的总价+丙1件的总价＝420，把相关数值代入，都整理为等式左边为x+y+z的等式，设法消去等号右边含未知数的项，可得甲、乙、丙各1件共需的费用．【解答】解：设购买甲、乙、丙各1件分别需要x，y，z元，则依题意3�+7�+�=315①4�+10�+�=420②，由①×3﹣②×2得，x+y+z＝105，即现在购买甲、乙、丙各1件，共需105元．故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用；根据总价得到2个等量关系是解决本题的关键；难点是把2个等式整理为只含（x+y+z）的等式．【变式6-6】小红在学校商店买了3支钢笔，1本练习本，2支中性笔共花13元，小颖买了2支钢笔，4本练习本，3支中性笔共花17元，小明打算在该商店买20支钢笔，20本练习本，20支中性笔寄给四川地震灾区的小朋友，他只有120元的压岁钱，请你帮他算一下，他的钱够吗？【分析】设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元．利用题中已知条件列出方程组，3�+�+2푐=13①，由此可以求得（a+b+c）的值，所以通过比较20（a+b+c）与120 2�+4�+3푐=17②的大小可以作出判断．【解答】解：设钢笔每支a元，练习本b元，中性笔c元，则3�+�+2푐=13①，2�+4�+3푐=17②①+②得，5a+5b+5c＝30，所以，20a+20b+20c＝4×30＝120（元），即120元的压岁钱够购买20支钢笔，20本练习本，20支中性．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．解方程组时，根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．【例题7】（2022春•嘉鱼县期末）现有1元，5元，10元纸币各10张混在一起，从中任意抽取21张纸币合计100元，则抽取的纸币中10元纸币有（）张A．7B．6C．5D．3【分析】根据题意列三元一次方程组，再分情况讨论出结果或把选项中的数值一一代入验证即可．【解答】解：设1元、5元、10元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意得：�+�+�=21①�+5�+10�=100②，由①得：x＝21﹣y﹣z，把x＝21﹣y﹣z代入②得：21﹣y﹣z+5y+10z＝100，得：9z+4y＝79，∵x、y、z都是正整数，∴把z＝7、6、5、3分别代入等式，只有当z＝7时，y是正整数，∴选项A符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三元一次方程组，做题关键是能根据题意列出方程组，解方程组，分情况讨论确定答案．【变式7-1】（2022秋•朝阳区期末）某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）【分析】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用；（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意列出方程和不等式，然后求整数解即可．【解答】解：（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为：2×5+3×6+4×9＝64（元），故答案为：64；（2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个，根据题意得：2x+3y+4z＝28，①当0≤x＜3时，5x+6y+9z≤58，∵x，y，z都为正整数，∴x＝2时，y＝8，z＝0（不符合题意舍去），②当3≤x时，5x+6y+9z﹣4≤58，。

七年级数学下8.4三元一次方程组的解法(人教版)全面版

2 2，
x 4 y．
如何解这个三元一次方程组呢？
（1）二元一次方程组是如何求解的？（2）三元一次方程组可不可以用类似的方法求解？
x y z 1 2，
①

x

2
y

5z

2 2，
②
x 4 y．
③
对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？
将③代入①②，得
基本方法：代入法和加减法；实质：消元．
二元一次方程组消元
一元一次方程
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
分析：（1）题目中有几个未知量？（2）题目中有哪些等量关系？（3）如何用方程表示这些等量关系？
第八章二元一次方程组
*8.4 三元一次方程组的解法
学习目标：（1）了解三元一次方程组的概念；（2）能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．（3）会解较复杂的三元一次方程组．
学习重点：会用消元法解三元一次方程组．
（1）二元一次方程组的概念是什么？（2）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？
x 4 y，
③与④组成方程组

4
x

3
y

38．
解这个方程组，得

x y

8， 2．
把 x=8，y=2代入①，得
82z12
所以 z=2.
因此，这个三元一次方程组的解为
x 8，

y

2，
z 2 ．

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人教版数学七年级下册第八章二元一次方程组 8.4 三元一次方程组的解法同步练习
题
1．下列方程是三元一次方程的是____．(填序号)
①x ＋y －z ＝1; ②4xy ＋3z ＝7； ③2x
＋y －7z ＝0; ④6x ＋4y －2＝0. 2．下列是三元一次方程组的是( )
A.⎩⎨⎧2x ＝5x 2＋y ＝7x ＋y ＋z ＝6
B.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋z ＝－2x －2y ＋z ＝9y ＝－3
C.⎩⎨⎧x ＋y －z ＝7xyz ＝1x －3y ＝4
D.⎩⎨⎧x ＋y ＝2y ＋z ＝1x ＋z ＝9 3．解方程组⎩⎨⎧3x －y ＋3z ＝3，2x ＋y －4z ＝11，7x ＋y －5z ＝1，
若要使运算简便，消元的方法应选( )
A ．消去x
B ．消去y
C ．消去z
D ．以上说法都不对
4．下列四组数值中，是方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝1，3x －y －z ＝2
的解是( )
A.⎩⎨⎧x ＝0y ＝1z ＝－2
B.⎩⎨⎧x ＝1y ＝0z ＝1
C.⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1z ＝0
D.⎩⎨⎧x ＝1
y ＝－2z ＝3
5．三元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝7，
x ＋z ＝8，y ＋z ＝9
的解是____．
6．解下列三元一次方程组：
(1)⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，3x －z ＝7，x －y ＋3z ＝0；
(2)⎩⎨⎧2x ＋3y ＋4z ＝15，
4x ＋6y －3z ＝8，x －2y ＋z ＝－5.
7．一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，则这个三位数是____．
8．在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12，则a ＝____，b ＝____，c ＝____．
9. 为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a ，b ，c 时，则接收方对应收到的密码为A ，B ，C.双方约定：A ＝2a －b ，B ＝2b ，C ＝b ＋c ，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.
(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？
(2)当接收方收到一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密码是多少？
10．已知方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝k ，2x ＋y ＝1
的解满足x ＋y ＝3，则k 的值为( ) A ．10 B ．8 C ．2 D ．－8
11．有甲、乙、丙三种布料，已知每米甲种布料比乙种贵2元，每米乙种布料比丙种贵3元，且3米长的甲种布料、2米长的乙种布料与4米长的丙种布料的总价为156元，则甲、乙、丙三种布料的售价分别是每米( )
A ．20元，18元，15元
B ．22元，20元，12元
C ．19元，17元，14元
D ．25元，23元，14元
12．单项式12a x ＋y －z b 5c x ＋z －y 与－12
a 11
b y ＋z －x
c 的和等于0，则x ＝____，y ＝____，z ＝____. 13．解方程组：
(1)⎩⎨⎧x －2y ＋z ＝0，①3x ＋y －2z ＝0，②7x ＋6y ＋7z ＝100；③
(2)⎩⎨⎧x ∶y ＝1∶5，①
y ∶z ＝2∶3，②x ＋y ＋z ＝27.③
14．若|x －3y ＋5|＋(3x ＋y －5)2＋x ＋y －3z ＝0，求x ＋y ＋z 的值．
15. 如果方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝3，y ＋z －x ＝5，z ＋x －y ＝7
的解使kx ＋2y －z ＝7，求k 的值．
16．甲地到乙地全程是3.3 km ，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3 km ，平路每小时走4 km ，下坡每小时走5 km ，那么从甲地到乙地需51 min ，从乙地到甲地需53.4
min ，求从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
答案：
1. ①
2. D
3. B
4. D
5. ⎩⎨⎧x ＝3y ＝4z ＝5
6. (1) 解：⎩⎨⎧x ＝2
y ＝－1z ＝－1
(2) 解：⎩⎨⎧x ＝－1
y ＝3z ＝2
7. 275
8. 1 3 2
9. 解：(1)由题意得A ＝2×2－3＝1，B ＝2×3＝6，C ＝3＋5＝8，则接收方收到的密码是1，
6，8 (2)由题意得⎩⎨⎧2a －b ＝2，2b ＝8，b ＋c ＝11，解得⎩⎨⎧a ＝3，
b ＝4，
c ＝7，
则发送方发出的密码是3，4，7
10. B
11. A
12. 6 8 3
13. (1) 解：⎩⎨⎧x ＝3y ＝5z ＝7
(2) 解：⎩⎨⎧x ＝2
y ＝10z ＝15
14. 解：由题意得⎩⎨⎧x －3y ＋5＝0，3x ＋y －5＝0，x ＋y －3z ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，
y ＝2，z ＝1，∴
x ＋y ＋z ＝1＋2＋1＝4＝2
15. 解：解方程组⎩⎨⎧x ＋y －z ＝3，y ＋z －x ＝5，z ＋x －y ＝7得⎩⎨⎧x ＝5，
y ＝4，z ＝6，
∴5k ＋2×4－6＝7，∴k ＝1
16. 解：设甲地到乙地上坡、平路、下坡路各是x km ，y km ，z km ，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝3.3，
x 3＋y 4＋z 5＝5160，z 3＋y 4＋x 5＝53.460
，解得⎩⎨⎧x ＝1.2，
y ＝0.6，z ＝1.5.则甲地到乙地上坡路1.2 km 、平路0.6 km 、下坡路1.5 km
初中数学试卷。