【小初高学习]2017年中考数学专项复习(5)《圆周角》练习(无答案) 浙教版
九年级数学上册3.5圆周角同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.5 圆周角一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，点A、B、M在⊙O上的动点，要是△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 ( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，P为正三角形ABC外接圆上一点，则∠APB= ( )．A. 150∘B. 135∘C. 115∘D. 120∘3. 如图，⊙O中，∠CBO=45∘，∠CAO=15∘，则∠AOB的度数是 ( )A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，OD，若∠DOB=140∘，则∠ACD= ( )A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45∘，则∠B的度数为 ( )A. 30∘B. 35∘C. 40∘D. 45∘6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为 ( )A. 45∘B. 50∘C. 60∘D. 75∘7. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72∘，则∠BCO的度数为 ( )A. 15∘B. 18∘C. 20∘D. 28∘8. 如图所示，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AO1并延长交⊙O1于点C，则∠ACO2的度数为 ( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 20∘9. 如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC= 54∘，连接AE，则∠AEB的度数为 ( )A. 36∘B. 46∘C. 27∘D. 63∘10. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O，点F在AD上，AD=3AF，△AOF的外接圆交AB于E，则AEAF的值为 ( )A. 32B. 3 C. 53D. 2二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，已知AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，∠BOC=100∘，则∠B的度数为．12. 如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45∘，则四边形MANB面积的最大值是．13. 如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45∘，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是14. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30∘，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．15. 直径为10 cm的⊙O中，弦AB=5 cm，则弦AB所对的圆周角是．16. 如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55∘，则∠BOC的度数是．17. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35∘，则∠B+∠E=．18. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50∘，∠B=30∘则∠ADC的度数为．⏜的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的19. 如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN半径为1，则AP+BP的最小值是．20. 如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45∘，以4√2为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D．Ⅰ如图1，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC=∠CBE；Ⅱ如图2，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O交于点E，连接BE，（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OCB的外接圆与y轴交于点A(0,√2)，∠OCB=60∘，∠COB=45∘，求OC的长．23. 如图，△ABC外接圆⊙O半径为r，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D，BE、AD交于点K，AK=r．求∠BAC的度数．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. D6. C7. B8. C9. A 10. D第二部分11. 25∘12. 4√13. 3√14. 10.515. 30∘或150∘16. 70∘17. 215∘18. 110∘19. √20. 2+2√2+2√7第三部分21. （1）2（2）（1）中∠BAC与∠CBE的数量关系成立．证明：连接AD．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90∘．∴∠AEB+∠ADB=180∘．∵∠AEB+∠ADB+∠CBE+∠EAD=360∘，∴∠CBE+∠EAD=180∘．∵∠DAC+∠EAD=180∘，∴∠CBE=∠DAC．∵AB=AC，∴∠BAC=2∠DAC．∴∠BAC=2∠CBE．22. 连接AB、AC，作AD⊥OC于D．∵∠AOB=90∘∴AB为直径．⏜=BO⏜，∠AOB=90∘，∵BO∴∠OAB=∠OCB=60∘，∴∠ABO=∠ACO=30∘．∵∠COB=45∘，∴∠CAB=45∘．∵AB为直径，∴∠ACB=90∘，∴∠ABC=45∘，∴∠AOC=45∘．∵OA=√2，∴AD=OD=1，∴CD=√=√，∴OC=1+√23. 连接AO并延长与⊙O交于点H，延长BE与⊙O交于点F，连接AF，OF，CH，如图．∵∠AKF+∠KAE=90∘，∠KAE+∠ACD=90∘，∴∠AKF=∠ACD．∵∠ACD=∠AFK，∴∠AKF=∠AFK．∴AF=AK=r．∴△AOF是等边三角形．∴∠OAF=60∘．∵AH是⊙O的直径，∴∠ACH=90∘．∴CH∥BF．∴∠CBF=∠BCH．∵∠BCH=∠BAH，∠CBF=∠CAF，∴∠BAH=∠CAF．∵∠OAF=60∘．∴∠BAC=60∘．。
2017年中考数学专项复习《圆周角1》练习 浙教版 精品
圆周角（01）一、选择题1．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45° B．40° C．25° D．20°2．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25° B．50° C．60° D．30°3．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45° B．30° C．75° D．60°4．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）A．60° B．120°C．60°或120°D．30°或150°5．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（）A．60° B．48° C．30° D．24°6．如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（）A．68° B．88° C．90° D．112°7．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80° B．100°C．110°D．130°8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15° B．18° C．20° D．28°9．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50° B．40° C．30° D．25°10．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B，C的一点，则∠A的度数为（）A．60° B．70° C．80° D．90°11．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°12．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（）A．∠A=∠D B． =C．∠ACB=90°D．∠COB=3∠D二、填空题13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= ．14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．15．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC 的度数为．16．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为．17．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．19．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．20．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD= 度．21．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C= 度．22．如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC=80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连接PC，则∠APC的度数是度（写出一个即可）．23．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．24．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= 度．25．如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．26．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A、B的读数分别为100°、150°，则∠ACB的大小为度．三、解答题27．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．28．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．29．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．30．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC=6cm，AC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．圆周角（01）参考答案一、选择题（共12小题）1．D；2．A；3．D；4．C；5．D；6．B；7．D；8．B；9．D；10．D；11．C；12．D；二、填空题（共14小题）13．40°；14．100；15．110°；16．；17．50°；18．70；19．61°；20．50；21．35；22．30；23．①②④；24．36；25．30°；26．25；三、解答题（共4小题）27．；28．；29．等边三角形；30．；。
九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题圆周角定理的综合运用随堂练习(含解析)(新版)浙教版
微专题__圆周角定理的综合运用_一巧作辅助线教材P91作业题第5题)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数．图1 教材母题答图解：如答图，连结DC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°，∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°.【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角．[2016·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B )A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°图2 变形1答图【解析】如答图，连结OB.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，OC∥AB，又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF ＝12∠BOF ＝15°.故选B.如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°图3 变形2答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝12∠BOC ＝45°.如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°图4 变形3答图【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵，∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B.如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径．图5 变形4答图解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝12.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝5. 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OA －AD ＝r －5. 在Rt △OBD 中，由勾股定理得BD 2＋OD 2＝OB 2， 即122＋(r －5)2＝r 2，解得r ＝16.9， 即⊙O 的半径为16.9.如图6，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 交AC 于点D .若∠A ＝30°，OD ＝20，求CD 的长．图6 变形5答图解：如答图，连结BC .∵OD ⊥AB ，∠A ＝30°，OD ＝20，∴AD ＝2OD ＝40，∴OA ＝AD 2－OD 2＝20 3. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ＝2OA ＝403，且∠ACB ＝90°， ∴BC ＝12AB ＝203，∴AC ＝AB 2－BC 2＝60，∴CD ＝AC －AD ＝60－40＝20.二 圆周角定理与直角三角形、全等三角形等知识的综合运用教材P93作业题第5题)一个圆形人工湖如图7所示，弦AB 是湖上的一座桥．已知AB 长为100 m ，圆周角∠C ＝45°.求这个人工湖的直径．图7 教材母题答图解：如答图，设圆心为O，连结OA，OB.∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°，∴OA＝AB2＝502(m)，∴这个人工湖的直径为2OA＝1002(m)．【思想方法】直角三角形与圆周角定理的综合运用一般是通过圆周角定理进行角度转换，利用直角三角形的相关知识求解．[2016·嘉善模拟]如图8，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE.若CE＝2，则BD的长为．图8 变形1答图【解析】如答图，延长BA，CE交于点M.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠CAM＝90°，∠BEC＝∠BEM＝90°，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACM，∴△ABD≌△ACM，∴BD＝CM，∵BE平分∠ABC，∴∠EBM＝∠EBC，∵BE＝BE，∠BEC＝∠BEM，∴△BEC≌△BEM，∴EC＝EM，∴BD＝CM＝2CE＝2 2.如图9，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连结AD，请添加一个条件__AB＝AC或BD＝CD或∠B＝∠C或∠BAD＝∠CAD__，使△ABD≌△ACD.图9如图10，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，求⊙O的半径．图10 变形3答图解：如答图，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结BD . ∵∠D ，∠C 所对的圆弧都为AB ︵， ∴∠D ＝∠C ＝30°.∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°， ∴AD ＝2AB ＝4(cm)，∴AO ＝12AD ＝2(cm)，即⊙O 的半径为2 cm.在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E . (1)如图11①，∠E 的度数为__60°__；(2)如图②，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图③，弦AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．图11解：(1)如答图①，连结OD ，OC ，BD . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DBC ＝30°， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠E ＝90°－30°＝60°，∴∠E 的度数为60°；(2)补全图形如答图②，直线AD ，CB 交于点E ，连结OD ，OC ，AC . ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°， ∵∠DAC ＋∠DBC ＝12×360°＝180°，∴∠DBC＝150°，∴∠EBD＝180°－∠DBC＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE＝90°，∴∠E＝90°－30°＝60°；(3)如答图③，连结OD，OC，BD.∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°.①②③变形4答图三圆周角定理的创新应用(教材P92例3)如图12，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝50°.问：船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？图12解：当张角∠ASB<∠ACB时，船在弓形暗礁区外；当张角∠ASB＝∠ACB时，船在弓形暗礁区边上；当张角∠ASB>∠ACB时，船在弓形暗礁区内，∴要使船保证不进入暗礁区，必须使∠ASB<∠ACB，即∠ASB<50°.【思想方法】由圆周角定理知，同弧上的圆周角相等，应用在航海上，常常用来考查动点问题．如图13，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为( D )图13A.74 B ．1 C.74或1 D.74或1或94【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵在Rt △ABC 中，BC ＝2 cm ，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝4(cm)． ①当∠BFE ＝90°时，∵在Rt △BEF 中，∠ABC ＝60°，则∠BEF ＝30°， ∴BE ＝2BF ＝2(cm)，∴AE ＝AB －BE ＝2(cm)，∴E 点运动的距离为2 cm 或6 cm ，故t ＝1 s 或3 s ， 由于0≤t ＜3，故t ＝3 s 不合题意，舍去， ∴当∠BFE ＝90°时，t ＝1 s ；②当∠BEF ＝90°时，同①可求得BE ＝12 cm ，此时AE ＝AB －BE ＝72(cm)，∴E 点运动的距离为72 cm 或92 cm ，∴t ＝74 s 或94s.综上所述，当t 的值为1或74或94时，△BEF 是直角三角形．故选D.[2016·山西]请阅读下列材料，并完成相应的任务．阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯学者Al －Biruni(973～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联一家出版社在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．。
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。
中考数学总复习练习题附答案 (5)
中考总复习数学练习题一、选择题1．下列算式中，积为正数的是（ ）A ．（－2）×（＋21）B ．（－6）×（－2）C ．0×（－1）D ．（＋5）×（－2） 答案：D解析：B; 2．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确答案：A解析：【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是 把3化为 (52)(52)+-了.二、填空题3．在图形的平移中，下列说法中错误的是（ ）.A ．图形上任意点移动的方向相同；B ．图形上任意点移动的距离相同C ．图形上可能存在不动点；D ．图形上任意对应点的连线长相等答案：C解析：【答案】C.4．如图是一个包装纸盒的三视图（单位：cm ），则制作一个纸盒所需纸板的面积是（ ）A ．275(13)cm +B ．217513cm 2⎛⎝ C ．275(23)cm +D ．217523cm 2⎛⎫+⎪⎝⎭答案：C 解析：【答案】C ；【解析】由三视图知此包装纸盒是一个正六棱柱，其全面积22356255675315075(23)cm S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+． 二、填空题5．（2014•天水）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，则△ABE 和BC ′F 的周长之和为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8答案：C解析：【答案】C ．【解析】将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，由折叠特性可得，CD=BC ′=AB ，∠FC ′B=∠EAB=90°，∠EBC ′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C ′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C ′BF在△BAE 和△BC ′F 中，∴△BAE ≌△BC ′F （ASA ），∵△ABE 的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE 和△BC ′F 的周长=2△ABE 的周长=2×3=6．故选：C ．6．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD =AB 2其中正确的结论有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：C解析：【答案】C ．【解析】①由菱形的性质可得△ABD 、BDC 是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE ⊥AB ，∴可得DG=CG （30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG ，故可得出BG+DG=CG ，即②也正确；③首先可得对应边BG ≠FD ，因为BG=DG ，DG ＞FD ，故可得△BDF 不全等△CGB ，即③错误； ④S △ABD =AB •DE=AB •（BE ）=AB •AB=AB 2，即④正确．综上可得①②④正确，共3个．7．（2015•武汉模拟）二次函数y=kx 2﹣6x+3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜3B ． k ＜3且k≠0C ． k≤3D ． k≤3且k≠0 答案：D解析：【答案】D ；【解析】∵二次函数y=kx 2﹣6x+3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2﹣6x+3=0（k≠0）有实数根，即△=36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k 的取值范围是k≤3且k≠0． 故选D ．8．若123A(-3,y )B(-2,y )C(-1,y )、、，三点都在函数1y x=-的图象上，则123y y y 、、的大小关系是( )A. 123y y y ＜＜B. 123==y y yC. 132y y y ＜＜D. 123y y y ＞＞ 答案：A解析：【答案】A ；【解析】主要考查反比例函数的图象和性质.解答时，应先画出1y x=-的图象，如图，然后把 123A(-3,y )B(-2,y )C(-1,y )、、三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知123y y y ＜＜，故应选A.9．（2014•杭州模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED 是平行四边形；②△BCE 是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10+2；④四边形ACEB 的面积是16．则以上结论正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②④答案：D 解析：【答案】D .【解析】①∵∠ACB=90°，DE ⊥BC ，∴∠ACD=∠CDE=90°，∴AC ∥DE ，∵CE ∥AD ，∴四边形ACED 是平行四边形，故①正确；②∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，∴EC=EB ，∴△BCE 是等腰三角形，故②正确；③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=2，∵四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=4，∵CE=EB，∴EB=4，DB=2，∴CB=4，∴AB==2，∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确；④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误，故选：A．二．填空题队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图(图中等待时间6分钟到7分钟表示大于或等于6分钟而小于7分钟，其他类同)．这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为( )A．5 B．7 C．6 D．33第1题第2题第3题答案：B解析：【答案】B；【解析】由频数直方图可以看出：顾客等待时间不少于6分钟的人数即最后两组的人数为5+2=7人．故选B．11．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A 与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．B．C．D．答案：A解析：【答案】A；【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…，AD n=，又AP n=AD n，故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，故可得AP6=．故选A．二、填空题二、填空题12．已知两数差是25,减数比7的相反数小5,则被减数是 .解析：13;提示:由已知可知减数为-12,则被减数为25+(-12)=13;13．如图1,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,EF 交AD于点H,那么DH的长为________.HGFEDCBA解析：314．（2012•咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为_________．答案：【答案】28【解析】先根据EF∥BC交AB于FEG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC由EF∥BC可知∠EBC=∠FEB 故∠FBE=解析：【答案】28.【解析】先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF 的长，进而可得出结论．15．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan ∠OBE=．答案：【答案】；【解析】连接EC根据圆周角定理∠ECO=∠OBE在Rt△EOC中OE=4OC=5则tan∠ECO=故tan∠OBE=解析：【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．16．（1）若211()x x x y --=+-，则x y -的值为 .（2）若5,3,x y xy +==则x y y x+的值为 . 答案：【答案】（1）2；（2）；【解析】（1）由知x=1∴(x+y)2=0∴y=-1∴x-y=2（2） 解析：【答案】（1）2； （2）533； 【解析】（1）由11x x ---，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x -y =2. （2）55,3,0,0, 3.3xy xy x y x y xy x y xy xy ++==∴∴=+==＞＞原式 17．如图，在锐角AOB ∠内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；……照此规律，画10条不同射线，可得锐角 个．答案：【答案】66【解析】按如图这样画n 条射线得到的锐角个数为三解答题解析：【答案】66.【解析】按如图这样画n 条射线得到的锐角个数为(1)(2)2n n ++.三、解答题三、解答题18．物体位于地面上空2米处，下降3米后又下降5米，最后物体在地面之下多少米处？ 解析：2-3-5=-6米;19．在图1到图3中，点O 是正方形ABCD 对角线AC 的中点，△MPN 为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD 保持不动，△MPN 沿射线AC 向右平移，平移过程中P 点始终在射线AC 上，且保持PM 垂直于直线AB 于点E ，PN 垂直于直线BC 于点F ．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，OE 与OF 的数量关系为______；（2）如图2，当P 在线段OC 上时，猜想OE 与OF 有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，OE 与OF 的数量关系为_______；位置关系为_________．解析：【解析】（1）OE=OF （相等）；（2）OE=OF ，OE ⊥OF ；证明：连接BO ，∵在正方形ABCD 中，O 为AC 中点， ∴BO=CO ，BO ⊥AC ，∠BCA=∠ABO=45°， ∵PF ⊥BC ，∠BCO=45°，∴∠FPC=45°，PF=FC ．∵正方形ABCD ，∠ABC=90°，∵PF ⊥BC ，PE ⊥AB ，∴∠PEB=∠PFB=90°．∴四边形PEBF 是矩形，∴BE=PF ．∴BE=FC ．∴△OBE ≌△OCF ，∴OE=OF ，∠BOE=∠COF ，∵∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°，∴∠EOF=90°，∴OE ⊥OF ．（3）OE=OF （相等），OE ⊥OF （垂直）．20．设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S +S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．【答案与解析】一、选择题解析：【答案与解析】22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++ ∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++ 1111111=1223341n n n +-+-+-++-+ 1=11n n +-+ 122++=n n n . （利用拆项111(1)1n n n n =-++即可求和）． 21．对于任何实数，我们规定符号c ad b 的意义是：c a d b =bc ad -．按照这个规定请你计算：当0132=+-x x时，21-+x x 13-x x的值．解析：【答案与解析】22．如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在的哪条边上相遇？解析：【答案与解析】 （1）①∵秒，∴，∵，点为的中点，∴．)2(3)1)(1(1321---+=--+x x x x x x x x .162631222-+-=+--=x x x x x .1121)32.13,013222=-=---=∴-=-∴=+-x x x x x x （原式又∵，∴，∴．又∵，∴，∴．②∵，∴，又∵，，则，∴点，点运动的时间秒，∴．（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得．∴点共运动了．∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇.23．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速0 10 20 30 40 50 60(km/h)刹车距离(m) 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)线连结这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解析：【答案与解析】(1)603010204050yx(2)依据图象，设函数解析式为y=ax2+bx+c，将表中的前三组数值代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=0.120400,3.010100,0cbacbac解得⎪⎩⎪⎨⎧===,01.0,002.0cba∴函数的解析式为y=0.002x2+0.01x (0≤x≤140) ．经检验，表中的其他各组值也符合此解析式．(3)当y=46.5时，即0.002x2+0.01x=46.5，∴ x2+5x－23250=0．解得 x1=150,x2=－155(舍去) ．∴推测刹车时的速度为150km/h．∵150＞140，∴发生事故时，汽车超速行驶．24．如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．（1）将方程组1的解填入表中．（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；解析：【答案与解析】显然该方程组不符合（2）中的规律．25．如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC 上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．解析：【答案与解析】解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3．∴点P与点F重合．又∵BF⊥FD，∴此时点E与点B重合．(2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a))∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB．∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．∴BE FPBP FD=．①又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得3 12y xx a-=-∴1(12)(3)y x xa=--，整理，得21(1536)(312)y x x x a=-+<< ② (ii)当点P 在CF 上（不与C ，F 重合）时，（见上图(b))同理可求得BE FPBP FD=． 由FP ＝3-x 得21(1536)(03)y x x x a=-+<<． ∴ 221(1536)(03)1(1536)(312).x x x ay x x a⎧--+<<⎪⎪=⎨⎪--+<<⎪⎩(3)解法一：当点E 与A 重合时，y ＝EB ＝a ，此时点P 在线段BF 上． 由②式得21(1536)a x x a=--+． 整理得2215360x x a -++=． ③∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴方程③有两个不相等的正实根． ∴△＝(-15)2－4×(36+a 2)＞0． 解得2814a <． 又∵a ＞0， ∴902a <<． 解法二：当点E 与A 重合时， ∵∠APD ＝90°，∴点P 在以AD 为直径的圆上．设圆心为M ，则M 为AD 的中点． ∵在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件， ∴线段BC 与⊙M 相交．即圆心M 到BC 的距离d 满足02ADd <<． ④ 又∵AD ∥BC ， ∴d ＝a ． ∴由④式得902a <<．。
中考数学专项复习《圆周角(5)》练习(无答案) 浙教版
圆周角（05）一、选择题1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）A．10° B．20° C．40° D．80°2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）A．14° B．28° C．56° D．84°3．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78° C．39° D．12°5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60° B．70° C．120°D．140°6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36° B．46° C．27° D．63°7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35° B．140°C．70° D．70°或140°8．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）A．B．C．D．9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°10．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．B．2 C．2 D．411．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116°B．32°C．58° D．64°12．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B13．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75° B．60° C．45° D．30°14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）A．40° B．50° C．60°D．100°15．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20° B．46° C．55° D．70°16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°17．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠A BC，则下列结论不一定成立的是（）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AEC．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD二、填空题18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是．19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，则∠APB的范围是．20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是．22．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是．23．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于cm．27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB= ．三、解答题28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：（1）△AEB∽△OFC；（2）AD=2FO．。
2017年中考数学专项复习《圆周角(2)》练习(无答案) 浙教版
圆周角（02）一、选择题1．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20° C．60° D．70°3．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD 等于（）A．32° B．38° C．52° D．66°4．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°5．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．70°6．如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD，垂足为E，∠AOB=60°，则∠BDC等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C8．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35° B．45° C．55° D．65°9．如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26° B．116°C．128°D．154°10．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80° B．90° C．100°D．无法确定11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．160°C．100°D．80°或100°12．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20° B．30° C．40° D．70°13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°14．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22° B．26° C．32° D．68°15．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．516．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°17．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50° B．80° C．100°D．130°18．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100°D．130°二、填空题19．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB= °．20．如图，在⊙O中， =，∠DCB=28°，则∠ABC= 度．21．如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为．23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为．24．若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=50°，则弦AB所对的圆周角的度数为．25．如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= °．26．如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为m．27．如图，点A，B，C是⊙O上的点，AO=AB，则∠ACB= 度．三、解答题28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）30．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．。
九年级数学《圆周角》复习知识点浙教版
九年级数学《圆周角》复习知识点浙教
版
知识点
圆心角的特征识别
①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。
有关计算公式
①L=n/180Xπr；
②S=n/360Xπr²
③扇形圆心角n=/。
④=2Rsin=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
与圆心角有关的定理圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。
理解：
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角
因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧
圆心角的度数和它们对的弧的度数相等
推论：
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦两条弦上的弦心距中,前预习,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
知识拓展：圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
浙江省2017届中考数学第一轮复习8.3与圆有关的计算练习浙教版
与圆有关的计算【牛刀小试】1. 如图，在⊙O 中，60AOB ∠=，3cm AB =， 则劣弧AB⌒ 的长 为 cm ．2. 翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，AB ⌒ 的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．3. 如图，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ 2cm .(结果保留π）4. 已知扇形的半径为2cm ，面积是243cm π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °．5. 如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的面积为 ．【考点梳理】1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）【典例分析】例1 如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，si n ∠COD =54．(1)求弦AB 的长；（2）CD 的长； （3）劣弧AB 的长.（结果保留三个有效数字，sin53.130.8≈，π≈3.142）第1题第3题第5题 第2题例2 如图，AB 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，OF AC ⊥于点F ．（1）请写出三条与BC 有关的正确结论；（2）当30D ∠=，1BC =例 3 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6cm OA OB ==，AB =.求（1）⊙O 的半径； （2）图中阴影部分的面积．【真题演练】1. Rt ABC △中，90C ∠=，8AC =，6BC =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A ．254π B ．258π C ．2516π D ．2532π 2. 如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90，则铺上的草地共有 平方米．3. 如图，已知AB 上，且13AB =，5BC =．（1）求sin ∠的值； BAOACBD（2）如果OD AC ⊥，垂足为D ，求AD 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．4. 如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形．（1）求这个扇形的面积（结果保留π）； （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．B。
浙教版数学九年级上册3.5《圆周角》word同步练习2
3.4 圆周角同步练习【知识要点】1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．4．园内接四边形对角互补．课内同步精练●A组基础练习1. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BOD=1600, 则∠BAD的度数是，∠BCD的度数是.2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠DPC = .3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C为AB的一个三等分点，则BC : AC : AB .4. BD是⊙O的直径，OA,OC是⊙O的半径，且OA，OC在BD两侧．如果∠AOD:∠COD=4:1，那么∠ABD:∠CBD .5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, E是AD上一点，若∠BCD=350，求∠AED的度数．●B组提高训练6. 已知，A, B, C是⊙O上的三点，∠AOC=1000, 则∠ABC = .7. 如图，弦AB, CD相交于点E , AD=600, BC=400，则∠AED= .（第3题）8. 如图，P为圆外一点，PA交圆于点A,B，PC交圆于点C, D, BD=750,AC=150，则∠P=9. 如图，AB, AC 是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，课外拓展练习●A组基础练习A . 300 B. 350 C. 450 D . 7002. 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（）3. 已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且AB=2, AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是( )A. 450或600B. 600C. 1050D. 150或10504. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等于（）A. 250B. 32.50 C . 300 D. 4505. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE= .6. 如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 = .7. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD//BC交AC于点D, AC=6cm，则DC= cm .8. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B, 点A的坐标为（0, 4 ) , M是圆上一点，∠BMO=120．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.●B组提高训练10. 在⊙O中，己知∠AOB=1000 , C为AB的中点，D在圆上，则∠ADC= .11. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知DQ=420 , BQ=380，则∠P＋∠Q的度数为.12. 如图，∠A的两边交⊙O于点B . C , E , D，若:::1:3:4:4BD BC CE DE ，则∠A的度数为.13. 如图，在⊙O中AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是CAD上一点（不与C,D重合）．求证：∠CPD=∠COB；（第9题）。
九年级数学圆周角 新浙教版
D
A
O B
C
图中的圆周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
想一想；
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种 关系？请大家在练习本上画一画.
想一想
一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？
A
A
A
O.
O.
O.
B
B C
D
C DB
C
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以Байду номын сангаас
转化成这个图形吗？
圆周角∠BAC和圆心角∠BOC所对的弧分别是哪一条?
D
C
求∠CAD的度数.
课堂总结：
这节课我们都有什么收获？
1、圆周角的定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
2、圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。
如图，⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点B，点A坐标为（0，4），M为劣弧上 一点，∠BMO=1200，
探索研究：
如果圆周角和圆心角对着同一条弧， 那么这两个角存在怎样的关系？请告诉 大家你的数学猜想。
命题：一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A O
B
C
A
O
B
C
A
O C
B
已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是B⌒C 所对的圆心角和圆周角
求证：∠BAC= 1 ∠BOC
2
A O
C B
证明：（1）当圆心O在圆周角 ∠BAC的一边AB上时 ∵OA=OC ∴∠BAC=∠C ∵∠BOC是△OAC的外角 ∴∠BOC=∠C+∠BAC
【教育资料】备战中考数学基础必练(浙教版)圆心角与圆周角(含解析)学习专用
2019备战中考数学基础必练（浙教版）-圆心角与圆周角（含解析）一、单选题1.如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，∠B=65°，则∠A=( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°2.如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，则∠BOC等于（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°3.已知：如图, ⊙O的两条弦AE，BC相交于点D,连结AC，BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是( )A. ∠AOB＝60°B. ∠ADB＝60°C. ∠AEB＝60°D. ∠AEB＝30°4.如图，点A、B、C都在圆O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为( )A. 18°B. 30°C. 36°D. 72°5.如图，已知AB是☉O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°6.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=76°，则∠ACB的度数为（）A. 19°B. 30°C. 38°D. 76°7.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ABC=52°，则∠AOC的度数为（）A. 128°B. 104°C. 50°D. 52°8.如图，在⊙O中，∠ABC=60°，则∠AOC等于（）A. 30°B. 60°C. 100°D. 120°9.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥EF,垂点为G，∠EOD=40°，则∠DCF （）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°10.已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（）A. CD=2ACB. CD＞2ACC. CD＜2ACD. 不能确定．二、填空题11.如图，已知AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且 , ，则弧BE的度数 ________.12. 如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.13.已知A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），点P在直线y= x+2上，如果△ABP为直角三角形，这样的P点共有________个．14.如图，BD是⊙O的直径，∠A=65°，则∠DBC的度数是________15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=，那么sin∠ACD的值是 ________．16.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 ________．17.如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=________°．18.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为 ________．三、综合题19.如图：三角形ABC内接于圆O，∠BAC与∠ABC的角平分线AE，BE相交于点E，延长AE 交外接圆O于点D，连接BD，DC，且∠BCA=60°（1）求∠BED的大小；（2）证明：△BED为等边三角形；（3）若∠ADC=30°，圆O的半径为r，求等边三角形BED的边长．20.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．21.O为等腰△ABC的底边AB的中点，以点O为圆心，AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．（1）求证：∠AOE=∠BOD．（2）求证：22.已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【分析】因为AB是⊙0的直径，所以∠C=90°。
浙教版-数学-九年级上册-3.5.1 圆周角定理 练习
圆周角定理1．下面图形中的角，是圆周角的是 ( B )2．如图3－5－8所示，已知∠ACB 是⊙O 的圆周角，∠ACB ＝40°，则圆心角∠AOB 是( C ) A ．40° B ．50° C ．80°D ．100° 【解析】由圆周角定理得∠ACB ＝12∠AOB ，则∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°＝80°.故选C.图3－5－8 图3－5－93．如图3－5－9所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 三点在⊙O 上，则∠1＋∠2＝__90__度．【解析】如答图所示，连结EO ，∠2＝12∠EOB ，∠1＝12∠EOA ， ∵∠EOB ＋∠EOA ＝180°，∴∠1＋∠2＝90°.第3题答图 图3－5－104．如图3－5－10所示，弦AB 把圆周分成1∶5的两部分，那么弦AB 所对的圆周角的度数是__30°或150°__.【解析】 先求出AB ︵的度数，再通过同弧所对的圆周角和圆心角的关系，求出AB ︵所对的圆周角的度数，分顶点在弦AB 所对的劣弧和优弧上两种情形讨论．当顶点在劣弧上时，可知圆周角的度数为150°，当顶点在优弧上时，可知圆周角的度数为30°.∴弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°.5．如图3－5－11，BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，且BD ＝1，∠A ＝60°，求BC 的长及⊙O 的半径．图3－5－11 第5题答图解：如答图，连结BO ，CO.∵BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于D ，∴CD ＝BD ＝1，∴BC ＝BD ＋CD ＝2.∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∵BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，∴BD ＝CD ，∠BOD ＝∠COD ＝60°，∠OBD ＝30°，在Rt △BOD 中，BD ＝1，BO ＝233.即⊙O 的半径为233.。
浙教版初中数学九年级上册《3.5 圆周角》同步练习卷
浙教新版九年级上学期《3.5 圆周角》同步练习卷一．选择题（共14小题）1．在⊙O中，A、B为圆上两点，∠AOB＝76°，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．76°B．104°C．38°D．38°或142°2．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm3．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C 重合），则∠A为（）A．48°B．132°C．48°或132°D．96°4．如图，六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠A+∠C+∠E的值为（）A．90°B．180°C．270°D．360°5．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠C＝35°，∠ADC＝85°，则∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°6．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN 于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°7．在下列语句中，叙述正确的个数为（）①相等的圆周角所对弧相等；②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形；A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．36°B．38°C．40°D．42°9．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC＝18°，则∠DBC＝（）A．30°B．32°C．36°D．40°10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③BD＝2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O．C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则cos∠OBC的值为（）A．B．C．D．12．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°13．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（）A．3﹣B．C．3﹣D．3﹣14．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大二．填空题（共2小题）15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝°．三．解答题（共18小题）17．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．18．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB ＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是；②四边形APBC的最大面积为．19．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD＝，sin∠ABC＝（1）求⊙O的半径；（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD＝DF时，求CE 的长．20．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC＝P A•BC．21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE ：S△CAB＝1：4，求sin∠ABD的值．23．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．24．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．25．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．26．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）27．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．29．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝10，P A＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．30．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB ＝60°，OF⊥CD于F．（1）求EF的长；（2）求CD的长．31．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．32．如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE＝2，DE＝4，求弦AB 的长．33．⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长．34．如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径．浙教新版九年级上学期《3.5 圆周角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．在⊙O中，A、B为圆上两点，∠AOB＝76°，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．76°B．104°C．38°D．38°或142°【分析】根据圆周角定理求出∠ACB，根据圆内接四边形的性质求出∠ADB．【解答】解：∵∠AOB＝76°，∴∠ACB＝∠AOB＝38°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝142°．∴弦AB所对的圆周角的度数为：38°或142°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm【分析】连接EC，根据圆周角定理得到∠E＝∠B，∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接EC，由圆周角定理得，∠E＝∠B，∠ACE＝90°，∵∠B＝∠EAC，∴∠E＝∠EAC，∴CE＝CA，∴AC＝AE＝5（cm），故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，等腰直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．3．如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C 重合），则∠A为（）A．48°B．132°C．48°或132°D．96°【分析】在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．【解答】解：在优弧BC上取一点A′，连接BA′，CA′．∵∠A′＝∠BOC，∠BOC＝96°，∴∠A′＝48°，∵∠A+∠A′＝180°，∴∠A＝132°，∴∠A＝48°或132°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意一题多解．4．如图，六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠A+∠C+∠E的值为（）A．90°B．180°C．270°D．360°【分析】连接OB，OC，OD，OE，OF，由圆周角定理得出∠A＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC），∠BCD＝（∠BOF+∠EOF+∠DOE），∠DEF＝（∠BOF+∠BOC+∠COD），将所得等式相加，再根据∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF＝360°，∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD＝360°可得答案．【解答】解：如图，连接OB，OC，OD，OE，OF，则∠A＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC），∠BCD＝（∠BOF+∠EOF+∠DOE），∠DEF＝（∠BOF+∠BOC+∠COD），∴∠A+∠BCD+∠DEF＝（∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF+∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD），∵∠EOF+∠DOE+∠COD+∠BOC+∠BOF＝360°，∠EOF+∠DOE+∠BOF+∠BOC+∠COD＝360°，∴∠A+∠BCD+∠DEF＝×（360°+360°）＝360°，故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠C＝35°，∠ADC＝85°，则∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．70°【分析】先根据三角形外角性质得出∠AOC度数，再由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠B度数，继而再次利用三角形外角的性质可得答案．【解答】解：∵∠C＝35°，∠ADC＝85°，∴∠AOC＝∠ADC﹣∠C＝50°，∴∠B＝∠AOC＝25°，则∠A＝∠ADC﹣∠B＝60°，故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以三角形外角的性质等知识，正确得出∠AOC与∠B的度数是解题关键．6．如图，已知MN是⊙O的直径，点Q在⊙O上，将劣弧沿弦MQ翻折交MN 于点P，连接PQ，若∠PMQ＝16°，则∠PQM的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．74°【分析】首先连接NQ，由MN是直径，可求得∠MQN＝90°，则可求得∠MNQ 的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，继而求得答案．【解答】解：连接NQ，∵MN是直径，∴∠MQN＝90°，∵∠PMQ＝16°，∴∠MNQ＝90°﹣∠PMQ＝90°﹣16°＝74°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠MNQ，所对的圆周角为∠MPQ，∴∠MPQ+∠MNQ＝180°，∴∠MNQ＝∠QPN＝74°，∴∠PQM＝∠MNQ﹣∠PMQ＝74°﹣16°＝58°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠MNQ＝∠QPN是解此题的关键．7．在下列语句中，叙述正确的个数为（）①相等的圆周角所对弧相等；②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形；A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，若没有条件“在同圆或等圆中”，相等的圆周角所对弧不一定相等，此没有为假命题；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，可画出图形，举出反例说明此命题为假命题，如图所示；③根据垂径定理解答；④根据等弧所对圆周角相等正确．等弧是指在同圆或等圆．；⑤根据圆内四边形的性质和矩形的判定方法判断．【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，此命题为假命题；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，如图：BC为圆O的弦，∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角，但是∠A与∠D互补，不一定相等，此命题为假命题；③平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，错误；④等弧所对圆周角相等，此命题为真命题，本选项正确；⑤根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，利用了数形结合及转化的思想，解答此类题时，常常要明白要说明一个命题为真命题必须经过严格的证明，要说明一个命题为假命题，只需举一个反例即可．8．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB 于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（）A．36°B．38°C．40°D．42°【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到∠ADC的度数，最后利用三角形内角和可得结论．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝26°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，△ADC中，∵∠BAC＝26°，∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．9．如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC＝18°，则∠DBC＝（）A．30°B．32°C．36°D．40°【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝36°，根据线段垂直平分线的性质推知AD＝BD，然后结合等腰三角形的性质来求∠ABD、∠ABC的度数，从而得到∠DBC．【解答】解：∵∠BFC＝18°，∴∠BAC＝2∠BFC＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°．又EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．10．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②CB平分∠ABD；③BD＝2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④B．①③④C．①②③D．①②③④【分析】根据直径的性质，垂径定理等知识一一判断即可；【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，故①正确，∵OC∥BD，BD⊥AD，∴OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD，故②正确，∵AF＝DF，AO＝OB，∴BD＝2OF，故③正确，△CEF和△BED中，没有对应边相等，故④错误，故选：C．【点评】本题考查直径的性质、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O．C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣3，2），则cos∠OBC的值为（）A．B．C．D．【分析】连接EC，由∠COE＝90°，根据圆周角定理可得：EC是⊙A的直径，求出OE和OC，根据勾股定理求出EC，解直角三角形求出即可．【解答】解：过A作AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，连接EC，∵∠COE＝90°，∴EC是⊙A的直径，即EC过O，∵A（﹣3，2），∴OM＝3，ON＝2，∵AM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴AM∥OC，同理AN∥OE，∴N为OC中点，M为OE中点，∴OE＝2AN＝6，OC＝2AM＝4，由勾股定理得：EC＝＝2，∵∠OBC＝∠OEC，∴cos∠OBC＝cos∠OEC＝＝＝，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．12．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，点D在上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45°B．60°C．75°D．85°【分析】连接OA，OB，AD，BD．根据∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，可得40°＜∠AMB＜80°，由此即可判断；【解答】解：连接OA，OB，AD，BD．∵∠AOB＝2∠ACB＝80°，∠ADB＝∠ACB＝40°，又∵∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，∴40°＜∠AMB＜80°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，判断出40°＜∠AMB＜80°，的解决问题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，AC＝2，BC＝4，CD＝BD＝DE，则CE＝（）A．3﹣B．C．3﹣D．3﹣【分析】先根据勾股定理计算直径AB＝＝2，作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP＝DQ，由全等可得AP＝AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC＝∠DCE，根据外角性质得：∠ACE＝∠ECB，则∠ACE＝∠ECB＝45°，作辅助线后可得：△EFC 是等腰直角三角形，设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，根据△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝＝2，∵CD＝BD，∴，∴∠CAD＝∠BAD，过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，∴PD＝DQ，∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），∴CP＝BQ，易得△APD≌△AQD，∴AP＝AQ，设PC＝x，则AP＝2+x，AQ＝AB﹣BQ＝2﹣x，∴2+x＝2﹣x，x＝﹣1，∴BQ＝CP＝﹣1，OQ＝1，Rt△ODQ中，DQ＝PD＝＝2，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠CAD+∠ACE，∠DCE＝∠ECB+∠DCB，∴∠CAD+∠ACE＝∠ECB+∠DCB，∵，∴∠CAD＝∠DCB，∴∠ACE＝∠ECB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ECB＝45°，过E作EF⊥AP于F，∴△EFC是等腰直角三角形，设EF＝FC＝a，则CE＝a，AF＝2﹣a，∵EF∥PD，∴△AFE∽△APD，∴，∴，∴a＝3﹣，∴CE＝a＝（3﹣）＝3﹣；故选：D．【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC是关键．14．在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：A、错误．菱形的周长＝8，与∠α的大小无关；B、错误，∠α＝45°时，菱形的面积＝2•2•sin45°＝2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S＝菱形的面积＝2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质定理、四点共圆的知识以及菱形的面积公式．二．填空题（共2小题）15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为．【分析】连接BC．利用圆周角定理证明BC是⊙O的直径，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：连接BC．∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是直径，∴OA＝OB＝OC，∵BC＝＝＝2．∴OA的长为．故答案为．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC＝80°．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠B＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，故答案为：80【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．三．解答题（共18小题）17．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理证明．【解答】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．18．如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB ＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）填空：①PC、PB、P A之间的数量关系是CP＝BP+AP；②四边形APBC的最大面积为．【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC ＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，证明△ABC是等边三角形；（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC 从而得出最大面积．【解答】（1）在⊙O中，∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC 是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）①如图1，在PC上截取PD＝AP，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，又∵PD＝AP，∴CP＝BP+AP，故答案为：CP＝BP+AP；②当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB ＝AB•PE，S△ABC＝AB•CF，∴S四边形APBC＝AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝，∴S四边形APBC＝×2×＝．，故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．19．如图1，已知⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，BD平分∠ABC，AD＝，sin∠ABC＝（1）求⊙O的半径；（2）如图2，点E是⊙O一点，连接EC交BD于点F．当CD＝DF时，求CE 的长．【分析】（1）由BD平分∠ABC，得到∠ABD＝∠GBD，从而得出△ADB≌△GDB 求出AG，最后用勾股定理即可；（2）先求出AC，BC，CD，DF，BF，根据勾股定理求出CG，FG，从而求出CF，最后用相交弦定理即可．【解答】解：（1）如图1，延长AD、BC交于G点，过G点作GH⊥AB于H，∵⊙O的内接四边形ABCD的边AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠GBD，在△ADB和△GDB中∵，∴△ADB≌△GDB（ASA），∴AD＝DG＝2，AB＝BG，∴AG＝，设GH＝4x，∵sin∠ABC＝，∴BG＝BA＝5x，∴BH＝3x，AH＝2x，∴（2x）2+（4x）2＝（4）2解得：x＝2∴半径为5；（2）如图2，过点C作CG⊥BD，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴cos∠ABD＝＝，在Rt△ABC中，AB＝10，∴sin∠ABC＝＝，∴AC＝8，∴BC＝6，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝2，∵CD＝DF，∴DF＝2，在Rt△CBG中，cos∠ABD＝cos∠CBG＝＝，∴BG＝，∴GF＝，CG＝∴根据勾股定理，FC＝＝2，根据相交弦定理得，DF×BF＝EF×CF，∴EF＝＝5，∴CE＝．【点评】此题是圆内接四边形，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相交弦定理，解本题的关键是FC，作辅助线是解本题的难点．20．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD•DC＝P A•BC．【分析】要证AD•DC＝P A•BC，需证△P AD∽△DCB；由DP∥AC，可得∠ADP ＝∠DAC＝∠DBC；由于∠DAP是圆内接四边形ABCD的一个外角，故有∠DAP＝∠DCB；从而△P AD∽△DCB成立，由此得证．【解答】证明：如图，连接AC，连接BD．∵DP∥AC，∴∠PDA＝∠DAC．∵∠DAC＝∠DBC，∴∠PDA＝∠DBC．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAP＝∠DCB．∴△P AD∽△DCB．得P A：DC＝AD：BC，即AD•DC＝P A•BC．【点评】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B ＝∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC＝2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC＝180°，即可求得∠B＝∠AOC＝120°，∠ADC＝60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°．∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B．又∵由题意可知∠AOC＝2∠ADC．∴∠ADC＝180°÷3＝60°．连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD．∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC．∴∠OAD+∠OCD＝∠ODA+∠ODC＝∠D＝60°．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为BD弧的中点，AC、BD交于点E．（1）求证：△CBE∽△CAB；（2）若S△CBE ：S△CAB＝1：4，求sin∠ABD的值．【分析】（1）利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似直接证明即可；（2）利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出AC：BC＝BC：EC＝2：1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出．【解答】（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC＝∠BAC，在△CBE与△CAB中；∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB．（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD∵S△CBE ：S△CAB＝1：4，△CBE∽△CAB，∴AC：BC＝BC：EC＝2：1，∴AC＝4EC，∴AE：EC＝3：1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD：FC＝AE：EC＝3：1，设FC＝a，则AD＝3a，∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝AD＝1.5a，∴OC＝OF+FC＝1.5a+a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质等知识，利用未知数表示出OF＝AD＝1.5a，AB＝2OC＝5a是解决问题的关键．23．如图，⊙O为四边形ABCD外接圆，其中＝，其中CE⊥AB于E．（1）求证：AB＝AD+2BE；（2）若∠B＝60°，AD＝6，△ADC的面积为，求AB的长．【分析】（1）过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．根据全等三角形的判定和性质即可证明；（2）首先根据三角形的面积公式求得CF的长，根据全等三角形的性质求得∠B ＝∠CDF＝60°，从而求得DF的长，结合（1）的结论即可求解．【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AD交AD的延长线于F点．∵＝，∴CD＝CB，∠1＝∠2．又∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF＝CE．∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴AF＝AE，DF＝BE，∴AD+DF＝AB﹣BE，∴AB＝AD+DF+BE＝AD+2BE，∴AB＝AD+2BE．（2）解：∵S＝AD×CF＝，△ADC∴CF＝，由（1），得Rt△CDF≌Rt△CBE，∴∠B＝∠CDF＝60°，在△CDF中，求得DF＝．∴AB＝AD+2BE＝6+×2＝11．【点评】解决此题的关键是巧妙构造全等三角形，综合运用圆周角定理的推论和全等三角形的判定及性质．24．已知：如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点E，且∠DBA＝∠EBC．求证：AD•BE＝EC•BD．【分析】根据内接四边形的性质可得到∠BCE＝∠A，已知∠DBA＝∠EBC，从而来可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABD∽△CBE，根据相似三角形的边对应成比例即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCE＝∠A．∵∠DBA＝∠EBC，∴△ABD∽△CBE．∴．∴AD•BE＝EC•BD．【点评】此题主要考查学生对圆内接四边形的性质及相似三角形的判定的综合运用．25．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB＝6，CD＝2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【分析】（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，得BD＝CD＝2，再根据割线定理即可求得CE的长；（2）根据（1）中等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC＝2∠CBE；（3）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC＝2∠CBE．【解答】解：（1）连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．又CD＝2，∴BD＝2．由CE•CA＝CD•CB，得6•CE＝2•（2+2），∴CE＝．（2）∠BAC与∠CBE的关系是：∠BAC＝2∠CBE．理由如下：由（1），得AD⊥BC．又AB＝AC，∴∠1＝∠2．又∠2＝∠CBE，∴∠BAC＝2∠CBE．（3）相同．理由如下：连接AD．∵AB为直径，∴AD⊥BC，又AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，∴∠2＝∠CBE，∴∠CAB＝2∠CBE．【点评】此题综合运用了圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质．26．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A 点的切线与CB的延长线交于点E．（1）求证：AB•DA＝CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EF A，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）【分析】（1）点A是弧BD的中点，根据弦切角定理和圆周角定理知∠1＝∠3，由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠D，于是有△ABE∽△CDA⇒⇒AB •DA＝CD•BE；（2）要使结论仍然成立，则应有△ABE∽△CDA，故可使＝．当＝时有∠EAB＝∠ACD，而由圆内接四边形的性质知∠ABE＝∠ADC，故有△ABE ∽△CDA，得⇒AB•DA＝CD•BE【解答】（1）证明：连接AC∵A是的中点，∴．∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，∴∠1＝∠3＝∠2∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABE＝∠D∴△ABE∽△CDA∴∴AB•DA＝CD•BE．（2）解：如图，具备条件＝（BF＝DA，或∠BCF＝∠DCA，或∠BAF＝∠DCA，或F A∥BD等），使原结论成立【点评】本题利用了弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质求解．27．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．28．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．【分析】（1）连接AD、BC，利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．【解答】解：（1）连接AD、BC．∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CD＝CM＝＝＝由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等29．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB ＝10，P A＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．【分析】（1）连AC，BD，根据圆周角定理得到∠C＝∠B，∠A＝∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性质得AE：DE＝CE：BE，变形有AE•BE＝CE•DE；由此得到相交弦定理；（2）由AB＝10，P A＝4，OP＝5，易得PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，根据相交弦定理得到P A•PB＝PC•PD，即4×6＝（R﹣5）×（R+5），解方程即可得到R的值．【解答】解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AE•BE＝CE•DE．证明如下：连AC，BD，如图，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△AEC∽△DEB，∴AE：DE＝CE：BE，∴AE•BE＝CE•DE；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图，∵AB＝10，P A＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，由（1）中结论得，P A•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R﹣5）×（R+5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7．【点评】本题考查了相交弦定理：圆的两条弦相交，那么这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．也考查了圆周角定理以及三角形相似的判定与性质．30．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB ＝60°，OF⊥CD于F．（1）求EF的长；（2）求CD的长．。
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圆周角（05）
一、选择题
1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）
A．10° B．20° C．40° D．80°
2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）
A．14°B．28° C．56° D．84°
3．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：
①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．
正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）
A．156°B．78° C．39° D．12°
5．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）
A．60° B．70° C．120°D．140°
6．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）
A．36° B．46° C．27° D．63°
7．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）
A．35° B．140°C．70° D．70°或140°
8．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）
A．B．C．D．
9．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）
A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°
10．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）
A．B．2 C．2 D．4
11．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）
A．116°B．32° C．58° D．64°
12．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）
A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B
13．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）
A．75° B．60° C．45° D．30°
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）
A．40° B．50°C．60°D．100°
15．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）
A．20° B．46° C．55° D．70°
16．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）
A．40° B．50° C．80° D．100°
17．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）
A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE
C．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD
二、填空题
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是．
19．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N两点，则∠APB的范围是．
20．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．
21．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是．
22．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是．
23．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=
度．
24．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．
25．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= ．
26．如图，AD、AC分别是直径和弦，∠CAD=30°，B是AC上一点，BO⊥AD，垂足为O，BO=5cm，则CD等于cm．
27．如图，在⊙O中直径CD垂直弦AB，垂足为E，若∠AOD=52°，则∠DCB= ．
三、解答题
28．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：
求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；
（2）先化简下式，再求值：，其中，；
（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．
29．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．
30．如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．。