2019版二轮复习数学通用版讲义：第二部分 备考技法专题二 4大数学思想系统归纳——统一统思想 Word版含解析

备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳——统一统思想第1讲函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的．函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．应用(一)借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．[例1]已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式b n≤k恒成立，求实数k的最小值．[解](1)因为a1＝2，a23＝a2(a4＋1)，又因为{a n}是正项等差数列，所以公差d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{a n}的通项公式a n＝2n.(2)由(1)知S n＝n(n＋1)，则b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n＝1(n＋1)(n＋2)＋1(n＋2)(n＋3)＋…＋12n(2n＋1)＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n ＋1－12n ＋1 ＝n2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)， 则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则需使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.[技法领悟]数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．[应用体验]1．已知等差数列{a n }满足3a 4＝7a 7，a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 取得最大值时n ＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵3a 4＝7a 7，∴3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，∴4a 1＝－33d .∵a 1>0，∴d <0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝⎛⎭⎫－334d ＋n (n －1)2d ＝d 2⎝⎛⎭⎫n 2－352n ＝d 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n －3542－⎝⎛⎭⎫3542，∴n ＝9时，S n 取得最大值．答案：92．(2018·北京高考)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝______；ca 的取值范围是________．解析：由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B . 又∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34×2ac cos B ， ∴tan B ＝3， ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴∠B ＝π3. 又∵∠C 为钝角，∴∠C ＝2π3－∠A >π2，∴0<∠A <π6.由正弦定理得ca ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－∠A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A.∵0<tan A <33，∴1tan A>3， ∴c a >12＋32×3＝2，即c a >2.答案：π3(2，＋∞)应用(二) 转换“函数关系”，利用函数思想解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．[例2] 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．[解析]参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0， 得1＋2x ＋4x ·a ＞0，故a ＞－⎝⎛⎭⎫14x ＋12x . 当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数，因此，函数y ＝－⎝⎛⎭⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫14x ＋12x max ＝－34，a ＞－34， 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. [答案]⎝⎛⎭⎫－34，＋∞ [技法领悟]发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y ＝－14x ＋12x 的单调性巧妙地求出实数a 的取值范围．此法也叫主元法．[应用体验]3．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0. 所以x ≠1.函数f (p )在[0,4]上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 4．已知椭圆C 的离心率为32，过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾斜角为π6，直线l 过点E (－1,0)且与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)△AOB 的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由． 解：(1)因为e ＝c a ＝32，b c ＝33，b ＝1，所以a ＝2，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为直线l 过点E (－1,0)，所以可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍去)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x 并整理，得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0， Δ＝(－2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>y 2， 则y 1＋y 2＝2mm 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，所以|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4，所以S △AOB ＝12|OE ||y 2－y 1|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设t ＝m 2＋3，则g (t )＝t ＋1t ，t ≥3，所以g ′(t )＝1－1t2＞0，所以g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥433，所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时等号成立．所以△AOB的面积存在最大值，为3 2.应用(三)构造“函数关系”，利用函数思想解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．[例3]已知函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，a∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.[解](1)由f(x)＝e x－2x＋2a，知f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x<ln 2时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减；当x>ln 2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(ln 2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1(x≥0)，则g′(x)＝e x－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln 2)＝2－2ln 2＋2a.又a>ln 2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.[技法领悟]一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．[应用体验]5.(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE ―→·BE ―→的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D ．3解析：选A 如图，以D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC . 由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32， C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)， 则AE ―→＝(－1，y )，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，∴AE ―→·BE ―→＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE ―→·BE ―→有最小值2116. 6．设函数f (x )在R 上存在导函数f ′(x )，对于任意的实数x ，都有f (x )＋f (－x )＝2x 2，当x <0时，f ′(x )＋1<2x ，若f (a ＋1)≤f (－a )＋2a ＋1，则实数a 的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．－32D ．－2解析：选A 设g (x )＝f (x )－x 2，则g (x )＋g (－x )＝0，所以g (x )为R 上的奇函数． 当x <0时，g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜－1＜0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减，所以g (x )在R 上单调递减． 因为f (a ＋1)≤f (－a )＋2a ＋1， 所以f (a ＋1)－(a ＋1)2≤f (－a )－(－a )2， 即g (a ＋1)≤g (－a )，所以a ＋1≥－a ， 解得a ≥－12，所以实数a 的最小值为－12.应用(四) 构造“方程形式”，利用方程思想解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．[例4] (2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.[解析]由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)， 设直线方程为y ＝k (x －1)， 直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得AM ―→＝(－1－x 1,1－y 1)， BM ―→＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM ―→·BM ―→＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.[答案]2 [技法领悟]本题由∠AMB ＝90°，知AM ―→·BM ―→＝0，从而得出关于k 的方程，问题即可解决．[应用体验]7．(2018·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)． 答案：2173 8．已知x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则函数y ＝5x －2x 的最小值为________． 解析：将原函数变形为y 2x 2－5x ＋2＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 设f (x )＝y 2x 2－5x ＋2，该方程有解的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫12·f (2)≤0或⎩⎨⎧12≤52y 2≤2，Δ＝25－8y 2≥0，f ⎝⎛⎭⎫12≥0且f (2)≥0.解得2≤y ≤524，所以y min ＝2，此时x ＝12或x ＝2. 答案： 2应用(五) 转换“方程形式”，利用方程思想解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．[例5] 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值．[解]法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得⎩⎨⎧sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin αcos β－cos αsin β＝15，所以sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.法二：令x ＝tan αtan β.因为sin (α＋β)sin (α－β)＝103，且sin (α＋β)sin (α－β)＝sin (α＋β)cos αcos βsin (α－β)cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan αtan β＋1tan αtan β－1＝x ＋1x －1. 所以得到方程x ＋1x －1＝103.解这个方程得tan αtan β＝x ＝137.[技法领悟]本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β⎝⎛⎭⎫或tan αtan β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值．[应用体验]9．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332⎝⎛⎭⎫9－h 24h ＝332⎝⎛⎭⎫－h 34＋9h ， 令y ＝－h 34＋9h ，则y ′＝－3h 24＋9，令y ′＝0，解得h ＝23，易知当h ＝23时，y 取最大值，即正六棱柱的体积最大． 10．设非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，b ，c＝120°，则|b |的最大值为 ______．解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－(b ＋c )， ∴|a |2＝|b |2＋2|b ||c |cos 120°＋|c |2， 即|c |2－|b ||c |＋|b |2－4＝0， ∴Δ＝|b |2－4(|b |2－4)≥0，解得0<|b |≤433，即|b |的最大值为433.答案：433[总结升华]函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．第2讲数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：以形助数以数助形借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．应用(一)利用数形结合求解f(x)＝k型问题方法一：直接作图[例1](1)已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝|lg x|.若0<a<b且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[解析](1)f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，化简得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， x ∈[0，π)，－sin x ，x ∈(π，2π].作出f (x )的图象及直线y ＝k ，由图象知当1＜k ＜3时，函数f (x )与直线y ＝k 有且仅有两个交点．(2)先作出f (x )＝|lg x |的图象如图所示，通过图象可知，如果f (a )＝f (b )，则0＜a ＜1＜b ，且b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，令h (a )＝a ＋2a ，由对勾函数的性质知函数h (a )在(0,1)上为减函数，所以h (a )>h (1)＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．故选C.[答案](1)(1,3) (2)C [技法领悟]本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况．但有些题中的这条水平线就不容易能看出来，如本例(2)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键．本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即ab ＝1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性．在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系．比如，一条水平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等．[应用体验]1．已知f (x )＝|x |＋|x －1|，若g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________． 解析：原方程等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x <0，1，0≤x ≤1，2x －1，x >1，其图象如图所示，要使a ＝f (x )有零点，则a ≥1，因此a 的最小值为1.答案：12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎭⎫－1，－12 C.⎝⎛⎦⎤－12，12 D.⎝⎛⎦⎤－12，12∪{－1} 解析：选D 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，所以T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin4⎝⎛⎭⎫x －π8＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6， 再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以方程为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋k ＝0. 令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数根， 即y ＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．作出y ＝sin t 与y ＝－k 的图象如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1.方法二：先变形后作图[例2](1)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．(2)已知函数g (x )＝a －x 2－2x ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，g (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[解析](1)利用分离参数思想，直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，等价于方程1－a ＝x 2－|x |有四个不同的根，令g (x )＝x 2－|x |，画出g (x )的图象，如图(1)所示．将水平直线y ＝1－a 从上往下平移，当1－a ＝0，即a ＝1时，有3个交点，再往下平移，有4个交点，继续往下平移，当1－a ＝－14，即a ＝54时，有两个交点．如图(2)所示，因此a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，54.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x 2－2x ，x <0，a －x 2＋1，x ≥0，y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点等价于y ＝f (x )与y ＝x 有三个不同的交点，试想将曲线f (x )上下平移使之与y ＝x 有三个交点是何等的复杂，故可变形再结合图象求解．由f (x )－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －x 2－3x ，x <0，a －x 2－x ＋1，x ≥0，可得f (x )－x ＝a ＋⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x <0，－x 2－x ＋1，x ≥0，所以y ＝f (x )－x 有三个零点等价于a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x <0，x 2＋x －1，x ≥0有三个根．令h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x <0，x 2＋x －1，x ≥0，画出y ＝h (x )的图象如图所示，将水平直线y ＝a 从上向下平移，当a ＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a ＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a ∈[－1,0)．[答案](1)⎝⎛⎭⎫1，54 (2)[－1,0) [技法领悟]如果对本例(1)不变形，也可求出参数的取值范围，变形只是让作图更简单易行．然而多数情况下，变形是解题的关键．如本例(2)，如果不变形，恐怕不是复杂一点点的问题了．[应用体验]3．对任意实数a ，b 定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)*(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋m 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：选D 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3)，作出其图象如图中实线所示令y ＝f (x )＋m ＝0，则f (x )＝－m .由图可知，当－1<－m ≤2，即－2≤m <1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－m 恰有三个不同的交点，故当－2≤m <1时，函数y ＝f (x )＋m 的图象与x 轴恰有三个不同的交点．4．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________．解析：当x ＝0时，显然是方程的一个实数解； 当x ≠0时，方程|x |x ＋4＝kx 2可化为1k＝(x ＋4)|x |(x ≠－4)， 设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，原题可以转化为两函数有三个非零交点．则f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0且x ≠－4的大致图象如图所示，由图，易得0<1k <4，解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫14，＋∞应用(二) 利用数形结合求解kx ＋b ＝f (x )型问题 方法一：旋转动直线若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向．[例3] (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)(2)(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．[解析] (1)由题意得函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有两个不同的交点，分别画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．直线g (x )＝kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数f (x )＝|x －2|＋1只有一个交点，此时k ＝1－02－0＝12，然后直线绕着原点逆时针旋转，当与y ＝f (x )在x >2时的图象平行时，就只有一个交点，所以12<k <1，故选B.(2)作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)． 综上可得a 的取值范围是(4,8)． [答案](1)B (2)(4,8)[技法领悟]解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析．[应用体验]5．已知方程x (4－x )－ax －4＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：方程x (4－x )－ax －4＝0有两个不相等的实数根等价于函数y＝x (4－x )与y ＝ax ＋4有两个不同的交点，y ＝x (4－x ) 是一个半圆，直线y ＝ax ＋4是绕点(0,4)旋转的动直线，画出y ＝x (4－x )的图象，如图所示，要使x (4－x )＝ax ＋4有两个不同的实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时a 的值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x (4－x )，y ＝ax ＋4⇒(a 2＋1)x 2＋(8a －4)x ＋16＝0，Δ＝0⇒a ＝－34.由图可知，直线y ＝ax ＋4绕点(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当－1≤a ＜－34时，直线与曲线有两个交点，于是a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－1，－34. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，－34 6．用max{a ，b }表示a ，b 两个数中最大数，设f (x )＝max{－x 2＋8x －4，log 2x }，若g (x )＝f (x )－kx 有两个零点，则k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,4)D ．[0,4]解析：选C 画出f (x )的图象如图所示，g (x )有两个零点，即y ＝f (x )的图象与y ＝kx 的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时－x 2＋8x －4＝kx ，Δ＝0⇒k 1＝4，k 2＝12(舍去，此时与下方相切)，所以当0<k <4时，g (x )有两个零点．故选C.方法二：平移动直线[例4] (1)已知函数f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f (x )恰有两个交点，则实数a 的值是( )A ．0B ．2k (k ∈Z )C ．2k 或2k ＋14(k ∈Z )D ．2k 或2k －14(k ∈Z )(2)若关于x 的不等式2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则a 的取值范围是________．[解析](1)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，y ＝x ＋a 是斜率恒为1的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与y ＝f (x )的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与y ＝f (x )，x ∈[0,1]相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝x 2⇒x 2－x －a ＝0，Δ＝1＋4a ＝0⇒a ＝－14，所以在一个周期内得到满足条件的a 的值为a ＝0或a ＝－14，又因为周期为2，所以a ＝2k 或a ＝－14＋2k (k ∈Z)．(2)令f (x )＝2－x 2，g (x )＝|x －a |，由于g (x )＝|x －a |的图象是V 形．首先将这个V 形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a＝2.然后再将V 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示．由图可知，向左平移的临界情况是V 形尖点右支与f (x )相切，此时联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －a ，y ＝2－x 2，知x 2＋x －a －2＝0有一个解，Δ＝1＋4(2＋a )＝0⇒a ＝－94.要特别注意，此时g (x )＝|x －a |的图象与f (x )＝2－x 2的图象相切，但不等式取不到等号，因此a ≠－94，注意到a ＝2时无负数根，因此a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－94，2.[答案] (1)D (2)⎝⎛⎭⎫－94，2 [技法领悟]对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会．[应用体验]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,3)C ．(－∞，1)D ．(2,4)解析：选A 画出f (x )图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 的图象只有一个交点．首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f (x )图象与直线y ＝－x ＋a 只有一个交点，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞) 解析：选C 注意本题只有在(－1，＋∞)内才是周期为1的函数，根据函数的解析式首先画出在(－∞，0]内的图象，然后截取(－1,0]的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f (x )的图象，如图所示．y ＝x ＋a 是斜率为1的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足f (x )图象与直线y ＝x ＋a 有两个交点，所以a 的取值范围是(－∞，1)．应用(三) 利用数形结合求解解析几何问题[例5](1)(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A. 5 B．2C. 3D. 2(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7 B．6C．5 D．4[解析](1)如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝2a＝b，所以c＝a2＋b2＝3a，所以e＝ca＝ 3.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.[答案](1)C(2)B[技法领悟](1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[应用体验]9．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：如图，由题意可知∠APB ＝60°，由切线性质可知∠OPB ＝30°.在Rt △OBP 中，OP ＝2OB ＝2，又点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以不妨设点P (x,22－x )，则OP ＝x 2＋(22－x )2＝2，即x 2＋(22－x )2＝4，整理得x 2－22x ＋2＝0，所以x ＝2，即点P 的坐标为(2，2)．答案：(2，2)10．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．解析：因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作P Q ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接A Q ， 由抛物线的定义可知△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|P Q |＋|PA |＋|AF |≥|A Q |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－2，12 [总结升华]运用数形结合思想分析解决问题的3个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．第3讲 分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用．应用(一) 由概念、法则、公式引起的分类讨论[例1] (2018·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n＋3恒成立，则a 1的值为( )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3.[答案]C [技法领悟]本题易忽略对q ＝1的情况进行讨论，而直接利用S n ＝a 1(1－q n )1－q ，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n 项和公式的使用就要分q ＝1，S n ＝na 1和q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q进行讨论．[应用体验]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为______．解析：f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )．所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a <0，所以a ＝－22. 故a ＝1或－22. 答案：1或－222．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意；若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，经检验符合题意．答案：14应用(二) 由运算、性质引起的分类讨论[例2]已知a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0B ．(a －1)(a －b )＞0。