文科数学试题2012.4
2012高考全国卷数学文科试卷及其规范标准答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标
绝密*启用前2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(新课标卷)文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0},B ＝{x |－1<x <1},则(A)A ⊂≠B (B)B ⊂≠A (C)A ＝B (D)A ∩B ＝∅ (2)复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是(A)2+i (B)2－i (C)－1+i (D)－1－i 3、在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n )都在直线y ＝12x +1上,则这组样本数据的样本相关系数为(A)－1 (B)0 (C)12 (D)1(4)设F 1、F 2是椭圆E:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线x ＝3a2上一点,△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) (A)12 (B)23 (C)34 (D)455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则z ＝－x+y 的取值范围是(A)(1－3,2) (B)(0,2) (C)(3－1,2) (D)(0,1+3)(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A,B,则 (A)A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和(B)A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数(C)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 (D)A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(A)6(B)9(C)12(D)18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为(A)6π (B)43π (C)46π (D)63π(9)已知ω>0,0<φ<π,直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ＝ (A)π4 (B)π3 (C)π2 (D)3π4(10)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A,B 两点,|AB|＝43,则C 的实轴长为(A) 2 (B)2 2 (C)4 (D)8(11)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是(A)(0,22) (B)(22,1) (C)(1,2) (D)(2,2)(12)数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1,则{a n }的前60项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标版)答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【考点】相关系数．【专题】规律型．【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D．【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2） B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4∴b=2，a=1+即C（1+，2）则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），直线BC的方程为y﹣3=（）（x﹣1）当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴故选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4πC．4πD．6π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球的体积为：=4π．故选B．【点评】本题考查球的体积的求法，考查空间想象能力、计算能力．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，注意函数的最值的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B． C．4 D．8【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜log a x，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题12．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．14．（5分）（2012•新课标）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=﹣2．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴（q﹣1）（q+2）2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，解题中要注意公比q是否为115．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，∴的最大值与最小值的和为0．∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即M+m=2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin （A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c【解答】解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2【点评】本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．【考点】概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC 的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF 是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={|x x 是平行四边形},B ={|x x 矩形},C ={|x x 是正方形},D ={|x x 是菱形},则( )A.A B ⊆B.C B ⊆C.D C ⊆D.A D ⊆ 2.函数(1)y x =≥-的反函数为( )A.()210y x x =-≥B.()211y x x =-≥C.()210y x x =+≥D.()211y x x =+≥3.若函数()[]()sin0,2π3x f x ϕϕ+=∈是偶函数,则ϕ=( ) A.π2 B.2π3C.3π2D.5π3 4.已知α为第二象限角,3sin ,5α=则sin2α=( )A.2425-B.1225-C.1225D.24255.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为( )A.2211612x y +=B.221128x y +=C.22184x y +=D.221124x y += 6.已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S =( )A.12n -B.13()2n -C. 12()3n -D.112n - 7.6位选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有( )A.240种B.360种C.480种D.720种8.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A.2D.19.ABC ∆中,AB 边的高为CD .若,,0,||1,||2,CB CA ==⋅===a b a b a b 则AD =( )A. 1133-a bB.2233-a bC.3355-a bD.4455-a b10.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||,PF PF =则12cos F PF ∠=( )A.14B.35C.34D.45 11.已知125ln π,log 2,x y z e -===,则( ) A.x y z << B.z x y <<C.z y x <<D.y z x << 12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,1,3AE BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( )A.8B.6C.4D.3本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.81()2x x+的展开式中2x 的系数为________14.若,x y 满足约束条件10x 30,x 330x y y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则3z x y =-的最小值为________15.当函数()sin 02πy x x x =≤<取得最大值时,x =________16.已知正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为11,BB CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为________三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)ABC ∆中,内角,,A B C 成等差数列,其对边,,a b c 满足223b ac =,求A .18.(本小题12分)已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和23n n n S a +=.(1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.19.(本小题12分)如图,四棱锥P A B C D -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD,2,AC PA E ==是PC 上的一点,2.PE EC =(1)证明:PC ⊥平面BED ;(2)设二面角A PB C --为90︒,求PD 与平面PBC 所成角的大小.20.(本小题12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲,乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲,乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲,乙的比分为1比2的概率; (2)求开始第5次发球时,甲得分领先的概率.21.(本小题12分)已知函数()3213f x x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点()()()()1122,,,x f x x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.22.(本小题12分)已知抛物线()2:1C y x =+与圆()2221:(1)()02M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ;(2)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,,m n 的交点为D ,求D 到l 的距离.P E DC B ABACAC BCDDC DB 13.7 14.1- 15.5π6 16.3517. 【解析】由A ．B ．C 成等差数列可得2B A C =+，而A B C π++=，故33B B ππ=⇒=且23C A π=-而由223b ac =与正弦定理可得2222sin 3sin sin 2sin 3sin()sin 33B AC A A ππ=⇒⨯=-所以可得232223(sin cos cos sin )sin sin sin 1433A A A A A A ππ⨯=-⇒+=⇒1cos 2121sin(2)262A A A π-+=⇒-=，由27023666A A ππππ<<⇒-<-<，故 266A ππ-=或5266A ππ-=，于是可得到6A π=或2A π=。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，则公比q=．15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（）A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【专题】5J：集合．【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B⊊A．故选：B．【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．2．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【解答】解：复数z====﹣1+i．。
2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学(文科)
绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科） 2012.4本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为Sh V 31=．若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =． 若球的半径为r ，则球的体积为34π3V r =．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}0,2{=A ，}2,1{=B ，则集合()A BA B =A ．∅B ．}2{C ．}1,0{D ．}2,1,0{ 2. i 为虚数单位，则复数i (1i)⋅-的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．1-3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况. 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据 此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．604. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A ．1xy =B ．y ⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x d ,0,1)( C ．321x y -= D．2sin y =5. ta n 2012︒∈A. (0,3B. 3C. (1,3--D. (0)3-6． 若对任意正数x ，均有21a x <+，则实数a 的取值范围是A. []1,1-B. (1,1)-C. ⎡⎣D. (7．曲线1()2xy =在0x =点处的切线方程是A. l n 2l n 2x y +-=B. l n 210x y +-=C. 10x y -+=D. 10x y +-=kg ）第3题图8．已知命题p ：“对任意,a b *∈N ， 都有lg()lg lg a b a b +≠+”；命题q ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则 A. 命题“p q ∧”为真命题 B. 命题“p q ∨”为假命题 C. 命题“()p q ⌝∧”为真命题 D. 命题“()p q ∨⌝”为真命题9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A ．4π33cm B ．8π33cm C ．4π 3cm D ．20π33cm10. 线段A B 是圆221:260C x y x y ++-=的一条直径，曲线2C 以,A B为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PA PB +=A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．12. 已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a = .13. 无限循环小数可以化为有理数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ， 请你归纳出0.017= （表示成最简分数,,N )m n m n*∈．第11题图第9题图（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆的直径，弦A C 和弦B D 相交于点P ，且3A B D C =，则sin A P D ∠= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在A B C ∆中，角A 为锐角,记角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 设向量(cos ,sin ),A A =m (cos ,sin ),A A =-n 且m 与n 的夹角为π.3（1）求⋅m n 的值及角A 的大小； （2）若a c ==A B C ∆的面积S ．17．（本小题满分12分）设函数c bx x x f ++=2)(，其中,b c 是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “(1)5f ≤且(0)3f ≤”发生的概率. (1) 若随机数,{1,2,3,4}b c ∈；(2) 已知随机函数Rand()产生的随机数的范围为{}10≤≤x x , ,b c 是算法语句4Rand()b =*和4Rand()c =*的执行结果．(注: 符号“*”表示“乘号”)如图，四棱柱1111ABC D A B C D -的底面A B C D 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB D D 上，且1AF EC ．（1）求证：1AE FC ；（2）若1A A ⊥平面A B C D ，四边形1A E C F 是边长为6的正方形，且1BE =，2D F =，求线段1C C 的长, 并证明：1.AC EC ⊥19．（本小题满分14分）已知二次函数()f x 的最小值为4,-且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为{}13,R x x x -≤≤∈,（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()4ln f x g x x x=-的零点个数.A 1BCDC 1B 1D 1FE如图，,M N 是抛物线21:4C x y =上的两动点（,M N 异于原点O ），且O M N ∠的角平分线垂直于y 轴，直线M N 与x 轴，y 轴分别相交于,A B .(1) 求实数,λμ的值，使得O B O M O N λμ=+；(2）若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆2C 经过,A M . 求椭圆2C 焦距的最大值及此时2C 的方程.21．（本小题满分14分）定义数列{}n a ： 121,2a a ==，且对任意正整数n ，有122(1)(1)1nn n n a a ++⎡⎤=+-+-+⎣⎦. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；（2）问是否存在正整数,m n ，使得221n n S m S -=？若存在，则求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，则加以证明.2012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准2012-4-23说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密＊启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项：1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2。
问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效·4。
考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A=｛x|x2－x－2〈0}，B=｛x|－1<x〈1｝，则（A）A错误!B (B)B错误!A （C)A=B （D）A∩B=(2）复数z＝错误!的共轭复数是（A）2+i (B）2－i (C）－1+i （D)－1－i3、在一组样本数据（x1,y1),（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2，…，x n不全相等）的散点图中,若所有样本点（x i，y i）(i=1,2，…,n）都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(A）－1 （B）0 (C）错误!(D)1（4）设F1、F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1(a〉b>0)的左、右焦点，P为直线x=错误!上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）（A)错误!（B)错误!（C）错误!（D)错误!5、已知正三角形ABC的顶点A(1,1），B(1,3），顶点C在第一象限，若点（x，y)在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（A）(1－3,2）(B）（0，2) （C）(错误!－1，2) （D)(0，1+错误!)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2)和实数a1，a2，…，a N,输出A，B，则(A）A+B为a1,a2，…，a N的和（B）错误!为a1,a2，…，a N的算术平均数（C）A和B分别是a1，a2,…，a N中最大的数和最小的数(D)A和B分别是a1,a2，…,a N中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A)6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为错误!，则此球的体积为（A）错误!π（B)4错误!π（C)4错误!π(D)6错误!π（9)已知ω〉0,0〈φ<π,直线x=错误!和x=错误!是函数f(x)=sin（ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴,则φ=（A)错误!（B)错误!(C)错误!（D）错误!（10)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB｜=4错误!,则C的实轴长为（A）错误!（B）2错误!(C）4 （D)8（11)当0〈x≤错误!时，4x<log a x，则a的取值范围是(A）（0,错误!）（B)（错误!，1) （C）(1,错误!) (D)(错误!，2）（12）数列｛a n｝满足a n+1＋（－1）n a n＝2n－1，则｛a n｝的前60项和为(A）3690 （B）3660 (C）1845 (D)1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷）文科数学注息事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动。
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3。
回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4。
考试结束后。
将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x2－x－2〈0}，B=｛x|－1<x〈1｝，则(A)A错误!B （B)B错误!A (C）A=B (D）A∩B=（2）复数z＝错误!的共轭复数是(A)2+i （B)2－i （C）－1+i （D)－1－i3、在一组样本数据（x1，y1)，(x2，y2)，…,（x n,y n）(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点（x i，y i)(i=1，2，…,n）都在直线y=错误!x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A）－1 （B)0 （C)错误!(D）1（4）设F1、F2是椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的左、右焦点，P为直线x=错误!上一点,△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）(A）错误!(B)错误!（C）错误!(D）错误!5、已知正三角形ABC的顶点A（1,1），B(1，3）,顶点C在第一象限,若点（x，y)在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（A）（1－错误!，2) （B)（0，2) （C）（错误!－1，2）（D)（0,1+错误!）（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2，…,a N，输出A,B,则（A）A+B为a1，a2,…,a N的和（B）错误!为a1，a2，…，a N的算术平均数(C）A和B分别是a1,a2，…,a N中最大的数和最小的数(D）A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数(7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6(B）9（C）12(D）18(8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为错误!，则此球的体积为（A）错误!π（B)4错误!π（C）4错误!π（D)6错误!π(9）已知ω〉0，0〈φ〈π，直线x=错误!和x=错误!是函数f(x）=sin（ωx+φ）图像的两条相邻的对称轴,则φ=(A)错误!(B）错误!(C）错误!（D）错误!（10)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，｜AB|=43，则C的实轴长为（A）错误!(B）2错误!（C）4 （D）8(11)当0<x≤错误!时，4x〈log a x,则a的取值范围是（A)（0，错误!）（B）(错误!,1）（C）（1，错误!) （D)(错误!，2）（12)数列｛a n}满足a n+1＋（－1）n a n＝2n－1，则{a n｝的前60项和为（A)3690 （B）3660 (C）1845 （D）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年高考新课标全国卷文科数学试题(附答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x |x 2−x −2<0}，B={x |−1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝32ii-++的共轭复数是 （A ）2i + （B ）2i - （C ）1i -+ （D ）1i --（3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）−1 （B ）0 （C ）12（D ）1（4）设1F ,2F 是椭圆E ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、 右焦点，P 为直线32ax =上一点，△21F PF 是底角为030的等腰三角形，则E 的离心率为 （A ）12 （B ）23 （C ）34 D .45（5）已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC内部，则z x y =-+的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3) （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数1a ，2a ，…，N a ，输出A ，B ，则 （A ）A +B 为1a ，2a ，…，N a 的和 （B ）2A B+为1a ，2a ，…，N a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最大数和最小数（D ）A 和B 分别为1a ，2a ，…，N a 中的最小数和最大数 （7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π （9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，||AB =43，则C 的实轴长为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）8 (11)当0<x ≤12时，4log xa x <，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{n a }满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
北京市西城区2012届高三第一次模拟文科数学试题(2012西城一模)
北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。
8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。
2012年高考新课标全国卷文科数学试题附答案
学习资料收集于网络，仅供参考 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）文科数学试题分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符一、选择题：本大题共12小题，每小题5 合题目要求的。
2 |?1<x<1}，则?x?2<0}，B={xx|A={（1）已知集合x??∩B=?（D）A （C）A=B （A）AA B （B）B??i?3?＝的共轭复数是（2）复数z i2?i1???i1?i?2?i2 C （））（D（A）（B）不全相等）的,xx,x,…，…，（x，y）（n≥2，，（3）在一组样本数据（x，y），（xy）n121nn12211y??x 上，则这组样本）(i=1,2,…,n)都在直线，散点图中，若所有样本点（xy ii2数据的样本相关系数为11）（D ）0 （C）B?（A）1 （222yxa b?FFE是椭圆＞：0=1（（4）设）的,＞2122baa3PFF?x P上一点，△为直线左、右焦点，122030E的离心率为的等腰三角形，则是底角为4231D.（B）C（A））（5423ABC在第一象限，若点（x，y）在△）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C（5y??x?z内部，则的取值范围是3) (0，1+ （D）（C）(3－1，2) 2) B (1（A），－32) （）(0，NN和实2)≥（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(aaaBA，输出，数，，则，…，N12aaa BA+的和为，，…，（A）N12BA?aaa，…，B（），的算术平均数为N122aaa BA中的最大数，…，）（C和分别为，N12和最小数学习资料．学习资料收集于网络，仅供参考aaaBA，（D）中的最小数和最大数和，…，分别为N12，粗线画出的是）如图，网格上小正方形的边长为1（7某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6B）9 （）12 （C18（D）??，则此球的体积2到平面(8)平面的距离为截球O的球面所得圆的半径为1，球心O 为（D）π6C（）346π（A（）6πB）43π??5?????xx)x?f(?x?)?sin(0图像的两条=是函数，直线9）已知和>0，=（44?=相邻的对称轴，则3ππππ（D））（C A（）（B）44322x CC x16y?A、的中心在原点，焦点在轴上，的准线交于与抛物线（10）等轴双曲线C34|AB|B两点，=，则的实轴长为2228 D））（（C）4 （A）（B1x xxlog4?，则a的取值范围是(11)当0<时，≤2a222) ，）( （D1) ，（C）2(1（A）(0，，) （B）2) (22n aa1n??1)a?2a?(项和为的前，则{60}（12）数列{}满足nnn1n?1830 D）（）（C1845 （A）3690 （B）36605分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密 * 启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 A={x| x 2－ x － 2<0}， B={x| －1<x<1}，则（ A ）A B（B ）B A（C ）A=B（D ）A ∩B=－ 3+i （ 2）复数z ＝的共轭复数是 2+i（ A ） 2+i（ B ）2－ i（ C ）－ 1+i（ D ）－ 1－ i3、在一组样本数据（ x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），⋯，（ x n ，y n ）（ n ≥ 2，x 1,x 2, ⋯ ,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（ x i ， y i ） (i=1,2, ⋯ , n) 都在直线 1y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为2（A ）－ 1（B ）0（C ）1（ D ）12223a上一点，△ F（ 4）设 F 、 F 是椭圆 E ：x2y 2是底角12a ＋b＝ 1(a>b>0)的左、右焦点， P 为直线 x= 2 1PF 2为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（）（ A ）12342 （B ）3 （ C ）4 （D ） 55、已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（ x ，y ）在△ ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是 （ A ）(1－ 3， 2)（ B ） (0， 2) （ C ）( 3－1，2) （ D ） (0， 1+ 3)（ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N ≥2)和实数 a 1,a 2,⋯,a N ，输出 A,B ，则（ A ）A+B 为 a 1,a 2,⋯,a N 的和 （ B ）A ＋ B为 a 1,a 2,⋯ ,a N 的算术平均数2（ C ）A 和 B 分别是 a 1,a 2,⋯ ,a N 中最大的数和最小的数（ D ） A 和 B 分别是 a 1,a 2,⋯ ,a N 中最小的数和最大的数开始输入 N ，a 1,a 2,⋯,a Nk=1,A=a 1,B=a 1x =a kk=k+1是x ＞ A否A=x是x<B否B=x否k ≥ N是输出 A ，B结束（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积 为 （ A ）6 （ B ）9 （ C ）12（ D ） 18(8)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α的距离为 2，则此球的体积为（ A ） 6π （ B ） 4 3π （C ） 4 6π （D ） 6 3ππ 5π（ 9）已知 ω>0， 0<φ<π，直线 x= 和 x=是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=44（ A ）πππ3π4（B ） 3（C ） 2（D ） 4（ 10）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2=16x 的准线交于 A ，B 两点，|AB|=4 3，则 C 的实轴长为（A ） 2（B ）2 2（C ）4（D ）8(11)当 0<x ≤1时， 4x <log a x ，则 a 的取值范围是2（ A ）(0， 22，1) （C ） (1， 2) （D ）( 2， 2) 2 ) （B ）( 2（ 12）数列 {a n }满足 a n+1 ＋ (－ 1)n a n ＝ 2n － 1，则 {a n }的前 60 项和为 （ A ）3690（ B ） 3660（ C ）1845（ D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考文科数学试题及答案-新课标word版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） 文科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A B （B ）B A （C ）A=B （D ）A ∩B=（2）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则（A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B 2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数（D）A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【恒心】【好卷速递】北京市顺义区2012届高三第二次统练(数学文)
顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷 2012.4本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I A.{}0 B.{}0,1 C. {}0,3 D. {}1,3 2.已知i 为虚数单位，则复数(1)i i -所对应的点坐标为 A. (1,1)- B. (1,1) C. (1,1)- D. (1,1)-- 3.已知p 、q 是简单命题，则“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是A.12sin()23y x π=+B. 12sin()23y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+ D. 2sin(2)6y x π=-5.如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个程 序框图，判断框内应填入的 条件是A. 10i >B. 10i <C. 20i >D. 20i <6.已知向量a ，b 的夹角为3π，且||2a = ，||1b = ，则向量a 与向量2a b + 的夹角等于A.56π B.2π C.3π D.6π 7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80C.100D.1208.已知全集为,U P U Ø，定义集合P的特征函数为1,,()0,.P U x P f x x P ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩ð，对于A U Ø， B U Ø，给出下列四个结论：① 对x U ∀∈，有()()1UA A f x f x +=ð；② 对x U ∀∈，若A B Ø，则()()A B f x f x ≤； ③ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =⋅I ； ④ 对x U ∀∈，有()()()A B A B f x f x f x =+ ．其中，正确结论的序号是A. ①②④B. ②③④C. ②③D. ①②③二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡上) 9.已知点()3,4P -在角α的终边上，则sin α=_____________. 10.随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位cm )按照区间[)[)[)[)[)[)155,160,160,165,165,170,170,175,175,180,180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）.则频率分布 直方图中的x 值为__________；若将身高在[)[)[)170,175,175,180,180,185区间内的学生依次记为,,A B C 三组，用分层抽样的方法从这 三组中抽取6人，则从,,A B C 三组中依次抽 取的人数为______________.俯视图左视图正（主）视图823234411.以双曲线2244x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为_________.12.如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则11y x --的最小值为___________；最大值为 . 13.函数11y x =-的图象与函数2cos 2y x π=(46)x -≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 ______ .14. 已知集合2012{|22}A x x a a a ==+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2)i a i ∈=，且20a ≠，则集合A 中所有元素之和是_____________；从集合A 中任取两元素,m n ，则随机事件“||3m n -≥”的概率是_____________.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 15．（本小题共13分）已知向量(2cos ,1)2x m =u r ，(cos ,1)2xn =-r ，()x R ∈，设函数()f x m n =⋅u r r .(Ⅰ)求函数()f x 的值域；(Ⅱ)已知锐角ABC V 的三个内角分别为A 、B 、C ， 若53(),()135f A f B ==，求()f C 的值. 16. （本小题共13分）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB ，F 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：DA ⊥平面PAC ； (Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使CG ∥平面PAF ，并求三棱锥A -CDG 的体积. 17．（本小题共13分） 设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，13,a =3229a a =+(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设3132333log log log log n n b a a a a =+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . ADCFPB18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 19．（本小题共14分）已知椭圆:G 12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率2e =，点(1,0)F 为椭圆的右焦点.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆G 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在着动点(,0)P m ，使得以,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出m 的取值范围.20. （本小题共13分）对于定义域为A 的函数)(x f ，如果任意的A x x ∈21,，当21x x <时，都有()()21x f x f <，则称函数()x f 是A 上的严格增函数；函数()k f 是定义在*N 上，函数值也在*N 中的严格增函数，并且满足条件()()k k f f 3=.（Ⅰ）判断函数)(32)3(N x f x x ∈⨯=是否是N 上的严格增函数；（Ⅱ）证明：)(3)3(k f k f =；（Ⅲ）是否存在正整数k ，使得2012)(=k f ，若存在求出k 值；若不存在请说明理由.顺义区2012届高三第二次统练高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分9.45；10．0.06，3,2,1 ； ；11.2y =；12．12，2；13．6； 14.99，3655；三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：(Ⅰ)2()2cos1cos 2x f x m n x =⋅=-=u r r ，__________4分 x R ∈Q ∴()cos f x x =的值域为[]1,1-.__________6分(Ⅱ) Q 5()cos 13f A A ==，3()cos 5f B B ==__________8分 Q A 、B 、C 均为锐角∴12sin ,13A =4sin 5B =__________10分∴33()cos cos()cos cos sin sin 65f C C A B A B A B ==-+=-+=.__________13分16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于H ，则GH 平行且等于12AD ，连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，__________8分∴GC ∥FH ，Q FH ⊂平面PAE ，CG ⊄平面PAE ，∴CG ∥平面PAE ，∴G 为PD 中点时，CG ∥平面PAE .__________10分设S 为AD 的中点，连结GS ，则GS 平行且等于1122PA =，Q PA ⊥平面ABCD ，∴GS ⊥平面ABCD ，∴11312A CDG G ACD ACD V V S GS --===V .__________13分A DC FPB17．（本小题共13分）解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，Q 13a =，由3229a a =+，∴2369q q =+，解得3,1q q ==-（舍去）_______2分 ∴*3,()n n a n N =∈__________5分(Ⅱ) Q 3132333(1)log log log log 1232n n n n b a a a a n +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=___8分 ∴1112()1n b n n =-+，__________8分__________10分 ∴1111122(1)22311n nS n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=++.__________13分 18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1x =时，(1)1f a =-，'2()2(1)f x a x x=-+∴'(1)2f a =，∴(1)2(1)y a a x --=-所求切线方程为210ax y a ---=__________5分 （Ⅱ）2()()()(1)22ln h x f x g x a x ax x =-=--+∴[]'2(1)(1)12()2(1)2x a x h x a x a x x---=--+=，__________6分 根1211,1x x a ==-，（1a >）__________8分 当111a >-，即12a <<时， 在()10,1,(,)1a +∞-上'()0f x >，在1(1,)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减；__________10分 当111a ≤-，即2a ≥时， 在1(0,),(1,)1a +∞-上'()0f x >，在1(,1)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减. __________14分19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由已知1C =，c e a ==∴222,1a b ==， ∴所求椭圆:G 的方程为2212x y +=.__________4分(Ⅱ) 由已知直线l 的斜率k 存在且0k ≠设l ：(1)y k x =-，∴22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(12)4220k x k x k +-+-=__________5分28(1)0k ∆=+>设11(,)M x y ，22(,)N x y ∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴121212(1)(1)(2)y y k x k x k x x +=-+-=+-__________7分Q 11(,)PM x m y =-uuu r ，22(,)PN x m y =-uuu r1212(2,)PM PN x x m y y +=+-+uuu r uu u r ，2121(,)MN x x y y =--uuu r因为在x 轴上存在动点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形， 由于对角线互相垂直∴()0PM PN MN +=u u u u r u u u r u u u r__________9分 ∴12122121(2,)(,)0x x m y y x x y y +-+⋅--=即12122121(2,)(,())0x x m y y x x k x x +-+⋅--=121212()(2,)(1,)0x x x x m y y k -+-+⋅=，Q 12x x ≠∴1212(2,)(1,)0x x m y y k +-+⋅= ∴1212(2,(2))(1,)0x x m k x x k +-+-⋅= ∴212122(2)0x x m k x x +-++-=，__________11分2222244(2)201212k k k m k k -+-=++，化简得22012k m k =>+Q 0k ≠∴211122m k =<+ ∴102m <<.__________14分 20. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）是N 上的严格增函数.此因由于x N ∈，∴3xN ∈，设12,x x N ∈，且12x x <，注意到3x y =递增∴1212(3)(3)2(33)0x x x x f f -=-<，∴12(3)(3)x x f f < ∴)(32)3(N x f x x ∈⨯=是N 上的严格增函数. __________3分（Ⅱ）证明：对()()k k f f N k 3*,=∈()()[]()k f k f f f 3=∴①由已知()()k k f f 3=∴()()[]()k f k f f f 3=②由①，②()()k f k f 33=∴__________6分 （Ⅲ）若(),11=f 由已知()()k k f f 3=得()31=f ，矛盾； 设(1)1f a =>，∴((1))()3f f f a ==，③ 由()k f 严格递增，即()().311=<⇒<a f f a ，∴*(1)1(1)3(1)f f f N ⎧≠⎪<⎨⎪∈⎩，∴(1)2f =，__________9分 由③有((1))()3f f f a ==故((1))(2)3f f f ==∴(1)2f =，(2)3f =.()()()()(),923236,6133==⋅===f f f f f()()()()()()()().8118354,549327,276318,18339========f f f f f f f f依此类推可知*)(32)3(11N k f k k ∈⨯=--.__________11分且存在,131+=-k p 当自变量从11323--⨯→k k 时，函数值正好从k k k k f f 3)32(32)3(111=⨯→⨯=---；又因为2187)1458(2012)(1458)729(=<=<=f k f f ， Q 函数值21872012175-=个，∴变量14581751283-=.所以存在2012)1283(,1283==f k .__________13分。
2012年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)教师版
2012 年全国一致高考数学试卷（文科）（新课标）一、：本大共12 小，每小 5 分，在每小同的四个中，只有一是切合目要求的．1．（5 分）（2012?新）已知会合A={ x| x2x2＜ 0} ，B={ x|1＜x＜1} ，（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?【剖析】先求出会合 A，而后依据会合之的关系可判断【解答】解：由意可得， A={ x| 1＜ x＜2} ，∵B={ x| 1＜x＜1} ，在会合 B 中的元素都属于会合A，可是在会合 A 中的元素不必定在会合 B 中，比如 x=∴B?A．故： B．2．（5 分）（2012?新）复数z=的共复数是（）A．2+i B．2 i C． 1+i D． 1 i【剖析】利用复数的分子、分母同乘分母的共复数，把复数化a+bi 的形式，而后求法共复数即可．【解答】解：复数z==== 1+i．因此复数的共复数： 1 i．故： D．3．（5 分）（2012?新）在一本数据（x1，y1），（ x2，y2），⋯，（ x n，y n）（n≥2，x1，x2，⋯，x n不全相等）的散点中，若全部本点（x i， y i）（ i=1，2，⋯，n）都在直 y= x+1 上，本数据的真有关系数（）A．1B．0C．D．1【剖析】全部本点（ x i，y i）（ i=1，2，⋯，n）都在直 y= x+1 上，故本数据完整正有关，故其有关系数 1．【解答】解：由知，全部本点（x i， y i）（i=1，2，⋯， n）都在直 y= x+1 上，∴ 本数据完整正有关，故其有关系数1，应选： D．、F 是椭圆 E： +（＞＞）的左、右焦点，为直线x=上一点，4．（5 分）（ 2012?新课标）设 F12=1 a b0P△F2 1是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（）PFA．B．C．D．【剖析】利用△ F是底角为 30°的等腰三角形，可得 | PF | =| F| ，依据 P 为直线 x=上一点，2PF122F1可成立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△ F2PF1是底角为 30°的等腰三角形，∴| PF2| =| F2F1|∵P 为直线 x= 上一点∴∴应选： C．5．（5 分）（2012?新课标）已知正三角形ABC的极点 A（1，1）， B（ 1， 3），极点若点（ x，y）在△ ABC内部，则 z=﹣x+y 的取值范围是（）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）C 在第一象限，【剖析】由 A，B 及△ ABC 为正三角形可得，可求 C 的坐标，而后把三角形的各极点代入可求z 的值，从而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设 C（a， b），（a＞0，b＞0）由 A（1，1）， B（ 1， 3），及△ ABC为正三角形可得， AB=AC=BC=2即（ a 1）2+（b 1）2=（ a 1）2+（b 3）2=4∴b=2，a=1+ 即 C（ 1+ ， 2）此直 AB 的方程 x=1，AC的方程 y 1=（x1），直 BC的方程 y 3=（x1）当直 x y+z=0 点 A（1，1）， z=0，点 B（1，3） z=2，点 C（1+，2），z=1∴，故： A．6．（5 分）（2012?新）假如行右的程序框，入正整数N（ N≥2）和数 a1， a2，⋯，n，出A，B，（）aA．A+B a1， a2，⋯，a n的和B．a1， a2，⋯，a n的算均匀数．和B 分是，a ，⋯，a 中最大的数和最小的数C A a1 2n【剖析】剖析程序中各量、各句的作用，再依据流程所示的序，可知：程序的作用是求出 a1，a2，⋯，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：剖析程序中各量、各句的作用，再依据流程所示的序，可知，程序的作用是：求出a1，a2，⋯， a n中最大的数和最小的数此中 A a1，a2，⋯，a n中最大的数， B a1，a2，⋯， a n中最小的数故： C．7．（5 分）（2012?新）如，格上小正方形的1，粗画出的是某几何体的三，此几何体的体（）A．6B．9C．12D．18【剖析】经过三视图判断几何体的特点，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为 3 的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．应选： B．8．（5 分）（ 2012?新课标）平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为，则此球的体积为（）A．πB．4πC．4πD．6π【剖析】利用平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为，求出球的半径，而后求解球的体积．【解答】解：因为平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为，因此球的半径为：=．因此球的体积为：=4π．应选： B．．（分）（2012?新课标）已知ω＞，＜φ＜π，直线x=和 x=是函数 f（ x）=sin（ωx+φ）图9 500象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．【剖析】经过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确立φ的值即可．【解答】解：因为直线 x= 和 x= 是函数 f （x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，因此 T==2π．因此ω =1，而且 sin（+φ）与 sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，因此φ=．应选： A．10．（ 5 分）（ 2012?新课标）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于点 A 和点 B， | AB| =4，则 C 的实轴长为（）A．B．C．4D．8【剖析】设等轴双曲线 C： x2﹣y22（a＞0）， y2=16x 的准线：﹣，由C与抛物线2的准=a l x= 4y =16x 线交于 A，B 两点，，能求出 C 的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣ y2=a2（ a＞ 0），y2=16x 的准线 l：x=﹣ 4，∵C 与抛物线 y2=16x 的准线 l ：x=﹣4 交于 A， B 两点，∴ A（﹣ 4，2 ），B（﹣ 4，﹣ 2 ），将 A 点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．应选： C．．（分）（新课标）当0＜x≤时， 4x＜ log ，则a的取值范围是（）1152012?a x．（，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）A0【剖析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转变为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵ 0＜x≤时， 1＜ 4x≤2要使 4x＜ log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形联合可知只要2＜log a x，＜＜∴＜＜＜即对 0＜x≤时恒成立＞＜＜∴＞解得＜ a＜ 1故： B．12．（ 5 分）（2012?新）数列 { a n } 足 a + +（ 1）n，{ a n} 的前 60 和（）n 1a n=2n 1A．3690B．3660C．1845D．1830【剖析】由意可得a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，⋯a50a49=97，形可得a3+a1=2， a4+a2 =8，a7+a5=2， a8+a6=24， a9 +a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，⋯利用数列的构特点，求出 { a n} 的前 60 和．【解答】解：因为数列 { a n} 足 a n+1 +（ 1）n a n=2n 1，故有 a2a1=1，a3+a2=3， a4a3=5，a5+a4=7， a6a5=9，a7+a6=11，⋯a50a49=97．从而可得a3+a1=2， a4+a2=8，a7+a5=2，a8 +a6=24， a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2， a16+a14=56，⋯从第一开始，挨次取2个相奇数的和都等于2，从第二开始，挨次取2个相偶数的和组成以8 首，以 16 公差的等差数列．{ a n} 的前 60 和 15× 2+（15×8+）=1830，故： D．二．填空：本大共 4 小，每小 5 分．13．（ 5 分）（2012?新）曲 y=x（3lnx+1）在点（ 1，1）的切方程y=4x 3．【剖析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当 x=1 时， y′=4，∴曲线 y=x（ 3lnx+1）在点（ 1，1）处的切线方程为y﹣ 1=4（x﹣1），即 y=4x﹣3．故答案为： y=4x﹣ 3．n}的前n项和为S n，若S3+3S2，则公比q=﹣2．14．（ 5 分）（2012?新课标）等比数列 { a=0【剖析】由题意可得， q≠1，由 S3+3S2=0，代入等比数列的乞降公式可求q【解答】解：由题意可得， q≠1∵ S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣ 4=0∴（ q﹣1）（ q+2）2=0∵q≠ 1∴q=﹣2故答案为：﹣ 215．（5 分）（ 2012?新课标）已知向量，夹角为 45°，且，，则=3．【剖析】由已知可得，=，代入| 2| ==== 可求【解答】解：∵ ＜，＞，=1∴=∴ | 2| ====解得故答案为： 316．（ 5 分）（2012?新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【剖析】函数可化为（fx）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和．【解答】解：函数可化为 f（ x） =的最大值与最小值的和为=0，由此可得函数（fx）=，令∴∴函数 f（x）=，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0．的最大值与最小值的和为1+1+0=2．即 M+m=2．故答案为： 2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（ 2012?新课标）已知 a，b，c 分别为△ ABC三个内角 A，B，C 的对边， c=asinC ﹣ccosA．（ 1）求 A；（ 2）若 a=2，△ ABC的面积为，求b，c．【剖析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣ sinCcosA﹣ sinC=0，能够求出 A；（2）有三角形面积以及余弦定理，能够求出 b、c．【解答】解：（1）c= asinC﹣ ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣ sinCcosA﹣ sinC=0，即 sinC?（sinA﹣cosA﹣1）=0，又， sinC≠0，因此sinA﹣cosA﹣ 1=0，即 2sin（A﹣）=1，因此A= ；（2） S△ABC= bcsinA= ，因此 bc=4，a=2，由余弦定理得： a2=b2+c2﹣ 2bccosA，即 4=b2+c2﹣bc，即有，解得 b=c=2．18．（ 12 分）（2012?新课标）某花店每日以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花，而后以每枝 10 元的价钱销售．假如当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾办理．（Ⅰ）若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的收益 y（单位：元）对于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数分析式．（Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量 n 14151617181920频数10201616151310（i）假定花店在这 100 天内每日购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日收益（单位：元）的均匀数；（ii）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率，求当天的收益许多于75 元的概率．【剖析】（Ⅰ）依据卖出一枝可得收益 5 元，卖不出一枝可得亏本 5 元，即可成立分段函数；（Ⅱ）（i）这 100 天的日收益的均匀数，利用 100 天的销售量除以 100 即可获得结论；（ ii）当天的收益许多于75 元，当且仅当天需求量许多于16 枝，故可求当天的收益许多于75 元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当天需求量n≥17 时，收益 y=85；当天需求量 n＜17 时，收益 y=10n﹣ 85；（4分）∴收益 y 对于当天需求量 n 的函数分析式，＜分）（n∈N*）（ 6，（Ⅱ）（i）这 100 天的日收益的均匀数为元；（9 分）（ii）当天的收益许多于 75 元，当且仅当天需求量许多于 16 枝，故当天的收益许多于 75 元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12 分）19．（12 分）（2012?新课标）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D 是棱 AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面 BDC（Ⅱ）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【剖析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面 BDC，再由面面垂直的判断定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥 B﹣ DACC1的体积为 V1，AC=1，易求 V1=××1×1= ，三棱柱 ABC﹣A1 1 1的B C体积 V=1，于是可得（ V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC， BC⊥AC，CC∩AC=C，11∴ BC⊥平面 ACC1A1，又 DC1? 平面 ACC1A1，∴DC⊥BC．1由题设知∠ A1DC1=∠ADC=45°，∴∠ CDC1=90°，即 DC1⊥DC，又 DC∩BC=C，∴DC1⊥平面 BDC，又 DC1? 平面 BDC1，∴平面 BDC1⊥平面 BDC；（ 2）设棱锥B﹣DACC的体积为1V ， AC=1，由题意得1V =1××1×1=，又三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积 V=1，∴（ V﹣V1）：V1=1：1，∴平面 BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．20．（ 12 分）（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A∈ C，已知以 F为圆心， FA为半径的圆 F 交 l 于 B， D 两点；（ 1）若∠ BFD=90°，△ ABD 的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若 A，B，F 三点在同向来线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m，n 距离的比值．【剖析】（ 1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边 | BD| =2p点 A 到准线 l 的距离，由△ ABD 的面积 S ABD，知=，由此能求出圆 F 的△方程．（ 2）由对称性设，＞，则，点 A，B 对于点 F 对称得：，，得：，，由此能求出坐标原点到 m，n 距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△ BFD是等腰直角△，斜边 | BD| =2p点 A 到准线 l 的距离，∵△ ABD的面积 S△ABD=，∴=，解得 p=2，因此 F 坐标为（ 0， 1），∴圆 F 的方程为 x2+（ y﹣ 1）2．=8（ 2）由题设，＞，则，，∵ A， B， F 三点在同向来线 m 上，又 AB 为圆 F 的直径，故 A， B 对于点 F 对称．由点 A，B 对于点 F 对称得：，得：，，直线：，切点，直线：坐标原点到 m， n 距离的比值为：．21．（ 12 分）（ 2012?新课标）设函数 f （x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求 f（ x）的单一区间；（Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞0 时，（x﹣k）f ′（x）+x+1＞0，求 k 的最大值．【剖析】（Ⅰ）求函数的单一区间，可先求出函数的导数，因为函数中含有字母a，故应按 a 的取值范围进行分类议论研究函数的单一性，给出单一区间；（ II）由题设条件联合（ I），将不等式，（x﹣k）f（′x）+x+1＞ 0 在 x＞0 时成立转变为 k＜（x＞0）成立，由此问题转变为求 g（x） = 在 x＞ 0 上的最小值问题，求导，确立出函数的最小值，即可得出 k 的最大值；【解答】解：（I）函数 f（x）=e x﹣ax﹣2 的定义域是 R，f ′（x）=e x﹣a，若 a≤0，则 f ′（ x）=e x﹣a≥0，因此函数 f（ x）=e x﹣ax﹣2 在（﹣∞， +∞）上单一递加．若 a＞0，则当 x∈（﹣∞， lna）时， f ′（x）=e x﹣a＜0；当 x∈（ lna，+∞）时， f ′（x） =e x﹣a＞ 0；因此， f（x）在（﹣∞， lna）单一递减，在（ lna，+∞）上单一递加．（II）因为 a=1，因此，（x﹣k） f （′ x） +x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当 x＞0 时，（x﹣k） f ′（x） +x+1＞ 0 等价于 k＜（＞）①x 0令 g（x） =，则g′（x）=由（ I）知，当 a=1 时，函数 h（ x） =e x﹣ x﹣2 在（ 0，+∞）上单一递加，而 h（1）＜ 0，h（2）＞0，因此 h（x）=e x﹣x﹣2 在（ 0， +∞）上存在独一的零点，故 g′（x）在（ 0， +∞）上存在独一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当 x∈（ 0，α）时， g′（x）＜ 0；当 x∈（α，+∞）时， g′（x）＞ 0；因此 g（x）在（ 0， +∞）上的最小值为g（α）．α又由 g′（α） =0，可得 e =α+2 因此 g（α）=α+1∈（ 2， 3）因为①式等价于k＜ g（α），故整数 k 的最大值为 2．22．（ 10 分）（2012?新课标）如图， D，E 分别为△ ABC边 AB，AC 的中点，直线 DE交△ ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CF∥ AB，证明：（1） CD=BC；（2）△ BCD∽△ GBD．【剖析】（1）依据 D，E 分别为△ ABC边 AB，AC的中点，可得 DE∥BC，证明四边形 ADCF是平行四边形，即可获得结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△ BCD～△ GBD．【解答】证明：（1）∵ D， E分别为△ ABC边 AB， AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵ AB∥CF，∴四边形 BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形 ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴ BC=AF，∴ CD=BC．（ 2）由（ 1）知，因此．因此∠ BGD=∠ DBC．因为 GF∥BC，因此∠ BDG=∠ADF=∠DBC=∠ BDC．因此△ BCD～△ GBD．23．（ 2012?新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立C2上，且A，B，C，D 依逆时坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的极点都在针序次摆列，点 A 的极坐标为（ 2，）．（1）求点 A， B， C， D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1上随意一点，求 | PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2的取值范围．【剖析】（1）确立点 A， B，C， D 的极坐标，即可得点 A，B，C，D 的直角坐标；（ 2）利用参数方程设出P 的坐标，借助于三角函数，即可求得| PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2的取值范围．【解答】解：（1）点 A，B，C，D 的极坐标为，，，，，，，点 A，B，C，D 的直角坐标为，，，，，，，（ 2）设 P（x0， y0），则为参数）t=| PA| 2+| PB| 2+| PC| 2+| PD| 2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵ sin2φ∈[ 0，1]∴t∈[ 32， 52]24．（ 2012?新课标）已知函数 f（x）=| x+a|+|x﹣2|①当 a=﹣3 时，求不等式 f（ x）≥ 3 的解集；② f（x）≤ | x﹣4| 若的解集包括 [ 1，2] ，求 a 的取值范围．【剖析】①不等式等价于，或＜＜，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣ 2﹣ x≤ a≤ 2﹣ x 在 [ 1，2] 上恒成立，由此求得求 a 的取值范围．【解答】解：（1）当 a=﹣3 时， f（x）≥ 3 即| x﹣ 3|+|x﹣2| ≥3，即，可得 x≤ 1；＜＜，可得 x∈ ?；，可得 x≥ 4．取并集可得不等式的解集为 { x| x≤1 或 x≥4} ．（2）原命题即 f （x）≤ | x﹣ 4| 在[ 1，2] 上恒成立，等价于 | x+a|+ 2﹣x≤4﹣x 在[ 1，2] 上恒成立，等价于 | x+a| ≤ 2，等价于﹣ 2≤x+a≤2，﹣ 2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立．故当 1≤ x≤2 时，﹣ 2﹣x 的最大值为﹣ 2﹣1=﹣ 3， 2﹣ x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为 [ ﹣ 3， 0] ．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷含答案(文科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( )A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀2.复数z=-的共轭复数是( )A.2+iB.2-IC.-1+iD.-1-i3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)(n≥2,x1,x2,…,x n不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( )A.-1B.0C.D.14.设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A. B. C. D.5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )A.(1-,2)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1+)6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B.4 C.4 D.69.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( )A. B. C. D.10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )A. B.2 C.4 D.811.当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是( )A.,B.,C.(1,D.(,2)12.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( )A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.14.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3+3S2=0,则公比q= .15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .16.设函数f(x)=()的最大值为M,最小值为m,则M+m= .三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e x-ax-2.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是,(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.B A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.评析本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.=-=-1+i,=-1-i,故选D.2.D z=-=(-)(-)()(-)评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.3.D 所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.评析本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.4.C 设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要. 5.A 由题意知区域为△ABC(不含边界).当直线-x+y-z=0过点C(1+,2)时,z min=1-;当过点B(1,3)时,z max=2.故选A.评析本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.6.C 不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C. 评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B 由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.B 如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|==.∴球的体积V=πR3=4π.故选B.评析本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.9.A 由题意得=2-,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.10.C 由题意可得A(-4,2).∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.11.B 易知0<a<1,则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图,则只需满足log a>2,解得a>,故选B.评析本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.12.D 当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=()=30×61=1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.二、填空题13.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.14.答案-2解析由S 3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.评析本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.15.答案3解析把|2a-b|=两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=3或|b|=-(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.16.答案 2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.评析本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.三、解答题17.解析(Ⅰ)由c=asin C-c·cos A及正弦定理得·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin-=.又0<A<π,故A=.(Ⅱ)△ABC的面积S=bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.当日需求量n<17时,利润y=10n-85.所以y关于n的函数解析式为y=-,,,(n∈N).(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.评析本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.19.解析(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC 1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.评析本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.20.解析(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4所以|BD|·d=4即·2p·p=4解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为或-.当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为m的截距b1=,||||=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=e x-a.若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(e x-1)+x+1.故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<-+x(x>0).①令g(x)=-+x,则g'(x)=--(-)+1=(--)(-).由(Ⅰ)知,函数h(x)=e x-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A ,,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-,, ,,-,.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.。
2012数学文科考试试题4
2012数学文科试题4一、选择题：1．函数y =lg(1-x )的定义域为A ．()0，∞-∪()10，B ．()1，∞-∪()∞+，1C ．()1，∞-D ．()∞+，12．已知角A 同时满足sin A >0且tan A <0，则角A 的终边一定落在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a 、b 、c 均为实数，则“a > b ”是“ac 2> bc 2”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+3050x y x y x ，，表示的平面区域是A ．非封闭图形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形5．从400个形状大小相同的球（其中20个黄球，380个其它颜色的球）中，采用按颜色分层抽样的方法抽取80个进行质量检测，则应抽取的黄球个数为 A ．1个B ．2个C ． 3个D ． 4个6．两直线x -2y -2=0与x +y -1=0夹角的正切值是A ．3B ．-3C ．31D ．31-7．若函数f (x )=A sin(ωx +φ)（A >0，ω>0，|φ|<2π）在同一周期内，当x =4π时取得最大值2，当x =43π时取得最小值-2，则函数f (2π+x )的解析式是 A ．y =-2sin2xB ．y =-2cos2xC ．y =2sin2xD ．y =2cos2x8．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MB MA ⋅=1，则动点M 的轨迹是A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线9．在直角三角形ABC 中，AB =4，AC =2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM 在向量方向上的投影是 A ．1B ．-1C ．553 D ．553-10．记a =sin(cos210º)，b =sin(sin210º)，c =cos(sin210º)，d =cos(cos210º)，则a 、b 、c 、d 中最大的是A ．aB ．bC ．cD ．d11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则A ．S 6=21-S 3 B ．S 6=-2S 3 C ．S 6=21S 3 D ．S 6=2S 312．设双曲线C ：22a x -22by =1（a >0，b >0）的右焦点为F ，P 是第一象限内C 上的点，Q 为双曲线左准线上的点．若OP 垂直平分FQ ，则ab的取值范围是 A ．(21，+∞) B ．(2，+∞)C ．(22， +∞) D ．(3，+∞) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．不等式x x -+21≥0的解集是 ．（用区间表示） 14．以椭圆42x +32y =1的右焦点为焦点，以坐标原点为顶点的抛物线方程是 ．15．在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，角A 、B 、C 成等差数列，a=8，b=7，则cos C = ．17．已知向量m =(cos x +sin x ，3cos x )，n =(cos x -sin x ，2sin x )，设函数f (x ) =m · n ．（1）求函数f (x )的最小正周期T ；（2）若角A 是锐角三角形的最大内角，求f (A )的取值范围．18．已知函数f (x )=mx 3＋(ax -1)(x -2)（x ∈R ）的图象在x =1处的切线与直线x +y =0平行．（1）求m 的值；（2）当a ≥0时，解关于x 的不等式f (x )<0．19．已知圆C ：x 2+y 2+2x -4y +1=0．O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M ．（1）若点P 运动到(1，3)处，求此时切线l 的方程； （2）求满足条件PO PM =的点P 的轨迹方程．20．已知12)(+-+⋅=x x a m a m x f （其中a >0且a ≠1，m ∈R ）是定义在R 上的奇函数．记)(x f 的反函数为)(1x f -．（1）求实数m 的值及)(1x f -；（2）设数列{a n }满足a n =)11(1+-n f （n∈N *），它的前n 项和为S n ，求使不等式S n <6log a 成立的n 的取值．21．已知椭圆C ：122=+my x 的焦点在y 轴上，且离心率为23．过点(0，3)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右顶点M ，求此时l 的方程．22．设数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，已知1242++=n n n a a S （n ∈N *）．（1）证明{a n }是等差数列，并求a n ； （2）设m 、k 、p ∈N *，m +p =2k ，求证：m S 1＋p S 1≥kS 2；2012数学文科试题4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBCD AABDC CB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．[)21，-14．y 2=4x15．1411 或1413 16．①③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由已知有f (x )=(cos x +sin x )(cos x -sin x )+x cos 3·2sin x x x 2sin 32cos +=)62sin(2π+=x ，………………………………………6分于是T ππ==22，即f (x )的最小正周期为π． ………………………………8分 （2）由已知有 A ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，，∴65π≤6762ππ<+A ． ∴ -1<)62sin(2π+x ≤1．即f (A )的取值范围是(]11，-．………………………………………………12分 18．解：（1）∵ f (x )=mx 3+ax 2-(2a +1)x +2，∴)12(23)(2+-+='a ax mx x f ∴13)1(-='m f ，即函数f (x )的图象在x =1处的切线斜率为3m -1． ∴由题知3m -1=-1，解得m =0． （2）由（1）知f (x )=(ax -1)(x -2)． 当a =0时，f (x )=-(x -2)>0，解得x <2． 当a >0时，方程f (x )=0的两根为ax 11=，x 2=2 若21<a 即21>a 时，原不等式的解为21<<x a； 若21=a即21=a 时，原不等式的解为∅；若21>a 即21<a 时，原不等式的解为ax 12<<． ∴综上所述，当a =0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当0<a <21时，原不等式的解集为{x |21<<x a}；当21=a 时，原不等式的解集为∅； 当21>a 时，原不等式的解集为{x |ax 12<<}．………………………12分 19．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=4，∴ 圆心为(-1，2)，半径为2． ………………………………………………2分 （1）当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =1，满足条件．……………4分 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -1)，即kx -y +3-k =0， ∵21|32|2=+-+--k k k ，解得 43-=k ． ∴ l 的方程为3x +4y -15=0．综上，满足条件的切线l 的方程为x =1或3x +4y -15=0． …………………7分 （2）设P (x ，y )，∵ |PM |2=|PC |2-|MC |2=(x +1)2+(y -2)2-4，|PO |2=x 2+y 2， ∴ 由|PM |=|PO |有(x +1)2+(y -2)2-4=x 2+y 2， 整理得2x -4y +1=0，即点P 的轨迹方程为2x -4y +1=0． …………………………………………12分 20．解：（1）f (x )是定义在R 上的奇函数，∴ f (0)=0，即01200=+-+⋅a m a m ，解得m =1． ………………………………2分∴ 11)(+-=x x a a x f (x ∈R )．令11+-=x x a a y ，反解得y y x a -+=11log ，∴ xxx f a-+=-11log )(1（-1<x <1）． ……………………………………………6分 （2）由已知有a n =111111log +-++n n a =n n a 2log +（n ∈N *）， ∴ S n =13log a +24log a +35log a +…+n n a 2log +=)211352413(log n n n n a +⋅-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=2)2)(1(log ++n n a ． ………………………………………………………9分于是由题得2)2)(1(log ++n n a <6log a ，∴ 当a >1时，2)2)(1(++n n <6，解得-5<n <2．当0<a <1时，2)2)(1(++n n >6，解得n <-5，或n >2．∵ n ∈N *，∴ 当a >1时，n =1；当0<a <1时，n 取大于2的所有整数． …………12分 21．解：（1）由题知a 2=m ，b 2=1，∴ c 2=m -1．∴ 231=-==mm ace ，解得m =4． ∴ 椭圆的方程为1422=+y x ． …………………………………………………4分（2）由（1）知M (1，0)，且据题知MB MA ⋅=0． 当l 的斜率不存在时，A (0，2)，B (0，-2)， ∴ =(-1，2)，=(-1，-2)，∴ MB MA ⋅=(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0，不符合条件．……………………6分 当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则l 的方程为y=kx +3． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，于是MA =(x 1-1，y 1)，MB =(x 2-1，y 2)．联立l 和椭圆的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，14322y x kx y 消去y ，整理得(4+k 2)x 2+6kx +5=0，∴ Δ=(6k )2-4×(4+k 2)×5=16k 2-80>0，解得k 2>5． 且2212214546k x x k k x x +=+-=+，， ∴ y 1y 2=(kx 1+3)(kx 2+3)=k 2x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9=224436k k +-． …………………10分∵ MB MA ⋅=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=245k ++246k k ++1+224436k k +- =2244563kk k +++-， ∴ 2244563kk k +++-=0，解得k =-3，或k =5（均满足条件）． ∴ l 的方程为y=-3x +3，或y=5x +3．………………………………………12分22．解：（1）∵ 1242++=n nn a a S ， ∴ 1241211++=---n n n a a S (n ≥2)． 两式相减得1212224---+-=n n n n n a a a a a ．整理得 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ， ∵ 01≠+-n n a a ，∴ 21=--n n a a （常数）．∴ {a n }是以2为公差的等差数列．又1241211++=a a S ，即012121=+-a a ，解得11=a ， ∴ a n =1+(n -1)×2=2n -1．………………………………………………………4分（2）由（1）知22)121(n n n S n =-+=，∴ S m =m 2，S p =p 2，S k =k 2．由222211211k p m S S S k p m -+=-+222222222)(k p m p m p m k -+= ≥22222222)2(k p m p m mp p m -⋅+≥2222222k p m p m mp mp -⋅=0，即p m S S 11+≥kS 2． ………………………………………………………………7分 （3）结论成立，证明如下：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则2)(2)1(11n n a a n d n n na S +=-+=， ∵ ])1(2[2)1(2)1(2111d k k ka d p p pa d m m ma S S S k p m -+--++-+=-+ ])(2[2)()(21221d k k ka d p m p m a p m -+-+-+++=，把k p m 2=+代入上式化简得k p m S S S 2-+=4)(2)2(22222d p m d p m p m -=⋅+⨯-+≥0，∴ S m +S p ≥2S k ．又4))((11p m p m a a a a mp S S ++=⋅=4])([121p m p m a a a a a a mp ⋅+++≤4])2(2[)2(21212p m k a a a a a p m ++⋅++4)2(21212k k a a a a k ++=4)(212k a a k +=2)2(k S =，∴ pm p m p m S S S S S S +=+11≥k k k S S S 2)2(22=． 故原不等式得证．………………………………………………………………14分。
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2011—2012学年第二学期高三年级练兵考试数学试题（文） 2012.4本试卷满分150分 考试时间120分钟第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则（ ）A. M N =∅B. M N M =C. M N M =D. M N R = 2.已知i 为虚数单位，复数121iz i+=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．i 23 B ．23 C ．i 21- D ．21-3．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且,2=⋅则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．已知命题p ：x R ∃∈， 2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则（ ） A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∨⌝是假命题D ．命题()p q ∧⌝是真命题5．已知1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α= （ ）A ．3231 B. 3231- C.87- D. 876.如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-01,01,01y x y y x 则2x y -的最大值为（ ）A.1B.31 C.3 D.47.已知函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ）A ．(0)16π，B ．(0)9π，C ．(0)4π，D ．(0)2π，8．函数a x x x x f -++=33)(23的极值点的个数是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．由a 确定9.右图是某同学为求50个偶数：2，4，6，…，100的平均数而设计的程序框图的部分内容，则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是（ ）A.50?,50x x i => B. 100?,50xx i =≥ C. 50?,50x x i =< D. 100?,50xx i =≤10．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于260ax by ++=对称，则由点),(b a 向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．3D ．211．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD 折起，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积等于（ ） A.4π B.8π C.16π D.24π 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)()4(x f x f =+，且当x ∈[－2,0]时，1)21()(-=xx f ，若在区间(－2，6]内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a （a>1）恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,2) B.(2，＋∞第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中横线上. 13.等比数列{}n a 中，372,8,a a == 则5a =14.已知函数⎩⎨⎧<+≥=)2)(2()2(2)(x x f x x f x ，则)5(log 4f 等于15．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为16.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在数列}{n a 中，c a a a n n +==+11,1（c 为常数，*N n ∈），且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列．（1）求c 的值； （2）设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点,//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB （1） 证明://CM 面SAD ； （2） 求四棱锥S ABCD -的体积。
19．（本小题满分12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评。
某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样的方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生 表二：女生（2）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（3）由表中统计数据填写右边22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”。
参考数据与公式.,))()()(()(22d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=其中S A B CD M临界值表：20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于Q P ,两点，在线段OF 上是否存在点(,0)M m ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分12分）已知函数)0(22)(>-++=a a xbax x f 的图像在点))1(,1(f 处的切线与直线12+=x y 平行． （1）求b a ,满足的关系式；（2）若x x f ln 2)(≥在),1[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围。
四、选做题：(本小题满分10分.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．) 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AC 是弦，AD CE ⊥， 垂足为D ，AC 平分.BAD ∠（Ⅰ）求证：直线CE 是圆O 的切线； （Ⅱ）求证：2.AC AB AD =⋅23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ．（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． 24．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知()|1||1|,()4f x x x f x =++-<不等式的解集为M （1）求M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|.a b ab +<+高三数学（文）参考答案及评分标准一、选择题：三、解答题17．解：（1）因为c c a a n n (1+=+为常数)，11=a ，所以数列}{n a 是以1为首项，c 为公差的等差数列，-------------2分 所以c a c a 41,152+=+=．因为521,,a a a 成公比不等于1的等比数列，所以c c 41)1(2+=+且1)1(≠+c ，解得2=c ．--------------------6分（2）由（1）知12-=n a n ， 所以)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ．----------9分所以12)1211(21)]121121()5131()311[(21+=+-=+--++-+-=n n n n n S n ---12分18.（1）取SA 中点N ，连结,ND NM ，则//NM AB ，且12MN A B D C ==，//AB CD ，所以NMCD 是平行四边形，//ND MC ，---------------------3分且,ND SAD MC SAD ⊂⊄面面，所以//CM 面SAD ；------------5分 （2）::3:2S ABCD S ABD ABCD ABD V V S S --∆∆==------------7分 过D 作DH AB ⊥，交于H，由题得BD AD ==在,Rt DSA Rt DSB ∆∆中，2SA SB ===所以13S ABD D SAB ABS V V DS S --∆==⋅⋅=-----------10分所以3232S ABCD V -=⋅=-----------------------12分 19.解;（1）设从高一男生抽m 人，90045500=m ，25=∴m 21820,52025=-==-=y x -----------------3分（2）表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的人为a,b,c,尚待改进的为A,B, 则5人中选2人的所有可能结果为：（a,b ）,(a,c),(b,c)（A,B ）,(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共10种，恰有一人测评等级为合格的有6种，53106==∴p ----------------------------6分 （3）706.2125.189********)1015515(4522<==⨯⨯⨯⨯-⨯=k --------------------11分没有∴90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”。
--------------12分20．解:(I ）由已知，椭圆方程可设为()222210x y a b a b+=>>设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l的距离为22= 1c =.---- 2分 又a c e ==22，故a =2，b =1∴所求椭圆方程为2212x y +=．-----4分（II ）假设存在点()(),001M m m <<满足条件,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y由()2222,1,x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．---- 6分 由0∆>恒成立，∴22121222422,1212k k x x x x k k -+==++． 设线段PQ 的中点为00(,)N x y ， 则202221021)1(,2122k kx k y k k x x x +-=-=+=+= ------ 8分 ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，∴MN⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K --- 10分即222121212k k k k mk -+⋅=--+，2222110012122k m k m k k ∴==∴>∴<<++ ----- 12分21．（1）解：2)('xba x f -=，根据题意得2)1('=-=b a f ， 所以b a ,满足的关系式为2-=a b ．-------------4分 （2）解：由（1）知，a xa ax x f 222)(-+-+=． 令x a xa ax x x f x g ln 2222ln 2)()(--+-+=-=， 则22)2)(1(22)('x a ax x a x x a a x g ---=---=．------------------------6分 当10<<a 时，12>-a a ，若a a x -<<21，则)(,0)('x g x g <在)2,1(aa-上单调递减，所以0)1()(=<g x g ，即x x f ln 2)(≥在),1[+∞上不恒成立．--------8分 当1≥a 时，12≤-aa，若1≥x ，则0)('≥x g ，)(x g 在),1[+∞上单调递增， 所以0)1()(=≥g x g ，即x x f ln 2)(≥在),1[+∞上恒成立．-------------10分 综上，实数a 的取值范围是),1[+∞．----------------------12分22．证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠.--- 2分 又因为AD CE ⊥，所以090ACD CAD ∠+∠=， 又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠，----4分所以90OCA ACD ∠+∠=o，即OC CE ⊥，所以CE 是圆O 的切线.---6分（Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=， 因为OAC CAD ∠=∠，--- 8分所以△ABC ∽△ACD ，所以AC AD AB AC=，即2AC AB AD =⋅.--- 10分 23．解：（1）由22)4cos(=-πθρ得4)sin (cos =+θθρ，所以直线l 的直角坐标方程为04=-+y x ．-------------2分 由⎩⎨⎧==θθsin ,cos 3y x 得1)3(22=+y x ，即1322=+y x ，所以曲线C 的普通方程为1322=+y x ．-------------------5分 （2）在曲线C 上任取一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离为24)3sin(224sin cos 3-+=-+=πθθθd ，--------------8分当1)3sin(-=+πθ时，d 取最大值23．故曲线上C 的点到直线l 的最大距离为23．--------------10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1．------------2分当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4；,11≤≤-∴x 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2．所以M ＝(－2，2)．------------------------------------6分 （Ⅱ）当a ，b ∈M 即－2＜a ，b ＜2，∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)＜0，---8分∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2，∴2|a ＋b |＜|4＋ab |．---------------10分。