2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(解析版)

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2021年中考数学专题汇编：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为()A．1月和11月B．1月、11月和12月C．1月D．1月至11月3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连.最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=x2B.y=-x2C.y=x2D.y=-x24. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18 m2B.18m2C.24m2D.m25. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③6. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()A．50 m B．100 mC．160 m D．200 m7. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是()A .当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB .小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7 mD .斜坡的坡度为1∶28. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 29. 如图，将一个小球从斜坡上的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距点O 的水平距离为3 mB ．小球距点O 的水平距离超过4 m 后呈下降趋势C ．小球落地点距点O 的水平距离为7 mD ．小球距点O 的水平距离为2.5 m 和5.5 m 时的高度相同10. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －1二、填空题（本大题共8道小题）11. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．12. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.13. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，则可卖出(30－x )件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．14. 某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大.15. 飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－32t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．16. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.17. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．18. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.三、解答题（本大题共4道小题）19. 某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:售价x(元/件) 50 60 80周销售量y(件) 100 80 40周销售利润1000 1600 1600w(元)注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是元/件;当售价是元/件时，周销售利润最大，最大利润是元;(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元，求m的值.20. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)，适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；(3)若存在实数t1和t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值范围．21. 旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的运营规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？22. (2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？2021中考数学专题汇编：二次函数的实际应用-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．2. 【答案】B[解析] 由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，∴y＝－(n－6)2＋25，当n＝1时，y＝0；当n＝11时，y＝0；当n＝12时，y＜0.故停产的月份是1月、11月和12月．故选B.3. 【答案】B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2，由题可知，点A的坐标为(-45，-78)，代入表达式可得:-78=a×(-45)2，解得a=-，∴二次函数的表达式为y=-x2，故选B.4. 【答案】C[解析]如图，过点C作CE⊥AB于E，设CD=x，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x.在Rt△CBE中，∵∠CEB=90°，∴BE=BC=6-x，∴AD=CE=BE=6x，AB=AE+BE=x+6-x=x+6，∴梯形ABCD的面积=(CD+AB)·CE=x+x+6·6x=-x2+3x+18=-(x-4)2+24，=24，即CD长为4 m时，使梯形储料场ABCD的面积最大，∴当x=4时，S最大最大面积为24m2，故选C.5. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.6. 【答案】C[解析] 以2 m长线段所在直线为x轴，以其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再求出不锈钢支柱的长度．7. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y=4x-x2的函数值为7.5，即4x-x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3 m或5 m，A结论错误;由y=4x-x2，得y=-(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y随x值的增大而减小，B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C 结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x 中系数的意义判断坡度为1∶2，D 结论正确.故选A .8. 【答案】B[解析] 设二次函数的解析式为y ＝ax 2.由题可知，点A 的坐标为(－45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a ＝－26675，∴二次函数解析式为y ＝－26675x 2.故选B.9. 【答案】A[解析] 令y ＝7.5，得4x －12x 2＝7.5.解得x 1＝3，x 2＝5.可见选项A错误．由y ＝4x －12x 2得y ＝－12(x －4)2＋8，∴对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，选项B 正确．联立y ＝4x －12x 2与y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝72.∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，可见选项C 正确．由对称性可知选项D 正确．综上所述，只有选项A 中的结论是错误的，故选A.10. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y ＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】28 [解析] 设商店所获利润为y 元．根据题意，得 y ＝(a －21)(350－10a)＝－10a 2＋560a －7350＝－10(a －28)2＋490，即当a ＝28时，可获得最大利润．又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a ＝28符合要求．故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．12. 【答案】150[解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得y=x ·=-(x -150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.13. 【答案】25[解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －20)(30－x)＝－(x －25)2＋25.∵20≤x≤30，∴当x ＝25时，二次函数有最大值25.14. 【答案】22[解析]设每件的定价为x 元，每天的销售利润为y 元.根据题意，得y=(x -15)[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870. ∴y=-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98. ∵a=-2<0， ∴抛物线开口向下，∴当x=22时，y 最大值=98.故答案为22.15. 【答案】20[解析] 滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，∴当t ＝20时，s 的最大值为600.16. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.17. 【答案】y ＝－19(x ＋6)2＋418. 【答案】48[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB 与y 轴交于点H.∵AB＝36 m，∴AH＝BH＝18 m.由题可知：OH＝7 m，CH＝9 m，∴OC＝9＋7＝16(m)．设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k.∵抛物线的顶点为C(0，16)，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋16.把(18，7)代入解析式，得7＝18×18a＋16，∴7＝324a＋16，∴a＝－1 36，∴y＝－136x2＋16.当y＝0时，0＝－136x2＋16，∴－136x2＝－16，解得x＝±24，∴E(24，0)，D(－24，0)，∴OE＝OD＝24 m，∴DE＝OD＋OE＝24＋24＝48(m)．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解:(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b，依题意，有解得∴y与x的函数关系式是y=-2x+200..②设进价为t元/件，由题意，1000=100×(50-t)，解得t=40，∴进价为40元/件; 周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800，故当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元.故答案为40，70，1800.(2)依题意有，w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2x-2+m2-60m+1800.∵m>0，∴对称轴x=>70，∵-2<0，∴抛物线开口向下，∵x≤65，∴w随x的增大而增大，∴当x=65时，w有最大值(-2×65+200)(65-40-m)，∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400，∴m=5.20. 【答案】解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15(米)，∴此时足球距离地面的高度为15米．(2分)(2)∵h＝10，∴20t－5t2＝10，即t2－4t＋2＝0，解得t1＝2＋2，t2＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 秒时，足球距离地面的高度为10米．(4分)(3)∵m≥0，由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m的两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝(－20)2－20m＞0，∴m＜20，∴m的取值范围是0≤m＜20.(8分)21. 【答案】解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0<x≤100，由50x－1100>0，(2分)解得x>22，(3分)又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元．(5分)(2)设每天的净收入为y元，当0<x≤100时，y1＝50x－1100，(6分)∵y1随x的增大而增大，∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1100＝3900；(8分)当x>100时，y2＝(50－x－1005)x－1100＝－15x2＋70x－1100＝－15(x－175)2＋5025.(9分)∴当x＝175时，y2的最大值是5025，∵5025>3900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．(10分) 22. 【答案】(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．(2)设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，∵20a =-<，∴抛物线开口向下，∵对称轴65x =，∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值，22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．。

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题练习—选择题(提升题)含解析

2023届上海市区域中考数学模拟试题分层分类汇编专项真题试卷练习—选择题（提升题）目录一．二次函数的性质（共2小题） (1)二．二次函数图象与系数的关系（共1小题） (1)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (1)四．三角形的重心（共2小题） (2)五．矩形的性质（共1小题） (2)六．旋转的性质（共3小题） (2)七．比例的性质（共1小题） (3)八．相似三角形的性质（共1小题） (3)九．相似三角形的判定（共1小题） (3)一十．相似三角形的判定与性质（共3小题） (3)一十一．解直角三角形（共1小题） (4)一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题） (4)一．二次函数的性质（共2小题） (6)二．二次函数图象与系数的关系（共1小题） (6)三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） (6)四．三角形的重心（共2小题） (7)五．矩形的性质（共1小题） (9)六．旋转的性质（共3小题） (10)七．比例的性质（共1小题） (14)八．相似三角形的性质（共1小题） (14)九．相似三角形的判定（共1小题） (14)一十．相似三角形的判定与性质（共3小题） (17)一十一．解直角三角形（共1小题） (18)一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题） (19)一．二次函数的性质（共2小题）1．（2023•松江区一模）已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．2．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是．（填“上升”或“下降”）二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）3．（2023•金山区一模）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．四．三角形的重心（共2小题）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是．6．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．五．矩形的性质（共1小题）7．（2023•青浦区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．点H、F分别在边AD、BC 上，点E、G在对角线AC上．如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为．六．旋转的性质（共3小题）8．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．9．（2023•青浦区一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，AB＝5，PB＝3，PA⊥PB．如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，射线QP交边AD于点E，那么线段PE的长为．10．（2023•普陀区一模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，AD ＝2．将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，点A′、C′分别与点A、C对应．连接BC′，BC′与线段AD交于点G．如果点A′、A、C′在同一条直线上，那么C′G ＝．七．比例的性质（共1小题）11．（2023•松江区一模）如果＝，那么＝．八．相似三角形的性质（共1小题）12．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．九．相似三角形的判定（共1小题）13．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和谐三角形”，直线CD为△ABC的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知△DEF是“和谐三角形”，∠D＝42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F的度数是.（写出所有符合条件的情况）一十．相似三角形的判定与性质（共3小题）14．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝．的延长线交于点E，如果C△EAF15．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果DE：BC＝2：5，那么EF：AB的值是．16．（2023•奉贤区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC：AD＝3：2，那么S△ADC：S△ABC的值为．一十一．解直角三角形（共1小题）17．（2023•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC ＝12，则BC＝．一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）18．（2023•金山区一模）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝米．19．（2023•长宁区一模）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．20．（2023•松江区一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-02填空题（提升题）2答案与试题解析一．二次函数的性质（共2小题）1．（2023•松江区一模）已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是y＝﹣x2+2，（答案不唯一）（只要写出一个符合要求的解析式）．【正确答案】y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．2．（2023•青浦区一模）抛物线y＝3x2﹣1在y轴右侧的部分是上升．（填“上升”或“下降”）【正确答案】上升．解：∵y＝3x2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴y轴右侧部分上升，故上升．二．二次函数图象与系数的关系（共1小题）3．（2023•金山区一模）抛物线y＝（k+2）x2﹣3x﹣1有最高点，那么k的取值范围是k＜﹣2．【正确答案】k＜﹣2．解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，故k＜﹣2．三．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）4．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1＞y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【正确答案】＞．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故＞．四．三角形的重心（共2小题）5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是0≤d≤．【正确答案】0≤d≤．解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故0≤d≤．6．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【正确答案】．解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故．五．矩形的性质（共1小题）7．（2023•青浦区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4．点H、F分别在边AD、BC上，点E、G在对角线AC上．如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为．【正确答案】．解：连接FH交AC于O，如图：∵四边形EFGH是菱形，∴FH⊥AC，OF＝OH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，在△AOH与△COF中，，∴△AOH≌△COF（AAS），∴AO＝CO，Rt△ABC中，AB＝2，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∴AO＝AC＝，∵∠CAD＝∠HAO，∠AOH＝∠D＝90°，∴△AOH∽△ADC，∴＝，即＝，∴AH＝，故．六．旋转的性质（共3小题）8．（2023•松江区一模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为或．【正确答案】或．解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故或．9．（2023•青浦区一模）如图，点P是正方形ABCD内一点，AB＝5，PB＝3，PA⊥PB．如果将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，射线QP交边AD于点E，那么线段PE的长为．【正确答案】．解：以B为原点，以BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过P作PF⊥AB于F，过Q作QG⊥AB交AB延长线于G，如图：∵AB＝5，PB＝3，PA⊥PB，∴AP＝＝4，＝AP•PB＝AB•PF，∵2S△ABP∴PF＝＝，∴BF＝＝，∴P，∵将线段PB绕点B顺时针旋转90°，点P的对应点为Q，∴∠PBQ＝90°，BP＝BQ，∴∠FBP＝90°﹣∠QBG＝∠BQG，∵∠PFB＝∠BGQ＝90°，∴△PFB≌△BGQ（AAS），∴PF＝BG＝，BF＝QG＝，∴Q（，﹣），由P，Q（，﹣）得直线PQ解析式为y＝7x﹣15，在y＝7x﹣15中，令y＝5得x＝，∴E（，5），∵P，∴PE＝＝，故．10．（2023•普陀区一模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，AD ＝2．将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，点A′、C′分别与点A、C对应．连接BC′，BC′与线段AD交于点G．如果点A′、A、C′在同一条直线上，那么C′G＝．解：以D为原点，DC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥DC于H，设A'C'交y轴于M，如图：∵AD为边BC上的中线，BC＝2AC，BC＝6，∴BD＝CD＝AC＝3，∴B（﹣3，0），设DH＝m，则CH＝3﹣m，∵AD2﹣DH2＝AH2＝AC2﹣CH2，∴22﹣m2＝32﹣（3﹣m）2，解得m＝，∴DH＝，AH＝，∴A，由D（0，0），A得直线DA解析式为y＝2x，∵将△ADC绕点D以逆时针方向旋转得到△A′DC′，∴AD＝A'D，∠CAD＝∠C'A'D，∴∠AA'D＝∠A'AD，∴∠CAD＝∠A'AD，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∴∠A'AD＝∠ADC，∴A'C'∥DC，∴四边形AMDH是矩形，∴AM＝DH＝，DM＝AH＝，∵AD＝A'D，∴A'M＝AM＝，∴C'M＝A'C'﹣A'M＝3﹣＝，∴C'，由B（﹣3，0），C'得直线BC'解析式为y＝x+，联立得，∴G，∴C'G＝＝，故．七．比例的性质（共1小题）11．（2023•松江区一模）如果＝，那么＝．【正确答案】见试题解答内容解：∵＝，则x＝y，∴＝＝＝．故．八．相似三角形的性质（共1小题）12．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是1：3．【正确答案】1：3．解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故1：3．九．相似三角形的判定（共1小题）13．（2023•徐汇区一模）规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，CD是斜边AB上的高，其中△ACD是等腰三角形，且△BCD和△ABC相似，所以△ABC是“和谐三角形”，直线CD为△ABC的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知△DEF是“和谐三角形”，∠D＝42°，当直线EG是△DEF的“和谐分割线”时，∠F的度数是54°或27°或46°或32°．.（写出所有符合条件的情况）【正确答案】54°或27°或46°或32°．解：若△DEG是等腰三角形，△EFG与△DEF相似，如图1，当DG＝EG，∠GEF＝∠D＝42°时，∴∠DEG＝∠D＝42°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝180°﹣3×42°＝54°，如图2，当DE＝DG，∠FGE＝∠D＝42°时，∴∠DGE＝∠DEG＝＝69°，∴∠F＝∠DGE﹣∠FEG＝69°﹣42°＝27°，当△EFG是等腰三角形，△DEG与△DEF相似时，如图3，当EG＝FG，∠DEG＝∠F时，∴∠F＝∠FEG，∴∠F＝∠FEG＝∠DEG＝＝46°，如图4，当EF＝FG，∠DEG＝∠F时，∴∠FEG＝∠FGE，设∠F＝∠DEG＝x°，∴∠FEG＝∠FGE＝（42+x）°，∴x+2（42+x）＝180，∴x＝32°，∴∠F＝32°，综上所述：∠F＝54°或27°或46°或32°，故答案为54°或27°或46°或32°．一十．相似三角形的判定与性质（共3小题）14．（2023•金山区一模）如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA：C△CDF＝1：2，那么S△EAF：S四边形ABCF＝1：8．的延长线交于点E，如果C△EAF【正确答案】1：8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△EAF∽△CDF，：C△CDF＝1：2，∵C△EAF∴＝，∴＝，∴＝，∵AF∥BC，∴△EAF∽ABC，∴＝（）2＝（）2＝，：S四边形ABCF＝1：8，∴S△EAF故1：8．15．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB．如果DE：BC＝2：5，那么EF：AB的值是3：5．【正确答案】3：5．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，＝，故3：5．16．（2023•奉贤区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC：AD＝3：2，那么S△ADC：S△ABC的值为2：3．【正确答案】2：3．解：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∴△ADC的边BC上的高和△ADC的边AD上的高相等，：S△ABC＝，∴S△ADC∵BC：AD＝3：2，∴AD：BC＝2：3，：S△ABC＝＝2：3，∴S△ADC故2：3．一十一．解直角三角形（共1小题）17．（2023•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝，AC ＝12，则BC＝9．【正确答案】见试题解答内容解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴tan∠BCD＝tan A＝，在Rt△ABC中，AC＝12，∴tan A＝＝，则BC＝9，故9一十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）18．（2023•金山区一模）某商场场业厅自动扶梯的示意图如图所示，自动扶梯AB坡度i＝1：，自动扶梯AB的长度为12米，那么大厅两层之间的高度BC＝6米．【正确答案】6．解：∵自动扶梯AB坡度i＝1：，∴＝，设BC＝x米，则AC＝x米，∵∠BCA＝90°，AB＝12米，∴AC2+BC2＝AB2，∴（x）2+x2＝122，解得x1＝6，x2＝﹣6（不合题意，舍去），即BC的长为6米，故6．19．（2023•长宁区一模）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了50米．【正确答案】50．解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，则：x2+（2.4x）2＝1302，解得：x＝50，故50．20．（2023•松江区一模）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是6米．【正确答案】6．解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故6．。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题13二次函数综合(解析版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题13二次函数综合1．（2021·上海黄浦区·九年级一模）将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．【答案】246y x x =-+，12x -≤≤．【分析】由二次函数的平移规律：左加右减，可得平移后的解析式，再画出两个函数的图像，利用图像可得答案．【详解】解：把二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位可得：()()23233y x x =-+-+，246y x x ∴=-+，又()222312,y x x x =++=++∴函数图像的顶点坐标为：()1,2,-而()224622,y x x x =-+=-+∴函数图像的顶点坐标为：()2,2,函数223y x x =++与246y x x =-+的图像如图示；∴由图像可得：当12x -≤≤时，函数223y x x =++的函数图像是上升的，而函数246y x x =-+的函数图像是下降的．【点睛】本题考查的是二次函数的图像的平移，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键．2．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．【答案】m ＞1【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵y=x 2+2x+m=(x+1)2+m-1，∴抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，∵抛物线y=x 2+2x+m 顶点在第二象限，∴m-1＞0，∴m ＞1．故答案为m ＞1．【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键．y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(h ，k )，对称轴是x =h ．3．（2021·上海松江区·九年级一模）用配方法把二次函数2365y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】化为23(1)2y x =-+，开口方向：向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标：()1,2P 【分析】先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．【详解】解：y =3x 2-6x +5=3（x 2-2x +1）+2=3（x -1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，顶点P （1，2）．【点睛】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．4．（2021·上海金山区·九年级一模）已知抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成()22y x m k =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【答案】（1）2241y x x =--+；（2）()2213y x =-++，顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【分析】（1）直接将A 、B 的坐标代入22y x bx c =-++求得b 、c 即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线22y x bx c =-++经过点()01A ,、()1,5B -两点可得：125c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：41b c =-⎧⎨=⎩；∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；（2）2241y x x =--+()2213x =-++；∴()2213y x =-++，∴顶点坐标为：()1,3-，对称轴为：直线1x =-．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．5．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为M ，对称轴是直线1x =-．（1）求此抛物线的表达式及点M 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移(0)m m >个单位，所得新抛物线经过原点O ，设新抛物线的顶点为N ，请判断MON △的形状，并说明理由．【答案】（1）222=++y x x ，(1,1)-；（2）△MON 是等腰直角三角形．【分析】（1）根据对称轴是直线1x =-，可求b ，再代入点C ，可求抛物线解析式，把1x =-，代入解析式，可求M 点坐标；（2）由原抛物线与y 轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO 、ON 、MN 的长，可判断三角形形状．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴是直线1x =-，∴121b -=-⨯，解得b=2，把(0,2)C 代入2y x bx c =++得，2c =，∴抛物线解析式为：222=++y x x ；把1x =-代入222=++y x x 得，2(1)2(1)2y =-+⨯-+，1y =，点M 的坐标为：(1,1)-．（2）抛物线222=++y x x 与y 轴交点为(0,2)C ，向下平移(0)m m >个单位后经过原点，∴m=2，新抛物线的顶点N 的坐标为：(1,1)--，∴22112ON =+=，22112OM =+=，MN=2，∴222MN OM ON =+，∴△MON 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．6．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知二次函数21722y x x =--+．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况．【答案】（1）()21142y x =-++；（2）开口向下，顶点()1,4-，对称轴直线1x =-，x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【分析】（1）根据配方法，先提取12-，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根据a 是负数以及顶点式解析式分别求解即可．【详解】解:(1)()()22171214222y x x x =-++=-++（2）①二次函数开口方向向下，②顶点坐标()1,4-，对称轴直线1x =-，③x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质．熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．7．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知一个二次函数的图像经过点()1,0A -、()0,3B 、()2,3C ．（1）求这个函数的解析式及对称轴；（2）如果点()11,P x y 、()22,Q x y 在这个二次函数图像上，且120x x <<，那么1y _____2y ．（填“<”或者“>”）【答案】（1）2y x 2x 3=-++，x=1；（2）<【分析】（1）直接用待定系数法代入三点求出函数解析式，运用对称轴公式可求出对称轴；（2）通过判断二次函数增减性可得出结果．【详解】解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++，已知二次函数经过A 、B 、C 三点，将三点坐标代入二次函数表达式中，03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，可得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则这个函数的解析式为2y x 2x 3=-++，其对称轴为直线12b x a=-=；（2）0a < ，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴x<1时，y 随x 的增大而增大，又本题120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，包括求解析式，求对称轴以及二次函数增减性，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．8．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知二次函数()20y ax ax a =-≠的图像经过点()1,2-．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线2132y x x =++？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1）2y x x =-，顶点为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移32个单位【分析】（1）把点()1,2-代入函数解析式，求出a 的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点()1,2-代入函数解析式，得2a a +=，解得1a =，∴2y x x =-，写成顶点式：21124y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴顶点坐标是11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）将2132y x x =++也写成顶点式，得23724y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，31222⎛⎫--= ⎪⎝⎭，713442-=，∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移32个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．9．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知二次函数的解析式为2122y x x =-．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系xOy 内描点，画出该函数的图像．x …………y …………【答案】（1）()21222y x =--；（2）见解析．【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．【详解】解：（1）2122y x x =-21(4)2x x =-21(444)2x x =-+-()21222x =--∴()21222y x =--；（2）填表如下：x……-20246……y……60-206……图像如下：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．。

上海中考二次函数知识点总结及经典习题

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

中考数学必考考点专题12二次函数含解析

专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答(解析版)

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数解答1．（2021•嘉定区三模）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；（2）当x满足﹣2≤x≤3时，函数值y满足﹣4≤y≤5，试求a的值；（3）将抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）与x轴所围成的区域（不包含边界）记为G，将横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”，如果区域G内恰好只有5个“整点”，结合函数的图象，求a的取值范围．2．（2021•上海模拟）在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．3．（2021•奉贤区三模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC上，求m的值；（3）如果点P是抛物线位于第一象限上的点，联结PA，交线段BC于点E，当PE：AE＝4：5时，求点P的坐标．4．（2021•上海模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．5．（2021•浦东新区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点为M（﹣3，0），抛物线上三点A、B、C到点M的距离都为5，其中点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为点P．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求这条抛物线的表达式及顶点坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，求点Q的纵坐标的取值范围．6．（2021•上海模拟）已知直线交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．7．（2021•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过点A （﹣2，0），B（1，0）和点D（﹣3，n），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；（2）将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，求△ODE的面积；（3）如果点P在y轴上，△PCD与△ABC相似，求点P的坐标．8．（2021•青浦区二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长．9．（2021•金山区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y ＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．（1）求直线y＝kx+b的表达式；（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；（3）若直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，且点P在直线AB的上方，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．10．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．11．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣3分别交x轴、y 轴于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点A和点B，且其顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠BAD的正切值；（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y＝x﹣3的交点，点P是直线y＝x﹣3上的动点，如果△PAC与△AED是相似三角形，求点P的坐标．12．（2021•长宁区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．13．（2021•徐汇区二模）如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．14．（2021•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO 的余切值．15．（2021•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB 上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．16．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．17．（2021•浦东新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA＝OB，抛物线的顶点为M，联结AB、AM．（1）求这条抛物线的表达式和点M的坐标；（2）求sin∠BAM的值；（3）如果Q是线段OB上一点，满足∠MAQ＝45°，求点Q的坐标．18．（2021•浦东新区三模）在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线y＝x2上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B．（1）当m＝1时，求这条“子抛物线”的解析式；（2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值；（3）如果∠OAC＝135°，求m的值．19．（2021•宝山区三模）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．参考答案1．【分析】（1）利用x＝﹣求得a和b的关系，再将其代入原解析式即可；（2）分两种情况讨论，利用抛物线的对称性即可求解；（3）根据整点的定义，结合图象中x取0，1，2，时对应y的值即可判断．【解答】解：（1）将x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+a﹣4得，y＝a+b+a﹣4＝2a+b﹣4，∵对称轴是直线x＝1．∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝2a+b﹣4＝2a﹣2a﹣4＝﹣4，∴抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①a＜0时，抛物线开口向下，y的最大值是﹣4，∵当﹣2≤x≤3时，数值y满足﹣4≤y≤5，∴a＜0不合题意；②a＞0时，抛物线开口向上，∵对称轴是直线x＝1.1到﹣2的距离大于1到3的距离，∴x＝﹣2时，y的值最大5，x＝1时，y的值最小﹣4，∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5，将b＝﹣2a代入得，a＝1，∴a＝1；（3）如图：根据（1）、（2）及抛物线对称性可知：∵抛物线与x轴所围成的区域内只有五个整点，即（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（0，﹣1），（2，﹣1），∴x＝﹣1时，﹣2≤a﹣4≤﹣1，解得：2≤a≤3．2．【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；（2）抛物线与y轴的交点，横坐标为0，即A坐标为（0，a﹣1），根据已知条件|a﹣1|＜3，即可求a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）根据已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为直线x＝1开口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根据f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范围，＜a≤，即可以写出符合条件的函数解析式．【解答】解：（1）抛物线的方程为f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；（2）A为抛物线与y轴的交点，∴A点坐标为（0，a﹣1），∵线段OA上的整点个数小于4，且开口向上，则可知|a﹣1|＜3且a＞0，﹣2＜a＜4，故a的取值范围为﹣2＜a＜4；（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为直线x＝1，开口方向向上，故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），∴f（4）＞0，∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，得a＞，f（3）≤0，得9a﹣6a+a﹣1≤0，得a≤，取a＝，f（x）＝x2﹣x﹣，∴a的取值范围为＜a≤．3．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；（3）通过证明△AEF∽△APH，可证＝，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），∵y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，点B，∴0＝﹣x2+x+2，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴点B（4，0），设直线BC解析式为y＝kx+n，，解得：，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，当x＝时，y＝，∴m＝＝；（3）如图，过点E作EF⊥AB于F，过点P作PH⊥AB于H，∴EF∥PH，∴△AEF∽△APH，∴，∵PE：AE＝4：5，∴＝，∴AF＝5x，AH＝9x，∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，∴点E坐标为[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，点P坐标为[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x ﹣1）+2]，∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，∴＝，∴x＝，∴点P（2，3）．4．【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM 的长度；②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，∴，∴解得：，∴．∴该抛物线表达式为．（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），，∴．②由题意可得：，MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．1°当点P在线段OC上时，，又∵BC＝，∴．得m1＝1，m2＝2．2°当点P在线段OC的延长线上时，．∴，解得（不合题意，舍去），．综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．5．【分析】（1）由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．进而求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）圆Q与直线AP相切的临界点，进而求解．【解答】解：（1）∵点A、B在x轴上（点A在点B的左侧），且到点M（﹣3，0）的距离为5，∴点A坐标为（﹣8，0），点B坐标为（2，0），∵点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y）．由点C到点M（﹣3，0）距离为5，可得．解得y＝±4．∵点C在y轴正半轴上，∴点C的坐标为（0，4）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣8，0）、B（2，0）、C（0，4）．∴，解得，∴抛物线的表达式是，∴抛物线的顶点P的坐标为（﹣3，）；（3）过点A作AQ1⊥AP与抛物线的对称轴相交于点Q1．此时以Q1为圆心，Q1A为半径的圆与线段AP相切于点A．∵∠MPA+∠MAP＝90°，∠MAP+∠MAQ1＝90°．∴∠MPA＝∠MAQ1．∴tan∠MPA＝tan∠MAQ1．∴．∵AM＝5，PM＝，∴Q1M＝4．即点Q1坐标为（0，﹣4）；作AP的中垂线与AP相交于点N，与对称轴x＝﹣3相交于点Q2，则PN＝PA．此时以Q2为圆心，Q2A为半径的圆经过点A、点P．∵AQ1⊥AP，NQ2⊥AP，∴∠Q1AP＝∠Q2NP＝90°．∴AQ1∥NQ2．∴．∵点P的坐标为（﹣3，），点Q1的坐标为（﹣3，﹣4），∴PQ1＝，∴PQ2＝．∴Q2M＝PM﹣PQ2＝﹣＝．即点Q2坐标为（0，），∴当以点Q为圆心，QA为半径的圆与线段AP有两个交点时，点Q纵坐标取值范围是．6．【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）根据△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，分两种情况进行讨论：①当点P在直线BD上方时，②当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；（3）分点P在y轴右侧，△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时或△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论，【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y＝﹣x+n上，∴n＝4，∴y＝﹣x+4，令y＝0，∴x＝3，∴A（3，0），∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0，∴b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵P的横坐标为m（m＞0），且点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣m﹣2），∵PD⊥x轴，BD⊥PD，∴点D坐标为（m，﹣2），若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，①当点P在直线BD上方时，PD＝m2﹣m﹣2﹣（﹣2）＝m2﹣m，如图1，BD＝m．∴m2﹣m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；②当点P在直线BD下方时，如图2，m＞0，BD＝m，PD＝﹣m2+m，∴﹣m2+m＝m，解得：m1＝0，m2＝，∵m＞0，∴m＝；综上所述，m＝或；即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或．（3）∵∠PBP'＝∠OAC，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∴sin∠PBP'＝，cos∠PBP'＝，若点P在y轴右侧，①当△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图3，过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N，∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P′D′＝PD＝m2﹣m，在Rt△P′D′N中，sin∠ND′P′＝＝sin∠PBP′＝，∴P′N＝P′D′＝（m2﹣m），在Rt△BD′M中，BD′＝m，cos∠DBD′＝＝cos∠PBP′＝，∴BM＝BD′＝m，∵P′N＝BM，∴（m2﹣m）＝m，∴m＝，∴P（，）；②当△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图4，过点P作PT⊥y轴于点T，∴PT＝m，BT＝OT﹣OB＝﹣（m2﹣m﹣2）﹣2＝﹣m2+m，∵∠PBP′＝∠OAC，∴tan∠PBP′＝tan∠OAC＝＝，∴＝，∴PT＝BT，∴m＝（﹣m2+m），解得：m＝0（舍去）或m＝，∴P（，﹣）；若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P；综上所述，点P的坐标为（，）或（，﹣）．7．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如图3，当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴点P的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD与△ABC相似．8．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线的解析式，再由对称轴x＝＝1，列方程组求出a、b的值；（2）四边形PBDC为梯形时，则PB∥CD；先求CD所在直线的解析式，再根据两个一次函数一般式中的k值相等求直线PB的解析式且与抛物线的解析式组成方程，解方程组求出点P的坐标；（3）过点P作x轴的垂线，构造以P为顶点且一个锐角的正切值为的直角三角形，再利用相似三角形的性质求OE的长．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（2）如图1，由y＝﹣x2+2x+3，得C（0，3），B（3，0）．设直线CD的解析式为y＝kx+3，则k+3＝4，解得k＝1，∴y＝x+3；当四边形PBDC是梯形时，则PB∥CD，设直线PB的解析式为y＝x+m，则3+m＝0，解得m＝﹣3，∴y＝x﹣3．由，得，，∴P（﹣2，﹣5）．（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，在x轴正半轴上取一点F，使＝tan∠HPF＝，连接PF．由（2）得，直线PB的解析式为y＝x﹣3，则G（0，﹣3），∴OB＝OG＝3．∵PH∥OG，∴∠BPH＝∠BGO＝∠PBO＝45°，∴∠HPF＝45°+∠FPB；∵tan（∠PBO+∠PEO）＝，∴45°+∠PEO＝45°+∠FPB，∴∠PEO＝∠FPB，又∵∠PBE＝∠FBP（公共角），∴△PBE∽△FBP，∴＝，BE•BF＝PB2，∵HF＝PH＝×5＝，∴BF＝﹣2﹣3＝，又∵PH＝BH＝5，∴PB2＝52+52＝50，∴BE＝50，解得BE＝，∴OE＝3+＝．9．【分析】（1）直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，将点坐标代入即得答案；（2）用a表示顶点坐标，根据顶点不在第一象限，列出不等式即可解得a范围；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，首先求出D坐标，再根据直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，求出OM长度，又利用求出PN列方程即可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，∴，解得，∴直线y＝kx+b的表达式为y＝x+2；（2）∵b＝2，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b解析式为y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴顶点是（2，2﹣4a），∵顶点不在第一象限，且在对称轴x＝2上，∴顶点在第四象限或在x轴上，∴2﹣4a≤0，即a≥；（3）延长PD交x轴于M，对称轴与x轴交于N，如图：∵P在直线AB的上方，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），∴开口向下，∵直线y＝x+2与抛物线y＝ax2﹣4ax+2都经过（0，2），点C在点D的右侧，∴D（0，2），∴OA＝OD＝2，∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵直线DP与直线AB所成的夹角等于15°，∴∠MDO＝30°，Rt△MDO中，tan∠MDO＝，∴tan30°＝，解得OM＝，∵对称轴与x轴交于N，∴OD∥PN，MN＝ON+OM＝2+，∴，即＝，∴PN＝2+2，而P（2，2﹣4a），∴2﹣4a＝2+2，∴a＝﹣，∴抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式为：y＝﹣x2+2x+2．10．【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．11．【分析】（1）根据一次函数y＝x﹣3可以求出A点和B点坐标，把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的表达式；（2）利用勾股定理分别求出AB、AD、BD的长度，再根据勾股定理逆定理可以证明△ABD 是直角三角形，从而可以求出∠BAD的正切值；（3）先通过计算得出∠AED＝135°，则P点在x轴上方，然后分或两种情况进行讨论即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，x＝0时，y＝﹣3，y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），又∵A（3，0），B（0，﹣3），∴AD＝，BD＝，AB＝，∵，，∴AB 2+BD 2＝AD 2，∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB ＝90°，∴tan ∠BAD ＝；（3）∵OA ＝OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，又∵DE ∥OB ，∴∠3＝∠2＝45°，∴∠AED ＝135°，又∵△PAC 与△AED 相似，∠1＝45°，∴点P 在x 轴上方，且或，在y ＝x ﹣3中，x ＝1时，y ＝﹣2，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴E （1，﹣2），C （﹣1，0），∴AC ＝3﹣（﹣1）＝4，DE ＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，AE ＝，∴或，解得：AP＝2或，过点P作PQ⊥x轴于点Q，又∵∠4＝∠1＝45°，∴△PAQ是等腰直角三角形，当AP＝2时，AQ＝2，此时P（5，2），当AP＝4时，AQ＝4，此时P（7，4），综上所述，P点坐标为（5，2）或（7，4）．12．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，﹣t+4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，t2﹣t+4），设直线PA的表达式为y＝kx+b，则，解得，故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：y P＝（y C+y E），即t2﹣t+4＝（4﹣t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为（，）．13．【分析】（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；（2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y 轴，且DE＝CF，进而求解；（3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y ＝4，故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5，连接BC，如下图，∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，故点C的坐标为（0，），则抛物线的表达式为y＝x2+；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠DHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠AHC，则tan∠DCH＝，故直线CD的表达式为y＝x+②，联立①②并解得，故点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝，则y F＝y C+DE＝+＝，故点F的坐标为（0，）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（，），而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．14．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（3，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，2），把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，如图，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D1坐标为（0，2），连接D1A，∴cot∠D1AO＝＝，②若BD不平行OE，如图D2，则四边形OEBD2为等腰梯形，做BF⊥y轴于F，则D1F＝D2F＝2，∴点D2坐标为（0，6），连接D2A，AO＝＝，∴cot∠D1综上所述，此时∠DAO的余切值为或．15．【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2+bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【解答】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx+n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1+m，﹣），∵C′（1+m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1+m）+2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH∥x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝2GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n+1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n+1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C（1，﹣1.5），∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF∥x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF∥x轴，∴F（4，﹣1.5）．综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．16．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，求出B（0，3），而AO＝BO求出A（3，0），进而求解；（2）证明∠MBA＝90°，则；（3）证明∠BAM＝∠OAQ，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于B点，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∵AO＝BO，∴A（3，0），把A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3，得﹣9+3b+3＝0，解得b＝2，∴这条抛物线的表达式y＝﹣x2+2x+3，顶点M（1，4）；（2）∵A（3，0），B（0，3）M（1，4），∴BM2＝2，AB2＝18，AM2＝20，∴∠MBA＝90°，∴；（3）∵OA＝OB，∴∠OAB＝45°∵∠MAQ＝45°，∴∠BAM＝∠OAQ，由（2）得，∴，∴，∴，∴OQ＝1，∴Q（0，1）．18．【分析】（1）根据题意得出A（m，m2），将m＝1代入得出其坐标，继而可得答案；（2）根据A（m，m2）知“子抛物线”的解析式为．求出x＝0时y的值可知点C坐标，表示出OC、BC的长度，从而求得余切值；（3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，证△AED≌△DFO得AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，知DF＝n，BE＝m+n ＝OF＝ED．结合OB＝EF得m2＝m+2n．再由∠BCA＝∠ADE知，联立方程组，解之可得答案．【解答】解：（1）由题得，A（m，m2），当m＝1时，A（1，1），∴这条“子抛物线”的解析式：；（2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB＝m，OB＝m2．∴“子抛物线”的解析式为．令x＝0，则，∴点C的坐标（0，），，∴．在Rt△ABC中，．（3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F，∵∠OAC＝135°，∴∠OAD＝45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD＝∠AOD＝45°，∴AD＝OD，∴△AED≌△DFO（AAS），∴AE＝DF，DE＝OF，设AE＝n，那么DF＝n，BE＝m+n＝OF＝ED．又∵OB＝EF，∴m2＝m+2n．又∵∠BCA＝∠ADE，∴，解方程组，得m＝2，（舍去），1∴m的值为2．19．【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴．∴A（，0）．∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，∴．解得．∴二次函数的解析式为．顶点C的坐标是（，3）．（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，∴AB＝2．由DE是二次函数的图象的对称轴，可知DE∥AB，OE＝AE．∴．即得DE＝1．又∵C（，3），∴CE＝3．即得CD＝2．∴．（3）根据题意，可设P（，n）．∵，CE＝3，∴．∴．解得．∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．。

2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类(一)——《二次函数》(含解析)

2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类（一）——《二次函数》一．选择题1．（2019•闵行区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．abc＞0 2．（2019•金山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（）A．a＜0、b＞0、c＞0 B．a＜0、b＜0、c＞0C．a＜0、b＞0、c＜0 D．a＜0、b＜0、c＜03．（2019•浦东新区一模）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（）A．最高点（3，0）B．最高点（﹣3，0）C．最低点（3，0）D．最低点（﹣3，0）4．（2019•闵行区一模）将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣35．（2019•浦东新区一模）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位6．（2019•嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝1﹣x2D．y＝7．（2019•金山区一模）下列函数是二次函数的是（）A．y＝x B．y＝C．y＝x﹣2+x2D．y＝8．（2019•长宁区一模）抛物线y＝2（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）9．（2019•黄浦区一模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（）A．y＝﹣2（x+1）2B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2x2+1 D．y＝﹣2x2﹣1 10．（2019•杨浦区模拟）二次函数的复习课中，夏老师给出关于x的函数y＝2kx2﹣（4k+1）x﹣k+1（k为实数）．夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：①存在函数，其图象经过点（1，0）；②存在函数，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；③函数图象有可能经过两个象限；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．上述结论中正确个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2018•虹口区二模）如果将抛物线y＝x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2．12．（2018•金山区二模）如果将抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝﹣2（x+1）2B．y＝﹣2（x﹣1）2C．y＝﹣2x2﹣1 D．y＝﹣2x2+1 13．（2018•浦东新区模拟）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+1）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣214．（2018•金山区一模）将抛物线y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得抛物线经过原点，那么平移的过程为（）A．向下平移3个单位B．向上平移3个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位15．（2018•黄浦区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（）A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b+2a＞0二．填空题16．（2020•静安区一模）某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x（x＞0），六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解析式是．17．（2020•金山区一模）如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线．18．（2020•静安区一模）已知二次函数y＝a2x2+8a2x+a（a是常数，a≠0），当自变量x分别取﹣6、﹣4时，对应的函数值分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．19．（2020•浦东新区一模）将抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为．20．（2020•浦东新区一模）二次函数y＝﹣2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）21．（2020•青浦区一模）如果抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是．22．（2020•金山区一模）抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）23．（2020•松江区一模）在直角坐标平面中，将抛物线y＝2（x+1）2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．24．（2020•嘉定区一模）将抛物线y＝x2+4x+5向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为．三．解答题25．（2020•金山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），其顶点为C．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）我们把坐标为（n，m）的点叫做坐标为（m，n）的点的反射点，已知点M在这条抛物线上，它的反射点在抛物线的对称轴上，求点M的坐标；（3）点P是抛物线在第一象限部分上的一点，如果∠POA＝∠ACB，求点P的坐标．26．（2020•徐汇区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；（2）将抛物线y＝ax2﹣2ax+3向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点B'，D'，联结B'C，B'D'，CD'，求△CB'D'的面积．27．（2020•闵行区一模）如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．28．（2020•虹口区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2．（1）求抛物线的表达式以及点P的坐标；（2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标；②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标．29．（2020•虹口区一模）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2．（1）求新抛物线C2的表达式；（2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离．30．（2020•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．参考答案一．选择题1．解：（A）由图象的开口方向可知：a＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由图象可知：c＞0，故C正确；（D）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故D正确；故选：B．2．解：由图象开口可知：a＜0，由图象与y轴交点可知：c＜0，由对称轴可知：＜0，∴a＜0，b＜0，c＜0，故选：D．3．解：在二次函数y＝﹣（x+3）2中，a＝﹣1＜0，∴这个二次函数的图象有最高点（﹣3，0），故选：B．4．解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．5．解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∴顶点由（﹣2，﹣3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．故选：C．6．解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故此选项错误；C、y＝1﹣x2，是二次函数，符合题意；D、y＝，是反比例函数，不合题意．故选：C．7．解：A、y＝x属于一次函数，故本选项错误；B、y＝的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y＝x﹣2+x2＝x2+x﹣2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y＝的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．8．解：∵y＝2（x+2）2﹣3∴抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）故选：B．9．解：把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，则得到的抛物线的表达式是：y＝﹣2x2+1．故选：C．10．解：①将（1，0）代入可得：2k﹣（4k+1）﹣k+1＝0，解得：k＝0，此选项正确．②当k＝0时，y＝﹣x+1，该函数的函数值y始终随x的增大而减小；此选项正确；③当k＝0时，y＝﹣x+1，经过3个象限，当k≠0时，△＝（4k+1）2﹣4×2k（﹣k+1）＝24k2+1＞0，∴抛物线必与x轴相交，∴图象必经过三个象限，此选项错误；④当k＝0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y＝﹣，当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最最大值为正；此选项正确．正确的是①②④．故选：C．11．解：∵抛物线y＝x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝（x+1）2，故选：C．12．解：∵将抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+1．故选：D．13．解：抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），∵向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴所得抛物线的表达式为y＝（x+1）2．故选：A．14．解：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3向下平移3个单位，使它经过原点y＝﹣x2﹣2x，故选：A．15．解：∵抛物线开口向下，对称轴大于1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＞1，c＞0，∴b＞﹣2a，∴b+2a＞0．故选：D．二．填空题（共9小题）16．解：根据题意，得y＝200（1+x）2＝200x2+400x+200．故答案为y＝200x2+400x+200．17．解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝＝﹣对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣，故答案为x＝﹣．18．解：y＝a2x2+8a2x+a＝a2（x2+8x）+a＝a2（x+4）2+a﹣16a2，∴对称轴x＝﹣4，∵x分别取﹣6、﹣4时，在对称轴左侧，∴y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故答案为＞．19．解：∵抛物线y＝﹣3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣4，故答案为：y＝﹣3x2﹣4．20．解：∵﹣2＜0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．21．解：∵抛物线y＝ax2﹣1的顶点是它的最低点，∴抛物线的开口向上，∴a＞0，故答案为a＞0．22．解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，故答案为下降．23．解：抛物线y＝2（x+1）2向上平移1个单位后的解析式为：y＝2（x+1）2+1．再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．24．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线y＝x2+4x+5向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y＝x2+1．故答案为：y＝x2+1．三．解答题（共6小题）25．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴顶点C（1，4）．（2）设M（m，﹣m2+2m+3），∴M的反射点为（﹣m2+2m+3，m），∵M点的反射点在抛物线的对称轴上，∴﹣m2+2m+3＝1，∴m2﹣2m﹣2＝0，解得m＝1±，∴M（1+，1）或（1﹣，1）．（3）如图，设P（a，﹣a2+2a+3）．∵A（3，0），B（0，3），C（1，4），∴BC＝，AB＝3，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝＝3，∵∠POA＝∠ACB，∴tan∠POA＝3，∴＝3，整理得：a2+a﹣3＝0解得a＝或（舍弃），∴P（，）．26．解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a+2a+3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；抛物线的对称轴为：x＝1，点D的坐标为：（1，4），令y＝0，y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点B的坐标为：（3，0）、点C（0，3）；故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）、点D的坐标为（1，4）；（2）设抛物线向右平移了m个单位，则B'、D'的坐标分别为：（m+3，0）、（m+1，4），平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+4，∵新抛物线经过原点O，∴当x＝0时，y＝﹣（0﹣m﹣1）2+4＝0，解得：m＝1或﹣3（舍去﹣3），故点B'、D'的坐标分别为：（4，0）、（2，4），如下图，过点D′作D′H∥y轴交B′C于点H，设直线B′C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线B′C的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝2时，y＝，故D′H＝4﹣＝；+S△D′HB′＝×D′H×OB′＝××4＝5．△CB'D'的面积＝S△D′HC27．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．由题意可得：解得：∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+1，∵y＝x2+x+1＝（x+）2+，∴顶点D的坐标（﹣，）；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF＝3，∵A（0，1），C（﹣1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，∴BC＝2，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∴CM＝AM，∴CM＝AM＝＝，∴BM＝BC﹣CM＝，∴tan∠ABC＝＝；（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），∴直线AC解析式为：y＝1，直线AB解析式为：y＝2x+1，直线BC解析式为：y＝x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（﹣，3）；若CE∥AB，则CE的解析式为；y＝2x+3，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣，∴y＝2，即点E（﹣，2）；若AE∥BC，则AE解析式为：y＝x+1，∵点E在对称轴上，∴x＝﹣，∴y＝，即点E（﹣，），综上所述：点E的坐标为（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）．28．解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；点P（1，2）；（2）由点A、P的坐标知，∠PAB＝60°，直线AP的表达式为：y＝（x+1）…①，当α＝60°，∠DBA＝＝30°时，△ABD为直角三角形，由面积公式得：y D×AB＝AD•BD，即y D×4＝2×，解得：y D＝，点D在AP上，故点D（0，）；当∠ADB＝β时，则∠ABD＝90°，故点D（3，4）；综上，点D的坐标为：（0，）或（3，4）；（3）∠CEF为△ECF的特征角，则△CEF为等腰直角三角形，过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，则△CNE≌△EMF（AAS），则EN＝EM，即x＝y，x＝y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝，故点E（，）．29．解：（1）由抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3，即y＝（x+1）2﹣4；（2）由平移的性质知，点A与点A′的纵坐标相等，所以将y＝5代入抛物线C2，得（x+1）2﹣4＝5，则x＝﹣4或x＝2（舍去）所以AA′＝4，根据平移的性质知：BB′＝AA′＝4，即点B与其对应点B′的距离为4个单位．30．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0），∴点B的坐标是（3，0）．将A（1，0），B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1知，该抛物线顶点坐标是（2，﹣1）；（2）如图1，过点P作PN⊥x轴于N，过点C作CM⊥PN，交NP的延长线于点M，∵∠CON＝90°，∴四边形CONM是矩形．∴∠CMN＝90°，CO＝MN、∴y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．∵B（3，0），∴OB＝OC＝3．∵∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠BCM＝45°．又∵∠ACB＝∠PCB，∴∠OCB﹣∠ACB＝∠BCM﹣∠PCB，即∠OCA＝∠PCM．∴tan∠OCA＝tan∠PCM．∴＝．故设PM＝a，MC＝3a，PN＝3﹣a．∴P（3a，3﹣a），将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3，得（3a）2﹣4（3﹣a）+3＝3﹣a．解得a1＝，a2＝0（舍去）．∴P（，）．（3）设抛物线平移的距离为m，得y＝（x﹣2）2﹣1﹣m．∴D（2，﹣1﹣m）．如图2，过点D作直线EF∥x轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，∵∠OED＝∠QFD＝∠ODQ＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°，∠ODE+∠QDP＝90°．∴∠EOD＝∠QDF．∴tan∠EOD＝tan∠QDF，∴＝．∴＝．解得m＝．故抛物线平移的距离为．。

专题12 二次函数的图像与性质(解析版)2021年中考数学

2021年中考数学一轮复习过关训练汇编专题12 二次函数图像与性质一、选择题1．二次函数2282y x x =--的最小值是（）A ．2-B ．10-C ．6-D ．6【答案】B【分析】把二次函数化为顶点式，即可求出最小值．【详解】解：∵2282y x x =--， ∵22(2)10y x =--，当2x =时，二次函数有最小值10-；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是正确的把二次函数的一般式化为顶点式．2．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 【答案】C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 3．若()14,A y -，()21,B y -，()31,C y 为二次函数()2450y ax ax a =+-<的图像上的三点，则1y ，2y ，3y 的从小到大顺序是（）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y << 【答案】B【分析】由二次函数解析式找出抛物线的对称轴，判断出开口向下，根据抛物线开口向下时，离对称轴越远的点的纵坐标越小，判断A 、B 及C 离对称轴的远近，即可得出其对应函数值y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】抛物线245=+-y ax ax 的对称轴为：直线22b x a=-=-，且0a <，则抛物线开口向下，∵在抛物线上，离对称轴越远的点，纵坐标越小，点A 到对称轴的距离为：()422---=；点B 到对称轴的距离为：()121---=；点C 到对称轴的距离为：()123--=；∵312y y y <<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线开口向下时，离对称轴越远函数值越小；抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大．4．若函数()2m y m x =+是二次函数，那么m 的值是（） A ．2B ．-2或2C ．-2D ．0或2【答案】A【分析】根据二次函数的定义得出20m +≠且2m =，继而即可求解．【详解】∵函数()2my m x =+是二次函数， ∵20m +≠且2m =，∵2m =故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：20m +≠且2m =．5．在同一平面坐标系中，一次函数2y mx n =+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项分析即可．【详解】A 、由直线得：0m <，20n <，不可能，不符合题意；B 、由直线得：0m >，20n >，由抛物线得：0m >，但开口方向向下错误，不符合题意；C 、由直线得：0m <，20n >，由抛物线得：0m <，有可能，符合题意；D 、由直线得：0m >，20n >，由抛物线得：0m <，不可能，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象的综合分析，理解各系数与函数图象之间的联系是解题关键． 6．抛物线y ＝3（x ﹣1）2﹣1的顶点坐标是（）A ．（1，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，﹣1）【答案】D【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【详解】解：因为y ＝2（x +1）2﹣1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣1），故选：D ．【点睛】本题考查了求抛物线顶点坐标的方法，牢记二次函数的顶点式是解答本题的关键．7．将抛物线1C ：()22y x =-向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到抛物线2C ，则抛物线2C 的函数表达式为（）A ．()252=-+y xB ．()252=--y xC ．()212y x =++D ．()=+-2y x 12 【答案】A【分析】根据平移变化,求出新抛物线的顶点坐标,判断即可．【详解】解：()22y x =-的顶点坐标为（2,0），向右平移3个单位，再向上平移2个单位，顶点坐标变为（5,2）， ∵得到抛物线解析式为：()252=-+y x ，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线平移，解题关键是熟知抛物线平移的变化规律,会利用顶点坐标变化写抛物线解析式． 8．若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(,0)m 、(,0)n ，且m n <，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，对于以下说法：①240b ac ->；②x p =是方程20ax bx c q ++-=的解；③m p n <<；④()()0a p m p n --<，对于以上说法正确的是（）A ．①②③④B ．①②④C ．③④D ．①③【答案】B【分析】结合题意，根据二次函数图像、判别式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标分别是(,0)m 、(,0)n ，∵20ax bx c ++=有两个不相等的根∵240b ac ->，故①正确；∵图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵()()0y a p m p n =--<，故④正确，又∵图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵x p =时，2ax bx c q ++=，∵x p =是方程20ax bx c q ++-=的解，故②正确，当0a >时，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵m p n <<当0a <时，图象上有一点(,)M p q 在x 轴下方，∵p m n <<或m n p <<，故③错误故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程和二次函数图像、解析式性质，从而完成求解．二、填空题9．抛物线2245y x x =++的顶点坐标是________．【答案】（-1，3）【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点时，即可得到该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解： 2245y x x =++y =22(21)x x +++3y =22(1)x ++3故抛物线2245y x x =++的顶点的坐标是(-1，3) ，故答案为：（-1，3）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为___________．【答案】8【分析】由抛物线的对称性可知点B 的坐标（6，0），从而可求得AB 的长．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点．抛物线的对称轴为x =2，∵点A 与点B 关于x =2对称．∵点B 的坐标为（6，0）．∵AB =8．故答案为：8．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，根据抛物线的对称性求得点B 的坐标是解题的关键． 11．二次函数()2213y x =---的最大值是___________．【答案】3-【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式求出顶点坐标，即可求解．【详解】解：∵二次函数y =-（x -2）2-3，抛物线开口向下，顶点坐标是（2，-3）∵当x =2时，二次函数y =-（x -2）2-3的最大值为-3．故答案为-3．【点睛】本题考查二次函数的最大（小）值的三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．12．抛物线(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是_____．【答案】(1,4)-【分析】先把(1)(3)y x x =+-展开成一般式解析式，再利用配方法配成顶点式解析式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵(1)(3)y x x =+-，＝223x x --，＝2(1)4x --∵抛物线的顶点坐标为(1,4)-，故答案为：(1,4)-．【点睛】本题考查二次函数的顶点式解析式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根，则m 的取值范围是_____．【答案】m ≥﹣3【分析】由于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根，可得y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和y =m 有交点，由此即可解答．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点的纵坐标为－3，∵当关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝m 有实数根时，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和直线y =m 有交点，∵m ≥﹣3故答案为：m ≥﹣3【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根可得y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）和y =m 有交点是解决问题的关键．14．如图，二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+在同一平面直角坐标系中的图象交点于(3,0)-，(0,3)，则不等式2ax bx c mx n ++>+的解集是____________．【答案】-3＜x ＜0．【分析】根据图象可直接判断．【详解】观察图象可知，在-3到0之间，抛物线在一次函数图象上方，故当-3＜x ＜0时，2ax bx c mx n ++>+；故答案为：-3＜x ＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解题关键是树立数形结合思想，通过图象直观的解题．三、解答题15．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式：（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象：（3）当40x -≤≤时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）y =x 2+2x -3；（2）见解析；（3）-4≤y ≤5【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式y =a （x +1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x =-4，0时的函数值即可写出y 的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（-1，-4），设二次函数的解析式为：y =a （x +1）2-4，把点（0，-3）代入y =a （x +1）2-4，得a =1，故抛物线解析式为y =（x +1）2-4，即y =x 2+2x -3；（2）如图所示：（3）∵y =（x +1）2-4，∵当x =-1时，y 有最小值-4，当x =-4时，y =（-4+1）2-4=5，当x =0时，y =-3，∵当-4≤x ≤0时，y 的取值范围是-4≤y ≤5．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．16．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且经1,0A 、()0,3B -两点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）当函数值0y <时，则对应的自变量x 取值范围是__________．（3）在抛物线的对称轴1x =-上，是否存在点M ，使它到点A 的距离与到点B 的距离之和最小，如果存在求出点M 的坐标，如果不存在请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）31x -<<；（3）存在，M 坐标为(-1,-2)，理由见解析．【分析】（1）根据待定系数法解出,,a b c 的值即可得；（2）令（1）所得解析式等于0，解得两个与横坐标的交点值，观察图像则可得；（3）观察图形可得AM CM =，根据“将军饮马”模型，AM BM CM BM +=+，根据B 、C 点的坐标可得BC 的直线解析式，代入1M x =-即可解得M 的坐标．【详解】解：（1）由对称轴为x =-1得：12b a-=- 代入1,0A 、()0,3B -得：0a b c ++=，3c =-解得1,2,3a b c ===-所以有223y x x =+-（2）令2230y x x =+-=解得13x =-，21x =由图像可知0y < 时有31x -<<故答案为31x -<<；（3）存在；由（2）抛物线与坐标轴交于C (-3,0)、A (1,0)点，如图，对称轴在AC 的中垂线上，所以AM CM =, AM BM +为所求，故AM BM CM BM +=+，观察图像可知B 、M 、C 在同一直线上即BC 上时AM BM CM BM +=+取得最小值，设BC 解析式为：y kx b =+，代入B (0,-3)、C (-3,0)两点有3b -=，03k b =-+，解得：3b =-，1k =-，故3y x =--，由题知1M x =-，则有(1)32M y =---=-故M 坐标为(-1,-2)．【点睛】本题（1）考查了用待定系数法解二次函数的解析式；（2）解一元二次方程，根据图像的判断图像位于x轴下方的函数自变量取值范围；（3）“将军饮马”模型，求图像交点坐标．解决这类问题的关键在于要结合好题干中的条件，熟练的运用待定系数法计算解析式，要有数形结合的思想，多总结常见的模型．17．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果∵P AC的周长最小，求点P的坐标．【答案】P(1，－2)．【分析】根据“将军饮马”问题，将A点沿对称轴对称至B点，连接BC，与对称轴交点即为所求P点，从而结合图形性质求解即可．【详解】如下左图，点A与点B对称，连结BC，那么在∵PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如下右图，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此P A＋PC最小，∵P AC的周长也最小．由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1或3，∵A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，∵可知OB＝OC＝3，OD＝1，∵OBC=45°，∵DB＝DP＝2，∵P(1，－2)．【点睛】本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．18．如图，已知抛物线212y x bx c =++与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是x 轴上方抛物线上一点，且∵ACE 面积为4，求点E 坐标．（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使∵ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）211122y x x =--；（2）E 坐标为（-2，2）或（4，5 ）；（3）存在四个点：P 1（2，1-），P 2（1-），P 3（1，－2），P 4（52，－72）【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A 、C 两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（2）设y 轴上有点M （0，m ）使∵CAM 面积为4，求出M 点坐标，过点M 作MN ∵CA 与抛物线交于E 1，E 2两点，求出MN 解析式与抛物线解析式联立即可．（3）根据抛物线的解析式，可求出B 点的坐标，进而能得到直线BC 的解析式，设出点P 的横坐标，根据直线BC 的解析式表示出P 点的纵坐标，然后利用坐标系两点间的距离公式分别表示出∵ACP 三边的长，从而根据：①AP =CP 、②AC =AP 、③CP =AC ，三种不同等量关系求出符合条件的P 点坐标．【详解】解：（1）∵二次函数212y x bx c =++的图像经过点A （2，0）C （0，－1） ∵2201b c c ++=⎧⎨=-⎩解得： b =－12c =－1 ∵二次函数的解析式为211122y x x =-- （2）设y 轴上有点M （0，m ）使∵CAM 面积为4，则S ∵CAM =12CM ×OA =12×2×CM =4 ∵CM =4 ∵OM =3 ∵M （0，3）过点M 作MN ∵CA 与抛物线交于E 1，E 2两点，由A （2，0）C （0，－1），可求CA 解析式为：y =12x -1，设MN 解析式为y =12x +b ，过点M （0，3） ∵b =3，∵MN 解析式为y =12x +3，联立方程y =12x +3与211122y x x =--, 解得：1122x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，所以点E 坐标为（-2，2）或（4，5 ）（3）存在由（1）知：二次函数的解析式为211122y x x =-- 设y =0则2110122x x =-- 解得：x 1=2 x 2=－1 ∵点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∵ 01k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得：11k b =-⎧⎨=-⎩， ∵直线BC 的解析式为： y =－x －1在Rt ∵AOC 中，∵AOC =900 OA =2 OC =1由勾股定理得：AC ∵点B （－1，0）点C （0，－1）∵OB =OC ∵BCO =450①当以点C 为顶点且PC =AC设P （k ，－k －1）过点P 作PH ∵y 轴于H∵∵HCP =∵BCO =450CH =PH =∵k ∵ 在Rt ∵PCH 中k 2+k 2=2解得k 1 k 2=∵P11-）P21-）②以A为顶点，即AC=AP设P（k，－k－1）过点P作PG∵x轴于GAG=∵2－k∵ GP=∵－k－1∵在Rt∵APG中AG2＋PG2=AP2（2－k）2+（－k－1）2=5解得：k1=1，k2=0（舍）∵P3（1，－2）③以P为顶点，PC=AP设P（k，－k－1）过点P作PQ∵y轴于点QPL∵x轴于点L∵L（k，0）∵∵QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=P A k∵AL=∵k-2∵，PL=｜－k－1｜在Rt∵PLA中k）2=（k－2）2＋（k＋1）2解得：k=52∵P4（52，－72）综上所述：存在四个点：P11-）P2（-21-）P3（1，－2）P4（52，－72）【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，难度较大，解题关键是熟练综合运用所学知识，准确进行计算．。

2021年全国中考1数学真题分类汇编-----二次函数

2021年全国中考数学真题分类汇编-----二次函数一、选择题1.(2021.广东省）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA ⊥OB ，连接点A 、B ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（A ） A.12B. 22C. 32D. 12.（2021.湖北省荆门市）抛物线2(a,b,c )yax bx c 为常数开口向下且过点A （1，0），B （m,0）(-2<m<-1),下列结论：①2b+c>0；②2a+c<0；③a(m+1)-b+c>0；④若方程a(x-m)(x-1)-1=0有两个不相等的实数根，则4ac-2b <4a.其中正确结论的个数是（A ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.（2021.浙江省绍兴市）关于二次函数22(x 4)6y的最大值或最小值，下列说法正确的是（D ）A. 有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D. 有最小值6 4. （2021.辽宁省沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数2(x h)(a0)y a 的图象可能是（D ）5.（2021.杭州）在“探索函数2yax bx c 的系数a,b,c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A （0,2）,B （1,0）,C （3,1）,D （2,3）.同学们探索了经过这个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（A ） A.52 B.32 C.56 D.126.（2021.杭州）已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC ⊥AB;②作∠BAC 的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP ⊥AB 于点P ，则AP:AB=（D ）A. 15：B. 12：C. 13：D. 12：7.（2021.浙江省杭州市）已知y 1和y 2均是以x 为自变量的函数，当x=m 时，函数值分别为M 1和M 2，若存在实数m ，使得M 1+M 2=0，则称函数y 1和y 2具有性质P 。

【2021年】上海市中考数学模拟试题汇编(含答案)

上海市中考数学精选真题预测（含答案）（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、2的倒数是（） A 、 2 B 、 -2 C 、22 D 、 -222、下列算式的运算为2m 的是（）A 、42m m -⋅B 、63m m ÷C 、 21)(-m D 、24m m -3、直线y =（3-π）x 经过的象限是（）A 、一、二象限B 、一、三象限C 、二、三象限D 、二、四象限4、李老师用手机软件记录了某个月（30天）每天走路的步数（单位：万步）它将记录的结果绘制成了如图一所示的统计图，在李老师每天走路的步数这组数据中，众数与中位数分别为（）A 、 1.2与1.3B 、 1.4与1.35C 、 1.4与1.3D 、 1.3与1.35、小明用如图2所示的方法画出了△ABC 全等的△DEF ，他的具体画法是：①画射线DM ，在射线DM 上截取DE =BC ; ②以点D 为圆心，BA 长为半径画弧，以E 为圆心，CA 长为半径画弧，两弧相交于点F ；③联结FD 、FE ; 这样△DEF 就是所要画的三角形，小明这样画的依据是全等三角形判定方法中的（）A 、边角边B 、角边角C 、角角边D 、边边边6、已知两圆相交，它们的圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是（） A 、 1 B 、 3 C 、 5 D 、7二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48） 7、计算：（-1）2017+02-4= ；8、函数y =x +2的定义域是；9、方程x =-x 的解是；10、如果抛物线y =a 2x -3的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是； 11、如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最低点，那么a 的取值范围是； 12、如果点P （m -3，1）在反比例函数xy 1=的图像上，那么m 的值是； 13、学校组织“中华经典诗词大赛”，共设有20个试题，其中有关“诗句理解”的试题10个，有关“诗句作者”的试题6个，有关“试卷默写”的试题4个.小杰从中任选一个试题作答，他选中有关“诗句作者”的试题的概率是；14、为了解某区3600名九年级学生的体育训练情况，随机抽取了区内200名九年级学生进行了一次体育模拟测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘制成了如图所示的统计图.由此估计全区九年级体育测试成绩可以达到优秀的人数约为；15、在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =21BC ，设AB a →→=，DCb →→=，那么BC →等于（结果用a →、b →的线性组合表示）；16、如果正n 边形的内角是它的中心角的2倍，那么边数n 的值是；17、在等腰ABC ∆中，当顶角A 的大小确定时，它的对边（即底边BC ）与邻边（即腰AB 或AC ）的比值也确定了，我们把这个比值记作T （A ），即()ABBCA A A T =∠∠=的邻边（腰）的对边（底边）.例：T （600）=1，那么T （1200）= ；18、如图，矩形ABCD ，点E 是边AD 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ，将BEF ∆绕着点E 逆时针旋转，使点B 落在边BC 上的点N 处，点F 落在边DC 上的点M 处，如果点M 恰好是边DC 的中点，那么ABAD的值是。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(逐题详解版)

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）A ．-1B ．3C ．4D ．04．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（） A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A ．0ac 8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A ．0m <，0k C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（）A ．0a C ．0ab >D ．0c10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,314．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（） A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+-15．（2021·上海崇明区·九年级一模）抛物线()2y a x k k =-+的顶点总在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．直线y x =上D ．直线y x=-上16．（2021·上海普陀区·九年级一模）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（）A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是直线1x =-D ．与y 轴的交点是(0,1)17．（2021·上海松江区·九年级一模）将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（） A ．y=2x 2+3 B ．y=2x 2﹣3 C ．y=2（x+3）2 D ．y=2（x ﹣3）2二、填空题18．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,By ，比较1y 与2y的大小：1y _____________2y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线2yx ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点()2,2A ，那么平移后的抛物线的表达式是______．20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线()211y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是______．21．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为(),b c ，那么该抛物线的顶点坐标是________．22．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．23．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果(2，1y )、(3，2y )是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ______2y ．（填“>”或“<”）24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）25．（2021·上海静安区·九年级一模）抛物线236y x =-的顶点坐标为____．26．（2021·上海静安区·九年级一模）二次函数223y x x =-图像的开口方向是____．27．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．28．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果二次函数2)1?( y x =-的图像上有两点1(2,)y 和2(4,)y ，那么1y _____2y （填“>”、“=”或“<”）29．（2021·上海虹口区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线l 经过点()2,0A -和()5,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．31．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线2y x a =-经过点()2,0，那么a 的值是______．32．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点1,0A ，那么()1f -=________0．（填“>”“<”或“=”)33．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()22y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为______．34．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b+______0.（从＜，＝，＞中选择）35．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()213y x =+-的图像与y 轴的交点坐标为______． 36．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()221y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是______．37．（2021·上海普陀区·九年级一模）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为__________．38．（2021·上海杨浦区·九年级一模）抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．39．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知，二次函数()2f x ax bx c =++的部分对应值如下表，则()3f -=________．40．（2021·上海金山区·九年级一模）抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）41．（2021·上海九年级一模）二次函数22y x x m =++图像上的最低点的横坐标为_________________．42．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果将抛物线()21y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．43．（2021·上海闵行区·九年级一模）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为_________．44．（2021·上海闵行区·九年级一模）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是___________的（填“上升”或“下降”）．45．（2021·上海松江区·九年级一模）已知点()12,A y ，()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y ____2y （填“>”、“=”或“<”）46．（2021·上海奉贤区·九年级一模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =-与抛物线2C 关于直线1x =-的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为_______________________．47．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(1,0)A ，那么(1)f -__________0．（填“>”、“<”或“=”）48．（2021·上海普陀区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，如果抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是__________．49．（2021·上海杨浦区·九年级一模）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m ．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-【答案】A【分析】根据顶点式解析式的性质解答．【详解】抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是()2,3-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质：2()y a x h k =-+中顶点坐标为（h ，k ）．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =【答案】A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果．【详解】解：2yx x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y xx 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）A ．-1B ．3C ．4D ．0【答案】D【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）△抛物线的对称轴为直线x=022+=1，而1312-+= △x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 △这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选D ．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．【详解】解：243y x x =-+-＝()221x --+，即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；当y ＝0时，243x x -+-＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上，当x=0时，y=-3△抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），△a ＝-1＜0，△抛物线的图象的开口向下，大致画出图象如下：即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（）A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C【答案】C【分析】先把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：221y x x =-++，再判断B 不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，124211a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩ 即：120a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1,2a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 抛物线为：221,y x x =-++ 当2x =时，44113,y =-++=≠()23B ∴，不在抛物线221y x x =-++上，∴ 抛物线21y ax bx =++可以经过的点是,.A C 故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线22(1)3y x =+-要通过平移得到22y x =，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即()22211332y x x =+--+=．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A ．0ac 【答案】B【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：△二次函数的图象开口向上，△a ＞0，△二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，△c ＜0，△ac ＜0 选项A 正确；△由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， △抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a -b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，△a -b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，△y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A ．0m <，0k C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >【答案】A 【分析】根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．【详解】由函数图象知：二次函数的图象顶点在第四象限，△顶点坐标为（-m ，k ），△-m>0，k<0，△m<0，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与各项系数之间的关系．9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（）A ．0a C ．0ab >D ．0c【答案】D 【分析】根据开口方向可判断a 的正负；根据对称轴的位置可判断b 的正负；进而得出ab 的正负；将(0,0)O 代入二次函数可得出c 的值即可．【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 选项错误；抛物线对称轴在y 轴的右侧，02b a ∴->，0b ∴<，故B 选项错误； 0ab ∴<，故C 选项错误；二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据性质判断,,a b c 的正负是解题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（）A ．223y x x =--B ．22(1)y x x =--+C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A 、223y x x=--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数；C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-【答案】C 【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：22(1)y x =+．故选C ．【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（）A ．212y x =-B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =-- 【答案】C【分析】形如y=ax 2+bx+c （a≠0），a ，b ，c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题．【详解】A ．212y x =-右边不是整式，不是二次函数，故A 错误；B ． y =B 错误；C ．22y x =-是二次函数，故C 正确；D ．()222242444y x x x x x x =-+=-=--+-是一次函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,3 【答案】C【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：△抛物线为223y x =-，△抛物线顶点坐标为(0，-3)，故选:C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+ 中，顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x=h ．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+。

2024年上海市16区中考二模数学分类汇编专题12 解答题23题(几何证明题15题)(练习版)

专题12解答题23题（几何证明题15题）（16区二模新题速递）（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（2024·上海奉贤·二模）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，B ADC ∠=∠，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且ADE CDF ∠=∠．(1)求证：CF CB AE AB ⋅=⋅；(2)连接AC 、EF ，如果EF AC ∥，求证：四边形ABCD 是菱形．2．（2024·上海嘉定·二模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，点P 在四边形ABCD 内部，PB PC =，连接PA 、PD ．(1)求证：APD △是等腰三角形；(2)已知点Q 在AB 上，连接PQ ，如果AP CD ∥，AQ AP =，求证：四边形AQPD 是平行四边形．3．（2024·上海长宁·二模）已知：在梯形ABCD 中，AD BC BD AD ⊥∥，，点E 在边AD 上（点E 不与点A 、D 重合），点F 在边CD 上，且ABD EBF C ∠=∠=∠．(1)求证：AB BE BD BF=；(2)连接EF ，与BD 交于点G ，如果BG EG =，求证：四边形BEDF 为等腰梯形．4．（2024·上海浦东新·二模）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 是边DC 上的任意一点（不与点D 、C 重合），AE 交对角线BD 于F ，过点E 作EG BC ∥交BD 于点G ．(1)求证：2=⋅DF FG BF ；(2)当2⋅=⋅BD DF AD DE 时，求证：AE DC ⊥．5．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，在O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为点E ，连接AC 、DO ，延长DO 交AC 于点F ．(1)求证：2AF OF DF =⋅；(2)如果82CD BE ==,，求OF 的长．6．（2024·上海虹口·二模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，延长CB 至点D ，使得DB CB =，过点A 、D 分别作AE BC ∥，DE BA ∥，AE 与DE 相交于点E ，连接BE ．(1)求证：BE CD ⊥；(2)连接AD 交BE 于点F ，连接CE 交AD 于点G ．如果FBA ADB ∠=∠，求证：23AG AB =．7．（2024·上海静安·二模）已知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，连接AC ．(1)求证：2AD AE AC =⋅；(2)连接BE 和BF ，求证：BE BF =．8．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D 是ABC 的边BC 上一点，点E 在ABC 外部，且BAE CAD ∠=∠，ACD ADC ADE ∠=∠=∠，DE 交AB 于点F ．(1)求证：AB AE =；(2)如果AD AF =，求证：2EF BF AB =⋅．9．（2024·上海黄浦·二模）如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．(1)求证：13PQ BD =；(2)当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．10．（2024·上海青浦·二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．11．（2024·上海普陀·二模）已知：如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AD 上，CE 与BA 的延长线交于点F ，FA AE AB ED=．(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)联结FD ，分别延长FD 、BC 交于点G ，如果2FC FD FG =⋅，求证：AD CG BF CD ⋅=⋅．12．（2024·上海徐汇·二模）如图，在菱形ABCD 中，点E 、G 、H 、F 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE AF =，CG CH =，CG AE ≠．(1)求证：EF GH ∥；(2)分别连接EG 、FH ，求证：四边形EGHF 是等腰梯形．13．（2024·上海松江·二模）如图，已知AB 是1O 与2O 的公共弦，12O O 与AB 交于点C ，12O O 的延长线与2O 交于点P ，连接PA 并延长，交1O 于点D ．(1)连接12,O A O A 、如果AB AD AP ==．求证：12O A O A ⊥；(2)如果123PO PO =，求证：PA AD =．14．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在四边形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 平分DAB ∠，点O 是AC 上一点，以OA 为半径的O 过B D 、两点．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)设O 与AC 交于点E ，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，若2AB AC EC =⋅，求证：AE EF =．15．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义．．．．．．．：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作O 的内接正六边形的方法．①在O 上任取一点A ，以A 为圆心、AO 为半径作弧，在O 上截得一点B ；②以B 为圆心，AO 为半径作弧，在O 上截得一点C ；再如此从点C 逐次截得点D 、E 、F ；③顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA ．(1)根据正多边形的定义．．．．．．．．．，我们只需要证明__________，________（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．的内接正五边形的方法．活动二：如图2，展示了一种用尺规作O的两条互相垂直的直径PQ和AF；①作O②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；相截，得交点B．③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与O如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次连接AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形．的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．(2)已知O（参考数据：sin22.5︒cos22.5︒=sin36=︒cos36︒=sin72=︒）。

2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题14 二次函数(解答题24题压轴题)解析版

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题14 二次函数（解答题24题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线1x =，顶点()1,4D ；（2）2y x 2x 3=-++；（3）点M 的坐标为57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；（2）过点D 作DE⊥y 轴，即可判断出⊥CDE⊥⊥BCO ，然后结合1tan 3DBC ∠=，可推出13CD BC =，从而通过相似三角形的性质列式求解a ，即可得出解析式；（3）首先根据M 的坐标求出直线CM 的解析式，从而得到直线CM 与对称轴的交点P 的坐标，进而利用割补法建立关于ACM ∆面积的等式，求解出t 的值即可．【详解】（1）⊥0a <，⊥抛物线开口向下，根据对称轴公式可得：212a x a-==-，当1x =时，4y =，则顶点()1,4D ，⊥抛物线开口向下，对称轴为直线1x =，顶点()1,4D ；（2）如图所示，作DE⊥y 轴，由（1）可知顶点()1,4D ，则OA=ED=1，⊥DC⊥BC ，⊥⊥DCE+⊥BCO=90°，又⊥⊥DCE+⊥CDE=90°，⊥⊥CDE=⊥BCO ，⊥⊥CDE⊥⊥BCO ， ⊥ED CD OC BC =，⊥1tan 3DBC ∠=，⊥13CD BC = 当0x =时，4y a =+，即点C 的坐标为()04,a +⊥4OC a =+，则：1143a =+，解得：1a =-，经检验a=-1是方程的解，⊥抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC ，M 的坐标为()223t,t t -++，此时设直线CM 的解析式为：y kx b =+，将C ，M 的坐标代入得： 2323b tk b t t =⎧⎨+=-++⎩，解得：23k t b =-+⎧⎨=⎩，即：直线CM 的解析式为：()23y t x =-++，设直线CM 与对称轴交于P 点，则P 的坐标为()15,t -+，5AP t =-+， ⊥()()11255228AMC M C S AP x x t t =-=-+=，解得：52t =，将52t =代入抛物线解析式得：74y =，⊥点M 的坐标为57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点()3,6A --、()6,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 是抛物线上的点，且位于线段BC 上方，联结CD ．①如果点D 的横坐标为2．求cot⊥DCB 的值；②如果⊥DCB ＝2⊥CBO ，求点D 的坐标．【答案】（1）215233y x x =-++；（2）①12；②104,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据点A ，B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点B 、C 、D 的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出DB 、BC 、DC 的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot⊥DCB 的值；②过C 作x 轴的平行线，过D 作y 轴平行线交于H ，根据平行线的性质推导出DCH CBO ∠=∠，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D 的坐标．【详解】（1）将()3,6A --、()6,0B 代入y ＝ax 2+bx +2，得，932636620a b a b -+=-⎧⎨++=⎩，解得：1353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ⊥抛物线的表达式为215233y x x =-++；（2）①当2x =时，215222433y =-⨯+⨯+=，当0x =时，2y =，⊥()2,4D ，()0,2C ，()6,0B ，⊥DB ==，BC ==DC ==222BD CD BC ∴+=，BDC ∴为直角三角形，其中90D ∠=︒，⊥1cot 2DC DCB DB ∠===;②过C 作x 轴的平行线，过D 作y 轴平行线交于H ，设点D 坐标为215,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则(),2H m ，21533DH m m ∴=-+， ⊥222DCB CBO BCH DCH ∠=∠=∠=∠，⊥DCH CBO ∠=∠，90CHD BOC ∠=∠=︒,CHD BOC ∴△△,()0,2C ，()6,0B ，2,6OC OB ∴==, ⊥13DH CO CH BO ==，∴2151333m m m -+=，解得：4m =，0m =（舍），⊥104,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．3．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）413,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）102a -<<．【分析】（1）将点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C 代入抛物线2y ax bx c =++，利用待定系数法即可求解；（2）先证明⊥AOC⊥⊥EOB(ASA)得出E(0，-1)，利用待定系数法求出直线PB 的解析式，根据P 是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P 点的坐标；（3）根据抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B ，求得抛物线解析式，从而表示出顶点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式，当x=1时，y=2，根据D 位于BOC 内部，列出关于a 的不等式即可求解．【详解】（1）将点A(−1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入抛物线y=ax 2+bx+c 得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，⊥抛物线的解析式为：y=−x 2+2x+3．（2）如图：⊥B(3，0)、C(0，3)，⊥OB=OC⊥⊥OBC=⊥OCB当⊥PBC=⊥ACB 时，则⊥PBC -⊥OBC=⊥ACB -⊥OCB 即⊥PBO=⊥ACO设PB 交y 轴于点E ，在⊥AOC 和⊥EOB 中PBO ACO OB OC EOB AOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，⊥⊥AOC⊥⊥EOB(ASA)⊥OE=OA=1⊥E(0，-1)设PB 的解析式为y=mx+n 将B(3，0)，E(0，-1)代入得301m n n +=⎧⎨=-⎩，解得131m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，⊥直线PB 的解析式为y=13x -1，联立解析式211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-++⎩，解得1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，⊥P(−43 ，139- ) ．（3）如图，⊥y=ax2+bx+c 经过A(−1，0)、B(3，0)⊥y=a(x+1)(x -3)=ax 2−2ax−3a⊥对称轴为直线x=−22a a-=1 ，顶点D 的坐标为（1，-4a ）由B(3，0)、C(0，3)易得BC 解析式为y=-x+3当x=1时，y=2因此当D 位于⊥BOC 内时0＜-4a ＜2 解得12-＜a ＜0即a 的取值范围是12- ＜a ＜0．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得⊥AOC⊥⊥EOB ，从而得到E 的坐标是解题的关键．4．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．【答案】（1）点A 的坐标为()41-，；（2）241y x x =--；（3）211182y x x =--．【分析】（1）联立324y x =-+和132y x =-解二元一次方程组即可；（2）先将A 点坐标代入21(0)y ax bx a =+-≠得到4b a =-，即函数解析式可写成241y ax ax =--，然后再将()1,2-代入求出a 即可；（3）先确定241y ax ax =--的顶点坐标，再根据对称性确定2y a x b x c =+'+'的顶点坐标，进一步得到82P P a '=+，再结合3OPP S ∆'=求出a 的值即可．【详解】解：（1）⊥直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ， ⊥324132y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：41x y =⎧⎨=-⎩；⊥点A 的坐标为()41-，；（2）⊥抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ()41-，， ⊥16411a b +-=-即4b a =-⊥241y ax ax =--⊥平移后的抛物线的表达式是241y ax ax =-+； ⊥241a a -=-+，解得：1a =⊥抛物线21y ax bx =+-的表达式是：241y x x =--；（3）⊥241y ax ax =--()2241a x a =---⊥()241P a --，,即OD=2 ⊥如图：抛物线()20y a x b x c a ''++'=<与241y ax ax =--关于x 轴对称， ⊥()241P a '+，⊥0a '<，⊥0a >；⊥82P P a '=+；又⊥2OD =，12OPP S OD PP ∆'=⋅'⋅；⊥()128232a ⨯⨯+=，解得：18a =． ⊥抛物线21y ax bx =+-的表达式是211182y x x =--．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与二元一次方程组的关系以及求函数解析式，其中灵活应用二次函数的性质成为解答本题的关键．5．（2021·上海青浦一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．【答案】（1）抛物线为2142y x x =+-，()0,4C -；（2）1tan 3ACD ∠=；（3）820,39⎛⎫ ⎪⎝⎭P 【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x 为0，求得C 点坐标；（2）过D 作CA 延长线的垂线，通过证明EAD OAC ∽求出DE 和EC 的长度，再求出正切值；（3）设21,42P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，通过tan tan BAP ACD ∠=∠可求出参数t ，从而得出P 点坐标．【详解】解：（1）将()4,0-，()2,0代入抛物线24y ax bx =+-，解得：1,12a b ==， ⊥抛物线为2142y x x =+-，令x=0，得y=4，故()04C -，．（2）过D 作DE AC ⊥交CA 延长线于E ，因为EAD OAC ∠=∠，DEA COA ∠=∠，⊥EAD OAC ∽，⊥AD =4，DE =AE ，由勾股定理得，DE =AE ，⊥DE EA DA CO OA CA ===，⊥DE =22EA ，EC ，⊥1tan 3DE ACD EC ∠===．（3）设21,42P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，连接DP 、AP ，⊥OCD CAP ∠=∠，⊥OCA ACD CAB BAP ∠+∠=∠+∠，⊥4545ACD BAP ︒+∠=︒+∠，⊥ACP BAP ∠=∠，⊥1tan tan 3BAP ACD ∠=∠=，⊥()211tan 4423BAP t t t ⎛⎫∠=+-÷+= ⎪⎝⎭，解得83t =，⊥820,39⎛⎫⎪⎝⎭P ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．6．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）．①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．【答案】（1）122y x =+；（2）①28b a =，0＜1b ＜1；②能，(()2724y x x =++-【分析】（1）根据直线解析式分别求出点A 和点B 的坐标，然后根据中点求出点C 的坐标，然后设直线AC 的解析式为y=kx ＋d ，利用待定系数法即可求出结论；（2）①将点C 的坐标代入即可求出c 的值，然后根据题意可知：该抛物线与x 轴只有一个交点，从而求出b 和a 的关系，然后根据其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）即可求出1b的取值范围； ②根据题意，画图，设点D 的坐标为（x ，x ＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC 、DB 和DA ，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D 的坐标，然后将点D 的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论．【详解】解：（1）将y=0代入4y x =+中，解得：x=-4；将x=0代入4y x =+中，解得：y=4 ⊥点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，4），⊥点C 是线段OB 的中点 ⊥点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx ＋d将点A 和点C 的坐标分别代入，得042k d d =-+⎧⎨=⎩解得：122k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ⊥直线AC 的解析式为122y x =+；（2）①将点C 的坐标代入2y ax bx c =++中，得2c =⊥抛物线解析式为22y ax bx =++由题意可知：该抛物线与x 轴只有一个交点，⊥280b a -∆==⊥28b a =⊥抛物线的解析式为2282y x x b b =++，其对称轴为直线2428x b b b =-=-⨯⊥其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）⊥-4＜4b-＜0解得：0＜1b ＜1；②能，如下图所示，连接DC设点D 的坐标为（x ，x ＋4），易知x ＞==)4x =+由⊥BDC=⊥CDA ，⊥DBC 和⊥DCA 为钝角，结合已知可得⊥BDC⊥⊥CDA⊥DC DBDA DC==2244x x ++=()24x x + 解得：x=1，经检验x=1是方程的解，⊥点D 的坐标为（1,5）将点D 的坐标代入2282y x x b b =++中，得2852b b =++解得：b 1=4-，b 2=4当b=4-时，则1b ＜0，显然不符合0＜1b＜1，故舍去；当b=4时，则1b===0＜1b＜1；⊥抛物线的解析式为(()2724y x x =++-．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC⊥AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求⊥BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．【答案】（1）221033y x x =-+；（2）2；（3）()24M -，或32.2M ⎛⎫⎪⎝⎭，【分析】（1）由B(5，0)和O(0，0)在抛物线上，可设抛物线为：()5,y ax x =-再把()24A ，代入可得答案；（2）先求解,,AO AB OB 的长度，可得,AB OB = 利用等腰三角形的性质证明,AC OC = 求解C 的坐标，再求解BC 的解析式及抛物线的对称轴方程，求解P 的坐标，求解,PA PB ，可得：PAB PBA ∠=∠，再求BC 的长及cot PBA ∠即可得到答案；（3）分两种情况讨论，如图，当ABP AOM ∽时，当ABP AMO ∽时，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解：（1）由题意设：()5,y ax x =- 把()24A ，代入()5,y ax x =- ()2254,a ∴⨯-= 64,a ∴-= 2,3a ∴=- ∴ 抛物线为：()222105,333y x x x x =--=-+（2）由抛物线：2210,33y x x =-+ ∴ 抛物线的对称轴方程为：1053,22223b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭()()()240050A O B ，，，，，，55AO AB BO∴=====，，,BA BO∴=,BC AO⊥∴C为AO的中点，()12C∴，，AC CO==设BC为y kx b=+，2,50k bk b+=⎧∴⎨+=⎩解得：1252kb⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩15,22y x∴=-+当52x=时，5,4y=55,,24P⎛⎫∴ ⎪⎝⎭PA∴==PB==,PA PB∴=,PAB PBA∴∠=∠()()5012B C，，，，BC∴==cot cot2,BCPAB PBAAC∴∠=∠===（3）如图，当ABP AOM∽时，则,AB APAO AM=5AP PB OA AB====，4,AM52AM∴=，经检验符合题意，534,22∴-=32.2M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，当ABP AMO ∽时，又ABP △是等腰三角形，AMO ∴△为等腰三角形，且AO MO =，AM x ⊥轴，且与x 轴交于G ，4AG MG ∴==， ()24.M ∴-，所以： ()24M -，或32.2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．8．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，⊥OCA =⊥OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1）112y x =-+；（2）231442y x x =--+；（3）44()33-，．【分析】（1）先设OA ，OB ，通过抛物线可求得OC ，结合⊥OCA =⊥OAB ，运用锐角三角形函数定义求解OA ，OB 即可；（2）过点D 作DG⊥x 轴，由⊥DGA⊥⊥AOC 推出D 的坐标，从而结合A ，D 坐标运用待定系数法求解即可；（3）设抛物线的对称轴FE 与OA 交于点H ，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH 和OH ，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．【详解】（1）⊥设直线12y x m =-+与x 轴、y 轴分别交于点A （2m ，0）、B （0，m ）， ⊥OA=2m ，OB=m ．⊥⊥OCA=⊥OAB ，⊥tan⊥OCA=tan⊥OAB=OA OC =12OB OA =． ⊥24y ax bx =++（a ≠0）经过点C （0，4），OC=4，⊥OA=2，OB=1，⊥直线AB 的表达式为112y x =-+．（2）过点D 作DG⊥x 轴，垂足为G ．⊥⊥DGA=⊥AOC=90°，⊥DAG=⊥ACO ，AD=AC ， ⊥⊥DGA⊥⊥AOC ，⊥DG=AO=2，AG=OC=4，OG=2，⊥点D （2-，2）．⊥抛物线24y ax bx =++经过点A 、D ，⊥0=4242424a b a b ++⎧⎨=-+⎩⊥3412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⊥抛物线的表达式为231442y x x =--+．（3）设抛物线的对称轴FE 与OA 交于点H ．⊥EF⊥OC ，⊥13AH AE EF AO AB BC ===，AH=23，OH=43， ⊥0=424423a b b a ++⎧⎪⎨-=⎪⎩⊥38a b =⎧⎨=-⎩⊥抛物线的表达式为2384y x x =-+．当43x =时，43y =-，抛物线的顶点坐标为44()33-，．．【点睛】本题考查二次函数的与几何综合问题，涉及到锐角三角函数的运用以及平行线分线段成比例定理，熟记基本定理并灵活运用是解题关键．9．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．解：（1）∵)a (bx ax y 02≠+=经过A （4，0）、B （1-，3）由题意得⎩⎨⎧=-=+.b a b a 30416，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.b ,a 51253…………………………………………2分 ∴ 二次函数解析式为x x y 512532-=，……………………………………………1分 ∴抛物线的对称轴为直线2=x . ……………………………………………………1分（2）由抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点D 与点B 关于抛物线的对称轴对称可得BD ∥OA ，且C （2,0）、D （5,3）.∴∠DBC =∠BCO ,∠DBO +∠BOC = 180°.∵B （1-，3），∴23=BC .………………………………………………………1分∵∠CED =∠OBD ，∴∠BOC =∠DEB.∴△EBD ∽ △OCB.…………………………………………………………………1分∴BC BD OC BE =，即2362=BE . ∴22=BE ，2=CE .……………………………………………………………1分过点E 作EF ⊥OA ，垂足为点F ，在Rt △OEF 中，由∠EFC = 90°可得EF =FC =1 .∴点E 的坐标为(1,1)………………………………………1分（3）以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，分类讨论： ⅰ）OA 为对角线,MN 与OA 互相垂直且平分，可得)512(2,-N ，)512(2,M .∴54821S =⋅⋅=MN OA ONAM 平行四边形.……………………2分 ⅱ）OA 为边,MN 与OA 互相平行且相等.可得)536(2,M ,)536(6,N 或)536(-2,N .∴5144S =⋅=ME OA OANM 平行四边形 .……………………2分 10．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D ．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．【答案】（1）(0,1)A ，21212y x x =-+；（2）①(1,0)C -，(6,7)D ；②P 坐标为1229,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线21y ax bx =++与y 轴的交点是当x=0时，求y 的值即可，根据顶点坐标(2,1)B -设顶点式：2(2)1y a x =--，再将点(0,1)A 代入即可求解；（2）①根据90CAB ∠=︒，先求出C 的坐标，根据待定系数法求出直线AC 的解析式，联立直线与抛物线即可得D 点坐标；②先根据待定系数法求出直线BD 的解析式，根据相似的性质即可求解．【详解】解：（1）当x=0时，y=1⊥(0,1)A ．⊥顶点(2,1)B -2(2)1y a x ∴=--，将(0,1)A 代入得：1=4a -1解得：a=12 2211(2)12122y x x x ∴=--=-+ （2）如图：设直线AB 的解析为:y=kx+1，将B(2,-1)代入得:-1=2k+1解得：k=-1⊥y=-x+1当y=0时，x=1⊥Q(1,0)故⊥AOQ 是等腰直角三角形⊥⊥BAO=45°①90CAB ∠=︒45CAO CAB BAO ∴∠=∠-∠=︒1OC OA ∴==(1,0)C ∴-:1AC l y x =+2161212y x x y x x =+⎧⎪∴⇒=⎨=-+⎪⎩或0（舍），(6,7)D ∴ ②1tan tan tan 3DAP ADB BCQ ∠=∠==∠DAP BCQ ∴∠=∠:25BD l y x =-，:21AP y l x =+ 设(,21)P m m +，AP =，AD =CB =2CQ =1）若ADP CBQ △∽△2AD AP CB CQ =⇒=125m =，1229,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2）若ADP CQB△∽△2AD AP CQ CB =⇒=6m =．此时点P 横向移动距离大于点B 最大横向移动距离（舍）综上，点P 坐标为1229,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，以及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．11．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交x 轴于点D ，23PD DC =． ①求P 点坐标；②点Q 在x 轴上，如果QCA PCB ∠=∠，求点Q 的坐标．【答案】（1）221233y x x =--；（2）①42,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ②16,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，210,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入解析式，解二元一次方程组即可；（2）①根据23PD DC =，求出P 点纵坐标，代入解析式即可； ②延长CB 交x 轴于的E ，连接EP ，则E 点坐标为（-2,0），PE⊥x 轴，当Q 点在点A 右侧时，⊥CEP⊥⊥CAQ ，AQ=PE ，可求Q 点坐标，当Q 点在点A 左侧时，过A 作AM⊥x 轴，交AQ 于点M ，⊥CEP⊥⊥CAM ，AM=PE,可求Q 点坐标．【详解】解：（1）把()2,0A 、()1,1B --代入22y ax bx =+-得422021a b a b +-=⎧⎨--=-⎩解得,2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⊥抛物线的解析式为221233y x x =-- （2）①过点P 作PF⊥x 轴，垂足为F ，易知⊥PFD⊥⊥COD ，23PD PF DC OC ==⊥OC=2，⊥43PF =，把43y =代入221233y x x =--得，24212333x x =--，解得1252,2x x =-=，⊥点P 在第二象限，⊥2x =-，⊥P 点坐标为4(2,)3P -， ②如图，当点Q 在点A 右侧，延长CB 交x 轴于的E ，连接EP ，⊥C （0，-2），B （-1，-1）⊥直线BC 的解析式为y=-x -2，⊥E 点坐标为（-2,0），⊥⊥ACE 是等腰直角三角形，AC=CE ，⊥CAE=⊥CEA=45°，⊥4(2,)3P -，⊥PE⊥x 轴，⊥⊥CEP=⊥CAQ=135° 又⊥⊥PCB=⊥ACQ⊥⊥CEP⊥CAQ⊥AQ=PE=43⊥Q 点坐标为110,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭如图，当点Q 在点A 右侧，延长CB 交x 轴于的E ，连接EP ，过点A 作AM 垂直于x 轴，直线CQ 于点M ，同理可证，⊥CEP⊥⊥CAM ，⊥AM=PE=43，⊥4(2,)3M ， C （0，-2） ⊥直线CM 的解析式为y=53x -2，⊥Q 点坐标为26,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭故Q 点坐标为110,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或26,05Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、相似三角形的性质、全等三角形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关键12. （2021崇明一模）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】．【答案】（1）()3,0B -，223y x x =--+；（2）P '在抛物线上，理由见解析；（3）存在；M ()1,0或()9,0或()1,0-或()9,0-【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B 的坐标，用待定系数法求得函数解析式．（2）求出直线BC 的解析式，计算得出线段PQ 的长度，过P '作P D '平行于x 轴，P D '交抛物线对称轴于点D ，根据旋转角度解直角三角形，得出P '的坐标，将P '的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案．（3）根据勾股定理可得出BCP 是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵A 、B 是关于直线1x =-轴对称图形的两点，点A 的坐标为()1,0，∴点B 的横坐标为()1113----=-⎡⎤⎣⎦，∴点B 的坐标为()3,0-；将A 、B 两点坐标值代入23y ax bx =++可列方程组：030933a b a b =++⎧⎨=-+⎩解得12a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的表达式为：223y x x =--+．（2）∵点P 为抛物线顶点，直线1x =-为抛物线的对称轴，∴点P 的横坐标为-1，纵坐标为2223=(1)2(1)34y x x =--+---⨯-+=，∴点P 的坐标为()1,4-，直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 的值代入可列方程：3=0+b 03k b ⎧⎨=-+⎩解得13k b =⎧⎨=⎩ ∵BC 与对称轴交于点Q ，∴当1x =-，3=13=2y x =+-+，∴点Q 的坐标为()1,2-，422PQ =-=，∵P '是点P 绕点Q 顺时针旋转120°得到的，∴2P Q PQ '==，过P '作P D '平行于x 轴，P D '交抛物线对称轴于点D ，如图：∵在Rt QDP '中，18012060P QD '∠=︒-︒=︒，2P Q '=，∴1QD =，DP '=∴点P '横坐标为点D 横坐标加DP '，即：1-+P '纵坐标为点Q 纵坐标减DQ ，即：211-=，将P '的横坐标值代入223y x x =--+，2(1)2(1)31y =---⨯-+=，∴P '的坐标符合抛物线表达式，∴P '在抛物线上．（3）∵[]2223(1)(04)20BP =---+-=，222(10)(43)2PC =--+-=， 222(30)(03)18BC =--+-=，20182=+，∴222BP PC BC =+，∴BCP 是直角三角形，=90BCP ∠︒，BC =PC =∵M 是x 轴上一点，90COM ∠=︒，若OCM CBP ∠=∠，则OCM CBP ∽，∴3OC CB OM CP ===，此时，点M 坐标为()1,0或()1,0-，若OCM CPB ∠=∠，则OCM CPB ∽，∴13OC CP OM CB ===，此时，点M 坐标为()9,0或()9,0-， ∴综上，点M 存在，点M 坐标为 ()1,0或()9,0或()1,0-或()9,0-．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．13.（2021奉贤一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）32m =；（3）()2,3C 【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入解析式，解二元一次方程求出a 、b 即可；（2）根据3AD BD =，求出点D 的坐标，把横坐标代入解析式，求出C 点纵坐标，求差即可；（3）延长CB 交x 轴于点F 因2CBA BAO ∠=∠，所以，BA=BF 可求F 坐标（-4,0），求出BC 析式，再求它与抛物线交点即可．【详解】解：（1）把()4,0A 、()0,2B 代入212y x bx c =-++得8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =-++；（2）抛物线向下平移时，C 点所在直线交x 轴于点E ，14DE AE AD BO AO AB ===，111,1424DE BO AE OA ∴====，13,2D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，把x=3代入213222y x x =-++得213332222y =-⋅+⋅+=，13222-=，∴m=32；（3）∵点C 在第一象限，连接CB 并延长，交x 轴于点F ，2CBA BAO ∠=∠，CBA BAO BFO ∠=∠+∠，∴∠BAO=∠BFO ，∴BA=BF ，∴F 点于A 点关于y 轴对称，∴F 点的坐标为F(-4,0)，由B(0,2)易求BC 解析式为：122y x =+，与抛物线解析式联立方程组， 212213222y x y x x ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=-++⎪⎩，23x y =⎧∴⎨=⎩，()2,3C ∴．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、抛物线的平移、比例线段、等腰三角形的性质，注意知识之间的联系，综合运用知识的能力是解题关键．14. （2021嘉定一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．【答案】（1）点A 、B 在抛物线上，理由见解析；（2）1a =，2b =；（3）等腰直角三角形【分析】（1）BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，算出AC 的解析式，交y 轴于点()0,3，抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求，由此解答即可；（2）把A 、B 点的坐标代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入()1,4得出D 点的坐标，再判断三角形的形状．【详解】（1）∵BC y ∥轴，故B 、C 中只有一个点在抛物线上，∵:3AC y x =+，交y 轴于点()0,3．且抛物线与y 轴也交于点()0,3，故C 不符要求．∴点A 、B 在抛物线上（2）代入A 、B 到23y ax bx =++．1a =，2b =∴223y x x =++（3）()212y x =++()()210y x t t =+->∴()1,0D t -代入()1,4到()21y x t =+-，10t =（舍），24t =，∴()3,0D∴AD =BD =AB =∴AD AB =，222AD AB BD +=，∴90BAD ∠=︒．∴ABD △是等腰直角三角形【点睛】本题考查了与待定系数法求二次函数解析式及判断点是否在图像上，平移变换勾股定理等知识，求解析式是解题的关键．15.（2021闵行一模）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．【答案】（1）抛物线224y x x =-++是回归抛物线；理由见解析；（2）221y xx =--+；（3）(1,8)F -- 【分析】（1）先求出点M 坐标，再求出点M 关于原点对称的点的坐标，最后代入二次函数，根据回归抛物线的定义即可得出答案；（2）先求出点C 关于原点对称的点C '的坐标，再将C '的坐标代入二次函数解析式，即可求出c 的值，从而得出抛物线的表达式；（3）先求出抛物线的对称轴，再根据题意求出点C 和点D 的坐标；根据直线OC 与抛物线的交点为E 求出点E 的坐标；从而求出CD 、CE 的值；然后根据相似三角形的判定和性质求出CF 的值，即可求出点F 的坐标．【详解】解：（1）M 横坐标为2，∴M 纵坐标为4，则(2,4)M ．∴(2,4)M 关于原点O 的对称点为(2,4)M '--；当2x =-时，2(2)2(2)44y =--+⨯-+=-．所以'M 在抛物线上；因此抛物线224y x x =-++是回归抛物线；（2）(1,1)C c -+关于原点O 的对称点为(1,1)C c '--，又因为点C 是这条抛物线的回归点，因此(1,1)C c '--在抛物线22y x x c =--+上；∴21(1)2(1)c c --=---⨯-+，解得1c = ∴221y x x =--+（3）由（2）可知221y x x =--+，对称轴1x =-，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为（-1,0），由（2）知，1c =，∴点C 的坐标为（-1,2），设OC 所在直线解析式为：y kx b =+，将(1,2)C -，()0,0O 代入得20k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：20k b =-⎧⎨=⎩，∴OC 所在直线解析式为2y x =-，2221y x y x x =-⎧∴⎨=--+⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，∴点E 的坐标为（1，-2），即(1,0)D -，(1,2)C -，(1,2)E -，2CD CE ∴==，在CEF △和CDE △中：CFE CED FCE ECD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ ，∴CEF CDE ∽，∴CF CE CE CD =．∴2CE CD CF =⋅，∴(22CF =，10CF ∴=，∴(1,8)F --．【点睛】本题考查了新定义函数、求一次函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，将新定义的函数与一次函数及二次函数相结合是解题的关键．16.（2021杨浦一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴负半轴相交，求m 的取值范围．【答案】（1）（2）1515416⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）122m <<且1m ≠．【分析】（1）根据题意求出C 点的坐标，由点P 与点C 重合列等式求解即可；（2）由题意代入原点坐标可得出点P 的坐标，连接OP ，PQ ，作OE PQ ⊥于E 点，PF x ⊥轴于F 点，根据三角函数值可证明OPQ POF ∠=∠，从而得到OG=PG ，得到G 点的坐标，求出PG 所在直线的解析式，联立等式求解即可；（3）分别求出B 、P 的坐标，求出直线BP 的解析式，令y=0，可得直线BP 与x 轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可．【详解】（1）如图1，抛物线与x 轴相交于C 点，()()22404x m x m ∴--+=-=，， 22x m x m -=±=±，，C 点在D 点的左侧，∴C(m -2，0)，又点P 与点C 重合，()1,P n ，∴ m -2=1，m=3，∴()234y x -=-+，∴A(3，4)，P(1，0)，AP ∴==（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，得2402m m -+==±，，顶点A 在第一象限，∴m=2， ()224y x ∴=--+=24x x -+，当x=1时，y=3，∴P(1，3)，如图2，连接OP ，PQ ，作OE PQ ⊥于E 点，PF x ⊥轴于F 点，tan 3OPQ ∠=，tan 3PF POF OF∠==，OPQ POF ∴∠=∠，设PQ 延长线与x 轴交于点G （x ，0），又OG=PG ，∴x =，解得x=5，检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，∴G （5,0），设直线PG 的解析式为：y=kx+b ，∴将P ，G 两点坐标代入得503k b k b +=⎧⎨+=⎩，求得34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ∴PG 所在直线的解析式为31544y x =-+，联立直线PG 和抛物线解析式可得2431544y x x y x ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩或1541516x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴Q 1515416⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（3）如图3，点()1,P n 在该抛物线上，代入()24y xm =--+中，∴()221423n m m m =--+=-++，∴()2123P m m -++，，又抛物线与y 轴交于点B ，∴B （0，24m -+），设直线BP 的解析式为：y=kx+b ，代入B 、P 两点，22234k b m m b m ⎧+=-++⎨=-+⎩，则2214k m b m =-⎧⎨=-+⎩，直线BP 的解析式为：()2214y m x m =--+，令y=0，()()22242121m m m x m m +--==--，直线PB 与x 轴的负半轴相交， ∴()()22021m m m +-<-， ()()220210m m m ⎧+->⎨-<⎩或()()220210m m m ⎧+-<⎨->⎩，解得m<-2或12<m<2，又顶点A 在第一象限，∴m>0,点A 与点P 不重合，∴1m ≠，综上所述，122m <<且1m ≠．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键．。

2021年最新初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案（完整版）

P，使得 △ ABP 的面积
为△ ABC面积的 2 倍？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴正半轴上运动，当以点 C， M ， N 为顶点的三
角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 △ CMN 的面积．
【答案】（ 1） y＝－ x2＋ 4x；（ 2） C（ 3，3），面积为 3；（ 3）P 的坐标为（ 5，－ 5）；
（Ⅲ ）若 x1 1, b 0 ，当 P(1,0) 满足 PA PE 值最小时，求 b 的值。
【答案】（ Ⅰ ） A 0,3 ， E(1,4) ；（ Ⅱ） y
【解析】
x2
x
1 ；（ Ⅲ ） b
3
17 .
4
【分析】
（Ⅰ ）将（ -1， 0），（ 3， 0）代入抛物线的解析式求得 b、 c 的值，确定解析式，从而求
c b1
b 4c b2
QE ,
, A(0,c)
24
b (b 2)2
E,
, A(0,b 1)
24
b (b 2)2
∴E 关于 x 轴的对称点
E为
, 2
4
设过点 A， P 的直线为 y kx t .把 A(0, b 1), P (1,0) 代入 y kx t ，得
y (b 1)( x 1)
b (b 2)2
初三数学一模试题分类汇编——二次函数综合及详细答案
一、二次函数
1．如图，抛物线 y＝ ax2+bx+3（ a≠０）的对称轴为直线 x＝﹣ 1，抛物线交 x 轴于 A、 C 两点，与直线 y＝ x﹣ 1 交于 A、 B 两点，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式．（2）点 P 在直线 AB 上方的抛物线上运动，若 △ ABP 的面积最大，求此时点 P 的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点 B、E、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点 D 的坐标．

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空(解析版)

上海市各区2021年中考模拟数学试题汇编：二次函数选择与填空一．选择题1．（2021•杨浦区三模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 2．（2021•徐汇区二模）将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（）A．（3，﹣2）B．（﹣3，﹣2）C．（3，2）D．（﹣3，2）3．（2021•虹口区二模）如果将抛物线y＝2x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1 D．y＝2x2﹣1 4．（2021•松江区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）5．（2021•黄浦区二模）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数y＝，其图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限6．（2021•浦东新区模拟）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）7．（2021•浦东新区模拟）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是28．（2021•上海模拟）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题9．（2021•浦东新区模拟）已知二次函数y ＝﹣x 2+4x 图象的最高点是． 10．（2021•上海模拟）已知点A （1，y 1）、点B （2，y 2）在抛物线y ＝ax 2﹣2上，且y 1＜y 2，那么a 的取值范围是．11．（2021•浦东新区二模）将抛物线y ＝x 2+2向右平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是．12．（2021•浦东新区校级二模）如果一抛物线的对称轴为x ＝1，且经过点A （3，3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为．13．（2021•宝山区二模）已知点A （﹣3，y 1）和点B （﹣，y 2）都在二次函数y ＝ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象上，那么y 1﹣y 2 0（结果用＞，＜，＝表示）．14．（2021•青浦区二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是．15．（2021•崇明区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝．16．（2021•长宁区二模）如果抛物线y ＝（m +1）x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是．17．（2021•普陀区二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线．18．（2021•奉贤区二模）如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a 的取值范围是．19．（2021•浦东新区三模）如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为．参考答案1．【分析】先得到抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣2，0），然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y＝x2顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣2，0），所以平移后的新的抛物线的表达式为y＝（x+2）2．故选：C．2．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣（x ﹣3）2﹣2，∴顶点坐标为（3，﹣2），故选：A．3．【分析】根据“左加右减”的法则即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝2x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+1）2，故选：A．4．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y ＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），故选：A．5．【分析】根据x的取值，判断y的范围，即可求解．【解答】解：根据题意x≠0，当x＜0时，y＞0；此时点在二象限；当x＞0时，y＞0；此时点在一象限；故选：A．6．【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）故选：B．7．【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、增减性以及顶点坐标，进一步可得出答案．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+2x ﹣3＝﹣（x ﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、C 不正确；∵抛物线顶点到x 轴的距离是|﹣2|＝2，∴D 正确，故选：D ．8．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．【解答】解：∵y ＝（x ﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x ＝2，故选：D ．二．填空题（共11小题）9．【分析】利用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点的坐标；【解答】解：由题意得，y ＝﹣x 2+4x＝﹣（x 2﹣4x +4）+4＝﹣（x ﹣2）2+4，二次函数图象的最高点的坐标为（2，4），故答案为：（2，4）．10．【分析】利用A 、B 坐标且y 1＜y 2和二次函数的性质即可判断．【解答】解：由已知抛物线为y ＝ax 2﹣2，∴对称轴为x ＝0，∵x 1＜x 2，要使y 1＜y 2，则在x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，故a 的取值范围是：a ＞0．11．【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解答】解：将抛物线y＝x2+2向右平移2个单位后，得y＝（x﹣2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），故答案为（2，2）．12．【分析】利用对称的性质，根据中点坐标公式求出B坐标即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，且经过点A（3，3），∴点A关于对称轴的对称点B的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．13．【分析】将点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0），进而可得结果．【解答】解：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，∵a＞0，∴a＞0，∴y1﹣y2＞0．故答案为：＞．14．【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入进行求值即可得到b的值．【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝﹣x2﹣b，把点（0，﹣2）代入，得0﹣b＝﹣2，解得b＝2，则该函数解析式为y＝﹣x2﹣2．故答案是：y＝﹣x2﹣2．15．【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c 向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【解答】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c＝﹣2+4＝，故答案为．16．【分析】由点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1＜0，据此可得．【解答】解：根据题意知点O（0，0）是抛物线y＝（m+1）x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1＜0，解得：m＜﹣1．故答案为：m＜﹣1．17．【分析】依据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，可以得出结论．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴方程x＝﹣，∴抛物线y＝ax2+ax+2（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣．即对称轴是直线x＝﹣．故答案为：x＝﹣．18．【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，即可求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，∴抛物线开口向下，∴a＜0，故答案为a＜0．19．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，故答案为：y＝2（x+3）2．。

二次函数(解答题24题压轴题)-2021年中考数学二模试题考点分类汇编(上海市16区)(解析版)

上海16区二模汇编专题11二次函数解答题24题1.（2021崇明二模）2.（2021静安二模）3.（2021宝山二模）4.（2021金山二模）5.（2021普陀二模）6.（2021闵行二模）7.（2021虹口二模）8.（2021长宁二模）9.（2021杨浦二模）10.（2021松江二模）11.（2021嘉定二模）12.（2021奉贤二模）13.（2021青浦二模）14（2021黄埔二模）15（2021浦东新区二模）16.（2021松江二模）【2021年崇明二模】24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D是该抛物线上一点，且在第四象限内，联结AC、BC、CD、BD．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；＝4S△AOC时，求点D的坐标；（2）当S△BCD（3）在（2）的条件下，如果点E是x轴上的一点，点F是抛物线上一点，当点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，根据﹣4a＝﹣4，可得a＝1，由此即可解决问题．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，构建（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．根据S△BCD方程求出m即可解决问题．（3）分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF＝AE＝1，求解即可．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6，求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求解即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，对称轴．（2）如图1中，设D（m，m2﹣3m﹣4），连接OD．＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∵S△BCD∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+4＝0，解得m＝2，∴D（2，﹣6）．（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时，∵DF∥AE，D（2，﹣6）∴F（1，﹣6），∴DF＝1，∴AE＝1，∴E（0，0），或E′（﹣2，0）．如图3中，当AE，DF是平行四边形的对角线时，∵点D与点F到x轴的距离相等，∴点F的纵坐标为6，当y＝6时，6＝x2﹣3x﹣4，解得x＝﹣2或5，∴F （﹣2，6）或（5，6），设E （n ，0），则有＝或＝，解得n ＝1或8，∴E （1，0）或（8，0），，综上所述，满足条件的点E 的坐标为（0，0）或（1，0）或（8，0）或（﹣2，0）．【2021年静安区】24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线25y x bx =++与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．24．解：（1）∵抛物线25y x bx =++经过点A （5，0），∴025+55b =+．············（1分）∴=6b -．··············································································（1分）∴抛物线表达式为265y x x =-+，顶点C 的坐标为（34-，）．·········（2分）（2）设抛物线的对称轴与x 轴、AB 分别相交于点E 、F ，点E （3，0）．∵点B （0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB =45°，（第24题图）AOxy∴EF=AE=2，CF=6．·····································································（1分）∴11116362152222ABC ACF BCF S =S +S =OE+CF AE ∆∆∆=⨯⨯+⨯⨯= ．·（2分）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=111522ABC S =BC AH=AH=∆⨯ ．·（1分）∴．∴sin5AH ABC=AB ∠=．·····························（1分）（3）∵55AE AHAC AB===，∴Rt △AEC ∽Rt △AHB ，∴∠ACE =∠ABC ．∵△DCA 与△ABC 相似，∴CD BA CA BC =或CD BCCA BA=．·························（1分）．∴CD =103或CD =6．·························（1分）∵抛物线和y 轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．······（1分）2021年宝山24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）经过点A （﹣2，0），B （1，0）和点D （﹣3，n ），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求△ODE 的面积；（3）如果点P 在y 轴上，△PCD 与△ABC 相似，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出解析式，由抛物线解式可求出点D的坐标；（2）求出E点坐标，由三角形面积公式可得出答案；（3）由点的坐标得出∠ABC＝∠OCD＝45°，若△PCD与△ABC相似，分两种情况：①当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC；②当∠BAC＝∠DPC时，△PCD∽△ABC，得出比例线段，则可求出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵将抛物线平移，使点C落在点B处，点D落在点E处，∴E（﹣2，3），＝9﹣﹣＝；∴S△ODE（3）如图1，连接CD，AC，CB，过点D作DE⊥y轴于点E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD与△ABC相似，点P在y轴上，∴分两种情况讨论：①如图2，当∠BAC＝∠CDP时，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），第24题图②如图3，当∠BAC ＝∠DPC 时，△PCD ∽△ABC ，∴，∴，∴PC ＝9，∴P （0，8）．∴点P 的坐标为（0，8）或（0，1）时，△PCD 与△ABC 相似．2021年金山21.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B 两点，抛物线b ax ax y +-=42与已知直线交于C 、D 两点（点C 在点D 的右侧），顶点为P .（1）求直线b kx y +=的表达式.（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a 的取值范围.（3）若直线DP 与直线AB 所成的夹角等于 15，且点P 在直线AB 的上方，求抛物线b ax ax y +-=42的表达式.A MD BP ECO 24.解：（1）∵直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B ；所以：⎩⎨⎧=+=+-302b k b k ，……………（2分）解得：⎩⎨⎧==21b k ；……………（1分）∴直线b kx y +=的表达式为2+=x y .……………（1分）（2）∵2=b ，∴抛物线的表达式为()a x a ax ax y 4222422-+-=+-=；……（1分）∴顶点P 的坐标是()a 42,2-；……………（1分）∵抛物线的顶点不在第一象限，且顶点P 在直线2=x 上；……………（1分）∴顶点P 在x 轴上或者第四象限，∴042≤-a ，即21≥a .……………（1分）（2）∵顶点P 在直线AB 的上方，抛物线242+-=ax ax y 与直线AB 交于C 、D 两点；∴抛物线开口向下；∵抛物线242+-=ax ax y 与直线2+=x y 都经过点()20，，且点C 在点D 的右侧；∴点D 的坐标是()20，；………………（1分）∵2==OD OA ，90=∠AOD ，∴45=∠=∠ODA OAD ；设直线DP 与x 轴交于点M ，∵直线DP 与直线AB 所成的夹角等于15，且点P 在直线AB 的上方；∴15=∠ADM ，60=∠+∠=∠ADM P AO PMO ；在MOD Rt ∆中，OD OMDMO =∠cot ，即332=OM ，∴332=OM ；…………（1分）设对称轴直线2=x 与x 轴交于点E ，可知x PE ⊥轴，90=∠=∠DOM PEO ；∴y PE //轴，PE OD ME OM =即PE 23322332=+，解得232+=PE ；∴23242+=-a ，可得23-=a .………………（1分）∴抛物线b ax ax y +-=42的表达式是232232++-=x x y .………………（1分）2021年普陀区24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （6，0），与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式；（2）设∠CAD ＝45°，求点E 的坐标；（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示△ACE 与△DCE的面积比．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）通过证明△ACE∽△BCA，可得，即可求解；（3）由相似三角形的性质可得＝，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，∴点C（0，﹣6），设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣6；（2）如图1，过点E作EH⊥OC于H，∵点C（0，﹣6），点B（6，0），点A（﹣2，0），∴OB＝OC＝6，OA＝2，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝6，AC＝＝＝2，∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∠ACE＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴＝，∴CE＝，∵EH⊥CO，∠ECH＝45°，∴EH＝HC＝，∴OH＝，∴点E（，﹣）；（3）∵点D的横坐标为d，∴点D（d，d2﹣2d﹣6），（0＜d＜6），如图2，过点D作DF∥AB交BC于点F，∴△ABE∽△DFE，∴，∵＝，∴＝．∵点F在直线BC上，∴点F（d2﹣2d，d2﹣2d﹣6），∴DF＝3d﹣d2，∴＝＝．2021年闵行区24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），∴，∴，∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，∴抛物线顶点B坐标为（5，4），由△BOE的面积为3得BE×3＝3，∴BE＝2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为E（3，3），把点E（3，2）和点A（8，，∴，∴直线表达式为y＝﹣x+5；（3）如图，①若BD∥OE，则四边形OEBD1为平行四边形，则点D4坐标为（0，2），连接D5A，∴cot∠D1AO＝＝，综上所述，此时∠DAO的余切值为或．【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．2021年虹口区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：34y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线H ：k y x =交于点P (2，92)，直线x m =分别与直线l 和双曲线H 交于点E 、D ．（1）求k 和b 的值；（2）当点E 在线段AB 上时，如果ED=BO ，求m 的值；（3）点C 是y 轴上一点，如果四边形BCDE 是菱形，求点C 的坐标．【答案】24．解：（1）由题意：把点P (2，92)代入k y x=中，得9k =．………（2分）把点P (2，92)代入34y x b =+中，得3b =．………………………（2分）（2）由题意：E 3(3)4m m +，，D 9()m m ，．则39(3)4ED m m =+-．…（1分）P图8∵ED=BO ，且BO=3，∴39(3)34m m+-=．…………………………………………（1分）解得12m m -==．…………………………………………（1分）∵点E 在线段AB 上，∴m <0．∴m 的值为-1分）（3）易得BE =．………………………（1分）①当m <0，点E 在点D 上方时，54BE m -．∵DE BE =，∴395(3)44m m m +--=．解得12332m m -=，=（舍）．∴154BC DE ==，C 3(0)4-，．………………………………………（1分）②当m <0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+-=，方程无实根．③当m >0，点E 在点D 上方时，395(3)44m m m +-=，方程无实根．④当m >0，点D 在点E 上方时，935(3)44m m m -+=．解得12332m m -=（舍），=．∴158BC DE ==，C 39(0)8，．……………………………………（1分）∴综上所述C 3(0)4-，或C 39(0)8，.……………………………………（1分）【2021年长宁二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣163x +c 经过点A （1，0）、B （3，0），且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m （m ＞0）个单位长度，联结AC 、BC ，当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，求m 的值；（3）如果点P 是抛物线上一动点，且在点B 的右侧，联结PC ，直线PA 交y 轴于点E ，当∠PCE ＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）2416433y x x =-+；（2）m ＝4；（3）75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4），即可求解；（3）求出直线PA 的表达式，得到点E 的坐标为（0，−43t ＋4），由∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：16039160a c a c ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得434a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的表达式为2416433y x x =-+；（2）令x =0，y =4∴C （0，4）当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C （0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝2，则平移后抛物线再过点C 时，m ＝4；（3）设点P 的坐标为（t ，2416433t t -+)，设直线PA 的表达式为y ＝kx +b ，代入A 、P 坐标得25164340t t kt b k b ⎧-+=+⎪⎨⎪=+⎩，解得443443k t b t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴直线PA 的表达式为y ＝（443t -）x 443t -+，令x =0，y =443t -+故点E 的坐标为（0，﹣43t +4），而点C （0，4），∵∠PCE ＝∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，由中点公式得：y P ＝12（y C +y E ），即2416433t t -+＝12（43t +4），解得t ＝1（舍去）或72，故点P 的坐标为75,23⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．【2021年杨浦二模】24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣5与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y ＝ax2+6x+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ 是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD ＝∠ABC，求线段DQ的长．【答案】（1）y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）Q （3，﹣2）；（3）8【解析】【分析】（1）求出A 、B 坐标代入y ＝ax 2+6x +c 即可得答案；（2）求出C 坐标，设P 、Q 坐标，根据平行四边形两条对角线的中点重合可列方程求解；（3）CD 与AB 交于N ，由∠QCD ＝∠ABC 可得△CQN ∽△BQC ，求出QN 及N 坐标，再求CN 解析式及D 坐标即可得出答案．【详解】解：（1）在y ＝x ﹣5中令x ＝0，得y ＝﹣5，令y ＝0得x ＝5，∴A （5，0），B （0，﹣5），将A （5，0），B （0，﹣5）代入y ＝ax 2+6x +c 得：025305a c c =++⎧⎨-=⎩，解得15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+6x ﹣5；（2）在y ＝﹣x 2+6x ﹣5中令y ＝0得x 1＝1，x 2＝5，∴C （1，0），点P 是抛物线上一点，点Q 是直线AB 上一点，设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），Q （n ，n ﹣5），则BP 的中点为（02m +，25652m m --+-），CQ 的中点为（12n +，052n +-），∵四边形BCPQ 是平行四边形，∴线段BP 的中点即是CQ 的中点，∴20156505m n m m n +=+⎧⎨--+-=+-⎩，解得10m n =⎧⎨=⎩或43m n =⎧⎨=⎩，∴Q （3，﹣2）；（3）设CD 与AB 交于N ，如图：∵B （0，﹣5），C （1，0），Q （3，﹣2），∴CQ ＝2，BQ ＝，∵∠QCD ＝∠ABC ，∠CQN ＝∠BQC ，∴△CQN ∽△BQC ，∴CQ QNBQ CQ =∴QN ＝423，设N （t ，t ﹣5），而Q （3，﹣2），＝3，∴t ＝133或t ＝53，∵在∠QCB 内作射线CD ，∴t ＝53，N （53，﹣103），设CN 解析式为y ＝kx +b ，将N （53，﹣103），C （1，0）代入得：105330k b k b⎧-=+⎪⎨⎪=+⎩，解得55k b =-⎧⎨=⎩，∴CN 解析式为y ＝﹣5x +5，令x ＝3得y ＝﹣10，∴Q （3，﹣10），∴DQ ＝﹣2﹣（﹣10）＝8．【点睛】本题考查二次函数、平行四边形及相似三角形综合知识，解题关键是设出坐标，利用相似三角形性质求出QN 的长度．【2021年松江二模】24.在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5a 经过点A ．将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC 的内部，求a的取值范围．【答案】（1）C （5，3）；（2）x =2；（3）﹣13＜a ＜﹣215．【解析】【分析】（1）由y=3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y=ax2+bx-5a可得b=-4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x=2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【详解】解：（1）在y=3x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=-1，∴A（-1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（-1，0），抛物线y=ax2+bx-5a经过点A，∴0=a-b-5a，即b=-4a，∴抛物线y=ax2+bx-5a对称轴为4222b axa a-=-=-=；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴35 k=，∴OC解析式为y＝35x，令x＝2得65y=，即6(2,)5E，由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y=ax2-4ax-5a，∴顶点坐标为（2，-9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴693 5a<-<，∴﹣13＜a＜﹣215．【点睛】本题考查点的平移、二次函数综合．（1）中会求一次函数与坐标轴交点是解题关键；（2）中掌握对称轴公式是解题关键；（3）掌握顶点公式是解题关键．【2021年嘉定二模】24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．（1）求该抛物线的顶点P的坐标；（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）P (1,1)-（2）0<a <5（3）19＜14a ≤【解析】【分析】(1)把抛物线代入顶点式为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣，即可求顶点坐标；(2)抛物线与y 轴的交点，横坐标为O ，即A 坐标为(0,1)a -，根据已知条件14a -＜，即可求a 的取值范围为0<a <5；(3)根据已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为1x =开口向上，可以得出(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，根据(4)f >0，(3)0f ≤，可以求出a 的范围．即可以写出符合条件的函数解【详解】解：(1)∵抛物线的方程为()22=21=(1)1f x ax ax a a x +--﹣﹣∴抛物线的顶点P 坐标为(1,1)-；(2)∵A 为抛物线与y 轴的交点，∴A 点坐标为(0,1)a -，由线段OA 上的整点个数小于4，则可知a -1<4,a <5，抛物线的开口向上，故a 的取值范围为0<a <5；(3)已知(1)f -、(0)f 、(3)f 、(4)f 有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）由题可知该函数对称轴为1x =，开口方向向上，故有(4)f ＞(3)f =(1)f -＞(0)f ，∴(4)f >0，∴得16810a a a -+-＞，∴19＞a ，∴19＞a ，∴(3)0f ≤；∴9610a a a -+-≤，得14a ≤，取16a =；∴2115()636f x x x =--∴a 的取值范围为19＜14a ≤．【点睛】本题考查二次函数的应用，解本题关键熟练掌握二次函数由一般式转为顶点式，抛物线的性质解不等式等．【2021年奉贤二模】24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣32），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m 的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．【答案】（1）y＝12x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，52）或（4，﹣1.5）．【解析】【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A （4，0），∴将A （4，0），C （1，﹣32）代入y ＝ax 2＋bx 得：016432a b a b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为y ＝12x 2﹣2x ；（2）设直线AB 的解析式是y ＝mx ＋n ，将A （4，0），B （0，2）代入得：042m n n =+⎧⎨=⎩，解得122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式是y ＝﹣12x ＋2，∵抛物线y ＝12x 2﹣2x 向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C 也向右平移m 个单位，再向上平移1个单位，而C （1，﹣32），∴C ′（1＋m ，﹣12），∵C ′（1＋m ，﹣12）在直线AB 上，∴﹣12＝﹣12（1＋m ）＋2，∴m ＝4；（3）∵y ＝12x 2﹣2x 对称轴为x ＝2，B （0，2），点B 关于原抛物线对称轴的对称点为B ′，∴B ′（4，2），∵A （4，0），∴直线AB ′为x ＝4，点F 在直线AB ′上，∠ACF ＝∠BAO ，分两种情况：①F 在A 上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝1 2，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝12，即12AGCG=，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴12 AH GH AGMG MC CG===，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（2.8，0.9），又C(1, 1.5)-，∴直线GC解析式为：y＝43x﹣176，令x＝4得y＝5 2∴F（4，5 2），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝12x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF//x轴，∴F(4, 1.5)综上所述，∠ACF ＝∠DAO ，F 坐标为或5(4,)2或(4, 1.5)-．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【2021年青浦二模】24．（12分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x ＝1，顶点是点D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）点P 为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC 为梯形时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点E 为x 轴正半轴上的一点，当tan （∠PBO +∠PEO）＝时，求OE的长．24．解：（1）∵抛物线经过点A （－1，0），对称轴是直线x ＝1，∴3=01.2a b b a-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，……（2分），解得=12.a b -⎧⎨=⎩，···································（1分）∴抛物线的解析式为223y x x =-++．把x ＝1代入抛物线的解析式，得y ＝4．∴D （1，4）．·····················（1分）（2）∵点P 为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC 为梯形，∴CD ∥BP ．·········································································（1分）延长DC 交x 轴负半轴于点F ，过点D 作y 轴的垂线，垂足为点G ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ．∵C （0，3），D （1，4），∴GD ＝CG ＝1．∴∠GDC ＝45°．∵GD ∥BF ，∴∠DFB ＝∠GDC ＝45°．∵CD ∥BP ，∴∠PBF ＝∠DFB ＝45°．···············································（1分）∴∠PBF ＝∠HPB ，∴PH ＝BH ．设点P 的坐标为223（，）-++x x x ．由题意可知B （3，0）．得2323x x x -=--++（）．·······················································（1分）解得2x =-，或3x =．（舍）∴P （－2，－5）········································································（1分）（3）∵P （－2，－5），∴在Rt △PHO 中，5tan 2PH POH OH ∠==．·········································（1分）∵5tan 2（）∠+∠=PBO PEO ，∴PBO PEO POH ∠+∠=∠．由（2）可知，45PBO ∠= ，因此45PEO ∠< ，所以点E 在点B 的右侧．又∵PBO BPO POH ∠+∠=∠，∴PEO BPO ∠=∠．·····························（1分）∵POB POB ∠=∠，∴△OPB ∽△OEP ．···········································（1分）∴OB OPOP OE =29=OE ，∴293OE =．······································（1分）25．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ．········································（1分）∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ．··········································（1分）∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ．··································（1分）在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°．·······（1分）（2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是»AB 的中点，∴»AC ＝»BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ．··················（1分）∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°．·····················································（1分）在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ．···············································（1分）∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ．····················（1分）∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△．··················（1分）（3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ．∵新圆弧由»AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5．∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ．∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211．····································（1分）在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH ，∴DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH ＝··························································（1分）当点E 在线段BO的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ＝．··························································（2分）【2021年黄浦区二模】24．（12分）如果抛物线C 1：y ＝ax 2+bx +c 与抛物线C 2：y ＝﹣ax 2+dx +e 的开口方向相反，顶点相同，我们称抛物线C 2是C 1的“对顶”抛物线．5+22（1）求抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝x2﹣4x+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物线y＝x2﹣4x+7形成两个交点M、N，记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B，当四边形AMBN是正方形时，求正方形AMBN的面积．（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，那么系数b与d，c 与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系．【分析】（1）先求出抛物线C1的顶点坐标，进而得出抛物线C2的顶点坐标，即可得出结论；（2）设正方形AMBN的对角线长为2k，得出B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），再用点M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，建立方程求出k的值，即可得出结论；（3）先根据抛物线C，C2的顶点相同，得出b，d的关系式，再由两抛物线的顶点在x轴，求出c，e 的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴顶点为（2，3），∴其“对顶”抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，即y＝﹣x2+4x﹣1；（2）如图，由（1）知，A（2，3），设正方形AMBN的对角线长为2k，则点B（2，3+2k），M（2+k，3+k），N（2﹣k，3+k），∵M（2+k，3+k）在抛物线y＝（x﹣2）2+3上，∴3+k＝（2+k﹣2）2+3，解得k＝1或k＝0（舍）；∴正方形AMBN的面积为；（3）根据抛物线的顶点坐标公式得，抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣，），抛物线C2：y＝﹣ax2+dx+e的顶点为（，），∵抛物线C2是C1的“对顶”抛物线，∴﹣＝，∴b＝﹣d，∵抛物线C1与C2的顶点位于x轴上，∴＝，∴c＝﹣e，即b＝﹣d，c＝﹣e．【2021年浦东新区二模】24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x ﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．【2021年徐汇区二模】24.如图，已知抛物线y＝12x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣43x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF．（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且▱CEDF 是菱形，求m 的值．【答案】（1）21322y x =+；（2）390,10F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）0【解析】【分析】（1）在Rt △ADC 中，设OC =x ，由勾股定理得：（4﹣x ）2＝x 2+4，解得x ＝32，即可求解；（2）求出点D 的坐标为（65，125），如果▱CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则DE ∥y 轴，且DE ＝CF ，进而求解；（3）求出点D 的坐标为（481225m -，361625m +），由DE ＝CE ，即可求解．【详解】解：（1）对于y ＝﹣43x +4①，令y ＝﹣43x +4＝0，解得x ＝3，令x ＝0，则y ＝4，故点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（3，0），由点A 、B 的坐标知，OA ＝4，OB ＝3，则AB ＝5，连接BC ，如下图，∵点C 在∠ABO 的平分线上，则OC ＝CD ，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2，设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝3 2，故点C的坐标为（0，3 2），则抛物线的表达式为y＝12x2+32；（2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC，由AB得表达式知，tan∠ABO＝43＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝34，故直线CD的表达式为y＝34x+32②，联立①②并解得65125xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D的坐标为（65，125），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，故DE＝y D＝12 5，则y F＝y C+DE＝12339= 5210+，故点F的坐标为（0，39 10）；（3）∵点E是BO的中点，故点E（32，0），由（2）知，直线CD的表达式为y＝34x+m③，联立①③并解得，点D的坐标为（481225m-，361625m+），而点E、C的坐标分别为（32，0）、（0，m），∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE，即（481225m-﹣32）2+（361625m+）2＝（32）2+m2，即9m2﹣36m＝0，解得m＝4（舍去）或0，故m＝0．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等．。

上海2020-2021学年初三数学一模考1-17题（二次函数汇编）学生版

知识回顾考点①二次函数图像 ②二次函数图像的性质 ③几种二次函数之间的图像变换规律④解析式-通过二次函数过的点的坐标求解析式 ⑤一般式，顶点式，配方法转换 ⑥图像顶点，对称轴，开口方向，最大最小值 ⑦一次函数与二次函数结合的图像问题，求解析式问题一、二次函数概念1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.二次函数2y ax bx c =++的定义域是一切实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．（2）,,a b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数2y ax bx c =++的图像和性质1.二次函数()2y a x m k =++与2y ax bx c =++的比较配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2b m a =-，244ac b k a -=．2.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、抛物线与坐标轴的交点（1）与y 轴的交点为()0,c .令0,x y c == （2）与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.四、二次函数的图像平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：左加右减，上加下减五、二次函数2y ax bx c =++的性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．对称轴左侧，y 随x 的增大而减小；对称轴右侧，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；对称轴右侧，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、待定系数法求解析式题型一、二次函数的概念（2021虹口一模3）下列函数中，属于二次函数的是（）A ．212y x =-； B ．y C ．22y x =-； D ．22 (2)y x x --=．（2021闵行一模1）下列函数中，是二次函数的是（）（A ）223y x x =--；（B ）22(1)y x x =--+；（C ）21129y x x =+；（D ）2y ax bx c =++．（2021浦东新区一模3）下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）（A ）2(1)3y k x =-+；（B ）211y x=+；（C ）2(1)(2)y x x x =+--；（D ）227y x x =-．（2021普陀一模1）下列函数中，y 关于x 的二次函数是（）（A ）2y ax bx c =++；（B ）211y x =+；（C ）(1)y x x =+；（D ）()222y x x =+-．（2021奉贤一模9）如果二次函数1+2+=2-m x mx y 的图像经过点P （1，2），那么m 的值为．（2021虹口一模9）如果抛物线2y x a =-经过点()2 0，，那么a 的值是．（2021金山一模2）下列各点在抛物线22x y =上的是（）（A ）()2,2；（B ）()42，；（C ）)(8,2；（D ）()16,2. （2021金山一模8）已知()x x x f 32+=，那么()=-2f ．（2021浦东新区一模6）已知点A （1，2）、B （2，3）、C （2，1），那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（）（A ）点A 、B 、C ；（B ）点A 、B ；（C ）点A 、C ；（D ）点B 、C ．题型二、开口方向（2021静安一模10）二次函数223y x x =-图像的开口方向是．（2021宝山一模13）如果抛物线()m x m y ++=21（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向 .（2021虹口一模10）如果抛物线2(+1)y k x =有最高点，那么k 的取值范围是_____ （2021嘉定一模13）如果抛物线2(21)y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是．（2021杨浦一模13）已知抛物线2(1)1y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是．（2021浦东新区一模13）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向．（填“向上”或“向下”）题型三、对称轴（2021虹口一模11）如果抛物线l 经过点A (2-，0)和B (5，0)，那么该抛物线的对称轴是直线．（2021黄浦一模14）已知二次函数图像经过点（3,4）和（7,4），那么该二次函数图像的对称轴是直线．（2021金山一模1）已知二次函数()122--=x y ，那么该二次函数图像的对称轴是（）（A ）直线2=x ；（B ）直线2-=x ；（C ）直线1=x ；（D ）直线1-=x .（2021嘉定一模16）如果抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b + 0. （从＜，=，＞中选择）（2021静安一模13）在二次函数223y x x =-+图像的上升部分所对应的自变量x 的取值范围是．（2021青浦一模12）二次函数2+2y x x m =+图像上的最低点的横坐标为．（2021徐汇一模3）已知抛物线c x x y ++-=42经过点)3,4(，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）（A ）)2,0(；（B ）)3,0(；（C ）)4,0(；（D ）)5,0(．题型四、顶点（2021嘉定一模3）抛物线223y x =-的顶点坐标是（）（A ）23-（，）；（B ）23（，）；（C ）03-（，）；（D ）03（，）．（2021静安一模11）抛物线236y x =-的顶点坐标为．（2021普陀一模10）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为．（2021崇明一模5）抛物线2()y a x k k =-+的顶点总在（）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)直线y x =上； (D)直线y x =-上．（2021黄浦一模17）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为（b ，c ），那么该抛物线的顶点坐标是．（2021嘉定一模15）如果抛物线2()2y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为．（2021青浦一模4）抛物线 ()322---=x y 的顶点坐标是（）（A ）（2，-3）；（B ）（-2，-3）；（C ）（2，3）；（D ）（-2，3）．题型五、与x y 、轴交点（2021崇明一模13）函数2245y x x =+-的图像与y 轴的交点的坐标为．（2021嘉定一模14）二次函数2(+1)3y x =-的图像与y 轴的交点坐标为．题型六、增减性（2021虹口一模12）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是的（填“上升”或“下降”）．（2021金山一模9）抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）（2021闵行一模9）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是的（填“上升”或“下降”）．（2021青浦一模11）抛物线223y x =-在y 轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）（2021徐汇一模10）已知二次函数1)23(2-+=x a y 的图像在直线23-=x 的左侧部分是下降的，那么a 的取值范围是_____．（2021普陀一模9）沿着x 轴正方向看，如果抛物线()22y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是．（2021奉贤一模10）如果二次函数21=）-（x y 的图像上有两点（2，y 1）和（4，y 2），那么y 1 _y 2（填“>”、“=”或“<”）．（2021浦东新区一模14）如果（2，1y ）、（3，2y ）是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ___2y ．（填“>”或“<”）（2021松江一模12）已知点()12,A y 、()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y _____2y ．（填“>”、“=”或“<”）（2021长宁一模13）已知抛物线22y x x c =-+经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．（2021普陀一模8）如果正比例函数y kx =的图像经过第一、三象限，那么y 的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）题型七、函数的平移（2021宝山一模5）将抛物线2x y =先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，两次平移后得到的抛物线的表达式为（）（A ）()212--=x y ；（B ）()212-+=x y ；（B ）()212+-=x y ；（D ）()212++=x y .（2021崇明一模14）如果将抛物线2(1)y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．（2021奉贤一模1）将抛物线22=x y 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）（A ）12=2-x y ；（B ）1+2=2x y ；（C ）21+2=）（x y ；（D ）212=）-（x y .（2021虹口一模4）将抛物线23y x =-向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（）A ．21y x =-；B ．25y x =-；C ．2+23y x =-（）；D ．223y x =--（）．（2021静安一模3）将抛物线3)1(22-+=x y 平移后与抛物线22x y =重合，那么平移的方法可以是（）（A ）向右平移1个单位，再向上平移3个单位；（B ）向右平移1个单位，再向下平移3个单位；（C ）向左平移1个单位，再向上平移3个单位；（D ）向左平移1个单位，再向下平移3个单位．（2021闵行一模10）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为．（2021青浦一模10）将抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得抛物线的表达式是．（2021松江一模3）抛物线22y x =向右平移3个单位后得到的抛物线是（）（A ）223y x =+；（B ）223y x =-；（C ）22(3)y x =+；（D ）22(3)y x =-．（2021徐汇一模1）将抛物线2)1(2+=x y 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（）（A ）2)2(22--=x y ；（B ）2)2(22+-=x y ；（C ）2)4(22-+=x y ；（D ）2)4(22++=x y ．（2021杨浦一模12）已知抛物线2y x =，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A （2，2），那么平移后的抛物线的表达式是．（2021长宁一模11）将抛物线221y x =- 向下平移3个单位后，得到新抛物线的表达式为．题型八、a b c 、、符号的判定（2021宝山一模6）如图所示是二次函数()02≠++=a c bx ax y 图像的一部分，那么下列说法中不正确．．．的是（）（A ）0<ac ；（B ）抛物线的对称轴为直线1=x ；（C ）0=+-c b a ；（D ）点（-2，1y ）和（2，2y ）在抛物线上，则21y y >.（2021闵行一模3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y a x b x c =++图像经过点O（0，0），那么根据图像，下列判断中正确的是（）（A ）0a <；（B ）0b >；（C ）0ab >；（D ）0c =．x 3-1 o 1y（第3题图）yx O（2021嘉定一模6）二次函数2()y a x m k =++的图像如图1所示，下列四个选项中，正确的是（）（A ）00m k <<，；（B ）00m k <>，；（C ）00m k ><，；（D ）00m k >>，.（2021长宁一模4）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么a c 、满足（）（A ） 0a >，0c >；（B ）0a >，0c < ；（C ） 0a <，0c >；（D ）0a <，0c <．题型九、二次函数的应用（2021奉贤一模11）如图2，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米．设垂直于墙的一段篱笆长为x 米，可列出方程为．（2021松江一模11）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x （x >0）厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式为_______________________．（2021黄浦一模15）如图2，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x 分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y 平方分米，那么y 关于x 的函数解析式是．（不必写定义域）（2021杨浦一模13）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．题型十、图像与性质综合（2021普陀一模11）如图2，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()1,0A ，那么()1f - 0．（填“＞”、“＜”或“=”）（2021黄浦一模2）抛物线243y x x =-+-不经过（）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限．（2021静安一模12）如果一次函数(2)1y m x m =-+-的图像经过第一、二、四象限，那么常数m 的取值范围为．（2021宝山一模14）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降．试写出一个符合要求的抛物线的表达式： . （2021黄浦一模5）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）（A ）-1；（B ）3；（C ）4；（D ）0．（2021长宁一模15）已知二次函数2()f x ax bx c =++的部分对应值如下表，那么(3)f -的值为．（2021普陀一模4）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（）（A ）开口向上；（B ）顶点在x 轴上；（C ）对称轴是直线1x =-；（D ）与y 轴的交点是（0，1）．（2021杨浦一模1）关于抛物线2y x x =-，下列说法中，正确的是（）（A ）经过坐标原点；（B ）顶点是坐标原点；（C ）有最高点；（D ）对称轴是直线x =1．（2021奉贤一模17）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如果抛物线C 1：x x y 2=2-与抛物线C 2是关于直线x =-1的对称曲线，那么抛物线C 2的表达式为．（2021杨浦一模11）已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，那么△ABC的面积等于．。

2021上海初三数学一模试题分类整理(阅读理解与新定义)

2021上海初三数学一模试题分类整理（阅读理解与新定义题）1．（长宁）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线.在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==.点E 、点F 分别是边AD 、边BC 上的中点.如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于．2.（杨浦）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB =10，BC =12，CD =5，tan 34B =，那么边AD 的长为．3．（徐汇）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数．例如：[]17.1=，053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，3412-=⎦⎤⎢⎣⎡-．根据你学习函数的经验，下列关于函数[]x y =的判断中，正确的是（）（A）函数[]x y =的定义域是一切整数；（B）函数[]x y =的图像是经过原点的一条直线；（C）点)2,522(在函数[]x y =图像上；（D）函数[]x y =的函数值y 随x 的增大而增大．4．（普陀）勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD ，同时留下一个小正方形EFGH 的空隙，利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH 的面积是4，10sin 10GBC ∠=，那么大正方形ABCD 的面积等于．5．（浦东）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线2C 的表达式为．6．（闵行）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）（A）4cm；（B）6cm；（C）8cm；（D）10cm．7．（虹口）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC ，使∠C=90°，∠ABC =30°，再延长CB到点D ，使BD =BA ，联结AD ，即可得∠D =15°．如果设AC =t ，则可得(2CD t =+，那么cot15°=cot D =CD AC ．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．8.（奉贤）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线．如果抛物线C 1：x x y 2=2-与抛物线C 2是关于直线x =-1的对称曲线，那么抛物线C 2的表达式为．9．（崇明）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD 中，AB AC AD ==，则2AC AB AD =⋅，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，那么线段AD 的长为．10．（青浦）如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图①，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果△QAB 、△QBC 和△QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图②，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=2，BC=8，∠B=60°，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =．。

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2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-【答案】A【分析】根据顶点式解析式的性质解答．【详解】抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是()2,3-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质：2()y a x h k =-+中顶点坐标为（h ，k ）．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =【答案】A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果．【详解】解：2yx x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y xx 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（）A ．-1B ．3C ．4D ．0【答案】D【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论．【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1，而1312-+= ∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 ∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选D ．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．【详解】解：243y x x =-+-＝()221x --+，即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；当y ＝0时，243x x -+-＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上，当x=0时，y=-3 ∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴a ＝-1＜0， ∴抛物线的图象的开口向下，大致画出图象如下：即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（） A ．点A 、B 、C B ．点A 、B C ．点A 、C D ．点B 、C【答案】C【分析】先把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：221y x x =-++，再判断B不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，124211a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩ 即：120a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1,2a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 抛物线为：221,y x x =-++ 当2x =时，44113,y =-++=≠()23B ∴，不在抛物线221y x x =-++上，∴ 抛物线21y ax bx =++可以经过的点是,.A C 故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线22(1)3y x =+-要通过平移得到22y x =，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即()22211332y x x =+--+=．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（）．A ．0ac 【答案】B【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：∴二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∴二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，∴c ＜0，∴ac ＜0 选项A 正确；∴由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， ∴抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a -b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，∴a -b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，∴y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A ．0m <，0k C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >【答案】A【分析】根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．【详解】由函数图象知：二次函数的图象顶点在第四象限，∴顶点坐标为（-m ，k ）， ∴-m>0，k<0，∴m<0，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与各项系数之间的关系．9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（）A ．0a C ．0ab >D ．0c【答案】D【分析】根据开口方向可判断a 的正负；根据对称轴的位置可判断b 的正负；进而得出ab 的正负；将(0,0)O 代入二次函数可得出c 的值即可．【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 选项错误；抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba∴->，0b ∴<，故B 选项错误； 0ab ∴<，故C 选项错误；二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据性质判断,,a b c 的正负是解题的关键． 10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（）A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A 、223y x x=--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数；C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-【答案】C【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：22(1)y x =+．故选C ．【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--【答案】C【分析】形如y=ax 2+bx+c （a≠0），a ，b ，c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题．【详解】A ．212y x =-右边不是整式，不是二次函数，故A 错误；B ． y =B 错误；C ．22y x =-是二次函数，故C 正确；D ．()222242444y x x x x x x =-+=-=--+-是一次函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,3【答案】C【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：∴抛物线为223y x =-，∴抛物线顶点坐标为(0，-3)，故选:C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+ 中，顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x=h ．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（） A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+-【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2yx 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+。