高二数学互斥事件有一个发生的概率2
2015年高考第一轮复习数学：11.2 互斥事件有一个发生的概率
11.2 互斥事件有一个发生的概率●知识梳理1.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2.对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作A，从集合的角度来看，事件A所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪A=U，A∩A= .对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.4.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件A的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（A）.对于n个互斥事件A1，A2，…，A n，其加法公式为P（A1+A2+…+A n）=P（A1）+P（A2）+…+P（A n）.5.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.●点击双基1.两个事件互斥是这两个事件对立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据定义判断.答案：B2.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g 范围内的概率是A.0.62B.0.38C.0.7D.0.68解析：设一个羽毛球的质量为ξ g ，则P （ξ<4.8）+P （4.8≤ξ＜4.85）+P （ξ≥4.85）=1. ∴P （4.8≤ξ＜4.85）=1－0.3－0.32=0.38. 答案：B 3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为A.60%B.30%C.10%D.50%解析：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p ，∴p =50%.答案：D4.（2004年东北三校模拟题）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为________.解析：（1）先摸出白球，P 白=C 12，再摸出黑球，P 白黑=C 12C 13；（2）先摸出黑球，P黑=C 13，再摸出白球，P黑白=C 13C 12，故P =15151312C C C C +15151213C C C C =2512. 答案：2512 5.有10张人民币，其中伍元的有2张，贰元的有3张，壹元的有5张，从中任取3张，则3张中至少有2张的币值相同的概率为________.解析：至少2张相同，则分2张时和3张时，故P =3103533152517231822C C C C C C C C C ++++=43. 答案：43 ●典例剖析【例1】 今有标号为1，2，3，4，5的五封信，另有同样标号的五个信封.现将五封信任意地装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.解：设恰有两封信配对为事件A ，恰有三封信配对为事件B ，恰有四封信（也即五封信配对）为事件C ，则“至少有两封信配对”事件等于A +B +C ，且A 、B 、C 两两互斥.∵P （A ）=5525A 2C ⋅，P （B ）=5535A C ，P （C ）=55A 1，∴所求概率P （A ）+P （B ）+P （C ）=12031. 答：至少有两封信配对的概率是12031. 思考讨论若求（1）至少有1封信配对. 答案：33352515A 1C 2C 9C ++⋅+.（2）没有一封信配对. 答案：1－55252515A 1C 2C 9C ++⋅+.【例2】 （2004年合肥模拟题）在袋中装20个小球，其中彩球有n 个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球.求：（1）如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是11413，且n ≥2，那么，袋中的红球共有几个? （2）根据（1）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率. 解：（1）取3个球的种数为C 320=1140.设“3个球全为红色”为事件A ，“3个球全为蓝色”为事件B ，“3个球全为黄色”为事件C .P （B ）=32035C C =114010，P （C ）=320310C C =1140120. ∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P （A +B +C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ），即11413=P （A ）+114010+1140120⇒P （A ）=0⇒ 取3个球全为红球的个数≤2.又∵n ≥2，故n =2.（2）记“3个球中至少有一个是红球”为事件D .则D 为“3个球中没有红球”.P （D ）=1－P （D ）=1－320318C C =9527或P （D ）=3201182221812C C C C C +=9527. 【例3】 9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲队分在同一组的概率.解：9个队分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 33种等可能的结果.（1）三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 22种分法.故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26C 24C 22种，所求概率P （A ）=33363922242633C C C C C C A ⋅=289. 答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是289. （2）∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－289=2819. 答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是2819. ●闯关训练 夯实基础1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A.至少有1个白球，都是红球B.至少有1个白球，至多有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至多有1个白球，都是红球答案：C2.一批产品共10件，其中有两件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件次品的概率为A.141B.97C.21D.92 解析：P =5104812C C C +51058C C =252140+25256=97. 答案：B3.有3人，每人都以相同的概率被分配到4个房间中的一间，则至少有2人分配到同一房间的概率是________.解析：P =1－3344A =85. 答案：85 4.从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号之和为奇数的概率是________.解析：任取5个球有C 510种结果，编号之和为奇数的结果数为C 15C 45+C 35C 25+C 55=126，故所求概率为510C 126=21. 答案：21 5.52张桥牌中有4张A ，甲、乙、丙、丁每人任意分到13张牌，已知甲手中有一张A ，求丙手中至少有一张A 的概率.解：丙手中没有A 的概率是13511348C C ，由对立事件概率的加法公式知，丙手中至少有一张A 的概率是1－13511348C C =0.5949.6.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出1个白球； （3）至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有C 48种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B i .则（1）摸出2个或3个白球的概率P 1=P （A 2+A 3）=P （A 2）+P （A 3）=482325C C C +481335C C C =73+73=76. （2）至少摸出1个白球的概率 P 2=1－P （B 4）=1－0=1.（3）至少摸出1个黑球的概率 P 3=1－P （A 4）=1－4845C C =1413.培养能力7.某单位36人的血型类型是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人.求：（1）两人同为A 型血的概率； （2）两人具有不相同血型的概率.解：（1）P =236212C C =10511. （2）考虑对立事件：两人同血型为事件A ， 那么P （A ）=2362628210212C C C C C +++=4713. 所以不同血型的概率为P =1－P （A ）=4734. 8.8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是________.解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组.2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为4826C C ；2个强队都分在B 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为4846C C .因此，2个强队分在同一个组的概率为P =4826C C +4846C C =73. 解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为483612C C C .因此，2个强队分在同一个组的概率P =1－483612C C C =1－74=73. 答案：73 探究创新9.有点难度哟！有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，…，第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k 到k +1），若掷出反面，棋向前跳两站（从k 到k +2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站概率为P n .（1）求P 0，P 1，P 2的值；（2）求证：P n －P n －1=－21（P n －1－P n －2），其中n ∈N ，2≤n ≤99；（3）求P 99及P 100的值.（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴P 0=1.第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为21， ∴P 1=21.棋子跳到第2站应从如下两方面考虑： ①前两次掷硬币都出现正面，其概率为41； ②第一次掷硬币出现反面，其概率为21. ∴P 2=41+21=43. （2）证明：棋子跳到第n （2≤n ≤99）站的情况是下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第n －2站，又掷出反面，其概率为21P n －2； ②棋子先到第n －1站，又掷出正面，其概率为21P n －1. ∴P n =21P n －2+21P n －1. ∴P n －P n －1=－21（P n －1－P n －2）. （3）解：由（2）知，当1≤n ≤99时，数列{P n －P n －1}是首项为P 1－P 0=－21，公比为－21的等比数列. ∴P 1－1=－21，P 2－P 1=（－21）2，P 3－P 2=（－21）3，…，P n －P n －1=（－21）n . 以上各式相加，得P n －1=（－21）+（－21）2+…+（－21）n ， ∴P n =1+（－21）+（－21）2+…+（－21）n =32［1－（－21）n +1］（n =0，1，2，…，99）.∴P 99=32［1－（21）100］，P 100=21P 98=21·32［1－（－21）99］=31［1+（21）99］. ●思悟小结求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.●教师下载中心 教学点睛1.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A 、B 互斥时，P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则公式不能使用.2.如果某事件A 发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P （A ）=1－P （A ）计算A 的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.拓展题例 【例题】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车； （2）停车的次数不少于2次； （3）恰好停车2次.解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.（1）记“该车在某停车点停车”为事件A ，事件A 发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件A ，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.∵P （A ）=8832=6561256， ∴P （A ）=1－P （A ）=1－6561256=65616305. （2）记“停车的次数不少于2次”为事件B ，则“停车次数恰好1次”为事件B ，则P （B ）=1－P （B ）=1－8133C =1－65613=21872186. （3）记“恰好停车2次”为事件C ，事件C 发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C 23（C 18+C 28+C 38+…+C 78）=3×（28－2）=3×254，于是P （C ）=65612543 =2187254.。
事件的相互独立性
P( A • B • C)
(2)A不发生且B不发生且C (2)A不发生且B不发生且C不发生 不发生且
P( A• B • C)
练一练:已知A 练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 相互独立， 符号语言表示下列关系 同时发生概率； ① A、B、C同时发生概率； 都不发生的概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； 中恰有一个发生的概率； 中恰有两个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； 中至少有一个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
引例的解决
明确问题： 明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 0.8, 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45, 0.5,老二为0.45,老三 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 0.4,且每个人必须独立解题， 且每个人必须独立解题 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？ 比较，谁大？
答:事件 的发生会影响事件 发生的概率 事件A的发生会影响事件 事件 的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P ( B A) = = = n( A) P ( A) 2
思考与探究
思考2 思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中 奖”。 表示事件“ 同学中奖” B表示事件“最后一名 同学中奖”
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) = P( B)
【数学课件】互斥事件有一个发生的概率(二)
解一：A=两球颜色相同； B=两白球； C=两黑球
A=B+C 其中B、C互斥
∴P（A）=P（B+C）=
解二： A =两球颜色不同
C52 C82
C32 C82
0.357 0.107
0.464
P( A)
1
P(
A)
1
C51 C31 C84
1 0.536 0.464
例3：在20件产品中，有15件一级品5件二级品，从 中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？ 解法一：设A=恰有1件二级品； B=恰有2件二级品 C=恰有3件二级品，则
巩固：①课本P127练习
1答；⒈⑴是互斥事件（因为所取的2件产品中恰有1件 次品是指1件是次品、另1件是正品，它同2件全是次品 互斥），但不是对立事件（2件全是次品的对立事件为 其中含有正品）
⑵不是互斥事件（因“有次品”包括1件是次品、 另1件是正品和2件全是次品这两种结果） ⑶不是互斥事件 ⑷是互斥事件，也是对立事件。
⑶这样的事件A与B的概率关系如何呢？
①对立事件的概念： ⑴对于上述问题中的事件A与B，由于它 们是不可能同时发生，所以它们是互斥 事件；又由于摸出的1个球要么是红球 要么是白球，所以事件A与B必有一个发生 对于事件A和B，如果它们互斥，且其中必有一个要发生， 则称A和B为对立事件。
⑵事件A的对立事件通常记作 A
⑶在一次试验中，两个互斥事件有可能不发生，只有两个互 斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件 才叫做对立事件，也就是说两个互斥事件不一定是对立事件 而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事 件互斥的充分不必要条件
⑷从集合的角度看，由事件 A 所含的结
高中数学第2课时 互斥事件(2)人教版必修三
普通高中课程标准实验教科书—数学必修三[苏教版]§3．4第2课时 互斥事件（2）教学目标（1）了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．（2）了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．（3）注意学生思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，转而逆向思维． 教学重点互斥事件和对立事件的概念，互斥事件中有一个发生的概率的计算公式． 教学难点利用对立事件的概率间的关系把一个复杂事件的概率计算转化成求其对立事件的概率．教学过程一、复习回顾1．判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．从一堆产品（其中正品与次品都多于2个）中任取2件，其中：(1)恰有1件次品和恰有2件正品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品；答案：（互斥但不对立，不互斥，不互斥，互斥对立）2．在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：⑴得到红球的概率； ⑵得到绿球的概率； ⑶得到红球或绿球的概率； ⑷得到黄球的概率．（5） “得到红球”和“得到绿球”这两个事件A 、B 之间有什么关系，可以同时发生吗？（6） ⑶中的事件D “得到红球或者绿球”与事件A 、B 有何联系？答案：（1）107 （2）51 （3）109 （4）101 （5）互斥事件 （6）)()()(B P A P D P +=． 二、数学运用1．例题例1．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率； (4)至少取得一个红球的概率． (答案: (1)157 （2）151 (3)158 (4)1514) 例2．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品； (2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法． (1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为91364=． (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为9423624=⨯⨯=P ． (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件．因而所求概率为98911=-=P ． 例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有x -36名．选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x ． 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x ． 上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ．解得15=x 或21=x即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名．总之，男女生相差6名．2．练习1．若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么?答案：(A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件．)2．下列说法中正确的是（ D ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于432112=-这样做对吗?说明道理．解: (1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．4． 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．(2819) 5． 在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?(9641) 6．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．(4534) 五、回顾小结：1．互斥事件和对立事件的概念；2．互斥事件中有一个发生的概率的计算公式；3．对立事件的概率间的关系．六、课外作业：课本第109页第5，7题、第112页第3，9题．。
互斥事件的公式
互斥事件的公式在数学和统计学的研究中，互斥事件的概念是非常重要的。
它指的是发生一个事件必然导致另一个事件不会发生，即两个事件互斥。
这种关系可以用特殊的公式来表示，即互斥事件的公式。
根据贝叶斯定理，互斥事件的公式可以用P（A）+ P（B）= 1来表达。
A和B是互斥事件，其中P（A）和 P（B）表示A和B事件发生的概率。
我们知道，当A和B两个事件是互斥的时候，只有A或者B其中的一个事件发生，其他的不会发生，因此他们的概率之和为1，即P（A）+ P（B）= 1。
如果要计算A事件发生的概率，那么可以用1-P（B）代替P（A），因为根据互斥事件的公式，1-P（B）= P（A），即A事件发生的概率等于1减去B事件发生的概率。
例如，计算A事件发生的概率：假设B事件发生的概率是0.5，那么A事件发生的概率就是1-P（B）= 1-0.5= 0.5。
同样，可以利用P（A）+ P（B）= 1的公式来计算其他互斥事件的概率。
例如，计算C和D的互斥事件的概率：假设C事件发生的概率为0.4，那么可以推断D事件发生的概率就是P（D）= 1-P（C）= 1-0.4= 0.6。
互斥事件的公式在不同的统计分析中都很常见，特别是概率分析和统计学中。
例如，在假设检验中，互斥事件的概率可以用来表示两个假设之间的两个不相互排斥的概率之和，即以下公式表示：P（H0）+ P（H1）= 1。
其中，H0和H1是两个互斥的假设，P（H0）表示H0假设的概率，P（H1）表示H1假设的概率，这就是互斥事件的公式在假设检验中的应用。
在不同的统计分析中，互斥事件的公式都是很重要的。
它可以用来计算两个或多个互斥事件的概率，并且可以用来说明一个事件的发生必然导致另一个事件不发生的关系。
所以，互斥事件的公式是数学和统计学研究中很重要的一部分，它比较容易理解，也很实用，经常被用于各种统计分析。
总之，互斥事件的公式在数学和统计学中都很重要，它可以用来计算互斥事件发生的概率，也可以用来说明一个事件的发生必然导致另一个事件不发生的关系，因此，互斥事件的公式在不同的统计分析中都有重要的应用。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
互斥对立事件的概率公式
互斥对立事件的概率公式在概率论中，互斥对立事件是指两个事件之间不存在重叠部分，即两个事件不能同时发生。
对于互斥对立事件，存在一种概率公式可以帮助我们计算它们的概率。
本文将介绍互斥对立事件的概念和相应的概率公式，并通过实际例子加深理解。
一、互斥对立事件的概念互斥对立事件是指两个事件不能同时发生的情况。
例如，抛一枚硬币，它的正面和反面是互斥对立事件；投掷一颗骰子，出现奇数和出现偶数也是互斥对立事件。
在数学中，我们用符号“∩”表示两个事件的交集为空集，即没有共同的结果。
二、互斥对立事件的概率公式对于互斥对立事件，其概率公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)。
即两个互斥对立事件的概率等于它们各自的概率之和。
三、实例解析为了更好地理解互斥对立事件的概率公式，我们通过几个实例进行解析。
1. 抛硬币实验假设我们抛一枚硬币，事件A表示出现正面，事件B表示出现反面。
由于硬币只有两面，所以事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
2. 投掷骰子实验假设我们投掷一颗骰子，事件A表示出现奇数，事件B表示出现偶数。
同样地，事件A和事件B是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出事件A或事件B发生的概率为P(A或B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 1/2 = 1。
通过以上两个实例，我们可以看到互斥对立事件的概率公式在计算概率时非常简单明了。
四、互斥对立事件的应用互斥对立事件的概率公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在赌场中赌博的概率计算、生产线上产品合格率的概率计算等等。
在赌场中，常见的赌博游戏如轮盘赌、骰宝等都涉及到互斥对立事件的概率计算。
例如，在轮盘赌中，下注红色和下注黑色就是互斥对立事件。
根据概率公式，我们可以计算出中红色或中黑色的概率。
在生产线上，产品合格率的计算也可以使用互斥对立事件的概率公式。
11.2互斥事件有一个发生的概率.许兴华
件
[新课内容]
6.两个对立事件的概率关系
根据对立事件的定义，与A为互斥事件 A 是一个必然事件， AA
P(A) P(A) P(A A) 1
即对立事件的概率的和等于１.
P(A) 1 - P(A)
N S E 许E V 课
兴T华
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[新课内容]
1.互斥事件的定义 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件. 一般地,如果A1,A2,…,An中的任何 两个都是互斥事件,那么就说 A1,A2,…,An彼此互斥.
从集合的角度看,n个事件彼此互斥, 容易看到,事件B与C也是互斥事件,事 是指各个事件所含的结果组成的集合 件A与C也是互斥事件.可以说A、B、 彼此不相交. C彼此互斥.
Firstpage首页 upward return next last 铃
N S E 许E V 课
兴T华
件
(课本P146习题之5)
C C C 5. (way1)P 2 6 C9
1 4 1 5 2 5
C 5. (way2)P 1 C 6
N S E 许E V 课
2 4 2 9
兴T华
Firstpage首页 upward return next last 铃
色代表用 突出的三个角代表经过 刻苦 四周的紫红色围绕着绿 能成功 ! 钻研可以出类拔萃出人 头地 高度的热情钻研数学才
含义 : 中文许兴华, 英文Steven 代表双语教学
图中有三角形圆形五边 形扇 本图标由许兴华 形代表数学中数形结合 思想 于20101125设计 兴T华 图中共有5种颜色代表数学世界 N S 许E V 课 五彩缤纷丰富多姿具有 无穷无尽的魅力铃 件 upward return next last Firstpage
互斥事件有一个发生的概率
互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。
高二数学 互斥事件
高二数学 互斥事件一、知识要点：1、互斥事件① 如果两个事件A 和B 不能同时发生，则称A 和B 是互斥事件。
② 如果事件n A A A ,,,21 中的任意两个都是互斥事件，就说事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
2、对立事件两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。
事件A 的对立事件记为A 。
3、互斥事件的概率加法公式如果事件A ，B 为互斥，当事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A+B 。
如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+．一般地，如果事件n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++4、对立事件的性质对立事件A 和A 必有一个发生，故A A +是必然事件，从而1)()()(=+=+A P A P A A P ．因此，我们可以得到一个重要公式)(1)(A P A P -=。
5、互斥事件有与对立事件的区别与联系对立必互斥，互斥未必对立。
二、典型例题：例1、 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”。
判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
⑴A 与C ⑵B 与E ⑶B 与D ⑷B 与C ⑸C 与E（2）求射击1次，命中不足7环的概率。
例3、盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品。
例4、鞋柜有4双不同的鞋，随机取出4只，试求下列事件的概率：（1）取出的鞋都不成对；（2）取出的鞋恰好有2只是成对的；（3）取出的鞋至少有2只成对；（4）取出的鞋全部成对。
高考数学一轮总复习名师精讲-第53讲互斥事件有一个发生的概率
第五十三讲
❖ (第五十四讲(文))互斥事件有一个发生的概率
❖ 回归课本
❖ 1.互斥事件与对立事件 ❖ (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事
件)． ❖ (2)从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含
的结果组成的集合彼此互不相交．
❖ (3)两个事件是对立事件的条件是： ❖ ①两个事件是互斥事件；
2．已知一组抛物线 y＝12ax2＋bx＋1，其中 a 为 2,4,6,8 中任取 一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取 两条，它们在与直线 x＝1 交点处的切线相互平行的概率是( )
1 A.12
6 C.25
7 B.60
5 D.16
解析：y′＝ax＋b，把 x＝1 代入，得 y′|x＝1＝a＋b. a＋b＝5 的有 1 种； a＋b＝7 的有 C32＝3 种； a＋b＝9 的有 C42＝6 种； a＋b＝11 的有 C32＝3 种； a＋b＝13 的有 C22＝1 种； 共有 C162＝120 种． ∴P＝1＋3＋126＋ 0 3＋1＝670.
❖ 类型二 互斥事件有一个发生的概率
❖ 解题准备：求复杂事件的概率一般可分三步进行：
❖ ①列出题中涉及的各个事件，并用适当符号表示它们；
❖ ②理清各事件之间的关系，列出关系式；
❖ ③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．直接计 算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个 数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
❖ 【典例1】 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为 “只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订 一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不 订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它 们是不是对立事件．
互斥的条件
互斥的条件包括以下几种：
1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
2. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件必然是互斥事件。
3. 如果事件A与B为互斥事件，那么其中任何一个事件的发生都会阻止另一个事件的发生。
4. 如果事件A与B为互斥事件，那么它们不会同时发生，但其中有一个发生必然导致另一个不发生。
5. 互斥事件的概率加法公式：如果A与B为互斥事件，那么P(A+B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件概率的和等于它们概率的直接相加。
6. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是互斥的。
7. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。
8. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。
9. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。
10. 互斥条件：一个资源每次只能被一个进程使用，即在一段时间内某资源仅为一个进程所占有。
此时若有其他进程请求该资源，则请求者只能等待，直至占有资源的进程用毕释放。
11. 请求和保持条件：进程已经保持至少一个资源，但又提出了新的资源请求，而该资源已被其它进程占有，此时请求进程阻塞，但又对自己已获得的其它资源保持不放。
12. 不剥夺条件：进程已获得的资源在未使用完之前，不能被剥夺，只能在使用完时由自己释放。
13. 循环等待条件：若干进程间形成首尾相接循环等待资源的关系。
以上是互斥的条件，供您参考。
高二数学条件概率知识点总结
高二数学条件概率知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律性的一门学科。
而条件概率则是概率论中的一个重要概念，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
在高二数学学习中，我们不可避免地会接触到条件概率的知识。
本文将对高二数学中条件概率的相关知识点进行总结。
1. 定义与公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 条件概率的性质(1) 非零性：当事件B发生的概率P(B)不为零时，条件概率P(A|B)也不为零。
(2) 正规性：对于一个样本空间Ω中的任意一个事件A，有P(A|Ω) = P(A)。
(3) 对偶性：事件A在已知事件B发生的条件下的概率，与事件B在已知事件A发生的条件下的概率是相同的，即P(A|B) =P(B|A)。
(4) 加法定理：对于两个事件A、B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 独立事件与互斥事件(1) 独立事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A与事件B是相互独立的。
当事件A与事件B 相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的出现并不影响事件A 的概率。
(2) 互斥事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = 0，则称事件A与事件B是互斥的。
互斥事件发生的条件下，事件A 和事件B不能同时发生。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它用于利用已知的条件概率来计算逆条件概率。
贝叶斯定理的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，即在没有任何其他信息的情况下，事件A发生的概率；P(A|B)为后验概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
高二数学互斥事件有一个发生的概率
A．
B．
C．
D．
• 3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次 品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为 0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 • 4.今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20 元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票 价和为70元的概率是_____.
补充例题： • 例 1. 今有标号为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的五封信，另有同 样标号的5个信封，现将5封信任意地装入五个信封 中，每个信封1封信，试求至少有2封信与信封标号 一致的概率．
• 例 2. 袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从 中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全 是红球的概率，⑵ 3 只颜色全相同的概率，⑶ 3 只 颜色不全相同的概率，⑷ 3 只颜色全不相同的概 率．
强化训练： • 1、某射手在一次射击训练中，射中10环、 9环、8环、7环的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射 击中： (1)射中10环或7环的概率; (2)少于7环的概率.
2、学校文艺队有9人,每个队员唱歌,跳舞至少 会一门,已知会唱歌的有5人,会跳舞的有7人， 现从中选3人,且至少要有一位既会唱歌又会跳 舞的概率是多少？
基础练习： • 1、判别下列每对事件是不是互斥事件，如果是， 再判别它们是不是对立事件. 从一堆产品(其中正品与次品都多于2个)中任取2件， 其中： • (1)恰有1件次品和恰有2件次品； • (2)至少有1件次品和 全是次品； • (3)至少有1件正品和至少有1件次品； • (4)至少有1件次品和全是正品.
11.2互斥事件有一个发生的概率
(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率
高 二 数 学（第33周）主讲教师：刘海滨 【教学内容】1、随机事件的概率；2、互斥事件有一发生的概率；3、相互独立事件同时发生的概率。
【教学目标】使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独立事件的意义；会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率；会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。
【知识讲解】一、随机事件的概率1、随机事件及其概率（1）随机事件A 的频率指此事件发生的次数m 与试验总次数n 的比值，它是随着试验次数的改变而变化的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p 附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率，记作P （A ）。
（2）弄清随机事件概率的取值范围由于频率nm总介于0、1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A ，有1)(0≤≤A P ；对必然事件I ，显然有P （I ）=1，对不可能事件Φ，显然有P （Φ）=0。
2、等可能事件的概率nmA P =)(既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本公式，利用这个式子计算概率时关键是求出m 、n 。
N 为一次试验中等可能出现的结果数，m 为某个事件A 所包含的结果数。
求n 时，应特别注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上是很容易出错的。
二、互斥事件有一发生的概率 1、关于“互斥事件”“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。
2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中发有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。
三、相互独立事件同时发生的概率 1、相互独立事件及其同时发生的概率 （1）理解“相互独立”的含义相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
高二数学独立事件概率例题解析 人教版
高二数学独立事件概率例题解析 一. 本周教学内容：独立事件概率互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率二. 重点1. 互斥事件只有一个发生的概率如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生(即A 1，A 2，…，A n 中有一个发生)的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．2. 相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．【典型例题】例1.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=例2.从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.总之，男女生相差6名.例3.某种零件经过三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？（结果精确到0.01）解：记第一道工序合格为事件A ，第二道工序合格为事件B ，第三道工序合格为事件C ，则P（A ）=95%，P （B ）=98%，P （C ）=99%，且事件A 、B 、C 相互独立。
高二数学互斥事件
四、在求某些复杂事件（如“至多、至少”的 概率时，通常有两种方法：
1、将所求事件的概率化为若干互斥事件的概 率的和; 2、求此事件的对立事件的概率．
练一练：
1．对飞机连续射击两次 ，每次发射一枚炮弹.设 A {两次都击中}，B {每次都没击中 }，C {恰 有一次击中}，D {至少有一次击中 }，其中彼此 A与 B， A 与C， 互为对立事 互斥的事件是 __________ ________;
剑宗大宗主万仞善急怒の传讯吼道.“万仞善宗主,俺幽冥宗损失更大.谁能想到,楚家居然有如此强悍の援助?”董泽也充满了无奈.“董泽宗主不会是怕了楚家,打算忍气吞声吧?”万仞善冷笑.“自然不是！俺幽冥宗,可没有忍气吞声の习惯.不过,现在楚家有强大援助,实话实说,俺幽冥 宗有些拿不准.所以,俺想请万仞善宗主协助俺幽冥宗.”董泽直接说道.“协助?如何协助?难道董泽宗主是希望俺万剑宗派出大批圣道境修行者,去攻打楚家吗?”万仞善冷笑说道.董泽若是想借历万剑宗,那万仞善肯定不能轻易答应.虽然呐壹次,万剑宗也损失很大,可楚家是流沙申域の 势历,对幽冥宗威胁才最大.要头疼,也让幽冥宗去头疼才对.“俺只是希望,万仞善宗主,能派出壹些万剑宗强者协助俺.对付楚家,自然是俺幽冥宗主导打头阵.而且在事成之后,那壹座新矿源隐藏の申晶矿脉,也全部属于万剑宗,俺幽冥宗绝对不染指分毫.”为了对付楚家,董泽也是拼 了.<!--肆贰捌叁玖+d零x零s+壹零壹伍零捌贰柒-->第玖零贰章 加入楚家?董泽确实感觉到了极大の威胁,他隐隐觉得幽冥宗壹品势历の地位,似乎已经有些不稳了.所以炎吙申域の万剑宗能够不着急,但位处流沙申域の幽冥宗不能不着急,他可不想幽冥宗被楚家从壹品势历の位置上挤下 去,幽冥宗绝对不能被楚家取代.“董泽宗主果然有壹些诚意.”听到董泽の传讯,万仞善轻笑起来.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1）是互斥事件，是对立事件 2）既是互斥事件，又是对立事件。 3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件。
2、抛掷一个骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为 事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3 的倍数”，判别下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判别 它们是不是对立事件。 (1)A与B；(2)A与C；(3)B与C
小结：1
互斥事件：不可能同时发生的两个事件。
当A、B是互斥事件时，P(A+B)=P(A)+P(B)
对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件 当A、B是对立事件时，P(B)=1P(A)
小结：2.“互斥事件”和“对立事件”都是就 两个事件而言的，互斥事件是不可同时发 生的两个事件，而对立事件是其中必有一 个发生的互斥事件。因此，对立事件必须 是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事 件，也就是说，“互斥事件”是“对立事 件”的必要但不充分的条件。“对立事件” 是“互斥 事件”的充分不必要条件。
1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为 0.24,0.28,0.19,计算这个射手在一次射击中： (1)射中10 环或 9 环的概率。 (2)不够 8 环的概率。
（1）P=0.24+0.28=0.52
（2）P=1-(0.24+0.28+0.19)=0.29
2．对飞机连续射击两次 ，每次发射一枚炮弹 .设A {两次都 击中}，B {每次都没击中 }，C {恰有一次击中 }，D {至少 A与 B， A 与 C， 有一次击中 }，其中彼此互斥的事件 是 __________ ________;
例2 在20件产品中，有15件一级品，5件二级品.从中任取3件， 其中至少有1件为二级品的概率是多少？ 解：记从20件产品中任取3件，其中恰有1件二级品为事件A1，其 中恰有2件二级品为事件A2，3件全是二级品为事件A3.这样，事件 A1，A2，A3的概率
1 2 C5 C 15 105 P ( A1 ) 3 C 20 228
11.2 互斥事件有一个 发生的概率(2)
1.互斥事件的定义
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．
一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是
互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An彼此互斥．
2.互斥事件有一个发生的概率
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发 生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和. P(A+B)=P(A)+P(B) 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件 A1+A2+…..+An 发生(即A1，A2，…，An中有一个发生)的概率， 等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)
3.对立事件的概念
A与A是互斥事件。事件A与A必有一个发生.这种其中必有 一个发生的互斥事件叫做 对立事件. 事件A的对立事件通常记
作A
4.对立事件的概率间关系
P(A) P( A ) P(A A ) 1
P( A ) 1 P(A)
1.判断下列给出的每对事件，（1）是否为互斥事件， （2）是否为对立事件，并说明道理. 从扑克牌40张（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1－ 10各10张）中，任取一张。 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点 数大于9”
B与 D . 互为对立事件的是________
B与 C， B与 D
3．从7名男生、 5名女生中任选 3名代表，问其中至少 有1名女生的概率是多少？ 37
44
4．某射手在一次训练射 击中，射中 10环、 9环、 8环、 7环的 的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28, 计算这个射手在一次射 击中： (1)射中 10环或7环的概率； (2)不够7环的概率. 0.03 0.49
； 天游
；
困住了."红娘和师尊到底是什么关系,她们怎么会认识,并且要融合の..."阿上抹去了眼角の泪水,脸色神了下来.阿上想了半天也没想明白所以然,在她印象当中,红娘是壹个包打听,彩虹山の事情知道甚多,想必实力也颇为强悍,只是没想到会与师尊有关系.眼看着七彩仙炉中神火闪 烁,却并不知道内部到底发生了什么,她被七彩神尼临行前控制在七彩仙阵之中,脑海中立即就想到了根汉."根汉怎么样了..."阿上脸色难看,担心自己师尊将根汉给杀了,不过想到红娘劝说过让自己和根汉好好相爱,想必根汉性命是无忧の."又是两三年,他现在去哪里了,回情域了 吗?"想到又需要壹段比较长の时间,无法见到根汉,阿上の心就如刀绞壹般の难受,不过身为宗王强者の她,还是很快平静下来.更新最快最稳定)"咱需要提升实力,尽快压制住七绝**,不然境界越高,将越难除去七绝**..."她很快冷静下来,分析自己目前の处境,只有最快の压制住七绝 **,将之前被斩去の几绝重新给找回来,才有希望在未来逆转术法成功."三年之后,咱还会再找到你の,混蛋根汉..."...而此时在神域の某片峡谷中,根汉等人正在这里休息,遇到了壹堆凶猛灵兽の攻击,竟然是壹群幽灵狼.数百双闪着绿光の眼睛,正盯着根汉他们这壹行人,视他们为 最美の晚餐."老大你还得闭关多久呀,再不醒来,咱们要被人家裹腹了..."根汉被谭妙彤几美围在了最中间,呈品字型将根汉护在中心,她们脸色都并不是特别好看,眼前の这壹群幽灵狼の实力很恐怖.最差の幽灵狼也达到了法则境,最吓人の是数量有不下于四五百头,其中还有二十几 头幽灵狼达到了宗王之境."都给本圣滚开,不然の话,诛你们全族!"白狼马怒吼壹声,气势全开,身上闪烁着壹阵白光,令壹些幽灵狼退后了壹些,晃到了他们の眼睛."呜...""嗷..."白光消失,群狼嘶吼,再壹次朝几人逼近,恐怖の威压令这壹带峡谷都形成了寂灭空间,方圆数百里の灵 气被这群狼转眼吸光.这便是数量多の优势,可以令这里の灵气全部消失,令对手无法再补充灵气."看来没别の办法了,只能是动用圣器了!"郝媚娆脸色难看,对和她背对着の谭妙彤说,"妙彤,你那神蚕苏醒了没有?"谭妙彤沉声道："马上就好了,只须再支持壹会尔,小乖就可以凝出蚕 茧了...""嗷..."就在这时,群狼突然整齐划壹の朝天发出了壹声嘶吼声,几人往头顶壹看,只见头顶有壹只恐怖の银色巨狼,似乎正坐在头顶の明月中."这..."几人都有些出神,白狼马骂咧道："这下子玩大了,老大你再不苏醒,咱们真得危险了...""白狼马,那是什么狼?"壹头狼,坐在 月亮之中,着实是令人惊讶万分.白狼马还没说,头顶明月中の那只银狼,已然抬头发出了壹阵恐怖の悸人の嘶吼声,明月竟然在半空中开始游动,载着银狼缓缓の下降."那,那是传说中の明月银狼,没想到真の存在于世,又被称为荒古神狼..."白狼马沉声道,"三位嫂子,咱们别藏拙了, 有圣器の全部祭出来吧,传闻成年の明月银狼最差也有圣人の实力,没想到竟然遇到了这种东西了...""圣人实力?"三美也心中壹怔,明月银狼怒吼壹声,从空中倾泻下壹片恐怖の月光,带着无与匹敌の圣兽威压,直震得白狼马吐血连连."圣狼!"白狼马瞳孔大缩,脖子上壹个碧蓝色の铃 铛猛の震了几震,碧蓝色の光环从他の身上绽放,化作壹个碧蓝光环罩在了几人の外围."白狼马..."做完这壹切,白狼马突然轰然倒地,口吐白沫,壹对眼珠子不断の震动,仿佛要爆出来壹般,令三美有些淬不及防.明月银狼越来越近,几人身在碧蓝色防御光环之中,却似乎并没有感觉到 头顶那恐怖の圣兽威压."这光环比圣器还恐怖..."三美明白过来,立即将白狼马拖到了光环中间,谭妙彤对两人低声传音道,"这头怕是真の明月银狼了,有圣人の威严,有可能是为咱の羽化仙体而来,咱们准备好传送法阵吧,立即传送离开..."郝媚娆和青婷微微点头,壹人走到了白狼 马身边,壹人来到了根汉身旁,准备趁碧蓝光环还有作用の时候,悄悄の用根汉之前给她们の传送阵法带他们离开."羽化仙体,竟然真の存在世上,当真是稀罕,稀罕..."就在这时,明月银狼从夜空中走出来,头顶似乎还悬着壹轮明月,他口吐人言,身上光彩夺目,最终化作了壹个黑袍青 年."当年情域没遇到你,今天你是自己送上门来,谭妙彤..."青年喋喋冷笑,如果有谭家の人在这里,壹定会惊呼,此人就是当年差点灭了谭家全族の那个青年人.（正文第壹六六十二部分明月银狼）第壹六六十三部分波若龙马环d>日壹二三四五六签到排名：今日本吧第个签到,本吧因你更精彩,明天继续来努力!本吧签到人数：0壹键签到成为高级会员,使用壹键签到本月漏签0次!成为高级会员,赠送捌张补签卡点击日历上漏签日期,即可进行补签.更新最快最稳定)连 续签到：天累计签到：天充值会员壹年送连续补签卡叁张关注：贰,776贴子：肆玖,0玖70回复贴,共1页>0<加载中第壹六六十三部分波若龙马环收藏千姿百态11★不要忘记点击本吧右上角の"签到"★欢迎大家到叁g为犀利增加点击量,票.――《绝世邪神》最近100部分连载 贴《绝世邪神》全部部分节连载贴――第壹千六百六十三部分"是你!"看着这个笑得有些妖冶の青年,谭妙彤心中壹震,也猜出了这人の身份,要不谁能知道自己の名字,而且实力如此之强达到了圣人境界.纵然是谭妙彤这么温柔没脾气の｜壹｜本｜读｜女人,看到眼前の这个险些灭 了自己全族の青年,此时眼里也是闪烁着浓浓の杀机.青年诡异の笑了笑,咧嘴笑道："看来你还记得咱,这些年壹定壹直在想咱,在想嫁给本圣吧..."青婷和郝媚娆此时心中也尽是疑惑,没想到这人竟然还认识谭妙彤,不过从两人の谈话来看,似乎是仇家."无耻!"谭