第二讲 有理数的运算(提高班)
有理数及其运算教案
教师： 科目：学生：上课时间： 授课内容：有理数及其运算 第二章 有理数及其运算第一节、有理数的意义1. 数怎么不够用了知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣”（读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3，182，5.2也可写作+3，182+，+5.2；零既不是正数，也不是负数。
或巩固练习：选择题 1．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）A. 0是整数B. 0是偶数C. 0是自然数D. 0既不是正数也不是负数2．–3.782 （ ）A. 是负数，不是分数B. 不是分数，是有理数C. 是分数，不是有理数D. 是分数，也是负数二、将下列各数填入相应的集合中。
17，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，182-，180，-42，-45%，π，1 整数：______________________ 自然数：__________________________正数：______________________ 负数： __________________________偶数：______________________ 奇数： __________________________分数：______________________ 非负数：__________________________非负整数： _________________ 非正分数：________________________非负有理数：________________ 有理数： ________________________填空题1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。
2、绝对值小于3的整数有 个。
3、119-的相反数的倒数是 。
4、计算：20022(1)(2)0-⨯-⨯= 。
5、如果216a =，那么 a= 。
6、如果规定上升8米记作8米，那么－7米表示 ______________。
第二章《有理数及其运算》(提高)
第二章《有理数及其运算》一、选一选，看完四个选项后再做决定呀1、在数轴上与－3的距离等于4的点表示的数是 ( )A ．1B ．－7C ．1或－7D ．无数个2、若x 是有理数，则x 2＋1一定是（ ）A.等于1B.大于1C.不小于1D.不大于13、若0＜a ＜1，则a ，1a ，2a 从小到大排列正确的是（ ）A ．21a a a << B ．21a a a << C ．21a a a << D ．21a a a<<4、学校为了改善办学条件，从银行贷款100万元，盖起了实验大楼，贷款年息为12%，房屋折旧每年2%，学校约1400名学生，仅贷款付息和房屋折旧两项，每个学生每年承受的实验费用为( )A 、约104元；B 、1000元C 、100元D 、约21.4元5、当n 为正整数时，(-1)2n+1-(-1)2n 的值是( )A 、0B 、2C 、-2D 、2或-26、如果0<<y x ,则xy xyx x+的结果是( )A 、0B 、2-C 、21 D 、2 7、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个★．二．填空题1．从数－6，1，－3，5，－2中任取二个数相乘，其积最小的是___________．2．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m ＝2，则(a ＋b )·dc ＋3cd －m 2＝ .3．如果n ＞0，那么n n＝ ，如果n n ＝－1，则n 0。
4．若有理数a 、b 满足()23120a b -+-=，则b a 的值为 ．5．如果定义新运算“※”，满足a ※b ＝a ×b －a ÷b ，那么1※2＝ ．6．任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（且每个数只能用一次）进行“＋、－、×、÷”四则运算，使其结果为24.现有四个有理数：3，4，－6，10，运用上述规则，写出一个运算： .7、观察下面的三个等式：4972=， 4489672=， 4448896672=， 猜一猜：26667= 。
(完整版)七年级上专题讲座有理数及其运算绝对值篇
第二讲 有理数及其运算②——再探绝对值绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。
它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。
一 知识点精讲1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。
2、去绝对值符号的法则。
0000a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭- 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。
4、技能构建。
（1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图a －b<0，b －a>0，a ＋b<0（2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。
如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b（3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。
（4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b（5）|ab|＝|a|·|b|a ab b=（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2（6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。
它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。
二 典型例题讲解及思维拓展：例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。
例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。
例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a||例4：已知，x<y<0，设M=|x|，N=|y|，p= ，则M 、N 、p 的大小关系是___________。
例5：（湖北省选拔赛题）若|a|=5，|b|=3，且|a－b|=b －a ，那么|a+b|=___。
专题212 有理数的加法(拓展提高)(解析版)
专题2.12 有理数的加法（拓展提高）一、单选题1．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b 满足0a b +>，则b 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据0a b +>确定出0b >且b a >，进而确定出b 的范围，判断即可． 【详解】解：∵0a b +>，21a -<<-， ∴0b >，而且1b a >>， ∴1b a >->， 符合条件是D ，b =2． 故选：D ．【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b 的取值范围．2．有理数m ，n ，k 在数轴上的对应点的位置如图所示，若m +n ＜0，n +k ＞0，则A ，B ，C ，D 四个点中可能是原点的是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【答案】B【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．【详解】解：若点A 为原点，可得0＜m ＜n ＜k ，则m +n ＞0，与题意不符合，故选项A 不符合题意； 若点B 为原点，可得m ＜0＜n ＜k ，且|m |＞n ，则m +n ＜0，n +k ＞0，符合题意，故选项B 符合题意； 若点C 为原点，可得m ＜n ＜0＜k ，且|n |＞|k |，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项C 不符合题意； 若点D 为原点，可得m ＜n ＜k ＜0，则n +k ＜0，与题意不符合，故选项D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了与数轴有关的计算，数形结合进行判断是解题的关键．3．已知a ，b ，c 为非零有理数，则a b ca b c++的结果可能值的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】由绝对值的性质可知a a ，b b ，cc这三个式子的值是±1，分情况讨论求出结果即可． 【详解】解：∵a ，b ，c 为非零有理数，∴它们的绝对值可能是自己本身，也可能是自己的相反数， ∴1aa=±， 同理1b b =±，1c c=±， ∴1113a ca b cb ++=++=， 1113a b ca b c++=---=-， 1111a b ca b c++=--=-， 1111a b ca b c++=+-=， 一共有4种结果． 故选：C ．【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质． 4．如果0a b +<，且0b >，那么a b a -、、、b -的大小关系是（ ）A ．a b a b <<-<-B ．a b b a <-<<-C ．a b a b <-<-<D ．b a a b -<<-< 【答案】B【分析】根据题目条件分析出a 是负数，且a 的绝对值大于b 的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵0a b +<，且0b >， ∴0a <，且a b >， ∴a b b a <-<<-． 故选：B ．【点睛】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 5．如图，有理数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点分别是A ，B ，C ，D ，若5b d +=，则a c +（ ）A ．大于5B ．小于5C ．等于5D ．不能确定【答案】A【分析】根据数轴，判断出数轴上的点表示的数的大小，进而可得结论 【详解】解：由数轴可得，a ＞d ，c ＞b ， ∴a+c ＞b+d ∵b+d=5 ∴a+c ＞5 故选：A【点睛】本题考查数轴、有理数加法法则以及有理数的大小比较，属于中等题型． 6．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，现用等式 A M =(i ，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A 8=(3，4)，则A 2020=( ) A ．(44，81) B ．(44，82)C ．(45，83)D ．(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解； 【详解】设2020在第n 组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1 则1+3+5+7+⋅⋅⋅+(2n-1)=12×2n×n=2n ， 当n=44时，21936n = ， 当n=45时，22025n =，∴ 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数； 故选：D ．【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究数字规律是解决此类问题的常用方法；二、填空题7．绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是_______． 【答案】0．【分析】首先根据有理数大小比较的方法，可得：绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，求它们的和即可．【详解】解：∵绝对值大于-12且小于13的所有整数有：±12、±11、±10、±9、±8、±7、±6、±5、±4、±3、±2、±1、0，因为互为相反数的两个数的和是0，所以绝对值大于﹣12且小于13的所有整数的和是0． 故答案为：0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的加法，解题关键是理解绝对值的意义，知道互为相反数的两个数和为0．8．如果0ab >，那么a abb ab ab++=________． 【答案】3或−1．【分析】由ab ＞0，则a 、b 同号，再根据绝对值的性质计算即可． 【详解】∵ab ＞0， ∴a 、b 同号， 当a ＞0，b ＞0时，a ab b a b ab++=1＋1＋1＝3； 当a ＜0，b ＜0时，a ab b ab ab++=−1−1＋1＝−1； 故答案为：3或−1．【点睛】本题考查化简绝对值，熟练掌握有理数绝对值的性质是解题的关键． 9．绝对值不大于100的所有整数的和是_____________． 【答案】0【分析】找出所有绝对值不大于100的数，再将它们相加即可解答.【详解】解：绝对值不大于100的所有整数有-100、-99、-98…-1、0、1、2、3、…99、100， ∴和为：-100+（-99）+（-98）+…+（-1）+0+1+2+3+…+99+100=（-100+100）+（-99+99）+…+（-1+1）+0=0．故答案为0．【点睛】本题考查了绝对值和有理数的运算，解题的关键是找出所有绝对值不大于100的数.10．计算：|12－1|＋|13－12|＋|14－13|＋…＋|199－198|＋|1100－199|＝___________．【答案】99 100【分析】先根据绝对值的性质化简，再从第二项开始依次相加即可得出结果．【详解】解：原式=111111111 1...22334989999100 -+-+-++-+-=1 1100 -=99 100，故答案为：99 100．【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．在本题中应先化简，再计算．11．如图，是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1号座位的票，乙购买2，4，6号座位的票，丙购买3，5，7，9，11号座位的票，丁无法购买到第一排座位的票．若让丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出满足条件的丁所选的座位号之和为____________．【答案】66．【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为1，3，5，6可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4，5．丁所购票数最多，即可得出丁应该为6，8，10，12，14，16，再将所有数相加即可．【详解】解：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为1，3，5，6．∴丙选座要尽可能得小，选择：1，2，3，4，5．此时左边剩余5个座位，右边剩余6个座位，∴丁选：6，8，10，12，14，16．∴丁所选的座位号之和为681012141666+++++=；故答案为：66．【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．12．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个格内均有不同数目的数，每一行、每一列以及对角线上的三个数之和均相等．如图，给出了“河图”的部分数，则方格中左下角“△”代表的数是_____；方格中九个数的和是_____．【答案】-4 -27【分析】根据“河图”的特征可得：每一条对角线上的三个数的和等于第三行的各个数的和，求出△的值即可． 【详解】解：根据题意得：+(5)(3)(6)∆-=-+- 解得：=4∆-设与△和-3在同一条对角线上另一个数为y ，则有：(6)(5)(3)y +-=-+- ∴2y =-∴对角线上三个数的和为：(4)(3)(2)9-+-+-=-，即每一行，每一列以及线上三个数的和都等于-9， ∴方格中九个数的和是(9)(9)(9)27-+-+-=-， 故答案为：-4；-27【点睛】此题主要考查有理数的加法，图形的变化规律，学习过程中注意培养自己的观察、分析能力． 13．小颖同学做这样一道题“计算|5|-+∆”，其中“∆”是被墨水污染看不清的一个数，她翻开后面的答案，得知该题的计算结果是3，那么“∆”表示的数是_________． 【答案】2或8【分析】根据有理数的加法法则以及绝对值的性质解答即可； 【详解】∵53-+=△， ∴ 53-+=△或53-+=-△， 解得：=8或2， 故答案为：8或2．【点睛】本题考查了有理数的加法和绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解答本题的关键；14．对于正数x 规定()1xf x x =+，例如133113(3),11343413f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+，计算1120152014f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111(1)(2)(3)(2013)(2014)(2015)201332f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________．【答案】120142【分析】根据规定式子可得1111(),(1)1121111x f f x x x====+++，从而可得11()()111x f x f x x x+=+=++，由此即可得．【详解】因为对于正数x 规定()1xf x x=+，所以1111(),(1)1121111x f f x x x ====+++，所以11()()111x f x f x x x+=+=++， 则原式111(2015)(2014)(2)(1)201520142f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 1120142=⨯+， 120142=，故答案为：120142． 【点睛】本题考查了有理数加法运算的规律型问题，根据规定的运算式子，找出规律是解题关键．三、解答题15．10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克． 【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解．【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克） 以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1，（+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1） =（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1） =5.4千克．答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键．16．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东四方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：9+，3-，8-，6+，6-，4-，10+．（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ （2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营运额是多少？ 【答案】（1）离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东；（2）110.4元【分析】（1）根据正数和负数意义，将所有的数相加所得结果即可得出答案；（2）根据绝对值的意义，将所有的数的绝对值相加即可得出总的路程，即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意可得，+9+（-3）+（-8）+6+（-6）+（-4）+10=+4， 因为向东为正，向西为负，所以出租车离鼓楼出发点为4km ，在鼓楼东； （2）由题意可得，出租车营运的总路程为，|+9|+|-3|+|-8|+|6|+|-6|+|-4|+|10|=46（km ）， 营运额为：46×2.4=110.4（元）．【点睛】本题主要考查正负数的运算和绝对值的意义，根据题意列式计算是解决本题的关键．17．某食品厂计划平均每天生产200袋食品，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超过计划量记为正）：（1）根据记录的数据，求产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多少袋？ （2）根据记录的数据，求该厂本周实际共生产食品多少袋？ 【答案】（1）20；（2）1410．【分析】（1）根据题意和表格可以求得该厂产量最多的一天的产量和产量最少一天的产量，从而可以解答本题；（2）根据表格求出本周一共比计划多生产10袋，可求得该厂本周实际共生产食品多少袋． 【详解】解：（1）最多的一天为星期四：20011211+=（袋）， 最少的一天为星期五：2009191-=（袋），21119120-=（袋），产量最多的一天比产量最少的一天多生产食品多20袋；（2）5171195610+--+-++=（袋） 2007101410⨯+=（袋） 答：该厂本周实际共生产食品1410袋．【点睛】本题考查正数和负数的意义和有理数加法，解题的关键是明确题意，准确列式计算．18．某公路检修小组早上从A 地出发，沿东西方向的公路上检修路面，晚上到达B 地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下（单位：千米）：﹣5，﹣3，+6，﹣7，+9，+8，+4，﹣2． （1）请你确定B 地位于A 地的什么方向，距离A 地多少千米？ （2）距A 地最远的距离是多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，问这个小组从出发到收工共耗油多少升？【答案】（1）B 地在A 地的东边10千米；（2）最远处离出发点12千米；（3）8.8升【分析】（1）计算这些有理数的和，即可知道收工时，B 地位于A 地的什么方向，距A 地多远， （2）逐次计算结果，当达到绝对值最大时即可， （3）求出各个数的绝对值的和，进而求出用汽油的升数． 【详解】解：（1）∵﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2＝10， 答：B 地在A 地的东边10千米；（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： |﹣5|＝5（千米）；|﹣5﹣3|＝8（千米）；|﹣5﹣3+6|＝2（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7|＝9（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9|＝0（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8|＝8（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4|＝12（千米）；|﹣5﹣3+6﹣7+9+8+4﹣2|＝10（千米）；12＞10＞9＞8＞5＞2＞0，∴最远处离出发点12千米；（3）这一天走的总路程为：|﹣5|+|﹣3|+|+6|+|﹣7|+|+9|+|+8|+|+4|+|﹣2|＝44（千米），应耗油44×0.2＝8.8（升），答：问这个小组从出发到收工共耗油8.8升．【点睛】本题考查有理数的加法、绝对值的意义，理解有理数和绝对值的意义是正确解答的关键．19．如果自然数m使得作竖式加法m+（m+1）+（m+2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数”，例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象（1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；（2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可．【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象，∴42不是“三生三世数”，∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象，∴3210是“三生三世数”，（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有：100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132，∵102，111，120，132能被3整除，∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答． 20．从数轴上看： a 表示数a 的点到原点之间的距离，类似地4a -表示数a 的点到表示数4的点之间的距离．一般地a b -表示数a 的点到表示数b 的点之间的距离．（1）在数轴上，若表示数x 的点与表示数2-的点之间的距离为5个单位长度，则 x =________；． （2）对于任何有理数x ，式子 16x x ++- 有最_____（大或小）值，该值为________．（3）利用数轴，求方程 549x x -++= 的所有整数解的和.【答案】（1）3或-7；（2）小，7；（3）5【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）先得到16x x ++-的意义，再判断取值；（3）先得到549x x -++=的意义，从而得到相应的x 的范围，得到整数取值，最后相加．【详解】解：（1）∵表示数x 的点与表示数-2的点之间的距离为5个单位长度， ∴25x +=，解得：x =3或-7；（2）16x x ++-表示数轴上到-1和6的距离之和，∴有最小值，当x 在-1和6之间（包含-1和6）时，该值最小，且为7；（3）549x x -++=表示数轴上表示x 的数到-4和5的距离之和为9，则当x ＜-4或x ＞5时，549x x -++>，当-4≤x ≤5时，满足条件，此时x 的整数值为：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，∴所有整数解的和为-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5=5．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．。
浙教版数学七年级上册第二章《有理数的运算》复习教学设计
浙教版数学七年级上册第二章《有理数的运算》复习教学设计一. 教材分析浙教版数学七年级上册第二章《有理数的运算》复习教学设计，主要涉及有理数的加法、减法、乘法、除法以及混合运算。
本章内容为学生提供了有理数运算的基本方法和规则，是进一步学习数学的基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握有理数运算的方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已初步掌握了实数的概念，对加法、减法、乘法、除法有一定的了解。
但部分学生对有理数运算的规则和技巧还不够熟练，特别是在混合运算中，对运算顺序和运算法则的掌握程度不一。
因此，在复习教学中，需要针对学生的实际情况，重点巩固运算规则，提高学生的运算速度和准确性。
三. 教学目标1.掌握有理数的加法、减法、乘法、除法运算方法。
2.掌握混合运算的顺序和运算法则。
3.提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
4.培养学生的团队合作精神和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重难点：有理数的混合运算。
2.难点：运算顺序和运算法则的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决问题来掌握运算方法。
2.使用案例分析法，分析典型例题，让学生深刻理解运算规则。
3.运用合作学习法，分组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.采用巩固练习法，通过适量练习，提高学生的运算速度和准确性。
六. 教学准备1.准备相关教案和教学PPT。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
4.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）回顾实数的概念，引导学生认识到有理数是实数的一部分。
通过提问方式，让学生回顾加法、减法、乘法、除法的基本概念和方法。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示本章的主要内容和知识点，包括有理数的加法、减法、乘法、除法以及混合运算的规则。
引导学生对比实数和有理数的区别，明确有理数运算的重要性。
3.操练（10分钟）分组进行练习，每组选择一道混合运算的题目进行讨论和解答。
七年级第二讲有理数的加减法
第二讲有理数的加减法【知识与技能】掌握有理数的加法法则和减法法则，能熟练地进行有理数加、减法运算。
知识点一：有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得零。
一个数与0相加，仍得这个数。
例1.计算(1)(－3.2)＋(＋4.8) (2)(＋7.1)＋(－2.9)(3) (－14)＋(＋14) (4)(－13)＋(＋313)例2.判断（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （）（2）绝对值相等的两个数的和为0.（）（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( )课堂练习1.一个正数与一个负数的和是（）A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能2.两个有理数的和（）A、一定大于其中的一个加数B、一定小于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定D、大小由两个加数的符号及绝对例3.有理数加法运算律的应用1．把符号相同的加数相结合计算：（+5）+（-6）+（+4）+（+9）+（-7）+（-8）2．把和为零的加数结合计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5）3．把和为整数的加数相结合计算：（+6.4）+（-5.1）+（-3.9）+（-2.4）+（+4.9）4．统一形式后再结合（当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。
）计算：（-0.125）+（-0.75）+（34）+18+15．把整数与整数，分数与分数分别相结合[在分拆带分数时，要注意符号。
如：-423=（-4) +（-23），而不是(-4+23)]计算：-423+313+612+214拓展延伸1.有一批水果，包装质量为每筐25千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）：27，24，23，28，21，26，22，27，为了求得8筐样品的总质量，我们可以选取的一个恰当的基准数进行简化运算．（1）你认为选取的一个恰当的基准数为______。
第2章 有理数的运算专题复习讲义：有理数加减法(含答案)
专题：有理数加减法重难点易错点解析例1题面：计算：(-40)+(+28)+(-19)24711137⎛⎫+- ⎪⎝⎭有理数的加法： 1、同号两数相加 2、异号两数相加 例2.题面：计算：(+4.7)-(-8.9)-(+7.5)517(10)125--- 有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 有理数计算两步走： 先定号，再定绝对值金题精讲题一题面：计算：-7.5+3.4-6.82651432131313⎛⎫--+- ⎪⎝⎭()()273.732 3.770299⎛⎫-++--+--- ⎪⎝⎭题二题面：某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）（1）本周三生产了多少辆摩托车？（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ （3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？ 题三 题面：计算5231591736342⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()6.6 5.2 3.8 2.6 4.8++---+--+ ()()3120.1253310 1.25483⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭题四题面：已知10个连续整数a 1，a 2，a 3，…，a 10，在这10个数中任意选择5个数，每一个数前面添加1个“+”号，另外5个数，每一个前面添加1个“-”号后，求此时10个数和的最大值．思维拓展题面：计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：讲义参考答案重难点易错点解析例1答案：-3138 491 -例2.答案：6.147 2 60金题精讲题一答案：-10.9 -20 99题二答案：（1）297辆（2）减少21辆（3）35辆题三答案：54--2.21106题四答案：25 思维拓展答案：16。
有理数的乘方及混合运算(提高)知识讲解
有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数. 【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2a ≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数． 要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用． 要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯； （2）把一个数写成10na ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数的乘方1． 计算：（1）44443333----；；（）；（） （2）3333222(2)3333--；（）；（-）； 【答案与解析】解：由乘方的定义可得： (1)43＝3×3×3×3＝81； -43＝-（3×3×3×3）＝-81；4(3)(3)(3)(3)(3)81-=-⨯-⨯-⨯-=； 4(3)[(3)(3)(3)(3)]81--=--⨯-⨯-⨯-=-(2)322228333⨯⨯==； 322228()()()()333327=⨯⨯=； 322228()()()()333327-=-⨯-⨯-=-； 3(2)(2)(2)(2)883333--⨯-⨯---=-=-=【总结升华】注意()na -与n a -的意义的区别．22()nn a a -=（n 为正整数），2121()n n a a ++-=-（n 为正整数）． 举一反三：【变式】已知2a <，且24a -=，则3a 的倒数的相反数是 ． 【答案】18类型二、乘方运算的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫⎪⎝⎭，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则． 【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负． 【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负． 举一反三： 【变式】（2015春•富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ） A ．﹣2 B ． 2 C ． ﹣22014 D ．22015 【答案】C ．解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014. 类型三、有理数的混合运算3．计算：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)（3）3112222233⎛⎫⎛⎫-+⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()2311113121121324424340.2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 【答案与解析】解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)] ＝-9+(-8)÷(-3+5) ＝-9+(-8)÷2 ＝-9+(-4)＝-13（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214) ＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24) ＝[72×(7-6)-1]÷(-24) ＝(49-1)÷(-24) ＝-2（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.原式11221111[(2)]82338324=-+⨯--=--=- （4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.()23311113121121324424340.215457551()()241162434()5125724241251652316056125403912040⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=÷-++-⨯--=-⨯-⨯+⨯+=--++=【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提． 类型四、科学记数法4．（2015•酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ） A ．0.675×105 B ． 6.75×104 C ． 67.5×103 D ．675×102【思路点拨】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【答案】B ．将67500用科学记数法表示为：6.75×104．【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法10na ⨯的形式时，其中1≤|a|＜10，n 为比整数位数少1的数．在进行运算时，a 部分和10n的部分分别运算，然后再把结果整理成10na ⨯的形式． 类型五、探索规律5．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎡⎤⎡⎤---⎛⎫-+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎛⎫-+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；…第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎛⎫-++++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦…．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）． A ．第10个数 B ．第11个数 C ．第12个数 D ．第13个数 【答案】A【解析】第1个数结果为11022-=；第2个数结果为111326-=-；第3个数结果为111424-=-；…；发现运算中在112-⎛⎫+ ⎪⎝⎭后边的各式为43653456⨯⨯⨯⨯…，分子、分母相约为1，所以第n 个数结果为1112n -+，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循． 举一反三：【变式】观察下面三行数：①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，… (1)第①行数按什么规律排列?(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的13，即133-⨯，21(3)3-⨯，31(3)3-⨯，41(3)3-⨯，…； (3)每行数中的第10个数的和是：1010101(3)[(3)3](3)3-+-++-⨯=59049+59052+19683＝137784．。
专题2-35 《有理数及其运算》计算题综合训练(提高篇)(专项练
专题2.35 《有理数及其运算》计算题综合训练（提高篇）（专项练习）一、解答题 1．（1）3233(10)43434⎛⎫⎛⎫÷-⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()22012201121(0.25)4522--⨯+-÷-（3）1111864126⎛⎫-⨯-++÷ ⎪⎝⎭（4）()2222114(32)333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（5）22222411.35 1.057.7393⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6）2432151|2|(3)(2)62⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭（7）222311513543⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷---÷-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（8）111112123123100+++++++++++2．（1）421211(1)0.52368⎛⎫⎛⎫---÷----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）21211312144335⎛⎫⎛⎫--⨯--++÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．计算：（1）（+16）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）；（2）﹣12﹣（1﹣0.5）÷212(2)5⎡⎤⨯--⎣⎦；（3）4341(72)()98253-⨯-+-；（4）22222211()19()6()777-⨯-+⨯-+⨯-4．计算：（1）()()()7935------；（2） 4.2 5.78.410-+-+；（3）15214632-++-．5．计算：(1)3583927⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭； (2)23121111113382⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---÷-⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.6．计算（能简算的要简算）：（1）(4)8( 2.5)(125)-⨯⨯-⨯-； （2）1111(24)46812⎛⎫-+-+⨯- ⎪⎝⎭；（3）121321334⎛⎫⎛⎫÷-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）14(81)2(16)49-÷⨯⨯-.7．计算：32531(4)(1)42⎡⎤⎛⎫-⨯-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦； （2）153(30)265⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭.8．计算：(1)45(8)()( 1.25)34-⨯-⨯-⨯； (2)1138()842-⨯+-；(3) 3311.83(11.8) 1.711.811.8(0.3)44⨯--⨯-⨯-⨯-.9．计算：(l)243(1)()( 2.5)()3925+⨯-⨯-⨯-； (2)5183()(2)()()115134-⨯-⨯-⨯-.10．计算：（1）2304124()(2)3-⨯+---；（2）422311(1){[()0.4(1)](2)}532---+⨯-÷-．11．计算下列各题： (1)1112－134－114＋412； (2)(－22.84)－(＋38.57)＋(－37.16)－(－32.57)； (3)112－56＋234＋38－423； (4)(－36)－(－28)＋(＋125)＋(－4)－(＋53)－(－40)．11．计算：（1）20173(1)(6)(2)⨯-+-÷-； （2）42232[1(3)]()(15)35-÷--+-⨯-．13． 计算： （1）131123-2 1.25848⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; （2）()32018112122⎛⎫-+-⨯---- ⎪⎝⎭;（3）11112-342⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭.14．计算:（1）2–12×（13–14+12）； （2）–12018+24÷（–2）2–32×（13）2．15．计算：（1）-13-5+8； （2）123()45935-+⨯；（3）201921(1)(1)33(3)2---÷⨯--．16．计算：（1）0﹣（﹣2） （2）（+10）+（﹣14）（3）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） （4）1﹣47+15﹣37+95（5）（﹣0.5）﹣（﹣314）+2.75﹣（+712）． 17．计算（1）﹣5+3﹣2 （2）﹣20﹣（﹣18）+（﹣14）+13（3）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1）（4）（+ 32）﹣512﹣52+（﹣712）18．计算（1）36﹣76+（﹣23）﹣（﹣10）（2）﹣6﹣9（4）（﹣134）﹣（+613）﹣2.25+103（4）11+（﹣35）﹣（﹣41）+（﹣16）（5）（﹣323）﹣（﹣234）﹣（﹣123）﹣（+1.75）（6）（﹣478）﹣（﹣512）+（﹣414）﹣（+318）．19．计算（1）（﹣9.8）﹣（+6）；（2）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5+（﹣6）；（3）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99 （4）1.75+（﹣612）+338+（﹣134）+（+258）．20．计算：（1）45+（﹣20）；（2）（﹣8）﹣（﹣1）；（4）|﹣10|+|+8|；（4）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）；（5）0.47﹣456﹣（﹣1.53）﹣116；（6）36﹣76+（﹣23）﹣105；（7）﹣20+|﹣14|﹣（﹣18）﹣13；（8）（8）（+1.75）+（﹣13）+（+45）+（+1.05）+（﹣23）+（+2.2）．21．计算：（1）－∣－3∣×123－12÷(－6)﹙2）25×﹙－0.125﹚×﹙－4﹚×﹙－45) ×﹙－8﹚×114（3）1－2－3+4+5－6－7+8+…－2007+2008+2009－2010（5）（13－14－16）×(－48)22．计算：（1）3(4)8(3)(3)-+-+--- （2）357244612⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭（3）223(3)3(2)4-÷-+⨯-+- （4）()()3116-2---48⎛⎫÷⨯ ⎪⎝⎭23．计算：（1）12-17+3-5； （2）3()(4)24-⨯--；（4）3777(1)48128--÷； （4）20112(1)6[3(3)]--⨯--； 24．计算（1）﹣22+（﹣3）×[（﹣4）2+2] （2）﹣16×34﹣（﹣16）×12+16×（﹣14）25．先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题： （1）计算5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解：5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=[(–5)+(–9)+(+17)+(–3)]+52316342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1101144⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.上面这种解题方法叫做拆项法．（2）计算：∣522120092013402216332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ∣()35917424816++++-．26．计算：（1）2150--÷256-+（） （2）20111222.7524(1)83⎛⎫+-⨯+- ⎪⎝⎭（3）311312122⎛⎫-÷⨯--÷- ⎪⎝⎭27．计算：(1) －13×23－0.34×27＋13×(－13)－57×0.34；(2) 3113×4112－1113×4112×2－9.5×1113.28．观察下列等式111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯， 将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）猜想并写出：()11n n =+_____________． （2）直接写出下列各式的计算结果： ∣1111 (12233420162017)+++++=⨯⨯⨯⨯______________； ∣()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+______________．（3）探究并计算：1111 (13355720152017)+++++⨯⨯⨯⨯.29．计算：（1）2125824(3)3-+-+÷-⨯；（2）20171313[2()24]5(1)2864-+-⨯÷⨯-．30．计算： （1）514-（-223）+（-314）-（+423）； （2）（-3594812-+）×（-24）；（4）（-3）÷34×43×（-15）；（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2017．31．运用运算律作较简便的计算：（1）-1.25×（-5）×3×（-8）；（2）（5231234+-）×（-12）；（3）113(19)19(19) 424-⨯--⨯-⨯-．32．计算（1）146842213⎛⎫-⨯-÷-+⎪⎝⎭（2）422112250.25326-÷-+⨯--（）（）（）33．计算：（1）135()(12)6412-+-⨯-；（2）2215(1)4()2--⨯--÷-．34．计算题：（1）23+17+（-7）+（-16）；（2）（-514）+（-3.5）；（4）（+23）+（-34）；（4）23+（-15）+（-1）+13.35．解答下列各题：（1）（﹣3.6）+（+2.5） （2）-37﹣（﹣312）﹣247+12（3）（﹣49）﹣（+91）﹣（﹣5）+（﹣9） （4）﹣5﹣（﹣11）+213﹣（﹣23）（5）312﹣（﹣13）+223+（﹣12） （6）25﹣|﹣112|﹣（+214）﹣（﹣2.75）（7）（﹣7）﹣（﹣11）+（﹣9）﹣（+2） （8）（﹣414）﹣（+513）﹣（﹣414） 36．计算：（1）()()()()910283+-++---+； （2）()1212237⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）6663210111111⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－； （4）()()0.5151712-+-----； （4）3416401373⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （6）()157362612⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭；（6）()()15144⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭－－－； （8）18(19)1519-⨯．37．请阅读下列材料： 计算：121123031065⎛⎫÷-+- ⎪⎝⎭． 方法一：121123031065⎛⎫÷-+- ⎪⎝⎭121123036105⎡⎤⎛⎫⎛⎫=÷+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1513062⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭1133010=⨯=. 方法二：计算原数的倒数 211213106530⎛⎫-+-÷⎪⎝⎭ 21123031065⎛⎫=-+-⨯ ⎪⎝⎭20351210=-+-=，所以原式110=. 请依照上题用两种方法计：113224261437⎛⎫÷-+- ⎪⎝⎭.38．计算：42991310.25(1)12 3.7524283⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．39．计算下列各题： （1）()157482812⎡⎤⎛⎫-⨯--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）()()222211432333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3）()()232415123262⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭（4）666433363777⎛⎫⎛⎫⨯--⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40．计算与化简：(1)12﹣(﹣6)+(﹣9)； (2)(﹣48)×(﹣1572812-+)；(3) ﹣32÷(﹣2)2×|﹣113|×6+(﹣2)3．（1）－5－（－3）＋（－4）－[－（－2）]； （2）－14＋13712812⎛⎫--+ ⎪⎝⎭×（－24）；（3）－62×2112⎛⎫- ⎪⎝⎭－32÷3112⎛⎫- ⎪⎝⎭×3；（4）22539⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－（－1）1000－2.45×8＋2.55×（－8）．42．计算：（1）(213−13+16)×(−78)； （2）−24×(−1)4−|−12|÷[−(12)2]；（3）−18÷(−3)2+5×(−12)3−(−15)÷5.43．计算： （1）12(13)(17)33⎛⎫--++--- ⎪⎝⎭； （2）()()1352119+----；（3）()()()743410--+---+-； （4）67( 3.2)(1)5⎛⎫----+- ⎪⎝⎭.（1）22452(3)(1)(1)---⨯---； （2）24103(2)554⎛⎫⎛⎫-+----÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）11124834⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭．45．计算：（1）32821142⎛⎫-++- ⎪⎝⎭； （2）242113(1)326⎛⎫---⨯-÷ ⎪⎝⎭．46．计算：（1）8214(3)(6)(3)|4|-+⨯-+-÷-+-； （2）22019342(1)5293⎛⎫-⨯-÷⨯- ⎪⎝⎭.47．计算： （1）23×（2﹣5）+（﹣6）÷（﹣4）； （2）133()(48)6412-+-⨯-；（3）﹣13+（﹣12）+3×[12﹣（﹣1）6]﹣0.12．48．计算：（1）215482()14+÷⨯--； （2）2213(2)0.254[()]4028-⨯-÷--.49．计算： (1) 316＋(157-)＋(126-)＋(647-)； (2) 25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；（3）(－2.125)＋(135+)＋(158+)＋(－3.2)； (4) (－0.8)＋6.4＋(－9.2)＋3.6＋(－1)．50．计算： (1)| －2|÷(－12)＋(－5)×(－2); (2) (23－12＋56)×(－24)；(3) 15÷(－32＋56); (4) (－2)2－|－7|－3÷(－14)＋(－3)3×(－13)2.参考答案1．（1）13-；（2）174-；（3）-8；（4）496；（5）8；（6）13-；（7）161；（8）200101 【分析】根据有理数的混合运算法则分别计算． 【详解】 解：（1）3233(10)43434⎛⎫⎛⎫÷-⨯-÷-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3112123124451034⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=110441015153-⨯⨯⨯ =13-；（2）()22012201121(0.25)4522--⨯+-÷-=()2012220111422554⎛⎫--⨯+-÷- ⎪⎝⎭ =2012201151424254⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭=2011411444⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=174-； （3）1111864126⎛⎫-⨯-++÷ ⎪⎝⎭ =111866412⎛⎫⨯--⨯⎪⎝⎭ =1114848486412⨯-⨯-⨯ =8124--=-8；（4）()2222114(32)333⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷---⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=()91116(32)349⎡⎤-÷--⨯--⎢⎥⎣⎦=111423⎛⎫--- ⎪⎝⎭=12323+ =496； （5）22222411.35 1.057.7393⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=44411.35 1.057.7999⨯-⨯+⨯ =()411.35 1.057.79-+⨯=4189⨯=8；（6）2432151|2|(3)(2)62⎛⎫⎡⎤-+⨯-----÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=()5112246274-+⨯+-⨯ =14125625-+⨯⨯=213-+=13-；（7）222311513543⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯÷---÷-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=3531345254⎛⎫⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭=35141254⎛⎫⨯++⎪⎝⎭=511284⨯+ =160+1 =161；（8）111112123123100+++++++++++ =()()()11111221331100100222+++++⨯+⨯+⨯=2222122334100101++++⨯⨯⨯⨯ =11112122334100101⎛⎫⨯++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11111112122334100101⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭=200101【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及一些常用的简便运算方法．2．（1）38-；（2）20． 【分析】（1）先计算有理数的乘方与减法、将有理数的除法转化为乘法，再计算绝对值运算、有理数的乘法与减法即可得；（2）先计算有理数的乘方、有理数的乘法与减法，再计算有理数的除法与加减法即可得． 【详解】（1）原式()11116684⎛⎫=--⨯---- ⎪⎝⎭， 3118=---， 38=-；（2）原式1212121214415329⎡⎤⎛⎫=--⨯--⨯+⨯+÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()381542219=----++⨯， 1093=--+，20=．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟记有理数的运算法则和运算律是解题关键． 3．（1）8；（2）4；（3）71225；（4）﹣44． 【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；(2)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题； (3)根据乘法分配律可以解答本题； (4)根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】解：(1)（+16）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15） ＝16+（﹣11）+18+（﹣15） ＝（16+18）+[（﹣11）+（﹣15）] ＝34+（﹣26） ＝8；(2)﹣12﹣（1﹣0.5）÷212(2)5⎡⎤⨯--⎣⎦ ＝﹣1﹣12×5×（2﹣4） ＝﹣1﹣12×5×（﹣2）＝﹣1+5 ＝4； (3)4341(72)()98253-⨯-+-＝（﹣72）×49﹣（﹣72）×38+（﹣72）×425﹣（﹣72）×13＝﹣32+27+（﹣111325）+24 ＝71225； (4)22222211()19()6()777-⨯-+⨯-+⨯- ＝[（﹣11）+19+6]×（﹣227） ＝14×（﹣227） ＝﹣44．【点睛】本题主要考查的是含有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 4．（1）-8；（2）3.1；（3）34. 【分析】根据有理数的加、减混合运算的相关法则进行计算即可.【详解】（1）()()()()()()793579351688⎡⎤------=-+-++=-+=-⎣⎦ ；（2）()()4.2 5.78.410 4.28.4 5.71012.615.7 3.1-+-+=--++=-+=； （3）15214632-++-=11523334263424⎛⎫⎛⎫--++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】熟悉“有理数加减混合运算的相关运算法则，能灵活的使用运算律把符号相同的数结合到一起先相加”是解答本题的关键.5．(1)7 ; (2) 132【分析】(1) 先运算乘方，再利用乘法分配率进行解答．(2) 根据有理数混合运算的解题步骤进行解答．【详解】解：(1)35858327271587927927⎛⎫⎛⎫-⨯-+=-⨯--⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)2312111-1-1-1338-2-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭ 459279388⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 458279398⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 427582798398⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 352=-+ 132=. 【点睛】进行含乘方的混合运算时，先计算乘方，再根据有理数混合运算的解题步骤进行解答，解题过程中可灵活运用运算律．6．（1）-10000；（2）3；（3）1；（4）256【解析】【分析】（1）根据乘法交换律和结合律计算即可；（2）利用乘法分配率计算即可；（3）利用除法法则计算即可；（4）利用乘除法混合运算法则计算即可．【详解】（1）原式()()()()[]4 2.5812510100010000=-⨯-⨯⨯-=⨯-=-．（2）原式1111(24)(24)(24)(24)6432346812⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯-=-+-= ⎪⎝⎭． （3）原式108510341334385⎛⎫⎛⎫=÷-÷-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（4）原式9444(81)(16)(81)(16)16162564999=-÷⨯⨯-=-⨯⨯⨯-=⨯=． 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．7．（1）－6；（2）28【解析】【分析】（1）先算乘方，再用乘法分配律进行计算；（2）利用乘法分配律进行计算.【详解】解（1）32531(4)(1)42⎡⎤⎛⎫-⨯-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 3116148⎡⎤⎛⎫=⨯-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3116(1)161648⎛⎫=⨯-+⨯+⨯- ⎪⎝⎭1612(2)6=-++-=-（2）153(30)265⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭ 15330(30)(30)265⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯-+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15251828=-++=.【点睛】本题考查了有理数的含有乘方的混合运算，注意运用运算定律使计算更简便.8．（1）-503；（2）9；（3）59 【解析】【分析】（1）利用乘法的交换，结合律进行计算即可（2）利用乘法分配律进行计算即可（3）利用逆乘法分配律计算即可【详解】（1）原式=10×（-53 ）=-503（2）原式=-1-2+12=9（3）原式=11.8 ×333+1.7-+0.344⎛⎫ ⎪⎝⎭=11.8×5=59 【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则9．（1）2-9 ；（2）613【解析】【分析】原式各项根据负因式个数确定出正负，再利用乘法法则计算即可得到结果．【详解】（1）54532-=-392259⨯⨯⨯ （2）511836=11513413⨯⨯⨯ 【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则10．（1）1；（2）518. 【解析】【分析】（1）结合负整数指数幂、零指数幂的概念进行求解即可（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号，要先做括号内的运算．【详解】（1）2304124()(2)3-⨯+--- =3141164⨯+-24116=+-16116=+-1=．（2）422311(1){[()0.4(1)](2)}532---+⨯-÷- 3121{[()]4}59523=--+⨯-÷ 31311[()]5954=---⨯ 32211()5454=-+⨯ 5411=1()9090-+ 65190=- 13118=- 518=． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于掌握负整数指数幂，零指数幂的运算法则 11．(1)13；(2)－66；(3)－78；(4)100. 【解析】【分析】（1）利用加法的交换律和结合律把分母相同的项合在一起分别计算，即可得结果； （2）利用加法的交换律和结合律把能凑整的小数合在一起分别计算，即可得结果；（3）先把带分数拆分成整数与分数的和，然后利用加法的交换律和结合律把整数、分数（分母为2、4、8与3、6的分别计算）分别合在一起计算，最后再通分计算，即可得结果； （4）先去括号，利用加法的交换律和结合律分别把正数、负数合在一起分别计算，即可得结果；【详解】(1)原式＝1131114112244⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝16－3＝13.(2)原式＝(－22.84－37.16)＋(－38.57＋32.57)＝－(22.84＋37.16)－(38.57－32.57)＝－60－6＝－66.(3)原式＝1533212426483+-+++--＝()1335212424863⎛⎫⎛⎫+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝46354188866⎛⎫⎛⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝133182-+-＝1312188-+-＝78- (4)原式＝362812545340-++--+＝(2812540)(45336)++-++＝193-93＝100【点睛】本题考查了加法运算律在加减混合运算中的应用，灵活运用加法交换律和结合律能达到简便计算的目的。
有理数的乘除、乘方提高训练
2、有理数的乘除与乘方提高训练例1、用简便方法计算：① －392423×（-12） ② －37034×17③ 2×3×（－4）×5×（－12﹢13﹢14－15）④ －158×（－229）+（－32）×229 ⑤ 223-+11312－174－546⑥ 179918-×9－（18＋56－34）×（－24） ⑦ [13131()24864-+-×24] ÷5例2、①绝对值小于3的所有整数中，它们的和是 ，它们的积是②绝对值大于2而小于5所有整数中，它们的和是 ，它们的积是 ③绝对值大于2而不大于5所有整数中，它们的和是 ，它们的积是例3、将一根钢筋锯成a 段需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段需要分钟。
例4、已知a 、b 为有理数，且ab ＞0，则a|a| + |b|b +|ab|ab 的值是( )A ．3B ．﹣1C ．﹣3D ．3或﹣1基础训练：计算，能简算的要简算。
1、-27911 ÷9-(12 +23 -1112)×(-24)2、99989÷（-119）3、（18+113-2.75）×（-24）4、（-34 +712 -59）÷（-136）5、－32×（-12 +56 -4）6、-2-[-4+(1-23×0.6) ÷(-3)]7、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。
例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。
数学第二章《有理数运算》复习教案(浙教版七年级上)
第 2 章有理数的运算复习课课题有理数的运算复习课课时安排2教1．进一步掌握有理数的运算法例和运算律；学2．使学生可以娴熟地按有理数运算次序进行混淆运算；目3．注意培育学生的运算能力．标要点有理数的混淆运算．难点正确地掌握有理数的运算次序和运算中的符号问题．教具准备多媒体，投影仪教学一、从学生原有认知构造提出问题1．计算 ( 五分钟练习 ) ：过程课后反应(5)-25 2；(6)(-2)3；(7)-7+3-6；(8)(-3) ×(- 8) ×25；(13)(- 616) ÷(-28 ) ；(14)-100-27；(15)(-1)101；(16)0 21；(17)(-2)4； (18)(-4)2； (19)-32；(20)-23；(24) ×10 4÷(-5) ．2．说一说我们学过的有理数的运算律：加法互换律：a+b=b+a；加法联合律：(a+b)+c=a+( b+c) ；乘法互换律：ab=ba；乘法联合律：(ab)c=a(bc)；乘法分派律：a(b+c)=ab+ac.教学过程二、讲解新课前面我们已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，若在一个算式里，含有以上的混淆运算，按如何的次序进行运算1．在只有加减或只有乘除的同一级运算中，依据式子的次序从左向右挨次进行．审题： (1) 运算次序如何(2)符号如何说明：含有带分数的加减法，方法是将整数部分和分数部分相加，再计算结果．带分数分红整数部分和分数部分时的符号与原带分数的符号同样．讲堂练习审题：运算次序如何确立注意结 果中的负号不可以丢． 讲堂练习计算： (1) ××÷；2．在没有括号的不一样级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减．例3 计算：(1)(-3) ×(-5) 2；(2 ) ［ (- 3) ×(-5) ］2；(3)(-3) 2-(-6) ； (4)(-224×3)-(- 4×3) ． 审题 ：运算次序如何解： (1)(- 3) ×(-5) 2=(- 3) ×25= -75 ． (2) ［ (- 3) ×(-5) ］ 2=(15) 2=225． (3)(-3)2-(-6)=9-(-6)=9+6=15 ．24×3) 2(4)(- 4×3)-(-=(- 4×9) -(-12) 2=-36-144 =-180 ．注意 ：搞清 (1) ，(2) 的运算次序， (1) 中先乘方， 再相乘， (2) 中先计算括号内的， 而后再乘方． (3)中先乘方，再相减， (4 ) 中的运算次序要分清，第一项2里，先乘方再相乘，第二项(- 4×3)2(- 4×3)中，小括号里先相乘，再乘方，最后相减．讲堂练习计算：(1)-7 2；(2)(-7)2；(3)-(-7)2；33(7)(- 8÷2)-(- 8÷2) ．(-2) 2-(-52) ×(-1) 5+87÷(- 3) ×(-1) 4．审题 ： (1) 存在哪几级运算 (2) 运算次序如何确立解：2254(-2) -(-5 ) ×(-1) +87÷(- 3) ×(-1) =4-(- 25) ×(- 1)+87÷(- 3) ×1( 先乘方 )=4-25-29( 再乘除 )=-50 ．( 最后相加 )22 5 4注意 ： (-2) =4， -5 =-25 ， (-1) =-1 ， (-1) =1．计算：(1)- 9+5×(-6)-(-4)2÷(-8) ；(2)2 ×(-3) 3- 4×(-3)+15 ．3．在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．讲堂练习计算：三、小结教师指引学生一同总结有理数混淆运算的规律．1．先乘方，再乘除，最后加减；2．同级运算从左到右按次序运算；3．如有括号，先小再中最后大，挨次计算．四、作业1．计算：2．计算：(1)- 8+4÷(-2)；(2)6-(-12) ÷(-3) ；(3)3 ·(-4)+(-28) ÷7；(4)(-7)(-5)-90÷(-15)；3．计算：4．计算：(7)1 ÷(- 1)+0 ÷4-(-4)(-1)；(8)18+32 ÷(-2) 3-(-4) 2×5．5*．计算 ( 题中的字母均为自然数) ：(1)(-12)2÷(-4)3- 2×(-1)2n-1 ；4272m35(4) ［ (-2) +(-4)·(-1) ］·(5+3)．教后随笔指导教师建议署名：年月日学校抽查建议署名：年月日。
有理数的除法(第2课时 有理数加减乘除混合运算)课件七年级数学上册(人教版2024)
2.2.2 有理数的除法
第二课时 有理数加减乘除混合运算
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1.
通过类比小学学过的运算顺序，能得出有理数的运算顺
序，按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、
减、乘、除混合运算，提高学生的运算能力（重点）．
－22 .
11.
【新视角·规律探究题】 a 是不为1的有理数，我们把
−
称为 a 的差倒数.如：2的差倒数是
＝－1，－1的差倒
−
数是
＝ .已知 a1＝－ ， a2是 a1的差倒数， a3是
−(−)
a2的差倒数， a4是 a3的差倒数，……，以此类推，则
a2 024＝
.
只能用一次)，使得运算结果为24或－24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌
代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13.
(1)如果抽到的四张牌是“黑桃3，4，10和红桃6”，请你运用上述规则写出三个
不同的算式，使其结果等于24或－24；
解： 答案不唯一.(1)(10－4)－3×(－6)＝24；3×(－6)－(10－4)＝－24；
2.有理数的加减乘除混合运算
问题:下列式子含有哪几种运算?先算什么，后算什么？
第二级运算
乘除运算
1
3 50 2 1 ?
5
第一级运算
加减运算
典例剖析
例7
计算：
(1) −8+4÷(−2)；
第二章 有理数的运算单元复习专题奇思妙想巧运算——有理数的混合运算 课件(共25张PPT)-
5
1 30
（2）
1-
5 6
7 12
-
9 20
11 30
-
13 42
（3）1 3 9 27 32022 32023
作业（选做）：计算
（1）（1 1 1 ）（1 1 1 1 ）（ - 1 1 1 1 ）（1 1 1 ）
2 3 2023
2 3 2022
23
2023 2 3
2022
计算：
解原式=
1 2 3 97 98 99
100 100 100
100 100 100
（1 99）99 2
100
= 99 2
倒序相加
99
=2
小结
一般地，多个数相加，如果每相邻两个数的差是一个固定值， ，可以用倒序相加法求解．
求和公式=（首项+末项）×项数÷2
例题2 计算：
11111 1 11 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
第二章 有理数的运算单元复习专题
奇思妙想巧运算——有理数的混合运算
目录
情境导入
温故知新
合作探究
当堂训练
总结反思
作业布置
学习目标
1.掌握有理数的运算法则和运算律（重点） 2.灵活运用有理数的法则和公式进行巧妙运算，提高运 算的速度和准确性（难点）
创设情境，引出巧算
高斯，人称数学王子，上小学的时候，他 的表现就超乎寻常。有一天，老师给全班同学 出了一道数学题：
（2） 1 （1 2）（ 1 2 3）（ 1 2 49）
2 33
444
50 50
50
作业（希望做）：阅读欣赏
（1） 《漫画数学 》 （2） 《原来数学可以这样学》 （3） 《数学启迪智慧》
有理数的加减法(提高)知识讲解
有理数的加减法（提高）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.要点二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：（1）21358⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）13(6)(2)34+++（3）21.12535⎛⎫+- ⎪⎝⎭（4）20(5)3+- （5）13( 3.5)2-++ 【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条． 【答案与解析】（1）2121213(3)3585840⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）1313131(6)(2)(62)8934341212+++=++=+= （3）21.1253 1.125( 3.4)(3.4 1.125) 2.2755⎛⎫+-=+-=--=- ⎪⎝⎭（4）220(5)533+-=- （5）13( 3.5) 3.5 3.502-++=-+= 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 举一反三：【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数的加法例2】 【变式1】计算：(1) -721+1061; (2) (-21)+(-7.3); (3) 141+(-231); (4)751+(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=； （2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++-⎪⎝⎭【答案】1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】解法一：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)( 3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．解法二：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[( 3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-． 类型二、有理数的减法运算2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=- 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）1113.7639568 4.7621362--+--+ （4）51133.4643.872 1.54 3.376344+---+++ （5）1355354624618-++-； （6）132.2532 1.87584+-+【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+--++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13- 易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组． 解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++- 1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-18273010036-++-=+2936= 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 113322-=--． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用【高清课堂：有理数的加减法382681有理数加减的应用】4．（2014秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案与解析】解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．。
成都七中育才学校提高班 第二讲
第二讲 计算——工具与算法的变迁有理数的计算常用的方法与技巧有：1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约；4．裂项相消； 5．利用公式等．【例1】 现有四个有理数3，4，一6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、 乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1) ；(2) ；(3) ． 变式：在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立：6 【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )． A ．10 B ．2l C ．24 D ．26 E ．28【例3】 5+52+53+ (52002)【例4】已知c b a 、、都不等于零，且abcabc c c b b a a +++的最大值是m ，最小值为n ，求mnn m的值．变式：如果1332211=++t t t t t t ，则321321t t t t t t 的值为( )． A ．一1 B ．1 C ．土1 D ．不确定学力训练1．计算：1） )15(41957.0)15(4329417.0-⨯+⨯+-⨯+⨯ 2） 19197676767676191919-3）199919971751531⨯++⨯+⨯4）(13.672125136.7212.251367.2 1.875)17.09⨯+⨯-⨯÷2．已知199819981998199919991999+⨯-⨯-=a ，199919991999200020002000+⨯-⨯-=b ，200020002000200120012001+⨯-⨯-=c求 abc选作: 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b ，a 的形式，又可分别表示为0，ba ，b 的形式，求a 2002+b 2001的值．答案：例1、3×【4+10+（-6）】 10-4-3×（-6） 4-（-6）÷3×10 例2、E 提示 4=2×（-2）×1×(-1)例3、 4552003- 提示 设s=5+52+53+…+52002， 则 5s=52+53+…+52003 例4、-16， 提示1±=xx ，m=4, n=-4. 变式：A 学力训练1、1）、-43.6 2）、-343 3）、5997998 4）、48 2、A。
第二讲六年级有理数的运算
第二讲 有理数的运算【知识网络】⎧⎪⎨⎪⎩有理数的加、减运算法则有理数的运算有理数的乘、除法运算法则混合运算模块一：有理数的加、减运算法则【引例】观察下面实例：足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”,它们的和叫做净胜球．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的净胜球数可能有以下各种不同的情形：(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么净胜球数为5球．也就是(+3)+(+2)=+5 ①(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么净胜球数为3球．也就是②(3)上半场赢了3球，下半场输了2球，那么净胜球数为1球，也就是③(4)上半场输了3球，下半场赢了2球，那么净胜球数为1球，也就是④(5)上半场赢了3球，下半场不输不赢，那么净胜球数为3球，也就是⑤(6)上半场输了2球，下半场两队都没有进球，那么净胜球数为2球，也就是⑥(7)上半场打平，下半场也打平，那么净胜球数为0，也就是⑦上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这7个算式，看能不能从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？【知识导航】1．有理数加法法则：⑴同号两数相加，取的符号，并把相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取符号，并用的绝对值减去的绝对值，互为相反数的两个数相加得；⑶一个数同0相加，仍得。
注：有理数加法的运算步骤：（1）先判断两个加数的符号（是同号还是异号，确定用哪条法则）（2）再确定和的符号（是“+”还是“—”号）（3）求各加数的绝对值，并确定绝对值是相加还是相减2．有理数加法运算律：①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变．式子表示为：②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.式子表示为：③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。
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第二讲 有理数的运算
【基础知识精讲】
1．有理数的加法法则：
(1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
(2) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值
减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加得0． (3) 一个数与0相加，仍得这个数．
2．有理数减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。
3．有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则是：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何
数同零相乘，都得零。
（2）多个有理数乘积的确定：几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数
确定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
符号确定后，再分别把绝对值相乘。
4．除法的运算法则：
法则一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：1
a b a b
÷=⨯ (b ≠0) 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，得0.
5．有理数的乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，即: n
a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅ 乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，
负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。
6．有理数的混合运算：
有理数的运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，对于同级运算，一般从左到右依次进行。
如果有括号，就先算括号内的，且一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的。
如果能利用运算律简化计算，可变更上面的运算顺序，灵活处理。
7．科学记数法：把一个大于10的数记成n
a 10⨯的形式，这种记法叫科学记数法。
（其中101<≤a ，n 是比原数的整数位数小1的正整数）
【课前热身】
一、填空题或选择题：
1．下列四个数中，在-1和1之间的数是（ ） A ．-3 B ．0 C ．2 D ．3 2.一个数的相反数是3，则这个数是（ ） A ．31-
B ．3
1
C ．3-
D ．3 3.通常人们把摄氏零上温度记为整数，摄氏零下温度记为负数。
某市某天的最高气温是零上
8℃，最低气温是零下2℃，下列计算这天温差列式正确的是（ ）
A ．)2()8(-++
B ．)2()8(+++
C ．)2()8(--+
D ．)2()8(+-+ 4.31-
的相反数是 ，31-的绝对值是 ，3
1
-的倒数是 。
二、计算：
(1)+17+20； (2)-13+(-21)； （3）-15-19； （4）-31-（-16）；
（5）-11×12； （6）（-27）×（-13）； （7）-64÷16； （8）（-54）÷（-24）；
（9）312⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （10）2
32⎛⎫- ⎪⎝⎭ （11）()1001--； （12）2
23-⨯；
（13）2(23)-⨯； （14）32
(2)3-+ (15)(-3)2
–(-6) (16)(-4×32
)-(-4×3)2
；
【例题巧解点拨】
例1计算：(1)5
33031232325.0311********--++--
5151
(2)3(3)24(2)6565
-+-++-
(3)3
2
534.14315175.05.2⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷-
1537(4)3(1)2.
2848
-+---+
（5)、()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+92543225.6185475.3
（6）5
33031232325.0311********--++--
(7）|
31－41|+|41－51|+……+|201－19
1|
变式训练：
计算： 1．-9+5×（-6）-12÷（-6） 2．(－１)4 – (1 – 0.5)×3
1×﹝２－(－３2
)﹞
3．（12
16133
1-
+-）×（－１２） 4. -42×﹝(1-7)÷6﹞+﹝(-5)3-3﹞÷(-2)3
例2计算：128
16413211618141211+++++++
变式训练：① 512
1171617815413211
+++++
② 72
1856174216301520141213612
1+++++++
【名书·名校·竞赛·中考在线】
1．10
3
-
与它的相反数的和是______，6与它的倒数的积是______。
2．已知a<2，且|a-2|=4，则3
a 的倒数的相反数是___________。
3．绝对值小于3的非负整数是__________________。
4．已知
，则当a=1时，=2
A ___，当a=-1时，A=____.
5． 4980用科学记数法表示为________ __． 6．若有理数a 、b 满足
0)12(|13|2=-++b a ，则a=_______, b=________。
7．=----)109108()1211)(1110)(109( ________________。
8．计算：20072006)8()125.0(-⨯-=___________。
2000
1999)2()2(-+-=_________.
9．已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，
则x 2－（m+ab+n ）x+(ab)2003 =__________．
10．设有理数a 、b 、c 满足a+b+c=0， abc >0, 则a 、b 、c 中正数的个数为_____个. 11．已知四个整数a 、b 、c 、d 互不相等，且abcd=25，则a+b+c+d=________． 12．四个有理数a 、b 、c 、d 满足
,1-=abcd
abcd 则
d
d c c b b a a +++的最大值是_______．
★13．设（n ）表示正整数n 的个位数字，例如：（3）=3，（21）=1，（13×24）=2.
则（210）=_________， （12399）=________． ★14.b a --9 有最 值，其值为 ；3++b a 有最 值，其值为 .
★15．（2007·中考）已知2006x+2007y-2007=0,若x 、y 互为相反数，则x= ，y= 。
★18.计算 ____________3
1
3131311201032=+++++
★19、2010减去它的
21，再减去余下的31，再减去余下的4
1
，……，依次类推，一直到减去余下的2010
1
，那么最后剩下的数是__________。
20、2010加上它的
21得到一个数，再加上所得数的31，又得到一个数，再加上这次得数的4
1又得到一个数，……，依次类推，一直加到上一次得数的2010
1
，那么最后得到的数
是___________________。
京师课堂家庭作业
姓名：
一、选择题
1．下列各式一定成立的是（ ）
A. 22=（-2）2
B.23=（-2）3
C. -22=∣-22∣
D. （-2）3=∣（-2）3
∣ 2. 5.下面计算正确的是（ ）
A ．-5×（-4）×（-2）×（-2）＝5×4×2×2＝80
B ．12×（-5）＝-50
C ．（-9）×5×（-4）×0＝9×5×4＝180
D ．（-36）×（-1）＝－36 3. 若0＜x ＜1,则x ，x 2，x 3
的大小关系是（ ）
A. x ＜x 2＜x 3
B. x ＜x 3＜x 2
C. x 3＜x 2＜x
D. x 2＜x 3
＜x 4．（0.125）
2008
×8
2008
+（-1）
2008
+（-1）
2009
的值是（ ）
A. -2
B.-1
C.0
D.1
5.对于任意有理数a,下列式子中取值不为0的是( )
A.a +｜-1｜
B.｜a +1｜
C.1-｜a ｜ D ｜a ｜+ 1
三、解答题
1. 计算：（1）-0.32÷0.5×2÷（-2）3
（2）42×（-32）+（-4
3
）÷（-0.25）；
（3）-100
21×（-20）； （4）17.4×（-31）+（-3
2
）×17.4。
2. 已知∣a-1∣+(b+2)2
=0,求(a+b) 2007
+a
2008
的值。