高中数学新体系难点12__等差数列、等比数列的性质运用
高中数学等比数列的性质及应用策略
高中数学等比数列的性质及应用策略数列是高中数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊情况。
在学习数列时，我们经常会遇到等比数列的问题。
本文将重点讨论等比数列的性质以及应用策略，帮助高中学生更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为an = ar^(n-1)。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是关键，它可以帮助我们求解等比数列中的任意一项。
通过观察数列中的规律，我们可以发现每一项与前一项的关系，从而得到通项公式。
例如，考虑等比数列1，2，4，8，16，...。
我们可以发现每一项都是前一项乘以2，即an = 2 * an-1。
而首项为1，因此通项公式为an = 2^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n项和可以帮助我们计算数列的总和，从而解决实际问题。
等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法证明得出。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以计算出前3项的和为7，前4项的和为15，前5项的和为31，依次类推。
二、等比数列的应用策略等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
在解决问题时，我们可以运用等比数列的性质和应用策略，快速解决问题。
1. 求解未知项通过等比数列的通项公式，我们可以根据已知的首项和公比求解数列中的任意一项。
这在实际问题中非常有用。
例如，某公司的年收入是等比数列，已知第1年的收入为100万元，公比为1.2。
我们可以利用通项公式an = 100 * (1.2)^(n-1)求解第5年的收入为多少。
2. 求解总和通过等比数列的前n项和公式，我们可以计算数列的总和。
这在求解累加问题时非常方便。
例如，某人每天存钱，第1天存1元，第2天存2元，第3天存4元，以此类推。
等差数列与等比数列的应用知识点总结
等差数列与等比数列的应用知识点总结等差数列和等比数列是高中数学中常见的两种数列。
它们具有很多重要的应用，在不同的数学问题中发挥着重要的作用。
本文将对等差数列与等比数列的应用进行知识点总结，并探讨它们在实际生活和其他学科中的具体应用。
一、等差数列的应用等差数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项之差都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等差数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
这个公式的应用非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如求等差数列的和、计算时间、距离、速度等问题。
2. 平均数的应用对于等差数列，它的各项的平均数与首末两项的平均数是相等的。
这个特性可以用来解决一些平均数相关的问题，比如求取某一连续数列的平均值等。
3. 等差数列的推广等差数列可以推广到高阶等差数列，即每一项与前一项之差的差值也相等。
这种推广常用于解决一些复杂的数学问题，比如等差数列的前n项和Sm，可以通过差分公式Sm = (m/2)(2a1 + (m-1)d)来求解。
4. 几何问题等差数列在几何问题中也有重要应用，比如解决一些等边三角形、等腰梯形等形状相关的问题时，常常需要利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列的应用等比数列是指一个数列中，从第二项起每一项与前一项的比值都相等的数列。
其常用的应用有：1. 数列求和公式对于等比数列的前n项和Sn，有求和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
这个公式的应用也非常广泛，可以用于求解各种数学问题，比如计算财务中的复利问题、人口增长问题等。
2. 指数问题等比数列可以与指数问题进行关联。
比如在计算家庭用电量、金融中的复利计算、物理中的指数增长问题等方面，常常需要利用等比数列的特性进行计算。
3. 几何问题等比数列在几何问题中同样有重要应用，比如解决一些等比序列相关的问题，如等比数列构造的等边五角星等。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
等差数列与等比数列的应用教学方法总结
等差数列与等比数列的应用教学方法总结等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列类型，它们在实际生活中的应用非常广泛。
为了更好地教授学生有关等差数列和等比数列的概念、性质以及应用，教师需要采用一些有效的教学方法。
本文将总结几种教学方法，以帮助教师们提高对这两种数列的应用教学效果。
一、引导学生理解等差数列和等比数列的概念和性质在教学过程中，教师首先需要引导学生对等差数列和等比数列的概念进行全面、准确的理解。
可以通过引入一些简单易懂的生活案例，如等差数列可以用来表示每日温度变化，等比数列可以用来表示物体的成倍增长等等。
通过生动形象的例子，帮助学生理解数列的概念及其背后的规律性。
此外，教师还应引导学生发现等差数列和等比数列的性质。
例如，等差数列中，相邻两项之差相等，等比数列中，相邻两项之比相等等。
通过引导学生观察数列中的规律，帮助他们理解数列的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二、培养学生解决等差数列和等比数列的实际问题能力数列的应用通常包括解决实际问题、模型构建等，为了帮助学生能够应用数列解决实际问题，教师应培养学生的问题解决能力。
可以通过提供一些真实的问题，引导学生分析问题，建立数学模型，并运用等差数列和等比数列的性质解决问题。
例如，某个公司的销售额每年递增10%，假设第一年的销售额为100万元，教师可以引导学生用等比数列的概念和性质计算出第n年的销售额，并通过计算分析出销售额的增长趋势。
通过这样的例子，学生能够将数学知识应用于实际问题中，培养他们解决实际问题的能力。
三、运用多媒体教学手段增强学生的学习兴趣为了提高学生对等差数列和等比数列的学习兴趣，教师可以采用多媒体教学手段。
通过使用投影仪、电子白板等设备，将数列的概念、性质和应用案例以图片、视频等形式展示给学生，以增加学生的视觉感受。
同时，教师还可以利用一些在线学习资源，如数学学习网站、教育应用程序等，为学生提供更加便捷、多样化的学习资源。
通过这些多媒体教学手段，能够激发学生的学习兴趣，加深对等差数列和等比数列的理解。
(5)等差数列、等比数列的性质及应用
等差数列、等比数列的性质及应用（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn mAm Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n-+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由10n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n项和的最大值为67212SS ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12n n S b b b b b b '=+++---- 2712112(44n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232nn a+=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}nA x x an N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A B B =∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4nb 是一个以12-为公差的等差数列， ∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =12nnC C C ⋅ （N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
高中数学教学等差数列和等比数列的性质
高中数学教学等差数列和等比数列的性质高中数学教学：等差数列和等比数列的性质等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型，它们有着各自独特的性质和应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质以及它们在高中数学教学中的重要性。
一、等差数列的性质等差数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
1. 公差的概念公差d是等差数列中相邻两项之间的差值。
等差数列中的任意两项之间的差值都等于公差d。
公差可以为正数、负数或零。
2. 常见等差数列的性质等差数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1)d)，其中n为项数。
- 通项公式：等差数列的第n项可表示为an = a1 + (n - 1)d。
- 任意三项关系：等差数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公差d。
- 对称性质：等差数列中，如果一项等于首项与末项的和，那么它的位置是中间项。
- 逆序数列：等差数列的逆序数列也是等差数列，其公差与原序列相等。
二、等比数列的性质等比数列是一种数学序列，其中每一项与前一项之比都相等。
等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n - 1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
1. 公比的概念公比r是等比数列中相邻两项之间的比值。
等比数列中的任意两项之间的比值都等于公比r。
公比可以为正数、负数或零。
2. 常见等比数列的性质等比数列有以下一些重要性质：- 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，且公比r不等于1。
- 通项公式：等比数列的第n项可表示为an = a1 * r^(n - 1)。
- 任意三项关系：等比数列中，已知任意三项，可以通过关系式解出公比r。
- 正比例关系：等比数列中，任意两项的比值都等于公比r。
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用等差数列和等比数列是高考数学中经常出现的重要题型，它们的性质运用是高考数学中的难点之一、本文将详细介绍等差数列和等比数列的性质，并针对其常见的应用题进行解析，为大家突破这一难点提供一定的帮助。
1.等差数列的性质及应用（1）首项与公差：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项为：an = a₁ + (n-1)·d（2）前n项和：设等差数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn = n/2·(a₁ + an) = n/2·(2a₁ + (n-1)·d)（3）性质应用1：已知等差数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：a₁=(2Sn)/n-d（4）性质应用2：已知等差数列的前n项和Sn，求公差d：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=n/2·(2a₁+(n-1)·d)=n/2·(2a₁+n·d-d)化简得到：(2a₁+n·d-d)=(2Sn)/n进一步整理得到：d=[2Sn-n·(2a₁+n·d)]/(n-1)2.等比数列的性质及应用（1）首项与公比：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项为：an = a₁ · r^(n-1)（2）前n项和：设等比数列的前n项和为Sn，那么有以下公式：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)（3）性质应用1：已知等比数列的前n项和Sn，求首项a₁：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：a₁=Sn·(r-1)/(r^n-1)（4）性质应用2：已知等比数列的前n项和Sn，求公比r：将Sn的公式代入，整理得到：Sn=a₁·(r^n-1)/(r-1)化简得到：r=(Sn·(r-1))^(1/n)在解答等差数列和等比数列的应用题时，需要根据题目所给条件进行计算，灵活运用上述性质及公式。
等差数列与等比数列等差数列等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列等差数列等比数列的性质与应用数学中，等差数列与等比数列是两个重要的概念。
它们的性质和应用很广泛，尤其在数学及其他学科中都得到了广泛的应用。
本文将详细介绍等差数列和等比数列方面的知识，并着重讨论其性质和应用。
一、等差数列的性质与应用1.等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项的差相等的数列。
即：a2-a1=a3-a2=a(n+1)-an其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通项公式为an=a1+(n-1)d2.等差数列的性质（1）公差d可以为负数，当d<0时，数列是单调递减的；当d>0时，数列是单调递增的；当d=0时，数列是常数数列。
（2）等差数列前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2（3）若已知等差数列的首项a1，末项a(n)，和项数n，则公差d=[a(n)-a1]/(n-1)3.等差数列的应用等差数列在数学中有广泛的应用。
在实际生活与工作中，等差数列也有许多应用，例如：（1）数列求和在统计学中，对于某一样本的分析，常常需要对等差数列进行求和。
等差数列的和可用于计算公司业绩增长、资产负债变化等方面。
（2）财务预测在财务预测中，等差数列被广泛使用。
通过计算等差数列中的趋势，可以对公司的未来做出合理合理的预测，并做相应的决策。
（3）科技领域在科技领域中，等差数列的应用更加普及。
如数码相机中的闪光灯灯强度级别、台风每小时移动的距离等等，这些数据都是等差数列。
二、等比数列的性质与应用1.等比数列的定义等比数列是指数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数q的数列。
即：a2/a1=a3/a2=an/an-1=q其中a1为首项，q为公比，n为项数。
通项公式为an=a1*q^(n-1)2.等比数列的性质（1）公比q可以为负数，当q<0时，数列中的项与项之间的正负性不确定；当q>0时，数列整体是单调递增或递减的。
当q=1或q=-1时，数列是常数数列。
（2）等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（3）若已知等比数列的首项a1，末项a(n)，和项数n，则公比q=(a(n)/a1)^(1/(n-1))3.等比数列的应用等比数列的应用十分广泛。
等差数列等比数列知识点归纳总结
等差数列等比数列知识点归纳总结等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题中都起着重要的作用。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的差都相等。
这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。
1. 基本概念一个等差数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 + (n - 1) * d，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。
2. 性质（1）公差：等差数列的公差d是等差数列中相邻两项的差，公差可以是正数、负数或零。
（2）公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1) * d，其中n表示项数。
（3）前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2来计算。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的差额、间隔、递推关系等。
（2）物理问题中的匀速直线运动、连续等差分布等。
（3）经济学中的利润、销售额等。
二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与前一项之间的比都相等。
这个相等的比值被称为等比数列的公比，通常用字母r表示。
1. 基本概念一个等比数列可以以通项公式的形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示第一项，r表示公比。
2. 性质（1）公比：等比数列的公比r是等比数列中相邻两项的比值，公比可以是正数、负数或零。
（2）公式：等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n表示项数。
（3）前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算。
3. 应用等比数列也广泛应用于数学和物理等领域，常见的应用包括：（1）数学题目中的倍数关系、增长衰减等。
（2）物理问题中的连续等比分布、指数增长等。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。
公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。
2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。
3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。
例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。
此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。
等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。
公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。
3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。
在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。
在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。
高一数学等差等比知识点
高一数学等差等比知识点等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在各个数学分支以及实际应用中都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、应用等方面介绍等差数列和等比数列的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项的差值都相等的数列。
数列中的每一项称为等差数列的项，差值称为公差。
1. 基本概念等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
通过这个通项公式，可以方便地求解等差数列的任意一项。
2. 性质等差数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等差数列；- 等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来计算；- 等差数列的前n项和与项数n成正比；- 等差数列的项数n与首项a1、末项an、公差d之间满足关系式an=a1+(n-1)d。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和实际问题中，如等差数列在数列求和、数学推理、金融利息计算、物理学运动学、经济学等方面都有应用。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项的比值都相等的数列。
数列中的每一项称为等比数列的项，比值称为公比。
1. 基本概念等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
通过这个通项公式，可以方便地求解等比数列的任意一项。
2. 性质等比数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等比数列；- 等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算；- 等比数列的前n项和与项数n成正比；- 等比数列的项数n与首项a1、末项an、公比r之间满足关系式an=a1*r^(n-1)。
3. 应用等比数列也具有广泛的应用，常见的应用包括复利计算、几何级数求和、生物学种群增长模型、物理学波动模型等。
综上所述，等差数列和等比数列是高中数学中重要且实用的概念。
通过了解它们的基本概念、性质和应用，我们可以在解决各种数学问题的过程中更加灵活和高效。
等差数列与等比数列及其应用
等差数列与等比数列及其应用数列是数学中非常重要的概念之一，它是由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种最常见的形式。
本文将详细介绍等差数列和等比数列的定义、性质及其在实际生活中的应用。
一、等差数列的定义与性质等差数列，顾名思义，就是数列中相邻两项之间的差值相等的数列。
等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差d确定了等差数列的增量，若d>0，则为递增数列，d<0，则为递减数列。
2. 等差数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 + d来得到。
3. 等差数列的前n项和（部分和）Sn可以通过公式Sn = n/2 * (a1 + an)来计算。
二、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的运用，下面举几个常见的例子：1. 借贷利息计算在借贷利息计算中，每期支付的利息就是一个等差数列。
利率可以看做是首项，每期还款的本金不变，因此每期的利息之间的差值相等，满足等差数列的性质。
2. 时间和距离计算当物体以恒定速度运动时，它所经过的距离就构成一个等差数列。
速度可以看作是首项，时间的增量相等，满足等差数列的性质。
3. 数学题与排列问题等差数列在解决一些排列问题时非常有用。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些关于“前n项和”的问题，通过将问题转化为等差数列的形式，可以更方便地解决问题。
三、等比数列的定义与性质等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相等的数列。
等比数列可以用以下公式表示：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比r确定了等比数列的增长规律，若r>1，则为递增数列，0<r<1，则为递减数列。
2. 等比数列的通项公式可以通过递推公式an = an-1 * r来得到。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结在数学的广袤领域中，数列是一个重要的概念，而等差数列和等比数列则是其中最为基础且关键的两种类型。
理解和掌握它们的知识点，对于解决各种数学问题以及培养逻辑思维能力都具有至关重要的意义。
一、等差数列（一）定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，常用字母\（d\）表示。
例如：数列\（2, 4, 6, 8, 10\cdots\）就是一个公差为\（2\）的等差数列。
（二）通项公式等差数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_n\）表示第\（n\）项的值，＼（a_1\）表示首项，＼（n\）表示项数，＼（d\）表示公差。
比如，在等差数列\（3, 5, 7, 9, 11\cdots\）中，首项\（a_1 ＝ 3\），公差\（d ＝ 2\），那么第\（5\）项\（a_5 ＝ 3 ＋（5 1)×2 ＝ 11\）。
（三）等差中项若\（a\），＼（b\），＼（c\）成等差数列，则\（b\）为\（a\），＼（c\）的等差中项，且\（b ＝＼frac{a ＋ c}｛2}＼）。
例如：＼（4\）是\（2\）和\（6\）的等差中项，因为\（＼frac{2 ＋6}｛2} ＝ 4\）。
（四）前\（n\）项和公式等差数列的前\（n\）项和公式有两个：＼（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）＼（S_n ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）假如有一个等差数列\（1, 3, 5, 7, 9\cdots\），要求前\（5\）项的和。
首项\（a_1 ＝ 1\），第\（5\）项\（a_5 ＝ 9\），项数\（n ＝ 5\），那么\（S_5 ＝＼frac{5×（1 ＋ 9)｝｛2} ＝ 25\）或者，利用另一个公式，公差\（d ＝ 2\），＼（S_5 ＝ 5×1 ＋＼frac{5×（5 1)×2}｛2} ＝ 25\）（五）性质1、若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），则\（a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q\）。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。
它们不仅具有一些特殊的性质，而且在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两种数列形式。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，则该数列为等差数列。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列的公差表示了每一项与它的前一项之间的差值。
公差为正数时，数列递增；公差为负数时，数列递减。
公差值的大小决定了数列项之间的间隔。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常常见，例如计算等差数列的累计收入、人口增长等。
来表示时间的流逝、距离的增长、数学函数中的连续变化等。
通过等差数列，我们可以更好地分析和预测某些变化规律，进而指导实际问题的解决。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，则该数列为等比数列。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列的公比表示了每一项与它的前一项之间的比值。
公比大于1时，数列递增；公比在0和1之间时，数列递减。
公比的大小决定了数列项之间的倍数关系。
2. 通项公式：等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常重要，例如计算等比数列的总利润、物质累积等。
用来表示指数增长、利润的倍增、生物种群的繁衍等。
数列的等差与等比性质及其应用
数列的等差与等比性质及其应用在数学的广袤领域中，数列如同璀璨的星辰，闪耀着智慧的光芒。
其中，等差数列和等比数列是两种极为重要的数列类型，它们具有独特的性质，并且在实际生活和学术研究中有着广泛而多样的应用。
让我们先来认识一下等差数列。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数被称为公差，通常用字母“d”表示。
比如说，数列 2，5，8，11，14……就是一个公差为 3 的等差数列。
等差数列有许多重要的性质。
其中之一是通项公式：an ＝ a1 ＋（n 1)d，这里的 an 表示第 n 项的值，a1 是首项。
通过这个公式，只要知道首项、公差和项数，就能轻松求出任意一项的值。
另一个重要性质是前 n 项和公式：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
这两个公式在解决与等差数列求和相关的问题时非常实用。
等差数列在实际生活中的应用十分广泛。
比如，在薪资计算中，如果员工的工资每年按照固定的金额增长，那么就可以用等差数列来计算其在一定年限内的总收入。
假设一个员工第一年的工资是 5 万元，每年固定增长 1 万元，那么在第 5 年，他的工资就是 5 ＋（5 1)×1 ＝9 万元。
如果要计算他前 5 年的总收入，就可以使用前 n 项和公式：S5 ＝ 5×（5 ＋ 9) ／ 2 ＝ 35 万元。
再来说说等比数列。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
这个常数被称为公比，通常用字母“q”表示。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个公比为 2 的等比数列。
等比数列的通项公式为 an ＝ a1×q^（n 1) 。
前 n 项和公式则分为两种情况，当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q)；当 q ＝ 1 时，Sn ＝na1 。
等比数列在金融领域有着重要的应用。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中非常重要的概念，它是由一系列按一定顺序排列的数所组成的。
在数列中，等差数列和等比数列是最常见的两种形式。
它们有着独特的性质和广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的性质进行介绍，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻的两项之间的差值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等差数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1+(n-1)d中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
3. 总和公式：等差数列的前n项和可以通过总和公式Sn=n/2[2a1+(n-1)d]来计算。
这个公式是通过求前n项和的巧妙方法，可以避免逐项相加的麻烦。
等差数列的应用非常广泛。
例如，在数学中，等差数列可以用来描述等分数列、算术平均数等概念。
在物理学中，通过等差数列可以描述匀速直线运动的位移、速度等参数。
在经济学中，等差数列可以用来描述递增或递减的趋势，分析经济指标的变化规律。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻的两项之间的比值恒定的数列。
其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列中相邻两项之间的比值称为公比。
公比可以为正数、负数或零，它决定了数列的增减趋势。
当公比大于1时，数列递增；当公比小于1时，数列递减；当公比等于1时，数列所有的项相等。
2. 通项公式：等比数列可以通过通项公式快速求得任意一项的值。
通项公式an=a1*r^(n-1)中的n表示项数，通过给定的n值，可以得到对应项的数值。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
高考数学难点突破_难点12__等差数列、等比数列的性质运用
难点12 等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.●难点磁场(★★★★★)等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________.●案例探究［例1］已知函数f (x )=412-x (x <－2).(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.解：(1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y+, 即y =f－-1(x )=－214y +(x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n =341-n .(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立. ［例2］设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值.解法一：设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得.设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大. 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大.解法二：接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5.5. 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大. ●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( )32B. 32A.-C.2D.－2 二、填空题2.(★★★★)已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________.3.(★★★★)等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.(★★★★)已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________. 三、解答题5.(★★★★★)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.6.(★★★★★)已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim. 7.(★★★★)设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 10.8.(★★★★★){a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列. 参考答案难点磁场解法一：将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+1002)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二：由]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210.解法三：由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）.将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四：S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md )=S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d .由解法一知d =240m,代入得S 3m =210.解法五：根据等差数列性质知：S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有：2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法六：∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴n S n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , n S n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m , mS m 22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210.解法七：令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案：210 歼灭难点训练① ②一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1, ∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21.∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案：B二、2.解析：解出a 、b ,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8)3.解析：利用S 奇/S 偶=nn 1+得解. 答案：第11项a 11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2.答案：2三、5.(1)解：依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5.5＜k ＜7.因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，因此，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .所以有：2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0,∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+= 222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----= 最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d 24)＜6.5.从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a da a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1.(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 7.解：∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32, 得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=41. 由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83, ∴S 10=10a 1+2910⨯d =－855.由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8.证明：(1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2,故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0,∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+ .21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数-+∴-=-=-=---=+-+-=+∴+++k k k k k k k k k x d d d a a d a d a x x d a xVon Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
等比数列与等差数列的应用
等比数列与等差数列是数学中常见的数列类型，它们在许多领域都有着重要的应用。
本文将从几个方面介绍等比数列和等差数列的应用。
首先，等差数列在代数中的应用非常广泛。
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的一种数列。
通常，我们可以通过求和公式来计算等差数列的前n项和。
等差数列的应用之一是在求解等差数列中缺失的项。
通过已知的相邻项之差，我们可以根据等差数列的特性来计算出缺失的项，这在代数题目中经常用到。
其次，等比数列在几何中的应用非常重要。
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的一种数列。
同样，我们可以通过求和公式来计算等比数列的前n项和。
等比数列的应用之一是在几何题目中计算比例。
比如我们通过已知边长比例的等比数列来计算出几何图形中的尺寸，这在建筑设计、工程测量等领域都有着广泛的应用。
此外，等比数列和等差数列在物理学中也有着重要的应用。
在描述物理现象和规律时，经常会涉及到序列和数列的概念。
等差数列和等比数列可以帮助我们更好地理解物理规律，对于解决物理问题非常有帮助。
比如，在匀加速直线运动中，我们可以将位移和时间构成等差数列来描述物体的运动情况；而在指数增长或衰减的过程中，我们可以使用等比数列来描述物体或者现象的变化规律。
最后，等差数列和等比数列还有着许多实际生活中的应用。
在经济学中，利润、销售额等经济指标常常可以用等差数列和等比数列来表示和计算。
在金融领域中，投资、贷款等利率相关的问题也可以通过等差数列和等比数列来求解。
此外，等差数列和等比数列还可以应用在人口统计、物流规划等各个领域，帮助我们更好地分析和解决实际问题。
综上所述，等差数列和等比数列在数学中的应用十分广泛，并且在各个领域都有着重要的作用。
通过应用等差数列和等比数列的原理，我们可以更好地解决各种问题，分析和理解各种现象。
因此，掌握和应用等差数列和等比数列的知识对于学习和实践都具有重要意义。
无论是在学业上还是在实际生活中，了解等差数列和等比数列的应用，都能让我们更加灵活和高效地处理问题。
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难点12：等差数列、等比数列的性质运用等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. ●难点磁场等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________. ●案例探究［例1］已知函数())2f x x =<-.(1)求()f x 的反函数()1f x --; (2)设()()1*1111,n n a f a n N a -+==--∈,求n a ; (3)设222121,n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ,使得对任意*n N ∈,有25n mb <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★级题目.知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为桥梁求n a ,不易突破.技巧与方法：(2)问由式子11n a +得122114n n a a +-=,构造等差数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭,从而求得n a ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想. 解：(1)设2,y x x =<-∴=即())10y f x x -=-=> (2)22111114n n na a a ++=-=， ∴21n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是公差为4的等差数列， ∵()1221111,4143,0,n n n a n n a a a a ==+-=->∴= . (3) 111241n n n n b S S a n +=-=+=+,由25n m b <,得2541m n >+, 设()()2525,4141g n g n n n ==++ 在*n N ∈上是减函数， ∴()g n 的最大值是()max 15g =,5m ∴>,存在最小正整数6m =,使对任意*n N ∈有25n mb <成立. ［例2］设等比数列{}n a 的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{}lg n a 的前多少项和最大？()lg20.3,lg30.4==命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.属★级题目.知识依托：本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出n a ;进而利用对数的运算性质明确数列{}lg n a 为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解.错解分析：题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方.技巧与方法：突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列n S 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值.解法一：设公比为q ,项数为*2,m m N ∈,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m化简得()2114111310891q q q a a q q ⎧⎧==⎪⎪+⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩解得.设数列{}lg n a 前n 项和为n S ,则()12121111lg lg lg 1lg n n n S a a q a q a n q+++-=+++-=⨯()()()111lg 1lg 2lg 2lg 31lg 322n a n n q n n =+-⨯=+--2lg372lg 2lg322n n ⎛⎫⎛⎫=-⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见，当72lg 2lg 32lg 3n +=时，n S 最大. 而72lg 240.370.425lg 320.4+⨯+⨯==⨯,故{}lg na 的前5项和最大.解法二：接前，110813a q =⎧⎪⎨=⎪⎩,于是()11lg lg 1081lg1081lg 33nn a n ⎡⎤⎛⎫=-=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,∴数列{}lg n a 是以lg108为首项，以1lg 3为公差的等差数列，令lg 0n a ≥,得()2lg 24lg320.340.42lg 24lg30, 5.5lg30.4n n +⨯+⨯--≥∴≤==.由于*n N ∈,可见数列{}lg n a 的前5项和最大. ●锦囊妙计1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用.2.在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.3.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果.●歼灭难点训练 一、选择题1.等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为n S ,若1053132S S =，则lim n n S →∞等于()2.3A 2.3B - .2C.2D -二、填空题2.已知,,a b a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，且()0log 1ab m <<,则m 的取值范围是______.3.等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.已知,,a b c 成等比数列，如果,,a x b 和,,b y c 都成等差数列，则a cx y+=____.三、解答题5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3121312,0,0a S S =><. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出1212,,S S S 中哪一个值最大，并说明理由.6.已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠,由{}n a 中的部分项组成的数列12,,,,n b b b a a a 为等比数列，其中1231,5,17b b b ===. (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)记123123nn n n n n n T C b C b C b C b =++++ ,求lim4nn nn T b →∞+.7.设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，112432431,,a b a a b b b a ==+=∙=,分别求出{}n a 及{}n b 的前n 项和10S 及10T .8. {}n a 为等差数列，公差()*0,0,n d a n N ≠≠∈,且()2*220akx ak x ak k N ++++=∈()1求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根；()2若方程不同的根依次为12,,,,n x x x ,求证：数列122111,,,111x x x +++ 为等差数列.参考答案难点磁场解法一：将230,100m m S S ==代入()112n n n S na d -=+,得：()()()()1113012221210022m m ma d m m ma d ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩()13122331401020,,32102m m m d a S ma d m m m -⇒==+=+=解法二： 由()()31131313322m m m m d S ma d m a ⎡⎤--=+=+⎢⎥⎣⎦知，要求3mS 只需求m ()1312m d a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,将()()21-得()133170,2102m m m ma d S -+=∴=. 解法三：由等差数列{}n a 的前n 项和公式知，n S 是关于n 的二次函数，即2n S An Bn =+ (,A B 是常数）.将230,100m m S S ==代入，得()22220301022100A Am Bm m A m B m B m ⎧⎧=⎪⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨+⨯=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩,∴()333210m S A m B m =⨯+⨯= 解法四：()()32223211222m m m m m m m S S a a a S a md a md =++++++=+++++ ()221222m m m m S a a m md S S m d =++++⨯=++ .由解法一知240d m =,代入得3210m S =. 解法五：根据等差数列性质知：232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，从而有：()()()232322,3210m m m m m m m m S S S S S S S S -=+-∴=-= 解法六： ∵()()1111,22nn n n n S S na d a d n --=+∴=+∴点(),n n S 是直线()112x d y a -=+上的一串点，由三点23,,2,,3,23m m m S S S m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭共线，易得()323210m m m S S S =-=. 解法七：令1m =得1230,300S S ==，得1121230,100,30,70a a a a a =+=∴== ∴()33123707030110,210a S a a a =+-=∴=++= 答案：210 歼灭难点训练一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，1053132S S =，而11a =-,故1q ≠, ∴1055313213232S S S --==-,根据等比数列性质知51051510,,,S S S S S -- ,也成等比数列，且它的公比为551,32q q ∴=-,即12q =-.∴12lim 13n n a S q →∞==-- 答案：B二、2.解析：解出,a b ,解对数不等式即可. 答案：(),8-∞ 3.解析：利用1S n S n+=奇偶得解. 答案：第11项1129a = 4.解法一：赋值法. 解法二：()()()()21111,,1,12222b aqc aq x a b a q y b c aq q ===+=+=+=+,()()()22222111122214a q q a q q a c ay cx x y xy a q q +++++===+. 答案：2三、5.(1)解：依题意有：311211312121211120213121302a a d S a d S a d ⎧⎪=+=⎪⨯⎪=+>⎨⎪⨯⎪=+<⎪⎩解之得公差d 的取值范围为2437d -<<-. (2)解法一：由0d <可知1231213a a a a a >>>> ,因此，在1212,,,S S S 中k S 为最大值的条件为：100k k a a +≥<且,即()()333020a k d a k d ⎧+-≥⎪⎨+-<⎪⎩3312121212,,0,23212kd d a d k kd d d d ≥-⎧=∴<∴-<≤-⎨<-⎩247123,472d d-<<-∴<-<,得5.57k <<. 因为k 是正整数，所以6k =,即在1212,,,S S S 中，6S 最大.解法二：由0d <得1231213a a a a a >>>> ，因此，若在112k ≤≤中有自然数k,使得100k k a a +≥<且,则k S 是1212,,,S S S 中的最大值.由等差数列性质得，当*,,,m n p q N ∈,且m n p q +=+时，m n p q a a a a +=+.所以有：71131377611212672120,0,0,0136a a a S a a a a a S a a =+=<∴<+=+=>∴≥->,故在1212,,,S S S 中6S 最大. 解法三：依题意得：()()()21112222n n dS na n d n d n n =+-=-+- 2221242412455,0,52282d d n d n d d d ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----<∴-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 最小时，n S 最大； ∵241243,65 6.572d d ⎛⎫-<<-∴<-< ⎪⎝⎭.从而，在正整数中，当6n =时，212452n d ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦最小，所以6S 最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{}n S 中的最大值,112k S k ≤≤,思路之一是知道k S 为最大值的充要条件是100k k a a +≥<且，思路之三是可视n S 为n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知25117a a a =⨯，即()()2211114162a d a a d a d d +=+⇒=,∵10,2d a d ≠∴=,数列{}n b a 的公比511143a a dq a a +===, ∴131n b a a n =⨯-① 又()11112n b n n b a a b d a +=⨯-=②由①②得111131,20,23112n n b a n a a d b n +⨯-=⨯=≠∴=⨯-- .(2)()()()12121223012311231n n n n n n n n n n T C b C b C b C C C n =+++=⨯-+⨯-++⨯-()()()()1212222132313121423333n nn n n n n n C C nC C C C n n n n ⎡⎤=+++-+++=+---=⨯-+⎣⎦ , 11211121422323433lim lim lim 4423131311244nnn n n n n n nn n n n nT b --→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===++⨯-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.解：∵{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，22432432,a a a b b b ∴+=⨯=,已知22432433333,,2,a a b b b a b a a b +=⨯=∴==,得233333112,0,,24b b b b a =≠∴== .由1311,4a a ==，知{}n a 的公差38d =-,∴101109551028S a d ⨯=+=-. 由1311,2b b ==,知{}n b的公比q q ==,()(()(10110101101312213213122132b qq Tqb qq Tq-===+--=-==-当当8.证明：(1）∵{}n a是等差数列，∴212ak ak ak+=++,故方程2220akx ak x ak++++=可变为()()210akx ak x+++=,∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为2221k kk k ka a d dxka a a++=-=-=--，112kkax d∴=-+()111111112222k k k kk ka a a ax x d d d+++-⎛⎫∴-=---==-⎪++⎝⎭常数1112kx⎧⎫∴-⎨⎬+⎩⎭是以为公差的等差数列.。