高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题课件文北师大版

A.30°
B.45°
解析
C.60°
D.120°
3.在 Rt△ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则
PA2＋PB2
PC2 等于 答案
解析
A.2
B.4
C.5
D.10
4.已知函数 f(x)＝sinx＋π3－m2在[0，π]上有两个零点，则实数 m 的取值范围为
(2)求 cosA－π6的值. 解答
由(1)得 sin B＝35，cos B＝45，sin C＝cos C＝ 22，
则 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102，
cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－102，
图像如图所示，M，N 分别是这段图像的最高点和最低点，
且O→M·O→N＝0(O
为坐标原点)，则
7 A＝__1_2_π__.
答案
解析
由题意知 M(1π2，A)，N(172π，－A)，
又∵O→M·O→N＝1π2×172π－A2＝0，
∴A＝
7 12 π.
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的图像和性质 例 1 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ω2x，x∈R(其中 ω>0). (1)求函数f(x)的值域； 解答
高考专题突破二
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin
2x的图像向左平移
π 12
个单位长度，则
平移后图像的对称轴为 答案 解析
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
＝1－cos(π2＋2θ)－ 3cos 2θ ＝(1＋sin 2θ)－ 3cos 2θ＝2sin(2θ－π3)＋1，
∵θ∈[π4，π2)，∴2θ－π3∈[π6，23π).
∴2≤2sin(2θ－π3)＋1≤3. ∴函数f(θ)的值域是[2,3].
12345
4.设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且 y＝f(x)图像的一 个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求 ω 的值； 解答
由 tanπ4＋A＝2，得 tan A＝13. 所以sin 2sAin＋2cAos2A＝2t2antanA＋A 1＝25.
(2)若 B＝π4，a＝3，求△ABC 的面积. 解答
由 tan A＝13，A∈(0，π)，得 sin A＝ 1100，cos A＝31010. 又由 a＝3，B＝π4及正弦定理sina A＝sinb B，得 b＝3 5. 由 sin C＝sin(A＋B)＝sinA＋π4得 sin C＝255，
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
由题意将函数 y＝2sin 2x 的图像向左平移1π2个单位长度后得到函数的解析
式为 y＝2sin2x＋π6，由 2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得函数的对称轴为 x＝k2π＋π6 (k∈Z)，故选 B.
2.在△ABC 中，AC·cos A＝3BC·cos B，且 cos C＝ 55，则 A 等于 答案
设△ABC 的面积为 S，则 S＝12absin C＝9.
题型三 三角函数和平面向量的综合应用
例 3 (2016·淄博模拟)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，
c＝(－1,0).
(1)若 x＝π6，求向量 a 与 c 的夹角； 解答
设a与c的夹角为θ，当 x＝π6时，a＝( 23，12)，
➢ 二、听思路。
2 2 (cos
θ－sin
θ)]＝32，
∴
6cos
θ＝32，∴cos
θ＝
6 4.
又 θ∈(0，π2)，∴sin θ＝ 1－cos2θ＝ 410，
∴f(34π－θ)＝
3sin(π－θ)＝
3sin θ＝
30 4.
12345
2.(2016·山东)设f(x)＝2 3sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
跟踪训练3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知 ＝2B→，A·cB→oCs B＝ ，b＝3，13求： (1)a和c的值； 解答
由B→A·B→C＝2，得 c·acos B＝2.
又 cos B＝13，所以 ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
(3)函数f(x)图像的对称轴和对称中心. 解答
由 2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k2π＋152π(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称轴方程为 x＝k2π＋51π2(k∈Z). 由 2x－π3＝kπ(k∈Z)，得 x＝k2π＋π6(k∈Z)， 所以函数 f(x)的对称中心为(k2π＋π6，0)(k∈Z).
2π 3
＝ 23A＝32，∴A＝ 3.
12345
(2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求 f(34π－θ). 解答
由(1)知 f(x)＝ 3sin(x＋π4)， 故 f(θ)＋f(－θ)＝ 3sin(θ＋π4)＋ 3sin(－θ＋π4)＝32，
∴
3[
2 2 (sin
θ＋cos
θ)＋
因此 cos C＝ 1－sin2C＝
1－4 9 22＝79.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝13×79＋2 3 2×4 9 2＝2237.
课时作业
1.已知函数 f(x)＝Asin(x＋π4)，x∈R，且 f(51π2)＝32. (1)求 A 的值； 解答
∵f(51π2)＝Asin(51π2＋π4)＝Asin
(1)求f(x)的单调递增区间； 解答
12345
(2)把 y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再 把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数 y＝g(x)的图像，求 gπ6的值.
解答
12345
3.已知△ABC的面积为2，且满足0< A→B·A→C≤4，设 A→B和A→C 的夹角为θ. (1)求θ的取值范围； 解答
解aa2c＋＝c62，＝13， 得 a＝2，c＝3 或 a＝3，c＝2. 因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)cos(B－C)的值. 解答
在△ABC 中，sin B＝ 1－cos2B
＝ 1－132＝232，
由正弦定理，得
sin
C＝bcsin
B＝23×2 3
2＝4
2 9.
因为a＝b>c，所以C为锐角，
f(x)＝ 23sin ωx＋12cos ωx＋ 23sin ωx－12cos ωx－(cos ωx＋1)
＝2(
3 2 sin
ωx－12cos
ωx)－1＝2sin(ωx－π6)－1.
由－1≤sin(ωx－π6)≤1， 得－3≤2sin(ωx－π6)－1≤1，
所以函数f(x)的值域为[－3,1].
(2)若函数
因为 f(x)＝52sin 2x－523(1＋cos 2x)＋523
＝5(12sin
2x－
3 2 cos
2x)＝5sin(2x－π3)，
所以函数的周期 T＝22π＝π.
(2)函数f(x)的单调区间； 解答
由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2 (k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调增区间为[kπ－1π2，kπ＋51π2](k∈Z). 由 2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋32π(k∈Z)， 得 kπ＋152π≤x≤kπ＋1112π(k∈Z)， 所以函数 f(x)的单调减区间为[kπ＋152π，kπ＋1112π](k∈Z).
12345
(2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值. 解答 由(1)知 f(x)＝－sin2x－π3. 当 π≤x≤32π时，53π≤2x－π3≤83π. 所以－ 23≤sin2x－π3≤1. 所以－1≤f(x)≤ 23. 故 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值分别为 23，－1.
设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则由已知 12bcsin θ＝2,0<bccos θ≤4， 可得tan θ≥1， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[π4，π2).
12345
(2)求函数f(θ)＝2sin2( π4＋θ)－ 3cos 2θ的值域. 解答
f(θ)＝2sin2(π4＋θ)－ 3cos 2θ
A.[－ 3，2]
B.[ 3，2)
答案
解析
C.( 3，2]
D.[ 3，2]
如图，画出 y＝sinx＋π3在[0，π]上的图像，当直 线 y＝m2 与其有两个交点时，m2 ∈ 23，1，所以 m∈[ 3，2).
5.若函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的
则 cosA－π6＝cos Acosπ6＋sin Asinπ6＝7
2－ 20
6 .
思维升华
根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角 的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍.
跟踪训练 2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c.已知 tanπ4＋A＝2. (1)求sin 2sAin＋2cAos2A的值； 解答
12345
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝3，c＝1， ab＝2 3 ，且a>b，求a，b的值. 解答