第4章 函数与过程
高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu, 如图4-5所示,当积分∫udv不易计算,而积分∫vdu比较容易计算时, 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x,dv=sinxdx=d(-cosx),则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后,可以不写出u和dv,而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算,所以,导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C,则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数,
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤,因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形,即 ∫f(x)dx不易求出,但适当选择变量代换x=φ(t)后,得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt,而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 4.1函数
第四章:一次函数4.1函数1.函数的概念一般地,在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果给定一个x 值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y 是x 的函数.其中x 是自变量,当自变量取一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与它对应,这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据. 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数,当x 取不同的值时,y 的值不一定不同.如:y =x 2中,当x =2,或x =-2时,y 的值都是4. 函数的定义中包括三个要素 ① 自变量的取值范围;② 两个变量之间的对应关系;③ 后一个变量被唯一确定而形成的变化范围. 注意:①自变量可以用任意字母表示;②两个变量之间的关系必须是“唯一确定”的; ③函数不是数,而是一种特殊的对应关系.规律方法:判断两个变量是否存在函数关系,关键是看两个变量之间是否是一一对应,即给一个变量一个数值,另一个变量是否有唯一确定的值与之对应.【例1】下列图像给出了变量x 与y 之间的对应关系,其中y 不是x 的函数的是( )【例2】 下列关于变量x ,y 的关系式:①x -3y =1;②y =|x |;③2x -y 2=9.其中y 是x 的函数的是( ).A .①②③B .①②C .②③D .①②【例3】 已知y =2x 2+4,(1)求x 取12和-12时的函数值;(2)求y 取10时x 的值..函数中变量的对应关系当自变量取一个值时,另一个变量就会有唯一的值与之相对应;当另一个变量取某一数值,则自变量并不一定有唯一的值与之相对应,所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系.2.函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式或关系表达式. 函数关系式中的学问①函数关系式是等式.②函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数.通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数.③函数的解析式在书写时有顺序性.例如,y =x +1是表示y 是x 的函数.若写成x =y -1就表示x 是y 的函数.也就是说:求y 与x 的函数关系式,必须是用只含变量x 的代数式表示y ,即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ,右边是含x 的代数式.【例4】 已知等腰三角形的周长为36,腰长为x ,底边上的高为6,若把面积y 看做腰长x 的函数,试写出它们的函数关系式.3.自变量的取值范围使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围. 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
第四章 三角函数与三角形4-6正弦定理和余弦定理
1 ③S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径). 2 1 ④S= PP-aP-bP-c,其中 P= (a+b+c). 2 (6)在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.
4.解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况:
已知条件 一边和两角( 如a,B, C) 两边和夹角( 如a,b, C)
解析:(1)已知两角和一边只有一解,由B=30° ,C =105° 得,A=45° , asinB 4sin30° 由正弦定理得,b= = =2 2. sinA sin45° (2)已知两边和一边的对角,先判断解的情况: 3 2 ∵c<bsinC= ,∴无解. 2
BC AB 5 3 (3)由正弦定理 = 知, = ,∴sinA= sinA sinC sinA 1 2 2 , 2 ∵BC>AB,∴A>C,∴A=45° 或135° .
3 答案:60° ; 2
总结评述:解三角形时,找三边一角之间的 关系,常用余弦定理,两边两角之间的关系 常用正弦定理.
在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对 的边,又c= 21,b=4,且BC边上的高h=2 3.则 (1)角C=________; (2)a=________.
解析:△ABC为锐角三角形,过A作AD⊥BC于D点, 2 3 3 sinC= = ,则C=60° . 4 2 1 又由余弦定理可知( 21) =4 +a -2· a·, 4· 2
A+B C tan(A+B)=-tanC; sin =cos ; 2 2
A+B A+B C C cos =sin ; tan =cot ; 2 2 2 2 tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC. (5)△ABC 的面积公式有: 1 ①S= a· 表示 a 边上的高); h(h 2 1 1 1 abc ②S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R
第四章可测函数
fn
(x)
G(x)
lim n
fn (x)
也在E上可测,特别当
F ( x)
lim n
fn(x) 存在时,
它也在可测。
4、简单函数及其性质
(1)定义:设f (x) 的定义域E可分为有限个互不相交的可测集
s
E1,..., Es 即 E Ei ,使 f (x)在每个 Ei上都等于某常数 c ,则称 f (x)
则称 fn在E上几乎一致收敛于 f ,记为 fn f a.u.于E
注:1°”一致收敛”强于“收敛”, “收敛”强于“几乎处处收敛” 2°叶果洛夫定理得逆命题就是若 fn f a.u.于E ,则 fn f a.e.于E 3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系, 根据这个定理,对于任意几乎处处收敛的可测函数列,都可在E的一 个子集 上E当 作一致收敛的函数列来处理。
黎斯条件下的子列在叶果洛 夫条件下
(3)著名的勒贝格微分定理:若 f (x) 是[a,b]上的单调函数,则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可导。 (4)[0,1]上的狄利克雷函数 D(x) 0 a.e.于 [0,1]
性质:
(1)1 a.e.于E
且 2
a.e.于E
,则 1
或 2
a.e.于E
,
且
1
2
a.e.于E
.
(2)f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数,如果f是E的可测函
1 f (x), f (x) g(x),(g(x) 0 集中在零测集上)可测集。
可 测
定理 5:设 fn(x) 是E上一列(或有限个)可测函数,则
函 数
(x) inf n
fn (x)与
第4章 效用函数
第四章
效用函数
随机决策问题
例
“
有这样一场赌博:掷硬币直到头部出现为止。
当头部出现
4.1
一、事态体及其关系
2. 事态体的表示和性质
T=( p
1,o
1;
p
2,
o
2;
…
,
p
n,
o
n
)可以用树形图表示
的树形图
……
例
一、事态体及其关系
一、事态体及其关系
4.1
二、理性行为公理
2. 传递性公理
二、理性行为公理
3. 复合保序性公理
二、理性行为公理
4. 相对有序性公理
4.2性质1:
4.2
基本性质(三)说明
4.4
4.4
于是,决策问题就转化为对
4.4
4.4
一、效用(utility)
二、
例
4.4
三、效用函数定义
4.4
效用函数的构造方法
归一化
)
x
)
4.5
4.5
4.5
4.5
3. 冒险型效用函数
效用值随结果值增加而增加,但增加的速度随之逐渐加快。
4.5
4.6 效用函数表
4.6 效用函数表
线性内插法
效用函数表使用举例
解题确定当量
下凸型效用函数
效用函数对称关系。
北师大版初中数学八年级(上)第四章一次函数4-1函数 教学详案
第四章 一次函数1 函 数教学目标1.初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系是否可以看成函数;根据两个变量之间的关系式,给定其中一个量,相应的会求出另一个量的值;了解函数的三种表示方法.2.通过函数概念的学习,初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力.3.在函数概念形成的过程中,培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的精神.教学重难点重点:初步理解函数的概念,能判断两个变量间的关系,了解函数的三种表示方法. 难点:根据两个变量之间的关系式,给定其中一个量,相应的会求出另一个量的值.教学过程导入新课1.分别指出下列关系式中的变量与常量:(1)圆的面积公式2πS R =(S 是面积,R 是半径); (2)正多边形的内角公式(2)180n nα-︒=(α是正多边形的一个内角的度数,n 为正多边形的边数).2.假设甲、乙两人在一次赛跑中,路程s 与时间t 的关系如图,那么可知道:(1)这是一次 米赛跑;(2)甲、乙两人中先到达终点的是 .设计意图:利用学生感兴趣的生活知识,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,以愉快的心情开始一节课的学习,激发学习数学的积极性.探究新知一、合作探究问题一想一想,如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的?下图反映了摩天轮上一点的高度h(m)与旋转时间t(min)之间的关系.(1)根据上图填表:t∕min012345…h∕m…(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?问题二瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?填写下表:层数n12345…物体总数y…对于给定任一层数n,相应的物体总数y确定吗?有几个y值和它对应?问题三一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:T=t+273,T≥0.(1)当t分别为-43 ℃,-27 ℃,0 ℃,18 ℃时,相应的热力学温度T是多少?(2)给定一个大于-273℃的摄氏温度t值,相应的热力学温度T确定吗?有几个T值和它对应?上面的三个问题中,有什么共同特点?都有两个变量,给定其中某一个变量的值,相应地就确定了另一个变量的值.(教师巡视)学生独立思考,然后小组内讨论,最后学生代表发表各小组的见解.设计意图:这样能较好地体现数学的现实性,可以形成良好的数学观.二、新知一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.函数的形式:一般有列表法、图象法和关系式法.理解函数的概念应抓住以下三点:(1)函数的概念由三句话组成:“两个变量”,“x的每一个值”,“y有唯一的值”;(2)判断两个变量是否有函数关系不是看它们之间是否有关系的存在,更重要的是看对于x的每一个确定的值,y是否有唯一确定的值与之对应;(3)函数不是数,它是指在某一变化的过程中两个变量之间的关系.课堂练习1.下列各曲线中不能表示y是x的函数的是()A B C D2.已知函数y=2x-6,当x=3时,y=;当y=-6时,x=.3.下列关于变量x,y的关系式:①3x-4y=0;②5x-y2=1;③y=|x|;④y=2x2+1;⑤xy=1.其中,y是x的函数的是.4.近日,某县提出了“绿色环保,安全骑行”的倡议,号召中学生在骑自行车时要遵守交通规则,注意交通安全.周末,小明骑共享单车到图书馆,他骑行一段时间后,在某路口等待红绿灯,待绿灯亮起后继续向图书馆方向前进,途中突然发现钥匙不见了,于是他着急地原路返回,在等红绿灯的路口处找到了钥匙,便继续前往图书馆.小明离家距离与所用吋间的关系示意图如图所示,请根据图中提供的信息回答下列问题:(1)图中自变量是,因变量是;(2)小明等待红绿灯花了分钟;(3)小明在分钟时间段的骑行速度最快,最快的速度是米/分;(4)在前往图书馆的途中,小明一共骑行了米.5.一辆汽车的油箱中现有汽油50 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子.(2)指出自变量x的取值范围.(3)汽车行驶200km时,油箱中还有多少汽油?参考答案1.D2.0,03. ①③④⑤4.(1)时间,离家距离(2)2(3)12~13,240(4)19805.解:(1)y=50-0.1x.(2)0≤x≤500.(3)y=50-0.1×200=30,因此当汽车行驶200km时,油箱中还有30 L汽油.课堂小结(学生总结,老师点评)1.函数的概念2.函数的三种表达方法3.自变量的取值范围布置作业随堂练习第1题习题4.1第2题板书设计第四章一次函数1函数1.函数的概念: 一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y 是因变量.2.函数的三种表达方法:列表法图象法关系式法。
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解:
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题(狄氏问题)
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题(牛曼问题)
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数:具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u ):d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件
题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2(1+
S
),它表示在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,
S
S
其中 叫做信噪比.当信噪比 比较大时,公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 =5 =10”,求 + 的值.
解析:由4a=5b=10,得a=logபைடு நூலகம்10,b=log510,
1
2
1
2
所以 + =
+
=lg 4+2lg 5=lg (4×25)=2.
a
b
log4 10
log5 10
学霸笔记:
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1.换底公式
log
log
b=________(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).
loga
2.对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN=
(N>0,且N≠1;a>0,且a≠1).
logN a
m
log an = logab(a>0,且a≠1,b>0).
的值吗?(lg 2,lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化,由对数的定义,你能否用logca,logcb表示logab(a>0,
且a≠1,b>0,c>0,且c≠1)吗?
第4章 利用函数编程
9
4.1.2 函数的定义
2. 无参函数的定义格式 无参函数的定义格式是传统格式。定义无参函数的语句 格式有以下两种形式 :
[<类型标识符>] <函数名>() [< 类 型 标 识 符 >] < 函 数 名 > { (void) 函数体 { 或 return语句 函数体 } return语句 }
〘格式说明〙与有参函数的定义格式相比,函数名后 面的括号中没有参数,是空的,即函数名(void)与函数名( ) 是一样的涵义。
2
4.1.1 函数的引出
〘问题描述4-1〙在这之前的程序设计中,我们多次使 用系统提供的函数,如使用printf()实现数据的输出,用sqrt() 进行开方运算等。这些函数功能单一,使用方便,有效地减 少了程序设计的工作量。但在程序设计中,经常遇到多次运 用同一算法的程序实现问题,此时需要编写实现该算法的自 定义函数,通过反复调用来实现最终目的,这不仅能避免程 序重复编码,而且使得程序结构清晰,实现功能共享。现讨 论求以下组合数的编程问题。
21
4.2.2 函数调用声明
{ int a,b,c; printf(“Please input two integer numbers:”); scanf(“%a,%b\n”,&a,&b); c=max(a,b); //函数调用语句 printf(“max is%d\n”,c); }
[问题点拨] 函数声明方式不同,会使程序结构完全不一样。 因此,在复杂的调用中,必须考虑好定义与调用的先后顺序, 否则将发生错误。
6
4.1.1 函数的引出
float factorial (int x) //函数定义说明,求x的阶乘 { int i; float f=1; for(i=1;i<=x;i++) f=f*i; return (f); //返回计算结果 } 我们把这种程序设计称为模块化程序设计,也是结构化 程序设计的一条重要原则。由于C语言采用了函数模块化的 结构,因而易于实现结构化程序设计,使得程序层次结构清 晰,便于程序的编写、阅读、调试,这就是采用函数模块化 (自定义函数)的目的意义。
2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)2023年人教版高中数学第四章指数函数与对数函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案:B分析:根据题意可得I(t)=e rt=e0.38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,根据e0.38(t+t1)=2e0.38t,解得t1即可得结果.因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28−16=0.38,所以I(t)=e rt=e0.38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,则e0.38(t+t1)=2e0.38t,所以e0.38t1=2,所以0.38t1=ln2,所以t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选:B.小提示:本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题.2、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点,则实数m不可能...是()A.−1B.0C.1D.2答案:D解析:依题意画出函数图象,函数g(x)=f(x)−m的零点,转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点,数形结合即可求出参数m的取值范围;解:因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞),画出函数图象如下所示,函数g(x)=f(x)−m的有两个零点,即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根,即f(x)=m,即函数y=f(x)与函数y=m有两个交点,由函数图象可得m≤0或m=1,故选:D小提示:函数零点的求解与判断方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.3、已知f(x)=a−x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是()A .a >0B .a >1C .a <1D .0<a <1 答案:D分析:把f (-2),f (-3)代入解不等式,即可求得.因为f (-2)=a 2, f (-3)=a 3,f (-2)>f (-3),即a 2>a 3,解得:0<a <1. 故选:D4、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2,若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ,b ,c ,则2a +2b +2c 的取值范围是( )A .[16,32)B .[16,34)C .(18,32]D .(18,34) 答案:D分析:作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ,它们的交点的横坐标即为g(x)的零点,利用图象得出a,b,c 的性质、范围,从而可求得结论.作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ,它们的交点的横坐标即为g(x)的零点,如图, 则1−2a =2b −1,4<c <5,2a +2b =2,2c ∈(16,32),所以18<2a +2b +2c <34. 故选:D .小提示:关键点点睛:本题考查函数零点问题,解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标,从而可通过作出函数图象与直线,得出零点的性质与范围.5、声强级L1(单位:dB)与声强I的函数关系式为:L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB,高速列车的声强级为45dB,则普通列车的声强是高速列车声强的()A.106倍B.105倍C.104倍D.103倍答案:B分析:设普通列车的声强为I1,高速列车的声强为I2,由声强级得95=10lg(I110−12),45=10lg(I210−12),求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1,高速列车的声强为I2,因为普通列车的声强级是95dB,高速列车的声强级为45dB,所以95=10lg(I110−12),45=10lg(I210−12),95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12),解得−2.5=lgI1,所以I1=10−2.5,45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12),解得−7.5=lgI2,所以I2=10−7.5,两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105,则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选:B.6、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示,则下列不等式一定成立的是()A.b+d>a+c B.b+d<a+c C.a+d>b+c D.a+d<b+c答案:B分析:如图,作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ,即得解.如图,作出直线x =1,得到c >d >1>a >b , 所以b +d <a +c . 故选:B7、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是( ) A .(1,+∞)B .(12,1)C .(13,12)D .(14,13) 答案:B分析:结合函数的单调性,利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0, 所以f(12)⋅f(1)<0,又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增,所以函数f(x)的零点所在的区间是(12,1),故选:B .小提示:本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用,属于基础题. 8、若n <m <0,则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于( ) A .2m B .2n C .−2m D .−2n 答案:C分析:根据根式的计算公式,结合参数范围,即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|,∵n<m<0,∴m+n<0,m−n>0,∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m.故选:C小提示:本题考查根式的化简求值,属简单题,注意参数范围即可.9、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是()A.90<a<100B.90<a<110C.100<a<110D.80<a<100答案:A分析:首先设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,结合条件列式,根据y>0,求x的取值范围,即可得到a的取值范围.设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则a=x+90,y=(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必须使y>0,即x2−10x<0,得0<x<10,∴90<x+90<100,所以a的取值为90<a<100.故选:A10、如图所示,函数y=|2x−2|的图像是()A.B.C .D .答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1,∴x =1时,y =0,x ≠1时,y >0. 故选:B.11、函数y =2x −2−x ( ) A .是R 上的减函数 B .是R 上的增函数C .在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D .无法判断其单调性 答案:B分析:利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数,指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数,故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选:B.12、满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是( ) A .−4<m <−2B .−3<m <0C .−4<m <0D .−3<m <−1 答案:D分析:根据复合函数的单调性,求出m 的取值范围,结合充分不必要条件的定义进行求解即可.解:若f(x)=ln(mx+3)在(−∞,1]上单调递减,则满足m<0且m+3>0,即m<0且m>−3,则−3<m<0,即f(x)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是−3<m<−1,故选:D.双空题13、已知函数f(x)=2−x2+2x,x∈[0,3],则该函数的最大值为__________,最小值为_________.答案: 2 18分析:先求g(x)=−x2+2x值域,再根据y=2x单调性求f(x)最值.因为函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1在[0,1)上单调递增,在(1,3]上单调递减,且g(0)=0,g(3)=−3,g(1)=1∴g(x)∈[−3,1],因为函数y=2x单调递增,∴18≤2g(x)≤2,即函数f(x)的最大值为2,最小值为18.所以答案是:2;18小提示:本题考查函数最值、指数函数单调性、二次函数值域,考查基本分析求解能力,属基础题.14、已知函数f(x)={log0.5x,x>0x2+2x,x≤0,那么f(2)=_________;当函数y=f(x)−a有且仅有三个零点时,实数a的取值范围是__________.答案:−1−1<a<0解析:由f(2)=log0.52可得结果,函数y=f(x)−a有且仅有三个零点,即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点,作出函数y=f(x)的图象,根据图象可得答案.f(2)=log0.52=−1函数y=f(x)−a有且仅有三个零点,即函数y=f(x)的图象与y=a的图象仅有三个交点.作出函数y =f (x )的图象,如图.由图可知,当−1<a <0时,函数y =f (x )的图象与y =a 的图象有三个交点. 所以函数y =f (x )−a 有且仅有三个零点时,实数a 的取值范围是−1<a <0 所以答案是: −1 ; −1<a <015、2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N 随时间t (单位:年)的衰变规律满足N =N 0⋅2− t 5730(N 0表示碳14原有的质量),则经过5730年后,碳14的质量变为原来的________;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35,据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间.(参考数据:log 23≈1.6,log 25≈2.3) 答案: 12 4011分析:(1)根据衰变规律,令t =5730,代入求得N =12N 0;(2)令N =35N 0,解方程求得t 即可.当t =5730时,N =N 0⋅2−1=12N 0 ∴经过5730年后,碳14的质量变为原来的12令N =35N 0,则2−t 5730=35 ∴−t 5730=log 235=log 23−log 25≈−0.7∴t =0.7×5730=4011 ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间 故答案为12;4011小提示:本题考查根据给定函数模型求解实际问题,考查对于函数模型中变量的理解,属于基础题.16、已知函数f(x)={2xlog2x (x<1)(x≥1),则f(8) = _________,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则实数m的取值范围是_________.答案: 3 {0}∪[2,+∞)解析:根据自变量范围代入对应解析式,求得f(8);作出函数f(x)图象,再结合图象确定参数取值范围.f(8)=log28=3,作出函数f(x)的图象,如图所示,若直线y=m与函数f(x)的图象只有1个交点,则m≥2或m=0,所以答案是:3,{0}∪[2,+∞)小提示:本题考查求分段函数值以及根据函数零点个数求参数,考查综合分析求解能力,属中档题.17、若实数a,b满足log a2=blog23=1,则a=__________,3b=__________.答案: 2 2解析:根据对数的运算法则和概念求解.因为log a2=1,所以a=2,因为blog23=1,所以log23b=1,所以3b=2.所以答案是:2;2.小提示:本题考查对数的概念与运算法则,属于基础题.解答题18、给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1,且______.(1)求f (x )的解析式;(2)若对任意x ∈[19,27],2f (log 3x )+m ≤0恒成立,求实数m 的取值范围; (3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点,求实数t 的取值范围.答案:(1)选①f (x )=x 2−2x ,选②f (x )=x 2−2x(2)(−∞,−16](3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析:(1)利用已知条件求出a 、b 的值,可得出f (x )=x 2−2x +c .选①,由题意可得出f (1)=−1,可得出c 的值,即可得出函数f (x )的解析式;选②,由根与系数的关系求出c 的值,即可得出函数f (x )的解析式;(2)ℎ=log 3x ,ℎ∈[−2,3],由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ,结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围;(3)令n =3x >0,所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根,对实数t 的取值进行分类讨论,结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组,综合可解得实数t 的取值范围.(1)解:因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1,f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1,所以{2a =2a +b =−1 ,解得{a =1b =−2,所以f (x )=x 2−2x +c . 选①,因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点,所以f (1)=1−2+c =−1,解得c =0, 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②,设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点,则|x 1−x 2|=2,且Δ=4−4c >0,可得c <1, 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c ,所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2,解得c =0,所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .(2)解:由2f (log 3x )+m ≤0,得m ≤−2f (log 3x ),当x ∈[19,27]时,log 3x ∈[−2,3],令ℎ=log 3x ,则ℎ∈[−2,3], 所以对任意x ∈[19,27],2f (log 3x )+m ≤0恒成立,等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立, 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16,所以实数m 的取值范围为(−∞,−16].(3)解:因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点, 令n =3x >0,所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根, 因为f (x )=x 2−2x ,所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根, 当2t −1=0,即t =12时,方程可化为−2n −2=0,解得n =−1,不符合题意; 当2t −1>0,即t >12时,函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线,且恒过点(0,−2), 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根;当2t −1<0,即t <12时,要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根, {∆=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0 ,解得t =−√3+12. 综上,实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞). 19、设函数f (x )=log m x (m >0且m ≠1)的图像经过点(3,1).(1)解关于x 的方程f 2(x )+(m −1)f (x )+1−m 2=0;(2)不等式[1+f (x )]⋅[a −f (x )]>0的解集是(13,9),试求实数a 的值. 答案:(1)x =9或x =181;(2)a =2.分析:(1)根据给定条件求出m 值,并代入方程,再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f (x )范围,换元借助一元二次不等式即可得解.(1)由已知得f(3)=1,即log m3=1,则m=3,于是得f(x)=log3x,方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0,从而得f(x)=2或f(x)=−4,即log3x=2或log3x=−4,x=9或x=181,所以原方程的根为x=9或x=181;(2)依题意,函数f(x)=log3x中,x∈(13,9),从而得log3x∈(−1,2).又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0,令log3x=t,即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2),因此有-1,2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根,则a=2,所以实数a的值为2.20、已知f(x)=(log12x)2−2log12x+4,x∈[2 , 4].(1)设t=log12x,x∈[2 , 4],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的值域.答案:(1)最大值-1,最小值-2;(2)[7,12]解析:(1)t=log12x,x∈[2,4],可得t在x∈[2,4]上是减函数,即可得出.(2)f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t),可得g(t)在t∈[−2,−1]单调递减,即可得出值域.(1)t=log12x,x∈[2,4],∴t在x∈[2,4]上是减函数,∴x=2时t有最大值log122=−1;x=4时t有最小值log124=−2.(2)f(x)=t2−2t+4=(t−1)2+3=g(t),∴g(t)在t∈[−2,−1]单调递减,∴t=−2(即x=4),取得最大值,g(−2)=12.t=−1(即x=2),取得最小值,g(−1)=7.所以函数f(x)的值域[7,12].小提示:利用换元法求函数值域是常用的方法也是重要方法.。
高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算
4.1.1 实数指数幂及其运算课标解读课标要求核心素养1.理解n次方根及根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点)1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?答案这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±.1.有关幂的概念一般地,a n中的a 称为①底数,n称为②指数.2.根式的相关概念和性质(1)根式的概念:一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得x n=a,则③x称为a的n 次方根;当有意义的时候,④称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.(2)根式的性质:(i)()n=⑦a.(ii)=思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?提示a为正数:a为负数:零的n次方根为零,记为=0.3.分数指数幂(1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定=⑧;当没有意义时,称没有意义.(2)意义:分数指数幂正分数指数幂=(a>0),=()m =⑨负分数指数幂a-s =⑩(a s有意义且a≠0)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则:(i)前提:s,t为任意有理数.(ii)法则:a s a t=a s+t;(a s)t=a st;(ab)s=a s b s.思考2:分数指数幂的运算性质是什么?提示分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样.记忆分数指数幂的运算性质的口诀:乘相加,除相减,幂相乘.4.实数指数幂一般地,无理指数幂a t(a>0,t是无理数)是一个确定的实数,有理指数幂的运算性质对于无理指数幂同样适用.因此当a>0,t为任意实数时,实数指数幂a t 都有意义,对任意实数s和t,类似有理指数幂的运算法则仍然成立.探究一n次方根的化简与求值例1 (易错题)化简:(1);(2)()2++(a-1≥0).解析(1)=|3-π|=π-3.(2)原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1+a-1+1-a=a-1.易错点拨n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围n为奇数a∈Rn为偶数±[0,+∞)1.已知-3<x<3,求-的值.解析原式=-=|x-1|-|x+3|,∵-3<x<3,∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4,∴原式=探究二根式与指数幂的互化例2 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-=(-x(x>0)B.=(y<0)C.=(x>0)D.=-(x≠0)(2)用指数幂的形式表示(x>0,y>0).答案(1)C解析(1)A选项,-=-(x>0);B选项,=(y2=-(y<0);C选项,=(x-3=(x>0);D选项,=(x≠0).故C正确.(2)解法一:由里向外化为分数指数幂.===.解法二:由外向里化为分数指数幂.===·=.思维突破(1)记结论:=和==(a>0).(2)明途径:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.2.化简:(1)(a>0);(2)(2)(-6)÷(-3).解析(1)===(=.(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]·=4ab0=4a.探究三指数幂的化简与求值例3 已知x+x-1=3,求x2+x-2的值.解析∵(x+x-1)2=x2+x-2+2,∴x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7.思维突破式子中包含的指数互为相反数时,通常用平方法进行解决,平方后观察条件和结论的关系,变形求解即可.3.(1)(变结论)已知x+x-1=3,求x2-x-2的值.(2)(变条件)已知x-x-1=3,求x2+x-2的值.解析(1)由例3知x2+x-2=7,∴x4+x-4=47,∴(x2-x-2)2=x4-2+x-4=45,即x2-x-2=±3.(2)∵(x-x-1)2=x2+x-2-2=9,∴x2+x-2=11.1.下列各式正确的是( )A.=-3B.=aC.()3=-2D.=2答案 C2.已知a>0,则=( )A. B.C. D.答案 D =,则===.故选D.3.化简(a3÷()(a>0,b>0)结果为( )A.aB.bC.D.答案 A 原式=÷()==a.故选A.4.化简:(x>0,y>0)= .答案2x2y解析∵x>0,y>0,∴==(24·x8y4=2x2y.5.若10m=2,10n=3,则103m-n= .答案解析由已知得103m=(10m)3=23=8,∴103m-n==.逻辑推理——指数运算与均值不等式的应用已知a>0,b>0,若2a·2b=2,则ab的最大值是.审:由指数运算法则以及2a·2b=2,可得a+b=1,再根据均值不等式ab≤,当且仅当a=b时取得最大值得出答案.联:求积的最值,会联想到基本不等式,那就需要和为常数,这个和刚好由指数运算求得.解:∵函数g(x)=2x,且有g(a)·g(b)=2,∴①2=2a·2b=2a+b,∴a+b=1,∵a>0且b>0,∴②ab≤=,当且仅当a=b=时,ab取得最大值.思:从已知条件中解出字母的值,然后代入求值,这种方法一般是不可取的,应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值,体现了数据分析、逻辑推理的核心素养.设x∈R且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是( )A.2B.5C.6D.7答案 D ∵x+x-1=3,∴当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=72-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=472-2=2207,……则x2n+x-2n(n∈N*)的个位数字是7.——————————————课时达标训练—————————————1.计算:++(2019)0=( )A.6B.7C.8D.答案 B2.下列各式正确的是( )A.=aB.a0=1C.=-4D.=-π答案 D 对于A,当a为负数时等式不成立,故不正确;对于B,当a=0时,a0无意义,故不正确;对于C,=4,故不正确.故选D.3.若(3-2x有意义,则实数x的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.∪C. D.答案 C 要使(3-2x=有意义,需使3-2x>0,解得x<,即实数x的取值范围是.故选C.4.化简(2a-3)·(-3a-1b)÷(4a-4)=( )A.-b2B.b2C.-D.答案 A 原式==-b2.5.设α,β是方程2x2+3x+1=0的两根,则的值为( )A.8B.C.-8D.-答案 A 由题意可知α+β=-,则====8,故选A.6.(x>0)用分数指数幂表示为.答案解析=(x·=·=·==.7.化简:(1)π0+2-2×= ;(2)()4()4(a>0)= .答案(1)(2)a4解析(1)π0+2-2×=1+×=1+×=.(2)()4()4=()4()4=()4()4=a2×a2=a4.8.已知2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y= .答案27解析由2x=8y+1得2x=23y+3,所以x=3y+3,①由9y=3x-9得32y=3x-9,所以2y=x-9,②由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27.9.计算下列各式的值:(1)(×(÷;(2)2(×)6+(-4×-×80.25+(-2019)0.解析(1)原式=(×(1÷1=2-1×103×1=2-1×1=.(2)原式=2(×)6+(×-4×-×+1=2×22×33+2-7-2+1=210.10.(多选)下列各式中正确的是( )A.=n7B.=C.=(x+yD.=答案BD =n7m-7,A错误;==,B正确;=(x3+y3,C错误;=(=(=,D正确.故选BD.11.x=1+2b,y=1+2-b,则y=( )A. B.C. D.答案 D ∵x=1+2b,∴2b=x-1.∴y=1+2-b=1+==.12.化简(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)的结果是( )A.(1-)-1B.(1-)-1C.1-D.(1-)答案 B 因为(1+)(1-)=1-,故将原式化为分数形式,并且分子、分母同乘(1-),得原式===(1-)-1.故选B.13.已知实数x满足x2-3x+1=0,则x2+x-2= ;= .答案7;4解析因为实数x满足x2-3x+1=0,所以x2+1=3x,即x+x-1=3,两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7.又===x+x-1+1=4.14.若x>0,y>0,且x--2y=0,求的值.解析∵x--2y=0,x>0,y>0,∴()2--2()2=0,∴(+)(-2)=0,由x>0,y>0得+>0,∴-2=0,∴x=4y,∴==.15.若a,b,c为正实数,a x=b y=c z,++=0,则abc= .答案 1解析设a x=b y=c z=k,则k>0,则a=,b=,c=,因此abc===k0=1.16.已知实数x,y满足(x+2y)3+x3+2x+2y=0,则x+y-1= .答案-1解析因为(x+2y)3+x3+2x+2y=(2x+2y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2]+2(x+y)=2(x+y)[(x+2y)2-x(x+2y)+x2+1] =2(x+y)(x2+2xy+4y2+1)=2(x+y)[(x+y)2+3y2+1]=0,又易知(x+y)2+3y2+1>0,所以x+y=0,所以x+y-1=-1.。
第4章-4.3.3-对数函数的图象与性质高中数学必修第一册湘教版
子题 (2024·江苏省镇江市期初)设,, ,则( )
A
A. B. C. D.
两头凑思维模型
求什么想什么
要比较,,的大小,而,,且为,因此比较与,与 的大小即可.
【学会了吗丨变式题】
4.(2024·北京171中学调研)若函数在 上是增函数,则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
【解析】令,其图象的对称轴为直线,要使在 上是增函数,则应满足解得 .故选B.
例15 (2024·广东省江门市期末)已知,, ,则( )
B
A. B. C. D.
6.已知函数在间上总有,求实数 的取值范围.
【解析】, .当时,,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .当时,,即 . 对任意的, 恒成立,解得 .综上可得,实数的取值范围是 .
题型4 对数型复合函数的奇偶性
例17 已知函数 .
(1)若为奇函数,求 的值;
(2)在(1)的条件下,若在上的值域为,求, 的值.
高考帮丨核心素养聚焦
考向1 对数函数单调性的应用
例18(1) (2022·天津)已知,, ,则( )
C
A. B. C. D.
【解析】,,因为 在上为增函数,所以,故 .(【关键点】对于大小判断问题,很多时候会借助中间值0和1)
知识点2 指数函数与对数函数的图象与性质的比较
例2-2 已知函数,则 的定义域为________;值域为___.
【解析】由,且得 .又在上为增函数,(【破题点】增函数增函数 增函数)真数能取遍所有大于0的数,故值域为 .
例2-3 已知,且,则函数与 的图象可能是( )
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 一次函数与正比例函数
课堂检测
基础巩固题
4.已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=3. (1)写出y与x之间的函数关系式,并指出它是什么函数; (2)求x=2.5时,y的值.
解 :(1)设y=k(x-3), 把 x=4,y=3 代入上式,得 3= k(4-3), 解得 k=3, 所以y=3(x-3), 所以y=3x-9, y是x的一次函数. (2)当x=2.5时,y=3×2.5 - 9= -1.5.
一次函数的简单应用
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
吗?如果是,请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线,
所以BD= 1.x 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
2
B
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x,
4
2
即 h 3 x.
2
所以h是x的一次函数,且 k 3 ,b 0.
2
DC
课堂检测
拓广探索题
函数是一次函数
关系式为:y=kx+b (k,b为常数,k≠0)
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
函数是正比例函数
关系式为:y=kx (k为常数,k≠0)
探究新知
思考 一次函数的结构特征有哪些?
答:一次函数的结构特征: (1)k≠0 . (2)x 的次数是1. (3)常数项b可以为一切实数.
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件: 自变量是一次整式,一次项系数不为零; 2.判断一个函数是正比例函数的条件: 自变量是一次整式,一次项系数不为零, 常数项为零.
巩固练习
变式训练
下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案
湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案 4.1 正弦和余弦第1课时 正 弦1.理解并掌握锐角正弦的定义.2.在直角三角形中求锐角的正弦值.(重点)一、情境导入牛庄打算新建一个水站,在选择水泵时,必须知道水站(点A )与水面(BC )的高度(AB ).斜坡与水面所成的角(∠C )可以用量角器测出来,水管的长度(AC )也能直接量得.你能求出它的高度(AB )吗?二、合作探究探究点一:锐角的正弦的概念在Rt △ABC 中,∠C =90°,则sin B =( ) A.AC AB B.AB BC C.AB AC D.BC AB解析:由正弦的概念可得sin B =ACAB,故选A.方法总结:正确理解锐角的正弦的概念,在实际解题的过程中可以借助简单的图形帮助解题.探究点二:已知直角三角形的边求锐角的正弦值在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =3,BC =4,则sin A = W.解析:在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,∴斜边AC =AB 2+BC 2=32+42=5,∴sin A=BC AC =45,故填45. 方法总结:在直角三角形中,sin α=角α的对边斜边,在解题时运用勾股定理求出斜边,即可完成解答.探究点三:构造直角三角形求锐角的正弦值如图所示,P 为∠α的边OM 上的一点,且P 点的坐标为(3,4),则sin α的值是( )A.35B.45C.34D.43解析:过P 作P A ⊥x 轴,垂足为A ,则OA =3,P A =4,∴OP =OA 2+P A 2=5,∴sin α=P A OP =45,故选B. 方法总结:解此类题时,首先要根据已知条件构造出合适的直角三角形,然后利用正弦的定义求锐角的正弦.三、板书设计锐角的正弦⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧概念:在直角三角形中,锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦. 记作sin α,sin α=∠α的对边斜边性质:α确定的情况下,sin α为定值,与△ABC的大小无关基本题型⎩⎪⎨⎪⎧已知各条件在直角三角形中求正弦构造直角三角形求锐角的正弦值教学过程中,通过联系生活实例来引入新的知识,鼓励学生积极参与讨论,尝试发现生活中同类型的问题,在激发学习兴趣的同时快速切入主题.在合作探究环节用基础的练习帮助学生巩固基本概念,为下面的学习打下基础.4.1 正弦和余弦第1课时 正弦教学目标: 1、知识与技能:(1)使学生理解锐角正弦的定义。
高数(一)微积分第4章
第四章微分中值定理和导数的应用4.1 微分中值定理费马引理:设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义,并在可导,如果(或)则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔(Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点,使得函数f(x)在该点的导数等于零,即。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数,在[-1,3]上是否满足罗尔定理条件,若满足,求出它的驻点。
解满足在[-1,3]上连续,在(-1,3)上可导,且f(-1)=f(3)=0,∵,取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5),判断有几个实根,并指出这些根所在的区间。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点,使等式成立。
注意:与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。
2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3(教材162页习题4.1,3题(2)题)、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。
推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数。
例4(教材162页习题4.1,4题)、证明证设又,即,推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等,则f(x)与g(x)至多相差一个常数。
4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法:洛必达法则1、定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那么极限称为或型未定式。
例如,2、定理设(1)当x→0时,函数f(x)及F(x)都趋于零;(2)在a点的某临域内(点a本身可以除外),f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;(3)存在(或为无穷大);那么。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数:对数的运算课件新人教A版必修第一册
.
.
探索点一
对数的运算性质的应用
【例 1】
(1)若 lg2=a,lg3=b,则
+
+
A.
-+
+
C.
B.
=(
-+
+
D.
-+
+
+ -+ -+
解析:
=
=
=
.
+
+
log3645=
= =
=
=
.
-
-
-
方法规律
利用对数换底公式进行化简求值的原则和技巧
【跟踪训练】
3.变式练在例 2(2)的条件下,试用 a,b 表示 log310.
+
解:log310=
=
第四章
指数函数与对数函数
4.3
4.3.2
[学习目标]
对
数
对数的运算
1.经历推导对数的运算性质的过程,理解
对数的运算性质 . 知道用换底公式能将一般对数转化成自然
对数和常用对数.
2.能运用对数的运算性质进行化简、运算和证明以及解
决实际问题,从而提高分析问题、解决问题的能力,发展数学
运算素养.
一、对数的运算性质
+
答案:B
)
(2)求下列各式的值.
① lg 25+
+lg
+lg(2
);
②(lg 5)2+lg 2·lg 50.
解:①原式= ×2×lg 5+3+ lg
2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册
知识点二 比较大小
3.已知 log3 b<log3 a<log3 c,则( )
5
5
5
A.7a>7b>7c B.7b>7a>7c
C.7c>7b>7a D.7c>7a>7b
答案 B
解析 由于函数 y=log3 x 为减函数,因此由 log3 b<log3 a<log3 c 可得
5
5
5
5
b>a>c,又由于函数 y=7x 为增函数,所以 7b>7a>7c.
7.不等式
log1
2
x-12>-1
的解集是(
)
A.-32,52
B.-32,12∪12,52
C.-12,12∪12,52
D.-32,12∪12,2
答案 B
解析
由
log1
2
x-12=-log2x-12>-1,得
log2x-12<1=log22,即 0<x-12<2,即
-32<x<52,且 x≠12.
1-x 13.已知函数 f(x)=lg 1+x的定义域为(-1,1). (1)求 f20120+f-20120; (2)探究函数 f(x)的单调性,并证明.
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(-1,1),关于坐标原点对称,
1+x
1-x
且 f(-x)=lg 1-x=-lg 1+x=-f(x),
4.设 a=log2 3,b=30.01,c=ln 22,则(
)
A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较,a=log2 3>log21=0,b=30.01>0,c=ln
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现 教 术
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录
4.1
过
编写与调
4.2
参数传递
4.3
•ö‚G 设计 块
4.4
…D …D 结
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教学重点
Sub过程及Function过程的定义与调用 过程调用中数据的传递。
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利用过程的优点
大程序分成若干小过程,便于调试;
过程可使程序划分成离散的逻辑单元,每个单元都比无过程 的整个程序容易调试。
用户自定义的过程有4种: Sub 过程:无返回值 Function 过程:有返回值 “Property”保留字开始的为属性过程 “Event”保留字开始的事件过程
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事件过程
(1)窗体事件的语法 ) Private Sub Form_事件名 参数列表 事件名(参数列表 事件名 参数列表) 语句组> <语句组> End Sub (2)控件事件的语法 ) Private Sub 控件名 事件名 参数列表 控件名_事件名 参数列表) 事件名(参数列表 语句组> <语句组> End Sub
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编写一个计算矩形面积的Sub过程,然 过程, 例 编写一个计算矩形面积的 过程 后调用该过程计算矩形面积
Private Sub Form_Click() Dim a, b a = InputBox("请输入矩形的长") a = Val(a) b = InputBox("请输入矩形的宽") b = Val(b) recarea a, b End Sub Sub recarea(rlen, rwid) Dim area area = rlen * rwid MsgBox "矩形面积为" & area End Sub
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调用Function过程 调用 过程
调用形式如下: 调用形式如下: 函数名(实参列表) 函数名(实参列表) 说明: 说明: 在调用时实参和形参的数据类型、顺序、 在调用时实参和形参的数据类型、顺序、个数必 须匹配。函数调用只能出现在表达式中,其功能是求 须匹配。函数调用只能出现在表达式中, 得函数的返回值。 得函数的返回值。
Private Sub Swap(x%,y%) Dim temp% Temp=X X=Y Y=Temp End Sub
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例 编一个交换两个整型变量值的子过程
Private Sub Swap( X As Integer, Y As Integer) Dim temp As Integer Temp=X : X=Y : Y=Temp End Sub Private Sub command1_click() Dim a%,b% a=val(inputbox(“a=“)) b=val(inputbox(“b=“)) print “a=“;a,”b=“,b call swap(a,b) print “a=“;a,”b=“,b End Sub
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Function过程 过程
Sub过程不直接返回值,可以作为独立的基本语句调 用,而Function过程要返回一个值 格式如下:
[Static][Private][Public]Function 函数名 (参数表列 [As类型 函数名[ 参数表列 参数表列)] 类型] 类型
<语句块 语句块> 语句块 [函数名 表达式 函数名=表达式 函数名 表达式] [Exit Function] <语句块 语句块> 语句块 End Function
Private限定所编制的函数只限于在本窗体中被调用; Public声明该函数可以被其他窗体、模块调用;选项 Private是缺省值。Static声明函数名以及函数中声明的 局部变量都是静态变量。
参数的定义有2种形式:ByVal是按值传递的,过程调用时实 参的值不随形参的值变化而改变;缺省或ByRef是按地址传 递的,过程调用时实参的值随形参值的改变而改变。
s=1 For I = 1 To x s=s*In
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4.1.1 函数过程的编写与调用
在VB中,的Sub子过程分为:事件过程和通用过程,事 件过程由系统提供,发生某件事情(如Click、Load、 Change)时,做出相应的程序段。 在Visual Basic中可以使用两类通用过程,其中由 Sub…End Sub定义的过程叫做子过程或Sub过程,而 由Function…End Function定义的过程叫做函数过程 或Function过程,与Sub过程不同的是Function函数 过程将返回一个值 。
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Private Function Prime(n As Integer) As Boolean Prime( 函数名为prime,形参为n Dim k%,Yes As Boolean 函数名为prime,形参为n,由调用 Yes=True 处的实参向其传送需判断的数值。 For k = 2 To Int(Sqr(n)) Int(Sqr(n)) If n Mod k = 0 Then Yes=False : Exit For 函数返回值(函数名prime的值) 函数返回值(函数名prime的值) Next k 应为Boolean类型:n 应为Boolean类型:n是素数则 Prime = Yes End Function 返回True,否则返回False。 返回True,否则返回False。 Private Sub Form_Click() Form_Click() Dim a As Integer a = Val(InputBox(“输入一个正整数N=”)) Val(InputBox( 输入一个正整数N=” If prime(a) Then Print a;“是素数” a; 是素数” Else Print a;“不是素数” a; 不是素数” End If 编制函数过程,用于判断1 编制函数过程,用于判断1个整数是否是素数。 End Sub
程序中重复的段落放在单个过程中,可以调用。
一个程序中的过程,往往不必修改或只需稍作改动,便可以 成为另一个程序的构件,减少代码的重复。
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Private Sub Form_Click() Form_Click() Dim sum As Double, n As Integer, m As m ! Integer C= m = Val(InputBox("Enter data m :", Val(InputBox("Enter n!(m − n)! "Enter data", 15)) n = Val(InputBox("Enter data n :", Val(InputBox("Enter "Enter data", 10)) sum = fac(m) / (fac(n) * fac(m - n)) Form1.Print "sum="; sum Function fac(x As Integer) As Double End Sub Dim s As Double, I As Integer
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4.3.2 变量作用域
局部量 模块级量 全局量 局部量 在事件、函数、Sub过程中用Dim语句声明的变量(包 括数组),或用Const语句声明的符号常量是局部量。 局部量的作用域限于它们所在的过程,而不能被其他 过程引用。 它们是不同的变量,作用域限于各自所在的过程。
说明: 说明:
1)在函数体内,函数名可以当变量使用,函数的返回值就是通 )在函数体内,函数名可以当变量使用, 过对函数名的赋值语句来实现的, 过对函数名的赋值语句来实现的,在函数过程中至少要对函数名 赋值一次。 赋值一次。
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3)AS类型:是指函数返回值的类型,若省略,则函数 ) 是指函数返回值的类型, 是指函数返回值的类型 若省略, 返回变体类型值( 返回变体类型值(Variant)。 )。 4)Exit Function:表示退出函数过程,常常是与选择 表示退出函数过程, ) 表示退出函数过程 结构( 或 语句) 结构(If或Select Case语句)联用,即当满足一定 语句 联用, 条件时,退出函数过程。 条件时,退出函数过程。
传值是单向传递数据 传值是单向传递数据!
传地址则是双向传递数据 传地址则是双向传递数据
Private Sub CmdOK_Click() ! Dim a%,b% a = 10: b = 20 Swap1 a, b ‘传 值 Print "A1="; a, "B1="; b a = 10: b = 20 Swap2 a, b '传地址 Print "A2="; a, "B2="; b End Sub
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4.1.2 调用Sub过程 调用 过程
子过程的调用 参数列表] 子过程名(参数列表 参数列表) 子过程名 [参数列表 或 Call 子过程名 参数列表 参数列表 说明: 说明: 称为实参或实元, (1)参数列表称为实参或实元,它必须与形参保持个数相同, )参数列表称为实参或实元 它必须与形参保持个数相同, 位置与类型一一对应。 位置与类型一一对应。 (2)调用时把实参值传递给对应的形参。其中值传递(形参 )调用时把实参值传递给对应的形参。其中值传递( 前有ByVal说明)时实参的值不随形参的值变化而改变。而地址 说明) 前有 说明 时实参的值不随形参的值变化而改变。 传递时实参的值随形参值的改变而改变。 传递时实参的值随形参值的改变而改变。 (3)当参数是数组时,形参与实参在参数声明时应省略其维 )当参数是数组时,形参与实参在参数声明时应省略其维 但括号不能省。 数,但括号不能省。 关键字时, (4)调用子过程的形式有两种,用Call关键字时,实参必须 )调用子过程的形式有两种, 关键字时 加圆括号括起,反之则实参之间用“ 分隔。 加圆括号括起,反之则实参之间用“,”分隔。 调用上面定义的Swap子过程的形式: 子过程的形式: 例:调用上面定义的 子过程的形式 Swap a,b Call Swap(a,b) 1