2018届河北省邯郸市高三第一次模拟考试数学(文)试题(word)

2018届河北省邯郸市高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1z i =-+，则22z z z+=+（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 2.若向量(21,)m k k =-与向量(4,1)n =共线，则m n ⋅=（ ） A ．0 B ．4 C ．92-D ．172- 3.已知集合2{|142}A x x =<-≤，{|23}B x x =>，则A B =（ ）A ．[2,)+∞B ．(3,2][2,)--+∞C ．(2,)+∞D ．[3,2)(2,)--+∞4.函数()cos()6f x x ππ=-的图象的对称轴方程为（ ）A ．2()3x k k Z =+∈ B ．1()3x k k Z =+∈ C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1()3x k k Z =-∈5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46. 若函数221,1()1,1xx f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,3]B ．[2,)+∞C ．[1,3]D ．[1,)+∞7.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2log q =（ ） A ．14 B ．14- C ．18 D ．18-8.若sin()3sin()αβπαβ+=-+，,(0,)2παβ∈，则tan tan αβ=（ ） A ．2 B ．12 C ．3 D ．139.设双曲线Ω：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，Q （P 在Ω的右支上），使得2122PQ PF PF +=，O 为坐标原点，且POQ ∆为正三角形，则Ω的离心率为（ ） A ．62 B ．52C ．6D ．5 10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.若函数()ln f x x在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数.下列函数中为P 函数的序号为（ ） ①()1f x = ②()x f x = ③1()f x x= ④()f x x =A ．①②④B ．①③C ．①③④D ．②③12.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径17R H =，则22H PA =（ ） A ．2939 B ．3239 C ．3439 D ．3539第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为 ．14.若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm= ． 15. 已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T = ．16.若曲线2log (2)(2)xy m x =->上至少存在一点与直线1y x =+上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =.（1）求b ；（2）证明：ABC ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）； （2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）； （3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱11A B 的中点，E 在棱1BB 上，13B E BE =，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN =.F 在棱1AA 上，且1A E DF ⊥.（1）证明：1A E ⊥平面1C DF ； （2）若433BM =，求三棱锥E AFN -的体积. 20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C . （1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q ，且26PQ =，求抛物线1C 的方程； （2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值. 21.已知函数2()3xf x e x =+，()91g x x =-. （1）求函数()4()x x xe x f x ϕ=+-的单调区间； （2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为233233x t t y t⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()413f x x x =-+--. （1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.高三数学详细参考答案（文科）一、选择题1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD二、填空题13.36π14. 8 15. 22(1)4n n n +++- 16. (2,4]三、解答题17.（1）解：∵sin 20sin ab C B =，∴20abc b =，即20ac =， 则222cos b a c ac B =+-1414068=-⨯=. （2）证明：∵20ac =，2241a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.若4a =，5c =，则2225643cos 2564A +-==⨯⨯，∴2cos 2cos 1cos 2B A A =-=，∴2B A =. 若5a =，4c =，同理可得2B C =.故ABC ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍. 18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++143813111=≈. （3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件. 在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为116P =， 获得5元的概率为216P =， 获得2元的概率为34263P ==. 19.（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥， 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D ⊥. 又1111A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E ⊥.易证1A E AD ⊥，又1ADC D D =，∴1A E ⊥平面1AC D .（2）解：连结1MB ，则11BB MB ⊥， ∵12BB =，433BM =，∴1233MB =. 又11MD A B ⊥，∴33MD =. 由（1）知1C D ⊥平面AEF ，∴N 到平面AEF 的距离313d DN ==+. 设1A EDF O =，∵1A E DF ⊥，∴111AOD A B E ∆∆，∵13B E BE =，∴11111B E A D A B A F =，∴1134A F =，∴143A F =. ∴E AFN N AEF V V --=1122323d =⨯⨯⨯⨯23236(1)9327+=⨯+=.20.（1）解：由212y x x py=+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122x x p +=，122x x p =-.∴211PQ =+2(2)4(2)26p p ⋅--=，∵0p >，∴1p =.故抛物线1C 的方程为22x y =.（2）证明：由2222y pxx py⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与22x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=. 由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与22y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=.由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得22(12)0k -=，∴212k =. 故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：12(2)2y p x p -=-， 从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，∴2BOC S p ∆=，23ABMS p ∆=，∴B O C ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222132p p p =-（为定值）. 21.解：（1）'()(2)(2)xx x e ϕ=--， 令'()0x ϕ=，得1ln 2x =，22x =； 令'()0x ϕ>，得ln 2x <或2x >； 令'()0x ϕ<，得ln 22x <<.故()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. （2）()()f x g x >. 证明如下：设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵'()329xh x e x =+-为增函数，∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈. 当0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <.∴min 0()()h x h x =0200391xe x x =+-+，又003290xe x +-=，∴00329x ex =-+，∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--.∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴min ()0h x >，()()f x g x >.22.解：（1）∵yt x =，∴233x y x =-，即3(2)y x =-，又0t >，∴2330x->，∴2x >或0x <，∴曲线M 的普通方程为3(2)y x =-（2x >或0x <）.∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=.（2）由223(2)40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=，∴11x =（舍去），23x =，则交点的直角坐标为(3,3)，极坐标为(23,)6π.23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示，直线2y kx =-过定点(0,2)C -， 当此直线经过点(4,0)B 时，12k =； 当此直线与直线AD 平行时，2k =-. 故由图可知，1(,2)[,)2k ∈-∞-+∞.。