_学年高中数学阶段质量检测(二)B卷新人教A版选修4_5

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高中数学第二讲讲明不等式的基本方法复习课学案新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学

第二讲讲明不等式的基本方法复习课学习目标 1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范．1．比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件．证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号．2．综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论．证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．3．分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．4．反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题．5．放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1 若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0.求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．证明 ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2－2(xy ＋yz ＋zx ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bax 2＋a by 2－2xy ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c by 2＋b cz 2－2yz ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ax －a b y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c by －b c z 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a cz －c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立．反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．跟踪训练1 设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2.证明 a 2m ＋b 2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn ≥0，∴a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2. 类型二综合法与分析法证明不等式例2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc，在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴要证原不等式成立，只需证1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．反思与感悟证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁．跟踪训练2 已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 证明方法一要证1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0，只需证1a －b ＋1b －c ＞1a －c. ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c＞0，∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c成立， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0成立．方法二 ∵a ＞b ＞c ， ∴a －c ＞a －b ＞0，b －c ＞0， ∴1a －b ＞1a －c ，1b －c ＞0， ∴1a －b ＋1b －c ＞1a －c ， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0. 类型三反证法证明不等式例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx<2中至少有一个成立．证明假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，则1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2或1＋y x<2中至少有一个成立．反思与感悟反证法的“三步曲”：(1)否定结论．(2)推出矛盾．(3)肯定结论．其核心是在否定结论的前提下推出矛盾．跟踪训练3 已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )＜f (b )＋f (－a )，求证：a ＜b .证明假设a ＜b 不成立，则a ＝b 或a ＞b .当a ＝b 时，－a ＝－b ，则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a ＞b 时，－a ＜－b ，由函数y ＝f (x )的单调性，可得f (a )＞f (b )，f (－b )＞f (－a )，于是有f (a )＋f (－b )＞f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a ＜b .类型四放缩法证明不等式例4 已知n ∈N ＋，求证：2(n ＋1－1)＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n .证明 ∵对k ∈N ＋，1≤k ≤n ，有 1k ＝22k＞2k ＋k ＋1＝2(k ＋1－k )，∴1k＞2(k ＋1－k )． ∴1＋12＋13＋…＋1n＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)．又∵对于k ∈N ＋，2≤k ≤n ，有 1k ＝22k＜2k ＋k －1＝2(k －k －1)，∴1＋12＋13＋…＋1n＜1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n －n －1)＝2n －1＜2n . ∴原不等式成立．反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法．放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的．跟踪训练4 设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证：|f (a )－f (b )|≤|a －b |. 证明 |f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1|， ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1，∴0≤a ＋b ≤2，－1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.1．已知p: ab ＞0，q ：b a ＋a b≥2，则p 与q 的关系是( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．以上答案都不对答案 C解析由ab ＞0，得b a ＞0，a b＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，又b a ＋a b≥2，则b a ，a b必为正数， ∴ab ＞0.2．实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝2，则( ) A ．a ，b ，c 都是正数 B ．a ，b ，c 都大于1 C ．a ，b ，c 都小于2D ．a ，b ，c 中至少有一个不小于12答案 D解析假设a ，b ，c 都小于12，则a ＋2b ＋c <2与a ＋2b ＋c ＝2矛盾． 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b 与c 比较：b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a 与c 比较：a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．证明∵(a＋b)(a n＋b n)－2(a n＋1＋b n＋1)＝a n＋1＋ab n＋ba n＋b n＋1－2a n＋1－2b n＋1＝a(b n－a n)＋b(a n－b n)＝(a－b)(b n－a n)．(1)若a＞b＞0，则b n－a n＜0，a－b＞0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(2)若b＞a＞0，则b n－a n＞0，a－b＜0，∴(a－b)(b n－a n)＜0.(3)若a＝b＞0，(b n－a n)(a－b)＝0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)(a n＋b n)≤2(a n＋1＋b n＋1)．1．比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号．2．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法．3．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4 (a≥0)，则P与Q的大小关系为( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析 ∵P 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2<Q 2，即P <Q .4．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0， ∴a ≥b .5．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R ，又A ，B 为三角形的内角， ∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B . 二、填空题7．lg9·lg11与1的大小关系是________．答案 lg9·lg11＜1 解析 ∵lg9＞0，lg11＞0，∴lg9·lg11＜lg9＋lg112＜lg992＜lg1002＝1.∴lg9·lg11＜1.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．用反证法证明“在△ABC 中，若∠A 是直角，则∠B 是锐角”时，应假设________．答案 ∠B 不是锐角解析 “∠B 是锐角”的否定是“∠B 不是锐角”．10．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1760解析设水池底长为x (x ＞0)m ，则宽为82x ＝4x(m)．水池造价y ＝82×120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ×2＋8x ×2×80＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋1 280＝1 760(元)，当且仅当x ＝2时取等号．三、解答题11．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明因为1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n(n ∈N ＋，n ≥2)，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)·n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n＜2. 所以原不等式得证．12．已知a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)(n ∈N ＋)，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 证明 ∵n (n ＋1)＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＞1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 又n (n ＋1)＜(n ＋1)＋n 2＝2n ＋12， ∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 2＋2n 2＜(n ＋1)22. ∴n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22. 四、探究与拓展13．已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，若a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，则等号成立的条件为________．答案 ay ＝bx解析 a 2x ＋b 2y －(a ＋b )2x ＋y＝a 2y (x ＋y )＋b 2x (x ＋y )－xy (a ＋b )2xy (x ＋y )＝(ay －bx )2xy (x ＋y )≥0，当且仅当ay ＝bx 时等号成立．14．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N ＋.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13. (1)解令n ＝1，得S 21－(－1)S 1－3×2＝0，即S 21＋S 1－6＝0，所以(S 1＋3)(S 1－2)＝0，因为S 1＞0，所以S 1＝2，即a 1＝2.(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，得(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0，因为a n ＞0(n ∈N ＋)，S n ＞0，从而S n ＋3＞0，所以S n ＝n 2＋n ，所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n (n ∈N ＋)．(3)证明设k ≥2，则1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＜1(2k －1)(2k ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1－12k ＋1，所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋1a 3(a 3＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜12×3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝16＋16－12(2n ＋1)＜13. 所以1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)＜13.。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高

第三讲柯西不等式与排序不等式（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2，即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋ac b的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋aca＋bcc＝a ＋c ＋b ＝6. 3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是() A.78215 B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是()A ．1B ．2C.116D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116.5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵(32＋42)≥2，即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β＝1，则α＋β等于( ) A.π2 B.3π4 C.π4 D.5π12解析：选A ∵(sin 2β＋cos 2β)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2.7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.3635D ．6解析：选 C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635.8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值X 围是( ) A ．B ．C ．D ．解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10，∴－10≤3x ＋2y ≤10.9．(某某高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选 C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则()A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1. 答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2，当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b＞0，∴xx ＋a ＞yy ＋b.答案：xx ＋a ＞yy ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ，由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2 ≤(a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －c a 2＋2b 2＋3c 2≤666.故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)≥132 ＝132 ＝132 ≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a＋a 2＋b 2a ＋b. 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0.于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2. 故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序原理知： a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b，将上面两个同向不等式相加，得2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥100n.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n 的最小值为100n.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1，故a 2＋b 2＋c 2≥114，当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.。

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式达标检测新人教A版选修4-5

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————第一讲不等式和绝对值不等式达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．小于等于0D ．大于等于0解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0， ∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c>0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0,0>b >－a ， ∴a >－b >b >－a . 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B ．2333C.323 D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2. 答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 解析：y ＝x －22x －2＋12x －2＝x －12＋1x －≤－21－x2·1－x＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立，所以a ＝0符合，可以排除A ，D. 取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B. 答案：B 8．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( )A ．－3≤x <32B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0.即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤3，|2x ＋1|>4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C.答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( ) A ．27 B ．54 C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27，此时其表面积为6×32＝54.故选 B. 答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1＝1－a 1＋a1－b1＋ba 2b2＝1＋a1＋bab＝2ab＋1，∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1. ∴ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9. 答案：D11．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立，所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≥4，或a ≤－1. 答案：A12．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，则m 的最大值是( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵a 2x ＋b 21－x ＝[a 2x ＋b 21－x][x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2－xx＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a 2－xx＝b 2x 1－x时等号成立．所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．解析：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为|x －12|＋|x ＋12|≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32 14．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是________．解析：因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a ＋b ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，所以xy ＝cd ，a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x y ＋y x＋2≥2x y ·yx＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，取等号．答案：415．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4. 答案：416. 下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c； ④若a 0，则c a >c b.其中正确命题有________．(填序号)解析：②不正确，因为0<c <1时，lg c <0.①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设x 、y 、z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2y 3z ≤1(当x2＝y ＝4z 时，取“＝”)．∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.18．(12分)已知ab ≠0，且a >b ，试比较1a 与1b的大小．解析：1a －1b ＝b －a ab，∵ab ≠0，a >b ，∴b －a <0，如果ab <0，b －a ab >0，∴1a >1b ，如果ab >0，b －a ab <0，∴1a <1b.19．(12分)解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解析：①当x >2时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2x －－x ＋⇒x >2.②当－3≤x ≤2时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2－x －－x ＋⇒－65<x ≤2.③当x <－3时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－3－x －＋x ＋⇒x <－12.综上所述知不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－65或x <－12.20．(12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.②由①，②结合不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2 ≥33b ×331b＝9，当a ＝b ＝1时，取等号．21．(13分)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上所述，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立．则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解析：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|. 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．。

2021-2022高二数学人教A版选修4-5同步练习：3.1 二维形式的柯西不等式 Word版含解析

A 组1.已知x+y=1,则x 4+y 4的最小值是( ) A .12 B .18 C .14D .1解析:由柯西不等式知(x 4+y 4)(12+12)≥(x 2+y 2)2,由于x+y=1,所以x 2+y 2≥(x+y )22≥12,所以x 4+y 4≥(x2+y 2)22=18,当且仅当x=12,y=12时,等号成立. 答案:B2.已知x+y=1,那么2x 2+3y 2的最小值是( ) A .56B .65C .2536D .3625解析:2x 2+3y 2=[(√2x )2+(√3y )2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6x+√6y )2=65(x+y )2=65. 当且仅当2x=3y ,即x=35,y=25时等号成立.答案:B3.函数y=√x -5+2√6-x 的最大值是( ) A.√3 B.√5 C.3 D.5 解析:依据柯西不等式,知y=1×√x -5+2×√6-x≤√12+22×√(√x -5)2+(√6-x )2=√5, 当且仅当√6-x =2√x -5,即x=265时,等号成立. 答案:B4.已知x ,y>0,且xy=1,则(1+1x )(1+1y)的最小值为 ( )A.4B.2C.1D.14解析:(1+1x )(1+1y)=[12+(√x )2][12+(√y )2]≥(1×1√x √y )2=(1+√xy )2=22=4,当且仅当x=y=1时等号成立. 答案:A5.已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A.√2 B.2 C.√3 D.3解析:2x+y=√2×√2x+1×y ≤√(√2)2+12×√(√2x )2+y 2=√3×√2x 2+y 2=√3,当且仅当√2y=√2x ,即x=y=√33时等号成立,即2x+y 取到最大值√3. 答案:C6.设a ,b ,m ,n ∈R ,且a 2+b 2=5,ma+nb=5,则√m 2+n 2的最小值为 . 解析:由柯西不等式,得(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(am+bn )2,即5(m 2+n 2)≥25,∴m 2+n 2≥5,当且仅当an=bm 时,等号成立. ∴√m 2+n 2的最小值为√5. 答案:√57.设实数x ,y 满足3x 2+2y 2≤6,则2x+y 的最大值为 . 解析:由柯西不等式,得(2x+y )2≤[(√3x )2+(√2y )2]·[(√3)2+(√2)2] =(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11. 当且仅当3x=4y ,即x=√11,y=√11时等号成立.因此2x+y 的最大值为√11.答案:√118.已知a √1-b 2+b √1-a 2=1,求证a 2+b 2=1.分析:利用柯西不等式,把式子进行调整、变形.证明:由柯西不等式,得(a √1-b 2+b √1-a 2)2≤[a 2+(1-a 2)]·[(1-b 2)+b 2]=1,当且仅当√1-a 2=√1-b 2a 时取等号.故ab=√1-a 2·√1-b 2,即a 2b 2=(1-a 2)·(1-b 2),于是a 2+b 2=1.9.大家分别用“综合法”“比较法”和“分析法”证明白不等式:已知a ,b ,c ,d 都是实数,且a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,则|ac+bd|≤1.这就是有名的柯西(A.-L.Cauchy,法国数学家、力学家)不等式当n=2时的特例,即(ac+bd )2≤(a 2+b 2)·(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 请用自然语言叙述柯西不等式,并用一种方法加以证明. 解:数学语言叙述柯西不等式:若a ,b ,c ,d ∈R ,则(ac+bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),等号当且仅当ad=bc 时成立. 二维形式的证明:(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2·c 2+b 2·d 2+a 2·d 2+b 2·c 2 =a 2·c 2+2abcd+b 2·d 2+a 2·d 2-2abcd+b 2·c 2 =(ac+bd )2+(ad-bc )2≥(ac+bd )2,当且仅当ad-bc=0,即ad=bc 时,等号成立. 10.已知θ为锐角,a ,b>0,求证(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. 证明:设m =(a cosθ,b sinθ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|a cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ|=|m ·n |≤|m ||n |=√(a cosθ)2+(bsinθ)2·√1 =√a 2cos 2θ+b 2sin 2θ,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时等号成立.∴(a+b )2≤a 2cos 2θ+b2sin 2θ. B 组1.假照实数m ,n ,x ,y 满足m 2+n 2=a ,x 2+y 2=b ,其中a ,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为( )A.a+b 2B.√abC.√a 2+b 22D.√a 2+b 22 解析:由柯西不等式,得(mx+ny )2≤(m 2+n 2)(x 2+y 2)=ab ,当m=n=√a 2,x=y=√b2时,mx+ny=√ab . 答案:B2.函数y=3√x -5+4√6-x 的最大值为 . 解析:∵y 2=(3√x -5+4√6-x )2≤(32+42)[(√x -5)2+(√6-x )2] =25(x-5+6-x )=25,当且仅当3√6-x =4√x -5,即x=13425时等号成立.∴函数y 的最大值为5.答案:53.已知a ,b ,m ,n 均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn )·(bm+an )的最小值为 . 解析:依据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )=(am+bn )(an+bm )≥(√am ·√an +√bn ·√bm )2=mn (a+b )2=2×1=2,当且仅当am an =bnbm ,即m=n=√2时,取得最小值2. 答案:24.函数y=√x -4+√25-5x 的最大值为 . 解析:∵y=√x -4+√25-5x ,∴y=1×√x -4+√5×√5-x≤√(1+5)(x -4+5-x )=√6( 当且仅当√5-x =√5·√x -4,即x=256时等号成立 ). 答案:√65.已知x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求1(x+y )2+1(x -y )2的最小值.解:令u=x+y ,v=x-y ,则x=u+v 2,y=u -v2.∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8,∴u 2+v 2=4.由柯西不等式,得(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4,当且仅当u 2=v 2=2,即x=±√2,y=0,或x=0,y=±√2时,1(x+y )2+1(x -y )2的最小值是1.6.(2021陕西高考)已知关于x 的不等式|x+a|<b 的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a ,b 的值;(2)求√at +12+√bt 的最大值. 解:(1)由|x+a|<b ,得-b-a<x<b-a ,则{-b -a =2,b -a =4,解得a=-3,b=1. (2)√-3t +12+√t =√3√4-t +√t≤√[(√3)2+12][(√4-t )2+(√t )2]=2√4-t +t =4,当且仅当√4-t√3=√t1,即t=1时等号成立. 故(√-3t +12+√t )max =4.7.已知x ∈(0,π2),试求函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 的最大值,并求出相应的x 的正弦值.解:设m =(3,4),n =(cos x ,√1+sin 2x ),则f (x )=3cos x+4√1+sin 2x =m ·n =|m ·n |≤|m ||n | =√32+42×√cos 2x +1+sin 2x =5√2, 当且仅当m ∥n 时取等号,此时,3√1+sin 2x =4cos x ,∴sin x=√75. ∴当sin x=√75时,函数f (x )=3cos x+4√1+sin 2x 取最大值5√2.。

人教版数学高二A版选修4-5第一讲等式和绝对值不等式单元检测(B)

第一讲等式和绝对值不等式单元检测(B)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．函数y ＝x 2＋3x (x ＞0)的最小值是( )．A B ．32 C D 2．设6＜a ＜10，2a≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )．A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜303．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ＜－1B ．|a |≤1C ．|a |＜1D ．a ≥14．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c;②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c ＞b ·2c ；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则>cca b .其中，正确命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．函数2y 的最小值是( )．A ．2B ．4C ．1D ．6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于( )．A ．8B ．2C ．－4D ．－87．当π0<<2x 时，函数21cos28sin ()sin2x xf x x ＋＋＝的最小值为( )．A ．2B ．C ．4D ．8．若正实数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是( )．A ．[9，＋∞)B ．[6，＋∞)C ．(6，＋∞)D ．(9，＋∞)9．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为()． A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．设a ＞0，b ＞0是3a 与3b 的等比中项，则11a b ＋的最小值为( )．A ．8B ．4C ．1D ．14二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|＜a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________．12．定义运算：x x y x y y x y ≤⎛⋅ >⎝，，＝，，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是________． 13．函数422331x x y x ＋＋＝＋的最小值为__________． 14．不等式|1|1|2|x x ≥＋＋的解集为________．三、解答题(本大题共4小题，15,16,17小题每小题12分，18小题14分，共50分)15．设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1231119a a a m≥＋＋. 16．设a ≥b ＞0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17．已知m ∈R ，解关于x 的不等式：1－x ≤|x －m |≤1＋x .18．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1. 答案：A解析：2233322y x x x x x ≥＝＋＝＋＋，当232x x＝，即x 时，等号成立． 2. 答案：A解析：因为2a ≤b ≤2a ，所以32a ≤a ＋b ≤3a. 又因为6＜a ＜10，所以32a ＞9,3a ＜30. 所以9＜32a ≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30. 3. 答案：B解析：当x ＞0时，a ≤||x x ＝1，当x ＜0时，a ≥||x x＝－1． 4. 答案：C解析：①正确，因为c＞1，lg c＞0；②不正确，因为0＜c＜1时，lg c＜0；③正确，因为2c＞0；④正确，因为由a＜b＜0，得110>>a b.5.答案：B解析：设tt≥，于是21 y tt＋＋，因为当t≥时，函数1y tt＝＋单调递增，所以miny＝.6.答案：C解析：由|ax＋2|＜6⇒－8＜ax＜4.当a＞0时，84<<xa a-.∵解集是(－1,2)，∴8142.aa⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝解得82aa⎧⎨⎩＝，＝，两值矛盾．当a＜0时，48<<xa a-.由4182aa⎧--⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝，＝解得a＝－4.7.答案：C解析：∵π0<<2x，∴tan x＞0.∴2222cos8sin14tan1 ()4tan 42sin cos tan tanx x xf x xx x x x≥＋＋＝＝＝＋，当且仅当14tantanxx＝，即1tan2x＝时，等号成立．8.答案：B解析：∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝ab－3≤232a b⎛⎫⎪⎝⎭＋－，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴a ＋b 的取值范围[6，＋∞)．9. 答案：A解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立，所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≥4，或a ≤－1．10. 答案：B解析：因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1，1111()a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝＋＋2224b a baa b a b ≥⋅＝＋＋＋＝，当且仅当baa b ＝，即12a b ＝＝时，“＝”号成立．11. 答案：(－1，＋∞)解析：∵||x －3|－|x －4||≤|x －3＋4－x |＝1，∴|x －3|－|x －4|的最小值是－1．∴a ＞－1．12. 答案：12m ≥解析：依题意，有|m －1|≤m ，∴－m ≤m －1≤m .∴12m ≥.13. 答案：3解析：42222223311111x x x x y x x ()()＋＋＋＋＋＋＝＝＋＋＝x 2＋1＋211x ＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x 2＋1＝211x ＋，即x ＝0时，等号成立．14. 答案：322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且解析：|1|1|2|x x ≥＋＋|1||2|20x x x ≥⎧⎨≠⎩＋＋＋22122x x x ⎧()≥()⎨≠-⎩＋＋，322.x x ⎧≤-⎪⎨⎪≠-⎩，∴原不等式的解集为322x x x ⎧⎫≤-≠-⎨⎬⎭⎩，且 15. 证明：123111a a a ＋＋ 1231231111()a a a m a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋＋ 33122121323113a a a a a a m a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝＋＋＋＋＋＋ ≥1m (3＋2＋2＋2)＝9m，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝3m 时，等号成立． 16. 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2＞0.从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0.即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.17. 解：原不等式等价于11x m x x m x m x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋或11x m x m x m x x <⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，－－，－＋，即121x m m x m ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪≥-⎪⎩，＋，①或121.x m m x m <⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，－，② 由①得1m x <⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或1.m x m ≥⎧⎨≥⎩，由②得1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或11.2m m x m ≥⎧⎪⎨≤<⎪⎩，－即1m x <-⎧⎨∈∅⎩，，或1112m m x -≤<⎧⎪⎨≥⎪⎩，＋，或11.2m m x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，－综上所述，当m ＜－1时，解集为；当－1≤m＜1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭＋，；当m≥1时，解集为12m⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭－，.18.解法一：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以3135aa-⎧⎨⎩－＝，＋＝，解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝21,3, 5,32, 21, 2.x xxx x-<-⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩－＋所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．解法二：(1)同解法一．(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，则g(x)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．。

人教版数学高二A版选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式单元测试

《不等式和绝对值不等式》测评(时间90分钟，满分100分)10个小题；每小题4分，满分40分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab ＞2 D ．|a|－|b|＝|a －b|2．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x ＞1)的最小值为A ．－3B ．3C ．4D ．－43．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5a 7，则P 与Q 的大小关系是A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定4．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x>0，3－x 3＋x >|2－x 2＋x|的解集是A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)6．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于 A ．8 B ．2 C ．－4 D ．－87．若1＜1a ＜1b ，则下列结论中不正确的是A ．log a b ＞log b aB ．|log a b ＋log b a|＞2C ．(log b a )2＜1D ．|log a b|＋|log b a|＞|log a b ＋log b a| 8．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为A ．2B ．2 3C ．4D ．4 39．不等式|sinx ＋tanx|＜a 的解集为N ；不等式|sinx|＋|tanx|＜a 的解集为M ；则解集M 与N 的关系是A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ＝ND ．M N 10．下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc; ②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ； ③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c; ④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb .其中，正确命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答题栏题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)11．不等式|x|＞2x －1的解集为______． 12．定义运算x·y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤y )，y (x>y )，若|m －1|·m ＝|m －1|，则m 的取值范围是______．13．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图象经过A (－4,1)，B (0，－1)两点，f (x )的反函数是f －1(x )，则f －1(1)的值是______；不等式|f (x －2)|＜1的解集是______．14．已知α，β是实数，给出下列四个论断： ①|α＋β|＝|α|＋|β|； ②|α－β|≤|α＋β|； ③|α|＞22，|β|＞22； ④|α·β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________________________．15．已知不等式|x －3|＜12(x ＋a )的解集为A ，且A ≠∅，则a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共5个小题，每小题8分，共40分) 16．2008海南、宁夏高考，24 已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象； (2)解不等式|x －8|－|x －4|＞2.17．设关于x 的不等式lg (|x ＋3|＋|x －7|)＞a. (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R?18．若a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c .19．已知函数f(x)＝2x －1的反函数为y ＝f －1(x)． (1)求不等式2f －1(x)－log 2(1－x)≥0的解集P ；(2)若对(1)中的解集P ，当x ∈P 时，总有f －1(x)－log 2(1－x)≥t 成立，求t 的取值范围．20．如下图所示，电灯挂在圆桌的正中央上方．假定它与桌面上A 点的水平距离是a ，那么，电灯距离桌面的高度h 等于多少时，A 点处最亮？(亮度公式I ＝kr 2sinθ，这里k 是常数，r 是电灯到照射点的距离，θ是照射到某点的光线与水平平面所成的角．)参考答案1．D 解析：方法一(特殊值法)：令a ＝－1，b ＝－2，代入A 、B 、C 、D 中，知D 不正确，故选D.方法二：由1a ＜1b ＜0，得b ＜a ＜0，所以b 2＞ab ，ab ＞a 2，故A 、B 正确．又由b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，得b a ＋ab ＞2正确．从而A 、B 、C 均正确，对于D ，由b ＜a ＜0⇒|a|＜|b|. 即|a|－|b|＜0，而|a －b|≥0，故D 错． 2．B 解析：x ＞1⇒x －1＞0，y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.3．A 解析：由等比知识，得Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9，而P ＝a 3＋a 92，且a 3＞0，a 9＞0，a 3≠a 9.∴a 3＋a 92＞a 3·a 9，即P ＞Q. 4．A 解析：因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a.又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30.即9＜c ＜30.5．C 解析：用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与|2－x 2＋x|取“＝”，∵6＜52，故否定B.6．C 解析：由|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a.∵解集是(－1,2)，∴⎩⎨⎧－8a ＝－1，4a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，a ＝2，两值矛盾．当a ＜0时，4a ＜x ＜－8a.由⎩⎨⎧4a ＝－1，－8a ＝2⇒a ＝－4.7．D 解析：方法一(特殊值法)：由1＜1a ＜1b ，知0＜b ＜a ＜1.令a ＝12，b ＝14，则log a b ＝2，log b a ＝12.可判定A 、B 、C 均正确；D 不正确，故选D. 方法二：由1＜1a ＜1b ，得0＜b ＜a ＜1.∴log a b ＞log a a ＝1,0＜log b a ＜log b b ＝1. ∴A 、B 、C 选项正确．由绝对值不等式性质，知|log a b|＋|log b a|＝|log a b ＋log b a|，故D 不正确． 8．C 解析：方法一：f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sinxcosx ＝1＋4tan 2x tanx ＝4tanx ＋1tanx ≥4.这里tanx ＞0且tanx ＝12时取等号，故选C.方法二：f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x ＝5－3cos2xsin2x (0＜2x ＜π)．令μ＝5－3cos2xsin2x ，有μsin2x ＋3cos2x ＝5.μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5， ∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9. ∴|5μ2＋9|≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4. 又μ＞0，故选C.9．B 解析：|sinx ＋tanx|≤|sinx|＋|tanx|，则M ⊆N(当a ≤0时，M ＝N ＝∅)，故选B.10．C 解析：①正确，∵c ＞1，lgc ＞0；②不正确；∵0＜c ＜1时，lgc ＜0；③正确，∵2c ＞0；④正确，∵a ＜b ＜0⇒0＞1a ＞1b.11．{x|x ＜1或x ＞2} 解析：方法一：当x ＜1时，2x －1＜0，不等式成立．当x ＞1时，原不等式化为x ＞2x －1，即x －2x －1＞0，x 2－x －2x －1＞0， (x －2)(x ＋1)x －1＞0，得－1＜x ＜1或x ＞2.故原不等式的解集为{x|x ＜1或x ＞2}．方法二：|x|＞2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x>2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x<21－x ，x<0.解得x ＜1或x ＞2.12．m ≥12 解析：依题意，有|m －1|≤m ⇔－m ≤m －1≤m ⇔m ≥12.13．－4 {x|－2＜x ＜2} 解析：由互为反函数的对称性，知f －1(1)＝－4.|f(x －2)|＜1⇒－1＜f(x －2)＜1.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，所以－4＜x －2＜0，得－2＜x ＜2.14．①③⇒②④或②③⇒①④(写一个即可)解析：①③成立时，|α＋β|＝|α|＋|β|＞42＞5，∴④成立．又由①，知αβ＞0，∴|α－β|≤|α＋β|成立，即②成立，同理②③⇒①④.15．a ＞－3 解析：∵A ≠∅，∴|x －3|＜12(x ＋a)⇒－12(x ＋a)＜x －3＜12(x ＋a)⇒6－a 3＜x＜6＋a.∴6－a3＜6＋a.解得a ＞－3.16．解：(1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4<x ≤8，－4，x>8.图象如下：(2)不等式|x －8|－|x －4|＞2，即f(x)＞2，由－2x ＋12＝2得x ＝5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．17．解：(1)当a ＝1时，原不等式可变为|x ＋3|＋|x －7|＞10，可得其解集为{x|x ＜－3，或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|)≥lg10＝1对任何x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时，对任何x ∈R 都成立．18．证明：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0， ∴(a －c)(1a －b ＋1b －c)＝[(a －b)＋(b －c)](1a －b ＋1b －c )≥2(a －b)(b －c)×21a －b ×1b －c＝4. 当且仅当a ＋c ＝2b 时，等号成立． ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 19．解：(1)由y ＝2x －1，得y ＋1＝2x ， ∴f －1(x)＝log 2(x ＋1)．由2f －1(x)－log 2(1－x)≥0，得2log 2(1＋x)－log 2(1－x)≥0. ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，1－x>0，(1＋x)2≥1－x.解得0≤x ＜1， ∴P ＝{x|0≤x ＜1}．(2)∵x ∈P 时，恒有t ≤f －1(x)－log 2(1－x)成立，即t ≤log 2(1＋x)－log 2(1－x)＝log 21＋x 1－x (0≤x ＜1)，∴－1＜－x ≤0,0＜1－x ≤1,1＋x ＜2， ∴21－x ≥2，21－x －1≥1，即1＋x 1－x≥1， ∴log 21＋x 1－x ≥0，∴log 21＋x 1－x的最小值为0.∵t ≤f －1(x)－log 2(1－x)在[0,1)上恒成立， ∴t 的取值范围是{t|t ≤0}．20．解：设照射到A 点处的光线与桌面所成的角为x ，从图中可以看出，r ＝acosx，因此，A 点处的亮度I ＝k ×1a 2sinxcos 2x ，I 取最大值的问题可化为I 2取最大值的问题，由于I 2＝k 2a 4sin 2xcos 4x ，这里k 2a 4是一个常数，所以只需讨论函数sin 2xcos 4x 在何时取得最大值．因为sin 2xcos 4x ＝4sin 2x·cos 2x 2·cos 2x 2≤4[sin 2x ＋cos 2x 2＋cos 2x23]3＝427，当且仅当sin 2x ＝cos 2x 2，即tanx＝12时，等号成立，因此，当h ＝atanx ＝a 2＝22a 时，I 取得最大值，即A 点最亮．答：把电灯挂在距离桌面22a 的高度时，A 点最亮.。

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法达标检测新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试

第二讲讲明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理．答案：B2．已知a >2，b >2，则有( ) A ．ab ≥a ＋b B ．ab ≤a ＋b C ．ab >a ＋b D ．ab <a ＋b解析：作商比较法.a ＋b ab ＝1b ＋1a，又a >2，b >2， ∴1a <12，1b <12，∴a ＋b ab <12＋12＝1. 答案：C3．用反证法证明命题“如果a 3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a >3bD ．3a ＝3b 或3a <3b解析：3a 与3b 的大小关系包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b ， ∴应假设的内容为3a ＝3b 或3a <3b . 答案：D4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b C ．c >b >aD ．a >c >b解析：∵c －b ＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 由题中两式相减，得b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a . 答案：A5．已知a >b >c >0，A ＝a 2a b 2b c 2c，B ＝a b ＋c b c ＋a c a ＋b，则A 与B 的大小关系是( )A ．A >B B ．A <BC ．A ＝BD ．不确定解析：∵a >b >c >0，∴A >0，B >0.∴A B ＝a a a a b b b b c c c c a b a c b c b a c a cb ＝a a －b a a －c b b －c b b －a c c －a c c －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c .∵a >b >0，∴a b>1，a －b >0. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b >1. 同理⎝ ⎛⎭⎪⎫b cb －c >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c >1.∴A B>1，∴A >B . 答案：A6．若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 解析：∵y ＝3x在R 上是增函数，且0<x <y <1， ∴3x<3y，故A 错误．∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 3x <log 3y <log 3 1＝0，∴0>1log 3x >1log 3y ，∴log x 3>log y 3，故B 错误．∵y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数且0<x <y <1， ∴log 4x <log 4y ，故C 正确．∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在R 上是减函数，且0<x <y <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，故D 错误．答案：C7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是( )A ．a ，b ，c 全为正数B ．a ，b ，c 全为非负实数C ．a ＋b ＋c ≥0D ．a ＋b ＋c >0解析：a 3＋b 3＋c 3－3abc ＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0.∴a 3＋b 3＋c 3－3abc ≥0⇔a ＋b ＋c ≥0. 答案：C8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D ．243解析：3a＋3b≥23a·3b＝2·3a ＋b＝2×3＝6(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．答案：B9．要使3a －3b <3a －b 成立，a ，b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >b C ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a 0时，有3b <3a ，即b <a . 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a . 答案：D10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.则ac ＋bd 的X 围为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,2) C ．(－1,3]D ．(1,2]解析：因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22＝1.所以－1≤ac ＋bd ≤1. 答案：A11．在△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则B 适合的条件是( ) A ．0<B ≤π4B ．0<B ≤π3C ．0<B ≤π2D ．π2<B <π解析：∵b ＝a ＋c2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2－2ac ＋3c 28ac＝3a 8c ＋3c 8a －14≥2·38－14＝12， ∵余弦函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数，∴0N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α，∴|sin α|<|cos α|， ∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M ，排除A 、B 、C ，故选D 项．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________．解析：a －b ＝3－2－6＋5＝3＋5－(2＋6)，而(3＋5)2＝8＋215，(2＋6)2＝8＋212， ∴3＋5>2＋ 6.∴a －b >0，即a >b . 同理可得b >c .∴a >b >c . 答案：a >b >c14．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是________．解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”．答案：三角形中至少有两个内角是钝角 15．已知a ，b ，c ，d 都为正数，且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则S 的取值X 围是________．解析：由放缩法，得aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；da ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b.以上四个不等式相加，得1<S <2. 答案：(1,2)16. 请补全用分析法证明不等式“ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2”时的推论过程：要证明ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2，①______________________________________________________________，只要证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，即要证：a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，即要证：a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd .②________________________________________________________________. 解析：对于①只有当ac ＋bd ≥0时，两边才能平方，对于②只要接着往下证即可．答案：①因为当ac ＋bd ≤0时，命题显然成立，所以当ac ＋bd ≥0时 ②∵(ab －bc )2≥0，∴a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴命题成立三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ；将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ， ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．18．(12分)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ，即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 19．(12分)已知a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b 的大小．解析：∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0. 又∵a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a ＋ba 2＋b 2a －b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1， ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 20．(12分)若0<a <2,01，(2－b )c >1，(2－c )a >1那么2－a＋b2≥2－a b>1，①同理2－b＋c2>1，②2－c＋a2>1，③由①＋②＋③得3>3，上式显然是错误的，∴该假设不成立，∴(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同时大于1.21．(13分)求证：2(n＋1－1)<1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N＋)．证明：∵1k>2k＋k＋1＝2(k＋1－k)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n>2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)] ＝2(n＋1－1)．又1k<2k＋k－1＝2(k－k－1)，k∈N＋，∴1＋12＋13＋…＋1n<1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)] ＝1＋2(n－1)＝2n－1<2n.故原不等式成立．22．(13分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设＝a2n·b n，证明当n≥3时，＋1<.解析：(1)∵S n＝2n2＋2n，∴当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋2(n－1)，∴a n＝S n－S n－1＝4n(n≥2)．当n ＝1时，S 1＝4，符合上式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .又∵T n ＝2－b n ，∴当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝2－b n ＋b n －1－2，即2b n ＝b n －1. ∴b n b n －1＝12. 而T 1＝b 1＝2－b 1，∴b 1＝1.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)证明：由(1)，知＝(4n )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝16n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴＋1＝16(n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴＋1＝16n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 16n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2.当n ≥3时，1＋1n ≤43<2，∴＋1<12×(2)2＝1，又由＝a 2n ·b n 可知，＋1和均大于0， ∴＋1<.。

高中数学阶段质量检测(一)(含解析)新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题

阶段质量检测（一）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若角α的终边经过点P (－1,3)，则tan α的值为( ) A ．－13 B ．－3C ．－1010 D.31010解析：选B 由定义，若角α的终边经过点P (－1,3)，∴tan α＝－3.故选B. 2．若sin α＝33，π2<α<π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A ．－63 B ．－12C.12 D.63解析：选A ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，又π2<α<π，sin α＝33，∴cos α＝－63. 3．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1C.2π3D ．3 解析：选B 弧长l ＝3r －2r ＝r ，则圆心角α＝lr＝1.4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的对称轴为x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋3π4，当k ＝－1时，则其中一条对称轴为x ＝－π4.5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 解析：选D 周期为π，排除A ，B ；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数，所以选D.6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：选C 令k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z ，选C.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 解析：选C ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.8．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选B 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos π2－2x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos2x －π3.故选B.9．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( )A.32 B ．2C ．0 D.34解析：选A f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12.当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14；当sin x ＝12时，f (x )max ＝54，∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32.10．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数． A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选B 依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.11.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 解析：选C 由图象可知A ＝2，因为π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π4，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4＝1，又|φ|<π，解得φ＝3π4.故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 12．函数f (x )＝A sin ωx (ω>0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于( )A ．aB ．2aC ．3aD ．4a解析：选A 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )，即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知tan α＝－3，π2<α<π，那么cos α－sin α的值是________．解析：因为π2<α<π，所以cos α<0，sin α>0，所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12.sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.答案：－1＋3214．函数f (sin x )＝cos 2x ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．解析：令sin x ＝12，得x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π3＝12. 答案：1215．定义运算a *b 为a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a >b ，例如1*2=1，则函数f （x ）=sin x *cos x的值域为________．解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数的图象可得其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 16．给出下列4个命题：①函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π2；②直线x ＝7π12是函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一条对称轴；③若sin α＋cos α＝－15，且α为第二象限角，则tan α＝－34；④函数y ＝cos(2－3x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是π，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x ＝7π12时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3×7π12－π4＝2sin 3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sin α＋cos α)2＝125得2sin αcos α＝－2425，α为第二象限角，所以sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以tan α＝－34，故③正确．对于④，函数y ＝cos(2－3x )的最小正周期为2π3，而区间⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3长度73>2π3，显然④错误．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知tan α＋1tan α＝52，求2sin 2(3π－α)－3cos π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2的值．解：tan α＋1tan α＝52，即2tan 2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝12或tan α＝2.2sin 2(3π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos α＋2 ＝2sin 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＋2. 当tan α＝12时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－3×12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝－45＋2＝65；当tan α＝2时，原式＝2×22－3×222＋1＋2＝25＋2＝125. 18．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2(2)令2k π－π2≤13x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，所以2k π－π3≤13x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，解得6k π－π≤x ≤2π＋6k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的单调递增区间为[6k π－π，2π＋6k π]，k ∈Z .19．(12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)写出f (x )的值域、最小正周期、对称轴，单调区间．解：(1)列表如下：x －π4 π4 3π4 5π4 7π4 x ＋π4π2 π3π2 2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π40 10 －13sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 0 3 0 －3 0描点画图如图所示．(2)由图可知，值域为[－3,3]，最小正周期为2π，对称轴为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．20．(12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合．解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，所以当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6是增函数，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . (3)由y ≥1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，所以π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，所以y ≥1时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z .21．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 的图象与x 轴有两个交点，某某数m 的取值X 围．解：(1)由题意，A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又因为－π<φ<π，所以φ＝π3.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋2k π≤2x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，则π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个根．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.所以m ∈[33＋1,7)．22．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω>0,0<φ<π)的图象两相邻对称轴之间的距离是π2.若将f (x )的图象先向右平移π6个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象对应的函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间；(3)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又因为函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0<φ<π，所以φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得对称轴为直线x ＝π12＋k π2，k ∈Z .令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，令2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .(3)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以－3≤f (x )≤1－3，所以－1－3≤f (x )－1≤－ 3.因为f 2(x )－(2＋m )f (x )＋2＋m ≤0恒成立，整理可得m ≤1f x －1＋f (x )－1.由－1－3≤f (x )－1≤－3，得－1－332≤1f x －1＋f (x )－1≤－433，故m ≤－1－332，即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－1－332.。

高中数学第二章《平面向量》测试题B卷新人教A版必修4

高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝ (2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷参考答案一、选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误．5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ， OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈 a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】－1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】－2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解：以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·c os θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴cos α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)，由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2，所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。

高中数学第二讲讲明不等式的基本方法 2.2 分析法与综合法同步检测(含解析)新人教A版选修4-5

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2。

2分析法与综合法同步检测一、选择题1。

设a，b＞0,，，则A,B的大小关系是（）A。

A＝B B。

A＜B C。

A＞B D.大小不确定答案:C解析：【解答】用综合法:，所以.所以.又,，所以.【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是对所给关系式A,B两边平方作差比较即可.2。

下面对命题“函数是奇函数”的证明不是综合法的是A。

且x≠0有,则是奇函数B.且x≠0有，所以，则是奇函数C。

且x≠0，∵,∴，∴,则是奇函数D.取,，又,则是奇函数答案：D解析：【解答】D项中，选取特殊值进行证明，不是综合法。

【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据综合法的特征分析判断即可.3. 若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点,动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的( ）A。

外心 B。

内心 C。

重心 D。

垂心答案：B解析：【解答】∵，∴。

∴AP是△ABC中∠BAC的内角平分线，∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心【分析】本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是根据所给条件平行四边形法则得到AP是△ABC中∠BAC的内角平分线,证明问题。

人教A版人教版高二数学选修4-5同步练习：1-1不等式选讲练习1,2(无答案).docx

高中数学学习材料唐玲出品不等式选讲练习1一、选择题1．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是()A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}2．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，||f（x1）－f（x2）＜||x2－x1恒成立”的只有()A．f(x)＝1x B．f(x)＝|x|C．f(x)＝2x D．f(x)＝x23．(2013·淮安模拟)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A ⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥34．(2013·江门模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为()A．－2 B．2C．－1 D．15．(2013·许昌模拟)对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为()A．3 B．4C．5 D．66．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是()A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<|a|－|c|二、填空题7．已知a和b是任意非零实数，则|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为____________．8．(2013·黄冈中学训练题)已知不等式|x－3|≤x＋a2(a∈R)的解集为A，若A≠∅，则a 的取值范围是____________．9．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．10．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝____________．三、解答题11. 已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a的取值范围．12．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.13．(2013·郑州模拟)设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．不等式选讲练习21．(2013·鸡西模拟)若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值62．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1 B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定3．(2013·广东调研)已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．104．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6 5．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝（1a －1）（·1b －1）（1c－1）则必有( )A ．0≤M <18 B.18≤M <1 C ．1≤M <8 D ．M ≥86．(2014·黄冈模拟)若不等式t t 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤213，1 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤16，22 二、填空题7 .若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a 与b 的大小关系是________.8．若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z(x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________. 9．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为________．三、解答题11．(2014·茂名质检)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1) 若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .12. 已知a ，b 为实数，且a >0，b >0，c >0.证明：a 2＋b 2＋c 2＋2111()a b c++≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．13．(2013·南昌调研)已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 211()x y+恒成立，试求实数m 的取值范围或值．。

含多个绝对值的不等式的解法(人教A版选修4-5)

小结2：函数图像法解题步骤
1.构造函数 2.分段讨论去掉绝对值符号，写成分段函数 3.画出函数图像 4.观察图像，结合函数零点及不等号写出解集
小结3：利用绝对值的几何意义，先找边界值，再结合数轴观察求解
变式训练
三、自主练习
1．解不等式|x－1|＋|x－2|>5.
解析：方法一分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2 把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
(1)因为在x≤1的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，
|x－1|＋|x－2|>5⇔3－2x>5⇔2x<－2⇔x<－1.
变式训练
x≤1，因此不等式组的解集为(－∞，－1)． |x－1|＋|x－2|>5
(2)因为在 1<x<2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1. 所以当 1<x<2 时．不等式|x－1|＋|x－2|>5 无解． 1<x<2，因此不等式组的解集为∅. |x－1|＋|x－2|>5 (3)由于在 x≥2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3，所以当 x≥2 时，|x－1|＋|x－2|>5⇔2x－3>5⇔ a 0 a 0 a a 0
• 3.解绝对值不等式的关键是 • 4.去绝对值的常用方法有
二、新课教学
例1 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
小结1：零点分段讨论法的解题步骤 1.求零点，即求使各绝对值等于零的值，并按顺序标在数轴上，划分区间 2.分区间讨论，去掉绝对值符号并解不等式（组），得到每一区间上的解集 3.求每一区间所得解集的并集，即为原不等式的解集

高中数学阶段质量检测(二)数列(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

阶段质量检测(二) 数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( ) A ．11 2 B ．122C ．13 2 D ．14 2 解析：选C ∵a 1＝－2，d ＝2， ∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等差数列{}a n 中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{}a n 的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10， ∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列的公比为q ，由题意可知q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a 1＝62＝3，该数列的前6项和S 6＝3×1－261－2＝189.故选B.4．记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 解析：选B S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12， ∴d ＝3.5．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{}a n 的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.又当n ＝1时，a 1的值不适合n ≥2时的通项公式，故选C.6．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，则数列lg a 1,2lg a 2,22lga 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n＋1 D ．2n＋1解析：选C ∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，∴a 2n ＝102n，即a n ＝10n，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，② ∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴S n ＝(n －1)·2n＋1.7．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a 1＋a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 019＝( )A.4 0382 020B.4 0362 019C.4 0322 017D.4 0342 018解析：选A ∵a n ＋1－a n ＝n ＋1，a n －a n －1＝n －1＋1，…，a 2－a 1＝1＋1， ∴a n ＋1－a 1＝1＋n n 2＋n ，即a n ＋1＝nn ＋12＋n ＋1，∴a n ＝n n －12＋n ＝n n ＋12，1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 019＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12 019－12 020＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 020＝4 0382 020.故选A.8．设{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值解析：选C 由S 5＜S 6，得a 6＝S 6－S 5＞0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d ＜0. 由S 7＞S 8⇒a 8＜0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9 ＝2(a 7＋a 8)＜0，即S 9＜S 5.9．已知数列{}a n 中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n 2（n ＋1）D.2nn ＋1解析：选D 由已知得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1.∴数列{}a n 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴S n ＝n ＋n （n －1）2×1＝12n 2＋12n ，∴1S n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 10．等比数列{}a n 的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{}b n ，那么162是新数列{}b n 的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：选C 162是数列{}a n 的第5项，则它是新数列{}b n 的第5＋(5－1)×2＝13项． 11．设数列{}a n 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033.12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 018中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45 解析：选 B 1a n＝(n ＋1)n ＋n n ＋1＝n ＋1n ·(n ＋1＋n )＝n ＋1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－n ， a n ＝n ＋1－n n ＋1n ＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，问题等价于在2,3,4，…，2 019中有多少个数可以开方，设2≤x 2≤2 019且x ∈N ，因为442＝1 936,452＝2 025，所以2≤x ≤44且x ∈N ，共有43个．故选B.二、填空题13．数列{}a n 满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________．解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14.∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1514．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款________________元(参考数据：1.00811≈1.092,1.00812≈1.100,1.0811≈2.332,1.0812≈2.518)．解析：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款A n 元，则A 1＝2 000(1＋0.008)－x ＝2 000×1.008－x ，A 2＝(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ，…， A 12＝2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，因为A 12＝0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，解得x ＝ 2 000×1.008121＋1.008＋…＋1.00811＝2 000×1.008121.00812－11.008－1≈176，即每期应付款176元．答案：17615．数列{}a n 满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ＝______．解析：a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12.答案：－1216．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值X 围为________．解析：依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 三、解答题17．(本小题10分)等比数列{}a n 中，已知a 1＝2，a 4＝16， (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{}b n 的第3项和第5项，试求数列{}b n 的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{}a n 的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n. (2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{}b n 的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{}b n 的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n .18．(本小题12分)数列{}a n 的前n 项和为S n ，数列{}b n 中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，＝a n －1.(1)求证：数列{}是等比数列； (2)求数列{}b n 的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1, ②①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即＋1＝12，故数列{}是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴＝－12n ，a n ＝＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12，符合上式，∴b n ＝12n .19．(本小题12分)X 先生2018年年底购买了一辆1.6 L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇(指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中)的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林．科学研究表明：轿车每行驶3 000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳．(1)X 先生估计第一年(即2019年)会用车1.2万公里，以后逐年会增加1 000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？(2)若种植的林木第一年(即2019年)生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量(参考数据：1.114≈3.797 5,1.115≈4.177 2，1.116≈4.595 0)?解：(1)设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为a n (n ∈N *)，则a 1＝12 0003 000＝4，a 2＝13 0003 000＝133，a 3＝14 0003 000＝143，…，显然其构成首项为a 1＝4，公差为d ＝a 2－a 1＝13的等差数列，所以S 10＝10×4＋10×92×13＝55，即该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨． (2)记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为b n (n ∈N *)，则b 1＝1×1.8，b 2＝1×(1＋10%)×1.8，b 3＝1×(1＋10%)2×1.8，…，其构成首项为b 1＝1.8，公比为q ＝1.1的等比数列，记其前n 项和为T n ，由题意，有T n ＝1.8×1－1.1n1－1.1＝18×(1.1n－1)≥55，解得n ≥15.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车10年排出的二氧化碳的量． 20．(本小题12分)在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{}b n 是等差数列；(2)求数列{}a n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n＝2a n ＋2n2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{}b n 是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边乘以2得： 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n－1－n ·2n＝(1－n )2n－1，∴S n ＝(n －1)·2n＋1.21．(本小题12分)已知等差数列{}a n 的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.解：(1)因为数列{}a n 是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n . 所以1S n＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0所以T n ＜38.因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{}T n 是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38.22．(本小题12分)(2018·某某高考)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，得a 3＋a 5＝2a 4＋4，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20，得8⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12.因为q >1，所以q ＝2.(2)设＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{}的前n 项和为S n .由＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得＝4n －1.由(1)可得a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2， b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7×12＋3.设T n ＝3＋7×12＋11×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2.则12T n ＝3×12＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以12T n ＝3＋4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－(4n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝14－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2.又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.。

2020-2021学年人教A版数学选修4-5课时作业：综合检测

二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上)
1
( )( 13．设 x，y∈R，且 xy≠0，则 x y2 ·
1
)2 的最小值为________． 2＋
x2＋4y
Earlybird
晨鸟教育
11
1
( 解析： x y2)(
＋4x2y2≥5＋2
)2 ＝5＋
x2＋4y
cd
ab D． <
cd
cd 解析：－ <－，ab>0 两边同乘以 ab，－bc<－ad，
ab
∴ bc>ad，选 B.
答案：B
2．不等式|3x－2|>4 的解集是( )
A．{x|x>2}
2
{ } B． x|x <－3
2
{ } C. x|x < －3或x > 2
2
{ } D． x|－ <x <2
3
解析：由|3x－2|>4，得 3x－2>4 或 3x－2<－4.
Earlybird
晨鸟教育
111 ≥≥.
b＋c c＋a a＋b 由排序原理知：
a2
b2
c2
c2
a2
b2
＋＋≥＋＋，
b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
a2
b2
c2
b2
c2
a2
＋＋≥＋＋，
b＋c c＋a a＋b b＋c c＋a a＋b
将上面两个同向不等式相加，得
a2
2(
b2 c2 b2＋c2 c2＋a2 a2＋b2
＋
＝
＝A.
7＋s 7＋t 7＋s＋t 7＋t＋s 7＋s＋t

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阶段质量检测（二）B 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用分析法证明不等式的推论过程一定是( ) A ．正向、逆向均可进行正确的推理 B ．只能进行逆向推理 C ．只能进行正向推理D ．有时能正向推理，有时能逆向推理解析：选B 在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件即可，故只需能进行逆向推理即可．2．使不等式3＋8>1＋a 成立的正整数a 的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13解析：选C 用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立． 3．(四川高考)若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d b dD.a c <b d解析：选B ∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0，而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－bc＞0，∴a d ＜b c，故选B.4．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为 ( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．5．设m >n ，n ∈N *，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n，x ＞1，则a 与b 的大小关系为 ( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A 要比较a 与b 的大小，通常采用比较法，根据a 与b 均为对数表达式，只有作差，a 与b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a 与b 的大小．a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x＝(lg m x －lg nx )－(1lg n x －1lg m x )＝(lg mx －lg nx )－lg mx －lg nxlg m x lg nx＝(lg m x －lg nx )(1－1lg m x lg n x )＝(lg m x －lg nx )(1－1lg m ＋n x )．∵x ＞1，∴lg x ＞0.当0＜lg x ＜1时，a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x >1时，a >b .∴应选A.6．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( ) A ．S ≥2P B ．P <S <2P C ．S >PD ．P ≤S ＜2P解析：选D ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，即S ≥P . 又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2，同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2， ∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )，即S <2P . 7．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由已知，知m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.8．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝(25)x(x ∈R)，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝(25)x (x ∈R)与y ＝(35)x (x ∈R)之间有如下结论：当x ＞0时，有(35)x ＞(25)x ，故(35)25＞(25)25，所以a ＞c ，故a ＞c ＞b .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4解析：选 B 用放缩法，aa ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <a a ＋c ；b a ＋b ＋c ＋d N >P >Q B ．M >P >N >Q C ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：选D ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|＜|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12(|sin α|＋|cos α|)<12(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M . 对于Q ＝12sin 2α＝sin αcos α＜|sin α|＋|cos α|2＝P . 而Q ＝sin αcos α>sin 2α＝|sin α|＝M ， ∴N >P >Q >M .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应该满足的条件是________．解析：由a 知a ≥0，由b 知b ≥0，而a a ＋b b ≠a b ＋b a ，知b ≠a .此时a a ＋b b －(a b ＋b a )＝(a －b )2(a ＋b )>0，不等式成立．答案：a ≥0，b ≥0，a ≠b12．设0<m <n <a f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m .答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m13．设α，β为锐角，且M ＝sin(α＋β)，N ＝sin α＋sin β，则M ，N 的大小关系是________．解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β. 答案：M <N14．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab ·(a 2＋b 2)．证明：由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a 0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．16．(本小题满分12分)求证：a 2＋32＋1a 2＋1≥3.证明：a 2＋32＋1a 2＋1＝2a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋a 2＋1＋1a 2＋1 ≥33a 2＋12·1a 2＋1＝3. 17．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥a ＋c2＋b ＋d 2. 证明：欲证 a 2＋b 2＋ c 2＋d 2≥a ＋c2＋b ＋d2，只需证(a 2＋b 2＋ c 2＋d 2)2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2，即a 2＋b 2c 2＋d 2≥ac ＋bd ，就是证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，就是证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd . 也就是证(bc －ad )2≥0.此式显然成立，故所证不等式成立．18．(本小题满分14分)设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0,0＜a <1，求证：log a (a x ＋a y)＜log a 2＋18. 证明：∵a x ＞0，a y＞0， ∴a x ＋a y ≥2ax ＋y＝2ax －x 2.∵x －x 2＝x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝14，又0<a <1， ∴ax －x 2≥a 14.当x ＝12时等号成立，但当x ＝12时，a x ≠a －x 2.∴a x ＋a y＞2a 18.又0＜a ＜1，∴log a (a x ＋a y)＜log a 2a 18＝log a 2＋18.。

_学年高中数学阶段质量检测(二)B卷新人教A版选修4_5

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