动力学基本定律3

保守力的功等于系统势能的减少。
如：
重力势能 引力势能 弹性势能
说明
•
势能是相互作用有保守力的系统的属性。
• 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而 言。势能零点可以任意选取。
设空间 r0 点为势能零点，则空间任意一点 r 的势能为：
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能 零点时保守力作的功。
(2) 由质点动能定理
O
x
[例] 质量 m 长 l 的均匀链条，一部分放在光滑桌面上, 另 一部分从桌面边缘下垂, 下垂部分长 b ，假定开始时链条 静止，求链条全部离开桌面瞬间的速度。
[解法一] 由动能定理 O
b x
mg 2 2 (l b ) 8l
[解法二] 由牛顿定律
a
a
源自文库
[例] 柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台上 滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩 擦系数为μ ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。 解：
L 传送机滑道 o x
水平平台 L s x
由动能定理：
关键词： 牛顿运动三定律及应用 惯性系与非惯性系 动量、动量定理、动量守恒 质心、质心运动定理 角动量、力矩、角动量定理、角动量守恒 功、动能 保守力与非保守力、机械能守恒
几种常见力的功
1. 重力的功 z1 z2
z
m a

b
O
x dz
dx
重力作功只与质点的运动始末高度（位矢的z轴投影） 有关， 而与所经过的路径无关。
(2) F 是否为保守力?
解： (1)
B
O A x
y
C(2, 1)
B O x
A
(2) 非保守力，因为做功与路径有关。
质点在保守力场中的势能
一、势能的引入
与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。 保守力的功是势能变化的量度： 物体在保守力场中a，b两点的势能Epa， Epb 之差等 于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Wab。
2. 万有引力的功
设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引 力场中从a点运动到b点。 a ra M
F
m dr

r dr
dr
rb
b
万有引力的功仅由m与M的始末距离(位矢大小)决定， 而与路径无关。
3. 弹性力的功 O
m x x1 a x x2 b
弹性力作功只与质点的始末位置有关，而与质点运动 的路径无关。
外力对质点系做的总功。
内力对质点系做的总功。
质点系的末态总动能。
质点系的初态总动能。
质点系的动能定理： 所有外力和内力对系统所作的 功之和等于系统总动能的增量。
[例] 光滑水平面上放有质量为m1的沙箱， 由左方飞来质 量为m2的弹丸从箱左侧击入， 在沙箱中前进 l 距离后停 止。 在这段时间中沙箱向右运动了距离 s ， 此后沙箱带 着弹丸以匀速 v 运动。求(1) 沙箱对弹丸的平均阻力F； (2) 弹丸初速v0 ；(3) 沙箱--弹丸系统损失的机械能。 解： (1) 对沙箱, 应用动能定理：
碰撞问题
一、碰撞过程
1. 压缩阶段
2. 恢复阶段
• 弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰 撞前后系统的总机械能守恒。
• 非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系 统有机械能损失。 • 完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复， 两物体合为一体一起运动，系统有机械能损失。
(1) 弹性碰撞
2. 适用于惯性系。
3. 若 机械能守恒定律 •系统中的动能和势能可以转换, 各质点间的机械能 也可以互换, 但保持系统的总机械能不变。 •在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机 械能不一定守恒。 与参照系无关, 而 与参照系有关。
4. 对孤立系统
若 则：
能量转换和守恒定律
其他形式的能量转化为机械能。 机械能转化为其他形式的能量。
由机械能守恒：
得：
质点系的势能
势能属于相互作用有保守力的各物体组成的整个 系统，称相互作用势能。与系统内的一对保守内力做 功有关。
一、质点系 内力与外力
内力 系统内，内力是成对出现的。
外力
二、内力的功
一对内力的功：
i
j
O
相对位矢 相对元位移
系统内一对内力的功一般不为零
i
j
三、相互作用势能
一对内力作功：
m P O x O
x
(2) 若以重力与弹性力合力的 平衡位置为原点，则有：
x0 任意位置 x 处的系统总势能：
m
P
O x O x
保守力与势能的关系
1. 积分关系 2. 微分关系
势能曲线
o
z
r x
o 重力势能曲线
引力势能曲线
o 弹性势能曲线
双原子分子的势能曲线：
O
r
[例] 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势 能点。 解：
关键词： 牛顿运动三定律及应用 惯性系与非惯性系 动量、动量定理、动量守恒 质心、质心运动定理 角动量、力矩、角动量定理、角动量守恒 功、动能 保守力与非保守力、机械能守恒
功 质点动能定理
一、功（标量）
功（单位：焦耳J）是度量能量转换的基本物理量， 它描写了力对空间的累积效应。 恒力的功：

变力的功： 离散：
R
o
[例] 计算第一、第二宇宙速度。 一、第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量为M，卫星 质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕 地球作匀速圆周运动，求其发射速度。 R M m
解： 设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。 机械能守恒：
万有引力提供向心力：
得：
第一宇宙速度
二、第二宇宙速度
宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。 (1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。 (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。
连续：
说明
1. 一般情况下，功与力和路径有关
直角坐标系：
自然坐标系：
法向力不做功
2.
F与参照系无关，位移与参照系有关，故
功与参照系有关。
3. 合力的功等于各分力的功的代数和。
4. 平均功率
单位：瓦特(W)=(J/s)
瞬时功率
[例] 小球在水平变力 F 作用下缓慢移动，即在所有位 置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) F 的功， (2) 重力的功。
动量守恒：
动能守恒：
v10
v20
v1
v2
讨论
1. 当m1=m2时， 则:
在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交 换彼此的速度。 2. 若v20=0，且 m2>>m1，则: 质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转 运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。 3. 若v20=0， 且m2<<m1， 则: 质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几 乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。
判据
是保守力。
任意闭 合路径
是非保守力。(<0， 则为耗散力)
有心力： 如： 引力 静电力
有心力一定是保守力。
[例]
(1) F 的功 a. 沿路径 OAC
c. 沿路径 OC
2 已知 F 2 yi 4 x j , C点坐标为(2，1)。 求：
y C(2, 1) b. 沿路径 OBC
解：
l
m
变力
恒力
二、质点的动能定理
设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点 元功(功的微分)：

a
b
总功：
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
说明
1. 合外力的功是动量变化的量度。
与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。
2.
3. 微分形式：
[例] 质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的 速率为v ，它与行李间的摩擦系数为μ， 试计算：(1) 行李 将在传送带上滑动多长时间? (2) 行李在这段时间内运动多 远? m 解: (1) 以地面为参照系 v
(2) 对弹丸，应用动能定理：
s s+l
(3) 机械能变化：
s 一对非保守内力(耗散力)做 负功，使系统动能减少。 s+l
二、功能原理
保守内力的总功
内力的总功
非保守内力的总功
质点系的功能原理： 质点系在运动过程中，所有外 力的功和非保守内力的功的总和等于系统总机械能 的增量。
说明
1. 明确系统及初、末状态。
(2) 完全非弹性碰撞 动量守恒：
机械能损失：
v10
v20
v
(3) 非弹性碰撞： 动量守恒：
碰撞定律： 碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前 两球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两 球的材料决定。
——恢复系数
v10
v20
v1
v2
弹性碰撞： e =1
（v2-v1）= （v10-v20）
[例] 已知铁链质量m，长 l ，与桌面摩擦系数为 。问： (1) a 为多少 时铁链开始下滑? (2) 金属链全部离开桌面 时 v 为多少? 解：(1) 下垂部分重力 等于摩擦力时 a
O
dx x
(2) 摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点
a
O
利用功能原理，以桌面为零势能点： dx x
Wf E
4. 摩擦力的功 b
a
Ff
摩擦力做功与路径有关！
保守力 非保守力 和耗散力
保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力，引力，弹性力等。 保守力沿任何闭合路径作功等于零。 a
c
d
b
非保守力： 作功不仅与始末位置有关，还与路径有关的。
如：摩擦力等。
而(一对)摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力。
非弹性碰撞： 0 < e < 1 完全非弹性碰撞： e =0 碰后两球的速度： v2=v1
机械能损失：
[例] 已知板 M，l；小球 m, v0 , h。弹簧 k，桌面光滑， 掉下时与板为弹性碰撞。求(1) 弹簧最大压缩量， (2) 若 只发生一次碰撞，则v0 应满足什么条件？ m v0 解： （1）碰撞时（y方向碰撞）, 小球速度为： h l
[例] 轻弹簧原长l0 ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了 x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势 能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。
解：
(1) 以弹簧原长点O 为坐标 原点，系统总势能： x0
弹性碰撞： y x k
解得： 碰后，板、弹簧、地球系统：
得：
(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：
t1 2h / g
球要与板发生碰撞， 首先 须满足条件 1：
m v0 h l
v0t1 l
一次碰撞后，小球弹起再落 回原碰撞处经历的时间： k
t2 2 v / g y
设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量<< h， 即假定 小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球 只与板发生一次碰撞须满足的条件2：
v0 (t1 t2 ) l
l l v0 t1 t2 t1
得：
mM g g l v0 l 3M m 2h 2h
[例] 光滑桌面上， 质量为m1的小球以速度u 碰在质量为 m2的静止小球上，u 与两球的连心线成θ 角。 设两球表面 光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线， 已知 恢复系数为e ，求碰撞后两球的速度。 x 解： 设碰后两球速度分别为v 、v ，
[例] 发射宇宙飞船去考察一质量为 m1、半径为 R 的行 星，当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一 质量为 m2 (m2远小于飞船质量)的仪器, 要使仪器恰好掠着 行星的表面着陆，θ 角应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大? 解： 有心力场中, 运用角 动量守恒和(m1 , m2 )系统 机械能守恒定律：
一对保守内力
O
j 计算时，可选其中一个物体为参照系, 内力只对另一物体做功： i
如： 重力势能
属于地球和物体组成的系统。
四、多质点系统的势能
保守内力
其中
为质点 i 和 j 之间的相互作用势能。
功能原理 能量守恒定律
一、质点系的动能定理
设第 i 个质点所受外力的功为 Wie ，内力的功为WiI , 初 速度为 vi 0 , 末速度为 vi 。
方向如图。
1 2
y
x、y方向动量分别守恒：
o
x y 恢复系数：
o
联立三个方程后求解，得：
讨论： 两个质量相等的小球发生弹性斜碰： m1=m2 , e =1 时，