电路分析 第三章
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电路分析基础第3章
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=R2 自阻
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY 自阻总是正
R1 i1
a
R3
网孔1所有电阻之和
网孔2所有电阻之和
互阻 网孔1、2的公共电阻
i2 R2 + im1 + uS 1 uS2 – – b
us + 2
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
R1
L1
L2
R2
us -
+
L
1
i2
4 3
i4
R2
5
2
i5
C
1 3
4
5
R1
i2 i4 i5
有向图
返回
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§3-2 KCL和KVL的独立方程数
1、KCL的独立方程数
2
1 1 4 3 5 2 3
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电路分析基础
1
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
第三章 电阻电路的一般分析
重点：
支路电流法
网孔电流法 回路电流法 节点电压法
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
目的：找出求解线性电路的一般分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 基础： 电路的连接关系—KCL，KVL定律 元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律) 相互独 立
电路分析基础 第三章_正弦稳态电路分析3
ω0 =
1 LC 或
1 ωOC
时发生并联谐
fo =
1 2π LC
并联谐振电路的特点为： （1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。 （2）谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时， 电压的有效值 最大。 (3) 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍。
26
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联 谐振电路的电流及各电压相位关系如图4-21所示。 电感和电容上电流相 等，其电流为总电流的Q倍， 即：
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
2
电阻的平均功率 1 T 1 T PR = ∫ p ( t ) dt = ∫ (U R I R − U R I R cos 2ω t )dt T 0 T 0 U2 2 = U RIR = I RR = R 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式 与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
30
图 4-24三相电源
对称三相电动势相量和为零，即： • • • E 1 + E 2 + E 3 =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间 的代数和为零，即： e1+e2+e3=0
31
4.8.2 三相电源的连接 将三相电源按一 定方式连接之后， 再向负载供电，通 常采用星形连接方 式，如图4-25所示。 低压配电系统中， 采用三根相线和一 根中线输电，称为 三相四线制；高压 输电工程中，由三 根相线组成输电， 称为三相三线制。 每相绕组始端与
iC uC图Leabharlann 4-12 电容元件的瞬时功率7
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即：
1 LC 或
1 ωOC
时发生并联谐
fo =
1 2π LC
并联谐振电路的特点为： （1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。 （2）谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时， 电压的有效值 最大。 (3) 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍。
26
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联 谐振电路的电流及各电压相位关系如图4-21所示。 电感和电容上电流相 等，其电流为总电流的Q倍， 即：
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
2
电阻的平均功率 1 T 1 T PR = ∫ p ( t ) dt = ∫ (U R I R − U R I R cos 2ω t )dt T 0 T 0 U2 2 = U RIR = I RR = R 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式 与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
30
图 4-24三相电源
对称三相电动势相量和为零，即： • • • E 1 + E 2 + E 3 =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间 的代数和为零，即： e1+e2+e3=0
31
4.8.2 三相电源的连接 将三相电源按一 定方式连接之后， 再向负载供电，通 常采用星形连接方 式，如图4-25所示。 低压配电系统中， 采用三根相线和一 根中线输电，称为 三相四线制；高压 输电工程中，由三 根相线组成输电， 称为三相三线制。 每相绕组始端与
iC uC图Leabharlann 4-12 电容元件的瞬时功率7
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即：
电路分析基础第3章
于一个电流源is和多个正电阻组成的电路，有： |ik/is|≤1 式中ik为任一支路电流。
作业: 3-5
3-6
3-11
3-15
2、网络函数 网络函数：对单一激励的线性时不变电路指定响应与激励之比定义为
网络函数。记为：H
H=响应/激励
策动点函数：响应与激励在同一端口，称为策动点函数 转移函数：响应与激励不在同一端口，称为转移函数
由于响应和激励都可以是电流或电压，可以在同一端口或在不同端口，所以网络 函数可分为六种情况。如表3-1所示（P91）。 响应 策动点函数 电流 电压 电流 转移函数 电压 电流 电压 激励 电压 电流 电压 电流 电流 电压 名称及专用符号 策动点电导Gi 策动点电阻Ri 转移电导GT 转移电阻RT 转移电流比Hi 转移电压比Hu
R2
R1 u ' o is1 Ro R1 R 2 Ro
is1
R1
R0
由图(b)，运用分流公式后，可求得：
is 2
R2
R2 u ' ' o is 2 Ro R1 R 2 Ro
R1
R0
由图(c)，运用分压公式可得：
R1 R 2 u ' ' ' o us R1 R 2 Ro
即：由两个激励所产生的响应，表示为每一激励单独作用时所产生的响应之和
上述特性，在电路理论中称之为“叠加性”。同理，该电路中的其它
电流或电压对us和is的响应，也都存在类似的线性关系。
例3—3：利用叠加定理求解图中电路的电压。
is 2
is1
R1
R 2 R0
us
解：绘出每一独立源单独作用时的电路图，如图(a)，(b)，(c)所示。 由图(a) ，运用分流公式可求得：
电路分析答案第三章
第三章习题3.1 如题3.1图所示梯形电路。
⑴ 已知24u V =，求1u 、i 和S u 。
⑵ 已知27S u V =，求1u 、2u 和i 。
⑶ 已知 1.5i A =，求1u 和2u 。
解：根据线性电路的性质，设：211u k u = 22u k i = 23s u k u =令： 2V u 2= 可推出 6V u 2= 1A i = 27V u s = 因而可得： 3k 1= 0.5k 2= 27/2k 3= ⑴ 当24u V =时，有： 12V 43u 1=⨯= 2A 40.5i =⨯= 56V 4227u s =⨯=⑵ 当27S u V =时，有： 2V27272u k 1u s 32=⨯==1A 20.5u k i 22=⨯== 6V 23u k u 211=⨯== ⑶ 当 1.5i A =时，有： 3V1.50.51i k 1u 22=⨯==9V 33u k u 211=⨯==3.2 如题3.2图所示电路，已知9S u V =，3S i A =，用叠加定理求电路i 。
解：S u 单独作用时，有：1163S u i A ==+Si 单独作用时，有： 23163S i i A=-=-+根据叠加定理可得： 12110i i i =+=-=3.3 如题3.3图所示电路，求电压u 。
如独立电压源的值均增至原值的两倍，独立电流源的值下降为原值的一半，电压u 变为多少？解：根据KVL 列一个回路113132(32)4u i V A A i =Ω⨯++⨯Ω+-⨯Ω两个电压源支路可列方程：1131(3)610i i +=-+由此可得： 13i A =代入上式得： 33132(323)4u V =⨯++⨯+-⨯⨯=若独立电压源的值均增至原值的两倍，独立电流源的值下降为原值的一半，由上式可知：1132(1.5)620i i +=-+ 解得 13i A = 有： 3321.52(1.523)4u V =⨯++⨯+-⨯⨯=-3.4 如题3.4图所示电路，N 为不含独立源的线性电路。
大学物理电路分析精品课程 第三章 电路的一般分析方法
I S I4 I1 0
I
1
I3
I2
0
I
4
I3
I5
0
U 4 U S1 U 3 U1 0 U1 U 2 U 0 U 3 U S1 U 5 U S 2 U 2 0
I1R1 U1
I I
2 3
R2 R3
U2 U3
I
4
R4
U4
I 5 R5 U 5
支路电流法（1B法）
1) U 2
2
添加以下方程：
2U 23 2(U 2 U 3 ) 4U 43 4(U 4 U 3 ) U1 U 4
例题3——割集分析法
5 + 19V - 2
I1 +
30V _
4A 1.5I1
4
+ 25V
_
选树如图所示，则只需要对2、4支路 （树支）所决定的基本割集列写方程即可
(5 2 4) I1 (2 4) 4 4 1.5I1 30 25 19
I S
U4 R4
U1 R1
0
UR11
U3 R3
U2 R2
0
U
4
U3
U5
0
R4 R3 R5
3-3 节点法与割集法
一、节点法
1 .方法
任选电路中某一节点为参考节点， 其他节点与此参考节点间的电压称为 “节点电压”。节点法是以节点电压作 为独立变量，对各个独立节点列写KCL 电流方程，得到含(n-1)个变量的(n-1)个 独立电流方程，从而求解电路中待求量。
第三章 电路的一般分析方法
❖重点 1、支路法 2、节点法 3、网孔法
❖难点 1、改 拓扑术语
支路 节点 回路 网孔 基本回路 割集 基本割集
第3章 电路分析的几个定理
齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压 或电流和电源成正比。 I1 如图：
R1
+ E1
R2 I2
R3 I3
可见：
若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
3.2 置换定理
在任意的线性或非线性网络中，若某一支路的电 压和电流为Uk和Ik，则不论该支路是由什么元件组成 的，总可以用下列的任何一个元件去置换，即：（1） 电压值为Uk的独立电压源；（2）电流值为Ik的独立电 流源；（3）电阻值为Uk/Ik的电阻元件。这时，对整 个网络的各个电压、电流不发生影响。
I1 5Ω I3 + 20V -
1 10Ω 20Ω
I2
I1 5Ω + 10V + 20V -
1 10Ω 0.7143
I2
+ 10V -
(a) 原来的网络
(b) 置换后的网络
图3-4 置换定理的例子
图3-4(a)所示电路中的电压、电流已在第二章例 2-8中求得，它们是：U1=14.286V、I1=1.143A、 I2=-0.4286A、I3=0.7143A。现在，为了表明置换定 理得正确性，将含有20Ω电阻的支路换为一个电流 源，这个电流源的电流值为0.7143A，即原支路的 电流值(I3)。
二端网络的概念： 二端网络：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网络中没有电源。 有源二端网络：二端网络中含有电源。 a + E – R3 a
R1
R2
R4 IS
+ E – R1
R2
IS
R3 b
b 无源二端网络
有源二端网络
无源 二端 网络
a R b + _E a
电路分析试题及答案(第三章)
相量图形：1、下图中，R 1=6Ω，L=0.3H ，R 2=6.25Ω，C=0.012F,u (t)=)10cos(210t ,求稳态电流i 1、i 2和i 3，并画出电路的相量图。
解：V U0010∠= R 2和C 的并联阻抗Z 1= R 2//（1/j ωC ）=(4-j3)Ω， 输入阻抗 Z = R 1+j ωL +Z 1 =10Ω，则：A Z U I 0010110010∠=∠== A R Z I I 0211287.368.0-∠== A U C j I 02313.536.0∠== ω 所以：A t i )10cos(21=A t i )87.3610cos(28.02ο-= A t i )13.5310cos(26.02ο+=相量图见上右图2、下图所示电路，A 、B 间的阻抗模值Z 为5k Ω，电源角频率ω=1000rad/s ，为使1U 超前2U 300，求R 和C 的值。
解：从AB 端看进去的阻抗为Cj R Z ω1+=， I213其模值为：Ω=+=k CR Z 5)1(22ω （1） 而2U /1U =)arctan()(112CR CR ωω-∠+由于1U 超前2U 300，所以ωCR =tan300=31 （2）联列（1）、（2）两式得R =2.5k Ω，C =0.231μF3、测量阻抗Z 的电路如下图所示。
已知R=20Ω，R 2=6.5Ω，在工频(f =50Hz)下，当调节触点c 使R ac =5Ω时，电压表的读数最小，其值为30V ，此时电源电压为100V 。
试求Z 及其组成的元件的参数值。
(注意：调节触点c ，只能改变cd U 的实部，电压表读数最小，也就是使实部为零，cd U 为纯虚数，即cdU =±j30V)解：UZR R U R R U ac cd++-=22调节触点c ，只能改变cd U 的实部，其值最小，也就是使实部为零，cd U 为纯虚数，即cdU =±j30V ， 因此上式可表示为：±j 30=-25+(100⨯6.5)/(6.5+Z ) 解得：Z=(4.15±j 12.79)Ω 故：R Z =4.15ΩL =40.7mHC =249μF4、电路如下图所示，已知f =1kHz ，U =10V ，U 1=4V ，U 2=8V 。
《电路分析基础》第3章电路等效及电路定理
单口网络：当强调二端网络的端口特性， 而忽略网络内部情况时，又称二端网络为 单口网络，简称为单口。
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
端口特性：端口电压与电流的关系，表示为方程 （简称为VCR方程）或伏安特性曲线的形式。
明确的网络：当网络内的元件与网络外的某些变量无 任何能通过电或非电方式联系时，则称这样的网络为 明确的。
本书所讨论的单口网络均为明确的单口网络。
解: 伏安法：（1）先设受控源的控制量为1；（2）运用KCL及KVL
设法算得端口电压u和端口电流i；（3）根据电阻的VCR，算得输入 电阻。
a i2
c
i0
i1 - 2i0 +
设i0=1A 则uab=2V i1=0.5A
i2=1.5A ucd=4V
i3
i=2A
i3=0.5A
b
d
u= ucd +3i = 10V R u 5 i
u 11.66V
10
例2：图示电路，已知：
Us=1V, Is=1A时： U2=0 ； Us=10V, Is=0时： U2=1V ； 求:Us=0, Is=10A时：U2= ? 解： 根据叠加定理，有
U2 K1Is K2Us 代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
i1
u
i2
外施电压源法，即外施端口电压u，设
法求出端口电流i：
i2
u 3
i1
u
u
2
i i1 i2
u u u
32
(1 1 )u
32
在端口电压与端口电流对输入 电阻R为关联参考方向时：
Ru i
1
1 1
6 5 3
32
含受控源单口网络的等效电阻（输入电阻）可能为负值。25
第3章 电路分析的一般方法
(3 − 12)
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
−
uS1
−
uS2
4
R11、R22、R33 为相应回路中所有电阻之和，称为自
阻，自阻总为正值；
R12、R13、R21、R23、R31、R32 为互阻，互阻是相邻回
路间的公共电阻，其值可正可负可为零。当两个回路 电流同向流过互阻时，取正号，否则取负号；
uS11、uS22、uS33 分别表示各回路独立源电压升之和。
iL1
R2 R3 i3
iL2
i2
+
求出 i3 = iL1 = 10A i2 = −iL2 = 6A
i1 = iL1 + iL2 = 4A
uS1
+
−
−
uS2
【例3-5】求所示电路的各支路电流。已知
uS1 = 140V R1 = 20Ω R2 = 5Ω R3 = 6Ω iS2 = 6A
解 方法一
已知 iL2 = iS2 = 6A
L = b − (n − 1)
R3
i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
Ⅰ − R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1
R2
i4 R4
3 i2
Ⅱ − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 Ⅲ
R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
(3 − 5)
−Leabharlann uS1+−
uS2
u6 = u4 − u5 = u N1 − uN 2 + u N2 − uN3 = uN1 − uN3
iS1
R6 i4 R4 i1 R1
电路分析基础第3章 正弦交流电路
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小 与计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
第三章 电路的一般分析方法与常用定理
第 3 章电路的一般分析方法与常用定理重点1．KCL和KVL独立方程数的概念；2．支路法、网孔法、节点法等复杂电路的方程法；3．叠加定理；4．戴维宁定理和诺顿定理；5．最大功率传输定理。
难点1．独立回路的确定；2．含独立电源的结点电压方程和回路电流方程的列写；3．各电路定理的应用条件；4、正确作出戴维南定理的等效电路。
3.1 支路电流法电路的一般分析方法是指在给定电路结构和元件参数的条件下，不需要改变电路结构，而是通过选择电路变量（未知量），根据KCL 和KVL 以及支路的VCR 建立关于电路变量的方程组，从而求解电路的方法。
一、支路电流法支路电流法是以支路电流为未知量，根据KCL建立独立节点电流方程，根据KVL 建立独立回路电压方程，然后解联立方程组求出各支路电流。
上图中选定各支路电流参考方向，并设各支路电压与支路电流为关联参考方向。
根据KCL 列出的节点电流方程分别为在上图所示的平面电路中含有3个网孔，若选择网孔作为回路，并取顺时针为回路绕行方向，根据KVL 列出含VCR 的回路电压方程分别为上面这3个回路电压方程也是相互独立的，对应于独立方程的回路称为独立回路。
由此可见，上图所示的电路共设有6条支路电流为未知量，分别列出了3个独立节点电流方程和3个独立回路电压方程，恰好等于6条未知的支路电流数，因此可以解出各支路电流。
二、支路电流法的应用应用支路电流法分析电路的关键在于确定独立节点和独立回路。
可以证明，对于具有n 个节点，b 条支路的电路，其独立节点数为（n -1 ) ，独立回路数为L ＝ b -（n -1）。
对于平面电路，由于网孔数等于独立回路数， 综上所述，应用支路电流法求解电路的一般步骤是：(1) 选定支路电流的参考方向，确定独立节点、独立回路及其绕行方向。
（2）根据 KCL 列出（n-1）个独立节点电流方程。
（3）根据 KVL 列出L ＝ b-（n-1）个独立回路电压方程。
（4）解方程组求出各支路电流。
电路分析第三章
3.1 支路电流法
支路电流法的一般步骤可归纳如下： (1) 在给定电路图中设定各支路电流的参考方向。 (2) 选择ｎ-１个独立节点，写出ｎ-１个KCL方程。 (3) 选网孔为独立回路，并设定其绕行方向，列写出各网 孔的KVL方程。 (4) 联立求解上述独立方程， 得出各支路电流。
3.1 支路电流法
－
假定各电阻和电源电压值均为已知，求各支路电流。该电路 共有四个节点，六条支路， 三个网孔，七个回路。
3.1 支路电流法
根据KCL，可对四个节点列出四个KCL方程：
I I I 0 2 3 6 节点b： I I I 0 5 6 节点c： 4 节点d： I1 I 3 I 4 0
设各支路电流的参考方向如图所示：
I1 I I
I 2 I II I I I 3 I III I I I 4 I II I 5 I III I 6 I II I III
3.2 网孔电流法
必须指出： (1)设想的网孔电流只是一种计算手段。实际上在一条支路中并 不能观察到两个网孔电流，客观存在的仍是一个合成的支路电 流。 (2) 设想的网孔电流并不违背ＫＣＬ定律，因为网孔电流沿着闭 合路径流动，当它流经某一个节点时，必然是从该节点流入， 又从该节点流出。因此，它们能自动地服从KCL定律。 (3) 各网孔电流之间相互独立，不受ＫＣＬ约束，也不能互求， 因此网孔电流变量具有独立性，可作为电路分析的变量。
3.2 网孔电流法
(1) 按图所示电路中设定的各回路电流方向， 则有
R22=1+2+1=4Ω
I2 1 ＋ 10V IⅠ － 1 I3 IⅡ 1 1A I4 I6 2 IⅢ I5 2
第三章 正弦稳态电路分析
Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值 U
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
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或：
U e jψ U ψ Um m m
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
注意:
电压的幅值相量
① 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ ) = Ime
储能 放能 储能 放能
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无功功率 Q 用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时 功率达到的最大值表征，即
p 瞬时功率 ： i u UI sin 2 ω t
U2 Q U I I XL
2
XL
单位：var
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3.3.3 电容元件伏安关系相量形式
时域形式：
已知 i(t ) 2I sin( t i )
R
I
uR (t ) Ri (t ) 2RI sin( t i ) UR u 相量形式： 有效值关系：UR=RI I I 则
i
+
UR
R
U R RI i
相量关系：
相位关系u= i (u,i同相) UR=RI
U 1 落后于U 2
U2
U2
45 20
U1
+1
超前 U ？ 落后 1
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3.3 基尔霍夫定律的相量形式
电阻元件伏安关系相量形式
电感元件伏安关系相量形式 电容元件伏安关系相量形式
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3.3.1 电阻元件伏安关系相量形式
i(t) + uR(t)
电路分析基础第五版第3章
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
第三章电路分析中的常用定理
2
22
I Ix Iy 3A
4V电源单独作用：
I x 4 2A 2
I y 2I x 4 4A 2
I I x I y 6A
I x Iy
I″
2Ω 2Ω
4V 2I x
叠加： I I I 3 6 3A
6A
4Ω
1Ω
２A
4Ω
4Ω
图b
图c
6A单独作用(如图b)： I
4
6 8
4 4 // 4 2 1
3
2A单独作用(如图c)：
I
1
2 2
1 4 // 4 4 2
9
叠加： I I I I 2 8 2 2.22 339
u'= Uoc (外电路开路时1 、2间开路电压)
u"= - Req i
根据叠加定理，可得
u = u' + u" = Uoc - Req i 此关系式恰与图(b)电路相同。
例
a
10 +
20V –
+ 10
+
Uoc
10V
–
–
b
应用电源等效变换
a
2AReq 5
+
Uoc
15V
方法一:将20V短接,外加电源u。
6Ω 2 0V +-
-+ 6 ix
4Ω
KVL：6ix 4i ix 6ix 0
i ix
uoc 9Ω
-
i
ix
+
6Ω
u
-
u 6ix 6i
电路分析 第3章 习题与解答
列回路方程如下：
回路 l1
(2 3 5)il1 3il2 3il3 2il3 10
回路 l2
il2 3
回路 l3
(1 2 3 4)il3 3il1 2il1 3il2 il2 5
联立求解得 il1 0.6A il2 3A
il3 1A
KCL 独立方程数为 n-1=6、KVL 独立方程数为 b-n+1=6
（2） 如图所示：支路数=9，节点数=5 KCL 独立方程数为 n-1=4、KVL 独立方程数为 b-n+1=5
3－2 试画出题 3－2 图所示四点全图的全部树。
解：
题 3－2 图
2
3－3 如题 3－3 图所示的有向图，在以下两种情况下列出独立的 KVL 方程。 （1） 任选一树并确定其基本回路组作为独立回路； （2） 选网孔作为独立回路。 1
第 3 章 习题与解答
3－1 在以下两种情况下，画出题 3－1 图所示电路的图，并说明其节点数和支路 数各为多少？KCL、KVL 独立方程数各为多少？ （1） 每个元件作为一条支路处理； （2） 电压源（独立或受控）和电阻的串联组合，电流源和电阻的并联组合作为
一条支路处理。
U1 32(il1 il2 ) 8V （2）电路的图为
il 3
il1
il 2
列回路电流方程如下：
回路 l1
il1 3.5
回路 l2
(20 4 2 35)il2 （2 4）il1 20il3 0
回路 l3
(20 20)il3 20il2 20il1 0.5UY
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第3章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
电阻电路的一般分析
本章重点
电路的图
KCL和KVL的独立方程数
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
结点电压法
首页
重点
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法
网孔电流法（回路电流法）
结点电压法
返 回
对于结构较为简单的电路，应用第二章介绍的电阻 的等效变换和两种实际电源模型的等效变换的方法来求 解通常是有效的，但是对于结构较为复杂的电路，等效 法的应用有时使问题复杂化。
本章介绍电阻电路的一般分析方法。这种方法的特 点是不改变电路的结构，而是选择一组合适的电路变量 （电流或电压），根据KCL和KVL以及元件的VCR建 立该组变量的独立方程组，通过求解电路方程，从而得 到所需的响应。 对于线性电阻电路，建立方程是一组线性代数方程。 电路方程的建立及求解还将推广应用于交流电路、 非线性电路、时域、频域分析等领域中。
1.KCL的独立方程数
2 1 1 4 3 5 4 2 3
2 3 4 1
i1 i4 i6 0
i1 i2 i3 0
i2 i5 i6 0
i3 i4 i5 0
6
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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注意
G={支路，结点}
①移去电路的图中的支路，与它所相连的结点依然 存在，因此允许有孤立结点存在（与电路图中的 支路和结点的概念不同）
②如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同 时移去。
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（2）电路的图的几个概念 ①路径 从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成一条路径（两结点的一条 通路）。 一条支路本身是一条路径。 图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图。
图论中研究的对象是“图”，图是由点和连 A 接这些点的线构成的。
B
D
C
返 回
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2.电路的图
（1）电路的图的定义 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，是由 结点和连接这些点的支路构成的。
G={支路，结点}
如果把电路图中各支路的内容忽略不计，代之以 线段，电路图就变成了它的“图”。 电路的图中的支路和结点与电路图的支路和结点 一一对应。
R6
+
uS –
R1i1 R5i5 R6i6 uS
注意 要求b条支路电压均能以支路电流表示，每条
支路可以是电阻电路、电压源与电阻的串联、电流 源与电阻的并联（转换成电压源与电阻的串联）。
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小结 支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路（平面电路一般为网孔）， 指定回路绕行方向，结合KVL和元件的VCR列写方 程；
返 回
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1
5 8
7
2 6
3 5 6 3 4 7 2
4
5 1
8 7
6
5
连通图G含有5结点，所示的图G的每一个树具 有4条支路；图G有许多不同的树，但是不论哪一个 树，树支数总是4。
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可以证明，任一个具有n个结点，b条支路的连 通图，它具有很多树，但是任何一个树的树支数是 一定的。 树支数：
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2 R2 i2
1
回路1 R4 i4 R3 2 3 回路2 回路3
u2 u3 u1 0
i3 1
u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
R1
i1 34
R5
i5
i6
应用欧姆定律消去支路电压得：
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
1 0 203 7 1 0 1218 7 1 0 406 7
I1 1218 203 6A
I 2 406 203 2A
I 3 I1 I 2 6 2 4A
P 6 70 420 W 70
P 2 6 12 W 6
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i R1 R2 + R5 R3 抛开元 件性质
n5
1
b 8
3 5
4 6 一个元件作 为一条支路 8
R4
uS _ R 6
1
5
2
3 4 6 有向图
7
元件的串联及并联 组合作为一条支路
2
n4 b6
返 回
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结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，
图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
（3）如果对基本回路组列写KVL方程，由于每个连支 只在一个回路中出现，所以列出的KVL方程组是独立方 程，所以基本回路组就是独立回路组，基本回路数就是 独立回路数 。
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⑦网孔 如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路 除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图， 否则是非平面图。 6 4 5
1 2 3
1 i1 34
+
i1 i2 i6 0
i2 i3 i4 0
R5
i6
uS – 回路1 回路2 回路3
i4 i5 i6 0
R6
取网孔为独立回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
u2 u3 u1 0
u4 u5 u3 0
u1 u5 u6 0
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程：
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方法2：先画出树，再确定独立回路
2 1
以（1，4，5）为树，可以确定 3个独立回路，列KVL方程： 2
1 u1 u3 u4 0 2 3
u1 u2 u5 u4 0
u4 u5 u6 0
1
6
4
3 5 4
2 6
回路 5 2
1
8
8
4
5
6 7 3
返 回
7 3
不 是 回 路
6
上 页
下 页
1 8
4
5 7
2 6
3
对回路（1，5，8）和回路（2，5，6）列出2个KVL方 程，支路5的电压将在这两个回路中出现，把这两个方程相 加或相减总可以把支路5的电压消去，而得到回路（1，2，6， 8）的KVL方程。 可见这3个回路（方程）不是相互独立的，只有2个是独 立的。 一个图的回路数很多，确定它的一组独立回路需要利用 “树”的概念。
②连通图
返 回
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③子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
返 回
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下 页
④回路（Loop） 若一条路径起点与终点重合，除了起点和终点 重合以外，经过的其它结点不出现重复，这条闭合 路径就构成图G的一个回路。 满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路。 1 5
2.KVL的独立方程数
方法1：取网孔为独立回路 2 1 2 对网孔列KVL方程： 1 u1 u3 u4 0 3 5 4 2 u2 u3 u5 0 3 u5 u4 u6 0
1
6
4
3
1 - 2 u1 u2 u4 u5 0
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
5
1
3
bl b bt b (n 1) 3
返 回
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
4 8 3 2
注意
对于平面图，网孔为基本回路。
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3.2 KCL和KVL的独立方程数
3
返 回
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下 页
结论
对于n个结点、b条支路的电路 ①独立的KCL方程数为n-1。 ②KVL的独立方程数 =基本回路数=连支数=b－(n－1) ③独立的KCL和KVL方程总数为：
(n 1) b (n 1) b
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3.3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 对于有n个结点、b条支路的电路，以支路电流 为变量列写方程,未知量共有b个。只要列出b个独 立的电路方程，便可以求解这b个变量。
解1
(1) n–1=1个KCL方程：
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
设电流 源电压 a I3 7
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11 + 6A + 1 U 2 70V _ – b
返 回 上 页
下 页
2
1 3
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6 4
2
对于平面图，可以引入网孔的概念。 平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，在限定的区 域内不再有支路； 回路（1，2，4）（2，3，5）（4，5，6）都是网孔 回路（1，3，5，4）（1，3，6）不是网孔 平面图的全部网孔是一组独立回路，平面图的网孔数就是 独立回路数 图示的平面图有4个结点，6条支路，独立回路数：
电阻电路一般分析方法的基础
• 电路的连接关系—KCL，KVL定律。 • 元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程 时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法 和结点电压法。
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
电阻电路的一般分析
本章重点
电路的图
KCL和KVL的独立方程数
支路电流法
网孔电流法
回路电流法
结点电压法
首页
重点
熟练掌握电路方程的列写方法：
支路电流法
网孔电流法（回路电流法）
结点电压法
返 回
对于结构较为简单的电路，应用第二章介绍的电阻 的等效变换和两种实际电源模型的等效变换的方法来求 解通常是有效的，但是对于结构较为复杂的电路，等效 法的应用有时使问题复杂化。
本章介绍电阻电路的一般分析方法。这种方法的特 点是不改变电路的结构，而是选择一组合适的电路变量 （电流或电压），根据KCL和KVL以及元件的VCR建 立该组变量的独立方程组，通过求解电路方程，从而得 到所需的响应。 对于线性电阻电路，建立方程是一组线性代数方程。 电路方程的建立及求解还将推广应用于交流电路、 非线性电路、时域、频域分析等领域中。
1.KCL的独立方程数
2 1 1 4 3 5 4 2 3
2 3 4 1
i1 i4 i6 0
i1 i2 i3 0
i2 i5 i6 0
i3 i4 i5 0
6
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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注意
G={支路，结点}
①移去电路的图中的支路，与它所相连的结点依然 存在，因此允许有孤立结点存在（与电路图中的 支路和结点的概念不同）
②如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同 时移去。
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（2）电路的图的几个概念 ①路径 从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成一条路径（两结点的一条 通路）。 一条支路本身是一条路径。 图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图。
图论中研究的对象是“图”，图是由点和连 A 接这些点的线构成的。
B
D
C
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2.电路的图
（1）电路的图的定义 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，是由 结点和连接这些点的支路构成的。
G={支路，结点}
如果把电路图中各支路的内容忽略不计，代之以 线段，电路图就变成了它的“图”。 电路的图中的支路和结点与电路图的支路和结点 一一对应。
R6
+
uS –
R1i1 R5i5 R6i6 uS
注意 要求b条支路电压均能以支路电流表示，每条
支路可以是电阻电路、电压源与电阻的串联、电流 源与电阻的并联（转换成电压源与电阻的串联）。
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小结 支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路（平面电路一般为网孔）， 指定回路绕行方向，结合KVL和元件的VCR列写方 程；
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6
5
连通图G含有5结点，所示的图G的每一个树具 有4条支路；图G有许多不同的树，但是不论哪一个 树，树支数总是4。
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可以证明，任一个具有n个结点，b条支路的连 通图，它具有很多树，但是任何一个树的树支数是 一定的。 树支数：
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2 R2 i2
1
回路1 R4 i4 R3 2 3 回路2 回路3
u2 u3 u1 0
i3 1
u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
R1
i1 34
R5
i5
i6
应用欧姆定律消去支路电压得：
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0
1 0 203 7 1 0 1218 7 1 0 406 7
I1 1218 203 6A
I 2 406 203 2A
I 3 I1 I 2 6 2 4A
P 6 70 420 W 70
P 2 6 12 W 6
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i R1 R2 + R5 R3 抛开元 件性质
n5
1
b 8
3 5
4 6 一个元件作 为一条支路 8
R4
uS _ R 6
1
5
2
3 4 6 有向图
7
元件的串联及并联 组合作为一条支路
2
n4 b6
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结论 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，
图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
（3）如果对基本回路组列写KVL方程，由于每个连支 只在一个回路中出现，所以列出的KVL方程组是独立方 程，所以基本回路组就是独立回路组，基本回路数就是 独立回路数 。
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⑦网孔 如果把一个图画在平面上，能使它的各条支路 除连接的结点外不再交叉，这样的图称为平面图， 否则是非平面图。 6 4 5
1 2 3
1 i1 34
+
i1 i2 i6 0
i2 i3 i4 0
R5
i6
uS – 回路1 回路2 回路3
i4 i5 i6 0
R6
取网孔为独立回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
u2 u3 u1 0
u4 u5 u3 0
u1 u5 u6 0
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程：
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方法2：先画出树，再确定独立回路
2 1
以（1，4，5）为树，可以确定 3个独立回路，列KVL方程： 2
1 u1 u3 u4 0 2 3
u1 u2 u5 u4 0
u4 u5 u6 0
1
6
4
3 5 4
2 6
回路 5 2
1
8
8
4
5
6 7 3
返 回
7 3
不 是 回 路
6
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1 8
4
5 7
2 6
3
对回路（1，5，8）和回路（2，5，6）列出2个KVL方 程，支路5的电压将在这两个回路中出现，把这两个方程相 加或相减总可以把支路5的电压消去，而得到回路（1，2，6， 8）的KVL方程。 可见这3个回路（方程）不是相互独立的，只有2个是独 立的。 一个图的回路数很多，确定它的一组独立回路需要利用 “树”的概念。
②连通图
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③子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
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④回路（Loop） 若一条路径起点与终点重合，除了起点和终点 重合以外，经过的其它结点不出现重复，这条闭合 路径就构成图G的一个回路。 满足：(1)连通，(2)每个结点关联2条支路。 1 5
2.KVL的独立方程数
方法1：取网孔为独立回路 2 1 2 对网孔列KVL方程： 1 u1 u3 u4 0 3 5 4 2 u2 u3 u5 0 3 u5 u4 u6 0
1
6
4
3
1 - 2 u1 u2 u4 u5 0
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
5
1
3
bl b bt b (n 1) 3
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
4 8 3 2
注意
对于平面图，网孔为基本回路。
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3.2 KCL和KVL的独立方程数
3
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结论
对于n个结点、b条支路的电路 ①独立的KCL方程数为n-1。 ②KVL的独立方程数 =基本回路数=连支数=b－(n－1) ③独立的KCL和KVL方程总数为：
(n 1) b (n 1) b
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3.3 支路电流法
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 对于有n个结点、b条支路的电路，以支路电流 为变量列写方程,未知量共有b个。只要列出b个独 立的电路方程，便可以求解这b个变量。
解1
(1) n–1=1个KCL方程：
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
设电流 源电压 a I3 7
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11 + 6A + 1 U 2 70V _ – b
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2
1 3
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6 4
2
对于平面图，可以引入网孔的概念。 平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，在限定的区 域内不再有支路； 回路（1，2，4）（2，3，5）（4，5，6）都是网孔 回路（1，3，5，4）（1，3，6）不是网孔 平面图的全部网孔是一组独立回路，平面图的网孔数就是 独立回路数 图示的平面图有4个结点，6条支路，独立回路数：
电阻电路一般分析方法的基础
• 电路的连接关系—KCL，KVL定律。 • 元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程 时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法 和结点电压法。