【华师大版】九年级数学上册《21.2二次根式的乘除3二次根式的除法课时练》(附答案)
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除1二次根式的乘法练习华东师大版(2021年整理
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21.2.1 二次根式的乘法知识点 1 错误!＝错误!·错误!成立的条件1．如果等式错误!·错误!＝错误!成立，那么有x＋1________0,1－x________0，所以x的取值范围是__________．2．若a·错误!＝错误!成立，则下列说法正确的是( ）A．a≥0，b≥0 B．a>0，b>0C．a≤0，b≤0 D．a<0,b〈0知识点 2 二次根式的乘法法则的应用3．计算：错误!×错误!＝错误!＝错误!＝____________．4．下列计算正确的是（）A.2×错误!＝错误! B。
错误!×错误!＝错误!C。
5×6＝错误! D。
错误!×错误!＝错误!5．[教材例1变式］计算：(1）错误!×错误!；（2)错误!×错误!；(3)6错误!×（－3错误!）; （4)错误!×错误!×错误!.6．下列运算正确的是( ）A．2错误!×3错误!＝6 错误! B.错误!a·错误!a＝4aC.错误!＝a3D.错误!×错误!＝错误!7．阅读下列解答过程,在括号中填入恰当的内容．（－a)2＝错误!×错误!①＝（－a×（－a））②＝错误!③＝错误!④＝a. ⑤(1)由上述过程可知a的取值范围为________；(2）上述解答过程有错误的是第________步，正确结果为________．8．王老师想设计一个长方形的实验基地,便于学生进行实地考察．为了考查学生的数学应用能力，他把长方形基地的长设计为80错误!米，宽设计为3 错误!米，让学生计算出这块实验基地的面积，你会计算吗？9．比较前后两个算式计算结果的大小(填“>”“<”或“＝”）:(1)2＋12________2×错误!×错误!；（2）3＋3________2×错误!×错误!;(3)9＋16________2×9×错误!；…通过观察与归纳，写出其中的规律,并说明理由．教师详答1．≥≥－1≤x≤12。
华师大版九年级数学上册-21.2二次根式的乘除 学案
第二十一章二次根式21.2二次根式的乘除学习目标：1、了解最简二次根式的概念。
2、会运用二次根式的乘除公式把不是最简二次根式的式子化成最简二次根式。
重点：化去化母的根号。
难点：二次根式的乘除运算。
前置作业1、填空= （a ≥0，b>0）= （a ≥0，b>0） 2、计算（1）312=_______ （2）23÷81=_______ 课堂探究1）496x = （2= （3）41÷161=______（4）864=_______ 2、化简 （1）643=_____ （2）22964a b =_____ （3）2649y x =_____ 思考1：观察课前预习中的（1）计算（2）化简中计算结算有何特点。
思考2：这些结果中的二次根式有如下两个特点：（1）被开方数不含分母 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 结论：最简二次根式的概念，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做___________。
试一试：计算：（1）53 （2）2723 （3）a28 解题思路：本题主要考查利用二次根式的乘除法法则化简二次根式。
解题过程：方法1： 方法2：思考1：通过上面的计算，怎样化去二次根式中的分母的根号？归纳：分母有理化：化去分母中根号的变形叫做分母有理化。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘）如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
做一做：将下列各分母中的根号或根号内的分母去掉。
（1）27 （2）7722 （3）x y 23 （4）12++x x 思路分析：将分母中的根号去掉及根号内的分母去掉是依据二次根式的除法公式b a ba = （a ≥0，b>0）及其逆运用来完成的分子、分母同乘（或除以）适当的数。
能力提升1、练习，课本P11第2、32、计算（1）4.0×6.3 （2）32×827（3）4032（4）27×50÷6 3、选择题下列二次根式中，是最简二次根式是（ ）A 、23aB 、31 C 、143 D 、156 课堂小结 1、最简二次根式；（1）被开方数中的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；（3）分母不能含根号.2、二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式）、平方数（式）；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；（3）三化：化去被开方数中的分母在进行二次根式的除法时时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．3、分母有理化的一般方法是：先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．4、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最二简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除1二次根式的乘法作业(新版)华东师大版
九年级数学上册第21 章二次根式 21.2 二次根式的乘除 1 二次根式的乘法作业（新版）华东师大版21.2二次根式的乘除1.二次根式的乘法1．经过计算、察看、对照，由特别到一般地概括出二次根式的乘法法例．2．经过对二次根式的乘法法例的学习，能娴熟地进行二次根式乘法的运算．3．经过回首乘法的联合律，能进行多个二次根式乘法的运算．目标一概括出二次根式的乘法法例例 1 教材增补例题填空：(1)4× 9＝ ______， 4×9＝ ______；(2)16× 25＝ ______， 16×25＝ ______；(3)100× 36＝ ______， 100×36＝ ______；(4) 100×0.01 ＝ ________，100×0.01 ＝ ________．经过上边的计算，你发现了什么？【概括总结】二次根式的乘法法例：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．目标二能运用法例进行二次根式乘法的运算例 2 教材例 1 针对训练计算：(1)3× 7；(2) 4× 0.25.(3)6 27×( － 23) ；【概括总结】二次根式乘法法例的应用：(1)a· b＝ ab( a≥0， b≥0)；(2)c a· d b＝ cd ab( a≥0， b≥0)．目标三能进行多个二次根式乘法的运算例 3 教材增补例题计算：(1)2× 3× 4；1 10(2)25×3 25×6.【概括总结】多个二次根式乘法的运算：(1) 当a≥0，b≥ 0，c≥ 0 时，a·b·c＝abc；(2) 当a≥0，b≥ 0，c≥ 0，，f≥0 时，a·b·c· · f ＝abc· · f .小结◆◆◆知识点二次根式的乘法一般地，有a· b＝________( a≥0， b≥0)．[点拨](1) 注意，在上式中，，b 都表示非负数．在本章中，假如没有特别说明，字a母都表示正数．(2) 二次根式乘法法例的推行：a·b·c＝abc( a≥0， b≥0， c≥0)．反省◆◆◆在实数和整式的乘法中存在ab＝ ba(互换律)、 a( bc)＝( ab) c(联合律)，那么在二次根式的乘法中能否也存在互换律和联合律呢？若存在，请举出一个详细例子．详解详析【目标打破】例 1 (1)6 6 (2)2020 (3)6060(4)11发现略例 2解：(1)3×7＝3×7＝21.(2) 4× 0.25 ＝4×0.25 ＝ 1＝ 1.(3)6 27×( － 2 3) ＝6×( －2) ×27×3＝－ 12 81＝－ 12×9＝－ 108. 例 3解：(1)2×3×4＝2×3×4＝24.1 10 1 1(2)25×3 25×6 ＝2×3×6×5×25×10＝ 2.备选目标二次根式乘法法例的应用例已知直角三角形两边的长分别为3和5，求这个直角三角形的面积．[ 分析 ]已知直角三角形的两边长求面积，有两种可能：一种是已知两条边长都是直角边长，另一种是已知一条直角边长和一条斜边长．解：当3和5都是直角边长时，如图①所示．在 Rt△ABC中，AC＝3， BC＝5，1 1 1∴ S△ABC＝2AC·BC＝2×3×5＝ 2 15.图①图②当 3是直角边长， 5是斜边长时，如图②所示．在 Rt△ABC中，AC＝3， AB＝5，2 2 2 2∴ BC＝ AB－ AC＝（5）－（3）＝ 2，1 1 16.∴ S△ABC＝AC·BC＝×3× 2＝2 2 21 1所以，这个直角三角形的面积是2 6或215.【总结反省】[小结]知识点ab[ 反省 ] 在二次根式的乘法中存在互换律和联合律，比如： (1) 2× 8＝8× 2＝ 161 1 1＝4( 互换律 ) ；(2) 4 ×2× 50＝ 4×2× 50 ＝ 2×2×50 ＝ 2 25＝2×5＝10.。
华东师大版九年级上册数学第21章《二次根式》分课时练习题 及答案
第21章_21.1_二次根式_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列各式中，为二次根式的是（）A. B.C. D.2.若、是实数，且，则的值是（）A.或B.或C.或D.或3.要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（）A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.计算，结果是（）A. B. C. D.6.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.当的值为最小时，则A. B. C. D.无法确定8.若是二次根式，则下列说法正确的是（）A.，B.且C.，同号D.9.下列说法正确的是（）A.有意义，则B.在实数范围内不能因式分解C.方程无解D.方程的解为10.下列命题正确的个数是（）个．①用四舍五入法按要求对分别取近似值为（精确到）；②若代数式有意义，则的取值范围是且；③数据、、、的中位数是；④月球距离地球表面约为米，将这个距离用科学记数法（保留两个有效数字）表示为米．A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若，化简的正确结果是________．12.若，则________．13.当时，二次根式的值是________．14.已知实数满足，则代数式的值为________．15.使有意义的条件是________．16.计算：________．17.把根号外的因式移到根号内：________．18.已知，则的算术平方根是________．19.若是正整数，则正整数的最小值为________．20.设，，…，，则化简的结果用（为整数）的式子表示为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.化简：；；；．22.若时，试化简：．23.小明同学在做“当是何实数时，在实数范围内有意义”时，他把此题转化为“当取什么实数时，是二次根式”，这种转化对吗？请说明理由．24.若满足，求的值．25.已知，均为实数，且，求的值．26.阅读材料，解答下列问题．例：当时，如则，故此时的绝对值是它本身；当时，，故此时的绝对值是零；当时，如则，故此时的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；猜想与的大小关系．答案1.D2.B3.A4.D5.A6.C7.A8.D9.C10.C11.或12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.解：原式；原式；原式；原式．22.解：∵，∴，，，则原式．23.解：这种转化对，理由：∵形如，的形式叫二次根式，∴当是何实数时，在实数范围内有意义，可以转化为：当取什么实数时，是二次根式，即这种转化对．24.解：由，得，，平方，得，移项，得．25.解：由题意得，，且，∴且，解得，，∴．26.解：由题意可得；由可得：．21.2_二次根式的乘除_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.下列根式中，最简二次根式为（）A. B.C. D.2.下列根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.3.下列各数中，与的积为有理数的是（）A. B. C. D.4.若，则的取值范围是（）A. B.C. D.5.下列根式中，是最简二次根式的是（）A. B.C. D.6.一个矩形的长和宽分别是、，则它的面积是（）A. B. C. D.7.已知，，则，的关系为（）A. B. C. D.8.下列各式中，最简二次根式为（）A. B. C. D.9.下列各式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.10.下列等式中，错误的是（）①，②，③，④；A.①②B.①②③C.①②④D.②③④二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.的有理化因式可以是________．12.将化成最简二次根式的结果为________．13.在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有________．（填序号）14.________．15.计算：________．16.下列各式：①②③④是最简二次根式的是________（填序号）．17.（江西）计算：________18.观察下列等式：①；②；③，根据以上的规律则第个等式________．19.在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有________个．20.将根式，，，化成最简二次根式后，随机抽取其中一个根式，能与的被开方数相同的概率是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．；；；；；．22.计算：；；．23.计算：；．24.已知为奇数，且，求的值．25.观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例，例，，观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例，例，，________；________．请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．利用上面的结论，求下列式子的值．．26.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：，，同理可得：，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算的值．答案1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.A8.D9.C10.B11.12.13.②③⑥14.15.16.②③17.18.19.20.21.解：，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式；，不是最简二次根式；，不是最简二次根式；是最简二次根式．22.解：原式；原式；原式．23.解：，，，；，，．24.解：∵，∴，解得；又∵为奇数，∴，∴．25.26.解：原式．21.3_二次根式的加减法_同步课堂检测考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（）A. B. C. D.2.下列各组根式是同类二次根式的是（）A.和B.和C.与D.与3.下列式子计算正确的是（）A. B.C. D.4.下列各式成立的是（）A. B.C. D.5.下列计算正确的是（）A. B.C. D.6.若，那么的值是（）A. B. C. D.7.设，，则的值为（）A. B. C. D.8.下列运算正确的是（）A. B.C. D.9.将一个边长为的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（）A. B.C. D.10.的两边的长分别为，，则第三边的长度不可能为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.若最简根式和是同类根式，则________．12.下列四个二次根式①，②，③，④，其中与是同类项二次根式的是________（只填序号）13.计算：________．14.当，时，________．15.化简________．16.计算：________．17.________．18.已知：，是两个连续自然数，且．设，则是________．（填：奇数、偶数或无理数）19.已知，，则代数式的值为________．20.如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是和，那么两个长方形的面积和为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.计算：；．22.已知和是同类二次根式，求，的值．23.如果与是同类二次根式，求正整数，的值．24.计算：．24.已知，，求的值．25.已知，，求的值；25.已知，，求的值．26.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中、、为三角形的三边长，为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：…②（其中．）若已知三角形的三边长分别为，，，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；你能否由公式①推导出公式②？请试试．答案1.B2.A3.C4.D5.B6.C7.C8.D9.A10.A11.12.①③13.14.15.16.17.18.奇数19.20.21.解：原式；原式．22.解：由和是同类二次根式，得，解得．23.解：因为与是同类二次根式，可得：，，因为正整数，，解得：，．24.解：原式；∵，，∴，∴．25.解：∵，，∴，，∴原式；∵，∴，∴原式．26.解：，；，又；，，，，∴．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）。
新华师大版数学九年级上册21.2二次根式的乘除3二次根式的除法同步练习
21.2.3 二次根式的除法知识点 1a b＝ab 成立的条件 1．若x x ＋1＝xx ＋1成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是________．2．等式－b a＝－ba成立的条件是( )A ．a ，b 异号B ．a >0，b >0C ．a ≥0，b ≥0D ．a >0，b ≤0 知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483＝（ ）（ ）＝________．4．计算： (1)183； (2)328；(3)315÷135； (4)3ab 32ab2.知识点 3 商的算术平方根 5．计算：29＝（ ）（ ）＝________． 6．若3＋x 3－x ＝3＋x 3－x成立，则x 的取值范围是( ) A ．－3≤x ＜3 B ．x ＜3C ．x ＞－3D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)916； (2)325；(3)549； (4)－11－36.知识点 4 最简二次根式 8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．－ 2 B.12 C.15D.a 29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个． ①x 2； ②0.3； ③118； ④2x 2＋1. 10．化简： (1)17； (2)113； (3)510； (4)438.11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a b ＝a b，②ab ·ba ＝1，③ab ÷a b＝－b 中，正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③12．若 2m ＋n －2和 33m －2n ＋2都是最简二次根式，则m n＝________． 13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47； (2)113÷223×135； (3)3 223÷1225×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝a b也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．15．请先化简x －1x －1÷1x 2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 2. D3. 48 3 16 44．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 236．A 7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35. (3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116. 8．A 9．3 10．解：(1)17＝77×7＝77. (2)113＝43＝4×33×3＝2 33. (3)510＝5 1010×10＝5 1010＝102.(4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6. 11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝3542. (2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝255. (3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对． 理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义． 改正：－27－3＝273＝9＝3. 15．解：由题意得x >1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 ＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x .代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3. 16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝5 16，5＋17＝6 17，6＋18＝7 18. (2)规律：n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2. 证明：n ＋1n ＋2＝n （n ＋2）＋1n ＋2＝n 2＋2n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2.。
华东师大版九年级数学上册《21.2二次根式的乘除3.二次根式的除法》
《二次根式的除法》本节课是义务教育课程标准试验华东师大版教科书数学九年级上册，第21章《二次根式》第二节《二次根式的乘除》第二课时。
本节是在上节学习的二次根式的定义和性质和二次根式的乘法的基础上，进一步学习二次根式的除法。
在化简二次根式的同时，引导学生概括出二次根式的乘除法法则，为进一步学习二次根式的加减法提供基础。
【知识与能力目标】1、使学生掌握二次根式的除法法则；2、会应用二次根式的除法法则进行简单的二次根式的除法运算；3、能正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算；【过程与方法目标】经历从现实世界中抽象出数学知识的过程，通过丰富的生活实例，进一步认识二次根式的特征和性质.【情感态度价值观目标】在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，并敢于表现自己，丰富学习数学的成功体验，激发对数学学习的好奇心.【教学重点】应用二次根式的除法法则进行简单的二次根式的除法运算.【教学难点】正确地进行简单的二次根式的乘除法混合运算.课前准备教师准备：课件、多媒体；学生准备：课件，练习本；教学过程一、导入新课1、分别用式子表示二次根式积的算术平方根的性质及二次根式的乘法法则。
二者的关系是什么？答：二次根式积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
即()0baaba,0≥≥⋅=b二次根式的乘法法则是：()0aabba这两个式子是⋅b,0≥≥=互逆的关系。
2、二次根式商的算术平方根的性质是什么？并用式子表示。
答：二次根式商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以式的算术平方根，即二、新课学习把式子ba ba =()0,0>≥b a 反过来，得到baba =()0,0>≥b a 这是二次根式的除法法则。
运用这个法则可以进行二次根式的除法运算。
例1 计算 （1）672 ； （2）61211÷。
解：(1)672=3232321267222=⨯=⨯== (2) 由学生口述，并说明各步运算依据） 练习1：计算（1）354- （2）531513÷例2 计算：（1）4540 （2）345653n m n m ÷解：（1）4540=32298984540=== （3）345653n m n m ÷=mn n m n m n m n m nm n m 5353535353222234563456==== 指出：在进行二次根式的除法运算时，有时要把除法法则与商的算术平方根的性质结合应用，如上面例2的第（1）题。
九年级数学上册 第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 3 二次根式的除法作业 (新版)华东师大版
3.二次根式的除法1．通过回顾、类比、动手练习和猜想，归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质．2．通过对二次根式除法法则的应用与变式学习，能熟练地进行二次根式除法的运算． 3．在进行二次根式化简的过程中，归纳提炼出最简二次根式的概念，会识别最简二次根式．4．在理解最简二次根式概念的基础上，能采用适当法则和性质把二次根式化为最简二次根式．目标一 归纳出二次根式的除法法则和商的算术平方根 例1 教材补充例题(1)二次根式的除法：①49＝________，49＝________； 1625＝________，1625＝________； 10036＝________，10036＝________． ②根据①，你猜想一下，在a ≥0，b ＞0的条件下，ab________a b. (2)商的算术平方根： 把上式反过来写是什么？ab＝________(a ____0，b ____0)．当a ＝4，b ＝9时，它成立吗？________． 【归纳总结】 二次根式的除法法则：a b＝ab，条件限制应该是a ≥0，b ＞0，而不能是a ≥0，b ≥0；反之也成立． 目标二 能用二次根式的除法法则进行计算 例2 教材例3针对训练计算：(1)243； (2)32÷118；(3)－27÷⎝ ⎛⎭⎪⎫31038.【归纳总结】 计算二次根式除法的方法：二次根式相除，可将系数与系数相除，根号内的被开方数与被开方数相除，注意最后的结果要化成最简二次根式或整式．目标三会识别最简二次根式例 3 教材补充例题在49，0.1，12，7，9a，5xy2中，最简二次根式的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】判别最简二次根式的两个“没有”：1．被开方数中没有分母；2．被开方数中没有能开得尽方的因数或因式．目标四能把二次根式化为最简二次根式例4 教材例4针对训练化简25，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．【归纳总结】化简二次根式的类型和方法：类型一：被开方数不含分母，此时需分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．类型二：被开方数含分数(式)或小数．此类问题有两种解法，一种是利用分数(式)的基本性质，把被开方数的分母变成平方数(式)；另一种是先逆用二次根式的除法法则，再将分子、分母同时乘以分母中的二次根式．◆◆◆知识点一二次根式的除法法则一般地，有ab＝________(a≥0，b>0)．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们______________________________．[注意] 被开方数是带分数时要化为假分数；被开方数是小数时要化为分数．知识点二商的算术平方根等式ab＝ab(a≥0，b＞0)也可以写成ab＝ab(a≥0，b＞0)．这就是说，商的算术平方根，等于_________________________________________．知识点三最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．◆◆◆化简：－27－3.解：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确答案．详解详析【目标突破】例1 (1)①23 23 45 45 53 53②＝(2)a b≥ > 成立例2 [解析] 两个二次根式相除，可采用根号前系数与系数对应相除，再乘根号内被开方数对应相除后的根式．解：(1)原式＝243＝8＝4×2＝2 2. (2)原式＝32÷118＝32×18＝3×9＝3 3. (3)原式＝(－1÷310)27÷38＝－1039×8＝－20 2.例3 [解析]A 因为49＝7，0.1＝1010，12＝22，9a ＝3 a ，5xy 2＝|y|5x ，所以只有7是最简二次根式．例4 解：25＝2×55×5＝25 5. [备选例题] 化简15＋2，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母． 解：15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2（5）2－22＝5－2. 【总结反思】[小结]知识点一ab被开方数的商的算术平方根知识点二算术平方根的商[反思] 不正确，错误出现在忽略ab＝ab成立的条件：a≥0，b>0.－27－3本身有意义，但是－27－3却无意义．正确的解答过程如下：－27－3＝9＝3.。
【新华东师大版】九年级数学上册：21.2《二次根式的乘除法》第3课时学案(含答案)
21.2二次根式的乘除法第三课时一、教学目标1•使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式.2•使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法.3•使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用.二、教学重点和难点1•重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式.2•难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法.教学过程：一、知识回顾：1、二次根式的乘法运算法则是___________________ 用文字语言表达_________________ ?积的算术平方根的公式是_________________________2、二次根式的除法运算法则___________________ 用文字语言怎么表达_________________ ?商的算术平方根的公式是_________________________3、化简(1) .27= ____________ 25a3= __________ .54= ___________ 12a2b2= ___________二、探究问题：1化简时必须化到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢?2、观察两组题目的化简结果，看看被开放数达到了哪些的要求才算最简？归纳：最简二次根式要求满足以下两条：(1)被开方数中的不含_________________(2)被开方数中不含_______________________________我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
2、举出两个最简二次根式______________________3、判断下列各式是否为最简二次根式？1三、试一试:112 ; (2) 45a2b ； ( 3) 一30x ；3=—(7) . 25m4225m2 (6) 5m. m29例1把下列各式化成最简二次根式：（1）.12 （2）、. 45a2b解（1）.12 =（2）45a2 b =方法总结：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
九年级数学上册第21章二次根式21.2二次根式的乘除3二次根式的除法同步练习新版华东师大版60
21.2.3 二次根式的除法知识点1 ab＝ab成立的条件1．若xx＋1＝xx＋1成立，则有x________0，x＋1________0，所以x的取值范围是________．2．等式－ba＝－ba成立的条件是( )A．a，b异号B．a>0，b>0 C．a≥0，b≥0 D．a>0，b≤0 知识点2 二次根式的除法3．计算：483＝（）（）＝________．4．计算：(1)183；(2)328；[~#^%@] [@~^%&](3)315÷135；(4)3ab32ab2.知识点3 商的算术平方根5．计算：29＝（）（）＝________．6．若3＋x3－x＝3＋x3－x成立，则x的取值范围是( )A．－3≤x＜3 B．x＜3C．x＞－3 D．－3＜x≤3 7．化简：[#^&%*](1)916；(2)325；[~^%@*] [*%#&^](3)549；(4)－11－36. [~%^&#][#@*~%][%#^*&]知识点4 最简二次根式[~&%@#]8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A．－ 2 B.12 C.15D.a29．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个．①x2；②0.3；③118；④2x2＋1.10．化简：(1)17；(2)113；[^~@*#][^@*&%](3)510；(4)438. [*@^%#][&@~#*] [#~&^%]11．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1，③ab÷ab＝－b中，正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③[%~#&*]12．若 2m＋n－2和 33m－2n＋2都是最简二次根式，则m n＝________．13．［教材习题21.2第2题变式］计算：(1)35×52÷47；(2)113÷223×135；[@~&%^](3)3 223÷1225×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1815.14．王聪学习了二次根式的除法公式ab＝ab后，他认为该公式逆过来a b ＝ab也应该成立，于是这样化简了下面这道题：－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9－3＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．[~^%#@] [~%^&#]15．请先化简x－1x－1÷1x2－x，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．16．观察下面的式子：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，….(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；(2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并给出证明．教师详答1．≥ > x ≥0 [*^%~#]2. D3. 48 3 16 4 4．(1) 6 (2)2 (3)2 (4)32b 5.2 9236．A7．解：(1)916＝916＝34. (2)325＝325＝35.(3)549＝499＝499＝73. (4)－11－36＝1136＝1136＝116.8．A 9．310．解：(1)17＝77×7＝77.(2)113＝43＝4×33×3＝233.(3)510＝51010×10＝51010＝102. [*~#&%](4)438＝4 3×28×2＝4 616＝4 64＝ 6.11． B12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47＝352×28×2＝3542. [^~*@&](2)原式＝43÷83×85＝45＝4×55×5＝25 5.(3)原式＝9×83÷121025×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1815 ＝－24÷102×5×158＝－2 6×1010×158＝－2 6×10×158＝－9004＝－152. 14．解：不对．理由：因为－27－3有意义，而－27－3中的二次根式无意义．改正：－27－3＝273＝9＝3. [#@*&~]15．解：由题意得x>1, 所以原式＝x －1x －1·x ()x －1 [*^&%~]＝()x －12x x －1＝x －1x －1x ＝x.代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2.当x＝9时，原式＝3. [*@%~^]16．解：(1)答案不唯一，如4＋16＝516，5＋17＝617，6＋18＝718.(2)规律：n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.证明：n＋1n＋2＝n（n＋2）＋1n＋2＝n2＋2n＋1n＋2＝(n＋1)1n＋2.写作语言要连贯1．了解“连贯”这个概念，学会判断语句是否连贯。
九年级数学上册第21章二次根式21-2二次根式的乘除21-2-3二次根式的除法新版华东师大版
课程讲授
1 二次根式的除法
问题2：根据二次根式的除法法则，我们还能得到怎样 的规律？
（a≥0，b＞0）
a a
b
b
商的算术平方根
a 0,b 0
课程讲授
1 二次根式的除法
问题3：与积的算术平方根的性质比较，商的算术平方 根有什么异同点？
a a a 0, b 0
b
b
ab a b பைடு நூலகம் 0,b 0
_______；
36 49
=_______．
课程讲授
1 二次根式的除法
二次根式的除法法则: （a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
课程讲授
1 二次根式的除法
练一练：计算：
1 40 ; 2 4 1 .
5
3 12
解：
(1) 40 40 8 2 2; 55
(2) 4 1 4 1 4 12 16 4. 3 12 3 12 3
A．10 B．5 C． 5 D．2
随堂练习
2.下列各式中 ,正确的是（ C ）
A． 12 3 2 B． 12 2 3 C． 12 3 2 D． 12 3 8
随堂练习
3.计算
15 12 2 45
解：
课堂小结
二次根式的 除法法则
（a≥0，b＞0）
二次根式 的乘法
最简二次 根式
被开方数不含分母；
2
2 与其他的二次根式不同
被开方数中不含能开得 尽方的因数或因式
2
2
被开方数不含分母
课程讲授
2 最简二次根式
2 2
特点归纳如下： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
华师大版初中数学九年级上册《21.2.3 二次根式的除法》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《21.2.3 二次根式的除法》同步练习卷一．选择题（共8小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．1B．2C．3D．44．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②×=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．6．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0D．a2=b28．﹣1的倒数为（）A．﹣1B．1﹣C．+1D．﹣﹣1二．填空题（共8小题）9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=．10．在，，，﹣，中，是最简二次根式的是．11．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有个．12．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有．（填序号）13．化简：×=．14．已知﹣1＜a＜0，化简得．15．+=．16．计算：=．三．解答题（共24小题）17．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）（2）（3）（4）（5）．18．把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）．19．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（a＞0）．20．把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）x2；（3）；（4）；（5）；（6）．21．2×÷5．22．（1）÷3×5；（2）（﹣）÷（）．23．计算：2×．24．（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值．25．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．26．计算：．27．计算：4÷（﹣）×．28．计算或化简：（1）÷（﹣）×（2）（﹣）÷．29．计算：．30．计算：÷×2÷2．31．计算与化简：（1）（2）（3）×3（4）2×（5）（6）÷（7）（8）．32．（x＞0，y＞0）33．化简：4x2．34．化简：3a•（﹣）（a≥0，b≥0）35．计算：×（）÷．36．计算：．37．计算：（1）•2•（﹣）；（2）•（÷2）．38．计算：（1）2×3（2）（3）÷（）×（4）（4）÷（a、b＞0）39．计算：•（﹣）÷3．40．（1）；（2）；（3）；（4）．华师大新版九年级上学期《21.2.3 二次根式的除法》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】A、B选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；B、不是最简二次根式，故本选项错误；C、不是最简二次根式，故本选项错误；D、是最简二次根式，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了对最简二次根式定义的应用，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：①是最简二次根式；②=，被开方数含分母，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．①③是最简二次根式，故选C．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：=3，=，=等都不是最简二次根式，而，，是最简二次根式，即最简二次根式有3个．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，能正确判断一个根式是否是最简二次根式是解此题的关键，此题是一道比较容易出错的题目．4．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②×=1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】由ab＞0，a+b＜0先求出a＜0，b＜0，再进行根号内的运算．【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0①=，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），②•=1，•===1，（故②正确），③÷=﹣b，÷=÷=×=﹣b，（故③正确）．故选：B．【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．5．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．6．把（a﹣1）中的（a﹣1）因子移入根号内得（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．【解答】解：根据题意可知a﹣1＜0，所以（a﹣1）=﹣=﹣，故选：D．【点评】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算．从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．7．已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．ab=1B．a+b=0C．a﹣b=0D．a2=b2【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a﹣b、a2、b2，求出每个式子的值，即可得出选项．【解答】解：a===2+，b===2﹣，A、ab=（2+）×（2﹣）=4﹣3=1，故本选项正确；B、a+b=（2+）+（2﹣）=4，故本选项错误；C、a﹣b=（2+）﹣（2﹣）=2，故本选项错误；D、∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2﹣）2=4﹣4+3=7﹣4，∴a2≠b2，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．8．﹣1的倒数为（）A．﹣1B．1﹣C．+1D．﹣﹣1【分析】首先根据互为倒数的两个数的乘积是1，用1除以，求出它的倒数是多少；然后根据分母有理化的方法，把分母有理化即可．【解答】解：∵，∴的倒数为：．故选：C．【点评】（1）此题主要考查了分母有理化的含义，以及分母有理化的方法，要熟练掌握．（2）此题还考查了两个数互为倒数的含义和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．二．填空题（共8小题）9．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=2，故答案为：2．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．10．在，，，﹣，中，是最简二次根式的是．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：是最简二次根式，故答案为：．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．11．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有2个．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：，是最简二次根式，故答案为：2．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．12．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有②③⑥．（填序号）【分析】先根据二次根式的性质画简各根式，再根据最简二次根式的定义判断即可，也可以直接根据简二次根式的定义进行判断．【解答】解：①=a，不是最简二次根式，④=，不是最简二次根式，⑤=2，不是最简二次根式，而②③⑥是最简二次根式．故答案为：②③⑥．【点评】本题考查了最简二次根式，注意：最简二次根式的定义包括的含义是①被开放数的每个因式是整式，因数是整数，②被开放数的每个因式的指数都小于根指数2．13．化简：×=．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式===．故答案为：【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．已知﹣1＜a＜0，化简得﹣．【分析】先根据完全平方公式，将两个被开方数转化为完全平方式，然后根据已知条件，判断出a+，a﹣的符号，再开方求解即可．【解答】解：∵﹣1＜a＜0，∴a+＜0，a﹣＞0；∴==（a﹣）[﹣（a+）]=﹣．【点评】解决本题的关键是根据已知条件确定a+，a﹣的符号．15．+=2﹣．【分析】先根据二次根式的性质开方，再分母有理化，即可得出答案．【解答】解：原式=+=+=+=﹣+2﹣=2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的性质的应用，注意：n+m的有理化因式是n﹣m．16．计算：=．【分析】按照实数的运算法则依次计算，=2，将分母有理化．【解答】解：原式=2+=2+﹣2=．故本题答案为：．【点评】涉及知识：数的负指数幂，二次根式的分母有理化．三．解答题（共24小题）17．在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．（1）（2）（3）（4）（5）．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：（1）=，含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式．（2）=，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；（3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；（4）==，在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式；（5）==，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．【点评】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．18．把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）．【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．【解答】解：（1）原式==××==；（2）原式=﹣××=．【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．19．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？把不是最简二次根式的化成最简二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（a＞0）．【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式进行判断，根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：（1）=；（2）=；（3）是最简二次根式；（4）=4m；（5）=（a+3）．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的化简，掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．20．把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）x2；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】（1）先将带分数化为分数再开方．（2）直接开方再分母有理化；（3）直接开方即可．（4）将小数化为分数后再开方．（5）通分后再开方．（6）通分后再开方，然后再分母有理化．【解答】解：（1）原式==a；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【点评】本题考查二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错．21．2×÷5．【分析】本题需先根据二次根式的乘除法的法则分别进行计算，即可求出答案．【解答】解：2×÷5=4×==．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要根据二次根式的乘除法的法则进行计算是本题的关键．22．（1）÷3×5；（2）（﹣）÷（）．【分析】（1）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可；（2）利用二次根式的乘除运算法则将除法变为乘法，根号内的和根号内部相乘除，根号外的与根号外部相乘除，进而化简得出即可．【解答】解：（1）÷3×5=×5=；（2）（﹣）÷（）=﹣××3=﹣=﹣9x2y．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．23．计算：2×．【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．【解答】解：原式=（2××），=．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，关键是能熟练地运用法则进行计算，题目比较典型，难度适中，此题是一道容易出错的题目．24．（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x=﹣1，求x2+3x﹣1的值．【分析】（1）根据二次根式的定义和已知求出x、y都是负数，先化成最简根式，再根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．（2）把代数式化成（x+1）2+x﹣2，代入后根据二次根式的混合运算法则进行计算即可．【解答】（1）解：原式=﹣•（）÷，=（••），=﹣8x2y．（2）解：x=﹣1，∴x2+3x﹣1，=x2+2x+1+x﹣2，=（x+1）2+x﹣2，=+﹣1﹣2，=2+﹣3，=﹣1+．【点评】本题考查了二次根式的性质和定义，代数式求值，二次根式的乘除法法则等知识点的应用，解此题的关键是把根式化成最简根式，注意：从题中得出x、y都是负数，=﹣x，=﹣y，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．25．已知x、y为正数，且（+）=3（+5），求的值．【分析】要求代数式的值，要首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可．【解答】解：由已知条件得x﹣2﹣15y=0，∴（+3）（﹣5）=0，∵+3＞0，∴﹣5=0，∴，x=25y，∴==2．【点评】能够对所给条件适当的变形是解题的关键，对条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形．26．计算：．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则直接求出即可．【解答】解：=3×（﹣）×2=﹣×5=﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练应用运算法则是解题关键．27．计算：4÷（﹣）×．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．【解答】解：原式=﹣2÷×=﹣×=﹣．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则和除法法则．28．计算或化简：（1）÷（﹣）×（2）（﹣）÷．【分析】（1）根据二次根式的性质即可取出答案．（2）根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=×3××=﹣2（2）原式=（﹣）×=×=【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．29．计算：．【分析】先将带分数化为分数，然后然后根据×=进行二次根式的乘法运算即可．【解答】解：原式=××==×4=3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法运算，难度不大，将带分数化简为分数是很关键的一步．30．计算：÷×2÷2．【分析】先把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：原式=××2×=1．【点评】本题考查了二次根式的乘除法法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．31．计算与化简：（1）（2）（3）×3（4）2×（5）（6）÷（7）（8）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（3）直接利用二次根式的乘法运算法则求出答案；（4）直接利用二次根式的乘法运算法则求出答案；（5）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案；（7）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（8）直接利用二次根式的性质化简求出答案．【解答】解：（1）=×=6×16=96；（2）=2x；（3）×3=×2×3=×3a=；（4）2×=×=；（5）==2y；（6）÷=2×=；（7）=；（8）==．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键．32．（x＞0，y＞0）【分析】根据二次根式的乘除法把根号外的相乘除，根号里的相乘除再化简即可．【解答】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．33．化简：4x2．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：4x2=4x2÷12×3=x2=xy．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算法则，正确化简二次根式是解题关键．34．化简：3a•（﹣）（a≥0，b≥0）【分析】根据二次根式的乘法运算法则直接得出即可．【解答】解：原式=﹣2a，=﹣12ab．【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．35．计算：×（）÷．【分析】根据二次根式乘除法及分母有理化的知识解答即可．【解答】解：原式=b2×（﹣a）÷3=2b×（﹣a）×=﹣a2b．【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟悉二次根式乘除法的法则是解题的关键．36．计算：．【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．【解答】解：原式=•（﹣）•（﹣）=﹣•（﹣）=﹣xy•（﹣x）=．【点评】正确理解二次根式乘除法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．37．计算：（1）•2•（﹣）；（2）•（÷2）．【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可；（2）首先除法化成乘法，进而利用二次根式乘法运算法则求出即可．【解答】解：（1）•2•（﹣）=2×（﹣）=﹣=﹣4；（2）•（÷2）=×××=．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．38．计算：（1）2×3（2）（3）÷（）×（4）（4）÷（a、b＞0）【分析】（1）系数相乘，被开方数相乘，最后求出即可；（2）把被开方数分解因式后开出来即可；（3）分别把系数和被开方数分别相乘除，再求出最后结果即可；（4）把被开方数相乘除，最后求出结果即可．【解答】解：（1）原式=（2×3）×=6×6=36；（2）原式===（a2+b2）；（3）原式=（1××4）×=10；（4）原式===．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的计算和化简能力．39．计算：•（﹣）÷3．【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：•（﹣）÷3=×（﹣）×=﹣=﹣a2b．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．40．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则求解．【解答】解：（1）原式=﹣×24=﹣24；（2）原式=×6=2；（3）原式==1；（4）原式=××（﹣）=﹣4；【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则．。
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华东师大版初三
数学上册精编试卷系列（附解析）
21.2.3 二次根式的除法
知识点 1
a b
＝a
b 成立的条件 1．若
x x ＋1
＝
x
x ＋1
成立，则有x ________0，x ＋1________0，所以x 的取值范围是
________．
2．等式
－b a
＝
－b
a
成立的条件是( )
A ．a ，b 异号
B ．a >0，b >0
C ．a ≥0，b ≥0
D ．a >0，b ≤0 知识点 2 二次根式的除法 3．计算：483
＝
（ ）
（ ）
＝________．
4．计算： (1)183
； (2)
328
；
(3)
315
÷135； (4)3ab 3
2ab
2.
知识点 3 商的算术平方根 5．计算：
29＝（ ）（ ）
＝________． 6．若
3＋x 3－x ＝3＋x 3－x
成立，则x 的取值范围是( )
A ．－3≤x ＜3
B ．x ＜3
C ．x ＞－3
D ．－3＜x ≤3 7．化简： (1)9
16
； (2)325
； (3)
54
9
； (4)－11
－36
.
知识点 4 最简二次根式 8．［2017·贵港］下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．－ 2 B.12 C.
15
D.a 2
9．下列二次根式中，不是最简二次根式的有______个． ①x 2
； ②0.3； ③118
； ④2x 2
＋1. 10．化简： (1)17； (2)
113
； (3)510
； (4)4
3
8
.
11．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①
a b ＝a b
，②a
b ·b
a ＝1，③a
b ÷a b
＝－b 中，正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
12．若 2m ＋n －2
和 33m －2n ＋2
都是最简二次根式，则m n
＝________． 13．［教材习题21.2第2题变式］计算： (1)35×52
÷47
； (2)11
3
÷223
×135
； (3)3 223÷12
25×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－18 15.
14．王聪学习了二次根式的除法公式
a b
＝a
b
后，他认为该公式逆过来a b ＝a b
也应该成立，于是这样化简了下面这道题：
－27－3＝－27－3＝（－3）×9－3＝－3×9
－3
＝9＝3.你认为他的化简过程对吗？若不对，请说明理由，并改正．
15．请先化简x －1
x －1÷1
x 2
－x
，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．
16．观察下面的式子：
1＋13
＝213
，2＋14
＝314
，3＋15
＝41
5
，…. (1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子(至少写3个)；
(2)请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来，并给出证明．
教师详答
1．≥ > x ≥0 2. D
3. 48 3 16 4
4．(1) 6 (2)2 (3) 2 (4)32 b 5.2 9 2
3
6．A 7．解：(1)
916＝916＝34
. (2)
325＝325＝35. (3)
549＝499＝499＝73. (4)
－11
－36
＝1136＝1136
＝11
6. 8．A 9．3 10．解：(1)
17＝
7
7×7＝77. (2)
11
3＝43＝4×33×3＝2 3
3. (3)
510＝
5 10
10×10
＝5 1010＝102.
(4)4
3
8
＝4 3×28×2＝4 616
＝4 64＝ 6. 11． B
12． 1 13．解：(1)原式＝35×52÷47
＝
352
×28×2＝35
4
2. (2)原式＝43÷83×85＝45
＝4×55×5＝2
5
5. (3)原式＝
9×83÷12
1025×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－18 15 ＝－24÷102×5×15
8
＝－2 6×
1010
×15
8
＝－2 6×10×158＝－9004＝－152
. 14．解：不对． 理由：因为
－27－3有意义，而－27－3
中的二次根式无意义． 改正：
－27
－3
＝27
3
＝9＝3. 15．解：由题意得x >1, 所以原式＝
x －1
x －1
·x ()x －1 ＝
()x －12
x x －1
＝
x －1
x －1
x ＝x .
代入求值答案不唯一，如：当x ＝4时，原式＝2. 当x ＝9时，原式＝3. 16．解：(1)答案不唯一，如4＋1
6＝5 16
，5＋17
＝6 17
，6＋18
＝7 18
. (2)规律：n ＋1
n ＋2
＝(n ＋1)1n ＋2
. 证明：n ＋1n ＋2
＝n （n ＋2）＋1
n ＋2＝
n 2＋2n ＋1
n ＋2
＝(n ＋1)
1
n ＋2
.。