新高考版高考数学专题复习 §9.4 双曲线
双曲线及其性质-高考数学复习课件
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9-4 双曲线 教师版
专题9.4双曲线练基础1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则该双曲线的离心率是（）AB C ．2D【答案】D 【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，易知by x a=与直线230x y -+=平行，所以=2b e a ⇒故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得b =，再将点代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c ea == ，则2c a =，b ==，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，那么双曲线的离心率是（）AB C ．2D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20by a=，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可.【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =，因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e =故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A B C ．2D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）则a =（）B．4C．2D．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a a=，解得12a =，故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的，则C 的焦距等于（）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 60c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩ ，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a 2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =.故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =或b =，因为0b >，所以b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y =2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.故答案为：3练提升1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为()53C．22【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c==PO a∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)2222246322b c abc a b cc+-∴=⇒=⋅e 3∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（）A B ．53C D ．103【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即3c e a ==.故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．233C D ．33【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴=所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=.故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)3P x x ±，根据圆的性质有120F P F P ⋅= ，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可.【详解】由题设，渐近线为3y x =±，可令00(,)3P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)3F P x =+± ，200(2,)3F P x x =- ，又220120403x F P F P x ⋅=-+= ，∴0x =故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A ．B ．55(,)32C ．55(,42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1，所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d <<即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e <<故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a=D ．若M 为直线2a xc =（c ）上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确；由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确；对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ，当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确；对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=，在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=，又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t --∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMN S = 【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项.【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =，当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩，所以132PMN S PM PN ==△，故C 对；选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩，所以162PMN S PM MN ==△，故D 对，故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案.【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案.【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯= ．当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=．故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案；【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||3AC R =，1(31)(||||)22R a AC BC -=-=，31==+c e a ．故答案为：31+练真题1.（2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B 132C 7D 13【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即72e =.故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -OP |=（）A．222B．4105C．710【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==．故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（）B．C．2D．【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c == ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==．e ∴=，故选A．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（）A．324B．2C．D．【答案】A 【解析】由2,a b c ===．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在22y x =上，113322224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A．5.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，3c ===，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB = ，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2.【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=．。
新高考数学总复习双曲线的定义标准方程及其几何性质课件教案练习题
2 2
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为 .
2 2
2 2
4.与双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2 - 2 =t(t≠0).
5.双曲线的离心率公式可表示为e= 1 +
9 7
返回 27
[例3](1)(2024·成都模拟)已知直线y=
2 2
2x是双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线,
且点(2 3,2 3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为(
2 2
A. - =1
3 4
2 2
B. - =1
3 6
2 2
C. - =1
6 12
2 2
D. - =1
12 24
)
2 2
【解析】选C.由双曲线C: 2 - 2 =1,则其渐近线方程为y=± x,由题意可得: =
可得b= 2a,将(2 3,2
12 12
3)代入双曲线方程可得 2 - 2 =1,解得a2=6,b2=12,
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
返回 3
【命题说明】
考向
考法
高考对双曲线的考查形式有两种:(1)根据题设条件求双曲线的标准
方程;(2)通过双曲线的标准方程研究双曲线的基本性质,常以选择题
或填空题形式出现.
预计2025年高考在双曲线的标准方程、几何性质仍会出题,一般在
A. 37+4
2024年新高考版数学专题1_9.3 双曲线及其性质(分层集训)
A. 22
2
B. 4 10
5
答案 D
C. 7
D. 10
4.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方
程为y= 5 x,且与椭圆 x2 + y2 =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
2
12 3
A. x2 - y2 =1
8 10
B. x2 - y2 =1
C.互为共轭的双曲线的离心率为e1、e2,则e1e2≥2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案 CD
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为
渐近线的双曲线的方程可能是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
C.x2- y2 =1
4
答案 ABD
y
k1
x2 y2 16
x
1 2
m,
1(x 1),
得
(16-
k12
)x2+(
k12
-2k1m)x-
1 4
k12
+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
k12 2k1m k12 16
,x1x2=
1 4
k12
m2 k1m k12 16
16
,
则|TA|=
设其方程为 x2 - y2 =1(a>0,b>0,x≥a),
a2 b2
则2a=2,2c=2 17 ,解得a=1,c= 17 ,
则b2=c2-a2=( 17 )2-12=16,
高考数学一轮复习双曲线的综合问题
3
＜y0＜ .
3
3
答案 （1）A
2 2
（2）设P是双曲线 － ＝1上一点，M，N分别是两圆（x－5）2＋y2＝4和（x
9
16
＋5）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为
A.6
B.9
C.12
D.14
（
）
解析
2 2
（2）如图所示，设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则点F1
2 2
曲线 2－ 2 ＝1上，依题意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝
2
2
5×3402，故双曲线方程为 2 －
＝1，将y＝－x 代入上式，得x＝
680
5×3402
±680 5，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－680 5，y＝680 5，即P（－680 5，
+
＝2k＋
1 −2 2 −2
1 −2
2 −2
1 −2
2 −2
(2−2)(1 +2 −4)
(2−2)×2(2−3)(+2)
＝2k＋
＝3.
1 2 −2(1 +2 )+4
−4(−1)(+2)
｜解题技法｜
直线与双曲线位置关系的判断方法
将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2
故选B.
答案 （2）B
｜解题技法｜
与双曲线有关最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解44 双曲线(含解析)
高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。
高考数学复习-双曲线的简单几何性质一_ppt
焦点F1 (10,0), F2 (10,0)
课堂练习
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y x, 则双曲线 3
的离心率为 。 5 3
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角 为 。 600
例题讲解
例3 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ； 9 16
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y 2项的分母的开方 x 渐近线方程： y 2 x 项的分母的开方
双曲线在第一象限内部 分的方程为 2 2 x y （1） 双曲线 b 2 a 2 2 b 2 1(a 0, b 0) y x a ( x 0) a b 的渐近线为y x a b 它与y x的位置关系 : 2 2 a 等轴双曲线 x y m （2） A1 b 在y x的下方 (m 0)的渐近线为 a
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
2
课堂新授
类比椭圆的几何性质，应研究双曲线那些性质？
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 性质
y
(x,y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性
高考数学(文科)总复习 9.4 双曲线及其性质
- a,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM= b
y0= 2 y0 =
x0 2x0
y1 y2 =-
x1 x2
23,又知kAB=-1,∴-
3 2
×(-1)=- a ,∴ a =- 3 ,故选A. bb2
答案 A
方法技巧
方法1 求双曲线的标准方程的方法
1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定 2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出双曲线方程. 2.待定系数法:根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根 据条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出双曲线的标准方程.
考点清单
考点一 双曲线的定义及其标准方程
考向基础 1.双曲线的定义 (1)双曲线的定义用符号表示为 ||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|. (2)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为焦点F2所对应的双曲线的一支. 当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为焦点F1所对应的双曲线的一支. 当2a=|F1F2|时,轨迹为分别以F1、F2为端点的两条射线. 当2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在.
x2 y2
过两个已知点,则双曲线方程可设为 m + n =1(mn<0),也可设为Ax2+By2= 1(AB<0).
例1 设双曲线与椭圆 x2 + y2 =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个 27 36
交点的坐标为( 15 ,4),则此双曲线的标准方程是
.
解析 解法一:椭圆 2x72 + 3y62 =1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为 ay22 -
的距离d= | 4 | ≤ 2 ,即2b2+8≥16,∴b2≥4,又知双曲线离心率e= c =
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题含解析
§9。
4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若｜PF 1|=9,则|PF 2｜等于 （ ) A 。
1 B 。
17C.1或17 D 。
以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0,b>0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点)，则双曲线的方程为（ ）A 。
x 24-y 212=1 B 。
x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D 。
x 2—y 23=1答案 D3.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a 〉0，b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ )A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1C.3x 225—3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1答案 A4。
若实数k 满足0<k<5，则曲线x 216—y 25-k=1与曲线x 216-k-y 25=1的（ ）A 。
实半轴长相等B 。
虚半轴长相等C 。
离心率相等 D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5。
已知双曲线x 2a 2-y 23=1（a>0)的离心率为2，则a=( )A.2B.√62C.√52D 。
1答案 D6。
双曲线C ：x 2a 2—y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3，则C 的焦距等于（ ） A 。
2 B.2√2 C 。
4 D 。
4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1（a 〉0，b 〉0）的离心率为√52，则C 的渐近线方程为（ )A 。
y=±14x B.y=±13xC 。
y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2—y 2b 2=1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(√5，0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.（2018黑龙江仿真模拟(三）,8）已知双曲线C:x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的一条渐近线方程为y=√3x，一个焦点坐标为（2，0)，则双曲线C的方程为（)A。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第49讲 双曲线
2 +2
(4)离心率e= =
=
1+
2
.
2
课前基础巩固
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.等轴双曲线上任意一点到中心
的距离是它到两焦点距离的等比中项.
(6)共轭双曲线有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平
方和等于1.
(7)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右
2. 双曲线的标准方程
2
2
Байду номын сангаас
2
2
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0).
课前基础巩固
3. 双曲线的性质
标准方程
图形
2 2
=1(a>0,b>0)
− +
课堂考点探究
变式题 (1)[2020·全国卷Ⅲ]
2 2
设双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
为F1,F2,离心率为 5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (A
A.1
B.2
C.4
D.8
2
2
2
[解析]由条件可得||PF1|-|PF2||=2a,因为F1P⊥F2P,所以|PF1| +|PF2| =4c ,故
轨迹是两条射线.
课前基础巩固
双曲线-高三数学(新高考)一轮复习优质ppt课件
e＝2
或
e＝2
3
3 .
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三、走进高考 5．[2019·全国Ⅰ卷]双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近 线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为( ) A．2sin 40° B．2cos 40° C．sin150° D．cos150°
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6．[2019·全国Ⅲ卷]设 F 为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右 焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( )
近线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tanπ3＝ 3，b＝ 3a，可得 c＝2a，则 e＝ac＝2；若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1，则渐近
线的方程为 y＝±bax，由题意可得ab＝tan3π＝ 3，a＝ 3b，可得 c＝2 3 3a，则
e＝2
3
3.综上可得
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高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—椭圆、双曲线与抛物线（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．【解答】解：由椭圆离心率为12，可得a=2c，则b=√a2−c2=√3c，则C：x24c2+y23c2=1，A(0,√3c)，F1(−c,0)，F2(c,0)，易得l AF2：y=−√3x+√3c，l ED：y=√33(x+c)，可解得AF2与DE的交点M(c2,√3c2)，故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2，DA=DF2，又{x24c2+y23c2=1y=√33(x+c)⇒13x2+8cx−32c2=0⇒{x D+x E=−8c13x D x E=−32c213∴|DE|=√1+13|x D−x E|=6⇒(x D+x E)2−4x D x E=27⇒c=138，所以△ADE的周长AD+AE+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=4a=8c= 13．【母题题文】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则()A. C的准线为y=−1B. 直线AB与C相切C. |OP|⋅|OQ|>|OA|2D. |BP|⋅|BQ|>|BA|2【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．【解答】解：点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，即1=2p⇒C:x2=y，所以准线为y=−14，所以A错;直线AB:y=2x−1代入x2=y得：x2−2x+1=0⇒(x−1)2=0⇒x= 0，所以AB与C相切，故B正确．由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线PQ:y=kx−1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则{y=kx−1y=x2⇒x2−kx+1=0，Δ=k2−4>0⇒k<−2或k>2，此时{x1+x2=kx1x2=1,{y1+y2=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=k2−2y1y2=x12x22=1,|OP|⋅|OQ|=√(x12+y12)(x22+y22)=√(y1+y12)(y2+y22)=√(y1y2)2+(y1y2)(y1+y2)+y1y2=√2+(k2−2)=√k2>2=|OA|2，故C 正确;|BP|⋅|BQ|=√1+k2|x1−0|√1+k2|x2−0|=(1+k2)|x1x2|=(1+k2)>5=|BA|2，故D正确．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则直线l的方程为．【答案】x+√2y−2√2=0【解析】【分析】本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。
高考数学科学复习创新方案：双曲线(二)
双曲线(二)[课程标准]1.理解直线与双曲线的位置关系，会求直线被双曲线所截的弦长.2.通过直线与双曲线的位置关系，进一步体会数形结合的思想．直线与双曲线的位置关系设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2kmx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线01平行，直线与双曲线02相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2km )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有032个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有041个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有050个公共点．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .1．(人教B 选择性必修第一册2.7.1例3改编)直线y 与双曲线x 29－y2＝1公共点的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．4答案B解析直线与双曲线的一条渐近线平行，所以有一个公共点．2．(人教B 选择性必修第一册习题2－8A T 5改编)双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是()A ．{1}B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案D解析双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ，0)，直线y ＝k (x －c )与双曲线的右支有两个交点，则()A ．|k |>b aB ．|k |<b a C ．|k |>c aD ．|k |<c a答案A解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，直线y ＝k (x －c )经过焦点F (c ，0)，当k >0时，k >b a ，当k <0时，k <－b a ，故|k |>ba.故选A.4．(人教A 选择性必修第一册3.2.2例6改编)过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的直线与双曲线交于A ，B 两点，则|AB |＝________．答案3解析易得双曲线的左焦点F 1(－2，0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)，与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋13× 3.5．已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，则直线l 的方程为________．答案x ＋y －3＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0，4)，则x 21－y 214＝1，①x 22－y 224＝1，②②－①得，x 22－x 21＝y 224－y 214，即y 2－y 1x 2－x 1＝4x 04＝x 0，又y 2－y 1x 2－x 1＝tan3π4＝－1，所以x 0＝－1，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0.(x －1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．(1)直线l 与双曲线有两个公共点；(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l 与双曲线没有公共点．解2－y 2＝4，＝k （x －1），消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线l 与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．－3k2>0，－k2≠0，即－233<k<233，且k≠±1时，方程(*)有两个不相等的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点．－3k2＝0，－k2≠0，即k＝±233时，方程(*)有两个相等的实数解，即直线l与双曲线有且仅有一个公共点．－3k2<0，－k2≠0，即k<－233或k>233时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233<k<－1或－1<k<1或1<k<233时，直线l与双曲线有两个公共点；(2)当k＝±1或k＝±233时，直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k<－233或k>233时，直线l与双曲线没有公共点．直线与双曲线位置关系的判断方法代数法将直线与双曲线方程联立，消去y(或x).①二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；②二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线有一个公共点，若Δ<0，则直线与双曲线没有公共点数形结合法①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系；②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系1.(2023·哈尔滨期中)过点P (4，4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案D解析当过点P (4，4)的直线斜率不存在时，直线x ＝4与双曲线x 216－y 29＝1有且只有一个公共点；当过点P (4，4)的直线斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)＋4，代入双曲线的方程可得(9－16k 2)x 2＋(128k 2－128k )x －256k 2＋512k －400＝0，①当9－16k 2＝0，即k ＝±34时，直线y ＝±34(x －4)＋4与双曲线的渐近线y ＝±34x 平行，所以与双曲线只有1个公共点；②当k ≠±34时，Δ＝(128k 2－128k )2－4(9－16k 2)(－256k 2＋512k －400)＝0，即k ＝2532，此时直线y ＝2532(x －4)＋4与双曲线相切，只有1个公共点．综上，过点P (4，4)且与该双曲线只有一个公共点的直线有4条．故选D.2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是()－153，－153，－153，－答案D解析由＝kx ＋2，2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.由题意，得0，k2＋40（1－k2）>0，，，解得－153<k<－1.故选D.中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．解(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝217，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝17，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点M的轨迹C的方程为x2－y216＝1(x≥1)．(2)设AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y－t＝kk1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝kk2≠0)，－t＝k2－y216＝1，得(16－k21)x2－2k－16＝0.设A(x A，y A)，B(x B，y B)，易知16－k21≠0，则x A x B ＝2－1616－k 21，x A ＋x B21所以|TA |＝1＋k 21|x A －12|A|TB |＝1＋k 21|x B －12|B则|TA |·|TB |＝(1＋k 21AB ＝(1＋k 21)x A x B －12（x A ＋x B）＋14＝(1＋k 21)[2－1616－k 21－12·16－k 21＋14]＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16.同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0.求弦长的两种方法距离公式法当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长弦长公式法当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(2024·广州模拟)过双曲线x 2－y 28＝1的右焦点作直线与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝16，则这样的直线有()A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条答案C解析解法一：双曲线x 2－y 28＝1的右焦点为F 2(3，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝3，代入双曲线的方程x 2－y 28＝1，可得y ＝±8，即|AB |＝16，满足条件；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y －0＝k (x －3)，代入双曲线的方程x 2－y 28＝1，化简整理得(8－k 2)x 2＋6k 2x －9k 2－8＝0，则8－k 2≠0，且Δ＝36k 4－4(k 2－8)(9k 2＋8)＝256k 2＋256>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 28－k 2，x 1x 2＝－9k 2－88－k2，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·16k 2＋1|8－k 2|＝16，化简得2k 2＝7，解得k ＝±142，所以斜率存在且满足条件的直线有两条．综上所述，满足条件的直线共有三条．故选C.解法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为2b 2a ＝2×81＝16，因为|AB |＝16，所以当直线l 与双曲线的两交点都在右支上时，这样的直线只有一条．又实轴长为2，16>2，所以当直线l 与双曲线的两交点分别在左、右两支上时，这样的直线应该有两条，所以满足条件的直线共有三条．故选C.AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点N (2，3)能否作一条直线m 与轨迹C 交于P ，Q 两点，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．解(1)设M (x ，y )，x ≠±2，k AM ＝y －0x ＋2，k BM ＝y －0x －2，k AM ·k BM ＝3，即y －0x ＋2·y －0x －2＝3.整理得，3x 2－y 2＝12(x ≠±2)，即点M 的轨迹C 的方程为x 24－y 212＝1(x ≠±2)．(2)若能作出直线m ，则直线m 的斜率存在，设为k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，－y 2112＝1，－y 2212＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）4－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）12＝0，整理可得y 1－y 2x 1－x 2＝3×x 1＋x 2y 1＋y 2，∵N 是线段PQ 的中点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3×46＝2，即k ＝2，故直线m 的方程为y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0，将直线方程代入双曲线方程可得x 2－4x ＋13＝0，Δ＝(－4)2－4×13<0，此时直线与双曲线不相交．故不能作出这样的直线．解决中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．注意：应用点差法时，务必要检验判别式Δ>0.(2023·全国乙卷)设A ，B 为双曲线x 2－y 29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A．(1，1)B．(－1，2) C．(1，3)D．(－1，－4)答案D解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点得k AB＝y1－y2x1－x2，直线OM的斜率k＝y1＋y22x1＋x22＝y1＋y2x1＋x2(O为坐标原点)，因为A，B在21－y219＝1，22－y229＝1，两式相减得(x21－x22)－y21－y229＝0，所以k AB·k＝y21－y22x21－x22＝9.对于A，k＝1，k AB＝9，则直线AB：y＝9x－8＝9x－8，2－y29＝1，消去y得72x2－2×72x＋73＝0，此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A不符合题意；对于B，k＝－2，k AB＝－92，则直线AB：y＝－92x－52，＝－92x－52，2－y29＝1，消去y得45x2＋2×45x＋61＝0，此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝－4×45×16<0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B不符合题意；对于C，k＝3，k AB＝3，则直线AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则直线AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C不符合题意；对于D，k＝4，k AB＝94，则直线AB：y＝94x－74，联立方程＝94x－74，2－y29＝1，消去y得63x2＋126x－193＝0，此时Δ＝1262＋4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D符合题意．故选D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 0，y 0)21－y 219＝1①，22－y 229＝1②，由①－②得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝9×x 1＋x 2y 1＋y 2＝9×x 0y 0，即－3<9×x 0y 0<3⇒－13<x 0y 0<13，即y 0x 0>3或y 0x 0<－3.故选D.课时作业一、单项选择题1．已知双曲线x 216－y 29＝1的左焦点为F 1，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则直线l 的斜率的取值范围为()－43，∞－34，∞答案B解析双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，当直线l 与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点．当直线l 的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l 的斜率k >34；当直线l 的斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线l的斜率k <－34.故选B.2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 的中点，若k AB ·k OD ＝12(O 为坐标原点)，则C 的离心率为()A.6B ．2C.3D.62答案D解析不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线方程为y ＝k (x －c )，k ≠0，令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．－y 2b 2＝1，k （x －c ），整理得(b 2－a 2k 2)x 2＋2a 2k 2cx －(a 2k 2c 2＋a 2b 2)＝0.则x 1＋x 2＝2a 2k 2ca 2k 2－b 2，x 1x 2＝a 2k 2c 2＋a 2b 2a 2k 2－b 2，则k OD＝b 2a 2k ，由k AB ·k OD ＝12，可得b 2a 2k ·k ＝12.则有a 2＝2b 2，即3a 2＝2c 2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝62.故选D.3．(2023·南昌联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过左焦点F 作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第一象限，若|OA |＝|OF |(O 为坐标原点)，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±23xD ．y ＝±32x答案B解析解法一：由题意可得直线AF 的方程为y ＝12(x ＋c )，双曲线C 过第一、三象限的渐近线的方程为y ＝ba x .由＝12（x ＋c ），＝b a x ，得＝ac 2b －a ，＝bc 2b －a ，所以因为|OA |＝|OF |＝c＝c 2，整理可得3b ＝4a ，即b a ＝43，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.解法二：设双曲线C 的右焦点为F ′，连接AF ′，因为|OA |＝|OF |，所以|OA |＝|OF|＝|OF′|，所以△AFF′为直角三角形，AF⊥AF′，因为直线AF的斜率为12，所以tan∠AFF′＝12，又tan∠AFF′＝|AF′||AF|，所以|AF′||AF|＝12，令|AF′|＝t，则|AF|＝2t，由勾股定理得t2＋(2t)2＝(2c)2，所以t＝255c，即|AF′|＝255c，所以cos∠AOF′＝c2＋c2－45c22c2＝35，所以sin∠AOF′＝45，tan∠AOF′＝43，则双曲线C的渐近线方程为y＝±43x.故选B.解法三：设双曲线的右焦点为F′，连接AF′，因为|OA|＝|OF|，所以|OA|＝|OF|＝|OF′|，所以△AFF′为直角三角形，AF⊥AF′，即点A在以FF′为直径的圆上，所以∠AOF′＝2∠AFF′.因为直线AF的斜率为12，所以tan∠AFF′＝12，所以tan∠AOF′＝2×121＝43，则双曲线C的渐近线方程为y＝±43x.故选B.4．(2023·泉州模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F2，过点F2且倾斜角为π6的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若AF2→＝3BF2→，则双曲线C的离心率e为()A.3B．2C.4 3D.433答案D解析设左焦点为F1，连接AF1，BF1，设|BF2|＝m，|F1F2|＝2c，则|BF1|＝m＋2a，|AF2|＝3m，|AF1|＝3m－2a，因为∠BF2F1＝π6，在△F1F2B中，由余弦定理，得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|·|F1F2|cos∠BF2F1，即(m＋2a)2＝m2＋(2c)2－2m×2c×32，整理得m(3c＋2a )＝2b 2，在△F 1F 2A 中，由余弦定理，得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1，即(3m －2a )2＝(3m )2＋(2c )2－2×3m ×2c ×32，整理得3m (3c －2a )＝2b 2，可得m (3c ＋2a )＝3m (3c －2a )，注意到m ≠0，即3c ＋2a ＝33c －6a ，整理得c ＝433a ，故离心率e ＝c a ＝433.故选D.5．(2023·漳州三模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，直线y ＝kx (k >0)与双曲线C 交于P ，Q 两点，且∠PF 1Q ＝2π3，PF 1→·F 1Q →＝4，则当12a 2＋b 2a2取得最小值时，双曲线C 的离心率为()A ．3 B.3C ．2 D.2答案D解析不妨设P 位于第一象限，双曲线C 的右焦点为F2，连接PF 2，F 2Q ，∵O 为PQ ，F 1F 2的中点，∴四边形PF 1QF 2为平行四边形，∴PF 2→＝F 1Q →，∠F 1PF 2＝π3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m ，n >0)，则m －n ＝2a ，由PF 1→·F 1Q →＝4得PF 1→·PF 2→＝mn cos π3＝12mn ＝4，解得mn ＝8.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos π3＝(m －n )2＋mn ＝4a 2＋8＝4c 2，∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴12a 2＋b 2a 2＝a 22＋2a2≥2a 22·2a2＝2(当且仅当a 2＝2时取等号)，∴当12a 2＋b 2a2取得最小值时，双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a2＝2.故选D.6．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF2＝()A ．1B.12C.13D.23答案B解析如图所示，由双曲线的定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .又|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ，因为∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1||AF 2|sin ∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又知|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|BA |2＝34×(4a )2＝43a 2，所以S △AF 1F 2S △ABF2＝23a 243a 2＝12.故选B.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c ，过右焦点F 2的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是()A ．|AB |的最小值为2b 2aB ．若|AB |＝m ，则△F 1AB 的周长为2m ＋4aC ．若AB 的中点为M ，且AB 的斜率为k ，则k OM ·k ＝b 2a 2(O 为坐标原点)D ．若直线AB 的斜率为3，则双曲线的离心率e 的取值范围为[2，＋∞)答案D解析对于A ，弦AB 为通径时，|AB |最小，最小值为2b 2a，故A 正确；对于B ，由双曲线的定义得|AF 1|＋|BF 1|－|AB |＝4a ，得|AF 1|＋|BF 1|＝4a ＋m ，所以△F 1AB 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＋2m ，故B 正确；对于C ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，－y 21b2＝1，－y 22b 2＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，则1a 2－（y 1＋y 2）b 2（x 1＋x 2）·（y 1－y 2）x 1－x 2＝0，则1a 2－1b 2·k OM ·k ＝0，则k OM ·k ＝b 2a 2，故C 正确；对于D ，若直线AB 的斜率为3，则ba <3，所以b 2<3a 2，所以c 2<4a 2，所以1<e <2，故D 错误．故选D.8．(2023·保定模拟)设双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，M (0，3b )，若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线l 的斜率的取值范围为()(3，＋∞)(3，＋∞)C ．(－∞，－6)－6D ．(－∞，－6)－6答案C解析设D 为AB 的中点，根据重心性质可得MF →＝2FD →，∵F (c ，0)，M (0，3b )，∴∵直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，∴点D 在双曲线右支内部，∴9c 24a 2－9b 24b 2>1，解得c a >133，当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点D 在x 轴上，故M ，F ，D 三点不共线，不符合题意，舍去；设直线l 的斜率为k AB ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3c ，y 1＋y 2＝－3b ，∵A ，B 在双曲线上，∴－y 21b 2＝1，－y 22b 2＝1，两式相减可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，∴（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2，∴3c （x 1－x 2）a 2＝－3b （y 1－y 2）b 2，∴k AB ＝－bca 2，∵M ，F ，A ，B 不共线，∴k AB ＝－bc a 2≠k MF ＝－3b c ，∴c 2≠3a 2，∴e ≠3，又e ＝c a >133，∴E (3，＋∞)，∵k AB ＝－bca2＝－b 2c 2a4＝－（c 2－a 2）c 2a4＝－c 4－a 2c 2a4＝－e 4－e 2e∪(3，＋∞)，∴e 2(3，＋∞)，2－14∈(6，＋∞)，∴k AB ∈(－∞，－6)－6故选C.二、多项选择题9．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2＝1(a >0)，其上、下焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点．过双曲线上一点M (x 0，y 0)作直线l ，分别与双曲线的渐近线交于P ，Q 两点，且M 为PQ 的中点，则下列说法正确的是()A ．若l ⊥y 轴，则|PQ |＝2B ．若点M 的坐标为(1，2)，则直线l 的斜率为14C ．直线PQ 的方程为y 0ya 2－x 0x ＝1D ．若双曲线的离心率为52△OPQ 的面积为2答案ACD解析若l ⊥y 轴，则直线l 过双曲线的顶点，M (0，±a )，双曲线的渐近线方程为y ＝±ax ，易得P ，Q 两点的横坐标为±1，∴|PQ |＝2，故A 正确；若点M 的坐标为(1，2)，则a ＝2，易得双曲线的渐近线方程为y 2－2x 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 21－2x 21＝0，y 22－2x 22＝0，两式作差可得，y 21－y 22＝2x 21－2x 22，即y 1－y 2x 1－x 2＝2×x 1＋x 2y 1＋y 2，∴k l ＝2×24＝1，故B 错误；若M (x 0，y 0)，利用点差法同样可得k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝a 2x 0y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝a 2x 0y 0(x －x 0)，即y 0y －y 20＝a 2x 0x －a 2x 20，y 0y －a 2x 0x ＝y 20－a 2x 20＝a 2，∴y 0ya 2－x 0x ＝1，故C 正确；若双曲线的离心率为52，则双曲线的方程为y 24－x 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x ，设P (x 1，2x 1)，Q (x 2，－2x 2)，∴S △OPQ ＝2|x 1x 2|x 0x ＝1，2x ，可得x 1＝2y 0－2x 0，同理可得x 2＝－2y 0＋2x 0，∴S △OPQ ＝2|x 1x 2|＝2|2y 0－2x 0·－2y 0＋2x 0|＝8|y 20－4x 20|＝84＝2，故D 正确．故选ACD.10．(2023·常德模拟)已知双曲线x 2－y 22＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点P ，Q ，则()A ．若∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为23B ．存在弦PQ 的中点为(1，1)，此时直线l 的方程为2x －y －1＝0C ．若PA 1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA 2的斜率的取值范围为－12，－14D ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，则|PM |＝|NQ |答案ACD解析在双曲线x 2－y 22＝1中，a ＝1，b ＝2，c ＝3，且A 1(－1，0)，A 2(1，0)，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由双曲线的定义得n －m ＝2，两边平方可得m 2＋n 2－2mn ＝4①，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得m 2＋n 2－2mn cos π3＝(23)2⇒m 2＋n 2－mn ＝12②，联立①②可得mn ＝8，故△PF 1F 2的面积为12mn sin π3＝12×8×32＝23，故A 正确；对于B ，由中点弦公式得直线l 的斜率k ＝b 2y 0a 2x 0＝2×11×1＝2，此时直线l 的方程为y ＝2x －1，代入双曲线的方程，消去y 可得2x 2－4x ＋3＝0，因为Δ＝－8<0，所以直线l 与双曲线无公共点，说明此时直线l 不存在，故B 不正确；对于C ，设P (m ，n )，则m 2－n 22＝1⇒n 2＝2(m 2－1)，又直线PA 1与P A 2的斜率的乘积k 1k 2＝n m ＋1·n m －1＝n 2m 2－1＝2（m 2－1）m 2－1＝2，由于k 1∈[－8，－4]，从而可得k 2∈－12，－14，故C 正确；对于D ，设直线l ：y ＝kx ＋m ，代入x 2－y 22＝λ(※)(说明：当λ＝1时，(※)式表示双曲线；当λ＝0时，(※)式表示双曲线的两条渐近线)，得(k 2－2)x 2＋2kmx ＋m 2＋2λ＝0，应满足k 2－2≠0，且Δ>0，明显有x 1＋x 2＝2km2－k2(与λ无关)，这说明线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，故|PM |＝|NQ |成立，故D 正确．故选ACD.11．(2023·广州二模)已知双曲线Γ：x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线Γ的右支交于B ，C 两点，与双曲线Γ的渐近线交于A ，D 两点(A ，B 在第一象限，C ，D 在第四象限)，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A ．若BC ⊥x 轴，则△BCF 1的周长为6aB ．若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则BC ∥EF 1C ．△AOD 面积的最小值为4a 2D ．|AB |＋|BF 1|的取值范围为(3a ，＋∞)答案BD解析因为双曲线Γ的标准方程为x2－y 2＝a 2(a >0)，则c＝2a ，易知点F 1(－2a ，0)，F 2(2a ，0)，双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±x .对于A ，当BC ⊥x 轴时，直线BC 的方程为x ＝2a ＝2a ，2－y 2＝a 2，＝2a ，＝±a ，此时|BC |＝2a ，则|BF 1|＋|CF 1|＝(|BF 2|＋2a )＋(|CF 2|＋2a )＝|BC |＋4a ＝6a ，此时△BCF 1的周长为|BC |＋|BF 1|＋|CF 1|＝8a ，故A 错误；对于B ，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B ，E 关于原点对称，即BE ，F 1F 2的中点均为原点，故四边形BF 1EF 2为平行四边形，所以BF 2∥EF 1，即BC ∥EF 1，故B 正确；对于C ，易知OA 的方程为y ＝x ，OD 的方程为y ＝－x ，所以OA ⊥OD ，因为直线l 与双曲线Γ的右支交于B ，C 两点，则直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x ＝my ＋2a ，点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)2－y 2＝a 2，＝my ＋2a ，可得(m 2－1)y 2＋22may ＋a 2＝0，则2－1≠0，＝8m 2a 2－4（m 2－1）a 2＝4a 2（m 2＋1）>0，解得m ≠±1，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝－22ma m 2－1，y 1y 2＝a 2m 2－1<0，可得－1<m <1＝my ＋2a ，＝x ，可得x ＝y ＝2a 1－m ，即点＝my ＋2a ，＝－x ，可得x ＝2a1＋m ，y ＝－2a 1＋m ，即点所以|OA |＝2|x A |＝2a |1－m |，|OD |＝2|x D |＝2a|1＋m |，所以S △AOD ＝12|OA |·|OD |＝2a 2|1－m 2|＝2a 21－m 2≥2a 2，当且仅当m ＝0时，等号成立，故C 错误；对于D ，|AB |＋|BF 1|＝|AB |＋|BF 2|＋2a ＝|AF 2|＋2a ，F 2到渐近线x －y ＝0的距离d ＝2a2＝a ，又直线l 与双曲线Γ交于两点，所以|AF 2|＞a ，所以|AB |＋|BF 1|＝|AF 2|＋2a ＞3a ，所以|AB |＋|BF 1|的取值范围是(3a ，＋∞)，故D 正确．故选BD.三、填空题12．(2022·全国甲卷)记双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”的e 的一个值：________．答案2(满足1＜e ≤5皆可)解析因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，结合渐近线的特点，只需0＜b a ≤2，即b 2a 2≤4，可满足条件“直线y ＝2x 与C 无公共点”，所以e ＝c a＝1＋b 2a2≤1＋4＝5，又e ＞1，所以1＜e ≤ 5.13．(2023·南通模拟)过点(2，2)能作双曲线x 2－y 2a 2＝1的两条切线，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．答案(1，2)解析当过点(2，2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝2，由＝2，2－y 2a 2＝1，＝2，＝±3|a |，故直线x ＝2与双曲线x 2－y 2a 2＝1相交，不符合题意；当过点(2，2)的直线的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )＝kx ＋（2－2k ），2－y 2＝a 2，可得(k 2－a 2)x 2－4k (k －1)x ＋4(1－k )2＋a 2＝0，因为过点(2，2)能作双曲线x 2－y 2a 2＝1的两条切线，则2－a 2≠0，＝16k 2（k －1）2－4（k 2－a 2）[4（1－k ）2＋a 2]＝0，可得3k 2－8k ＋4＋a 2＝0，由题意可知，关于k 的二次方程3k 2－8k ＋4＋a 2＝0有两个不等的实数根，所以Δ′＝64－12(4＋a 2)>0，可得0<a 2<43，又因为k 2≠a 2，即k ≠±a ，因此关于k 的方程3k 2－8k ＋4＋a 2＝0没有k ＝±a 的实根，所以4a 2－8a ＋4≠0，且4a 2＋8a ＋4≠0，解得a ≠±1，即a 2≠1，当0<a 2<1时，e ＝1＋a 2∈(1，2)，当1<a 2<43时，e ＝1＋a 2综上所述，该双曲线的离心率e 的取值范围是(1，2)14．(2023·南京模拟)设F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A ，B分别为双曲线E 的左、右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，当直线l ：x ＝t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时，总有B ，P ，Q 三点共线，则ta的最大值为________．答案54解析由题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)．设P A ：y ＝k (x＋a )，P (x 0，y 0)，联立x 2a 2－y 2b 2＝1，y ＝k （x ＋a ），整理得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 3k 2x －a 4k 2－a 2b 2＝0.所以－a ＋x 0＝2a 3k 2b 2－a 2k 2，得x 0＝ab 2＋a 3k 2b 2－a 2k2，所以y 0＝2kab 2b 2－a 2k 2；过F 作直线PA 的垂线l 1：y ＝－1k (x －a 2＋b 2)与直线l ：x ＝t 交于点Q ，因为B ，Q ，P 三点共线，所以Q 是直线l 1：y ＝－1k (x －a 2＋b 2)与直线BP ：y ＝y 0－0x 0－a (x －a )＝b 2ka 2(x －a )的交点，所以t ＝ab 2＋a 2a 2＋b 2a 2＋b 2，所以ta ＝b 2＋a a 2＋b 2a 2＋b 2＝b a 2＋1＋b a21＋b a2.设m ＝1＋b a 2，则t a ＝m 2＋m －1m 2＝－1m 2＋1m ＋1＝－1m －122＋54，所以当1m ＝12，即m ＝2时，t a 取得最大值54.四、解答题15．(2023·襄城三模)已知O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 与双曲线交于A ，B 两点(B 在第一象限)，P 是AB 的中点，且△ABF 2是等边三角形.(1)求双曲线的离心率；(2)求直线OP 的斜率．解(1)设双曲线E 的半焦距为c ，c >0，根据题意得|BF 1|－|BF 2|＝|AF 1|＝2a .又|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝4a .∴|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝4a ，∴k AB ＝tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝32.在△BF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1||BF 2|·cos π3，即(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×6a ×4a ×12，解得ca ＝7，即双曲线的离心率为7.(2)由(1)易得，ba ＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，可得1a 2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－1b 2(y 1－y 2)·(y 1＋y 2)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝b 2a2＝6.设P (x P ，y P )，∵P 是AB 的中点，∴2x P ＝x 1＋x 2，2y P ＝y 1＋y 2，又y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝32，∴k OP ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝43.16．(2023·深圳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，若C 上的点M 满足||MF 1|－|MF 2||＝2恒成立．(1)求双曲线C 的方程；(2)若过点M 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于点P ，Q ，且|MP |＝|MQ |.(ⅰ)证明：l 与C 有且仅有一个交点；(ⅱ)求1|OP |＋2|OQ |的取值范围．解(1)由双曲线的定义可知||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝2，∴a ＝1.又|F 1F 2|＝4，∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)(ⅰ)证明：双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＝3x 1，①y 2＝－3x 2，②由①＋②，可得y 1＋y 2＝3(x 1－x 2)，由①－②，可得y 1－y 2＝3(x 1＋x 2)，由于x 21－y 213＝0，且x 22－y 223＝0，相减可得x 21－x 22＝y 213－y 223，∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝3（x 1－x 2）y 1－y 2，由题意可知|MP |＝|MQ |，∴x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，∴y 0x 0＝3（x 1－x 2）y 1－y 2，即k PQ ＝3x0y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝3x 0y 0(x －x 0)，即3x 0x －y 0y ＝3x 20－y 20，又点M 在C 上，∴3x 20－y 20＝3，则直线PQ 的方程为3x 0x －y 0y ＝3，2－y 23＝1，x 0x －y 0y ＝3，得(y 20－3x 20)x 2＋6x 0x －3－y 20＝0，∴－3x 2＋6x 0x －3x 20＝0，由Δ＝0可知方程有且仅有一个解，∴l 与C 有且仅有一个交点．(ⅱ)由(ⅰ)，＝3x ，x 0x －y 0y ＝3，可得x 1＝33x 0－y 0，同理可得x 2＝33x 0＋y 0，∴|OP |·|OQ |＝x 21＋y 21·x 22＋y 22＝4|x 1x 2|＝4×33x 20－y 20＝4，∴1|OP |＋2|OQ |＝1|OP |＋|OP |2≥21|OP |·|OP |2＝2，当且仅当1|OP |＝|OP |2，即|OP |＝2时取等号．又|OP |∈(0，＋∞)，∴1|OP |＋2|OQ |的取值范围为[2，＋∞)．17．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A (2，1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率；(2)若tan ∠PAQ ＝22，求△P AQ 的面积．解(1)将点A 的坐标代入双曲线方程得4a 2－1a 2－1＝1，化简得a 4－4a 2＋4＝0，得a 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.由题易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与双曲线C 的方程并整理得(2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0，故x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.k AP ＋k AQ ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1＋m －1x 1－2＋kx 2＋m －1x 2－2＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0，故2k （2m 2＋2）2k 2－1＋(m －1－2k4(m －1)＝0，整理得(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0，又直线l 不过点A ，即m ＋2k －1≠0，故k ＝－1.(2)不妨设直线P A 的倾斜角为＜θ∠PAQ ＝π－2θ，所以tan ∠PAQ ＝－tan2θ＝2tan θtan 2θ－1＝22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22(舍去)，＝2，＝1，得x 1＝10－423，所以|AP |＝3|x 1－2|＝43×（2－1）3，同理得x 2＝10＋423，所以|AQ |＝3|x 2－2|＝43×（2＋1）3.因为tan ∠PAQ ＝22，所以sin ∠P AQ ＝223，故S △P AQ ＝12|AP ||AQ |sin ∠PAQ ＝12×43×（2－1）3×43×（2＋1）3×223＝1629.。
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§9.4 双曲线基础篇固本夯基【基础集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.设P 是双曲线x 216-y 220=1上一点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=9,则|PF 2|等于 ( ) A.1 B.17C.1或17D.以上均不对 答案 B2.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 2=1 D.x 2-y 23=1 答案 D3.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.x 25-y 220=1 B.x 220-y 25=1 C.3x 225-3y 2100=1 D.3x 2100-3y 225=1 答案 A4.若实数k 满足0<k<5,则曲线x 216-y 25-k=1与曲线x 216-k -y 25=1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等 答案 D考点二 双曲线的几何性质5.已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a>0)的离心率为2,则a=( ) A.2 B.√62C.√52D.1答案 D6.双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C 的焦距等于( ) A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 答案 C7.已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为( )A.y=±14xB.y=±13x C.y=±12x D.y=±x答案 C8.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(√5,0),则a= ;b= . 答案 1;2综合篇知能转换【综合集训】考法一 求双曲线方程的方法1.(2018黑龙江仿真模拟(三),8)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x,一个焦点坐标为(2,0),则双曲线C 的方程为( )A.x 22-y 26=1 B.x 26-y 22=1 C.x 2-y 23=1 D.x 23-y 2=1 答案 C2.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F 1,F 2分别为双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F 2的直线l:x+y=c 在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P,与y 轴正半轴交于点Q,且点P 为QF 2的中点,△QF 1F 2的面积为4,则双曲线E 的方程为( ) A.x 22-y 2=1 B.x 22-y 22=1 C.x 24-y 24=1 D.x 24-y 23=1 答案 B3.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点M 在双曲线右支上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为 ( ) A.x 2-y 24=1 B.x 2-y 2=1 C.x 2-y 23=1 D.x 2-y 22=1 答案 B考法二 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法4.(2018广东茂名模拟,9)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF 2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A.√7B.4C.2√33D.√3答案 A5.(2019福建福州3月联考,10)如图,双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作直线与C 的渐近线交于P 点,若等腰△PF 1F 2的底边PF 2的长等于C 的半焦距,则C 的离心率为( )A.2√33B.23C.2√63D.32答案 C6.(2018安徽黄山一模,5)若双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则离心率e的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2]C.(1,√5)D.(1,√5]答案 D【五年高考】考点一双曲线的定义和标准方程1.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m2+n -y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3) 答案 A2.(2017天津,5,5分)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x 24-y24=1 B.x28-y28=1C.x 24-y28=1 D.x28-y24=1答案 B3.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24-y2b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.x 24-3y24=1 B.x24-4y23=1C.x 24-y24=1 D.x24-y212=1答案 D4.(2015天津,6,5分)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,√3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4√7x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221-y228=1 B.x228-y221=1C.x 23-y24=1 D.x24-y23=1答案 D考点二双曲线的几何性质5.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.2答案 C6.(2019课标Ⅲ,10,5分)双曲线C:x 24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为()A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2答案 A7.(2019课标Ⅱ,11,5分)设F为双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为() A.√2 B.√3 C.2 D.√5答案 A8.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:x 23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.2√3D.4答案 B9.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为()A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±√22x D.y=±√32x答案 A10.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33答案 A11.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:x 2a2-y2b2=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()A.√2B.32C.√3D.2 答案 A12.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y0的取值范围是()A.(-√33,√33) B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33)13.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√2 答案 D14.(2019天津,5,5分)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,准线为l.若l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A 和点B,且|AB|=4|OF|(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 B.√3 C.2 D.√5 答案 D15.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:x 2m 2+y 2=1(m>1)与双曲线C 2:x 2n2-y 2=1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则( )A.m>n 且e 1e 2>1B.m>n 且e 1e 2<1C.m<n 且e 1e 2>1D.m<n 且e 1e 2<1 答案 A16.(2019课标Ⅰ,16,5分)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 答案 217.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c,则其离心率的值是 . 答案 218.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 答案 y=±√22x教师专用题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 23=1 B.x 29-y 216=1 C.x 216-y 29=1 D.x 23-y 24=1 答案 C2.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上.若|F 1A|=2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1=( ) A.14B.13C.√24D.√23答案 A考点二 双曲线的几何性质3.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是( )A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)4.(2015四川,5,5分)过双曲线x 2-y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B 两点,则|AB|=( ) A.4√33B.2√3C.6D.4√3答案 D5.(2015湖北,8,5分)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b(a ≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( ) A.对任意的a,b,e 1>e 2B.当a>b 时,e 1>e 2;当a<b 时,e 1<e 2C.对任意的a,b,e 1<e 2D.当a>b 时,e 1<e 2;当a<b 时,e 1>e 2 答案 D6.(2015重庆,10,5分)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点,过B,C 分别作AC,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a+√a 2+b 2,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-√2,0)∪(0,√2) D.(-∞,-√2)∪(√2,+∞) 答案 A7.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F 为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A.√3 B.3 C.√3m D.3m 答案 A8.(2012课标,8,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( )A.√2B.2√2C.4D.8 答案 C9.(2017北京,9,5分)若双曲线x 2-y 2m=1的离心率为√3,则实数m= . 答案 210.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 27-y 23=1的焦距是 . 答案 2√1011.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E 的离心率是 . 答案 212.(2015湖南,13,5分)设F 是双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1的一个焦点.若C 上存在点P,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 . 答案 √513.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 . 答案3214.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:x 2a2-y 2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B 分别在C 的两条渐近线上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l:x 0xa 2-y 0y=1与直线AF 相交于点M,与直线x=32相交于点N.证明:当点P 在C 上移动时,|MF||NF|恒为定值,并求此定值.解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c=√a 2+1,直线OB 的方程为y=-1ax,直线BF 的方程为y=1a(x-c),解得B (c 2,-c2a). 又直线OA 的方程为y=1ax, 则A (c,ca ),k AB =ca -(-c2a )c -c 2=3a . 又因为AB ⊥OB,所以3a ·(-1a)=-1, 解得a 2=3,故双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2)由(1)知a=√3,则直线l 的方程为x 0x3-y 0y=1(y 0≠0), 即y=x 0x -33y 0. 因为直线AF 的方程为x=2,所以直线l 与AF 的交点为M (2,2x 0-33y 0);直线l 与直线x=32的交点为N (32,32x 0-33y 0), 则|MF|2|NF|2=(2x 0-3)2(3y 0)214+(32x 0-3)2(3y 0)2=(2x 0-3)29y 024+94(x 0-2)2 =43·(2x 0-3)23y 02+3(x 0-2)2.因为P(x 0,y 0)是C 上一点,则x 023-y 02=1,代入上式得 |MF|2|NF|2=43·(2x 0-3)2x 02-3+3(x 0-2)2=43·(2x 0-3)24x 02-12x 0+9=43, 所求定值为|MF||NF|=23=2√33.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共50分)1.(2020届湖南张家界民族中学第二次月考,5)已知双曲线y 2a 2-x 22=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√2x,则双曲线的焦点坐标为( )A.(±√2,0)B.(±√6,0)C.(0,±√2)D.(0,±√6) 答案 D2.(2020届湖北十堰第二中学月考,3)已知双曲线C:x 2a -y 22-a 2=1的离心率为√2,则实数a 的值为( )A.1B.-2C.1或-2D.-1 答案 C3.(2020届湖南长沙一中第二次月考,5)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C 的离心率为( )A.2B.√5C.√3D.√2 答案 B4.(2020届广东佛山第一中学10月月考,5)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为直线l 1,l 2,经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1,l 2于A,B 两点,且FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则该双曲线的离心率为( ) A.2√33B.√3C.43D.4√33答案 A5.(2020届湖北黄冈9月新起点考试)双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0),左,右焦点分别为F 1,F 2,P 为C 右支上的一点,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,以O 为圆心,a 为半径的圆与PF 1相切,则双曲线的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2 答案 A6.(2019吉林第三次调研测试,10)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的√2倍,则双曲线C 的渐近线方程为 ( ) A.y=±2√2x B.y=±√2x C.y=±√22x D.y=±√24x答案 C7.(2019湖南长沙3月统一考试,6)已知F 1,F 2分别是双曲线C:y 2-x 2=1的上、下焦点,P 是其一条渐近线上的一点,且以F 1F 2为直径的圆经过点P,则△PF 1F 2的面积为( ) A.√22 B.1 C.√2 D.2答案 C8.(2018山东青岛模拟,8)已知P 是双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)左支上一点,F 1、F 2是双曲线的左、右焦点,且PF 1⊥PF 2,PF 2与两条渐近线相交于M,N 两点(如图),点N 恰好平分线段PF 2,则双曲线的离心率是( )A.√2B.√3C.2D.√5答案 D9.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线x 24-y 22=1的右焦点为F,P 为双曲线左支上一点,点A(0,√2),则△APF 周长的最小值为 ( ) A.4+√2 B.4(1+√2) C.2(√2+√6) D.√6+3√2 答案 B10.(2020届九师联盟高三9月质量检测,12)已知双曲线C:x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF 1为等边三角形,则b 的所有取值的积为( ) A.√10 B.2√3 C.√14 D.4 答案 B二、多项选择题(每题5分,共20分)11.(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线为y=±√33x,则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23-y 2=1 B.C 的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点 D.直线x-√2y-1=0与C 有两个公共点 答案 AC12.(改编题)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,右顶点为A,以A 为圆心,b 为半径作圆A,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点,则有( )A.渐近线方程为y=±√3xB.渐近线方程为y=±√33xC.∠MAN=60°D.∠MAN=120° 答案 BC13.(改编题)已知平面内两个定点M(3,0)和N(-3,0),P 是动点,且直线PM,PN 的斜率乘积为常数a(a ≠0),设点P 的轨迹为C,则( )A.存在常数a(a ≠0),使C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之和为定值B.存在常数a(a ≠0),使C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值C.不存在常数a(a ≠0),使C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之差的绝对值为定值D.不存在常数a(a ≠0),使C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之差的绝对值为定值 答案 BD14.(改编题)△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E 以A,B 为焦点,并经过顶点C,则圆锥曲线E 的离心率可以是( )A.√2-1B.√22 C.√2 D.√2+1答案 ABD三、填空题(每题5分,共20分)15.(2020届江苏南通中学10月月考,7)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0,则双曲线的离心率为 . 答案 √1016.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的点,若|AF 2|=2且∠F 1AF 2=45°,延长AF 2交双曲线的右支于点B,则△F 1AB 的面积等于 . 答案 417.(2019豫北名校2月联考,15)已知圆C 1:(x+3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 . 答案 x 2-y 28=1(x<0)18.(2019豫东豫北十所名校第五次联考,15)已知双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A,B 两点.若△ABF 2的内切圆与边AB,BF 2,AF 2分别相切于点M,N,P,且AP 的长为4,则a 的值为 . 答案 2。