高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用
高中数学 三角形“四心”向量形式的充要条件应用素材
高中数学 三角形“四心”向量形式的充要条件应用素材1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆=== 故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心， 则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心 则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是(=-⋅=-⋅=-⋅ 引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是c b a =++若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心; 向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.=.++著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
高考专题之三角形四心的向量性质
高考专题之三角形“四心”的向量性质四心的概念（1）重心：中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心：高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A BC ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若G A G B G C ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+，所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D EF ，，分别为ABC △的边B C A C A ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P图3图2与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0． 二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。
三角形四心的向量形式及其应用
第三讲：三角形四心的向量形式及应用
姓名：郑润华
经典例题
本节知识点 •四心的定义与性质 •四心向量形式 •四心向量形式的应用举例 •奔驰定理
经典例题
三角形四心的定义
外心是三角形三边中垂线（边的垂直平分线）的交点，它到三个顶点的距离相等。
经典例题
三角形四心的定义与向量形式
三角形的重心
经典例题
三角形的重心
经典例题
三角形的重心
经典例题
随堂小测验2
经典例题
三角形的内心
经典例题
三角形的垂心
经典例题
奔驰定理
经典例题
奔驰定理
经典例题
随堂小测验3
经典例题
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重心是三角形三条边上中线的交点，它把中线一分为二，长度2:1
经典例题
三角形四心的定义
内心是三角形三内角平分线的交点，它到三边的距离相等
经典例题
三角形四心的定义
垂心是三角形三边高的交点
经典例题
随堂小测验1
经典例题
三角形的外心
经典例题
三角形的外心
经典例题
三角形的外心
经典例题
三角形的外心
经典例题
三角形四心的向量性质及应用（详细答案版）
三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。
高三数学三角形“四心”向量形式的充要条件应用
三角形“四心”向量形式的充要条件应用一． 知识总结 1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++=证明 作图如右，图中GB GC GE += 连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))【例1】 已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P|=△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.2．垂心(高线交点)H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA ∙=∙=∙由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥,同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略)) 若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线)若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 4．内心(角平分线交点，内切圆圆心) O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||ABACBABCCACBOA OB OC AB AC BA BC CA CB ∙-=∙-=∙-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形四心定理以及相关证明
三角形四心定理以及相关证明一、引言三角形是几何学中最基本的概念之一，它有着丰富的性质和定理。
本文将重点介绍三角形四心定理，这是关于三角形内部的四个特殊点的定理。
我们将详细讨论这个定理以及相关的证明。
二、什么是三角形四心定理三角形四心定理是指在一个三角形内部存在四个特殊的点，它们被称为三角形的四个心，包括三角形的重心、内心、外心和垂心。
这四个点具有重要的性质和几何意义，它们与三角形的边、角和内部点的关系密切相关。
2.1 重心三角形的重心是三角形内部所有中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
重心被称为三角形的质心，它的坐标可以通过三角形顶点坐标的平均值得到。
2.2 内心三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三角形边的角平分线的距离。
内心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.3 外心三角形的外心是可以通过三角形的任意两个顶点的垂直平分线的交点得到。
外心到三角形的三个顶点的距离相等，这个距离被称为外心到三角形顶点的距离。
外心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.4 垂心三角形的垂心是通过三角形的三个顶点和对边的垂直线的交点得到。
垂心到三角形的三边的距离有特殊性质，它们满足垂心到三边距离之和最小。
垂心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
三、三角形四心定理的证明三角形四心定理的证明可以通过利用几何性质和数学推导来完成。
下面我们将分别给出重心、内心、外心和垂心的证明过程。
3.1 重心的证明给定一个三角形ABC，我们可以通过连接三角形的三个顶点和对边中点得到三条中线AD、BE和CF。
我们需要证明这三条中线交于一点G，即三角形的重心。
证明过程如下： 1. 由于D是BC的中点，所以AD平行于BC。
2. 同理，BE平行于AC，CF平行于AB。
3. 根据平行线的性质，得到三角形AGF和三角形ABC相似。
高考数学专题平面向量与三角形的四心(含解析)
2023届高考专题——平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O 是△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O 是△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．O 是△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →2)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O 是△ABC 的内心⇔OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|＝0. 注意：向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)．类型一 平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( C )A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心D ．AB 边的中点 [解析] 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →，∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →] ＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．类型二 平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P 是△ABC 所在平面内一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，且AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心[解析] 由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋PA →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.由AB →2＝AC →2－2BC →·AP →，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝－2BC →·AP →，即(AB →＋AC →－2AP →)·BC →＝0.设E 为BC 的中点，则(2AE →－2AP →)·BC →＝0，则2PE →·BC →＝0，故BC →·PE →＝0.所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．跟踪练习在△ABC 中，O 为其外心，OA ―→·OC ―→＝3，且 3 OA ―→＋7OB ―→＋OC ―→＝0，则边AC 的长是________．[解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，∵O 为△ABC 的外心，∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝R ，又 3 OA ―→ ＋7 OB ―→＋OC ―→＝0，则 3 OA ―→＋OC ―→＝－7OB ―→，∴3OA ―→2＋OC ―→2＋2 3OA ―→·OC ―→＝7OB ―→2，从而OA ―→·OC ―→＝32R 2，又OA ―→·OC ―→＝3，所以R 2＝2，又OA ―→·OC ―→＝|OA ―→||OC ―→|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3，∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6，在△AOC 中，由余弦定理得AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－23．所以AC ＝3－1． 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022·济南质检)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB―→|AB ―→|cos B ＋|AC ―→||AC ―→|cos C ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心 [解析] OP ―→－OA ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|cos B ＋AC ―→|AC ―→|cos C ，BC ―→·AP ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC ―→·AB ―→|AB ―→|cos B ＋BC ―→·AC ―→|AC ―→|cos C ＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫|BC ―→||AB ―→|cos π－B |AB ―→|cos B ＋|BC ―→||AC ―→|cos C |AC ―→|cos C ＝λ(－|BC ―→|＋|BC ―→|)＝0，所以BC ―→⊥AP ―→，动点P 在BC 的高线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心，故选C ．类型四 平面向量与三角形的“内心”问题例4 在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝2，AD →＝12AB →＋34AC →，则直线AD 通过△ABC 的( D ) A ．重心B ．外心C ．垂心D ．内心[解析] ∵|AB →|＝3，|AC →|＝2，∴12|AB →|＝34|AC →|＝32.设AE →＝12AB →，AF →＝34AC →，则|AE →|＝|AF →|.∵AD →＝12AB →＋34AC →＝AE →＋AF →，∴AD 平分∠EAF ， ∴AD 平分∠BAC ，∴直线AD 通过△ABC 的内心．跟踪练习(2022·海南模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP ―→＝x OB ―→＋y OC ―→，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A ．1063B ．1463C ．4 3D ．6 2 [解析] 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7．设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763．故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463． 二、三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB →|＝|AC →|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB →·AC →＝0，则△ABC 为直角三角形；③若AB →·AC →<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB →·AC →>0，BA →·BC →>0，且CA →·CB →>0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形．例5 (2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( C )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [解析] 由题意知CB →·(AB →＋AC →)＝0.所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C ．〔变式训练4〕(1)若P 为△ABC 所在平面内一点．①若(OP →－OA →)·(AB →－AC →)＝0，则动点P 的轨迹必过△ABC 的垂心.②若OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)(λ≥0)，则动点P 的轨迹必过△ABC 的重心.③若CA →2＝CB →2－2AB →·CP →，则动点P 的轨迹必过△ABC 的外心.(2)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( D )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形[解析] (1)①由题意知AP →·CB →＝0，∴AP ⊥BC ，∴动点P 必过△ABC 的垂心；②由题意知AP →＝λ(AB →＋AC →)＝2λAM →(M 为BC 中点)∴P 、A 、M 共线，∴P 必过△ABC 的重心；③2AB →·CP →＝CB →2－CA →2＝(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝AB →·(CB →＋CA →)，即2AB →·CP →＝AB →·(CB →＋CA →)，∴AB →·(2CP →－CB →－CA →)＝AB →·(BP →＋AP →)＝0.∴以BP →，AP →为邻边的平行四边形的对角线互相垂直．∴点P 在线段AB 的中垂线上，∴P 必过△ABC 的外心．(2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ．又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D ．。
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析)
1 1 1 1 1 定义 f ( P) = (λ , λ , λ ) ，若 f (G) = ( 1 , , ), f (Q) = ( , , ) 则( ) 3 3 3 2 3 6 A．点 Q 在 ∆ABG 内 B．点 Q 在 ∆BCG 内 C．点 Q 在 ∆CAG 内 D．以上皆不对 解析： G 为重心，画图得知 例 8． 如图，已知点 G 是 ∆ABC 的重心，过 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点，
=
1 5
2 1 AB + AC ，用 O 拆开得： 2 ⋅ OA + 2⋅ OB + OC = 0 ， 法 2： AO = 5 5
由奔驰定理可得： S
∆BOC
: S ∆COA : S ∆AOB = 2 : 2 : 1
，则 S
∆ABC
: S ∆AOB = (2 + 2 + 1) : 1 = 5 .
A
2 1 4 1 AB + AC = AD + AC ， 法 3： AO = 5 （取 D 为 AB 边的中点） ， 5 5 5
∆ABC ∆ABC
∆AOC ∆ABC
⋅ AB +
S ∆AOB ⋅ AC S ∆ABC
A
O B C
两边乘以 S 整理可得： − S 移项整理为 (S − S − S 即得 S ⋅ OA + S ⋅ OB + S 注：若简记三个面积： S = S ， S
∆ABC ∆AOC ∆OBC ∆OCA ∆OBC A
A
=λ
，S S
∆AOB ∆ABC
=µ
，S S
值得回味的三角形的“四心”
ʏ袁有亮三角形的四心 是三角形的重要性质,下面举例说明三角形的 四心 在平面向量中的应用,供大家学习与参考㊂一㊁三角形的重心例1 已知A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P满足O P ң=O A ң+λA Bң|A B ң|s i n B+A Cң|A C ң|s i n C,λɪ(0,+ɕ),则动点P 的轨迹一定通过әA B C 的( )㊂A.重心 B .垂心C .内心 D .外心解:(方法1)由正弦定理可得|A B ң|s i n C=|A C ң|s i n B,即|A B ң|s i n B =|A C ң|s i n C ,所以O Pң-O A ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C,即A P ң=λ|A B ң|s i n B (A B ң+A C ң)=2λ|A B ң|s i n B㊃A M ң(其中M 为B C 的中点),所以P ɪA M ,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂(方法2)作A D ʅB C 于点D (图略),即A D 是B C 边上的高,则O P ң-O A ң=A P ң=λA Bң|A B ң|s i n B +A Cң|A C ң|s i n C=λ|A D ң|(A B ң+A C ң)=2λ|A D ң|A M ң(其中M 为BC 的中点),即A P ң与A M ң共线,所以动点P 的轨迹一定通过әA B C 的重心㊂应选A ㊂评注:三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2ʒ1㊂O 是әA B C 的重心⇔O A ң+O B ң+O C ң=0㊂二㊁三角形的内心例2 已知әA B C ,I 为三角形所在平面上的一点,且点I 满足a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,则点I 为әA B C 的( )㊂ A.外心 B .垂心C .重心 D .内心解:如图1所示,在A B ,A C 上分别取点D ,E ,使得A D ң=A B ңc ,A E ң=A Cңb,则A D ң=A E ң=1㊂作菱形A D F E ,则A F ң=A D ң+A E ң=AB ңc +A C ңb,所以A F 为øB A C 的平分线㊂图1因为a ㊃I A ң+b ㊃I B ң+c ㊃I C ң=0,所以a ㊃I A ң+b ㊃I A ң+A B ң +c ㊃I A ң+A C ң =0,所以A I ң=b a +b +c ㊃A B ң+c a +b +c㊃A Cң=b c a +b +c ㊃A B ңc +A C ңb=b c a +b +c A F ң,所以A ,I ,F 三点共线,即点I 在øB A C 的平分线上㊂同理可得,点I 在其他两个角的平分线上㊂故点I 是三角形的内心㊂应选D ㊂评注:三角形的内心是三个内角的角平分线的交点(即三角形内切圆的圆心),它到三条边的距离相等㊂O 是әA B C 的内心⇔O A ң㊃A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|=O B ң㊃B A ң|B A ң|+B C ң|B C ң|=O C ң㊃C A ң|C A ң|+C B ң|C B ң|=0㊂向量λA Bң|A B ң|+A Cң|A C ң|(λʂ0)所在直线过әA B C 的内心(即øB A C 的平分线所在的直线)㊂三㊁三角形的外心例3 设O 是平面A B C 内的一定点,P为平面A B C 内一动点,若(P B ң-P C ң)㊃(O Bң11知识结构与拓展高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,则O 为әA B C的( )㊂A.内心 B .外心C .重心 D .垂心解:由(P B ң-P C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(P C ң-P A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(P A ң-P B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,可得C B ң㊃(O B ң+O C ң)=A C ң㊃(O C ң+O A ң)=B A ң㊃(O A ң+O B ң)=0,即(O B ң-O C ң)㊃(O B ң+O C ң)=(O C ң-O A ң)㊃(O C ң+O A ң)=(O A ң-O B ң)㊃(O A ң+O B ң)=0,也即|O A ң|2=|O B ң|2=|O C ң|2,所以|O A ң|=|O B ң|=|O C ң|㊂故O 为әA B C 的外心㊂应选B ㊂评注:三角形的外心是三边的中垂线的交点(三角形外接圆的圆心),外心到三个顶点的距离相等㊂四㊁三角形的垂心例4 设O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三点,若动点P 满足O P ң=O A ң+λA B ң|A B ң|c o s B +A C ң|A C ң|c o s C,λɪ[0,+ɕ),则点P 的轨迹一定经过әA B C 的( )㊂A.内心 B .外心C .垂心 D .重心解:因为O P ң㊃B C ң=O A ң㊃B C ң+λA B ң㊃B C ңA B ңc o s B +A C ң㊃B C ңA C ңc o s C=O A ң㊃B C ң+λ-B C ң+B C ң=OA ң㊃B C ң,所以O P ң㊃B C ң-O A ң㊃B C ң=0,即(O P ң-O A ң)㊃B C ң=0,所以A P ң㊃B C ң=0,则A P ʅB C ,故点P 的轨迹一定经过әA B C 的垂心㊂应选C ㊂评注:三角形的垂心是三边上的高的交点(通常用H 表示)㊂O 是әA B C 的垂心⇔O A ң㊃O B ң=O B ң㊃O C ң=O C ң㊃O A ң㊂五㊁等边三角形的中心例5 已知非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0且A B ң|A B ң|㊃A C ң|A C ң|=12,则әA B C 为( )㊂A.三边均不相等的三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形解:因为非零向量A B ң与A C ң满足A Bң|A B ң|+A C ң|A C ң|㊃B C ң=0,所以øB A C 的平分线垂直于B C ,所以A B =A C ㊂又因为A B ң|A B |㊃A C ң|A C ң|=1ˑ1ˑc o søB A C =12,所以c o s øB A C =12,即øB A C =π3,所以әA B C 为等边三角形㊂应选D ㊂评注:等边三角形的 四心 共点,也称为等边三角形的中心㊂(多选题)已知әA B C 的外心为O ,重心为G ,垂心为H ,且A B =3,A C =4,则下列各式正确的是( )㊂A .A H ң㊃B C ң=0B .A G ң㊃B C ң=-73C .A O ң㊃B C ң=72D .O H ң=O A ң+O B ң+O Cң提示:由H 为垂心,可得A H ʅB C ,则A H ң㊃B C ң=0,A 正确㊂由A G ң=13(A B ң+A C ң),BC ң=(A C ң-A B ң),可得A G ң㊃B C ң=13(A C ң2-A B ң2)=73,B 错误㊂由垂径定理和向量投影得A O ң㊃A B ң=12|A B ң|2,A O ң㊃A C ң=12|A C ң|2,则A O ң㊃B C ң=A O ң㊃(A C ң-A B ң)=12(|A C ң|2-|A B ң|2)=72,C 正确㊂由O G ң=12G H ң,可得O G ң=13O H ң,由G A ң+G Bң+G C ң=0,可得O G ң=13(O A ң+O B ң+O C ң),所以O H ң=O A ң+O B ң+O C ң,D 正确㊂应选A C D ㊂作者单位:湖北省巴东县第一高级中学(责任编辑 郭正华)21 知识结构与拓展 高一数学 2023年6月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高三数学全面剖析三角形四心向量形式的充要条件及其应用
全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。
这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
下面从六个方面加以阐述：1. 三角形的“四心”定理的平面几何证明；2. 三角形“四心” 定理向量形式的充要条件及其证明；3. 与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4. 种证法；5. 与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；6.练习题. 1.三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明: 设AB 、BC 的中垂线交于点O ， 则有OA=OB=OC ，故O 也在AC 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等， 故点O 是ΔABC 外接圆的圆心． 因而称为外心．②这一点叫三角形的垂心。
证明: AD 、BE 、CF 为ΔABC 三条高，过点A 、B 、C 分别作对边的平行线，相交成ΔA ′B ′C ′，AD 为B ′C ′的中垂线；同理BE 、CF 也分别为 A ′C ′、A ′B ′的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证．③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。
则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.' 同理中线AD,BE 交于G ,连结DE,则:'''''DE//AB,且EG :G B=DG :G A=DE:AB=1:2,故G,G 重合.④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明 : 设∠A 、∠C 的平分线相交于I,过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ， IF ⊥AB ，则有IE=IF=ID ． 因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．2.三角形的“四心” 定理的平面向量表达式及其证明①O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r(其中,,a b c 是P 12PP 3OP一、外心A B CAB C三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
高考冲刺重点突破1-三角形的四心的应用
三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心，若OH =()m OA OB OC ++，则实数 例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为____例10120,12=∠==BAC ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为_____ 例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 上述三种情况都有可能例15、在△ABC中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA ，则AC AB ⋅的最大值为____ 例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 83 D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心若OH =()m OA OB OC ++，则实数例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.32 32例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是 .⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,94例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________ 51-分析：()0432*******=⋅⇒+=⇒=++OB OA OB OA OC OC OB OA ，()()()OB OA OA OB OB OA AB OC ⋅+-=-+-=⋅1514351例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D ，AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为_________分析：[]r BC r AC BC AB 32121⋅⋅=⋅++ ()013422≠=+x y x例10、已知0120,1,2=∠==BAC AC AB ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．253例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为______226+ 分析1：坐标法分析2：基底法 ()()OA OC y OA OB x OA -+-=-，平方，判别式法例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( B ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能 分析1、坐标法分析2、基底法()()()3056122=-⇒=-+=⋅=⋅+=⋅c b AC AB AC AB BC GD BC DO GD BC GO （D 为BC 中点）a b c b >>,，由于0230252cos 222<-=-+=acac b c a B 例15、在△ABC 中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AC AB AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA AC AB ，则AC AB ⋅的最大值为____23 分析：,m AC AB ==9cos 2222=+A m m ，AAAC AB cos 22cos 9+=⋅例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( C ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( D )A. 2B. 1C. 83D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．分析1、利用重心进行相关点代入法得(x ＋13)2＋y 2＝49(y ≠0)．分析2、过P 作BC 的平分线，必得AB 的三等分点⎪⎭⎫⎝⎛0,31M ，必有P 在以AM 为直径的圆上.例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( D ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( C ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0(2010·湖北)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5分析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3 AM →.∴m ＝3.。
高中数学全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用
事实上 OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D
例4：设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
5△ABC的外心 、重心 、垂心 共线，即 ∥
证明：（详细证明见欧拉线的证明）
按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理 ，由此可得 .
6设 为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，
*
内心I（ ， ）
证明：由 是 的内心 。(其中 是 三边)（见内心的充要条件的证明）
, ∴I（ ， ）.
4.欧拉线的4种证法
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D
例5：2005年全国（I）卷第15题“ 的外接圆的圆心为 ，两条边上的高的交点为 ， ，则实数 =________”
先解决该题：
作直经 ，连 ， ,有 ， ， ， ， ，故 ，
故 是平行四边形，进而 ，又
∴
故 ，所以
评注：外心的向量表示可以完善为：
全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用
河南 马守林2009.09.30
在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。下面从六个方面加以阐述：1. 三角形的“四心”定理的平面几何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及其证明；3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4.欧拉线的4种证法；5.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；6.练习题.
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三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心，若OH =()m OA OB OC ++，则实数 例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为____例10120,12=∠==BAC ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为_____ 例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 上述三种情况都有可能例15、在△ABC中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA ，则AC AB ⋅的最大值为____ 例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 83 D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心若OH =()m OA OB OC ++，则实数例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.32 32例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是 .⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,94例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________ 51-分析：()0432*******=⋅⇒+=⇒=++OB OA OB OA OC OC OB OA ，()()()OB OA OA OB OB OA AB OC ⋅+-=-+-=⋅1514351例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D ，AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为_________分析：[]r BC r AC BC AB 32121⋅⋅=⋅++ ()013422≠=+x y x例10、已知0120,1,2=∠==BAC AC AB ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．253例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为______226+ 分析1：坐标法分析2：基底法 ()()OA OC y OA OB x OA -+-=-，平方，判别式法例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( B ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能 分析1、坐标法分析2、基底法()()()3056122=-⇒=-+=⋅=⋅+=⋅c b AC AB AC AB BC GD BC DO GD BC GO （D 为BC 中点）a b c b >>,，由于0230252cos 222<-=-+=acac b c a B 例15、在△ABC 中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AC AB AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA AC AB ，则AC AB ⋅的最大值为____23 分析：,m AC AB ==9cos 2222=+A m m ，AAAC AB cos 22cos 9+=⋅例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( C ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( D )A. 2B. 1C. 83D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．分析1、利用重心进行相关点代入法得(x ＋13)2＋y 2＝49(y ≠0)．分析2、过P 作BC 的平分线，必得AB 的三等分点⎪⎭⎫⎝⎛0,31M ，必有P 在以AM 为直径的圆上.例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( D ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( C ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0(2010·湖北)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5分析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3 AM →.∴m ＝3.。