六章3节偏微商
热力学一般关系
热力学一般关系本章提要及安排本章提要：1．工质的平衡热力性质是指工质状态参数间的函数关系，特别以可测参数为独立变量的热力学能、焓、熵函数在工程应用中尤为重要。
2．对热力学状态函数的研究通常从它们的偏微商着手。
在常用状态函数的偏微商中，有的是可以通过实验测定的，常将它们定义为各种热系数；有的则不能用实验的方法得出。
3．工质在准平衡变化中的热力学基本定律表达式同时也表达了热力学状态函数之间的基本关系，又称基本热力学关系式。
通过勒让德变换，基本热力学关系可以用不同的组合参数表达。
基本热力学关系的一阶偏微商和二阶混合偏微商给出状态函数偏微商之间的一般关系。
当然，与热力学基本定律一样这些一般关系对任何工质都是适用的。
4．按照基本热力学关系，可以用可测的状态参数和热系数来表达不能通过实验直接得出的偏微商，从而将各常用状态函数的全微分式用可测的参数及免系数表达出来。
这样，就为在实验测定数据的基础上得出工质的状态函数开辟了道路。
5．在工质热力性质研究中，并非所有热系数都是必需沤过实验测定的，应用热系数间的一般关系可以由少虽测得的热系数得到所需的其它热系数。
这样，可以大大减少研究中的实验工作量．同时减小由于有限的实验精确度带来的误差。
6．依据本章所导出的一般关系式，应用所讲述的推导方法，还可导得工程中需用的各种函数关系。
7．本章所导出的一般关系式只适用于简单可压缩系统。
本章要求：1．了解热力学一般关系的内容及其在工质热力性质研究中的地位和作用；2．掌握导出热力学一般关系的思路和推导方法；3．熟悉简单可压缩工质基本的和常用的热力学一般关系。
学习建议：本章学习时间建议共2学时：1．常用状态函数的偏微商；基本热力学关系； 1学时2．热力学能、焓和熵的微分式；热系数之间的一般关系； 1学时4．1 常用状态函数的偏微商本节知识点:状态方程的偏微商热力学能函数的偏微商焓函数的偏微商熵函数的偏微商本节参考图片：麦克斯韦汤姆逊汤姆逊实验本节疑问解答：思考题4.1.1 思考题4.1.2 思考题4.1.3本节基本概念：定温压缩系数压力的温度系数绝热压缩系数比定容热容比定压热容绝热节流系数工程中常用的状态函数有状态方程 F(p ,v ,T )=0,和以可测参数为独立变量的热力学能、焓、熵函数，通常热力学能函数u(T ,v )，焓函数h(T ,p)，和熵函数s(T ,v),s(T ,p)的导得较为方便。
相变原理Phase Transformations I
常 规 析 出 形 核
Ni – Al合金中存在Al浓度的梯度分布（从11.7%过渡到 12.5%），经700C、10800 sec时效处理后析出 -Ni3Al相。 下图为利用能谱分析的Al元素含量分布结果。
常 规 析 出 形 核
Ni – Al合金经700C、10.8 ksec时效后-Ni3Al相析 出物的临界晶核半径与合金过饱和度之间的关系 （图中垂直虚线代表溶解度极限）。
常 规 析 出 形 核
形核的动力学原理
根据Turnbull-Fisher理论，可以导出关 于形核率的方程
ZN exp(G * / kT ) N 0
——单位体积、单位时间内所形成核心 N
常 规 析 出 形 核
的数量； Z —— Zeldovich 因子，一般取 Z 0.1 ——频率因子，表示单位时间内到达晶胚 表面的原子个数，是扩散系数 D = Do exp[ - Q/kT]的函数； No ——单位体积内可以形核位置的数量。
过渡形核阶段：
常 规 析 出 形 核
稳态形核阶段（ t >> ）
K exp[(G* Q) / kT ] N 1
存在一个孕育期——形成具有新相结构的晶 胚 = K1 exp[ - (G* + Q)/kT][1 - exp( - t/)] N t
驱动力下降阶段 基体中溶质原子的过饱和度消耗殆尽： 基体成分C0趋于Ce时，形核率下降并 趋于零。 存在一个转折点——形核率开始偏离 稳态形核区域并逐渐减小到零。
热力学原理
常 规 析 出 形 核
固态相变中的形核时自由能： G = 4/3(r3Gv) + 4r2 + 4/3(r3G) G ——应变能（相变阻力）：源于析出物 /基体之 间比容（或密度）的差异。 ——表面能 临界晶核尺寸以及形核所需的激活能： 及
偏微分方程数值解_图文_图文
估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
科大物理化学第六章2
从数学上看,大数Qa取对数后的值将大大减小,一般不影响 rG (大数)的正负性. 例: Zn(s)+ 1/2 O2(g)→ ZnO(s) rG =-317. 9 kJ/mol Qf = ( PO2′/ P ) -1/2 欲使反应不能自发进行,则需:rG ≥ 0,即: RT ln( PO2′/ P ) -1/2 ≥-rG
Ο
17
§9,温度对平衡常数或rG 的影响 温度对平衡常数或
对任意一化学反应来说: 要确定Ka 随温度的变化. rG = -RT ln Ka 随温度的变化关系,就必须首先知道rG
一,rG 与温度的关系(Gibbs-Helmholtz)公式 与温度的关系(Gibbs-Helmholtz)
假设体系在恒温恒压下发生了一个过程,此过程 的自由能变化为: G = G2-G1 式中G1,G2分别为体系的始态和终态的自由能.
9
例:由苯合成苯胺可以有以下几个合成途径: i)先将苯硝化,然后用H2还原:
C6H6(l)+HNO3(aq)→ H2O(l)+ C6H6NO2(l) (硝基苯) rG rG
298 =-104.5
kJ/mol
C6H6 NO2(l)+ 3 H2(g)→ 2 H2O(l)+ C6H6 NH2(l)(苯胺)
1
注意:
1,rG 并不能普遍地指出某一状态下反应能否自发 进行,只有rG才能决定反应能否自发进行; 2,rG 虽然不能普遍地指示反应进行的方向,但它却 是一个很重要的物理量,它在化学反应中有着重要 的应用. 下面列举一些rG 最常见的应用.
2
一,计算平衡常数
在温度一定时,某一化学反应的rG 就是一个定值, 它与标准平衡常数Ka 有着如下关系: rG =-RT ln Ka (气相反应时,Ka 可表为Kf ) 对于理想气体反应: rG =-RT ln[ KP/(P )ν] (Kf = KP = KP /(P )ν) 我们知道,平衡常数值代表一个反应进行的限度.所以 上式表明,产物和反应物在标准状态下的自由能之差rG 是决定反应限度的一个物理量.
有限差分基础白
实际问题往往是上述三类边界条件的组合。
7.4 稳态传热问题的有限差分方程
对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导 数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普 通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T 对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公 式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持 y = y0。
1. 内节点差分方程
首先只考察内部节点。
图7-4所示是直角坐标系下一个三 维导热区域中的网格点P及其六 个相邻点，它们分别记为N，S， E，W，I，O。令网格间距Δx= Δy=Δz =Δ。
稳态基本方程为
2T 2T 2T H 0
x 2 y 2 z 2
图7-4 在均匀网格的 三维直角坐标中典型 点P及其六个相邻点
1. 二维非稳态热传导方程
2T 2T H 1 T
x2 y2 t
(1) 离散化
• 几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长Δx=xi+1-xi, Δy=yj+1-yj，且Δx=Δy。显然，xi=iΔx；yj=jΔy，i,j=0,1,2,…。
• 时间域离散化。用n（n=0,1,2,…）将时间区域t≥0离散化，两 个时刻的间隔（时间步长）Δt=tn+1-tn，tn=nΔt。
0
其中：a 称为导温系数或扩散系数
c
（7-1）
存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示
u t
a
2u x2
0
u(x,0) f (x)
x , t 0
x
（7-2）
在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。
(1) 定解区域的离散化 用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程 定解问题离散化为差分方程的基础。
第6章 多元函数微分学
6.4 多元复合函数微分法 6.4.1 多元复合函数微分法 设 z = f (u,v), u = u (x,y), v = v(x,y),则 , ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y 这是本节最重要、最好记忆的公式, 这是本节最重要、最好记忆的公式,也是应 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话, 用时最容易出错的公式.只要你不偷懒的话,你 是不会出错的. 是不会出错的. 本节假设所有的抽象函数总能 满足所需要的条件. 满足所需要的条件. 的偏微商. 练习 求 z = (x2 + y2)xy 的偏微商. 提示： 提示：令u = x2 + y2, v = xy.
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
的偏微商与全微分. 例 求z = cos2x + 3siny的偏微商与全微分 的偏微商与全微分 ∂z ∂z 解 = −2sin 2x, = 3cos y. ∂x ∂y
∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y
= − 2sin2xdx + 3cosydy
第6章 多元函数微分学
重点： 重点：求偏微商 难点： 难点：多元复合函数微分法 多元函数极值
6.1 空间解析几何
6.1.1 空间直角坐标系
点与坐标
两点间的距离公式 间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
间的距离公式： 间的距离公式：
d = (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + (z1 − z2 )
浅谈热力学函数偏微商关系式的推证
物理光学第三章 光的衍射
P d E P C K , E Q exp ikr d E 0 r
பைடு நூலகம்
当S为点光源时，Q点的光场复振幅为
Q A exp ikR E R
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳公式的意义：对于简单孔径的衍射可 以获得满意的结果。 惠更斯-菲涅耳公式存在的问题： • 计算所得的相位比实际相位落后 2 ； • 为了解释没有倒退波存在，菲涅耳假设当 0 时， 有 K 1 ，而当 2 时，有 K 0 ，这是在原理之外 附加的假设，而且他没有给出倾斜因子 K 的具体形 式，因此，从理论上讲，惠更斯-菲涅耳原理是不够 完善的。
2 E P k 2 E P 0
6.1.3 基尔霍夫衍射公式
假设另一个任意复函数也满足亥姆赫兹方程
2G k 2G 0
16
并且在 面内和 面上有连续的一、二阶偏微商（个 别点除外）。 构造积分
E G Q G E d n n
6.1.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理
惠更斯在1690年发表的《论光》一书中提出了惠更 斯原理：波源S在某一时刻所产生的波阵面∑，则∑ 面上的每一点都可以看作是一个次波源，它们发出 球面次波，其后某一时刻的波阵面∑’即是该时刻这 些球面次波的包络面，波阵面的法线方向就是该光 波的传播方向。 利用惠更斯原理可以决定光波从一个时刻到另一个 时刻的传播，也可以说明衍射现象的存在，但是不 能说明衍射过程及其强度分布。
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
计算物理学：第六章 偏微分方程的数值解法
常数: a
format long; h = (maxx-minx)/(n-1); if a>0
精度： O(Δt, Δx)
差分方程的稳定性和收敛性：
收敛性：理论上，h → 0 时，解逼近准确解
稳定性：初值有小干扰的情况下，干扰不会被扩大 传播，而是被“磨灭”
对流方程
迎风格式:
∂u + a ∂u = 0 ∂t ∂x
二层显式格式
un+1 k
=
ukn
−
aΔt Δx
(uk +1
−
uk )
un+1 k
区间数： n = 1 = 50 0.02
初始值 : u0 , u1, u2 L, u50
t = 0 时，
⎧10 x + 1 − 0.1 ≤ x ≤ 0
U ( x)
=
⎪ ⎨‐
10
x
+
1
0 ≤ x ≤ 0.1
⎪⎩0
其余
⎧u0 = 1
⎪ ⎪⎪ ⎨
u1 u2
= =
−10 × 0.02 + 1 −10 × 2 × 0.02
h2
2.微分方程离散化： 差分公式:
dui = ui+1 − ui + O(h)
dx
h
dui = ui − ui−1 + O(h)
dx
h
dui = ui+1 − ui−1 + O(h2 )
dx
2h
dui = − ui+2 + 4ui+1 − 3ui + O(h2 )
dx
2h
d 2 ui dx 2
偏微分方程课件 云南财经大学
, xn , t )的n维波动方程
19
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。
（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。
也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。
函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。
（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。
一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。
（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。
它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。
（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。
它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。
可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。
总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。
6-3 偏微商
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
机动 目录 上页 下页 返回
二 者 不 等
结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 1 u 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
六章 溶液
因为： H m H 0 C p dT
0
C p a bT CT 2
C p a bT CT 2
T 0
H 0 H m C p dT
1 1 2 H m (aT bT cT 3 ) 2 3
由热力学数据手册： H 298，a、b、c
数据精度问题
△Gθ的计算
由(G-H0)/T求得
d(∆G/T)=∆H d(1/T), 0K时 d(∆G/T=........0-TK dH/dT=Cp, 已知0K至TK的Cp，可求得 (∆G-H0)/T, ∆H 0
d(∆H0/T)=-∆H0 d(1/T), 两公相加。
T
由热力学数据手册： H ，S , C 298 298 p
GT
在298～T之间若发生相变，则分段积分，计算相变 自由能。
△Gθ的计算
简易近似求法
∆G(T)=∆H (T)-T ∆S(T) 当T≈Te ∆S(T) ≈∆H/Te
∆G= ∆H-T ∆S= ∆H-T ∆H/Te= ∆H (Te-T)/Te= ∆H .∆T /Te QP= ∆H, 试验中可测试Q，求得∆G。
P T ( )s ( ) v (9) V S ( T ) ( V ) (10) p P s S S P ( )T ( ) V (11) T V S V ) T ( ) P (12) ( T p
二级相变
相变时两相的化学势及一级偏微商相等，但二 级偏微商不等。
1
T P 2 T P
1
PT 2 PT
2 2 C P 2 1 T 2 T 2 T P P
证连续的偏微商例题
证连续的偏微商例题
问题：微商是什么？（）
答案：社交电商
问题：李克强总理什么时候亲临义乌淘宝村？（）
答案：2014年12月份
问题：微电商的主要载体是以手机为代表的移动终端。
（）答案：正确
问题：以下哪个不是微商发展的三个阶段？（）
答案：自推广
问题：哪个不属于微商发展的阶段?
答案：自电商
问题：什么是自品牌?()
答案：人格品牌化
问题：微商只需要粉丝就好。
（）
答案：错误
问题：小米手机通过哪种类别销售？（）
答案：B to C
问题：哪个不属于微商类别？
答案：B to C to B
问题：明星微商是以下哪种类别模式？（）
答案：C to C to C
问题：微商可以直接销售也可以找代理销售（）
答案：正确
问题：以下哪个不是微商跟淘宝的区别？（）
答案：手机与电脑的区别
问题：以下哪个不是老师口中的微商优势？（）答案：零资源
问题：自主的商业模式是微商的创业优势。
（）答案：正确
问题：微商只要发产品就可以成功。
（）
答案：错误
问题：刚开始的微商“小白”不应该做的是？（）答案：拿产品直接卖
问题：想做好微商就要不断的更新产品。
（）
答案：错误。
偏微分方程数值解
偏微分⽅程数值解中南林业科技⼤学偏微分⽅程数值解法学⽣姓名：学号：学院：专业年级：设计题⽬：⼀维热传导⽅程⼏种差分格式2012年07⽉⼀维热传导⽅程22()u ua f x t x=+ 0t T ≤≤ (0)a > 定解条件：1．初值问题（Cauchy 问题） (,0)()u x x x ?=-∞<<+∞2．初边值问题（混合问题）(,0)()0(0,)(,)00u x x x l u t u l t t T=<<==≤≤物理意义：有限长细杆的温度（两端温度不⼀定为0，⼀般为 (0,)(),(,)()0u t t u l t t t T αβ==≤≤，这⾥取成0为⽅便计算）⽅程中的条件为第⼀边值条件，也可有第⼆、三类边值条件： 102102(0,)()()(0,)(),(,)()()(,)().u t t t u t t xu l t t t u l t t xαααβββ?+=??+=?这⾥的系数,i i αβ应满⾜⼀定的条件（见书）。
它们实际上包含了第⼀、第⼆、第三类边界条件。
假定f ，?在区域上充分光滑，则问题的解存在且唯⼀。
现考虑边值问题的差分格式。
对区域进⾏分割：{0;0}G x l t T =≤≤≤≤⽤平⾏直线族0,1,,0,1,,j k x x jh j N t t k k Mτ======分割G ，(,)j k x t 为节点，记为(,)j k ，h 称为空间步长，τ称为时间步长。
记{(,)(,)}{(,)(,)}h h G j k j k G G j k j k G =∈=∈⽤k j u 表⽰定义在⽹点(,)j k x t 的⽹函数，0j N ≤≤，0k M ≤≤。
⽤不同的差商代替⽅程中的偏微商，可得差分格式。
⼀.向前差分格式（古典显格式）1112002()(),01,,1,1,,1k k k k k j j j j j j j j k k N jj j u u u u u a f f f x h u x u u j N k M τ??++---+=+======-=-两τ，记2a r hτ=（称为⽹⽐）则上式可写成便于计算的形式：（1k +层在左边，k 层在右边）111(2)0,1,,1k k k k k j j j j j ju u r u u u f k M τ++-=+-++=-取000j jkkN u u u===，依次可算出各层上的值k j u 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
退出
6.3.1.2、全微分
定义 设函数z= f （x，y）的偏微商
z z , x y
z z dx , dy 是连续的，则把 x y
分别称为函数z= f （x，y）关于x与y的偏微分， 而两个偏微分之和称为z= f （x，y）在（x，y） 处的全微分，记为dz或d f 。即
上一页 下一页
退出
z yy 18 x y.
2
例
设z x 2 ye y , 求二阶偏微商。 解 z 2 xye y , x
z y x (1 y )e ,
z xx 2 ye ,
上一页 下一页
2
y
y
z xy 2 x(1 y )e
2
y y
z yx ,
退出
z yy x ( 2 y )e .
二元函数z= f(x,y)的偏微商f x(x,y), f y(x,y)仍然是x,y的二元函数。若再对 x或y求偏微商，则得出z= f (x,y)的二阶偏 微商.
上一页 下一页
显然二元函数的二阶偏微商共有四个， 用记号表示为：
退出
z 2z ( ) f xx ( x , y ) 2 x x x
z z ( ) f xy ( x , y ) y x yx
2
z z ( ) f yx ( x , y ) x y xy
2
上一页 下一页
退出
z 2z ( ) f yy ( x , y ). y y y 2
上一页 下一页
例 设z x 3 y 3 x 2 y 3 , 求二阶偏微商。 解 z x 3 x 2 y 6 xy 3 , 3 2 2 z y x 9x y , 3 z xx 6 xy 6 y , 2 2 z xy 3 x 18 xy , 2 2 z yx 3 x 18 xy ,
6.3 偏 微 商
6.3.1偏微商与全微分
1、偏微商定义
如果一元函数z= f （x，y0）在x0处微商存在， 则称此微商为z= f （x，y）在（x0，y0）处对 记为 x的偏微商。 f z f x ( x 0 , y0 ), ( x 0 , y0 ) , ( x 0 , y 0 ) , z x ( x 0 , y0 ) x x
退出
du
(4 yz 3 x y z ze
3
2
2
xz
)dx
( 4 xz 2 x yz )dy
( 4 xy x y
上一页 下一页
3
2
xe
xz
)dz .
退出
书上P301面例3，注意结果。
p V T 1 V T P
上一页 下一页
退出
三、高阶偏微商
上一页 下一页
退出
定义 函数 z f ( x, y )关于 x的偏微商定义为
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y ) lim ; x x 0
函数z= f （x，y）关于y的偏微商定义为
上一页 下一页
退出
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) lim . y y 0
y x y
2 2dx x x y Nhomakorabea2 2
dy .
退出
例4求u=4xyz+x3y2z+exz的偏微商和全微分。
解
u 4 yz 3 x 2 y 2 z ze xz x
上一页 下一页
u 3 4 xz 2 x yz y u 3 2 xz 4 xy x y xe z
z z dz dx dy . x y
退出
例3 求z=arctan(y/x)的偏微商和全微分。
z 1 y y 解 ( ) 2 2 2 x 1 ( y ) 2 x x y x
z 1 y 1 ( y
上一页 下一页
x
1 x 2 2 2 x x y )
dz
例1 求z=xy的偏微商.
解:
z y 1 yx x
上一页 下一页
z y x ln x . y
退出
例2 求z=x2cos(xy)的偏微商.
解：
上一页 下一页
z 2 2 x cos(xy ) x y sin( xy ) x z 3 x sin( xy ). y