最短路径问题课件

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《最短路径问题》课件

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查,最后到点B处执行任务,他们应如何走才能使总路
程最短?
l1
∙B ∙A
l2
解析:(1)如图,作点A关于直线l1的对称点A′;
(2)作点B关于直线l2的对称
A′ C
点B′;
B ∙
l1
(3)连接A′B′,分别交直线
∙A D
l2
l1,l2于点C,D,连接AC,BD.
B′
所以先到点C设卡检查,再到点D设卡检查,最后到点
A
B
这是个实际问题,你能用自己理解的语言描述一下吗?
如图所示,将A地抽象为一个点,将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗?
如图,在直线l1和直线l2上分别找到点M,N,使得四边
形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法:分别作点A,B关于直
M
线l1,l2的对称点A1,B1,连 接A1B1分别交直线l1,l2于点M, N,则点M,N即为所求.
B处执行任务,按照这样的路线所走的路程最短.
随堂练习
1.两棵树的位置如图所示,树的底部分别为点A,B, 有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行,小树的树顶 D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树 顶C处,问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时,小鸟飞 行路程最短,在图中画出该点的位置.
解:如图,作点C关于AB的对称点C′,连接DC′交AB于 点E,则点E即为所求.
同时使得对直线上任意一点C,满足BC=B′C,就可以
将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直
线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢?
如图,作出点B关于直线l的对称点B′,利用轴对称的性

13.4.1最短路径问题优秀课件

13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中,还有哪些涉及比较线段大小的基本事实? 三角形三边关系:两边之和大于第三边; 斜边大于直角边.
4.如图,如何做点A关于直线l的对称点?
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决?
想一想: 对于问题2,如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处,满足
典例精析
练习1.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P 为直线EF上的任一点,则AP+BP的最小值是( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2:如图,牧马营地在点P处,每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草,再到河边b处饮水,最后回到营地.请你设计一条放牧路线,使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点) 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟
转化思想.(重点)
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会,能让他两人走的总路程 最短?
迢迢牵牛星,皎皎河汉女。 纤纤擢素手,札札弄机杼。 终日不成章,泣涕零如雨; 河汉清且浅,相去复几许! 盈盈一水间,脉脉不得语。
BC =B′C,BC′=B′C′.
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′,
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′. 在△AB′C′中,
C
C′
l
AB′<AC′+B′C′,
∴ AC +BC<AC′+BC′.

《最短路径问题》PPT课件

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A
a 3、连接PA,PB,由对称轴 的性质知,PA= P1A,
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草,再到点B
处饮水,最后回到营地,
这时的放牧路线总路程最
短,即 (PB+BA+AP)min
• 证明:
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P

= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1

A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块,已知 AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁 在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带(金丝带的宽 度忽略不计),圆柱体高为6cm,底面 圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B
的路径最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥
要与河垂直)
.A M
作法: 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置,MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明: ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN

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13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感悟转 化思想.(重点)
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.(难点)
.
2
导入新课
复习引入 1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?为什么?
②最短,因为两点之间,线段最短
A.P是m上到A、B距离之和最短的
点,Q是m上到A、B距离相等的点
B.Q是m上到A、B距离之和最短的
点,P是m上到A、B距离相等的点
C.P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D.P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图,∠AOB=30°,∠AOB内有一定点P,且
OP=10.在OA上有一点Q,OB上有一点R.若
△PQR周长最小,则最小周长是( A )
A.10
B.15
C.20
D.30
.
17
3.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分 别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求. ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合),
连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知,
BC =B′C,BC′=B′C′.
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′,

最短路径问题-(PPT课件) 公开课

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第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图,连接A、B两点的所有连线中,哪条最短?

为什么?

②最短,因为两点之间,线段最短
A ③B
2.如图,点P是直线l外一点,点P与该直线l上各点连
接的所有线段中,哪条最短?为什么?
P
PC最短,因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图,如何作点A关于直线l的对称点?
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示:本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动
点,则BF+EF的最小值为( B )
A.7.5
B.5
C.4
D.不能确定
解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值,故连接CE即可,线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键: 作对称点,利用轴对称的性质将线段转化, 从而利用“两点之间,线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ,连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考:当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短?
3.如图,如何作点A关于直线l的对称点?

最短路径问题 ppt课件

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12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1:置P={1},T={2,3,…,n}且S1=0,Sj=w1j, j=2,3,…,n 。 步骤2:在T中寻找一点k,使得Sk=min{Sj},置P=P{k}, T=T- {k}。若T=,终止;否则,转向步骤3。 步骤3:对T中每一点j,置Sj=min {Sj ,Sk+ wkj},然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法,这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖,这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终,起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ,B =(bij)mn,规定C=AB=(dij)mn,
其中dij=min(aij, bij)

13.4最短路径问题 课件

13.4最短路径问题 课件

实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是( D )
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分 别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离 是 1000米.
C
D 河
新课引入
我们把研究关于“两点之间,线 段最短” “垂线段最短”等问题, 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到,今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传,古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 海伦,请教一个百思不得其解的问题:
C.通过互联网 D.乘坐火车赴各地了解
解析:本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信
息“20世纪初”“最快捷的方式”,因此应选B,火车速度 远不及电报快。20世纪30年代民航飞机才在中国出现, 互联网出现在20世纪90年代。 答案:B
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
问题2
(造桥选址问题)如图,A和B两地在同一条 河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两 岸是平行的直线,桥要与河垂直.)

初中八年级数学上册人教版课件:13.4最短路径问题 (共18张ppt)

初中八年级数学上册人教版课件:13.4最短路径问题 (共18张ppt)

b
课堂 练习 如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°, ∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M、N, 当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为 多少?
A B M A′ C D A″
N
Thanks
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
l
B′
探究 活动2
如图:牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马, 再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路 线。
N
A
M
B
l
探究 活动 2
如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先 到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮 他确定这一天的最短路线。 F
H N
E
探究 活动 2
最短路线:A
P
Q
B
A/
P
A
N
QB/Biblioteka MBl探究 活动 3
(造桥选址问题)如图,A和B两地在一条河的 两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处可使 从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行 的直线,桥要与河垂直。)
a b
A
M
N
B
探究 活动 3 作法:
1.将点A沿垂直与河岸的 方向平移一个河宽到A‘ A 2. 连接 A ’ B 交河对岸与点 N, 则点N为建桥的位置, MN为所建的桥。
A′
a
b
M
N
B
探究 活动 3
证明:由平移的性质,得 AM∥A’N 且AM=A’N, MN=M'N', AM’∥A’N’, AM’=A’N’, a 所以A.B两地的距离: AM+MN+BN=A’N+MN+BN=A’B+MN M′ 若桥的位置建在M’N’处, A M 连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为: N′ A′ AM’+M’N’+N’B=A’N’+M’N’+N’B =A’N’+N’B+MN N B 在△A’BN'中,∵A’N’+N’B>A’B ∴A’N’+N’B+MN>A’B+MN 即AM’+M’N’+N’B >AM+MN+BN 所以桥的位置建在MN处,AB两地的路程最短。
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较复杂的问题转化为容易解决的问 题,从而作出最短路径的选择。
•问题2 归纳
•抽象为数学问题
•解决实 •际问题
•联想旧知
•A
•用旧知解决新知
•C
•l
•B
•小结归纳
•B
•A
•C
•l
•B′
•转化
•轴对称 •变换
•A
•C
•l
•B
•两点之间,线段最短.
•平移 •变换
•尝试应用:
•1.如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修
•A'
•M
•N
•M′ •a •b
•N′
•B
•∴AM+MN+BN=AA′+A′B, • AM′+M′N′+BN′=AA′+A′N′+BN′.
•在△A′N′B中,由线段公理知A′N′+BN′ >A′B,
•∴AM′ +M′N′ +BN′ > AM+MN+BN.
•总结归纳 : • 在解决最短路径问题时,我们 通常利用轴对称、平移等变换,把
•B
•A
•l
•C
•B
•两点之间,线段最短.
•分析:
•B
•A
•A
•C
•l
•l
•C
•B
•(1)这两个问题之间,有什么相同点和不同点?
•(2)我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢 ?
• •(3)利用什么知识可以实现转化目标?
•如图,作点B关于直线 l 的对称点B′ . •当点C在直线 l 的什么位置时,AC与CB′的和最小?
• 如图假定任选位置造桥MN, •A 连接AM和BN,从A到B的路径是 AM+MN+BN,那么折线AMNB在什 么情况下最短呢?
• 由于河宽是固定的,因此当 AM+NB最小时,AM+MN+NB最小.
•M •a •b
•N •B
•分析:
•A
•A'
•M •a
•A
•C
•l
•b
•N
•B
•B
• 如图,如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′, 使AA′等于河宽,则AA′=MN,AM=A′N,问题转化为:当 点N在直线b的什么位置时,A′N+NB最小?
•∴AC+BC=AC+B′C=AB′.
•在△AB′C′中,AB′< AC′+B′C′,
•B′
•∴AC+BC < AC′+B′C′,
•即AC+BC最小.
•方法总结:
• 在解决最短路径问题时,我们通常利用 轴对称变换,把复杂问题转化为容易解 决的问题,从而作出最短路径的选择.
•问题1 归纳
•A
•B
•抽象为数学问题 •A
•C
•D •河
•A
•B
•4、如图所示,M、N是△ABC边AB与AC上 两点,在BC边上求作一点P,使△PMN的周 长最小。
•P
•M ’
•本节课你有什么收获?
•①学习了利用轴对称解决最短路径问题 •②感悟和体会转化的思想
•补偿提 高
• 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
•脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返
建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图
中实线表示铺设的管道,则所需要管道最短的是(•D )
•Q •P
•Q •P
•M •A •P
•l •Q
•M
•l
•C
•B
•M •Q
•l
•P
•M
•l
•D
•2.如图,牧童在A处放马,其家在B处,A、B到河岸的距离分 别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米,则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家,所走的最短距离 是 •1000米.
•B •A
•l
•C
•B′
• 在连接AB′两点的线中,线段AB′最短. 因此, 线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
•证明:如图.
•在直线 l 上任取另一点C′ ,
•B
•连接AC′ •∵直线 l
是、点BCB′、、BB′′的C对′ .称轴•,A
•l
• 点C、C′在对称轴上,
•C′ •C
•∴BC=B′C,BC′=B′C′.
•C •山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
•B •A
•l
• 精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的 •知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 •问题”.
•你能将这个问题抽象为数学问题吗?
•分析:
•B •B
•A
•A
•l
•C •C
•l
•转化为数学问题 •当点C在直线 l 的什么位置时,AC与BC的和最小?
•联想:
• 如图,点A、B分别是直线l异侧的两个点, •如何在 l 上找到一个点,使得这个点到点A、点B •的距离的和最短?
最短路径问题课件
•新 课 引 入


• 我们把研究关于“两点之间, 线段最短” “垂线段最短”等问题
,称它们为最短路径问题.最短路径
问题在现实生活中
何运用所学知识选择最短路径.
•第十三章 轴对称
•13.4课题学习 •最短路径问题
• 问题1 相传,古希腊亚历山大城里有一位久负盛 名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访 •海伦,请教一个百思不得其解的问题: • 如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边 l 处 让马饮水,然后到B地.牧马人到河边的什么地方让马 饮水,可使所走的路径最短?
•B
•l
•C
•l
•解决实 •际问题
•联想旧知
•B
•A
•A •C
•l
•用旧知解决新知
•C
•l
•B′
•B
•问题2
• (造桥选址问题)如图,A和B两地在同一条 河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何 处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两 岸是平行的直线,桥要与河垂直.)
•思考: •你能把这个问题转化 •为数学问题吗?
•回P 处,请画出旅游船的最短路径.
•C
•山 •Q
•河岸
•P
•A •大桥 •B
• 思路分析:
• 由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线
•段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为
•一条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC
•的同侧,如何在BC上找到 •一点R,使PR与QR 的和最 •小”.
•参考右图,利用“两点之间,线段最短”可以解决.
•解:
•A
•A'
•M
•a
•b
•N
•B
• 如图,沿垂直于河岸的方向平移A到A′,使AA′等 于河宽,连接A′B交河岸于点N,在点N处造桥MN,此 时路径AM+MN+BN最短.
•证明:
•A
•另任意造桥M′N′, •连接AM′、BN′、A′N′. •由平移性质可知, •AM=A′N,AM′=A′N′, •AA′=MN=M′ N′.
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