名师导学2017年高三理科数学二轮专题复习专题1集合与常用逻辑用语、算法初步、复数、推理与证明课件与限时

3．复数部分几乎每年的试卷中都会考查，一般会在 选择题或填空题的前面位置出现，题目命制简单，考查内 容清晰，主要考查复数的概念，两复数相等的充要条件、 复数的代数形式的四则运算等．
【备考建议】 本部分内容在高考中通常以选择题、填空题的形式出 现，属容易题或中档题．对于复数要掌握复数的概念、纯 虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几 何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．程序框图要掌 握基本算法语句尤其是含循环结构的程序框图，往往与分 段函数的求值、数列求和或求积、统计等有规律的重复计 算问题放在一起考查，读题审题要仔细．对合情推理的考 查重点是考查归纳推理和类比推理，往往以数表、数阵、 图形等为背景与数列、通项、求和、周期性等数学知识相 结合考查，所以平常要多加训练、总结，提升观察探究、 归纳和概括能力．
探究二 复数的概念及运算
例 2 (1)若复数 z 满足(2－i)z＝|1＋2i|，则 z 的虚部为
()
5 A. 5
5 B. 5 i
C．1
D．i
【解析】选 A.
由 z＝|12＋－2ii|＝（2－5（i）2（＋2i）＋i）＝
5（2＋i） 5
＝255＋ 55i，可知其虚部为 55.
(2)复数 z＝11＋－2ii22001177(i 为虚数单位)的共轭复数在复平 面上对应的点在( )
1．复数的基本概念与运算问题的解题思路： (1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题， 一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化 为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解． (2)与复数 z 的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要 设出复数 z 的代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件， 用待定系数法解决．
探究三 合情推理
例 3 (1)观察下列等式：
13＋23＝1；
73＋83＋130＋131＝12；
136＋137＋139＋230＋232＋233＝39；
…
则当 m<n 且 m，n∈N 时，
3m＋1 3
＋
3m＋2 3
＋
3m＋4 3
＋
3m＋5 3
＋
…
＋
3n－2 3
＋
3n3－1＝________(最后结果用 m，n 表示)．
探究一 算法初步 例 1 (1)执行如图所示的程序框图，则输出的 a＝
()
A．20 B．14 C．10 D．7
【解析】选 B. 依次执行程序框图中的语句，可得：①a＝10，i＝1； ②a＝5，i＝2；③a＝14，i＝3；④a＝7，i＝4；⑤a＝20， i＝5； ⑥a＝10，i＝6，因为当 i＝2 018 时，跳出循环， 而 2 018＝3＋5×403，所以输出的 a＝14.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】选 C. z＝11＋－2ii22001177＝11＋－2ii＝1＋32i－2＝－12＋32i， 则－z ＝－12－32i在复平面内对应的点在第三象限，故选 C.
(3)在复数集 C 上定义运算“⊗”：当z1≥z2时，z1⊗z2 ＝zz12；当z1<z2时，z1⊗z2＝z1z2.若 z1＝1＋3i，z2＝1＋i，z3 ＝3－i，则复数 z ⊗z 1 2⊗z3 在复平面内所对应的点位于第 __________象限．
(2)首先考虑 f(n＋1)与 f(n)的关系． 集合{1，2，3，…，3n，3n＋1，3n＋2，3n＋3}在集合{1，2，3，…， 3n}中加入 3 个元素 3n＋1，3n＋2，3n＋3.故 f(n＋1)的组成有以下几部 分：①原有的 f(n)个集合；②含有元素 3n＋1 的“好集”是{1，2，3，…， 3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合，含有元素是 3n＋2 的“好集”是{1， 2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合，含有元素是 3n＋3 的“好 集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 0 的集合，合计是 23n； ③含有元素是 3n＋1 与 3n＋2 的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素 之和被 3 除余 0 的集合，含有元素是 3n＋2 与 3n＋3 的“好集”是{1，2， 3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 1 的集合，含有元素是 3n＋1 与 3n＋ 3 的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被 3 除余 2 的集合，合 计是 23n；④含有元素是 3n＋1，3n＋2，3n＋3 的“好集”是{1，2，3，…， 3n}中“好集”与它的并，再加上{3n＋1，3n＋2，3n＋3}．所以，f(n＋ 1)＝2 f(n)＋2×23n＋1.两边同除以 2n＋1，得f（n2n＋＋11）－f（2nn）＝4n＋2n1＋1， 所以f（2nn）＝4n－1＋4n－2＋…＋4＋21n＋2n1－1＋…＋212＋32＝4n－3 1＋1－21n， 即 f(n)＝2n（43n－1）＋2n－1.
4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1， 2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3， 2)，(4，1)，…，则第 60 个“整数对”是( )
A．(7，5) B．(5，7) C．(2，10) D．(10，1)
【解析】选 B. 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组， 不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n＋1， 且第 n 组共有 n 个“整数对”， 这样的前 n 组一共有n（n2＋1）个“整数对”， 注意到10×（210＋1）＜60＜11×（211＋1）， 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整数对” 的和为 12)的第 5 个位置，结合题意可知每个“整数对”的 和为 12 的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)， (4，8)，(5，7)，…，因此第 60 个“整数对”是(5，7)， 故选 B.
2．解答程序框图问题的关注点： (1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种 基本结构，特别是循环结构，在如累加求和、累乘求积 、 多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构． (2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条 件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输 出结果． (3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数 较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．特别要 注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误．
(2)双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦点为 F1，F2， 若 P 为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取 值范围为(1，3]．若将其中的条件“|PF1|＝2|PF2|”更换 为“|PF1|＝k|PF2|，k>0 且 k≠1”，试经过合情推理，得 出双曲线离心率的取值范围是________．
3．合情推理的解题思路： (1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把 它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结 论． (2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质推理 过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质． (3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．
一、选择题 1．设 a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复
A．s≤34？ B．s≤56？ C．s≤1112？ D．s≤2254？
【解析】选 C. 执行第一次循环时，k＝2，s＝12， 执行第二次循环时，k＝4，s＝12＋14＝34， 执行第三次循环时，k＝6，s＝12＋14＋16＝1112， 执行第四次循环时，k＝8，s＝12＋14＋16＋18＝2254， 此时结束循环，故判断框中应填入的条件为 s≤1112.
(2)给出 30 个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算 这 30 个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么框 图中判断框①处和执行框②处可分别填入( )
A．i≤30？和 p＝p＋i－1 B．i≤31？和 p＝p＋i＋1 C．i≤31？和 p＝p＋i D．i≤30？和 p＝p＋i
【解析】选 D. 由题意，本题求 30 个数的和， 故在判断框中应填“i≤30？”，由于②处是要计算 下一个加数，由规律知应填“p＝p＋i”，故选 D.
例 4 一个非空集合中的各个元素之和是 3 的倍数， 则称该集合为“好集”．
记集合 {1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的 个数为 f(n)．
(1)求 f(1)，f(2)的值； (2)求 f(n)的表达式．
【解析】(1)f(1)＝3，f(2)＝23； (2)f(n)＝2n（4n3－1）＋2n－1. (1)易得 f(1)＝3； 当 n＝2 时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好 集”的有： 单元素：{3}，{6}共 2 个，双元集：{1，2}，{1，5}， {2，4}，{4，5}，{3，6}共 5 个，三元集有：{1，2，3}， {1，2，6}，{1，3，5}，{1，5，6}，{4，2，3}，{4，2， 6}，{4，3，5}，{4，5，6}共 8 个，四元集有{3，4，5， 6}，{2，3，4，6}，{1，3，5，6}，{1，2，3，6}，{1，2， 4，5}共五个，五元集{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5} 共 2 个，还有一个全集． 故 f(2)＝1＋(2＋5)×2＋8＝23.
(3)已知实数 x∈1，9，执行如图所示的程序框图， 则输出的 x 不小于 55 的概率为( )
A.58
B.38
C.23
D.13
【解析】选 B. 设实数 x∈[1，9]， 经过第 1 次循环得到 x＝2x＋1，n＝2， 第 2 次循环得到 x＝2(2x＋1)＋1，n＝3； 第 3 次循环得到 x＝2[2(2x＋1)＋1]＋1，n＝4， 此时输出 x 的值，输出的值为 8x＋7，令 8x＋7≥55， 解得 x≥6，由几何概型得到输出的 x 不小于 55 的概 率为99－－61＝38，故选 B.
【解析】一 ∵z1＝1＋3i，z2＝1＋i，则z1＝ 10，z2＝ 2，所以 z1⊗z2＝zz21＝11＋＋3ii＝11＋＋3ii11－－ii＝4＋2 2i＝2＋i， 且z1⊗z2＝ 5，z3＝3－i＝ 10， 因此z1⊗z2⊗z3＝2＋i·3－i＝7＋i，所对应的点的坐 标为7，1，故复数z1⊗z2⊗z3 在复平面内所对应的点位于第 一象限．