全国中学生物理竞赛课件4：矢量图解运动问题
全国中学生物理竞赛物系相关速PPT课件
根据接触物系触点速度相关特 征，两者沿接触面法向的分速度相 同，即
vA cos v0 sin
vA v0 tan
vA
α PA α O
α
v0
v0
第6页/共28页
专题5-例5 如图所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光
滑钉子A上，以恒定的速度v拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线
由图示知 2 2 2
A1
2
B2
v1
v1
vA1 A2
vB2 vA2
vB2 2 vA1 2 vA2
由几何关系
v A1
v 2 ,vA2
5v 6
vB2
第4页/共28页
17 6
专题5-例3 如图所示，物体A置于水平面上，物A前固定有动滑轮B，D
为定滑轮，一根轻绳绕过D、B后固定在C点，BC段水平，当以速度v拉绳头时，
本题属线状交叉物系交叉点速度问题
因两杆角速度相同，∠AMB=60°不变
D
C
M
套在两杆交点的环M所在圆周半径为
R l l
2θ
2cos 30 3
杆D转过θ圆周角，M点转过同弧上2θ的圆心角
A
60°
α
O
环M的角速度为2ω!
l
R θβ B
环M的线速度为 vM 2
l 2 3 l
33
第15页/共28页
如图,一个球以速度v沿直角斜槽ACB的棱角做无滑 动的滚动．AB等效于球的瞬时转轴．试问球上哪些点的速度最大？ 这最大速度为多少？
C
α v0 v
vn
r v0
线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴
与水R平v面r 切 点vR0 为v0基点R，R应r v有第8页/共28页1
高中物理奥林匹克竞赛专题——第1章-质点运动学(共35张PPT)
O
y
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则；
x 即：t
t
时刻位于A点，位矢 rA
+t 时刻位于B点，位矢
rB
在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
(2) 位移与实际经过路径不同； (3) 矢量问题，标量解决
三维分解 一维 “+”、“-”表示 (4) 位移具有矢量性、相对性。
2020/6/8
P.11/34
ax
dt
dx
v dv dx
xx0a(x)dxv v 0vdv
P.17/34
例1-4 已知:质点的运动方程 x52 t2 t2 （SI）
求:(1) 质点在第二秒末 v `a
(2) 质点作什么运动。
t0.5s v0 a0
t=0.5s
质点运动学
匀加速
X
（3）第二秒内位移及平均速度
（3） xx(2)x(1)
求(1) 质点的速度和加速度。
矢量性。
解(2:)(1找) 一v个质d点r运动的相应实例。
当质点作直线运动时 矢量的方向性体现在指向上，用正、
5 i ( 1 dt 1 5 t) j 0SI 负号表示
a dv 10 j SI
xx(t) xxQxP
dt (2) x:vx5
ax0
y:vy1 5 1t0ay1 0g
§1-2 质点运动的描述
1.2.2 位矢 运动方程与轨迹方程
z
1.2.1 质点(particle)
定义：物体的线度和形状在所研究 问题中可以忽略不计时，这个物体 被称为质点。
1.位置矢量 (矢径，位矢) (position vector)
k r P(x,y,z)
高中物理竞赛讲义(完整版)
高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
全国中学生物理竞赛复赛试验指导书
•理想气体的内能
•理想气体的等容、等压、等温和绝热过程（不要求用
微积分运算）
3•
•5．液体的性质 •液体分子运动的特点 表面张力系数 •浸润现象和毛细现象（定性） •6．固体的性质 •晶体和非晶体 空间点阵 固体分子运动的特点 •7．物态变化 •熔解和凝固 熔点 熔解热 蒸发和凝结 饱和气压 •沸腾和沸点 汽化热 •临界温度 固体的升华 空气的湿度和湿度计 露点 •8．热传递的方式 •传导、对流和辐射 •9．热膨胀 •热膨胀和膨胀系数
2•
•
热学
•1．分子动理论
•原子和分子的量级 分子的热运动 布朗运动
•温度的微观意义 分子力 分子的动能和分子间的势
能 物体的内能
•2．热力学第一定律
•热力学第一定律
•3．*热力学第二定律
•*热力学第二定律 *可逆过程与不可逆过程
•4． 气体的性质
•热力学温标 理想气体状态方程 普适气体恒量
•理想气体状态方程的微观解释（定性）
验,从中选出正式参赛的代表队(5人)。1986年7月，我国
首次参加了在英国伦敦举行的第17届国际物理奥林匹克
竞赛，3名选手全部获奖。在以后的历届国际竞赛中，我
国每年选派5名学生参赛(2003年第34届在台湾举行，我
国大陆未派选手参加)，至2006年为止，共派出98人，全
部获奖。共获金牌67块、银牌20块、铜牌9块、表扬奖2
全国中学生物理竞赛复赛试 验指导书
2•
•全国中学生物理竞赛简介
• 全国中学生物理竞赛是在中国科协的领 导下，由中国物理学会主办，各省(自治区 、直辖市)自愿参加的群众性的课外学科竞 赛活动。各项活动得到教育部的同意和支持 。竞赛的目的是激发学生学习物理的兴趣和 主动性,促使他们改进学习方法，增强学习 能力；帮助学校开展多样化的物理课外活动 ，活跃学习空气；发现具有突出才能的青少 年，以便更好地对他们进行培养。
高中物理奥林匹克竞赛专题---质点运动学(共56张PPT)
z
r x ( t) i y ( t) j z ( t) k
r
参数形式： x x ( t )
y y(t)
o
y
z z(t)
x
轨道方程：
运动方程中消去时间t 得到
(x,y,z)0
3. 位移与路程
A(t点设，t质)位时点矢刻作为位曲于r，线AB点运，动位,t矢时为刻r在B
x
速度的三个分量： vxd dxt, vyd dyt, vzd dzt
速度的大小：(速率) vv vx 2v2 yvz 2
(3) 速率(velocity)
平均速率: vs ms1 t
s B
A r
lim 瞬时速率：
v s ds t0 t dt
一般情况： r s 因此 v v
A
B 正交分解
B
D
A
A A A 的x i 大 小A y j AA c Ax2o i AA y2s s i jn A y y
A
A的方向
tan Ay
o
Ax x
Ax
空间矢量的分解
z
A o p o c o a o b oc
（2） r 2 2 i 1 2 9 2 2 j 4 i 1 j 1
t 2
vdr2i4tj dt
v 2i8 jm/s t2
v2
22828.25 m/stan1875 58
标积的坐 标分 量式 A B A x B x A y B y A z B z
(3) 两矢量叉乘（矢积）
结果为一矢量。令该矢量为C, 即
ABC
高中物理奥林匹克竞赛专题——质点运动学(共58张ppt)
(hl)x2h1x
两边求导：
(hl)dx2 hdx1
o
dt dt
l x1 x2 x
其中 d2x ： v , dt
d d1xtv0
v hv0 hl
（2） 令 bx2 x1为影长
b
l h
x2
vdbl dx2 dt h dt
以 dx2 hv0 代入 dt hl
得： v lv0 hl
1-2-5 自然坐标系下的速度和加速度
速度与速率的关系
讨论
（1） v v?
（2） v v?
（3）
dr dr ? dt dt
加速度是反映速度变化的物理量
t1时刻，质点速为
v1
t2时刻，质点速度为
v2
z
v1
r1
r2
v2
t时间内，速度增量为：
o
vv2v 1
x
平均加速度
a
v
m s1
t
y
v1
v
v2
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致
t0
t0
ds dr
1-2-3 速度
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量
速度：单位时间内质点所发生的位移
z A
rArrB B
o y
x
• 平均速度(average velocity)
设质点作一般曲线运动
tA时刻位于A点 tB时刻位于B点 在t时间内发生位移
rrBrA
平均速度： v r ms1 t
0 t
0 0t
2
t2
2
2 0
2
0
角量和线量的关系：
vR
a R an R2
全国中学生物理竞赛课件4：角标运算矢量图解运动问题共26页文档
♠ 独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会 因有其它分运动的存在而发生改变．
♠ 等时性原理 合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个
分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．
♠ 矢量性原理 描述运动状态的位移、速度、加速度等
v02 2gh
v0
矢量△“面积”
θ
S
1 2
gt
v0
cos
h
1 2
g
x
1 2v0vt
sin
当 xv09v0g02o即 vt2stiann1 v02v0 vt2
时 xmax
v0
x
v02 vt2 g
θ
vt
△v
专题4-例5 网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为
使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vP运 动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vP 和此法线的夹
v3 2 tv23 v22 v3 vco s
v2t
C
7
v3t
v 4
v3t
D
专题4-例4 从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，
讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．
物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
矢量关落地系时:速 u度uvvv的大vvt小为vvv0t
物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行 四边形定则作上述物理量的运算．
雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向 东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向
简谐运动的物理矢量描述课件高中物理竞赛(共20张PPT)
A
t
M0
c
O x P Ax
端点M的运动轨 迹称为参考圆
第五章 机械振动
§5－2
振动曲线
简谐振动的旋转矢量描述
mm m
oA x x00<=x0A0< A(伸长量)
x A
= /2
=0
1.S WF
3.SWF
o
ωt
-A
ωT=2π
>0
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
速度共振：当驱动力角频率等于系统固有频率时，速度幅值达到最大值。
t时刻夹角
。
解：船静浮时，浮力与重力平衡
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
1 1 2 2 2 的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y时，船受合力为
小号发出的声波足以使酒杯破碎
m A sin (t ) k A cos (t ) 解：船静浮时，浮力与重力平衡
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cost M
x
x
M
ON
3
O
2
xN
A cos(t
3)
2
t
3
2
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cos(t 0) M
xM
x
N2
O
o
xN
A cos(t
1)
2
2
t
第五章 机械振动
§5－3 几种常见的简谐振动
高二物理竞赛课件：运动学的两类问题习题
例 已知：a = －kv （ k 为常数），求任意 时刻速度和位置。(第二类问题）
解：(v=vo+∫ot adt= vo +∫ot -kv dt v ?) a = dv/dt = －kv
dv/v = －kdt
∫vov dv/v = ∫o t －kdt ln(v/vo ) = －kt v = vo e -k t x = xo + ∫ot voe -k t dt = xo+ vo( 1－e -k t )/k
θ vx
vy
v
v 为速度的大小,也 是速率的值。
速度的方向为：
tgθ= vx /vy = - t
(3) 在直角坐标中在自然坐标系中:
ax = dvx/dt = 0 (m/s2 ) ay = dvy/d t =－2 (m/s2 ) at = dv/dt = d [2( 1+t2 ) 1/2] /dt
例设河面宽 l =1 km，河水由北向南流动，流速 v = 2 m/s，一人相对河以 u’=1.5 m/s 的速率将船从 西岸划向东岸，问：(1)若要使船到达对岸的时间 最短，船头与河岸应成多少角度 ? 最短时间等于 多少?到达对岸时，船在下游何处 ? (2)若要使船相 对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度? 到达对岸时，船在下游何处 ? 要化多少时间 ?
= 2t/( 1 + t2 )1/2 (m/s2 )
an = ( a2－at2 )1/2 =(ax2+ ay2- at2)1/2 = 2/(1 + t2 )1/2 (m/s2)
(4) ρ= v 2/an = [2( 1 + t2 )1/2]2 .( 1 + t2 )1/2/2
= 2(1 + t2 )3/2 (m)
高中物理奥林匹克竞赛专题---质点运动学(共56张PPT)
标积的坐标分量式
A B A x B x A y B y A z B z
(3) 两矢量叉乘（矢积）
结果为一矢量。令该矢量为C, 即
ABC
C 的大小 CAsBin
C
C的方向垂直 A 与 B构成的平面， 指向由右手螺旋法则确定
B
A
性质：
(1)
A
矢积的坐标分量式
A B ( A x i A y j A z k ) ( B x i B y j B z k )
( A y B z A z B y ) i ( A z B x A x B z ) j ( A x B y A y B x ) k
矢量叉乘可以写成行列式
i jk A B Ax Ay Az Bx By Bz
六、矢量的微商和积分（略）
第1章 质点运动学
§1.1 参照系 坐标系 质点
1 质点 (particle)
实际物体的理想化模型 ，有质量无形状和大小的几何点.
实际问题中，当物体的形状和大小对研究不起作用或 所起的作用可忽略时，就可把物体当作质点来处理。
（1）教学内容及学时安排
第1章 质点运动学 (4学时) 第2章 质点动力学 (8学时) 第3章 刚体力学 (6学时) 第4章 气体动理论 (6学时) 第5章 热力学 (8学时) 第6章 振动 (4学时) 第7章 波动 (8学时) 第8章 光的干涉 (6学时) 第9章 光的衍射 (6学时) 第10章 光的偏振 (4学时)
参照物
坐标系 (system of coordinates)——用以标定物体的空间位置
而设置的坐标系统，是固结于参考系上的一个数学抽象。
2024年9月第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
第41届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答（2024年9月21日9:00-12:00）一、（45分） （1）（1.1）记质量为M 的振子偏离平衡位置的位移为x （向左为正），单摆的偏转角为θ（向左为正），摆臂上的张力为T ，按牛顿第二定律，摆锤在水平方向上的运动方程为m ẍ+lθcos θ−lθ sin θ =−T sin θ ①在竖直方向上的运动方程为m −l sin θθ−lθ cos θ =m g −T cos θ ② 利用小幅度振动条件，保留到小量θ的领头阶，有sin cos 1 ， ③将③式代入①②式，并保留到小量θ的领头阶，得T mg ④ ẍ+lθ+g θ=0⑤【注: 利用悬点不动的非惯性系也可更方便地得到上述结果。
在悬点不动的非惯性系中，摆锤额外受到横向的惯性力−mẍ，有角向运动方程mlθ=−m g sin θ−mẍcosθ ①′ 同时也有径向运动方程2θcosθsin ml mx g T m ②′进一步利用小摆幅条件，保留到小量θ的领头阶，即得⑤④式。
】质量为M 的振子在水平方向上做一维运动， 由牛顿第二定律得Mẍ=−kx +T sin θ+H cos ωt ⑥由③④⑥式得Mẍ+kx −m g θ=H cos ωt ⑦只考虑系统在强迫力下的稳定振动，稳定振动的圆频率为ω，设cos(x x A t ) ⑧ cos()l B t ⑨其中φ 、φ 是稳定振动与所受强迫力之间的位相差。
将⑧⑨式代入方程⑤⑦后，所得出的两个方程对任意时间 t 均成立，故有00x ，⑩进而有22M m k A m B H⑪ 22200A B⑫由⑪⑫式得2202222200()()()HA k M m⑬222222222000()()H B A k M m⑭其中（1.2）由⑬式可知，当没有阻尼器时（这时0m ），有2HA k M ⑮即当风的频率为⑯时，大楼受迫振动幅度最大。
当风的频率取⑮式所示的值、但有阻尼器时，由⑬式得k g H H kl Mg M l A g k gkm m l M⑰为了调节阻尼器的参数m 、l 使得A 最小，可取Mgl k， ⑱或m 尽可能大。
全国中学生(高中)物理竞赛初赛试题(含答案)
全国中学生(高中)物理竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 下列哪个物理量在单位时间内保持不变？A. 加速度B. 速度C. 力D. 动能答案：B解析：速度是物体在单位时间内移动的距离，因此在单位时间内保持不变。
2. 一个物体在水平面上做匀速直线运动，下列哪个力是物体所受的合力？A. 重力B. 支持力C. 摩擦力D. 合力为零答案：D解析：物体做匀速直线运动时，所受的合力为零，即所有力的矢量和为零。
3. 下列哪个物理现象是光的折射？A. 镜子成像B. 光在水中的传播速度变慢C. 彩虹D. 光在空气中的传播速度变快答案：C解析：彩虹是光的折射现象，光在通过水滴时发生折射，形成七彩的光谱。
4. 下列哪个物理量是描述物体旋转状态的？A. 速度B. 加速度C. 角速度D. 力答案：C解析：角速度是描述物体旋转状态的物理量，表示物体在单位时间内旋转的角度。
5. 下列哪个物理现象是光的干涉？A. 镜子成像B. 光在空气中的传播速度变慢C. 彩虹D. 双缝干涉答案：D解析：双缝干涉是光的干涉现象，光通过两个狭缝后发生干涉，形成明暗相间的条纹。
二、填空题1. 物体在匀速直线运动时，所受的合力为零，即所有力的矢量和为零。
这个原理称为__________。
答案：牛顿第一定律解析：牛顿第一定律指出，物体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动状态。
2. 光在真空中的传播速度为__________m/s。
答案：3×10^8解析：光在真空中的传播速度是一个常数，为3×10^8m/s。
3. 下列哪个物理现象是光的衍射？A. 镜子成像B. 光在水中的传播速度变慢C. 彩虹D. 光通过狭缝后发生弯曲答案：D解析：光通过狭缝后发生弯曲的现象称为光的衍射，是光波与障碍物相互作用的结果。
4. 物体在匀速圆周运动时，所受的向心力大小为__________。
答案：mv^2/r解析：物体在匀速圆周运动时，所受的向心力大小为mv^2/r，其中m为物体质量，v为物体速度，r为圆周半径。
物理竞赛课件(全)
第二章标题
本章目录
Contents chapter 2
质量与动量
mass and momentum
动量定理与动量守恒定律
theorem of momentum and law of conservation of momentum
牛顿运动定律及其应用
Newton’s law of motion and its application
第一节质点运动的描述
1-1
Description of particle motion
固联在参考系上的正交数轴组成的系统，可定量描 述物体的位置及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。
坐标系 θ 卫星
r
φ
运动质点
切线
法线
n
τ
自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成
矢量知识
有大小、有方向，且服从平行四边形运算法则的量。
质点动量定理 质点的动量定理 theorem of momentum of particle
线段长度（大小）；箭头（方向）。
A
手书
A （附有箭头）
印刷
（用黑体字，不附箭头）
在 X-Y 平面上的某矢量矢A量表示该矢式量 A 的坐标式
Y
y
手书
A = xi +yj
j
A
0i
xX
i 、j 分别为 X、Y 轴的
单位矢量（大小为1，方向
分别沿 X、Y 轴正向）。
印刷
= x +y
在课本中惯用印刷形式。 在本演示课件中，为了 配合同学做手书作业，采 用手书形式。
矢量加法
服从平行四边形法则 为邻边 为对角线 若 则
物理竞赛课件4：矢量图解运动问题28页PPT
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
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⑵上述是最迟出发的临界情况!
截住船的位置在A前方
此时
S相
D csc
v0 v
D
V v02v v02 v2
Dv02 v v02 v2
一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝ 30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时， 司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖 直下落的）
v 雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下
人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东
人
? 雨对人的速度（相对速度）V雨对人
三速度矢量关系为
v雨对人 v雨 v人
O
v雨
伞柄方向与竖直成
tan1 v人 tan1 3 37
v雨
4
V雨对人
一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，另一质点以v2
v2m v2
三角形关系得:
v2m
v1
sin
d
= d 2 l 2 v1
vAB
方向与BC成 sin-1
d d 2 l 2 v1
船对岸的速度（绝对速度） v
水对岸的速度（牵连速度）v水
⑴关于航行时间
船对水的速度（相对速度）v舟
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
t s舟 v舟
当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小，
使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vP运 动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vP 和此法线的夹
角φ是多关少于？矢设量任间何时关刻系球的拍隐和含球条都是件做：平动的．
1.重球拍的“重”－可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变； 2. 网球弹性地射回－在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、
而
sin2
v乙 v甲
2
故
t甲 t乙
v乙 v甲
2
V 乙合
V乙
α
V水
骑自行车的人以20 km／h 的速率向东行 驶，感到风从正北方吹来，以40 km／h 的速率向东行驶， 感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．
人对地的速度 v人1=20 km/h ,v人2=40 km/h,方向正东 风对人的速度 v风对人1方向正南， v风对人2方向西南
船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成
这时船的实际航程为
d v水 v舟
cos1 v舟
v水
v舟 v
河岸
v舟
d
θ
v水
d
θ
河岸
河岸
v
v水
河岸
v v舟
θ v水
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
专题4-例1 假定某日刮正北风，风速为u，，一运动员在
风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候， 他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成
这个最短距离适用于
另一石块落地之前
即
l
cos
v21
l2vh2 v12 g v22
v1l v12 v22
如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸
的距离为D，船速为v0 ，一艘速率为v（v＜v0 ）的海上警卫小艇从港 口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸
线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的 v02 v2 D 处．⑵如果快艇
V=v1+v2
v2
v1
V
v2
v2
V12=v1-v2
V12
v1
v1
当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效 为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则 称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程 叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．
运动的合成与分解遵循如下原理：
♠ 独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他
跑的方向所成夹角最大？
本例求相对速度，引入中介参照系-人
风对地的速度（绝对速度）u
人对地的速度（牵连速度） v 风对人的速度（相对速度）V
由题给条件，速度关系为 u V v 且 V v
当运动员朝南偏西 cos1 v 感到风从正右侧吹来
* 引入中介参照系．
若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动参 考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速度
（相对速度）为vAB，则有 v AC v AB vBC v AB vAC vBC
同样地，位移的合成与分解为 SAC SAB SBC
SAB SAC SBC
方向相反； 3. 球和拍都是做平动－球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切
向速度分量．
在矢量三角形中: OC AB , AB OA
y
2
cos
故v p
v0
2 cos
球拍速度与球拍法线方向夹角
O
x
2
2
2
v0
Ａ
vp
v0球对拍
C
vt B vt球对拍
如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别为 v
落地时速度v的大小为vt v02 2gh
矢量关系: v vt v0
v0
矢量△“面积”
θ
S
1 2
gt v0 cos
h
1 2
gx
1 2 v0
vt
sin
当x v0 9v002 即 vt2 stiann1
g
v0
v02
vt2
时 xmax
v0
x
v02 vt2 g
θ △v
vt
专题4-例5 网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为
设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意
带卷面积 ld 9r初2 r初2
d
r初 r末
…
绕薄磁带时,
带卷面积 l d
2
R2 r初2
R 5r初
由t1
2r初 d
2
绕多少层5 1 r初绕2一层时得间
t2
t2
d/2
5 1 t1
在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半 径经过时间t1＝20min 减小一半．问此后半径又减小一半需要多少 时间t2 ？
处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷
出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C
AB 到照片上位置历时 t
v1
v1 v2
A
风速为
V
CO AB
v1
v2
在照片上量出AB与CO长度,代入上式得
O C
v2 B
V 35km/h
敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，
重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍．绕带的 时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带， 问需要多少时间？
在尽可能⑴迟艇的拦瞬截时到出船发即，相它遇在,什有么艇时相候对和什么地方v 截住这条船？
于船的速度V方向沿AB连线 A A
两者相对速度为 V v0 v
v0 v0 V
v、V夹角不会超过90°! D
v
由速度矢量三角形得 cot1
v02 v2
B
v
则 S D cot v02 v2 D
S
v
动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该 怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？
本题求雨相对人(伞)的速度方向，引入中介参照系-人
人具有与木马站立点相同的线速度ωr
v 雨对地的速度（绝对速度） v0 竖直向下
人
人对地的速度（牵连速度）v人=ωr 水平
? 雨对人的速度（相对速度）V雨对人
速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且
BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？
由“两质点相遇”知A处质 点相对于B处质点的速度 vAB方向沿AB连线
vAB v1 v2 v1 vAB v2
C l v1 A θ
d
v2 θ v1 B θ
由几何三角形与矢量
甲和v乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间
过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，
则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙=
v乙2 :v．甲2
起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示:
两船航程相同，时间应与合 速度成反比，由图
V 甲合
V甲
α
t甲 v乙合 v水 sin sin2 t乙 v甲合 v水 / sin
故可使渡河时间最短:
d tmin v舟
S S舟
河岸
v舟
v
v v舟
d
v水
河岸
v水
S水
水速大小不影响渡河时间!
⑵关于实际航程
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小！
若若与v船v舟舟的＞＜航vv水水线，，成船船的的实实际际si位n位1移移vv水舟为与河河宽船岸d头的航指垂程向线即上夹最游角短最，小故出v舟现的在方向
三速度关系为
v雨对人 v0 r
O
v0
伞柄方向与竖直成
tan1 r
v0
V雨对人
如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾
的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50 km／h和v2＝ 70 km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速 ?
观察照片，将两车之距离AB按5∶7比
例分成左、右两部分，分点C为两车相遇
经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一 半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小．