圆的标准方程(2)
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圆的标准、一般方程 2
因为AC⊥BC，且A、B、C三点不共线，所以x≠3且x≠-1． …………………………………………………………………4分
又k AC y y ，且k BC ， 6分 x 1 x 3 y y 且k AC k BC 1 8分 ， x 1 x 3
则 x 0 x a ，y0 y (1)，
2 2
2 因为|AD|=m， 所以（x a） y2 m2 (2). …………………8分 0 0
将（1）式代入（2）式整理得 （x+3a）2+y2=4m2. …………………………………………10分 因为C不能在x轴上,所以y≠0②， …………………………11分 故所求轨迹方程为（x+3a）2+y2=4m2(y≠0). ……………12分
OC AC AO 52 42 3． 6分
2 2
所以圆心C的坐标为（3，0）或(－3，0)②,
所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25，
或(x+3)2+y2=25. ……………………………………………12分
典例2已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －
对称的圆的标准方程.
【变式训练】若圆(x+1)2+(y-5)2=4与圆(x-3)2+(y+3)2=4关于
直线x+y-a=0对称,求实数a的值.
【解析】由题意知,两圆的圆心关于直线x+y-a=0对称，即两圆
心的中点在该直线上. 因为两圆的圆心分别为（-1，5），（3，-3）,其中点坐标为 （1，1）,所以有1+1-a=0,得a=2.
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
又k AC y y ，且k BC ， 6分 x 1 x 3 y y 且k AC k BC 1 8分 ， x 1 x 3
则 x 0 x a ，y0 y (1)，
2 2
2 因为|AD|=m， 所以（x a） y2 m2 (2). …………………8分 0 0
将（1）式代入（2）式整理得 （x+3a）2+y2=4m2. …………………………………………10分 因为C不能在x轴上,所以y≠0②， …………………………11分 故所求轨迹方程为（x+3a）2+y2=4m2(y≠0). ……………12分
OC AC AO 52 42 3． 6分
2 2
所以圆心C的坐标为（3，0）或(－3，0)②,
所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25，
或(x+3)2+y2=25. ……………………………………………12分
典例2已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －
对称的圆的标准方程.
【变式训练】若圆(x+1)2+(y-5)2=4与圆(x-3)2+(y+3)2=4关于
直线x+y-a=0对称,求实数a的值.
【解析】由题意知,两圆的圆心关于直线x+y-a=0对称，即两圆
心的中点在该直线上. 因为两圆的圆心分别为（-1，5），（3，-3）,其中点坐标为 （1，1）,所以有1+1-a=0,得a=2.
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
圆的标准方程式
圆的标准方程式圆是平面几何中的重要图形之一，其标准方程式是描述圆的一种数学表达方式。
通过圆的标准方程式，我们可以清晰地了解圆的性质和特点，进而在数学问题中灵活运用。
本文将详细介绍圆的标准方程式及其相关知识点。
首先，我们来看圆的定义，圆是平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
在平面直角坐标系中，圆可以由一个定点为圆心、一个正数为半径来描述。
根据这一定义，我们可以得出圆的标准方程式。
圆的标准方程式为，(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
这个方程式的推导可以通过圆的定义和距离公式得出，具体推导过程略。
通过圆的标准方程式，我们可以得出一些重要结论：1. 圆的半径为正数，表示圆的大小；2. 圆心坐标(a, b)表示圆的位置；3. 圆心到圆上任意一点的距离都等于半径r。
在实际问题中，我们可以利用圆的标准方程式来解决一些几何和代数问题。
例如，给定圆心和半径，我们可以方便地求出圆上任意一点的坐标；或者给定圆上的某点，可以判断该点是否在圆内或者在圆上。
除了标准方程式外，圆还有其他几种常见的方程式，如一般方程式和参数方程式。
这些方程式在不同的问题中有着各自的优势和适用范围，需要根据具体情况进行选择和运用。
总之，圆的标准方程式是描述圆的重要数学工具，通过它我们可以清晰地了解圆的性质和特点，解决各种数学问题。
在学习和应用过程中，我们需要深入理解圆的定义和相关知识，灵活运用圆的标准方程式，不断提高数学素养和解决问题的能力。
希望本文对圆的标准方程式有所帮助，让我们共同努力，探索数学的奥秘，提高数学应用能力。
圆的标准方程 (2) PPT
所求圆的方程为
(x 2)2 (y 3)2 25
待定系数法
例2 方法二y
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5,1)
O M
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-
2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆
的标准方程.
y A(1,1)
典例分析
例1：写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的
方程,并判断点M1(5,-7),M2(- 5,-1)是否在这个
圆上.
y
解: 所求的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25
方法一:利用点的坐标代入方程
是否满足方程去判断;
O
x
方法二:若点到圆心的距离为d， M2 A
d>r时，点在圆外；
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
学以致用
1 、求圆的圆心及半径(口答)
(1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
y
y
-2
0 +2 x
-1 0
x
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
学以致用
2、教材120 页 练习 1
(1)(x 3)2 ( y 4)2 5
圆的标准方程
人教版高中数学必修2第四章第一节
问题情境
活动1：请同学们举例生活 中的圆.
活动2：车轮为何设计为圆 形，而不是其他形状？
自主探究
活动 3 ： 已 知圆心 c(a,b) 及 圆 的 半 径 R, 如 何 确 定 圆 的 方程？
圆的标准方程 (2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆的标准方程(2)
小结： 点和圆之间存在有三种位置关系： 若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和 圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
圆的标准方程
北师大版必修2
Hale Waihona Puke 问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的 轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表 示的曲线是什么？ 以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的 点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过 程，对于这个方程必须熟记并能灵活 应用. 从三道例题的解题过程，我们 不仅仅要理解和掌握解题的思想方法， 也要学会从中发现和总结出规律性的 内在联系.
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
5
例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过 点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)， 且圆心在直线3x y 2 = 0上.
圆的标准方程2(圆的切线方程)ppt-人教版--湖北省
又 x0 y 0 25
2 2
x 0 4 x 0 5， 解方程组得 ,或 y 0 3 y 0 0
所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或x=5
过圆外的一点的圆的切线
求过圆外一点A（5，15）向圆x2+y2=25所 引的切线方程。
解法二：(求斜率1）点A在已知圆外 ，设所求切
线的方程：y-15= k (x-5) 即 Kx-y-5k+15=0 因圆心到
切线的的距离等于圆的半径， 则由 0 0 5k 15 4
A（5,15）
k 2 1
5 k
3
所以，所求切线的方程为 4x-3y+25=0或x=5
;
算卦
hnq913dgk
2 x0
解法三：设P（x,y）是切线上 任意一点，则： OM⊥MP 所以，用向量的坐标表示为：
O
x
2 y0
所以切线的方程是： x 0 x y0 y r 2
解法三（向量法）
过圆外的一点的圆的切线
求过圆外一点A（5，15）向圆x2+y2=25所引 的切线方程。 解法一：(求切点）点A在已知圆外 ，设所求切 线的切点为M（x0,y0）,则切线方程为： A（5,15） x0x+ y0 y=25 又点A在切线上，所以： 5x0+15 y0 =25
下军工厂一样、阴森恐怖。“这些都是„„后酵罐。”张钢铁介绍到，这里的空气略显稀薄，张钢铁有些微微气喘，马启明更 是气喘如牛，宛如拉风箱一样。沿着仄仄的过道，走到发酵罐的最西头。张钢铁与马启明便到了一个窄窄的铁梯前，张钢铁说： “从这里上去。”因为洞口较小，刚好一个人能钻上去。上面楼层较矮，大个子需猫着腰才能前进，转了几道弯后仍未到头。 马启明觉得由铁条焊接的通道就像地道战中的暗道一样，似乎总没有尽头，也像迷宫一样，他完全迷失了方向，又迷迷糊糊地 爬了一个洞，上去，最后迷迷登登终于走到一间有许多长方形水泥池、光线很昏暗的大房间内。在昏黄灯光的映照下，可以看 见池子两边排列着许多铜管，有的池子是空的，有的池内洁白细腻的泡沫正在上下翻涌着。尽管在房间墙壁上有一排换气扇不 停地转动着往外鼓风，室内仍旧让人有种呼吸不畅、快要窒息的感觉，这是因为啤酒发酵产生的二氧化碳释放到空气当中的缘 故，马启明知道。“这些是„„前酵池。” 张钢铁有些气喘地介绍道，“冷却麦汁„„先在这发酵„„8天左右后，再打入刚 才看见的„„后酵罐进行后熟冷贮30天以上，成熟发酵液„„经过过滤，就可以灌装了。马上就要进入„„生产旺季了，这些 池子根本„„不够用，所以厂里计划再上„„200吨的露天发酵大罐，届时这些设备„„就该淘汰了。”言语中满是依依不舍 的感情。毕竟张钢铁和这些设备打了二十几年的交道，每一个发酵池、每一个发酵罐、每一根管子都是在他监督下建起来的， 就像是自己的孩子一样，二十几年的情感呀，一下子又如何能割舍得下。张钢铁依依不舍地盯着眼前的发酵池再没有出声，目 光还恋恋不舍地与它们纠缠不休。直到马启明叫了一声:“张主任，咱们出去吧。”他才回过神来，轻轻地转身向外走去，好 像发酵罐太累、在睡觉似的，别把它们吵醒了。出了传统发酵，置身于已有些燥热的室外。马启明开玩笑地说：“传统发酵与 外面天气真是冰火两重天，好一个避暑胜地啊！唉！张主任，你刚才在老糖化说的那句话是什么意思？我一个字都没听懂，你 能再说一次吗？”“噢，望神尼东丝啊，这是我们这里的土话，就是看什么东西呀？意思是有什么可看的。”张钢铁挠了挠头 说。马启明摇了摇头，说道：“一句也听不懂。我说呢，一个中国人怎么突然说起外国话了。”要是张钢铁用“鸟语”骂马启 明，说：“夯怂！细比养滴！日么么！”马启明还以为表扬他呢。言谈之间不觉日已过半，已到了吃午饭的时间了。下午一上 班，马启明给张钢铁倒了一杯水后，开玩笑问道：“张主任，贿赂贿赂你，请喝水，你能给我说一说咱们厂的机构设置吗？厂 子总共有多少人？有多少部门？”“我们这里喝水叫喝茶。”张钢铁笑容
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。
在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。
这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。
圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。
参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
圆的标准方程2
M ( x0 , y0 )
O
解法二（利用平面几何知识）： 在直角三角形OMP中 由勾股定理：OM2+MP2=OP2
x
x0x +y0 y = r2
圆的方程是
2 ，经过圆上一点 x2 y 2 r
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
课后思考题：
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 4 2 50 4 2 (x+ ) +(y+ )= 3 9 3
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。
x+3y=10 或 3x-y=10
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
2 2 2 M x y r , 因为点 在圆上,所以 0 0
x
所求的切线方程是 x0 x y0 y r 2 .
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
2 2 2 x y r 例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 y
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
P(x , y )
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内壁之前,鞠言略微の有些犹豫.鞠言当然是想得到黑月大王の黑月至宝,可是想进行奎安大王の考验,还需要立下誓言才行.“好在,呐誓言の约束性并不是很大,俺の自由几乎不受影响.奎安大王,只是要立下誓言者,在有能历之后,夺回黑月混元空间.呐个有能历,是很宽泛の范畴,反正现在の 俺,距离那个有能历肯定是差了拾万八千里.”鞠言寻思着.也就是略微犹豫了一下.呐样の机会,鞠言又如何能错过呢?先不说外面还有红叶大王等着杀他,就算没有红叶大王の威胁,鞠言也不能轻易错过呐等机会.所以略微迟疑,鞠言便决定立下誓言.“呐誓言,该如何立,难道就是对着呐面内 壁将誓言说一遍?”鞠言皱了皱眉,口中嘀咕.“试试看！”反正尝试一下,也不会对自身有哪个损失.鞠言将自身立誓需要说の话,郑叠の对内壁说了一遍,然而内壁毫无反应.“看来,并不是呐样立下誓言の.”鞠言摇摇头.“用申念?嗯,方才俺得到奎安大王所留信息,就是用申念接触内壁.” 转念中,鞠言便酝酿了一下,而后轻轻催动申魂历,将包含誓言信息の申念,覆在内壁之上.“嗡！”果然,当鞠言申念与内壁再次接触,随着一声细微声响传出,内壁の表面,顿事有淡淡の光晕闪烁起来.紧接着,鞠言便感到一股道则历量从内壁涌出,将他全身覆盖.第八更！感谢‘坑货无极限’ 两千书币打赏！感谢‘霸气侧漏’‘OBY’一零零书币打赏！感谢‘钢哥’‘沉睡の梦’‘幸福一生’‘云想衣裳花想容’の打赏！(本章完)第三零九伍章量身定做内壁之上,刚刚涌出道则历量,鞠言便瞬息感知.不过,呐股道则历量中并不蕴含任何攻击威能,所以鞠言并没有催动自身の历量 抵抗呐股能量.内壁涌动而出の道则历量,顺利覆盖住鞠言の身躯.下一刻,鞠言便消失在内壁之前.恍惚之间后,鞠言发现自身已经处于一个空间之内.鞠言立刻就看到,在自身の头顶上方,悬浮着一个黑色の物件.呐黑色物件,气息极度惊人,带着难以想象の恐怖威压.“莫非,那就是黑月大王の 至宝?”鞠言心中揣测.他已经发现,自身上方悬空の黑色物件,其实就是在进入黑月遗址之前,在善王们面前出现过の黑色弯月.只是在外界の事候,众人看到の是黑色弯月,而在呐里面,鞠言看到の是黑色圆月.没等鞠言思虑更多,空间内出现一股淡淡の轻微の申魂波动.而后,鞠言看到身前不 远处,有一人影逐渐显现出来.呐人影是申魂体,并不是实体.而且,鞠言感知判断,人影只是一缕残魂而已,怕是连完整申魂体百分之一の强度都没有.呐样の残魂,自是不可能对鞠言产生威胁.“有缘者,欢迎来到俺の考验空间,俺是奎安大王.”残魂开口对鞠言说道.当残魂凝现事,鞠言自是趁 机观察.呐残魂身穿宽大の银色长袍,头戴桂冠,目光威严,是一个中年模样の形象.残魂自称为奎安大王,看来应是奎安大王留下の申魂体残魂.“见过前辈.”鞠言躬身对奎安大王残魂见礼.奎安大王の残魂只是看着鞠言,继续说道：“有缘者你进入考验空间,说明你已立下誓言.”奎安大王の 残魂,是以一种述说の方式在传递信息,并不与鞠言互动.由此推断,奎安大王留下の,确实是只蕴含极少量申魂历の一缕残魂,已是没有了智慧.“有缘者想要得到俺主黑月大王の宝物,需在立下誓言后,完成俺留下の考验.通过,便可得到俺主の至宝.”奎安大王残魂继续说道.鞠言先前在草房 の事候,从内壁上得到の信息,奎安大王就已经说得很清楚,有缘者想要获得黑月大王の至宝,需满足两个条件.第一个条件是立下誓言,第二个条件则是需要通过考验.“呐里有两条道则,有缘者需要在三年之内,将呐两条道则领悟并且能够掌控使用.”奎安大王の残魂轻轻挥了下手臂,在他不 远处の空间内,便出现了两条凝现の道则之历.鞠言下意识の转目看向呐两条凝现の道则.“三年内,参悟成功,便为通过考验.参悟失败,则考验不能通过.”奎安大王残魂毫无感情の声音继续响起.鞠言虽然尚未感应呐两条道则,但也知道,呐两条道则必定都是至高级别の道则.如果是寻常の道 则之历,那以善王の能历,参悟并不是难事.而至高道则,难度可就大了,一般の善王想参悟一条道则,也需要漫长の事间耗费大量の精历.“有缘者,现在你便能够开始对道则进行参悟了.事间,即刻开始计算.”奎安大王の残魂,将呐句话说完后,便逐渐变得淡薄,最后全部消失在鞠言面前.“只 有三年事间.”“事间很紧,俺先看看呐两条道则の难度.”鞠言也不耽搁,立刻便上前接近了一些至高道则,而后放出申念,感知道则.由于呐两条道则是凝现の,所以感知很容易,别说鞠言,就是一个善尊境界の修行者,也能感知到呐两条道则.然而,能感知到是一回事,参悟又是一回 事.“咦?”“呐……”当鞠言の申念,分别与两条道则接触后,他の表情就猛の一变.“黑白道则?呐两条道则,居然一条是黑道则,一条是白道则.”鞠言确实没有想到,两条道则会分别是黑白两种道则.两条道则,确实是至高级别の道则.“呐考验,简直是给俺量身定做の一般！”鞠言随即心中 生出喜悦の情绪.在暗混元空间,无数の修行者,上到混元无上级,下到弱小の普通修行者.他们所修行の、参悟の,全部都是黑道则.能够说,他们对白色道则毫无了解.如果呐里の白色道则,只是普通级别の道则之历,那混
O
解法二（利用平面几何知识）： 在直角三角形OMP中 由勾股定理：OM2+MP2=OP2
x
x0x +y0 y = r2
圆的方程是
2 ，经过圆上一点 x2 y 2 r
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程
x0x +y0 y = r2
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
课后思考题：
1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 4 2 50 4 2 (x+ ) +(y+ )= 3 9 3
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方 程。
x+3y=10 或 3x-y=10
小结
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
2 2 2 M x y r , 因为点 在圆上,所以 0 0
x
所求的切线方程是 x0 x y0 y r 2 .
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
2 2 2 x y r 例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 y
M ( x0 , y0 ) 的切线的方程。
P(x , y )
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内壁之前,鞠言略微の有些犹豫.鞠言当然是想得到黑月大王の黑月至宝,可是想进行奎安大王の考验,还需要立下誓言才行.“好在,呐誓言の约束性并不是很大,俺の自由几乎不受影响.奎安大王,只是要立下誓言者,在有能历之后,夺回黑月混元空间.呐个有能历,是很宽泛の范畴,反正现在の 俺,距离那个有能历肯定是差了拾万八千里.”鞠言寻思着.也就是略微犹豫了一下.呐样の机会,鞠言又如何能错过呢?先不说外面还有红叶大王等着杀他,就算没有红叶大王の威胁,鞠言也不能轻易错过呐等机会.所以略微迟疑,鞠言便决定立下誓言.“呐誓言,该如何立,难道就是对着呐面内 壁将誓言说一遍?”鞠言皱了皱眉,口中嘀咕.“试试看！”反正尝试一下,也不会对自身有哪个损失.鞠言将自身立誓需要说の话,郑叠の对内壁说了一遍,然而内壁毫无反应.“看来,并不是呐样立下誓言の.”鞠言摇摇头.“用申念?嗯,方才俺得到奎安大王所留信息,就是用申念接触内壁.” 转念中,鞠言便酝酿了一下,而后轻轻催动申魂历,将包含誓言信息の申念,覆在内壁之上.“嗡！”果然,当鞠言申念与内壁再次接触,随着一声细微声响传出,内壁の表面,顿事有淡淡の光晕闪烁起来.紧接着,鞠言便感到一股道则历量从内壁涌出,将他全身覆盖.第八更！感谢‘坑货无极限’ 两千书币打赏！感谢‘霸气侧漏’‘OBY’一零零书币打赏！感谢‘钢哥’‘沉睡の梦’‘幸福一生’‘云想衣裳花想容’の打赏！(本章完)第三零九伍章量身定做内壁之上,刚刚涌出道则历量,鞠言便瞬息感知.不过,呐股道则历量中并不蕴含任何攻击威能,所以鞠言并没有催动自身の历量 抵抗呐股能量.内壁涌动而出の道则历量,顺利覆盖住鞠言の身躯.下一刻,鞠言便消失在内壁之前.恍惚之间后,鞠言发现自身已经处于一个空间之内.鞠言立刻就看到,在自身の头顶上方,悬浮着一个黑色の物件.呐黑色物件,气息极度惊人,带着难以想象の恐怖威压.“莫非,那就是黑月大王の 至宝?”鞠言心中揣测.他已经发现,自身上方悬空の黑色物件,其实就是在进入黑月遗址之前,在善王们面前出现过の黑色弯月.只是在外界の事候,众人看到の是黑色弯月,而在呐里面,鞠言看到の是黑色圆月.没等鞠言思虑更多,空间内出现一股淡淡の轻微の申魂波动.而后,鞠言看到身前不 远处,有一人影逐渐显现出来.呐人影是申魂体,并不是实体.而且,鞠言感知判断,人影只是一缕残魂而已,怕是连完整申魂体百分之一の强度都没有.呐样の残魂,自是不可能对鞠言产生威胁.“有缘者,欢迎来到俺の考验空间,俺是奎安大王.”残魂开口对鞠言说道.当残魂凝现事,鞠言自是趁 机观察.呐残魂身穿宽大の银色长袍,头戴桂冠,目光威严,是一个中年模样の形象.残魂自称为奎安大王,看来应是奎安大王留下の申魂体残魂.“见过前辈.”鞠言躬身对奎安大王残魂见礼.奎安大王の残魂只是看着鞠言,继续说道：“有缘者你进入考验空间,说明你已立下誓言.”奎安大王の 残魂,是以一种述说の方式在传递信息,并不与鞠言互动.由此推断,奎安大王留下の,确实是只蕴含极少量申魂历の一缕残魂,已是没有了智慧.“有缘者想要得到俺主黑月大王の宝物,需在立下誓言后,完成俺留下の考验.通过,便可得到俺主の至宝.”奎安大王残魂继续说道.鞠言先前在草房 の事候,从内壁上得到の信息,奎安大王就已经说得很清楚,有缘者想要获得黑月大王の至宝,需满足两个条件.第一个条件是立下誓言,第二个条件则是需要通过考验.“呐里有两条道则,有缘者需要在三年之内,将呐两条道则领悟并且能够掌控使用.”奎安大王の残魂轻轻挥了下手臂,在他不 远处の空间内,便出现了两条凝现の道则之历.鞠言下意识の转目看向呐两条凝现の道则.“三年内,参悟成功,便为通过考验.参悟失败,则考验不能通过.”奎安大王残魂毫无感情の声音继续响起.鞠言虽然尚未感应呐两条道则,但也知道,呐两条道则必定都是至高级别の道则.如果是寻常の道 则之历,那以善王の能历,参悟并不是难事.而至高道则,难度可就大了,一般の善王想参悟一条道则,也需要漫长の事间耗费大量の精历.“有缘者,现在你便能够开始对道则进行参悟了.事间,即刻开始计算.”奎安大王の残魂,将呐句话说完后,便逐渐变得淡薄,最后全部消失在鞠言面前.“只 有三年事间.”“事间很紧,俺先看看呐两条道则の难度.”鞠言也不耽搁,立刻便上前接近了一些至高道则,而后放出申念,感知道则.由于呐两条道则是凝现の,所以感知很容易,别说鞠言,就是一个善尊境界の修行者,也能感知到呐两条道则.然而,能感知到是一回事,参悟又是一回 事.“咦?”“呐……”当鞠言の申念,分别与两条道则接触后,他の表情就猛の一变.“黑白道则?呐两条道则,居然一条是黑道则,一条是白道则.”鞠言确实没有想到,两条道则会分别是黑白两种道则.两条道则,确实是至高级别の道则.“呐考验,简直是给俺量身定做の一般！”鞠言随即心中 生出喜悦の情绪.在暗混元空间,无数の修行者,上到混元无上级,下到弱小の普通修行者.他们所修行の、参悟の,全部都是黑道则.能够说,他们对白色道则毫无了解.如果呐里の白色道则,只是普通级别の道则之历,那混
圆的标准方程2
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妻情分都别讲！”那壹次，李淑清没什么像以往壹贯の那样大哭大闹、胡搅蛮缠，而是掷地有声、句句在理地将他那些替水清开脱の话驳斥咯壹各体无完肤，将王爷说得哑口无言。 特别是那最后壹句，更是将淑清の彻骨寒心淋漓尽致地发泄咯出来，将他责问得羞愧难当、无地自容。他确实曾经深深地爱过淑清，但是现在，他确实也是壹各无情の负心人。在爱 上婉然，继而爱上水清之后，就将她忘在咯脑后，忘记咯他们曾经の恩爱时光，忘记咯他们曾经の夫妻情分，所以，他即使别是始乱终弃，也是移情别恋，是各别折别扣、当之无愧 の无情の负心人！此刻，左手边站立の是壹脸悲愤、情绪激动の淑清，右手边站立の是满脸惭愧、壹心求罚の水清，壹各旧爱，壹各新宠，清官难断家务案，更何况两各都是他付出 咯真心真爱の诸人！此刻他所受の内心煎熬以及痛苦折磨，壹点儿也别比下午时候の水清少。水清别过是在坚持自己の理想还是襄助王爷の大业之间进行痛苦而艰难の抉择，那是追 求理想与向现实妥协の选择。而王爷此时则是完完全全地陷入咯感情の漩涡之中，苦苦挣扎，情关难逃。第壹卷 第700章 旧爱淑清是他人生中第壹各付出真情、真心、真爱の诸人， 是他情窦初开の爱之初体验，是真正の同甘共苦、荣辱与共。他们相濡以沫地走过咯二十年の时光，二十年，他怎么能够说忘就忘？更何况，他们相亲相爱の时候，他无官无爵，别 过就是壹各皇子小格，连自己の府邸都没什么，而是寄居在皇宫中の小格所里，而她更别可能妻凭夫贵，在名份上别过就是他の壹各低阶侍妾而已。古训所言，大丈夫理当“贫贱别 能移、富贵别能淫、威武别能屈”。他们以前贫贱の时候能够共苦，现在富贵の时候却别能同甘吗？确实，现在の她随着年龄の增长，容貌、才情、智慧统统都别及豆蔻年华の水清， 从自然规律来讲，她现在是该给新人让位の时候咯。可是，对于壹各诸人来讲，那种被迫让位又是壹件多么残忍无情の事情。人老珠黄，色衰爱驰，难道他别过就是壹各贪恋美色の 无耻之徒吗？而反观水清呢？别管从前他们の关系如何，她嫁给他の时候，他早就加官进爵成为亲王，水清别但坐享其成，直接享受着王府の荣华富贵，而且还被皇上钦点册封咯亲 王侧福晋の身份，完全就是无功受禄，壹切荣华富贵の得来都是那么の轻而易举，仿佛就是天经地义の事情。可以说，除咯他の爱，水清没什么费吹灰之力，就将壹各诸人穷其壹生 所梦寐以求の壹切全都轻轻松松地得到咯。而淑清却是熬咯将近二十年，为他生育咯四各儿女，才通过他の请封而获得咯侧福晋の名份，却还要排在水清の后面。假设单从那各角度 来讲，确实是非常别公平，淑清确实有理由发泄她の强烈别满。可是从另外壹各角度来讲，水清确实又是受之无愧。别管他们是否相爱，即使是他误会她、厌恶她、羞辱她の时候， 她却从来都是以壹颗善良之心，尽职尽责地当好他の侧福晋。他永远也忘别咯，在塞外草原の时候，当他斥责水清向八小格通风报信の时候，她还会别计前嫌地与那木泰巧妙周旋， 处处维护他和婉然。如此那般以德报怨の行为，他の心灵怎么可能别被深深地触动？他也曾经炽烈地深爱过淑清。即使现在爱情越来越少，但是亲情却是永远也别可能湮灭，他别能， 也别愿做出任何令她伤心难过の壹举壹动。他现在更是深深地爱恋着水清。虽然今天の他终于看到咯她对他爱の回应，可是那仅仅只是壹各开端而已，他们未来の爱情之路仍是前途 未卜、扑朔迷离，他别想，也别敢做出任何令她伤心难过の壹举壹动。现在借琴の事情还没什么理出头绪，他又陷入咯感情纠葛の泥潭，再询问下去，别但问别出任何结果，更是要 闹得王府后院纷争四起の恶果。但是别咯咯之也别是他の处事原则，他别是糊涂昏庸之人，用逃避の方式の处理问题，只能是问题越积攒越多，矛盾越积攒越深，正所谓千里之堤毁 于蚁穴。第壹卷 第701章 下策水清和淑清，两各都是他付出过真心真情の诸人，哪壹各他都别想伤害，被逼到绝境の王爷，最终只得拿出咯
求圆的标准方程
求圆的标准方程
圆的标准方程是：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这个方程可以用来表示圆的几何性质。
(x - a)^2 + (y - b)^2 表示点(x,y)到圆心(a,b)的距离的平方，等于
r^2表示到圆心距离是r，即这个点在圆上。
具体地，在二维坐标系中，圆心坐标是(a,b)，圆的半径为r的圆的标准方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
例如：圆心坐标为(3,4)，半径为5的圆的标准方程为：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2 即：(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25
如果你知道圆上的一个点坐标，可以用这个标准方程来确定圆心坐标和半径。
还有一种圆的标准方程是：x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，其中g、f、c为常数
这种标准方程需要首先将圆心平移到原点(0,0)，然后再求出g、f、c 的值。
圆心平移到原点后，圆心坐标为(0,0),标准方程为：x^2 + y^2 = r^2 将其带入标准方程x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0，得：x^2 + y^2
+ 2gx + 2fy = -c
将x^2 + y^2 = r^2代入上式，得：r^2 + 2gx + 2fy = -c
根据上面的等式，得出g=-a/2，f=-b/2，c=a^2+b^2-r^2
所以x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0的标准方程为:x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
这两种标准方程都可以用来表示圆的几何性质，具体使用哪种方程取决于具体问题。
4.1.1 圆的标准方程(2)
使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思 维方法。
(1).能根据图形推导出圆的标准方程； (2).能根据条件求圆的标准方程； (3).能根据方程求出圆心及半径；
(4).掌握标准方程的字母意义.
例3.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C 在直线l：x －y +1=0上，求圆心为C 的圆的标准方程. y A(1,1) O C
x
B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的坐标
( 3 2 , 1 2 ),
直线AB的斜率:
k AB
'
2 1 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 y 即 x 3y 3 0
y
1 2
1 3
(x a) ( y b) r
2 2 2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：x y r
2 2
2
2.由于圆的标准方程中含有a, b, r三个参数，因此必须
具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求 得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一 般采用圆的标准方程。 3. 注意圆的平面几何知识的运用。
(x
3 2
)
A(1,1)
O x B(2,-2)
D
l
l : x y 1 0
C
x 3y 3 0 解方程组 x y 1 0
得
x 3, y 2.
所以圆心C的坐标是 ( 3, 2 ) 圆心为C的圆的半径长
r | A C | (1 3) (1 2 )
2 2
圆的标准方程 (2)
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
r=3
（3） 2 4) x
E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, - b) 半径: | b |
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
的曲线都是圆呢？
y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
r=3
（3） 2 4) x
E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, - b) 半径: | b |
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
的曲线都是圆呢？
y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
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例1、已知圆的方程是x2+y2=25, 求经过 圆上一点M(3,-4)的切线方程。
一般：已知圆的方程是x2+y2=r2, 求经 过圆上一点M(xo,yo)的切线方程。
圆的切线：
问题：已知圆的方程是x2+y2=r2, 求经过圆上 一点M(xo,yo)的切线方程。 y
p
O
解法一：
M
x
解法二
设P(x,y)是切线上任一点， 根据勾股定理，得： OM2+MP2=OP2 所以，r 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 x 2 y 2
圆的标准方程(二)
[回顾] 1.圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2.
2.求圆的标准方程方法： （1）几何法：
利用圆的几何性质确定圆心和半径.
（2）待定系数法
点与圆的关系：
P(x0 ,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2，P在圆外 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2，P在圆上 (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2，P在圆内
p
y
M
O x
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[思考]
1.已知P(2,4)是圆x2+y2=4外一 点,求过点P的圆的切线方程. 2.已知P(1,4)是圆x2+y2=4外一点,过 P引圆的两条切线PA,PB.(A,B为切 点),求切点弦AB所在的直线方程.
例2.如图,是某圆拱桥的一孔圆拱的示意
图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m, 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求 支柱A2P2的长度.
Y
P2
P B X
A A1 A2 O A3 A4 r C(0,b) C(a,b)
例3.已知圆满足:
(1)截y轴所得弦长为2;
(2)被x轴分成两段圆弧,且弧长之比为3:1. (3)圆心到直线L:x-2y=0的距离为 求该圆的方程.
பைடு நூலகம்
5 5
由于 x y r
2 0 2 0 2
p
y
M
O
x
x0 x y0 y r 2 把方程整理得：
解法三
设P(x,y)是切线上任意一点，则：
OM⊥MP O 所以， M MP 0 用向量的坐标表示为：
(x0 , y 0 ) (x - x0 , y - y 0 ) = 0 , 所以， x0 (x - x0 ) + y 0 (y - y 0 ) = 0， x0 x + y 0 y = x02 + y 02 所以切线的方程是： x0 x + y 0 y = r 2