第4章 学案21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换

学案21 二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝______________；(2)cos 2α＝________________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝____________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝______________； 升幂公式：1＋cos α＝______________，1－cos α＝______________； 变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________. 自我检测1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________．2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________.3．函数y ＝(sin x －cos x )2－1的最小正周期为________． 4.2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________．5．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为________和________．探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2010·泰安一模)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－11π12的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明 例3 (2010·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .转化与化归思想例 (14分)(2010·江西)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋cos x sin x sin 2x ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x2＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤0，5π4，[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[7分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[9分]由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[11分] 所以35＝12⎣⎡⎦⎤45＋35(1＋m )＋12，[12分] 解得m ＝－2.[14分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2，α2是α4的二倍角等． (3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)＝______.2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 3．(2011·淮安模拟)已知cos 2α＝12(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sin α的值为________． 4．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为________． 5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是________．6．(2011·镇江模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________．7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(14分)(2010·南京一模)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12. (1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α (1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2 (sin α±cos α)2 自我检测1．－35解析 原式＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.2．－247解析 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 3．π解析 y ＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x －1＝－sin 2x ， ∴T ＝π. 4．－2sin 4解析 原式＝4cos 24＋2(sin 4－cos 4)2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|＝－2sin 4.5．－3 32解析 f (x )＝cos 2x －2sin x＝1－2sin 2x －2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋32， 则sin x ＝－12时，f (x )最大＝32；sin x ＝1时，f (x )最小＝－3. 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x ) ＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x ) ＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－11π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎭⎫π4，3π4， ∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin 5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. 又cos(α＋π4)＝35>0，故可知3π2<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．解 (1)由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2. (3)∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]．变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋(cos x －1)][sin x －(cos x －1)]＝2sin x cos x sin 2x －(cos x －1)2＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1 ＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x ＝sin x (1＋cos x )(1－cos x )(1＋cos x )＝sin x (1＋cos x )sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边．所以原等式成立． 课后练习区1．－16解析 ∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.2.322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.3．－12解析 ∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0， ∴sin α＝－12.4．8解析 f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 5.32解析 由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.6．－79解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－79.7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(3分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(7分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝(1－cos 2α)2(1＋cos 2α)2＝(2sin 2α)2(2cos 2α)2＝tan 4α.………………………………………………………(14分) 10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分) (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，………………………………………(12分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.…………………………………………(14分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R .………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.……………………………………………………(14分)。