索洛模型中的技术进步
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索洛模型中的技术进步
引言
前面的索洛模型中，
生产技术保持不变 稳态的人均收入是常数
现实世界中上述两点均不成立：
1929-2001： 1929-2001：美国人均实际 GDP 增加 了 4.8倍，相对于每年增长 2.2%。 4.8倍，相对于每年增长 2.2%。 大量的技术进步的例子。 (见下页)
技术进步的范例
有技术进步的稳定状态
投资平衡点
(δ +n +g ) k
sf(k)
k*
人均资本, k
技术进步索洛模型中的稳态增长率
变量 有效工人的 人均资本 有效工人的 人均产出 人均产出 总产出 表述 k = K/ (L ×E ) y = Y/ (L ×E ) (Y/ L ) = y ×E Y = y ×E ×L 稳态增长率 0 0 g n+g
将此式代入i=sf(k)可得等式 将此式代入i=sf(k)可得等式 ∆k = s f(k) − (δ +n +g)k
索洛模型中的技术进步
收支相抵的投资：( 收支相抵的投资：(δ + n + g)k 构成: 构成:
δ k ：资本折旧
n k ：新工人提供资本 g k ：因技术进步导致的新“有效工人” 因技术进步导致的新“有效工人” 提供资本
1970：世界计算机保有量为50,000台 1970：世界计算机保有量为50,000台 2000： 2000：51% 的美国家庭拥有一台以上计算机 在过去三十年中，计算机实际价格平均每年下降30% 在过去三十年中，计算机实际价格平均每年下降30% 。 1996年生产的普通轿车中包含的计算机处理能力远远 1996年生产的普通轿车中包含的计算机处理能力远远 超过1969年人类首次登录月球的处理能力。 超过1969年人类首次登录月球的处理能力。 与二十年前相比，今天的调制解调器要快22倍。 与二十年前相比，今天的调制解调器要快22倍。 1980年以来，每单位GDP中的半导体使用率增加了 1980年以来，每单位GDP中的半导体使用率增加了 3500倍。 3500倍。 1981年，因特网联网计算机共有213台；2000年，该 1981年，因特网联网计算机共有213台；2000年，该 数字达到了 60 million。 million。
去折旧等于人口增 长率和技术进步率 之和。
Байду номын сангаас
对于稳态增长率的解释
稳态下，△y=0 稳态下，△y=0 有效人均产出的增长率：
∆y y = ∆Y Y
∆L L
−
∆L L
∆E E
−
∆E E
总产出增长率：
∆Y Y =
+
=n+g
人均产出增长率：
∆Y Y − ∆L L = ∆E E
= g
黄金律的标准
为求解资本存量的黄金规则， 用k* 来表示 c* ： c* = y* − i* = f ( k* ) − ( δ + n + g) k* c* 取得最大值，当 在黄金律资本水平 MPK = δ + n + g 下资本边际产出减 或等价表示为 MPK − δ = n + g
因此，劳动效率的增加类似于劳动力增加 ，对产出的效果是相同的。
符号与函数
符号说明： y = Y/LE = 有效人均产出 k = K/LE = 有效人均资本 单位效率工人的生产函数： y = f(k) 单位效率工人的储蓄和投资： i=s y = s f(k) f(
单位效率工人的储蓄和投资的推导 国民储蓄等于私人储蓄:S=Y国民储蓄等于私人储蓄:S=Y-C S/Y=1S/Y=1-C/Y c=(1-s)y c=(1其中s 其中s代表储蓄率 国民收入恒等式: 国民收入恒等式:Y=C+I 用人均概念表示: 用人均概念表示:Y/L=C/L+I/L 即 y=c+i 从而有 i=sy=sf(k)
推导表示k 推导表示k随时间变动的等式
有效人均资本增长率：
∆k k = ∆K K − ∆L L − ∆E E
投资与资本存量的关系：
∆K + δ )K K ∆k ∆L ∆E ⇒ I =( + + + δ )K k L E ∆k ⇒ i=( + n + g + δ )k = ∆k + (n + g + δ )k k I = ∆K + δ K = (
劳动效率
引入新变量： E = 劳动效率 假设： 技术进步是劳动扩展型，labor-augmenting： 能 labor-augmenting： 够以外生比率g 够以外生比率g 提高劳动效率：
g=
∆E
E
与技术进步结合的生产函数
现在将生产函数写：
Y = F (K , L ×E )
这里， L × E = 有效工人的人数，
引言
前面的索洛模型中，
生产技术保持不变 稳态的人均收入是常数
现实世界中上述两点均不成立：
1929-2001： 1929-2001：美国人均实际 GDP 增加 了 4.8倍，相对于每年增长 2.2%。 4.8倍，相对于每年增长 2.2%。 大量的技术进步的例子。 (见下页)
技术进步的范例
有技术进步的稳定状态
投资平衡点
(δ +n +g ) k
sf(k)
k*
人均资本, k
技术进步索洛模型中的稳态增长率
变量 有效工人的 人均资本 有效工人的 人均产出 人均产出 总产出 表述 k = K/ (L ×E ) y = Y/ (L ×E ) (Y/ L ) = y ×E Y = y ×E ×L 稳态增长率 0 0 g n+g
将此式代入i=sf(k)可得等式 将此式代入i=sf(k)可得等式 ∆k = s f(k) − (δ +n +g)k
索洛模型中的技术进步
收支相抵的投资：( 收支相抵的投资：(δ + n + g)k 构成: 构成:
δ k ：资本折旧
n k ：新工人提供资本 g k ：因技术进步导致的新“有效工人” 因技术进步导致的新“有效工人” 提供资本
1970：世界计算机保有量为50,000台 1970：世界计算机保有量为50,000台 2000： 2000：51% 的美国家庭拥有一台以上计算机 在过去三十年中，计算机实际价格平均每年下降30% 在过去三十年中，计算机实际价格平均每年下降30% 。 1996年生产的普通轿车中包含的计算机处理能力远远 1996年生产的普通轿车中包含的计算机处理能力远远 超过1969年人类首次登录月球的处理能力。 超过1969年人类首次登录月球的处理能力。 与二十年前相比，今天的调制解调器要快22倍。 与二十年前相比，今天的调制解调器要快22倍。 1980年以来，每单位GDP中的半导体使用率增加了 1980年以来，每单位GDP中的半导体使用率增加了 3500倍。 3500倍。 1981年，因特网联网计算机共有213台；2000年，该 1981年，因特网联网计算机共有213台；2000年，该 数字达到了 60 million。 million。
去折旧等于人口增 长率和技术进步率 之和。
Байду номын сангаас
对于稳态增长率的解释
稳态下，△y=0 稳态下，△y=0 有效人均产出的增长率：
∆y y = ∆Y Y
∆L L
−
∆L L
∆E E
−
∆E E
总产出增长率：
∆Y Y =
+
=n+g
人均产出增长率：
∆Y Y − ∆L L = ∆E E
= g
黄金律的标准
为求解资本存量的黄金规则， 用k* 来表示 c* ： c* = y* − i* = f ( k* ) − ( δ + n + g) k* c* 取得最大值，当 在黄金律资本水平 MPK = δ + n + g 下资本边际产出减 或等价表示为 MPK − δ = n + g
因此，劳动效率的增加类似于劳动力增加 ，对产出的效果是相同的。
符号与函数
符号说明： y = Y/LE = 有效人均产出 k = K/LE = 有效人均资本 单位效率工人的生产函数： y = f(k) 单位效率工人的储蓄和投资： i=s y = s f(k) f(
单位效率工人的储蓄和投资的推导 国民储蓄等于私人储蓄:S=Y国民储蓄等于私人储蓄:S=Y-C S/Y=1S/Y=1-C/Y c=(1-s)y c=(1其中s 其中s代表储蓄率 国民收入恒等式: 国民收入恒等式:Y=C+I 用人均概念表示: 用人均概念表示:Y/L=C/L+I/L 即 y=c+i 从而有 i=sy=sf(k)
推导表示k 推导表示k随时间变动的等式
有效人均资本增长率：
∆k k = ∆K K − ∆L L − ∆E E
投资与资本存量的关系：
∆K + δ )K K ∆k ∆L ∆E ⇒ I =( + + + δ )K k L E ∆k ⇒ i=( + n + g + δ )k = ∆k + (n + g + δ )k k I = ∆K + δ K = (
劳动效率
引入新变量： E = 劳动效率 假设： 技术进步是劳动扩展型，labor-augmenting： 能 labor-augmenting： 够以外生比率g 够以外生比率g 提高劳动效率：
g=
∆E
E
与技术进步结合的生产函数
现在将生产函数写：
Y = F (K , L ×E )
这里， L × E = 有效工人的人数，