2012年高考数学卷试卷分析及2013届教学建议

2012年高考数学卷试卷分析及2013届教学建议

试卷整体分析

2012年高考试卷整体难度略显偏难，各考点分布比较合理，与2011年高考数学卷题型相当，重点考察学生解决问题的能力。前8题较容易，学生看到题目后就有一些解题想法，9，10，11，12,13各题难度上去了，但学生只要静心计算，认真思考，一定能算出来，14难度太大。解答题15、16比较平稳，自然过度，受到中等成绩的学生一致好评，17题题目理解有困难，学生不知如何解答，18（1）、（2），19（1）、20（1）算正常考察的题目学生该能做出来，但其它问难度就太大了。总之整份试题难度比2011年试题难度略显偏大。对2013年的教学工作起到较好的导向作用。 典型题分析

9.本题主要考察向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，两角和的余弦公式，锐角三角函数定义。

解：解法一：由AB AF = cos AB AF FAB ∠=

cos =AF FAB DF ∠ 。 ∵AB =DF =1DF =。∴1CF =。 记AE BF 和之

间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，

∴1BE =。∴()

()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+- )

=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯=

解法二 ：本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。 10.本题主要周期函数的性质。最关键的一步是()()11f f -=

解：∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即2

1=

2

b a +-+①。 又∵311

=1222f f a ⎛⎫

⎛⎫

=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫

⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， ∴14

1=23b a +-+②。联立①②，解得，

=2. =4a b -。∴3=10a b +-。

11.本题主要考察同角三角函数，倍角三角函数，两角和的三角函数。∵α为锐角，即

02

<<

π

α，∴

2=

6

6

2

63<<

π

π

π

π

πα+

+

。∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛

⎫+= ⎪⎝⎭。

∴3424

sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫

⎛

⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭

⎝

⎭

。 ∴7

cos 2325

απ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭

。

∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12

343434a a a a π

π

πππππ⎛⎫⎛

⎫+

+

-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭247=252252- 本题有一种较笨的解法能算出，但耗时较长：先算sin α,cos α再计算

12. 本题主要考察圆与圆的位置关系，点到直线的距离

解：∵圆C 的方程可化为：()2

241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1。∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤。∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-

的距离

2≤，解得403k ≤≤

。∴k 的最大值是43

。 13. 本题主要考察函数的值域，不等式的解集。

解：由值域为[0)+∞，，有2

40a b =-=V ，即2

4

a b =

，∴222

2

()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭。∴2

()2a f x x c ⎛

⎫=+< ⎪⎝

⎭

解得2a x +<

，

22a a x <。∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，

，∴)()622

a a

-==，解得9c =。

本题会产生错误想法由值域为[0)+∞，，有240a b =-=V 小于或等于

0. 14.我们的学生解决不了，也想不到，并且好像有超出考试范围嫌疑

15.本题主要考察平面向量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

解：（1）∵3AB AC BA BC =

，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B 。

由正弦定理，

=sin sin AC BC

B A

，∴sin cos =3sin cos B A A B 。 又

∵0B>，。∴

sin sin =3cos cos B A

B A

即tan 3tan B A =。（2）∵

cos 0C

，∴sin C 。∴tan 2C =。∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-。∴

tan tan 21tan tan A B A B +=-- 。由（1），得24tan 2

13tan A A

=--，解得1tan =1 tan =3A A -，。∵cos 0A>，∴tan =1A 。∴=

4

A π

。

16. 本题主要考察直线与平面、平面与平面的位置关系。

解：证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E = ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，