2018课标版文数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)2-第二节直线的交点与距离公式

合集下载

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节直线与圆锥曲线的位置关系夯基提能作业本

第九节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条2.已知双曲线x 2a -y2b=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,5)B.(1,5]C.(5,+∞)D.[5,+∞)3.过点0,-12的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则OA²OB的值为()A.-12B.-14C.-4D.无法确定4.已知双曲线x 2a -y2b=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.35.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为.6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直角l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则|AF||BF|的值等于.7.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=22,P为椭圆上任一点,且△PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为22的直线l交椭圆C于A,B两点,且以AB为直径的圆恒过原点O,求△OAB的面积.8.已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.B组提升题组9.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:x 2a +y2b=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P12在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E 交于C,D,证明:|MA|²|MB|=|MC|²|MD|.10.设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;平分,设弦MN的垂直平分线的方程为(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-12y=kx+m,试求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B设该抛物线焦点为F,A(x A,y A),B(x B,y B),则|AB|=|AF|+|FB|=x A+p2+x B+p2=x A+x B+1=3>2p=2,所以符合条件的直线有且只有两条.2.C双曲线的一条渐近线方程为y=bax,由题意得ba>2,∴e=ca =1+ba2>1+4=5.3.B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-12,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得x1+x2=-k,x1x2=-12,∴OA²OB=x1x2+y1y2=x1x2+ kx1-12kx2-12=(k2+1)²x1x2-12k²(x1+x2)+14=-12(k2+1)-12k²(-k)+1 4=-14.故选B.4.A由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1<x2,又A,B关于直线y=x+m对称,所以y1-y2x1-x2=-1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12,设A(x1,y1),B(x2,y2)的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54,因为中点M在直线y=x+m上,所以5 4=-14+m,解得m=32.5.答案0或1解析由y=kx+2,y2=8x,得k2x2+(4k-8)x+4=0.若k=0,则y=2.若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.所以直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点时,k的值为0或1.6.答案 3解析设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),易知x 1>x 2. 由直线l 的倾斜角为60°,且过点F p2,0 , 得直线l 的方程为y-0= 3 x -p2 , 即y= 3x- 32p,联立y = 3x-32p,y 2=2px,消去y 并整理,得12x 2-20px+3p 2=0, 则x 1=32p,x 2=16p, 则|AF ||BF |=32p+12p 16p+12p =3.7.解析 (1)e=c a = 22,设P(x 0,y 0),△PF 1F 2的面积S=|y 0|c,又|y 0|≤b,所以最大面积为bc=1,则b=c=1,a= 2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y= 22x+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立 y = 22x +m,x 2+2y 2=2,消去y 并整理得2x 2+2 2mx+2m 2-2=0,则 x 1+x 2=- 2m,x 1²x 2=m 2-1.由题意知OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=0, 又y 1y 2=22x 1+m22x 2+m=12x 1x 2+ 22m(x 1+x 2)+m 2,所以OA²OB =32x 1x 2+ 22m(x 1+x 2)+m 2=32m 2-32=0, 解得m=±1.则|AB|= 1+ 22 2² (x 1+x 2)2-4x 1x 2= 3,因为原点到直线l 的距离为1+ 22= 63,所以S △AOB =12³ 3³ 63= 22.8.解析(1)依题意可得1a=22,a2=b2+1,解得a=2,b=1,所以椭圆E的标准方程为x22+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立x22+y2=1, y=k(x-1),消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=4k21+2k ,x1²x2=2(k2-1)1+2k.所以y1²y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-k21+2k.因为OM⊥ON,所以OM²ON=0,所以x1²x2+y1²y2=k2-21+2k2=0,所以k=±2,所以直线l的方程为y=±2(x-1).B组提升题组9.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)过点P12,故34b2+14b2=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-2<m<2. 由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点的坐标为-m,m2,直线OM的方程为y=-12x,由方程组x24+y2=1,y=-12x,得C-2,22,D2,-22.所以|MC|²|MD|=52(-m+2)²52(2+m)=54(2-m2).又|MA|²|MB|=14|AB|2=14[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=516[(x1+x2)2-4x1x2]=516[4m2-4(2m2-2)]=54(2-m2),所以|MA|²|MB|=|MC|²|MD|.10.解析(1)设抛物线的顶点为Q(x,y),则焦点为F(2x-1,y).根据抛物线的定义得|AF|=2,即(2x)2+y2=4,所以轨迹C的方程为x2+y24=1.(2)设弦MN的中点为P-12,y0,M(x M,y M),N(x N,y N),则由点M,N为椭圆C上的点,可知4x M2+y M2=4,4x N2+y N2=4,两式相减,得4(x M-x N)(x M+x N)+(y M-y N)(y M+y N)=0,(*)将x M+x N=2³-12=-1,y M+y N=2y0,y M-y Nx M-x N=-1k代入(*)式得k=-y02.又点P-12,y0在弦MN的垂直平分线上,所以y0=-12k+m,所以m=y0+12k=34y0.又点P-12,y0在线段BB'上,B',B为直线x=-12与椭圆的交点,如图所示所以y B'<y0<y B,所以-3<y0<3.所以-334<m<334,且m≠0.。

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节直线与圆锥曲线的位置关系

即m2=2k2+1.
y 2 4 x, 由消去y,整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0, y kx m
栏目索引
Δ2=(2km-4)2-4k2m2=16-16km=0,即km=1,
m 2 2k 2 1, ① ∴ km 1.② 1 1 2 4 2 由②得m= ,代入①得 2 =2k +1,即2k +k -1=0. k k
3 2 3 2
a b
) D.
2 3 27
B.
2 3 3
C.
9 3 2
答案 A 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),结合题意,由点差法
2 得,
y y1 a x0 a 2 3 =- · =- · =-1,∴a = . x2 x1 b y0 b 3 b 2
14(b 2 4) 次方程根与系数的关系及题意得y1+y2= 2 =2,解得b2=8. 10b 4
所以a2=12.
x2 y 2 则椭圆的方程为 + =1. 8 12
栏目索引
方法技巧处理中点弦问题的常用方法 (1)点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,
1 式中含有x1+x2,y1+y2,
令t=k2,则2t2+t-1=0,
解得t1= ,t2=-1(舍),
2 2 k , k , ∴ 2 或 2 m 2 m 2. 2 2 ∴直线l的方程为y= x+ 2 或y=- x- 2 . 2 2
1 2
栏目索引
考点二典例2
弦长问题
x2 y 2 2 已知椭圆C: + =1( a > b >0) 的一个顶点为 A (2,0), 离心所以椭圆C的方程为 + =1. 4 2

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)1 第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

x a
y b
栏目索引
1.直线 3 x-y+a=0的倾斜角为 (
)
A.30°
B.60°

C.150°
D.120°
答案 B 设直线的倾斜角为α,则tan α= 3 , ∵α∈[0,π),∴α= .
3
2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( A.1 B.4 C.1或3
x 2 0, x 2, 令解得 1 y 0, y 1,
∴无论k取何值,直线l必经过定点(-2,1). (2)直线方程可化为y=kx+1+2k,当k≠0时,要使直线不经过第四象限,则
必有
k 0, 解得k>0; 1 2 k 0,
k=
y 2 y1 x 2 x1
栏目索引
3.直线方程的五种形式
名称点斜式斜截式方程 ⑧ ⑨ y-y0=k(x-x0) y=kx+b 适用范围不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线
两点式 ⑩
截距式一般式
x a
y + b
不含直线x=x1和直线y=y1 (x1≠x2,y1≠y2)
)
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, 3 )为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .
栏目索引
答案 (1)B (2)(-∞,- 3 ]∪[1,+∞) 解析 (1)设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α, 又sin α∈[-1,1],θ∈[0,π),
3 4 4 3 0 1 0 (2)如图,∵kAP= =1,kBP= =- 3 , 0 1 2 1Fra bibliotek栏目索引

2018届高考新课标数学文大一轮复习检测：第九章平面解析几何 9-1 含答案精品

A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·陕西西安音乐学院附中等校期末联考)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0【解析】由题意k PQ ＝0＋1b 1a－0＝ab ，∵ab ＜0，∴k PQ ＜0.设直线PQ 的倾斜角为α，则tan α＝k PQ ＜0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.故选B. 【答案】 B2．(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B3．(2017·西安临潼区模拟)已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)，当此直线在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是( )A ．0B ．2 C. 2 D ．1【解析】直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a，此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1时，等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数a 的值是1，故选D.【答案】 D4．(2016·湖北襄阳期中)已知△ABC 的三顶点坐标分别为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0【解析】由题意结合中点坐标公式，得M (2，4)，N (3，2)．由两点式可得方程为y －42－4＝x －23－2，化为一般式，得2x ＋y －8＝0，故选A. 【答案】 A5．(2017·江西九江二模)过点P (－2，2)作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则这样的直线l 一共有( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条【解析】假设存在过点P (－2，2)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8.设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则－2a＋2b＝1，即2a －2b ＝ab .直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S ＝－12ab ＝8，即ab ＝－16.联立⎩⎪⎨⎪⎧2a －2b ＝ab ，ab ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4.故直线l 的方程为x －4＋y4＝1，即x －y ＋4＝0，即这样的直线有且只有一条，故选C.【答案】 C6．(2017·黑龙江哈六中月考)过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中心，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)当k 不存在时，l ：x ＝3不满足题意；(2)当k 存在时，设直线l ：y ＝k (x －3)，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k 2－k ，－4k 2－k ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －3k ＋1，－6k k ＋1.由中点坐标公式得k ＝8，所以直线l 的方程为y ＝8x －24.【答案】 y ＝8x －247．(2017·河南郑州一中月考)若点P 为x 轴上的一点A (1，1)，B (3，4)，则|PA |＋|PB |的最小值是________．【解析】点A (1，1)关于x 轴的对称点为A ′(1，－1)，则|PA |＋|PB |的最小值是线段A ′B 的长，为29.【答案】 298．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．【解析】当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－aa ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)9．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】 (1)∵l 在x 轴上的截距为－3， ∴－2m ＋6≠0，即m ≠3，又m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0. 令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3，由题意知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.(2)由题意知2m 2＋m －1≠0，且－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.10．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2017·广州模拟)已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12 B.13或－1C.13D ．－1 【解析】 ∵直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，∴2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.【答案】 B12．(2017·四川成都新津中学月考)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为________．【解析】 ∵P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，圆心与P 点确定的直线斜率为1－01－3＝－12，∴弦MN 所在直线的斜率为2，则弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 2x －y －1＝013．(2017·河南豫东、豫北十校联考)△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．【解析】设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2，即(0，2)．∵直线BC 的斜率k 1＝－12，∴BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，∴直线DE 的方程为2x －y ＋2＝0.【答案】 2x －y ＋2＝014．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 15．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【解析】 (1)证明直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第九章平面解析几何 9-1 直线与方程含答案精品

2018年高考新课标数学(理)一轮考点突破练习第九章平面解析几何Word版含答案

第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向平行重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是．点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)，则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋ kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋ (y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋ 4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P＝2y，又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2P＋y2P＝4，将x P＝2x－4，y P＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题知b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的轨迹方程是x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋2x0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上．因此，圆C过定点．9．4 直线、圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋rd ＝R －r d <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17< 3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋ 3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝ a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D. 类型二圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2，所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD为垂直于直径AC的弦，所以点(3，5)为AC与BD的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r＝5，圆心到直线BD的距离d＝1，||BD＝2r2－d2＝252－12＝46，||AC＝2r＝10，所以四边形ABCD的面积S＝12|| AC·||BD＝20 6.故选B.类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x －m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，因为圆C1与圆C2外切，所以32＋42＝r1＋r2＝1＋25－m，解得m＝9.故选C.类型五两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x－y＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0(λ∈R，λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2(2＋λ)x＋(1＋2λ)y＋(1＋λ)＝0，其圆心O的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O在直线2x－y＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x2－52y2－3x－6y－52＝0，即5x2＋5y2＋6x＋12y＋5＝0.点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．在以k为参数的圆系：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.设两个圆的圆心分别为O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，半径分别为5|k1＋1|，5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝（k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝5|k2－k1|.当k1＞－1且k2＞－1或k1＜－1且k2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相内切．当k1＞－1且k2＜－1或k1＜－1且k2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相外切．类型六圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R，解得a＝1或a ＝138，又S＝πR2<13，所以a＝1，R＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋3，（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，解得k<1－263或k>1＋263，且x1＋x2＝－6k－21＋k2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2.OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋ 3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋ 3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助． 7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D .2．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是 |AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解：因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆 (x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.故选A.5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x － 2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为 x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y － 4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C.7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋ 4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a ＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝ (2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13.所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105，所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋ 1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是。

2018高考数学(文)(人教新课标)大一轮复习配套文档第九章平面解析几何单元测试卷Word版含答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2016·锦州月考)过点(-1，3)且平行于直线x -2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x -2y ＋7＝0B ．2x ＋y -1＝0C ．x -2y -5＝0D ．2x ＋y -5＝0解：设与直线x -2y ＋3＝0平行的直线方程为x -2y ＋C ＝0(C ≠3)，过点(-1，3)，则-1-6＋C ＝0，得C ＝7，故所求直线方程为x -2y ＋7＝0.另解：利用点斜式．故选A .2．(2016·济南模拟)点P (4，-2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x -2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y -2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y -1)2＝1解：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 2＋y 20＝4，连线的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0-2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x -4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4得(x -2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A .3．(2016·泉州模拟)若抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解：由2p ＝1得p 2＝14，且|AF |＝x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1.故选A .4．(2016·南阳模拟)设F 1，F 2是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以PF 1为直径的圆经过F 2，若tan ∠PF 1F 2＝2515，则椭圆E 的离心率为( )A.56B.55C.54D.53解：由题意可知∠PF 2F 1＝90°，且F 1F 2＝2c ，因为tan ∠PF 1F 2＝2515，所以PF 2＝2515×2c ，由勾股定理可得PF 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2515×2c 2＋（2c ）2＝2c ×7515，依据椭圆的定义可得PF 1＋PF 2＝2a ，即2a ＝9515×2c ，即a ＝355c ，故离心率e ＝53.或由tan ∠PF 1F 2＝b 2a 2c求解．故选D .5．(2016·四川模拟)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 24-y 2＝1 B. y 24-x 2＝1C ．y 2-x 24＝1D. y 216-x 24＝1 解：令双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2＝1(a >0，b >0)，由以焦点为圆心且半径为1的圆与双曲线的渐近线相切，且焦点到渐近线y ＝±a b x 的距离为b ，得b ＝1.由c a＝52，则令c ＝5t ，a ＝2t ，t >0，故b ＝c 2-a 2＝t ＝1，所以a ＝2.故选B .6．(2016·济南模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与双曲线x 2-y 23＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若|AF |>|BF |，且|AF |＝2，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝3x C ．y 2＝4xD ．y 2＝x解法一：抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝-p2，且双曲线x 2-y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x .可设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2，令A (x 0，y 0)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0>p 2，则|AF |＝x 0＋p 2＝2，即x 0＝2-p 2，由x 0>p 2可得0<p <2，且y 0＝3(2-p )，由3(2-p )2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-p 2得p＝1或p ＝3(舍去)，所以抛物线的方程为y 2＝2x .解法二：设A (x 0，y 0)．由题意易知x 0>p2，因为直线AB 与双曲线x 2-y 23＝1的一条渐近线平行，可令k AB＝3，则直线AB 的倾斜角为60°，所以|AF |·cos60°＋p ＝2，所以p ＝1，则抛物线的方程为y 2＝2x .故选A .7．(2016·甘肃模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为( )A. 5B. 3C.233D.2解：易知抛物线y 2＝8x 的焦点F 的坐标为(2，0)，则c ＝2，令P (m ，n )在第一象限，由抛物线的定义知|PF |＝m ＋p 2＝m ＋2＝5，所以m ＝3，则点P 的坐标为(3，26)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2-24b2＝1，解得a 2＝1，b 2＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a＝2.故选D .8．(2016·福州模拟)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 的横截距( )A ．为定值-3B ．为定值3C ．为定值-1D ．不是定值解：令直线l 的方程为x ＝ky ＋b ，代入y 2＝2x 得y 2-2ky -2b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝-2b .因为k 1k 2＝23，所以y 1y 2x 1x 2＝23，即y 1y 2（ky 1＋b ）（ky 2＋b ）＝y 1y 2k 2y 1y 2＋kb （y 1＋y 2）＋b 2＝-2b，即b ＝-3.所以直线l 的方程为x ＝ky -3，当y ＝0时，x ＝-3，即l 的横截距为-3.故选A .9．(2016·广西模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为( )A. 6B.2C.3D. 2解：依题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，不妨令点A 在第一象限，设点A (x 0，y 0)，因为|CF |＝3p ，所以由|CF |＝2|AF |可得|AF |＝3p2，再由抛物线的定义可得|AF |＝|AB |＝3p 2，即x 0＋p 2＝3p2，所以x 0＝p ，y 0＝2p ，即A (p ，2p )，所以△AFC 的面积为12×3p ×2p ＝322p 2，由相似比可知△ACE 的面积为13×322p 2＝22p 2＝32，所以p 2＝6，即p ＝ 6.故选A .10．(2016·武汉模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，其中O 为坐标原点，且|PF 1→|＝2|PF 2→|，则该双曲线的离心率为( )A.233B.3＋1C.52D. 5 解：由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝(OP →＋OF 2→)·(OP →-OF 2→)＝0⇒OP ＝OF 2＝c .由PF 1-PF 2＝2a 及PF 1＝2PF 2⇒PF 1＝4a ，PF 2＝2a .由OF 2＝OF 1＝OP ＝c ，得∠F 1PF 2＝90°，所以(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，得e ＝ 5.故选D .11．(2015·兰州模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)有一个共同的焦点F ，点M是双曲线与抛物线的一个交点，若|MF |＝54p ，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3C. 2D. 3解：因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以c ＝p2>a ，①所以双曲线方程为x 2a 2-y2p 24-a2＝1.因为点M 是双曲线与抛物线的一个交点，且|MF |＝54p ，所以x M ＋p 2＝54p ，x M ＝5p 4-p 2＝3p4，代入抛物线y 2＝2px 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 4，±6p 2，代入双曲线方程得9p 4-148p 2a 2＋64a 4＝0，解得p ＝4a 或p ＝23a ，因为p >2a ，所以p ＝4a .②联立①②两式得c ＝2a ，即e ＝2.故选A . 12．(2016·枣庄模拟)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13B.15C ．2D. 3解：因为|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨设|AB |＝3t ，|BF 2|＝4t ，|AF 2|＝5t ，因为|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，所以∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得|BF 1|-|BF 2|＝2a ，|AF 2|-|AF 1|＝2a ，所以|AF 1|＋|AB |-|BF 2|＝2a ，即|AF 1|＝2a ＋t ，又5t -(2a ＋t )＝2a ，即t ＝a .所以|BF 1|＝3t ＋(2a ＋t )＝6a ，|BF 2|＝4a ，且|F 1F 2|＝2c ，在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2，即(2c )2＝(6a )2＋(4a )2，所以e ＝c a＝13.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·重庆模拟)双曲线y 22-x 24＝1的离心率为__________．解：由双曲线的标准方程知a 2＝2，b 2＝4，则c2＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a＝62＝ 3.故填3.14．(2015·重庆)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为____________．解：由题意，得k OP ＝2-01-0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为-12，所求切线方程为y -2＝-12(x -1)，即x ＋2y -5＝0.故填x ＋2y -5＝0.15．(2016·云南模拟)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果AF 的倾斜角为2π3，则|PF |＝____________．解法一：设l 与x 轴交于点Q ，由条件易知△PFA 为等边三角形，∠QAF ＝30°，所以|PF |＝|AF |＝2|QF |＝8.解法二：因为抛物线方程为y 2＝8x ，所以焦点F (2，0)，准线l 的方程为x ＝-2.又因为直线AF 的倾斜角为2π3，所以直线AF 的方程为y ＝-3(x -2)，由⎩⎨⎧x ＝-2，y ＝-3（x -2）可得A 点坐标为(-2，43)，即P 点纵坐标为43，代入抛物线方程得P 点坐标为(6，43)，所以|PF |＝|PA |＝6-(-2)＝8.故填8.16．(2016·金华模拟)已知双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，等边三角形PF 1F 2与双曲线交于M ，N 两点，若M ，N 分别为线段PF 1，PF 2的中点，则该双曲线的离心率为_____________．解：由题意得MF 1＝c ，MF 2＝3c ⇒2a ＝MF 2-MF 1＝(3-1)c ⇒ca＝23-1＝3＋1，所以双曲线的离心率为3＋1.故填3＋1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2016·集美模拟)已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且以y ＝±43x 为渐近线，求双曲线方程．解：由椭圆x 249＋y 224＝1⇒c ＝5.设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)，由渐近线为y ＝±43x ，得b a ＝43，且a 2＋b 2＝25，则a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为x 29-y216＝1. 18．(12分)(2016·深圳模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．(1)当|PF |＝2时，求点P 的坐标；(2)求点P 到直线y ＝x -10的距离的最小值．解：(1)依题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24(a >0)，易知F (0，1)，因为|PF |＝2，结合抛物线的定义得a 2＋1＝2，即a ＝2，所以点P 的坐标为(2，1)．(2)设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 24(a >0)，则点P 到直线y ＝x -10的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a -a 24-102＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24-a ＋102.因为a 24-a ＋10＝14(a -2)2＋9，所以当a ＝2时，a 24-a ＋10取得最小值9，故点P 到直线y ＝x -10的距离的最小值d min ＝92＝922. 19．(12分)(2016·石家庄模拟)已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，过点A (-a ，0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (-1，0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程．解：(1)由题意知ba ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线EF 的方程为x ＝my -1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2-2my -2＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由ED →＝2DF →得y 1＝-2y 2. 由y 1＋y 2＝-y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝-2y 22＝-2m 2＋3可得⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m m 2＋32＝1m 2＋3，所以m ＝1或m ＝-1(舍去)，所以直线EF 的方程为x ＝y -1，即x -y ＋1＝0.20．(12分)(2016·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点(-1，0)交椭圆于M ，N 两点，求△AMN 面积的最大值．解：(1)由题意可知a ＝2b ，且2a ＝4，所以a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知A 点坐标为(-2，0)，直线MN 过定点D (-1，0)，即可令直线MN 的方程为x ＝my -1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my -1，x 24＋y 2＝1消去x 得(m 2＋4)y 2-2my -3＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2mm 2＋4， y 1y 2＝-3m 2＋4，所以S △AMN ＝12|AD ||y 1-y 2|＝12（y 1＋y 2）2-4y 1y 2＝124m 2（m 2＋4）2＋12m 2＋4＝2m 2＋3（m 2＋4）2，令t ＝m 2＋3，则t ≥3，所以S △AMN ＝2t（t ＋1）2＝21t ＋1t＋2≤213＋13＋2＝32，所以当且仅当t ＝m 2＋3＝3，即m ＝0时，△AMN 的面积取最大值，最大值为32. 21．(12分)(2016·黄冈模拟)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点B 且互相垂直的两直线l 1，l 2分别交椭圆C 于点M ，N (点M ，N 均异于点B )，试问直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．解：(1)依题意有e ＝ca ＝32，a 2-b 2＝c 2，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，可得1a 2＋34b 2＝1，解方程得a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线MN 过定点，且定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-65，0. 证明：椭圆的左顶点B 的坐标为(-2，0)，令M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，由题意可知直线BM 的斜率存在且不为0. 设直线BM 的方程为y ＝kx ＋2k ，则直线BN 的方程为y ＝-1k(x ＋2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ，x 2＋4y 2＝4得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2-4＝0，由-2x M ＝16k 2-41＋4k 2，解得x M ＝2-8k21＋4k2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2-8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，同理将k 换为-1k ，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2-84＋k 2，-4k 4＋k 2.所以直线MN 的斜率k MN ＝y M -y N x M -x N ＝5k4（1-k 2），所以直线MN 的方程为y -4k 1＋4k 2＝5k 4（1-k 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2-8k 21＋4k 2，即y ＝5k 4（1-k 2）x ＋3k2（1-k 2），即y ＝5k 4（1-k 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65，所以直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-65，0. 22．(12分)(2016·南通模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(-2，0)，F 2(2，0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M (1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3，2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1＋k 2是否为定值？并证明你的结论．解：(1)由已知得c ＝2，a 2-b 2＝2，且b ＝|OM |＝1，解得a ＝3，则椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1得x ＝1，y ＝±63，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，-63，则k 1＋k 2＝2-632＋2＋632＝2.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x -1)，将y ＝k (x -1)代入x 23＋y 2＝1，化简整理得(3k 2＋1)x 2-6k 2x ＋3k 2-3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2-33k 2＋1，又y 1＝k (x 1-1)，y 2＝k (x 2-1)，所以k 1＋k 2＝2-y 13-x 1＋2-y 23-x 2＝（2-y 1）（3-x 2）＋（2-y 2）（3-x 1）（3-x 1）（3-x 2）＝[2-k （x 1-1）]（3-x 2）＋[2-k （x 2-1）]（3-x 1）9-3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12-2（x 1＋x 2）＋k [2x 1x 2-4（x 1＋x 2）＋6]9-3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝12-2×6k 23k 2＋1＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3k 2-33k 2＋1-4×6k 23k 2＋1＋69-3×6k 23k 2＋1＋3k 2-33k 2＋1＝＝2.综上得k 1＋k 2为定值2.。

2018课标版文数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)1-第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程A组基础题组1.直线l:xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是()A.33B. C.- D.-332.已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为()A.4x-3y-3=0B.3x-4y-3=0C.3x-4y-4=0D.4x-3y-4=03.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1B.-1C.-2或-1D.-2或14.直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足()A.ab>0,bc<0B.ab>0,bc>0C.ab<0,bc>0D.ab<0,bc<05.两直线xm -yn=a与xn-ym=a(其中a是不为零的常数)的图象可能是()6.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为.7.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.8.如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OBx上时,求直线AB的方程.于A、B两点,当线段AB的中点C恰好落在直线y=12B组提升题组9.(2016江西南昌模拟)直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点()A.(1,-3)B.(4,3)C.(3,1)D.(2,3)是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的10.(2016上海青浦二模)a=14()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为()A.y-1=3(x-3)B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1)D.y-3=-3(x-1)12.直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,△OAB的面积为12,则直线l的方程为.13.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是.14.已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为.15.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m 的取值范围是.16.直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A,B两点.(1)当|PA|·|PB|最小时,求l的方程;(2)当|OA|+|OB|最小时,求l的方程.答案全解全析A组基础题组1.A设直线l的斜率为k,则k=-sin30°cos150°=33.2.D由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为12,则tanα=12,所以直线l的斜率k=tan2α=2tanα1-ta n2α=2×121-122=43,所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=43(x-1),即4x-3y-4=0.3.D由题意可知a≠0.当x=0时,y=a+2.当y=0时,x=a+2a.∴a+2a=a+2,解得a=-2或a=1.4.A由于直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-ab x-cb.易知-ab <0且-cb>0,故ab>0,bc<0.5.B直线方程xm -yn=a可化为y=nmx-na,直线xn-ym=a可化为y=mnx-ma,由此可知两条直线的斜率同号.6.答案4x+3y=0或x+y+1=0解析①若直线过原点,则k=-43,所以y=-43x,即4x+3y=0.②若直线不过原点,设xa +ya=1,即x+y=a.则a=3+(-4)=-1,所以直线的方程为x+y+1=0.综上,直线的方程为4x+3y=0或x+y+1=0.7.解析(1)直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得直线BC的方程为y-13-1=x-2-2-2,即x+2y-4=0.(2)设BC边的中点D的坐标为(m,n),则m=2-22=0,n=1+32=2.BC边的中线AD所在直线过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线方程为x-3+y2=1,即2x-3y+6=0.(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-12,则BC边的垂直平分线DE的斜率k2=2.由(2)知,点D的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.8.解析由题意可得k OA=tan45°=1,k OB=tan(180°-30°)=-33,所以射线OA:y=x(x≥0),射线OB:y=-33x(x≥0).设A(m,m),B(-n,n),则线段AB的中点C的坐标为m-3n2,m+n2,由点C在直线y=12x上,且A、P、B三点共线得m+n2=12·m-3n2,m-0m-1=-3n-1解得m=3,所以A(3,3).又P(1,0),所以k AB=k AP=33-1=3+32,所以l AB:y=3+32(x-1),即直线AB的方程为(3+B组提升题组9.C2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由2x+y=7,x+y=4解得x=3,y=1.则直线过定点(3,1),故选C.10.A由直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直得(a+1)(a-1)+3a×(a+1)=0,解得a=14或a=-1.∴“a=14”是“直线(a+1)x+3ay+1=0与直线(a-1)x+(a+1)y-3=0互相垂直”的充分而不必要条件.故选A. 11.D因为AO=AB,所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数,所以k AB =-k OA =-3,所以直线AB 的点斜式方程为y-3=-3(x-1). 12.答案 2x+3y-12=0解析解法一:设直线l 的方程为x a +yb =1(a>0,b>0),则有3a +2b =1,且12ab=12. 解得a=6,b=4.所以所求直线l 的方程为x 6+y4=1,即2x+3y-12=0.解法二:设直线l 的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 令x=0,得y=2-3k,则2-3k>0; 令y=0,得x=3-2k ,则3-2k >0.所以S △OAB =12(2-3k) 3-2k =12,解得k=-23.故所求直线l 的方程为y-2=-23(x-3),即2x+3y-12=0. 13.答案 x+2y-3=0解析当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以k AB =-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率为k=-12,所以直线l 1的方程是y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0. 14.答案 1或0解析l 1的斜率k 1=3a-01-(-2)=a.当a ≠0时,l 2的斜率k 2=-2a-(-1)a-0=1-2a a.因为l1⊥l2,所以k1k2=-1,即a·1-2aa=-1,解得a=1;当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2. 综上可知,实数a的值为1或0.15.答案-23,1 2解析如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,k QA=32,k PA=-2,k l=-1m,∴-1m ≤-2或-1m≥32,解得0<m≤12或-23≤m<0;当m=0时,直线l的方程为x=0,与线段PQ有交点,∴实数m的取值范围为-23≤m≤12.16.解析依题意知l的斜率存在,且斜率为负. 设l的方程为y-4=k(x-1)(k<0).令y=0,可得x=1-4k ,则A1-4k,0,令x=0,可得y=4-k,则B(0,4-k).(1)|PA|·|PB|=4k+16·1+k2=-4k (1+k2)=-41k+k≥8(k<0),当且仅当1k=k,即k=-1时,|PA|·|PB|取最小值,这时l的方程为x+y-5=0.(2)|OA|+|OB|=1-4k +(4-k)=5-k+4k≥9(k<0),当且仅当k=4k,即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值,这时l的方程为2x+y-6=0.。

2018届高考文科第9章平面解析几何课件9-2

高考总复习· 数学文科（RJ）
第九章平面解析几何
题型一
两条直线的平行与垂直
【例 1】 (1)(2015· 济南模拟 )已知两条直线 l1： (a－1)· x＋ 2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )
A．－1
C．0或－2
B．2
D．－1或2
(2)已知两直线方程分别为 l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________．
离是
13 ＝，故选 B. 2 2 2 3 ＋2
2 【答案】 (1) 4 或 2
(2)B
高考总复习· 数学文科（RJ）
第九章平面解析几何
【方法规律】 (1)两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程
组，以方程组的解为坐标的点即为交点． (2)常见的三大直线系方程 ①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． ②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
高考总复习· 数学文科（RJ）
第九章平面解析几何
【解析】 (1)由题意，得 a＋b（a－1）＝0， |b| . 4 ＝ a2＋b2 （a－1）2＋1
a＝3， a＝2，解得或经检验，两种情况均符合题意． b＝－2
第九章平面解析几何
2．(教材改编)已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于( A. 2 C. 2－1 ) B．2－ 2 D. 2＋1
|a－2＋3| 【解析】依题意得＝1. 1＋1 解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2. ∵a>0，∴a＝－1＋ 2.

2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第九章平面解析几何第9讲第2课时含答案

基础巩固题组（建议用时:40分钟)一、选择题1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( ）A.错误!B.C。

D。

解析Q（－2，0），设直线l的方程为y＝k(x＋2），代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8）x＋4k2＝0,由Δ＝（4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2）≥0，解得－1≤k≤1.答案C2.(2017·石家庄模拟）已知P为双曲线C:错误!－错误!＝1上的点，点M满足|错误!｜＝1，且错误!·错误!＝0，则当｜错误!｜取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为（)A。

错误!B。

错误!C。

4 D。

5解析由错误!·错误!＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求｜MP｜的最小值可以转化为求｜OP|的最小值，当｜OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点（±3，0），而双曲线的渐近线为4x±3y ＝0，∴所求的距离d＝错误!，故选B。

答案B3.已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1（m＞0)，如果直线y＝错误!x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m 的值为（）A.2 B。

2 2 C。

8 D.2错误!解析根据已知条件得c＝错误!，则点（错误!,错误!错误!）在椭圆错误!＋错误!＝1(m＞0）上，∴错误!＋错误!＝1，可得m＝2错误!.答案B4.若双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是( )A. D。

(1，3）解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±错误!x,与抛物线方程联立消去y得x2±错误!x＋2＝0。

∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝错误!－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝a2＋b2≥3a，∴e＝错误!≥3。

答案A5。

(2017·丽水调研）斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )A。

2018届高三(新课标)数学(理)第九章解析几何

第九章⎪⎪⎪解析几何第一节直线与方程突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k k ＝tan α>0 k ＝0 k ＝tan α<0 不存在倾斜角α锐角0°钝角90°本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系； 2．直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．[例2] (1)若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. (2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)2或－1 (2)1或0[易错提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．1.[考点一]直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3解析：选B 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.2.[考点一]直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.5.[考点一]直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)6.[考点二](2016·苏北四市一模)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1. 又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：25突破点(二) 直线的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0) 与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面直角坐标系内所有直线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] 过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.[方法技巧]1．给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况． (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程． (3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． 2．与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．1.[考点一]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y＋1＝0.2.[考点一]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.3.[考点二]若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.4.[考点二]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：165.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．两条直线的交点2．三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两平行直线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，则直线l 的方程为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. [答案] (1)B (2)x ＝3或y ＝1 [方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [答案] (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 [易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．对称问题1．中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．[例3] (1)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0(3)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析](1)设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)．(2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.(3)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.[答案] (1)D (2)A (3)6x －y －6＝0[方法技巧]解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1.[考点三](2016·东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.选A.2.[考点二]若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.3.[考点一]已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫22，22C.⎝⎛⎭⎫32，32D.⎝⎛⎭⎫52，52 解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.4.[考点三]若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n 的最小值等于________．解析：由题意知(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n,1＋m )．则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝43时等号成立．答案：925.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 6.[考点二]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN ＝1.∴t ＝mn m ＋n ，∴1t＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎝⎛⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13.综合(1)、(2)可得：1－22<b <12.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.答案：－9[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧x －2y2＝0，2x ＋y2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.二、填空题7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12.答案：128．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以k AB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝09．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]10.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴k FD>kA1F，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 12．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.第二节圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程；突破点(一)圆的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求圆的方程1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)，则|CA |＝|CB |，即(a －5)2＋(0－1)2＝(a －1)2＋(0－3)2，则a ＝2. 故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧22＋(－1)2＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)x 2＋y 2－4x －8y －5＝0 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1[解析] 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1，设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. [答案] B能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知点A (－1，3)，B (1，－3)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选D 由题意知，AB 的中点为(0,0)，即所求圆的圆心坐标为(0,0)，设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，因为|AB |＝[1－(－1)]2＋(－3－3)2＝4，所以圆的半径为2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.2.[考点一]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一]求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程．解：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的四种方法。

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)2 第二节两直线的位置关系与距离公式

由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2),
1 ∵l3⊥l,∴k=- ,∴直线l的方程为y-1=- (x+2),即x+2y=0. 2 1 2
解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点, 所以可设直线l的方程为x+y+1+λ(x-y+3)=0,即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0.
解析设点P的坐标为(a,b).
∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点坐标为(3,-2).
3 1 又kAB= =-1, 42
∴线段AB的垂直平分线的斜率为1, ∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. ∴点P(a,b)在直线x-y-5=0上, ∴a-b-5=0. ①
到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中x、y 的系数化为相同的形式).
栏目索引
2-1 已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围为 . 答案 [0,10] 解析由题意得,点P到直线的距离为 ∴
|15 3a | ≤3,即|15-3a|≤15, 5
栏目索引
方法技巧 1.两点间距离公式的应用类型 (1)直接应用公式求距离.
(2)根据距离求相关参数的值.
(3)常用距离公式构造函数,解决最值、范围等问题. 2.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一
般式. 3.两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点
栏目索引
1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为 (

高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系课件文新人教A版

，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存
在时，两条直线 .
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
2.两直线相交直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的公共点的坐标与方程组 AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.
知识梳
1.两条直线平行与垂直的判1，l2，其斜率分别为k1k，1＝k2k，2 则有
l1∥l2⇔
.特别地，当直线平l行1，l2的斜率都不存在时，
l1与l2
.
(2)两条直线垂直
k1·k2＝－1
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为垂k1直，k2，则l1⊥l2⇔
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
5.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________. 解析由题意知－m2－－4m＝1，所以 m－4＝－2－m，所以 m＝1. 答案 1
基础诊断
考点突破
@《创新设计》
考点一两直线的平行与垂直【例1】 (一题多解)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋ (a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求a的值； (2)当l1⊥l2时，求a的值.
@《创新设计》
2.圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距离为( )
A.1
B.2
C. 2
D.2 2
解析圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心坐标为(－1，0)，由 y＝x＋3 得 x－y＋3＝0，则圆心

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

栏目索引
2.原点到直线x+2y-5=0的距离为 ( A.1 B. 3 C.2 D. 5
| 5 | 5
)
答案 D 由相应距离公式易得d= = 5 .
3.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为 (
)
A.1
B. 2
C. 3
D.2
| C C2 | A B
栏目索引
命题角度三
线关于点的对称
典例5 求直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线l'的方程. 解析设P(x,y)为l'上任意一点, 则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P'(-2-x,-4-y), ∵点P'在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0. 则直线l'的方程为2x-3y-9=0.
(1)x+2y=0 (2) 1, , , 4 1 2 6 3
.
x y 1 0, x 2, (1)解法一:由方程组解得即点P(-2,1), x y 3 0 y 1,
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2),
| 5 | 5
3 4
1 kOP
栏目索引
考点三
对称问题
命题角度一点关于点的对称典例3 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程. 解析设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,
C.
D.
29 5
(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内存在一点P,使 |PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则点P坐标为答案解析
7 7 3 4 12 (1)因为 = ≠ ,所以两直线平行, 5 6 8 27 8 (1)C (2)(1,-4)或 ,
将其代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4,则A(4,0),又P(0,1), 所以由两点式可得直线l的方程为x+4y-4=0.
栏目索引
命题角度二
点关于线的对称
典例4 求点A(-1,-2)关于直线l:2x-3y+1=0的对称点A'的坐标.
y2 2 1, x 1 3 解析设A'(x,y),则由已知得 2 x 1 3 y 2 1 0, 2 2 33 x , 13 33 4 解得 ∴A' , . 4 13 13 y . 13
.
1 2
栏目索引
2 5.已知坐标平面内两点A(x, 2 -x)和B ,0 ,那么这两点之间距离的最 2
小值是答案解析
1 2
.
2 2 由题意可得两点间的距离d= x ( 2 x) = 2
2
3 2 1 ≥ 1 ,即最小值为 1. 2 x 4 2 4 2
栏目索引
命题角度四
线关于线的对称
典例6 求直线m:3x-2y-6=0关于直线l:2x-3y+1=0的对称直线m'的方程. 解析在直线m上任取一点,如点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点
M'必在直线m'上. 设点M的对称点M'的坐标为(a,b),则
6 b0 a2 a , 2 3 1 0, 2 2 解得 13 b 0 2 b 30 , 1, a 2 3 13 6 30 故点M'的坐标为 , . 13 13
2 1 2
(y 2 y1 ) 2
d=⑤ A B
2 2
| Ax 0 By0 C |
2
B d=⑥ A
| C1 C2 |
2
栏目索引
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 0
| kx b | 1 k
2
. (×)
17 C.8 D.2 5 6 m 14 ∵ = ≠ ,∴m=8,直线6x+my+14=0可化为3x+4y+7=0,两 3 3 4 | 3 7 |
3 4
2
A. 答案 D
17 10
平行线之间的距离d= 2
=2.
栏目索引
2-2 已知P点坐标为(2,-1).
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. (√) (3)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于- ,且线段AB的中点在直线l上. (√)
1 k
栏目索引
1.两条直线l1:2x+y-1=0和l2:x-2y+4=0的交点为 (
2 9 2 9 C. , 5 5
2
栏目索引
考点突破
考点一直线的交点典例1 (1)经过直线l1:x+y+1=0与直线l2:x-y+3=0的交点P,且与直线l3:2x-
y+2=0垂直的直线l的方程是
.
(2)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0,若它们不能围成三角形,则m的取值构成的集合是答案解析
栏目索引
易错警示 (1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|; (2)在运用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x,y的系数化为相等.
栏目索引
2-1 已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是
(
) B.
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,并求出最大距离; (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解析 (1)过P点的直线l与原点距离为2,又P点坐标为(2,-1),可见,过P(2,1)且垂直于x轴的直线满足条件, 此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
.
| 24 5 | 29 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即 = , 6 2 82
10
栏目索引
29 所以|PQ|的最小值为 . 10
(2)设点P的坐标为(a,b),∵A(4,-3),B(2,-1), ∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2), 而AB的斜率kAB=
3 1 =-1, 42
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0. ∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上, ∴a-b-5=0. ① 又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,
| 4a 3b 2 | ∴ =2, 5
栏目索引
即4a+3b-2=±10, ②
27 a , a 1, 7 由①②联立可得或 b 4 b 8 . 7 27 8 ∴点P的坐标为(1,-4)或 , . 7 7
若斜率存在,则设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
| 2k 1| =2, 则 k 2 1
栏目索引
ห้องสมุดไป่ตู้
解得k= . 此时l的方程为3x-4y-10=0. 综上,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. (2)由题意可知过P点且与原点距离最大的直线l是过P点且与PO(O为坐标原点)垂直的直线,由l⊥OP,得klkOP=-1, 所以kl=- =2. 由点斜式得直线l的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 所以2x-y-5=0是过P点且与原点距离最大的直线的方程,最大距离为 = 5 . (3)不存在.由(2)可知,过P点不存在与原点距离超过 5 的直线,因此不存在过P点且与原点距离为6的直线.
1 3
2 3
4 3
栏目索引
方法技巧 1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为点的坐标,即交点的坐标. 2.求过两直线交点的直线方程的方法 (1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)利用直线系方程求解.经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个直线系不包括直线A2x+B2y+C2=0).
栏目索引
文数
课标版
第二节直线的交点与距离公式
栏目索引
教材研读
1.两条直线的交点
栏目索引
2.三种距离
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 |P1P2|=④
(x x )
1, ∵l3⊥l,∴k=- 2 1 (x+2),即x+2y=0. ∴直线l的方程为y-1=- 2
栏目索引
解法二:因为直线l过直线l1和l2的交点, 所以可设直线l的方程为x+y+1+λ(x-y+3)=0, 即(1+λ)x+(1-λ)y+1+3λ=0. 因为l与l3垂直, 所以2(1+λ)-(1-λ)=0,所以λ=- , 所以直线l的方程为 x+ y=0,即x+2y=0.

2018课标版文数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)2-第二节 直线的交点与距离公式

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系夯基提能作业本

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)9 第九节 直线与圆锥曲线的位置关系

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)1 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2018届高考新课标数学文大一轮复习检测：第九章 平面解析几何 9-1 含答案 精品

2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第九章 平面解析几何 9-1 直线与方程 含答案 精品