导 数
导数
导数编辑导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
当函数的自变量在一点上产生一个增量时，函数输出值的增量与自变量增量的比值在趋于0时的极限如果存在，即为在处的导数，记作、或。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数是函数的局部性质。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，那么函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
对于可导的函数，也是一个函数，称作的导函数。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
目录1历史沿革起源发展成熟2定义第一定义第二定义导函数几何意义3常用公式口诀推导证明1历史沿革起源大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。
在作切线时，他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。
发展17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。
牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。
导数(非常典型非常全)
知识要点1. 导数的定义：一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.2. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((00'0x x x f y y -=-导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
导数的几何意义：导数就是切线斜率。
3.基本初等函数的导数公式：0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= )0(ln )('>=a a a a x x x x e e =')()1,0(ln 1)(log '≠>=a a ax x a x x 1)(ln '=4.导数运算法则：[])()()()('''x g x f x g x f ±=±[])()()()()()('''x g x f x g x f x g x f +=∙[])0)(()()()()()()()(2'''≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x g x g x f x g x f x g x f 注：)()(x g x f 、必须是可导函数.5.复合函数的求导法则：（整体代换）例如：已知2()3sin (2)3f x x π=+，求'()f x 。
5.导数
一、 导数的概念及运算1.导数的有关概念（1）导数的概念：一般地，函数()x f y =在0x x =处的瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，称为函数()x f y =在0x x =处的导数。
记作()0x f '或 0|x x y ='，即()()()x x f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆00000limlim . （2）导函数：如果函数()x f 在开区间()b a ,内每一点都可导，其导数值在()b a ,内构成一个新的函数，叫做()x f 在开区间()b a ,内的导函数。
记作()x f '或y '.（3）连续性：如果函数()x f 在点0x 处可导，那么函数()x f y =在点0x 处连续.2.导数的几何意义函数()x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点()00,y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-.3.几种常见函数的导数 原函数导函数()常数C y =0='y()*∈=Q n x y n()*-∈='Q n nx y n 1x y sin = x y cos =' x y cos =x y sin -='x e y =x e y ='x y ln =xy 1=' ()10≠>=a a a y x 且()10ln ≠>='a a a a y x 且()10log ≠>=a a y xa且 ()1,0ln 1≠>='a a ax y 且4.导数的运算法则 运算 法则加、减 ()()[]()()x v x u x v x u '±'='± 乘 ()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='除()()()()()()()[]()()02≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x v x u x v x u x v x u5.求函数的导数的方法 ⑴在那个原则：先化简解析式，再求导。
导数
2．函数f(x)的导函数 fx＋Δx－fx liΔm x→0 Δx 称函数f ′(x)＝_______________________ 为f(x)的导函数．
二、导数的运算 1．基本初等函数的导数公式
2.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝ (2)[f(x)·g(x)]′＝
fx f ′＝ (3) gx
解得 b＝0，a＝－3 或 1.
(2)∵曲线 y＝f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线， ∴关于 x 的方程 f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有两个不相等 的实数根， ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即 4a2＋4a＋1>0， 1 ∴a≠－2.
答案：B
4．若函数f(x)＝2x＋ln x且f′(a)＝0，则2aln 2a＝( A ．1 C．－ln 2
x
)
B．－1 D．ln 2
1 1 1 a a 解析： f ′(x)＝2 ln 2＋x， 由 f′(a)＝2 ln 2＋a＝0， 得 2 ln 2＝－a， 则 a· 2a· ln 2＝－1，即 2aln 2a＝－1.
再求解．
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，
b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解析：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
f0＝b＝0， (1)由题意得 f ′0＝－aa＋2＝－3，
第十节
最新考纲展示
导数的概念及其运算
2.理解导数的几何意义． 3.能根
1．了解导数概念的实际背景．
1 据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝ x 的导数． 4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算
导数的概念,计算,几何意义
导数的概念，计算，几何意义（一）知识点 1.平均变化率：函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-21y y y ∆=-则，平均变化率可表示为 。
2．导数的概念：函数()y f x =的导数'()f x ，就是当0x ∆→时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比yx∆∆（平均变化率） 的 ， 即'()f x ＝ ＝ ． 3．导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 内 的导数都存在，就说()f x 在区间(,)a b 内 .其导数也是(,)a b 内的函数，叫做()f x 的 ，记作'()f x 或'x y ， 函数()f x 的导函数'()f x 在0x x =时的导函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.4．导数的几何意义：设函数()y f x =在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 。
相应的切线方程为 （点斜式） 。
5．求导数的方法： (1) 八个基本求导公式()c 为常数'c ＝ ； ()'n x ＝ ； (sin )'x ＝ ， (cos )'x ＝ ()'x a ＝ ， ()'x e ＝(log )'a x ＝ ， (ln )'x ＝(2) 导数的四则运算(()())f x g x '±＝ [()]Cf x '＝ (()())f x g x '＝ ， ()()()f xg x '＝ 推论：()c 为常数[()]'cf x = ；21'()[]'()()f x f x f x =-； ()''''fgh f gh fgh fgh =++(3) 复合函数的导数设()u x θ=在点x 处可导，()y f u =在点()u x θ=处可导，则复合函数[()]f x θ在点x 处可导， 且'()f x ＝ ，即'''x u x y y u =. 典型例题：例1．（变化率）求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1.1.设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆（ ）A ．0'()f x B.0'()f x - C.0()f x D.0()f x -2.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()limh f x h f x h h→+--=A.0'()f xB. 02'()f xC. 02'()f x -D.0例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 5x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521x x x xx x x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：（1）求y=tanx 的导数.解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=（2）求下列各函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+利用导数求切线方程 例3：如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程． 分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线()y f x =在给定点00(,())P x f x 处的切线的斜率0()k f x '=，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
导数公式大全
（4）lg cos(3 2x2 )
解: (1) y ' 6x(-1 x2 )2
(2) y ' -3x ln 3sin 3x
(3) y ' 2x - 3 2 x2 - 3x 2
(4)
y
'
[cos(3 2x2 )]' cos(3 2x2 )
- sin(3 2x2 ) cos(3 2x2 )
z x
y
y
z x
2z
x y
f xy ( x, y)
zxy;
z y
x
x
z y
2z y x
f yx ( x, y)
zyx ;
z y
(tan x) = sec2x .
(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数的导数公式：
1
(arcsin x)
,
1- x2
(arccos x) - 1 , 1- x2
求 z f (x, y) 对自变量 x (或 y)的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和
四则运算法则进行计算.
例1 设函数 f (x, y) x3 - 2x2 y 3y4,
求
f
x
(
x,
y),
f
y
(
x,
高中数学导数的运算
VS
导数的几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$的几何意义，就是曲线$y = f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率 。
可导与连续的关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函数在该点必定连续 。
连续不一定可导
即使函数在某点连续，也不能保证该点可导。例 如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
的变化率。
03
极坐标下的导数计算
为了计算极坐标下的导数，需要先将极坐标方程转化为直角坐标方程，
然后应用直角坐标下的导数计算方法进行求导。在转化过程中，需要注
意极坐标与直角坐标之间的转换公式。
05
微分及其应用
微分的定义及性质
微分的定义
微分是函数在某一点处的局部变化率，即函数在该点处的切线斜率。对于函数$f(x)$，其在点 $x_0$处的微分记作$df(x_0)$或$f'(x_0)dx$，表示函数在$x_0$处的微小变化量。
微分在其他领域的应用举例
除了经济学外，微分还广泛应用于工程学、物理学、化学等领域。例如，在工程学中，利用微分可以 分析结构的稳定性、振动等问题；在物理学中，利用微分可以描述物体的运动状态、受力情况等；在 化学中，利用微分可以研究化学反应的速率、平衡等问题。
导数在实际问题中的应用举
06
例
利用导数研究函数的单调性
微分的性质
微分具有线性性、可加性、乘法法则和链式法则等基本性质。这些性质在求解复合函数、隐函 数和参数方程的微分时非常有用。
微分在近似计算中的应用
微分在近似计算中的意义
在实际问题中，很多函数关系比较复杂，难以直接求解。此 时，我们可以利用微分进行近似计算，得到较为精确的结果 。
高等数学导数公式大全
推论 1 推论 2
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
1 u( x ) u( x ) - u2 ( x ) .
例3
解
x -1 设 y x 2 1 , 求 y .
根据除法公式，有
2 2 x - 1 ( x 1)( x - 1) - ( x 1)( x - 1) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )
( x 2 1)[(x ) - (1)] - [( x 2 ) (1)]( x - 1) ( x 2 1)2
2
解：两边分别对x求导，得 ( xy ) ' ( y ) ' 2
2
y x y ' 2 y y ' 2 ( x 2 y) y ' 2 - y 2- y y' x 2y
二元函数的偏导数的求法
求 z f ( x, y) 对自变量 x (或 y )的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数, 直接利用一元函数求导公式和 四则运算法则进行计算. 例1 设函数 f ( x, y) x3 - 2x2 y 3 y 4 , ( x, y ), f ( x, y ), f (1,1), f (1, -1), f 求 x y y x
[cos(3 2 x 2 )]' - sin(3 2 x 2 ) 2 2 (4) y ' (3 2 x ) ' 4 x tan(3 2 x ) 2 2 cos(3 2 x ) cos(3 2 x )
导数定义公式
导数定义公式
导数定义式，就是由导数的定义中，用于求导数的最原始的公式：
f'(x0)=lim(x->x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]。
设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限lim(x->x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)]存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'(x0)。
若该极限不存在，则称f在点x0处不可导。
导数
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f
（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。
这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数
值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
导数概念
导数的概念起源于几何中切线问题及力学中的速度问题，
现在就从这两个问题说起.
y y f (x)
1、切线问题
从解析几何中知道，曲线 在其上一点P的切线，是割线 PQ，当Q沿曲线无限地接近于 点P时的极限位置。
P(x0, y0)
o x0
切线T
x
这种无限地接近于某点时的极限位
置，数学上用取极限表示，即 lim x x0
f
(x)
四、应用举例
例1、求f (x) x2 的导数.
分析：f '(x)
lim y lim
x Δx0
Δx0
f (x x) x
f (x)
解： Δy f (x Δx) f (x) (x Δx)2 x2
x2 2x Δx Δx2 x2
为此，可取一邻近于t0时刻t,并求出落
体由t0到t一段时间内的平均速度
v
s s0 t t0
1 2
gt2 1 2
t t0
gt02
g 2
(t
t0)
此平均速度近似地反映了落体在时
刻t0的快慢速度。
若t越接近t0则反映越准确。
s0
1 2
gt02
s 1 gt2 2
∴s0的瞬间速度为
Δx0 x(x Δx)x
lim
Δx0
1 x(x Δx)
1 x2
f
'(2)
1 22
1 4
f (x) f (x0 ) y
x x0
x
lim y
x x0 x
常见导函数
常见导函数导函数，也称导数，是微积分学中的概念，它是一种描述函数变化率的工具。
在现代数学中，导函数有着非常广泛的应用，它不仅可以用于求解函数的最大值、最小值、单调性等问题，还可以用于解决微积分、概率论、物理学等领域的问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的导函数，并讲解它们的应用。
常数函数的导函数常数函数是导函数的最简单例子，它的导数为零。
也就是说，如果$f(x)=c$，其中$c$是常数，那么$f'(x)=0$。
这是因为常数函数的图像是一条横线，它的斜率为零，所以它的导数也为零。
一次函数的导函数一次函数是指形如$f(x)=ax+b$的函数，其中$a$和$b$都是常数。
一次函数的导函数为它的斜率，即$f'(x)=a$。
这是因为一次函数的图像是一条直线，它的斜率就是函数的导数。
二次函数的导函数二次函数是指形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$和$c$都是常数。
二次函数的导函数为$f'(x)=2ax+b$。
这是因为二次函数的图像是一个抛物线，它每个点的斜率都可以用导数表示。
指数和对数函数的导函数指数和对数函数也是常见的函数类型，在微积分中，这两种函数有着重要的应用。
指数函数$y=a^x$的导函数为$f'(x)=\ln a\cdot a^x$，其中$\ln$表示自然对数。
对数函数$y=\log_a x$的导函数为$f'(x)=1/(x\ln a)$。
这两个函数的导数与它们的底数相关，因此它们也被称为底数为$a$的指数函数和对数函数。
三角函数的导函数三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在微积分中也有着很重要的应用。
正弦函数的导数为$f'(x)=\cos x$，余弦函数的导数为$f'(x)=-\sin x$，正切函数的导数为$f'(x)=\sec^2 x$。
这些函数的导数具有周期性和周期性的性质。
其他常见函数的导函数除了上述函数类型外，还有许多其他常见的函数类型，它们的导函数也有着特殊的性质。
导数的基本概念及性质应用
导数的基本概念及性质应用、能运用导数求解单调区间及极值、新授课:知识点总结:导数的基本概念与运算公式1、导数的概念考点: 1、掌握导数的基本概念及运算公式, 并能灵活应用公式求解能力: 方法: 、理解并掌握极值及单调性的实质, 数形结合 讲练结合并能灵活应用其性质解题。
函数y =f （x ）的导数f （X ），就是当AX 0时，函数的增量Ay 与自变量的增量A X 的比啓 的极限，即y X △-Af(x A x)-f(x)A X说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 2、导函数函数y = f （X ）在区间（a, b ）内每一点的导数都存在，就说在区 f （X ）间（a, b ）内可导，其导数也是（a ,b ）内的函数，叫做f （X ）的导函数，记作f （X ）或y X ,函数f （X ）的导函数f （X ）在X X o 时的函数值f （x 0），就是 f （X ）在X 0处的导数。
3、导数的几何意义设函数y = f （X ）在点X o 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 M （X 0 , y o ）处的切线斜率。
4、求导数的方法c 0 m(X ) m 1 .mx (m(sin X) cosx(cosx)sin X.X .X(e ) e z X.(a ) X .aIna (In x) X (log ：)1 xIn aQ)（1）基本求导公(2)导数的四则运算G)(3)复合函数的导数设U g(x)在点X 处可导，y =在点f(X)处可导，则复合函数 f[g(x)]在点X 处可导,f x ((X)) f (U)(X)导数性质:1、函数的单调性⑴设函数y = f(x)在某个区间内可导，若 f(X)>0,则f(x)为增函数；若f(X)< 0则为减函数。
⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。
① 确定函数f(x)的定义区间② 求f(X)，令f (X) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。
常见导数公式
常见导数公式：① C'=0（C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) （n∈Q*）；③ （sinx)' = cosx；（cosx）' = — sinx；(tanx)’=1/（cosx）^2=(secx)^2=1+（tanx）^2-（cotx)'=1/（sinx)^2=（cscx）^2=1+（cotx）^2(secx）’=tanx·secx（cscx)'=—cotx·cscx④ (sinhx)'=hcoshx（coshx)’=-hsinhx（tanhx）’=1/（coshx)^2=(sechx）^2(coth)'=—1/（sinhx）^2=-(cschx)^2(sechx)'=—tanhx·sechx(cschx)’=-cothx·cschx⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）（logax)’ =（xlna)^（—1），(a〉0且a不等于1）（x^1/2）’=［2（x^1/2）]^(—1）（1/x)'=—x^（-2）另外就是复合函数的求导：①（u±v)’=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v)'=(u'v—uv')/ v^2后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解,(arcsinx）’=1/(1—x^2）^1/2（arccosx）’=—1/（1—x^2）^1/2(arctanx）'=1/（1+x^2)（arccotx）'=-1/（1+x^2）(arcsecx)'=1/（|x｜(x^2—1)^1/2)（arccscx)'=—1/（|x|(x^2—1)^1/2）（arsinhx）’=1/(x^2+1）^1/2(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2—1） (|x｜〈1)(arcothx）'=1/（x^2—1） (|x|>1)（arsechx)'=1/（x(1-x^2）^1/2）(arcschx）'=1/（x（1+x^2)^1/2）1、x→0,sin(x）／x →12、x→0，（1 + x）^（1／x）→ex→∞ ，(1 + 1／x）^（1/x）→ 1（其中e≈2.7182818。
5.2导数的运算 (解析版)
5.2导数的运算知识点一.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)知识点二.导数的运算法则（1）［f （x ）±g （x ）］′＝f′（x ）±g′（x ）；（2）［f （x ）·g （x ）］′＝f′（x ）g （x ）＋f （x ）g′（x）；知识点三.复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法链接【常用结论】（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．（2）函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．函数导函数函数导函数y ＝c(c 是常数)y′＝0y ＝sin x y′＝cos_x y ＝x α(α为实数)y′＝αx α－1y ＝cos x y′＝－sin_xy ＝a x (a>0，a≠1)y′＝a x lna 特别地(e x )′＝e xy ＝log a x(a>0，a≠1)y′＝1xln a 特别地(ln x)′＝1x【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与Inx”，“a x’与log a x”，“sinx与cosx”的导数区别.【例题1】（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.(1)y=x12；(2)y=1x4；(3)y=3x；(4)y=ln x；(5)y=cos x.【答案】(1)y′=12x11(2)y′=−4x5(3)y′=3x ln3(4)y′=1x(5)y′=−sin x【分析】根据函数求导公式即可得出答案.【详解】（1）y′=x12′=12x11（2）y′=1x4=x−4′=−4x−5=−4x5（3）y′=3x=3x ln3（4）y′=ln x′=1x（5）y′=cos x′=−sin x【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)y=1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【答案】(1)y'=12x11(2)y'=−4x5(3)y'=35x−25(4)y'=3x ln3(5)y '=1x ln5【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.(1)y '=(x 12)'=12x 11(2)y '=(1x 4)'=(x −4)'=−4x −5=−4x 5；(3)y '=(5x 3)'==35x −25；(4)y '=(3x )'=3x ln3；(5)y '=(log 5x )'=1x l n 5【变式1-1】2.求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈（4）2()3ln f x x x x=-+-（5）sin y x =（6）11x y x +=-【答案】（1）2()68f x x x=-+（2）2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.(1)y =x 3−2x +3；(2)y =ln xx.【答案】(1)y ′=3x 2−2(2)y ′=1−ln xx 2【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可.【详解】（1）y =x 3−2x +3，则y ′=3x 2−2.（2）y =ln xx，y ′=1x⋅x −ln x x 2=1−ln xx 2.【变式1-1】4.求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x=++，1x =；（2）2cos 1sin x x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y xx -'=-++，12x y ='=（2）21sin x y x++'=，21ln2x y π==+'【变式1-1】5.给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由求导公式知②③④正确．题型2复合函数求导【例题2】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数f x =3x1.6−2x −1的导函数为（）A ．f ′x =4.8×3x 0.6−2B ．f ′x =1.6×3x 0.6−2C ．f ′x =4.8×3x 0.6−3D ．f ′x =1.6×3x0.6−3【答案】A【分析】由复合函数求导法则进行求解.【详解】f ′x =1.6×3×3x 1.6−1−2=4.8×3x0.6−2．故选：A【变式2-1】1．（全国·高考真题（理））设y =x ln 1+x 2，求y ′．【答案】y ′=ln(1+x 2)+2x 21+x 2【分析】根据导数的运算法则和复合函数的求导原则直接计算能够求出y ′.【详解】函数y =ln 1+x 2可以看作函数y =ln u 和u =1+x 2的复合函数，根据复合函数求导法则有y x′=y u′⋅u x′=ln u′⋅1+x 2′=1u⋅2x =2x1+x 2，ln 1+x 2′=2x1+x 2，函数y =x ln 1+x 2，则有y ′=x ′⋅ln 1+x 2+x ⋅ln 1+x 2′=ln 1+x 2+2x 21+x 2.【变式2-1】2．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．（1）y =e x cos x +x −t 2（t 为常数）；（2）y =ln(2x +5)3+ln xx.【答案】（1）y ′=e x (cos x −sin x )+2）y ′=62x +5+1−ln xx 2【分析】（1;（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数【详解】（1）由y =e x cos x +x −t 2可得y ′=e x cos x −e x sin x =e x cos x −sin x +（2）由y =ln(2x +5)3ln xx=3ln(2x +5)+ln xx 可得y ′=3×22x +5+1x ⋅x −ln x x 2=62x +5+1−ln x x 2【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数y =e −2x sin 5x +【答案】y ′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【分析】根据导数的运算法则计算．【详解】y ′=(e −2x )′sin(5x +π4)+e −2x [sin(5x +π4)]′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数(1)y =2x 4−x 2−x +3；(2)y =x 3−1sin x ；(3)y =cos 2x +3−log 2x ；(4)y =x ⋅e 3x +ln x 2+x .【答案】(1)y ′3−1(2)y ′(3)y ′=−2sin 2x +3−1xln2(4)y ′=3x +1e 3x+2x +1x 2+x【分析】（1）（2）利用导数运算法则可求得原函数的导数；（3）（4）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数.（1）解：y ′=8x 3−2x −1.（2）解：y ′（3）解：y ′=cos 2x +3′−1x ln2=−2sin 2x +3−1x ln2.（4）解：y ′=x ′e 3x +x ⋅e 3x′+ln x 2+x′=3x +1e 3x +2x +1x 2+x .题型3求导数的值【例题3-1】（2022·江苏·连云港市赣马高级中学）已知f ′x 是函数f x =x cos x 的导函数，则f '=（）A．−π2B．π2C．−1D．1【答案】A【分析】根据函数求导法则，求出导函数，代入可得答案.【详解】由题意f′x=cos x−x⋅sin x，∴f'=0+π2⋅−1=−π2．故选：A.【变式3-1】1．（2022·上海市行知中学高二期末）已知f(x)=6x sin x，则f′=________.【答案】6【分析】利用求导公式求导，从而可得出答案.【详解】解：f′(x)=6sin x+6x cos x，则f′=6.故答案为：6.【变式3-1】2．（2021·宁夏·海原县第一中学）设函数f(x)=x2，f′(x0)=2，则x0=（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.【详解】∵f′x=2x，∴f′x0=2x0=2，解得x0=1.故选：B.【变式3-1】3．（2022·江苏连云港·高二期末）已知f(x)=ln x x，若f′(x0)=1−ln24，则x0=（）A．12B．2C．1e D．e【答案】B【分析】由f(x)，求出f′(x)，代入f′(x0)求值.【详解】由f(x)=ln x x，有f′(x)==1−ln x x2．=1−ln24，解得x0=2．∴f′(x0)=1−ln x0x02故选：B．【变式3-1】4．（2022·上海·格致中学高三期中）设f x=2x，则方程f′x=ln4的解集为______.【答案】{x|x=1}或{1}【分析】解方程2x ln2=ln4即得解.【详解】解：由题得2x ln2=ln4,∴2x ln2=2ln2,∴2x=2,∴x=1.所以方程的解集为{x|x=1}.故答案为：{x|x=1}【变式3-1】5．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（文））设函数f(x)=e x x+a.若f'(1)=e4，则a＝________．【答案】1【分析】求导，得到f′x=f′1=e4列方程，解方程即可得到a.【详解】f′x=f1=e4，解得a=1.故答案为：1.【例题3-2】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数f x的导函数为f′x，且满足f x=2f′1ln x+2x，则f e=（）A．0B．−1C．−2D．−4+2e【答案】D【分析】对f x求导，得到f′x=+2，令x=1，得到f′1=−2，即可得到f x=−4ln x+ 2x，然后求f e即可.【详解】由f x=2f′1ln x+2x，得f′x=+2，令x=1，则f′1=+2，解得f′1=−2，所以f x=−4ln x+2x，f e=−4+2e.故选：D.【变式3-2】1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x+ f′0cos x−1，则f0=（）A．−1B．0C．1D．2【答案】C【分析】求得f'(x)，通过赋值求得f'(0)，再求f(0)即可.【详解】因为f x=sin2x+f′0cos x−1，故可得f'(x)=2cos2x−f'(0)sin x，令x=0，则f'(0)=2，故f x=sin2x+2cos x−1，则f0=1.故选：C.【变式3-2】2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数f x的导函数为f′x，且溥足f(x)=3xf′(2)−2ln x，则f1＝______．【答案】32##1.5【分析】首先对函数求导，将x=2代入导函数中，求解f′2的导函数值，进而求得f x= 3x−2ln x，最后代入x=1求解f1即可.2【详解】由题意得，f′(x)=3f′(2)−2x，∴f′(2)=3f′(2)−1，解得f′(2)=12，∴f(x)=32x−2ln x，∴f(1)=32．故答案为：32【变式3-2】3．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数f x的导数为f′x，且满足f x= e x−2f′0sin x+1，则f=__________.【答案】eπ2+13【分析】求导，令x=0可求得f′(0)，然后可得.【详解】因为f′x=e x−2f′0cos x所以f′0=e0−2f′0cos0，解得f′0=13所以f=eπ2−23sinπ2+1=eπ2+13.故答案为：eπ2+13【变式3-2】4．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x−f'⋅cos x，则f'=__________.【分析】对原函数求导得f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，得到方程，解出即可.【详解】f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，则f'2cosπ3+f'⋅sinπ6，即f'=1+12f'=2.【变式3-2】5．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若f x=3x2+2x⋅f′1，则f′0=__________.【答案】−12【详解】计算可得f x=3x2+2x⋅f′1，可得f′1=−6，即可得f′x=6x−12，将x=0代入计算可得答案.【解答】解：根据题意，f x=3x2+2x⋅f′1，则f′x=6x+2f′1，可得f′1=6+2f′1，解得f′1=−6，则f′x=6x−12，则f′0=−12，故答案为：−12.【例题4-1】（2022·河南·上蔡县衡水实验中学）函数x x12,0的切线方程为（）A．y=2x−4B．y=2x+1C．y=2x−3D．y=2x−1【答案】A【分析】求出函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率，即可写出切线方程.【详解】对函数f x=x ln x−1求导，得f′x=ln x−1+x x−1，所以f′2=ln1+21=2，即函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率为2，所以函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线方程为y=2x−2，即y=2x−4.故选：A【变式4-1】1．（2022·四川泸州·高二期末（理））曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为（）A．−2πB．2πC．−4π2D．1π【答案】B【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解.【详解】因为y=sin(2x)x，所以y′=2x cos(2x)−sin(2x)x2，y′|x=π=2πcos(2π)−sin(2π)π2=2π，所以曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为2π.故A，C，D错误.故选：B.【变式4-1】2．（2022·湖南·长沙外国语学校高三阶段练习）已知曲线y=ax b在点−1,a 处的切线方程为8x−y+6=0，则（）A．a=2，b=4B．a=−2，b=4C．a=−2，b=1D．a=8，b=−1【答案】B【分析】将点−1,a代入切线方程，求出a=−2，再求导，利用导数的几何意义得到b=4.【详解】将−1,a代入8x−y+6=0，得a=−2，易知直线8x−y+6=0的斜率为8．因为y′=abx b−1，所以−2b⋅−1b−1=8，所以b=4．故选：B．【变式4-1】3．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线y=2x+a e x在点0,a 处的切线方程为y=x+b,则a+b=（）A．2B．e C．3D．2e【答案】A【分析】根据导数的几何意义,求出导函数y′=−2x+2−ae x,令x=0结合切线的斜率求出a,再将点坐标代入切线方程求出b即可得到结果.【详解】根据导数的运算公式y′==−2x+2−ae x,当x=0时,y′=2−a,∴2−a=1,即a=1.∵0,1满足方程y=x+b,即b=1,∴a+b=2.故选:A.【变式4-1】4．（2022·广东·高三阶段练习）函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线与直线a−2x+y−2=0垂直，则实数a的值为（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.【详解】函数f x=x ln x+2，求导得：f′x=ln x+2+x x+2，则f′−1=−1，即函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线斜率为−1，因为切线与直线a−2x+y−2=0垂直，有2−a×−1=−1．所以a=1.故选：C【变式4-1】5．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为（）A．3x−y−6=0B．3x+y−6=0C．x−y−2=0D．x+y−2=0【答案】B【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】令f(x)=4x−x22=0，则x3=8,∴x=2，即f(x)=4x−x22的零点为x=2，又f′(x)=−4x2−x,∴f′(2)=−3，而f(2)=0，故函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为y−0=−3(x−2)，即3x+y−6=0，故选：B.【变式4-1】6．（2022·陕西渭南·一模（理））已知曲线y=12x2−ln2x在某点处的切线的斜率为−32，则该切线的方程为______.【答案】12x+8y−7=0【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.【详解】设切点坐标为(x0,y0)（x0>0），由y=12x2−ln2x，得y′=x−1x（x>0），因为曲线y=12x2−ln2x在(x0,y0)处的切线的斜率为−32，所以x 0−1x 0=−32，解得x 0=−2（舍去），或x 0=12，所以y 0=12×−ln 2=18，所以切线方程为y −18=−12x +8y −7=0，故答案为：12x +8y −7【变式4-1】7．（2022·江苏扬州·高三期中）已知直线y =kx 是曲线y =log 2x 的切线，则实数k =________．【答案】1eln2【分析】设切点坐标x 0,log 2x 0，对函数求导，代入切点横坐标得切线的斜率，又因为直线过原点，由切点和坐标原点可以表示斜率，解方程得k 的值.【详解】设切点坐标x 0,log 2x 0，y ′=1x ln2，则切线斜率k =1x 0ln2，因为直线y =kx 过原点，则切线斜率k =log 2x 0x 0，所以log 2x 0x 0=1x0ln2，解得x 0=e ，k =1eln2.故答案为：1eln2.【变式4-1】8．（2022·全国·高二课时练习）曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．【答案】x −y −1=0或x −y +3=0．【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l 的方程x −y +m =0（m ≠1），利用点到直线距离公式列出方程，求出m 的值，得到直线l 的方程.【详解】∵y =e sin x ，∴y ′=e sin x cos x ，∴曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线的斜率为e sin0⋅cos0=1，其方程为y −1=x ，即x −y +1=0．又∵直线l 与x −y +1=0平行，∴直线l 的方程可设为x −y +m =0（m ≠1）．=2得：m =−1或m =3．∴直线l 的方程为x −y −1=0或x −y +3=0．【例题4-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()=−2+ln，过点(0,−2)作曲线=()的切线l，则l的方程为___________.【答案】x−e y−2e=0【分析】根据导数的几何意义设切点坐标(t,−2+ln t)(t>0)，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点P(0,−2)，解出t，即可求得切线方程.【详解】解：由题意可设切点坐标为(t,−2+ln t)(t>0)，因为f(x)=−2+ln x，所以f′(x)=1x，所以切线l的斜率k=1t，−t，又点P(0,−2)在切线上，所以−2+2−ln t=−t则l的方程为y+2−ln t=解得t=e，所以切线方程为：y+1=故答案为：x−e y−2e=0.【变式4-2】1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）求与曲线y=f(x)=3x2在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.【答案】3x+y-20=0【分析】先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.【详解】因为y=3x2，所以y′=(3x2)′=(x23)′=23x−13，所以f′(8)=23×8−13=13，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为13.所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.【变式4-2】2．（2022·山西临汾·高三期中）已知函数f(x)=x3+f′(1)x2−2x，其中f′x 是f x的导函数.(1)求f′1；(2)求曲线y=f x过原点的切线方程.【答案】(1)f'1=−1(2)y=−2x或y=−94x【分析】（1）求出函数的导函数，再令x=1，计算可得；（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点t,t3−t2−2t，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出t的值，再代入求出切线方程.【详解】（1）解：因为f(x)=x3+f′(1)x2−2x，所以f′x=3x2+2f′1x−2，令x=1，得f′1=2f′1+1，∴f'1=−1.（2）解：由（1）可得f(x)=x3−x2−2x，所以f′(x)=3x2−2x−2，设切点t,t3−t2−2t，则f′t=3t2−2t−2，所以切线方程为y−t3−t2−2t=3t2−2t−2(x−t)，由题−t 3−t 2−2t =3t 2−2t −2(−t )，整理得t 2(2t −1)=0，解得t =0或t =12.当t =0时，切线方程为y =−2x ；当t =12时，切线方程为y =−94x .综上，曲线y =f x 过原点的切线方程为y =−2x 或y =−94x .【变式4-2】3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x－y－4＝0；（2）x－y－4＝0或y＋2＝0．【分析】（1）求导f′(x)＝3x2－8x＋5，进而得到f′（2）,f（2），写出切线方程；（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，根据过点A(2，－2，)写出切线方程，再将切点坐标代入求解.【详解】（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．【变式4-2】4.（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过a ,b 可做y =x +1x (x >0)的两条切线，则（）A．a <b <a +1a B．a >b C．b <0D．b >a +1a 【答案】A【分析】设切点为x 0,x 0+,x 0>0，利用导数的几何意义可得切线方程为：y −x 0+=1x −x 0，把点(a ,b )代入可得：(b −a )x 02−2x 0+a =0，则此方程有大于0的两个实数根，列出不等式组，求解即可得出结论．【详解】设切点为x 0,x 0+,x 0>0,y ′=1−1x 2，切线的斜率k =1−1x 02，则切线方程为：y −x 0+=1−x −x 0，把点(a ,b )代入可得b −x 0+=1a −x 0，化为：(b −a )x 02−2x 0+a =00的两个实数根．则b −a ≠0Δ=4−4b −a a >02b −a >0a b −a >0，即b >aa >0b −a a <1，则a <b <a +1a ，故选：A．【变式4-2】5．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高三期中）已知f (x )=2x 3+(a −2)x 2−3x 是奇函数，则过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是（）A．1B．2C．3D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数f (x )的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数f (x )是奇函数，则由f (−x )+f (x )=0得2(a −2)x 2=0恒成立，则a =2，即有f (x )=2x 3−3x ，f ′(x )=6x 2−3，设过点P (−1,2)向曲线y =f (x )所作切线与曲线y =f (x )相切的切点为Q (x 0,2x 03−3x 0)，而点P (−1,2)不在曲线y =f (x )上，则6x 02−3=2x 03−3x 0−2x 0+1，整理得4x 03+6x 02−1=0，即(2x 0+1)(2x 02+2x 0−1)=0，解得x 0=−12或x 0=−1±32，即符合条件的切点有3个，所以过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是3.故选：C【变式4-2】6．（2020·全国·高二课时练习）已知函数f (x )=13x 3−x 2+3ax (a ∈R ).（1）若f (x )在x =−1时有极值，求a 的值；（2）在直线x =1上是否存在点P，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）−1；（2）不存在；答案见解析.【解析】（1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可；（2）设点P 坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可.【详解】解析（1）由f (x )=13x 3−x 2+3ax ，得f ′(x )=x 2−2x +3a ，由f (x )在x =−1时有极值，可得f ′(−1)=1+2+3a =0，解得a =−1.f ′(x )=x 2−2x −3=(x −3)(x +1)，当x <−1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当−1<x <3时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因此当a =−1时，f (x )有极值.所以a 的值为−1.（2）不妨设在直线x =1上存在一点P (1,b )，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.设过点P 且与y =f (x )相切的直线为l，切点坐标为x 0,y 0，则切线l 的方程为y −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a x −x 0，又直线l 过点P (1,b )，所以b −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a 1−x 0，即23x 03−2x 02+2x 0−3a +b =0，设g (x )=23x 3−2x 2+2x −3a +b ，则g ′(x )=2x 2−4x +2=2(x −1)2≥0，所以g (x )在区间(−∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=0至多有一个解，即过点P 且与y =f (x )相切的直线至多有一条，故在直线x =1上不存在点P，使得过P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.题型5公切线问题【例题5】（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线l ：x +my +n =0既是曲线y =ln x 的切线，又是曲线y =e x −2的切线，则m +n =（）A．0B．−2C．0或eD．−2或−e【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为x +my +n =0，通过等量关系可得到m ,n 的取值.【详解】f (x )=ln x ,g (x )=e x −2,∴f '(x )=1x ,g '(x )=e x −2，设切点分别为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则曲线f (x )=ln x 的切线方程为：y −ln x 1=1x 1(x −x 1)，化简得，∴y =ln x 1+1x 1(x −x 1)=1x 1⋅x +ln x 1−1，曲线g (x )=e x −2的切线方程为：y −e x 2−2=e x 2−2(x −x 2)，化简得，y =e x 2−2⋅x +(1−x 2)ex 2−2，∴e x 2−2=1x 1(1−x 2)e x 2−2=ln x 1−1，故(1x 1−1)(ln x 1−1)=0，解得x 1=e 或x 1=1.当x 1=e，切线方程为x −e y =0，故m =−e,n =0,故m +n =−e .当x 1=1，切线方程为y =x −1，故m =n =−1，则m +n =−2.故m +n 的取值为−e 或−2.故选：D【变式5-1】1．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知曲线y =x 2−ln x 在点1，1处的切线与曲线y =ax 2+a +2x +1也相切.则a =______．【答案】1【分析】由导数的几何意义求解，【详解】令f (x )=x 2−ln x ，g (x )=ax 2+a +2x +1，则f ′(x )=2x −1x ，f ′(1)=1，f (1)=1，则f (x )点1，1处的切线方程为y =x 令ax 2+a +2x +1=x ，ax 2+a +1x +1=0，由题意得Δ=(a +1)2−4a =0，解得a =1，故答案为：1【变式5-1】2．（2022·山东省青岛第一中学高三期中）若曲线C 1:f x =x 2+a 和曲线C 2:g x =4ln x −2x 存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.【答案】y =2x −4【分析】先分别求出f (x )和g (x )的导数，然后设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，根据题意有f ′(x 0)=g ′(x 0)，f (x 0)=g (x 0)，代入相应表达式列出方程组，解出x 0与a 的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．【详解】f x =x 2+a ，g x =4ln x −2x ，则有f ′(x )=2x ，g ′(x )=4x −2．设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)=2x 0，g ′(x 0)=4x 0−2，f (x 0)=x 02+a ，g (x 0)=4ln x 0−2x 0．根据题意，有2x 0=4x 0−2x 02+a =4ln x 0−2x 0x 0>0，解得x 0=1a =−3．∴公切线的切点坐标为(1,−2)，切线斜率为2．∴公切线的方程为y +2=2(x −1)，即y =2x −4．故答案为：y =2x −4【变式5-1】3.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f （1）)，则m 等于()A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2【答案】D 【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′（1）＝1.又f （1）＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.【变式5-1】4.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A.14 B.12C ．1D ．4【答案】A 【解析】由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121(4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．【变式5-1】5.若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．【解析】易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．（1）当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l的方程为y ＝2x .＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.（2）当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y ＝＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【变式5-1】6.已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′（1）＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′（1）＝－a .所以f ′（1）＝g ′（1），即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f （1）＝3(x －1)，又f （1）＝－1，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g （1）＝3(x －1)，又g （1）＝－6，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．题型6导数的运算技巧【例题6】若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′（1）＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′（1）＝2，∴f ′(－1)＝－2.【变式6-1】1.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2015(x )的值是()A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【答案】D 【解析】依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f 2015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.【变式6-1】2.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝________.【答案】－(1×2×3×…×2015)【解析】依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．。
导数的概念及其计算
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) . x
(2)导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义：函数 s＝s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0)，就是物体的运动方程为 s＝s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v＝s′(t0)．
x 0
探究提高 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)的导数的 一般方法是： (1)求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy f(x＋Δx)－f(x) (2)求平均变化率Δx＝ ； Δx Δy y （3）取极限，得导数 lim Δx.
x0
变式训练 1 过曲线 y＝ f (x)＝ x3 上两点 P(1,1)和 Q(1＋ Δ x,1＋Δ y)作曲线的割线， 求出当 Δ x＝ 0.1 时割线的 斜率，并求曲线在点 P 处切线的斜率．
2．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点， 切线斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的 直线可能有多条．
基础自测 1． 已知函数 f ( x) ＝13－8 x＋ 2 x ， 且 f ' ( x0 ) ＝
2
3 2 4，则 x0 的值为________.
解析
f ' ( x) ＝－8＋2 2x，
f ' ( x0 ) ＝－8＋2 2 x0 ＝4，∴ x0 ＝3 2.
(完整版)导数的概念、导数公式与应用
导数的观点及运算知识点一：函数的均匀变化率（ 1）观点：函数中，假如自变量在处有增量，那么函数值y 也相应的有增量△y=f(x 0+△ x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△ x 的均匀变化率，即。
若，，则均匀变化率可表示为，称为函数从到的均匀变化率。
注意：①事物的变化率是有关的两个量的“增量的比值” 。
如气球的均匀膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的均匀变化率表现函数的变化趋向，当取值越小，越能正确表现函数的变化状况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，能够是0。
函数的均匀变化率是0，其实不必定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（ 2）均匀变化率的几何意义函数的均匀变化率的几何意义是表示连结函数图像上两点割线的斜率。
如下图，函数的均匀变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：依据均匀变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的观点：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x 以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量能够是正数，也能够是负数；②导数的实质就是函数的均匀变化率在某点处的极限，即刹时变化率。
2．导函数：假如函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确立的导数，进而组成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一观点，是常数，是函数在处的函数值，反应函数在邻近的变化状况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点 P(x 0，y0) 及其邻近一点 Q(x0 +△ x,y 0+△ y) ，经过点 P、 Q作曲线的割线 PQ，其倾斜角为当点 Q(x0+△x,y 0+△y) 沿曲线无穷靠近于点P(x 0，y0) ，即△ x→0 时，割线 PQ的极限地点直线PT叫做曲线在点 P 处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△ x→0 时，割线 PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
数学导数知识点总结
数学导数知识点总结导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性靠近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
下面是我整理的数学导数学问点总结，仅供参考希望能够关怀到大家。
数学导数学问点总结导数1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数推断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,假如,那么为增函数;假如,那么为减函数;留意：假如已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，假如左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么函数在这个根处取得微小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅰ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系亲热：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时转变率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义学问点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a假如存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的转变率。
假如函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性靠近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是全部的函数都有导数，一个函数也不愿定在全部的点上都有导数。
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导 数
一、导数的定义
1）求函数值的改变量： 。
2）求平均变化率： 。
3）求瞬时变化率：0→∆x 时，
x
y ∆∆无限趋近于某个常数A ，把这个常数A 叫做函数)(x f y =在0x 处的导数，记作
练习．利用导数定义，求函数22x y =在2=x 处的导数.
二、导数的运算
1.常见函数的导数： C '= (C 为常数)；()n x '= ；(sin )x '= ；(cos )x '= ；(tan )x '= ()x a '= ；()x e '= ；(log )a x '= ；(ln )x '= .
2.导数的运算法则：
[()()]f x g x '±= ，[()]Cf x '= (其中C 为常数)；
[()()]f x g x '⋅= ，()[]()
f x
g x '= (()0g x ≠). 练习：已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= .
三、导数的意义
（1）导数的几何意义
函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的 .
即k 切＝ ，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 。
注:求过点P(m,n)切线方程的步骤：① ② ③ ④ ⑤
练习：（1）曲线y=2x 2－x 在x=1处的切线方程为：
(2)过点Ｐ（2，-2）作曲线33x x y -=的切线，则此切线的方程.
（3） 直线12
y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． (2)导数的物理意义:设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 _________；
设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 .
练习：某汽车启动阶段的路程函数为32
()25s t t t =-，求t =2秒时的汽车的加速度
四、导数的应用
（一）导数与函数的单调性的关系
㈠()⎩⎨⎧>定义域0,x f ⇒)(x f 为 函数； ()0f x '<⎧⎨⎩定义域⇒)(x f 为 函数。
㈡)(x f 为增函数⇒ 恒成立；)(x f 为减函数⇒ 恒成立； 注：1、0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的 条件。
2、单调区间之间用 隔开
3、原函数的图像看 ；导函数的图像看
练习：1、函数y=x x ln 的单调递增区间为 单调递减区间为
2、已知函数ax x x f +-=3)(在区间（－1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围
（二）求极值、求最值。
(1) 求____________________； (2) 求__________________；
(3) _____________________； (4) 确定______________
注意：1、极值≠最值。
函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。
最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2、 f /(x 0)＝0是x=x 0时函数有极值的 条件。
练习：1、函数y=
32x 3－2
3x 2+x+1 x ∈[－1,3]的最大值为 最小值为
2、若函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处极值为10，则=a ______，=b ______.
五、三次函数
1．形如 的函数，称为“三次函数”．
2．三次函数的导函数为 ，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式．
3．单调性：当 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是 函数；
当 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有 个单调区间．
4．三次函数极值点个数：
当0∆>时，()y f x =在(),-∞+∞上的极值点有 个．当0∆≤时，()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点． 练习、已知函数32()3,f x x ax x a R =+-∈ （1）若f (x)在(,2]-∞-上递增，求a 的取值范围；
（1） 若'(1)0f =，关于x 的方程f (x)=k 恒有三个不相等的实根，求实数k 的取值范围。