高一数学北师大版必修4第二章6从力的做功到向量的数量积

高中数学第二章平面向量 2.5 从力做的功到向量的数

2.5 从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a |=1，|b |=2，(a -b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为（）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a 与b 的夹角为θ，∵（a -b ）·a =0.∴|a |2-b ·a =0.∴b ·a =1.∴cos θ=||||b a b a ∙=22. 又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a 与b 的夹角的步骤：（1）计算b ·a ，|a |，|b |；（2）计算cos 〈a ，b 〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a 与b 都是非零向量，且a +3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.思路分析：求a 与b 的夹角余弦值，只要求出a ·b 与|a |、|b |即可.解：∵（a +3b ）⊥（7a －5b ）,∴（a +3b ）·（7a －5b ）=0.∴7a 2+16a ·b －15b 2=0.①又∵（a －4b ）⊥（7a －2b ）,∴（a －4b ）·（7a －2b ）=0.∴7a 2－30a ·b +8b 2=0.②①－②得46a ·b =23b 2，即有a ·b =21b 2=21|b |2. 代入①式，得7|a |2+8|b |2－15|b |2=0，故有|a |2=|b |2，即|a |=|b |.∴cos〈a ，b 〉=21||||||21||||2==∙b b b b a b a . 又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉=60°，即a 与b 的夹角为60°.变式训练2已知△ABC 中，a =5，b =8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a =5，||=b =8，图2-5-4 218520||||-=⨯-=CA BC . 又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC 与CA 两向量的起点并不同，故∠C≠〈BC ，CA 〉,而是∠C＋〈BC ,CA 〉=180°，则cos 〈, 〉218520-=⨯-=. 又∵0°≤〈BC ,CA 〉≤180°，∴〈BC ,CA 〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a 、b 不共线，且|2a +b |=|a +2b |，求证：（a +b ）⊥（a －b ）.思路分析：可以证明（a +b ）与（a －b ）垂直，转化为证明（a +b ）与（a －b ）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a +b |=|a +2b |，∴（2a +b )2=（a +2b )2.∴4a 2+4a ·b +b 2=a 2+4a ·b +4b 2.∴a 2=b 2.∴（a +b ）·（a －b ）=a 2－b 2=0.又a 与b 不共线，a +b ≠0，a －b ≠0，∴（a +b ）⊥（a －b ）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED 中，设=a ，=b ,A 、B 、N 、M 分别是OC 、OD 、DE 、EC 的中点.图2-5-5则有2a +b =OC +OB =OC +CM =OM ，a +2b =+=+=ON ,a +b =21,a -b =BA =NM . ∵|2a +b |=|a +2b |，∴|OM |=|ON |.∴△OMN 是等腰三角形.可证F 是MN 的中点. ∴OE ⊥BA . ∴⊥. ∴21⊥BA . ∴（a +b ）⊥（a －b ）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a 、b 均为非零向量，且|a |=|b |，求证：(a -b )⊥(a ＋b ）.思路分析：转化为证明向量(a -b )和(a ＋b )的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB 中,图2-5-6 设OA =a ,OB =b ,则a -b =，a+b =OC ， ∴|OA |=|OB |.∴四边形OA ＣB 是菱形.∴OC ⊥BA .∴⊥OC ，即(a -b )⊥(a ＋b ）.证法二：∵|a |=|b |，∴(a -b )·(a ＋b ）=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0.∵a 、b 均为非零向量,∴a -b ≠0，a ＋b ≠0.∴(a -b )⊥(a ＋b ）.问题探究问题（1）在Rt△ABC 中，∠BA C=90°，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（2）在等边△ABC 中，化简||2+||2-2||·||cos 〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BA C=90°，∴cos〈AB ,AC 〉=0. ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+||2=||2. (2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°， ∴||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2+|AC |2-||2=||2=|BC |2.(3)可发现如下结论：在△ABC 中，有 ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2； ||2+|BC |2-2|||BC |cos 〈,BC 〉=|AC |2； |CA |2+|CB |2-2|CA ||CB |cos 〈CA ,CB 〉=|AB |2. 可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC 中，有-=,图2-5-7 ∴(-AB )2=2BC . ∴2AB +2AC -2·=2BC ,即|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos 〈AB ,AC 〉=|BC |2. 同理可证：||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2; ||2+||2-2||||cos 〈,〉=||2.。

北师版数学高一北师大版必修4练习从力做的功到向量的数量积

§5 从力做的功到向量的数量积课时目标 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3．掌握向量数量积的运算律．1．两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个____________a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则________＝θ (0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是__________．②当θ＝0°时，a 与b ________．③当θ＝180°时，a 与b ________．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作________．2．射影的概念____________叫作向量b 在a 方向上的射影．____________叫作向量a 在b 方向上的射影．3．向量的数量积的定义已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把__________________叫作a 与b 的__________(或________)，记作________，即____________________________________．4．数量积的基本性质设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔__________；(2)当a 与b 同向时，a·b ＝__________，当a 与b 反向时，a·b ＝____________；(3)a·a ＝__________或|a |＝a·a ＝a 2；(4)cos θ＝__________________(|a ||b |≠0)；(5)|a·b |≤__________(当且仅当a ∥b 时等号成立)．5．平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．一、选择题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的射影等于( )A ．－3B ．－2C ．2D ．－12．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )A ．32B ．－32C ．±32D ．1 3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( )A ．0B ．2 2C ．4D ．84．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )A ．－32B ．0C ．32D ．3 5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12二、填空题7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．8．给出下列结论：①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b·c )；④a·[b (a ·c )－c (a·b )]＝0．其中正确结论的序号是________．9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________．10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．三、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |．能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的射影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§5从力做的功到向量的数量积答案知识梳理1．(1)非零向量∠AOB①[0，π]②同向③反向(2)90°a⊥b2．|b|cos θ|a|cos θ3．|a||b |cos θ 数量积内积 a·ba·b ＝|a||b |·cos θ4．(1)a·b ＝0 (2)|a||b | －|a||b |(3)|a |2 (4)a·b |a||b |(5)|a||b | 作业设计1．D [a 在b 方向上的射影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1．]2．A [∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0．∴λ＝32．] 3．B [|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝22．]4．A [a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12．同理b·c ＝－12，c·a ＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32．] 5．C [由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0．∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°．] 6．C [∵a·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b＝|a |2－2|a |－96＝－72．∴|a |＝6．]7．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0．8．④解析因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0．9．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2．又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2．∴cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．10．[0,1]解析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1．11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12．若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12．(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0．(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6． 12．解 a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252． |a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝53． |a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5． 13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12． |a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1．∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b | ＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12． ∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为12． 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12． |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72．设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12．又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3．。

北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》从力做的功到平面向量的数量积

a b 4
2
2
1 2
2 1 当且仅当a b 2时, S有最大值, 此时 cos a b 2 2 2
0 180 60 注意两个向量夹角的取值范围
a b 1 4 16 4 2 2
2
进行向量数量积计算时,既要考 2 虑向量的模,又或 AB CD AB 16 要根据两个向量 3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120 方向确定其夹角。 1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
特别地, a a a 或 a a a
2
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则a b x1 x2 y1 y2 0
内积为零是判定两向量垂直的充要条件
用于计算向量的模如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为x1 , y1 , x2 , y2 , 那么
PM PN
1点P的轨迹是什么曲线? 2若点P坐标为x0 , y0 , 记为PM与PN的夹角, 求 tan .
1 x0 2 y02 1 x0 2 y02
1
2 4 x0

0
0

2 2 2 2 2 2 x0 y0 2 x0 1 x0 y0 2 x0 1 16 4 x0 2 4 x0
cos
PM PN PM PN
2

0
tan sin cos 1 1 2 4 x0
2 3 x0 y 0
1 sin 1 cos 1 2 4 x0
1 2 4 x0

高中数学北师大版必修4第二章《从力做的功到向量的数量积》word教案

从力做的功到向量的数量积●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。

本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。

（2）教学方法——启发引导式本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。

（3）教学手段——多媒体辅助教学为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。

整理北师大版高中数学必修425《从力做的功到向量的数量积》教案

从力做的功到向量的数目积（第一课时）●教课目的1．经过实例，正确理解平面向量的数目积的看法，能够运用这一看法求两个向量的数量积，并能依据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数目积的5个重要性质，并能运用这些性质解决相关问题；3．经过平面向量的数目积的重要性质猜想与证明，培育学生的探究精神和谨慎的科学态度以及实质着手能力；4．经过平面向量的数目积的看法，几何意义，性质的应用，培育学生的应意图识.●教课要点平面向量的数目积看法、性质及其应用●教课难点平面向量的数目积的看法，平面向量的数目积的重要性质的理解●教课方法启迪指引式启迪学生在理解力的做功运算的基础上，逐渐理解夹角、射影及向量的数目积等看法，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体协助教课●教课过程教课环节教课程序教课假想创建情境新课引入探究问题经过前方的学习，我们知道两个向量能够进行加减法运创建问题情境，激发算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有学生的学习欲念和要没有两个向量之间的相关乘法运算？求。

在物理学中，力F对物体做的功为W|F||s|cos，经过对力做功的剖析功W能够当作是向量F、s的某种运算相关，而这个运引出两个向量的夹算结果的正负与这两个向量的夹角相关。

进而引出两个角，过渡比较自然。

向量的夹角的看法。

1、给出两个向量的夹角的看法，并让学生经过察看发现经过发问，让学生在两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的思虑问题的过程中，夹角。

并让学生议论两个向量的夹角的范围不要忽视对特别的情0180，要修业生解说为何在这个范围。

进一况的议论。

培育学生步发问学生，假如夹角0、90及180时，两向量谨慎的学习态度。

的地点关系怎样？师生互动2、练习：在ABC中已知A=45°，B=50°，C=85°求以下向量的夹角：1）AB与AC（2）AB与BC（3）AC与BC的夹角。

3、（1）射影的看法bcos叫作向量b在a方向上的射影。

数学北师大版高中必修4§2.5从力做的功到向量的数量积1

§2.5从力做的功到向量的数量积1编辑人：李水莲审阅人：刘建华学习目标：1.掌握平面向量的数量积及其性质和运算律，2.掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．І.相关知识1.平面向量的基本定理；II.教材助读1.向量的夹角：如下图，已知两个________向量→a 和→b ，作→→=a OA ，→→=b OB ，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量→a 与→b 的夹角，记作〈→a ，→b 〉］，［π0∈。

注意：必须把两向量平移到___________。

2.数量积的定义：已知两个非零向量→a 和→b ，它们的夹角为θ，则数量____________叫做→a 与→b 的数量积，记作→a ·→b ，即→a ·→b =|→a ||→b |cos θ. 零向量与任一向量的数量积为0．注意：00=⋅→→a ，→→=⋅00a ，)(=-+。

3.数量积的几何意义：①____________叫做→a 在→b 方向上的投影；|→b |cos 〈→a ，→b 〉叫做→b 在→a 方向上的投影；②→a ·→b的几何意义：→a ·→b 等于|→a |与→b 在→a 方向上的投影____________乘积或等于|→b |与→a 在→b 方向上的投影______________乘积。

3）数量积的物理意义——力作功：一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F所作的功||||cos=，其中θ是W F sθW_____________F与s的夹角，从而=III.预习自测1.下列命题中是正确的有①设向量a与b不共线，若()()0a b a b=；②a b+⋅-=，则||||⋅=⋅；||||||a b a b③a b a c⋅=⋅⋅=⋅，则b c=；④若()⊥-，则a b a ca b c我的疑惑:探究案I.学始于疑1.若两个不共线的向量起点不同,它们的夹角怎么找?2.向量的夹角与数量积→a·→b的正负有什么关系?II.质疑探究——质疑解疑、合作探究探究点一:由数量积的定义和几何意义,我们可得到哪些性质?它们各有什么作用?设|a|=12,|b|=9,a·b=-542,则a与b的夹角θ为探究点二: 数量积的运算法则（运算律）有哪些?下列叙述不正确的是A. B.向量的数量积满足分C.向量的数量积满足结合律D.a·b是一个实数III.当堂检测1.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为 2．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25- 3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ⋅=，则向量b =______.4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为。

高一数学北师大版必修4第二章5.1从力的做功到向量的数量积

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时备课组长签字：王广青包级领导签字：学生：上课时间：第17周集体备课个人空间一、课题：5.1从力的做功到向量的数量积二、学习目标1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式、模长公式及运算律重点：向量数量积的概念及几何意义难点：向量数量积的运算公式、模长公式及运算律三、教学过程【自主预习】阅读教材91—93页问题1、相关概念1.力F 对物体所做的功：物体在F 作用下产生的位移为S ，若力F 的方向与物体运动的方向成θ角，则力F 对物体所做的功=W _________.2.向量的夹角：已知两个非零向量→a 与→b ，作向量→→==b AC a AB ,则把______叫做→a 与→b 的夹角.两个向量夹角θ的取值范围是_______；当o 0=θ时，→a 与→b ___；当o 180=θ时,→a 与→b ___；当两个向量→a 与→b的夹角=θ______时，就说→a 与→b 垂直，记作______.规定零向量可与任一向量______.3.两个向量的数量积(内积):已知两个向量→a 与→b ，它们的夹角为θ,我们把_____________叫→a 与→b 的数量积（或_____）记作______即→→⋅b a ＝________________。

_______________叫做向量→a 在→b 方向上的投影.规定：零向量与任一向量的数量积为______，即___________.4．向量数量积的几何意义:根据数量积的定义式可知，→a 与→b 的数量积等于_____________________ 或 ________________________.5．若→→21e e ，是单位向量，则→→⋅21e e =___________＝__________.6.平面向量数量积的性质：①若→e 是单位向量，则→→→→⋅=⋅e a a e =___________.②⇔⊥→→b a ___________.③当→a与→b同向时，→→⋅ba＝________当→a与→b反向时，→→⋅ba＝________，特别地，→→⋅aa＝__________或=→a___________.④若θ为→a与→b的夹角，则cos=θ___________ （0≠⋅→→ba）⑤对任意两向量→a与→b，有→→⋅ba__→→⋅ba，当且仅当____时等号成立.7. 向量的数量积满足下列运算律：已知向量→a，→b，→c与实数λ①→→⋅ba＝___________；②→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛baλ＝___________=___________；③→→→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+cba＝__________ _。

数学北师大版必修4课前导引2.5从力做的功到向量的数量积

§5 从力做的功到向量的数量积课前导引问题导入【问题】向量的数量积与向量的加法、减法，实数与向量的积之间有何区别?思路分析:两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，其结果是数量(而不是向量)；前面学习的向量的加法、减法，实数与向量的积，其结果仍然是向量，这个区别应引起重视.知识预览一、两平面向量的夹角两向量正向之间的夹角叫做两向量的夹角.1.如右图，已知两个向量a、b，作,OA=a,OB=b，则∠AOB叫做向量a、b的夹角.2.两个向量a、b的夹角θ∈［0,π］.当θ=0时，a、b同向；当θ=π时，a、b反向；当θ=90°时，两向量a与b垂直，并记作a⊥b.二、平面向量数量积的含义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（linner product）（或内积），记作a·b，即规定a·b=|a||b|cosθ.其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影（projection）.并且规定，零向量与任一向量的数量积为0.三、平面向量数量积的运算律1.已知向量a、b、c和实数λ，则有：(1)a·b=b·a；(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(3)(a+b)·c=a·c+b·c.2.运算律的证明：(1)a·b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ=b·a.(2)(λa)·b=λ|a||b|cosθ=λ(|b||a|cosθ)=λa·b，又λ|a||b|cosθ=aλb cosθ=a·(λb)，∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)如右图所示，任取一点O，作OA=a，AB=b，OC=c.因为a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b.∴(a+b)·c=a·c+b·c.说明：①两个向量的数量积是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定.②两个向量a、b的数量积a·b与代数中a、b的乘积a·b不同，书写时要严格区分开.。

数学北师大版高中必修4从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案

从力所做的功到向量的数量积《必修4》导学案高一年级数学备课组张菊莲 2011.11.18[课程学习目标]1．理解平面向量数量积运算的含义及其几何意义、物理意义。

2．了解向量的夹角、向量垂直、向量射影等概念，体会平面向量数量积与向量射影的关系。

3．能够运用向量数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题。

[重点]平面向量数量积定义及运算性质。

理解“投影”的计算公式。

[难点]对向量数量积概念的理解。

[创设情境，揭示课题] 在物理学中，一个物体受到力的作用，如果说在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。

如图，若小车在力的作用下，产生的位移，那么所做的功W是多少？和是什么量？W是什么量？和向量有什么关系？1.力做的功：W = ||•||cosθ，θ是与S的夹角。

问：一般的向量和，如何定义这种运算？读记教材交流：（自主预习不看不讲）问题1：向量和的夹角是如何定义的？向量和夹角的范围是什么？何时向量和垂直？（注：规定零向量与任一向量垂直）问题2：向量和的数量积如何定义的？零向量与任一向量的数量积是多少？思考：向量的数量积和前面学习的三种向量运算有何区别？问题3：在方向上的投影是如何定义的？在方向上的投影呢？∙的几何意义是什么？注意：①射影也是一个数量，不是向量。

②当θ为锐角时射影为正值；∙0当θ为钝角时射影为负值；∙0当θ为直角时射影为0；∙=0，反之，∙=0时，θ为直角或a与b中至少有一个为0。

当θ = 0︒时射影为 ||；∙=||||0当θ = 180︒时射影为-||；∙= —||||0问题4.由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质？问题5.实数运算中乘法有哪些运算律？（1.交换律2.结合律：3.分配律）向量的数量积满足哪些运算定律？思考：1.如果∙=∙，能否推出=？为什么？2. （∙）∙=∙（∙）是否成立？为什么？（由练习课本P95，T3验证）3．)a-= ，(2b(2ba+= ，)(-+= 。

高中数学学案必修四《第二章从力做的功到向量的数量积》

当两向量都是单位向量时，其数量积等于，记作。
⑤向量数量积的物理意义是
⑥平面向量数量积的重要性质：
⑦平面向量数量积满足的运算定律：
问题生成记录：
精
讲
互
动
1．向量数量积的几何意义；向量数量积的重要性质；向量数量积满足的运算定律。
2．应用：
例2(余弦定理)
达
标
训
练
练习1-5题。
已知，，且与不共线，当k为何值时，向量与互相垂直？

第课时
课题名称
时间
第周星期
课型
新授课
主备课人
赵红军
目标
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量的数量积的重要性质及运算律。
2．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握两个向量垂直的条件。
重点
平面向量的数量积的定义
二次备课
难点
作业
反思
板书
设计
②设、是同一平面内的两个任意向量，则与的积可以表示为，
其中是。的结果是一个，称为与的或。
③设、是两个非零向量，则其夹角定义为，两向量夹角的范围是。当时，与；时，与；时，与，
记作。特别规定：零向量可与任意向量。④向量与的数量积 Nhomakorabea几何意义是
或。
当两向量相等时，其数量积等于，记作；
平面向量的数量积的定义及其运算律的理解和平面向量的数量积的应用。
自
主
学
习
1．复习回顾：
①向量和向量的和与差是，其大小和方向可以通过法则和法则来表示。
②向量和实数的数量积是，其大小为，方向为

高一数学北师大版必修4第二章6从力的做功到向量的数量积

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第课时
备课组长签字：王广青包级领导签字：学生：上课时间：第17周
集体备课个人空间
一、课题：6从力的做功到向量的数量积
二、学习目标
1. 掌握数量积的运算式、模长公式及运算律
2. 向量数量积的运用
重点：向量数量积的运算公式、模长公式及运算律
难点：向量数量积的运用
三、教学过程
【自主预习】阅读教材96—97页
问题1、如何用坐标表示向量的数量积？
问题2、如何用坐标表示向量夹角的余弦？
问题3、向量的方向向量是什么？
P练习
问题4. 完成
97
【合作探究】
问题1、课本96页例1、例2
问题2、课本例3
问题3、课本例4
【检测训练】
1.已知两个向量(4,7),(5,2),a b =-=则a b ⋅的值是( )
.34A .27B .43C - .6D -
2.已知向量(2,1),(3,)a b x ==,若(2)a b b -⊥,则x 的值是( )
.3A .1B - .1C -或3 .3D -或1
3.已知向量(3,4),(sin ,cos ),//,tan a b a b ααα===且则( )
3.4A 3.4
B - 4.3
C 4.3
D - 4. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的
向量x .
反思栏。

北师大版高中数学高一从力做的功到向量的数量积(一)

答案
知识点二向量的射影
如图(1)(2)(3)，O→A＝a，O→B＝b，θ 为 a，b 的夹角，过点 B 作 BB1⊥OA 于
点 B1，则 OB1＝|b|cos θ 叫作向量 b 在向量 a 方向上的射影(也叫投影). 如图，当θ是锐角时，|b|cos θ＞0；当θ＝90°时，|b|cos θ＝0；当θ是钝角时， |b|cos θ＜0；当θ＝0°时，|b|cos θ＝|b|；当θ＝180°时，|b|cos θ＝－|b|.
A.60°
B.30°
C.135°
D.45°
解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cos
θ＝|aa|·|bb|＝1×－1 2＝－
2 2.
又∵ θ∈[0°，180°]， ∴ θ＝135°.
解析答案
12345
1 3.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝_2____. 解析 a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝12.
12345
解析答案
(2)A→B·B→C；解 ∵A→B与B→C的夹角为 120°. ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos120°＝1×1×－12 ＝－12.
12345
解析答案
→→ (3)BC·AC. 解 ∵B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
解析答案
题型三求向量的模例 3 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：

高中数学北师大版必修4《从力做功到向量的数量积》ppt导学课件

1 已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 90°,且 c=2a+3b,d=ka-4b,若 c⊥d,则实数 k 的值为( A ).
A.6
B.-6
C.3
D.-3
【解析】∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即 2k-12=0,解得 k=6.
2 已知点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若 ��⊥a,则实数 k 的值为( B ). A.-2 B.-1 C.1 D.2
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
4.一个物体在力 F 的作用下产生的位移是 s,F 与 s 的夹角是 α. (1)用 �� 、 �� 、α 表示力 F 所做的功 W; (2)用 F、s 表示 W; (3)当 α 逐渐增大时,F·s 的大小怎样变化,为什么?
【解析】(1)W= �� cos α ;
风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即 v 风地=v 风车+v 车地.
如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,表示向量 v 风地的有向线段��是▱ACDB 的对角线.∵ �� =4 m/s,∠ACD=30°, �� =2 m/s,∴∠ADC=90°.

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