时间依赖凸约束可行性问题的神经动力学方法

（ 1） Ax = b
这里 x ∈ Ｒn 为状态变量； F = （ f1，f2，…，fm） T： Ｒ + ×Ｒn → Ｒm 为 m 维向量值函数，其分量 fi（ t，x） 关 于变量 x 是凸函数 （ i = 1，2，…，m） 。 对任意 δ ＞ 0， 存在 Li（ δ） ＞ 0，使得
收稿日期： 2018-05-30 基金项目： 国家自然科学基金项目（ 61473325） 第一作者简介： 张宸宁，女，硕士研究生； 通讯作者： 李国成，男，博士，教授。
（ School of Applied Sciences，Beijing Information Science ＆ Technology University，Beijing 100192，China）
Abstract： Many problems in engineering applications，such as control theory，signal processing， security communications，and image reconstruction，can all be attributed to feasibility issues． Many of these issues involve time － varying environments and it is crucial to provide solutions in a short time． When a feasible solution is needed in real time，especially when there is uncertainty，the difficulty of the time-dependent constraint feasibility problem increases significantly． In this kind of application， compared with the traditional numerical feasibility algorithm，the neural dynamics method can be physically implemented in the specified hardware / firmware． Therefore，a neurodynamic model for timedependent convex constraint feasibility problem based on the exact penalty function method is proposed． For the appropriate values of penalty parameters，it is proved that any state variable of the proposed neurodynamic system can reach the moving set within a limited time． After that，the state tracks the moving set． In addition，the lower bound and convergence time of the penalty parameter are estimated．
第1期
张宸宁等： 时间依赖凸约束可行性问题的神经动力学方法
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fi（ t，x1） － fi（ s，t2） ≤ Li（ δ） ( t － s + ‖x2 － x1‖) t，s ≥ 0，x1，x2 ∈ B（ 0，δ） ， 其 中 B（ 0，δ） = {x ∈ Ｒn： ‖x‖ ＜ δ} 是以 0 为中心 δ 为半径的开 球。A ∈ Ｒr×n 为具有行满秩系数矩阵，b 是一个 r 维 向量。问 题 （ 1 ） 等 价 于 找 到 x（ t） ∈ C（ t） ，其 中 C（ t） = ｛ x ∈ Ｒn： F（ t，x） ≤ 0 且 Ax = b｝ 为问题（ 1） 的 可行集。令 C1（ t） = ｛ x ∈ Ｒn： F（ t，x） ≤ 0｝ ，C2 = ｛ x ∈ Ｒn： Ax = b｝ 。 显然，C（ t） = C1（ t） ∩ C2。 在本文 中，我们假 定 问 题 （ 1） 至 少 有 一 个 可 行 解 x（ t） ∈ C（ t） （ t ≥ t0） 。 工程应用 中 的 许 多 问 题，如 控 制 理 论、信 号 处 理、安全通 信 和 图 像 重 建，都 可 以 归 结 为 可 行 性 问 题，其中许多问题涉及时变环境，在很短的时间内提 供解决方案是至关重要的。例如，机器人的实时运 动规划和控制、非线性模型预测控制、用于多媒体数 据安全性的快速信号加密、无线传感器网络中的定 位、计算机断层摄影术中投影的图像重建以及使用 鲁棒掩模波束成形的安全通信方案等。当需要实时 获得可行解决方案时，特别是存在不确定性时，时间 依赖约束可行性问题的难度明显增大。在这样的应 用中，与传统的数值可行性算法相比，基于递归神经 网络的神经动力学方法具有独特的优点： 可以设计 硬件实现。例如，超大规模集成电路（ VLSI） 、可重 配置模拟芯片、光学芯片、图形处理单元（ GPU） 、现 场可编程门阵列（ FPGA） 、数字信号处理器 （ DSP ） 等。新技术的产生使神经网络的设计和实现更合 理、更可行。 基于递归神经网络的神经动力学方法在过去 30 年取得了巨大 的 成 功，可 参 考 文 献［1-16］。其 中，Tank 等［1］率先采用神经动力学方法求解线性规 划问题； Wang［3］提出了一种求解线性和非线性凸 规划问 题 的 确 定 性 模 拟 退 火 神 经 网 络； Kennedy 等［5］等提出了解决非线性优化的递归神经网络，利 用有限惩罚方法来逼近最优解； Forti 等［6］引入了一 种广义非线性规划电路（ G-NPC） ，它将文献［5］中 的规划电路扩展到非光滑情形。G-NPC 利用基于 高增益非线性约束神经元实现非光滑爆破函数的精 确罚函数法来优化不可微目标函数。对比文献［5］ 中的光滑电路，G-NPC 的优势是滑模的存在，由于 滑模的存在，网络状态轨道能够在有限时间内收敛 到可行集。Ban 等［8］进一步推进了 Forti 的工作［6］， 提出了一种求解非凸优化问题的神经网络模型，并 证明了对于一个足够大的惩罚参数，网络的状态轨
关 键 词： 时间依赖约束； 神经动力学方法； 有限时间收敛； 可行性问题； 动态分析
中图分类号： TP 18
文献标志码： A
Neurodynamic approach to convex time dependent constraint feasibility problems
ZHANG Chenning，LI Guocheng
第 34 卷 第 1 期 2019 年 2 月
北京信息科技大学学报 Journal of Beijing Information Science ＆ Technology University
Vol．34 No．1 Feb．2019
文 章 编 号： 1674－6864（ 2019） 01－0012－06
Keywords： time dependent constraint； neurodynamic approach； finite time convergence； feasibility issues； dynamic analysis
0 引言
本文考虑如下时间依赖约束可行性问题： F（ t，x） ≤ 0
DOI： 10. 16508 / j．cnki．11－5866 / n．2019. 01. 003
时间依赖凸约束可行性问题的神经动力学方法
张宸宁，李国成
（ 北京信息科技大学信息与计算科学系，北京 100问题，如控制理论、信号处理、安全通信和图像重建，都可以
归结为可行性问题，其中许多问题涉及时变环境，短时间内提供解决方案是至关重要的。当需要
实时获得可行解决方案时，特别是存在不确定性时，时间依赖约束可行性问题的难度明显增大。
在这样的应用中，与传统的数值可行性算法相比，神经动力学方法可以在指定的硬件中物理实现，
因此，提出了一种基于精确罚函数法的时间依赖凸约束可行性问题的神经动力学模型。对于罚参
数的适当值，证明了所提出的神经动力系统的任何状态解在有限时间到达移动集合且随时间跟踪 移动集。此外，估计了惩罚参数的下界和收敛时间。