2019届高三数学备考冲刺：问题23_利用方程思想求解数列问题_含解析
例说用函数与方程思想解数列题
例说用函数与方程思想解数列题数列是数学中的重要概念，它可以通过函数和方程进行求解。
本文将以1200字以上的篇幅，详细介绍如何运用函数与方程思想解决数列题。
首先，让我们来回顾一下数列的定义。
数列是按照一定规律排列的一组数，可以用公式表示。
常见的数列类型有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中每个数与它前一个数之差都相等。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，d表示公差，n表示位置。
等比数列是指数列中每个数与它前一个数之比都相等。
例如，2，4，8，16，32就是一个等比数列，公比为2、可以通过以下方程表示第n个数的值：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个数的值，a1表示第一个数的值，r表示公比，n表示位置。
接下来，我们将以若干实例来说明如何运用函数与方程思维解决数列问题。
例一：已知数列1，4，7，10，13，...，则数列的通项公式是什么？求第100项的值。
这是一个等差数列，公差为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。
根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可以得到该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3、因此，第100项的值为a100 = 1 + (100-1)3 = 298例二：已知数列2，6，18，54，...，则数列的通项公式是什么？求第10项的值。
这是一个等比数列，公比为3、我们可以用函数的思想来解决这个问题。
根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，可以得到该数列的通项公式为an = 2 * 3^(n-1)。
因此，第10项的值为a10 = 2 * 3^(10-1) = 1458例三：已知数列3，5，7，9，...，若数列的和等于100，求数列的第n项。
这是一个等差数列，公差为2、我们可以通过方程的思想来解决这个问题。
浅谈结合函数思想巧解数列问题
浅谈结合函数思想巧解数列问题数列问题在数学中是一个常见的问题类型，需要通过数学方法来求解。
而结合函数思想可以巧妙解决很多数列问题，本文将从基本概念开始介绍函数思想与数列问题的结合，然后通过实例讲解如何利用函数思想巧解数列问题。
一、函数思想与数列问题的结合在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
而数列则是按照一定顺序排列的数的集合，可以看作是函数的一种特殊形式。
函数思想在解决数列问题时可以发挥重要作用，通过定义函数或利用函数的性质来解决数列问题，可以简化问题的复杂度，提高问题的解决效率。
二、利用函数思想解决数列问题的基本方法1. 定义函数在解决数列问题时，可以定义一个函数来描述数列的规律。
通过函数的定义，可以找到数列中各个元素之间的关系，从而解决数列问题。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，来直观表示等差数列的通项公式。
通过定义函数，可以将数列问题转化为函数问题，更容易解决。
三、实例分析下面通过几个实例来说明如何利用函数思想巧解数列问题。
实例一：求等差数列的前n项和对于等差数列an = a1 + (n-1)d，要求前n项和Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... + (a1+(n-1)d)，可以定义函数f(n) = a1 + (n-1)d，然后利用等差数列的性质来求解。
根据等差数列的性质，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2 = (a1 + a1+(n-1)d) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2 = f(1) * n + d * n * (n-1) / 2，这样就用函数思想巧妙解决了等差数列的前n项和问题。
实例二：求斐波那契数列的通项公式对于斐波那契数列an = an-1 + an-2，要求通项公式，可以利用递归函数的性质来求解。
备战2019高考数学大二轮复习 第一部分 思想方法研析指导 一 函数与方程思想
m≤-
3或
2
m≥
23,
因此实数 m 的取值范围是
-∞,-
3∪
2
3 2
,
+
∞
.
-12-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
解法二 不等式化为 f(x-1)+4f(m)-f ������ +4m2f(x)≥0,
������
即(x-1)2-1+4m2-4-
������ 2 ������ 2
+1+4m2x
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(1)证明： Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,
则 Fn(1)=n-1>0,
Fn
1 2
=1+1 +
2
1
2
+…+
1
������
-2
2
2
1-
=
1 ������ +1
2
1-12
-2=-21������
<0,
所以 Fn(x)在
1 2
,1
内至少存在一个零点.
(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在区间
1 2
,1
内有且仅有一个零点(记为
xn),且
xn=12
+
1 2
������������������+1;
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等
差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.
-17-
-6-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)
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2019届理科数学高考中的数列问题一、选择题(每小题5分，共20分）1.已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和S n满足=9S2,S4=4S2,则a2=(）A。
B。
C。
D。
2。
［数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马。
”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟。
羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半。
”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿(）A。
斗粟 B。
斗粟 C。
斗粟 D。
斗粟3.已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S4=5S2,则的值为(）A。
—2或-1 B。
1或2C.±2或—1 D。
±1或±24.已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，满足a6=a2·a10,设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b 9=2a7，则S17=（)A。
34 B.39 C。
51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分）5.已知数列｛a n}满足2a n·a n+1+a n+1—a n=0，且a1=1，则数列｛a n}的通项公式为. 6。
(完整版)2019高考数学专题等差等比数列含答案解析
畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643培优点十 等差、等比数列1．等差数列的性质例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______ 【答案】35【解析】∵{}n a ，{}n b 为等差数列，∴{}n n a b +也为等差数列， ∴()()()3311552a b a b a b +=+++，∴()()553311235a b a b a b +=+-+=．2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200【答案】C【解析】与条件4610a a +=联系，可将所求表达式向4a ，6a 靠拢，从而()()22271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+，即所求表达式的值为100．故选C ．3．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（ ） A ．66a b = B ．66a b > C ．66a b < D ．66a b >或66a b <【答案】B【解析】抓住1a ，11a 和1b ，11b 的序数和与6a ，6b 的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，11a b =，1111111111a b a a b b =⇒+=+， 因为11162a a a +=，而{}n b 为等比数列，联想到111b b ⋅与6b 有关，所以利用均值不等式可得：11162b b b +>=；（1q ≠故111b b ≠，均值不等式等号不成立）所以1111116622a a b b a b +=+⇒>．即66a b >．故选B ．一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤 B ．7斤 C ．8斤 D ．9斤【答案】D【解析】原问题等价于等差数列中，已知14a =，52a =，求234a a a ++的值． 由等差数列的性质可知：24156a a a a +=+=，15332a a a +==， 则2349a a a ++=，即中间三尺共重9斤．故选D ．2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66 B ．68C ．77D ．84【答案】C【解析】根据等差数列的求和公式53540S a ==，959126S a ==，化简得35814a a =⎧⎨=⎩，根据等差数列通项公式得1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得123a d =⎧⎨=⎩，()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=．故选C ．3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2- D ．4-【答案】C对点增分集训畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， ∵数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=；解得2λ=-．故选C ． 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140 B ．70 C ．154 D ．77【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=， ∴57111111411111177222a a a a S ++=⋅=⋅=⋅=．故选D ． 5．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12【答案】C【解析】由题意知：3122a a a =+，∴21112a q a q a =+，即221q q =+， ∴1q =或12q =-．故选C ．6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5- B ．0C ．5D ．7【答案】A【解析】设{}n a 的公比为q ，由12a -，212a -，3a 成等差数列，可得2132a a a -=-+，若11a =，可得22q q -=-+，解得()21q =-舍去，则()()()44141125112a q S q---===----，故选A ．7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质结合题意可知：56479a a a a ==，且110293847569a a a a a a a a a a =====， 据此结合对数的运算法则可得：()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L ．故选B ．8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182- B ．78- C ．148- D ．82-【答案】D【解析】由两式的性质可知：36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++， 则36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-．故选D ．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3 B ．4- C ．5- D ．6【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵133215S S -=，∴()112312321536a a a a a a ++==--，∴1325a d a +=-=．故选C ． 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27 B ．36 C ．45 D ．66【答案】D【解析】∵81026a a =+，∴610106a a a +=+，∴66a =，∴()1111161111662a a S a +===，故选D ．11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值【答案】C畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】设等比数列11n n a a q-=，n K 是其前n 项的积，所以()121n n n n K a q -=，由此55611K K a q <⇒<，66711K K a q =⇒=，77811K K a q >⇒>所以6711a a q ==，所以B 正确，由511a q <，各项为正数的等比数列，可知01q <<，所以A 正确，611a q =，()121n n n n K a q-=可知()()113221n n n n n n K a qq--==，由01q <<，所以x q 单调递减，()n n 132-在6n =，7时取最小值，所以n K 在6n =，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262【答案】C【解析】由题设知()13f =，()25f =，()34f =，()46f =，()51f =，()62f =， ∵12a =，()1n n a f a +=，n *∈N ，∴12a =，()225a f ==，()351a f ==，()413a f ==， ()534a f ==，()646a f ==，()762a f ==……，∴{}n a 是周期为6的周期数列， ∵201833662=⨯+，∴()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L ，故选C ．二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________【答案】4【解析】∵2376a a a ++=，∴1396a d +=，∴132a d +=，∴42a =，∴17424a a a +==．故答案为4．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，若公比q =1231a a a ++=，则12S 的值是___________． 【答案】15【解析】已知1231a a a ++=，则()313111a q S q-==-，又q =11a q =-；∴()()()12121121111511q a q S qq---===--．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若53109a a =，则95SS =_______． 【答案】2【解析】()()19955315992552a a S a S a a a +==+，又53109a a =，代入得95910259S S =⨯=．16．在等差数列{}n a 中，14101619100a a a a a ++++=，则161913a a a -+的值是_______． 【答案】20【解析】根据等差数列性质14101619105100a a a a a a ++++==，所以1020a =， 根据等差数列性质，1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==．三、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=． （1）求n a ；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前5项的和5S ． 【答案】（1）2n n a =；（2）77． 【解析】（1）12a =，12n n a a +=，畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643则数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⨯=； （2）2n n n b n a n =+=+，()()()()()234551222324252S =+++++++++ ()()23451234522222=+++++++++()515522277212+⨯-⨯=+=-．18．设{}n a 是等差数列，其前n 项和为()*n S n ∈N ；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()*n T n ∈N ．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+． （1）求n S 和n T ；（2）若()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，求正整数n 的值． 【答案】（1）()12n n n S +=，21n n T =-；（2）4．【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得220q q --=． 因为0q >，可得2q =，故12n n b -=．所以122112nn n T -==--．设等差数列{}n a 的公差为d ． 由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+得131316a d +=，从而11a =，1d =， 故n a n =，所以()12n n n S +=．（2）由（1），有()()112122122221222n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ．由()124n n n n S T T T a b ++++=+L ，可得()1112222n n n n n n ++++--=+，整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =． 所以n 的值为4．。
高考冲刺-函数与方程的思想习题及答案
高考 函数与方程的思想类型一、函数思想在方程中应用 1.已知155=-acb （a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤2.若关于x 的方程cos2x －2cos x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是________3.已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ） （A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈ (C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞4.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有大于1的解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <253-B ．a ≤－8C ．a <133- D ．a ≤－45.设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，类型二、函数思想在不等式中的应用6.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ；7.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．8.对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是________类型三、函数思想在数列中的应用9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
10.已知等差数列的公差，对任意都有，函数．（1）求证：对任意，函数的图象过一定点．（2）若，函数f(x)与x 轴的一个交点为（），且，求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，求．类型四、函数思想在立体几何中的应用 11.如图，已知面，于D ，．（1）令，，试把表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使成立？类型五、利用方程思想处理解析几何问题 12.直线与圆相切，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．13.（2016 全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 14.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．类型六、函数思想在三角中的应用 15.求的取值范围。
用函数方程的思想研究等差数列题
用函数方程的思想研究等差数列题函数方程是数学中非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种数学问题。
在等差数列中，我们也可以运用函数方程的思想来进行研究。
本文将通过一系列等差数列题目，来展示如何用函数方程的思想来研究等差数列问题。
等差数列是数学中常见的数列形式，其特点是每一项与前一项之差都是一个常数。
等差数列的一般形式可以表示为：a_n=a_1+(n-1)d。
a_n表示第n项，a_1表示第一项，d为公差。
我们首先来看一个简单的等差数列问题：已知等差数列的第一项为3，公差为4，求这个等差数列的第10项。
按照等差数列的一般形式，我们可以直接代入a_1=3，d=4，n=10，就可以求出第10项的值为39。
这是一个比较简单的等差数列问题，直接套用公式就可以求解。
接下来，我们将通过函数方程的思想来研究更复杂的等差数列问题。
我们需要明确一个概念，等差数列的第n项和第m项之差是一个常数。
根据这个性质，我们可以得到一个等差数列数列的函数方程：f(n)=a_1+(n-1)d这里，f(n)表示等差数列的第n项。
可以看出，这其实就是等差数列的一般形式，只不过用函数的形式来表示而已。
现在让我们来看一个例题：按照函数方程的思想，我们可以用两个函数方程来表示这个等差数列：f(1)=3f(5)=15代入函数方程的表达式，我们可以得到：a_1+0d=3a_1+4d=15这样我们就得到了两个方程，通过这两个方程我们可以解出a_1和d的值。
进而求得第10项的值。
通过这个例题，我们可以看到用函数方程的思想来研究等差数列问题是非常简单而且直观的。
我们只需要把等差数列的性质用函数的形式表达出来，然后用方程将其联系起来即可。
对于这个问题，我们同样可以利用函数方程的思想来进行研究。
我们可以用等差数列的前n项和的公式来表示前6项的和：S_6=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=45S_6表示前6项的和，n=6，a_n表示第6项。
通过这个方程，我们可以得到一个关系式，用来表示第6项和第一项与第六项之和的关系。
用函数方程的思想研究等差数列题
用函数方程的思想研究等差数列题【摘要】这篇文章将介绍如何用函数方程的思想研究等差数列题。
会讲解函数方程的思想是什么，然后解释等差数列的定义。
接着，将详细说明如何利用函数方程的思想来研究等差数列题，以及推导等差数列的通项公式的方法。
通过举例说明来加深读者对该方法的理解。
结尾会得出结论，强调函数方程的思想在研究等差数列题中的重要性。
通过这篇文章，读者将更加深入地理解等差数列的性质和通项公式的推导过程，从而提高解决相关问题的能力。
【关键词】函数方程的思想，等差数列的定义，研究等差数列题，推导通项公式，举例说明。
1. 引言1.1 引言等编程相关的信息。
以下是关于的内容：等差数列是数学中非常基础且重要的概念，也是高中数学中经常出现的一个题型。
在学习等差数列的过程中，我们常常需要用函数方程的思想来研究和解决相关问题。
函数方程是数学中非常重要且有趣的一个分支，它通过对函数的性质和规律进行研究，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
在本文中，我们将首先简要介绍函数方程的思想，然后回顾等差数列的定义，接着探讨如何用函数方程的思想来研究等差数列题，进而推导等差数列的通项公式。
我们将通过具体的例题来说明如何应用函数方程的思想解决等差数列问题。
通过本文的学习，我们将更深入地理解等差数列的性质和规律，同时也能够提高我们对函数方程的理解和应用能力。
希望读者能够通过本文的学习，加深对等差数列和函数方程的认识，提升数学解题能力。
2. 正文2.1 函数方程的思想函数方程的思想是数学中一种重要的思维方式，通过将问题转化为函数的形式来解决。
在研究等差数列时，我们也可以运用函数方程的思想来进行探索。
通过将等差数列中的元素表示为函数的形式，我们可以更清晰地理解等差数列的性质和规律。
我们可以将等差数列的通项公式表示为一个函数。
设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项可以表示为an = a + (n-1)d。
将此式看作一个函数f(n)，我们可以得到f(n) = a + (n-1)d。
用函数方程的思想研究等差数列题
用函数方程的思想研究等差数列题等差数列是高中数学常见的话题，也是数学中非常重要的概念之一。
它的基本特征是，数列中相邻两项之差为一个常数，这个常数就是等差数列的公差。
在高中数学教学中，通常会通过一般项公式或者通项公式来求解等差数列的各种问题。
在实际问题中，我们也可以运用函数方程的思想去研究等差数列，通过函数的性质和特点来解决等差数列的相关问题。
本文将从这一角度入手，探讨如何用函数方程的思想研究等差数列题。
我们来了解一下等差数列的基本概念。
等差数列是指一个数列中，每一项与前一项的差都是同一个常数。
用数学语言描述就是，对于一个数列{a1, a2, a3, ...}，如果满足an - an-1 = d，其中d为常量，则这个数列就是等差数列，其中d即为公差。
等差数列有很多特点和性质，比如它们的一般项公式为an = a1 + (n-1)d，通项公式为Sn = n/2 * (a1 + an)。
这些公式的推导和应用，在数学教学中都有详细的介绍和应用。
在解决一些复杂的等差数列问题时，我们可以考虑用函数方程的思想来研究。
函数方程是数学中一个非常重要的概念，它描述了变量之间的依赖关系。
等差数列的每一项都可以看作是一个函数的自变量，而这些函数的函数值与自变量之间存在着等差关系。
我们可以通过函数方程的性质来研究等差数列的一些性质和结论。
以一个简单的例子来说明。
考虑一个等差数列{2, 5, 8, 11, 14, ...}，我们可以将其定义为一个函数f(n) = 2 + 3(n-1)，其中n为自然数。
这个函数描述了数列中每一项与序号n之间的关系，它们之间的差值始终为3，符合等差数列的特点。
通过函数方程的视角，我们可以更好地理解等差数列的特点，并且在一定程度上简化问题的处理过程。
在解决一些复杂的等差数列问题时，函数方程的思想也能够帮助我们更好地利用数学工具来解决问题。
在求解等差数列中的某一项或者某几项的和时，我们可以构造一个与等差数列相关的函数，并通过该函数的性质来求解。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23分类讨论思想转化与化归思想热点难点突破文含解析
分类讨论思想、转化与化归思想1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )A.a 1a 8>a 4a 5B.a 1a 8<a 4a 5C.a 1＋a 8>a 4＋a 5 D .a 1a 8＝a 4a 5答案 B解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f ()＝⎩⎨⎧ 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞) 答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1； 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 3.过双曲线2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数答案 D解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6. 设点P (，y )满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －x y 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B解析 作出不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，1)，B (1，2)，令t ＝y x ，f (t )＝t －1t ，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.7.已知函数f ()＝⎩⎨⎧ ln x ，x ＞0，m x ，x <0，若f ()－f (－)＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( )A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 8.已知函数f ()＝(e －e －)－cos 的定义域为[－3，3]，则不等式f (2＋1)>f (－2)的解集为( )A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案 C解析 因为f (－)＝－(e －－e)－cos(－)＝(e －e －)－cos ＝f ()，所以函数f ()为偶函数，令g ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g ()在[0，3]上为增函数，令h ()＝－cos ，易知h ()在[0，3]上为增函数，故函数f ()＝(e －e －)－cos 在[0，3]上为增函数，所以f (2＋1)>f (－2)可变形为f (2＋1)>f (2)，所以2<2＋1≤3，解得－2≤<－1或1<≤2，故不等式f (2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.已知函数f ()＝a ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 当a >1时，函数f ()＝a ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a <1时，函数f ()＝a ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32. 10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________. 答案 72或2 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2. 11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ，∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b 2＋a －b 2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴y 2∈[16，20]，∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25]. ∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝c a ＝sin 60°＝32，而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近1，所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.。
2019年全国高考数学冲刺复习专题3.4 专题突破：高考中的数列与不等式问题及答案
题型一 等差列、等比列的综合问题例1 已知首项为32的等比列{a n }不是递减列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差列． (1)求列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求列{T n }的最大项的值与最小项的值．【思维升华】等差列、等比列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差列与等比列综合问题中，如果等比列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． 【跟踪训练1】已知等差列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比列． (1)求列{a n }的通项公式；(2)记S n 为列{a n }的前n 项和，是否存在正整n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，请说明由．题型二 列的通项与求和例2 已知列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n .(1)证明：列{a nn}是等比列； (2)求通项a n 与前n 项的和S n . 【解析】(1)证明 ∵a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12na n ，当n ∈N *时，a nn≠0.又a 11＝12，a n ＋1n ＋1∶a n n ＝12(n ∈N *)为常， ∴{a n n }是以12为首项，12为公比的等比列．(2)解 由{a n n }是以12为首项，12为公比的等比列，得a n n ＝12·(12)n －1，∴a n ＝n ·(12)n. ∴S n ＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n，12S n ＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n －1)(12)n ＋n ·(12)n ＋1， ∴12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝12－12n ＋11－12－n ·(12)n ＋1，∴S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n .综上，a n ＝n ·(12)n ，S n ＝2－(n ＋2)·(12)n.学科*【思维升华】(1)一般求列的通项往往要构造列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．(2)根据列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．【跟踪训练2】 在等比列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求{a n }的通项a n ； (2)若c n ＝1n b n －，求{c n }的前n 项和S n .所以a 5a 3＝14＝q 2，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，q 2＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝25－n ，所以b n ＝5－n (n ∈N *)， 所以c n ＝1n－n －＝－1n n ＋，所以S n ＝－(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝－(1－1n ＋1)＝－nn ＋1 (n ∈N *)．题型三 列与其他知识的交汇 命题点1 列与函的交汇例3 (2017·温州十校联考)已知二次函f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N *，列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求列{b n }的前n 项和T n .∴a n ＝4n －2(n ∈N *)．(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4n －n ＋＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝4n2n＋1.命题点2 函与不等式的交汇例4 已知等差列{a n}中，a2＝6，a3＋a6＝27.(1)求列{a n}的通项公式；(2)记列{a n}的前n项和为S n，且T n＝S n3·2n－1，若对于一切正整n，总有T n≤m成立，求实m的取值范围．【变式1 已知列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*).(1)求列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·2a n(λ为非零整，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立.【思维启迪】(1)先求a n，再构造等比列求b n；(2)不等式c n＋1>c n恒成立，可以转为求函的最值问题.【思维升华】列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转为函的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解.【变式2】已知首项为32的等比列{a n}的前n项和为S n(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差列.(1)求列{a n}的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *).【解析】(1)设等比列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.命题点3 列应用题例5 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元．(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元．【解析】设a n为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1 000－500＝1 500，a2＝2×1 500－500＝2 500，…，a n＝2a n－1－500(n≥2)．∴a n－500＝2(a n－1－500)(n≥2)，即列{a n－500}是以a1－500＝1 000为首项，2为公比的等比列．∴a n－500＝1 000×2n－1，∴a n＝1 000×2n－1＋500.(1)∵a4＝1 000×24－1＋500＝8 500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元．(2)由a n＞32 500，即2n－1＞32，得n＞6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元．思维升华列与其他知识的交汇问题，要充分利用题中限制条件确定列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立列模型．【跟踪训练3】设等差列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函f(x)的图象上，求列{a n}的前n项和S n；(2)若a1＝1，函f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n的前n项和T n.。
函数思想解数列问题
函数思想解数列问题一.知识讲解变量数学是高中数学的主要组成部分，变量是变量数学的基本研究对象．按照取值方式的不同，变量可分为连续型变量和离散型变量，高中数学中的函数理论主要研究连续型变量，而数列理论主要研究离散型变量．函数与数列有共同的属性：研究变量的变化规律和相互联系即函数的思想方法是共同的数学思想方法；描述客观世界中量之间的依存关系，刻画数量特征和制约关系是共同的本质；相等关系和大小关系是揭示数量特征的共同的形式；函数的三要素也是数列的三要素；研究基本初等函数的图像与性质也类比着研究数列的性质；……函数与数列又有质的差异，连续和离散是根本的差异；函数理论以幂函数、指数函数和对数函数、三角函数和反三角函数五类基本初等函数为基本研究对象；数列理论以等差数列和等比数列为基本研究对象；递推归纳是认识数列的独特的方式，数学归纳法是证明与数列有关的结论的一种特殊方法．函数与数列既相互联系，又相互区别，在一定条件下可相互转化．通过两者之间的类比，以揭示和认识两者的内在联系，概括两者在内容和方法上的共性和差异，在更高的层次上把握变量数学的特征和规律，是近几年数学高考试题中考查数列的题目体现能力立意的命题思路，也是知识网络的一个交汇点．数列是定义域为自然数集N或是N的有限子集的函数，其函数值按一定顺序排列．在一个数列中，它的任一项的数值，由它所对应的项数唯一确定，因此数列中各项的值是其项数的函数，即a n=f (n)．用图像法表示数列时，图像是由直角坐标系中的一些孤立点组成，其中每一个点（n , a n）的横坐标n表示项数，纵坐标a n表示该项的值．数列{a n}的前n项和S n=a1 + a2 +…+a n数列按照项数可分成有穷数列和无穷数列，按照项与项之间的大小关系，可分为常数列，递增数列、递减数列或摆动数列；按照数列中各项的绝对值的取值范围，可分成有界数列、无界数列．数列中基本的研究对象：等差数列与等比数列．应掌握它们的定义、通项公式、前n项和公式，及由此可推导出的一些基本性质．数列是特殊的函数，因此可借助函数的有关知识，解决数列的问题，但要充分注意其特殊性的体现．判断数列的单调性时，不用在定义域内任取x1<x2，比较f (x1)与f (x2)的大小，只需任取n与n+1（n∈N），比较a n与a n+1的大小即可．数列{a n}是等差数列的充要条件是a n=dn+b，其中d为公差．即通项公式a n是项数n的一次函数式，n的一次项系数为数列的公差；用图像法表示等差数列时，点（n，a n）一定在斜率为d 的一条直线上．数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}是等差数列的充要条件是S n=an2+bn（a、b为已知常数），即S n是n的二次函数式，二次项系数为数列的公差之半．数列问题中，与复合函数相类似，可研究若干个相关数列的相互联系，通过项与项之间的关系相联系或交错在一起，或通过函数式联系起来．数列综合题往往和函数、不等式相结合，以数列为载体，利用函数性质证明不等式，或以数列为载体，利用不等式为工具去研究相关函数或数列的性质．数列的综合题常常将两个或若干个数列通过项与项之间的关系联系在一起，这就需要由一个数列的性质去探求另一个数列的性质，由递推式到通项或由通项到递推式的思想方法常起到很好的作用．二.范例分析例1．已知数中，，是它的前项和，并且（n=1，2，…）（1）设（n=1，2，…），求证数列是等比数列．（2）设（n=1，2，…），求证数列是等差数列．（3）求数列的通项公式及前项和公式解：（1）∵①∴②②－①得：整理得：③∵（n=1，2，…）∴由③式得：∵∴是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式是．（2）∵（n=1，2，…）∴∴④将代入④得：．可知：是等差数列，公差是．首项是通项公式是．（3）∵∴（n=1，2，…）∵当时：且也适合此公式∴（n=1，2，…）评述：已知条件中数列既不是等差数列，也不是等比数列，但与之相关的数列是等比数列，是等差数列，借助于与求得的通项公式及前项和公式，体现了建立相互联系、相互转化来解决问题的思想方法，即函数的思想方法．例2．数列中，，前项和构成数列，且是公比为的等比数列．（1）求证：中，时是等比数列．（2）设，求．解：（1）∵，∴∴∴∴中，从第2项开始构成以为公比的等比数列．（2）∵，，…是公比为的等比数列．∴．∴∴∵，∴∴．例3．求数列的前项之和的最大值．解：∵．∴此数列是等差数列，其公差为，首项．∵，，∴有最大值．设，得．∴∴是的最大值，．例４．已知等差数列中，，公差，求使前项和取最大值的的值．解法一：∵∴∴．又＝＝当时，最大．于是使最大的自然数是5和6．解法二：∵可得∴∵∴时，时，时，故或时，最大．评述：在等差数列中，由于，所以时，有最大值．解法一是利用二次函数求最值的方法求这个最大值．解法二是从的符号入手，前面所有数值为正数的项之和应最大．这是求等差数列前项和的最值问题中常用的两种方法．例5．设等差数列的前项和，已知，，．（1）求公差d的取值范围．（2）指出，，…中哪一个值取最大，并说明理由．解：（1）依题意①②即∴．代入①、②式可得：解得．（2）解法一：∵∴当时，最大．∵∴且∴最大．解法二．是关于的二次函数，且，，．∴的图象如图所示，∴抛物线过（0，0）点，不妨设另一交点为（n，0）且12<n<13．∴．而此函数图象的对称轴方程为且．∴最大．解法三：由（1）知，，∴是递减数列，又∴∴当而时，最大．∴又∴∴∴在，…中，的值最大．解法四：由（1）知，，∴是递减数列，故设,即解得：∴∴，∴最大．评述：本例是运用函数的思想方法解决数列的最值问题．从运动变化中认识数列及其性质．解法一和解法二是将数列的前项和看作二次函数，二次项系数，故二次函数有最大值．解法一利用二次函数的顶点式求最值；解法二是利用二次函数的图象求最值．解法三和解法四是将数列的通项公式看作函数，利用是递减数列，若，且，则即为最大值．例6．已知函数与函数的图象关于直线对称．（1）试用含代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域．（2）数列中，，当时，，数列中，，，点（n=1，2…）在函数的图象上，求的值．（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，且在轴上的截距为（n=1，2，3…），求数列中的，，，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．解：（1）∵∴且∴∴（2）∴（n=1，2…）在的图象上，∴对n∈N成立．当n=1时：∵S1=b1=2，a1=1∴解得：．（3）∵：过点，∴∴①又由上（2）知：，∴∴②由①、②得：即∴∴或．又时，∴，，．同理：且得代入上式解得：．∴，．又：解得，．∵∴．猜想．证：（1）当时，由上知，∴命题成立．（2）假设时命题成立，则．且在上；，又过．∴即．∴．当时：①②由①得：代入②消去得：，∴∴时，命题成立．由（1）（2）可知：．评述此题是2000年北京市会考题．题目将函数与数列有机地结合为一体，将数列、、的联系与变化认识清楚，有助于理清思路，寻求解法．题中给出点既在图象上，又在直线上，有三个未知量，，，但是的前项和，故有三个方程可求解．例7．已知数列中，，是它的前项和，且．（1）求函数的表达式和定义域．（2）描绘函数的图象．解：（1）∴数列是首项，公比为的无穷等比数列．．∴，且解，得：或．整理，得：．由，得．∴函数的定义域是．（2）∵又∴函数的图象是位于椭圆的上半部分的两段曲线．（如图所示）评述这是一道函数与数列的综合题．数列通项公式中是的函数，的参数．写成的形式，可判定是等比数列．由已知可知，等比数列满足，由无穷递缩等比数列的求和公式可知，．求得的解析式，并由解析式及可确定的定义域．经计算导出的表达式是解题的关键步骤，由参数变为主元，体现了函数与数列的内在联系与相互转化．例8．已知，设，试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立．分析：由题意可知，但此式无法求和化简．关键的一步是用函数的思想，将看作关于的函数，故已知不等式恒成立就等价转化成函数的最小值，而函数的最小值的确定，又应从研究函数的单调性开始．解：∵∴∴∴∴．∴∴是增函数，又．要使对一切，恒成立，只要①恒成立．得且．设，则．不等式①即解得或．∴实数的取值范围是且．评述：用运动变化的观点看待数列，借助于研究函数性质时的常用方法处理数列问题，是函数思想在数列中运的重要体现．例9．数列满足：，，且是公比为的等比数列，设（n=1，2…）．（1）求使成立的的值域；（2）求和，其中．（3）设r =219．2－1，求数列的最大项和最小项的值．解：（1）∵∴∴∴∴（2）∵，，…，，…是公比为的等比数列，∴即，∴的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列．∴∴是以为首项，公比为的等比数列，∴，当时，，此时当时，若，则．若，由于．则．综上可得：（3）∴，∴．考查函数由函数图象可知，的前20项递减且都小于1，而从第21项开始的以后各项也递减，且都大于1．∴是各项中的最小者，是各项中的最大者．∴最小项是，最大项是．评述：用从特殊到一般的方法，从等比数列的定义出发，并从第一项开始，逐项考查，由数列的特征推断数列的性质．计算时运用了分类讨论的方法．容易发生的错误是忽略了的情形，或不论取什么值，总认为．利用函数的性质，通过数形结合的手法找到中的最大项和最小项．求变量的最值，本质是运用函数的观点，把看作因变量，看作变量，将理解为求函数的解析式，利用函数的图象与性质，从而求得最值．例10．数列中，，其中，，，试比较与的大小．解：相减，得：而故于是：，∴，∵∴三. 思考题1．在数列{a n}中，（1）0．98是不是这个数列中的一项？若是，为第几项？（2）指出对任意n∈N，a n+1与a n的大小，并说明理由．2．是否存在等差数列{a n}和常数k，使得，其中S2n，S n+1分别是等差数列{a n}的前2n项和及前n+1项和．3．设（n∈N），是否存在n的整式g ( n )，使得等式对于大于1的一切自然数n都成立？4．数列{a n}满足，试判断数列{a n}中是否存在最大的项，若存在求出该项；若不存在，说明理由．5．设，f n( x )展开式中x2项的系数为a n，试问是否存在常数a，b，使对于不小于2的任何自然数n，都有：证明你的结论．6．已知函数(x <－2)（1）求函数f ( x )的反函数f－1( x )．（2）若a1=1，（n∈N），求a n ．（3）设，b n=S2n+1－S n是否存在最小正整数m，使得对于任意n∈N，有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．7．设数列{a n}的前n项，a，b是常数，且b≠0．（1）证明{a n}是等差数列（2）证明以为坐标的点P n都在同一条直线上，并求直线方程．（3）设a=1，，C是以(r，r)为圆心，r为半径的圆（r >0），求使点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围．8．已知函数(a >1)（1）是否存在一个实数a，使得函数的图象有一条垂直于x轴的对称轴？如果存在，求实数a的值，如果不存在，说明理由．（2）实数a在什么范围取值时，函数f(x)有最大值？（3）当f(x)的最大值为2时，求实数a的值．答案1．（1）解：∵∴0．02n2=0．98 即n2=49∴n = 7．故0．98是此数列中的第7项．（2）解：∵∴∴∵n∈N．∴，，∴∴2．解：设a n= pn + q (p，q为常数)，则：，依题意：，则有：①②③由①得：（P≠0）或p=0．若p=0，由②知q=0而p=q=0不适合③故P≠0．将代入②，得∴将代入③，得又∵，得∴，∴存在等差数列和常数，使成立．3．假设g(n)存在，去探索g(n)．解：当n=2时，由a1=g(2)(a2－1)即，解得g(2)=2当n=3时，由a1+ a2=g(3)(a3－1)．即解得g(3)=3．当n=4时，由a1+ a2+ a3=f (4)(a4－1)即解得g(4)=4．猜想g( n )= n (n≥2，n∈N)，用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时，等式a1+ a2+ a3+…+a n－1=g (n)(a n－1)成立．1º．当n=2时，a1=1，，结论成立．2º．假设n=k（k≥2）时结论成立，则∴n=k+1时，结论也成．由1º、2º可知，对于大于1的自然数n，存在g(n)=n，使等式a1+ a2+ a3+…+a n－1=g( n ) (a n－1)恒成立．4．设数列{a n}中的最大项是a n ．由得：10n≥9n+9，∴n≥9又由得：9n≥10n－10，∴n≤10由此可知数列{a n}存在最大项，即n=9或n=10时，a n最大，此时．5．解：（1）∵∴又x<－2∴(x>0)（2）∵a1=1，∴∴是以为首项，公差为4的等差数列，∴又a n>0 ∴∴（3）∵b n=S2n+1－S n ，b n+1=S2n+3－S n+1∴b n+1－b n=(S2n+3－S n+1)－(S2n+1－S n)∴{b n+1－b n}为递减数列．要使对n∈N，都有成立，只需成立．∵∴∴∴存在最小正整数m=8，使得对n∈N，都有成立．6．解法一：n=2时，f2(x)=(1+2x)(1+22x)展开式中，含x2项的系数是a2=23．由给定表达式有：于是①n=3时，f3(x)=(1+2x)(1+22x)(1+23x)展开式中含x2项的系数是由给定表达式有：于是8a+b=7 ②联立①②解之得：a=1，b=－1．以上用数学归纳法证明对任意n∈N，n≥2，都有1º、当n=2时，等式成立．2º、假设当n=k时，则n=k+1时，f k+1(x)= f k (x)(1+2k+1x)其展开式中，x2项的系数是∴可见，n=k+1时等式成立．由1º、2º可知：对任意的n∈N且n≥2，都有：解法2．n=2时，展开式中，含x2项的系数为a2=23=8易知：展开式中，含x2项的系数为a n－1，展开式中，含x2项的系数为a n．于是∴a n－a n－1=22n－2n+1把这个递推式沿n=3，4，5…依次排列得：a3－a2=26－24a4－a3=28－25a5－a4=210－26…a n－a n－1=22n－2n+1把这个n－2个等式相加，得：∴和已知比较知a=1，b=－1，此时，上式对任何不小于2的自然数成立．7．解（1）a1=S1=a，当n≥2时，a n=S n－S n－1 (n≥2)a n+1=a+2nb．∴a n+1－a n= 2b (n≥2) ．且a2－a1=a+2b－a=2b∴数列{a n}是等差数列．（2）P1(a1，a1－1) = P1(a，a－1)∴∴P n在过P1，斜率为的直线上，该直线方程为：即x－2y+a－2=0．（3）当a=1，时，，，依题意：∴8．解：∵a >1∴解不等式组，可知函数y=f ( x )的定义域是区间（1，a），且其解析式可简化为（1）假设函数y=f ( x )图象有一条垂直于x轴的对称轴∵y=f ( x ) 的定义域是（1，a）∴对称轴方程是又函数的函数图象的对称轴是，函数y=f ( x )的图象只有一条垂直于x轴的对称轴．∴，对任何的实数a，这一等式都不可能成立．综上所述，函数y=f ( x )的图象对任何实数a都没有一条垂直于x轴的对称轴．（2）∵函数y=f ( x )的定义域是开区间(1，a)∴当且仅当，即a>3时，y=f ( x )有最大值，相应的x值是．（3）由解得x=19或x=－21．∵x∈(1，a)（a>1）∴x = 19．四.习题一、选择题1．等差数列{a n}的公差为d，S n=－n2，则（）(A) a n=2n－1，d=－2 (B) a n=2n－1，d=2(C) a n=－2n+1，d=－2 (D) a n=－2n+1，d=22．数列{a n}中，a n=－2n+99，当前n项和S n达到最大值时的n等于（）(A) ）48 (B) 49 (C) 50 (D) 513．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2 +a4 + a15的值是个确定的常数，则数列{S n}中也是常数的项是（）(A) S7 (B) S8(C) S13(D) S154．无穷等比数列各项的和为2，则其首项a1的取值范围是(A) （0，1）(B) （－1，0）∪（0，1）(C) （0，4）(D) （0，2）∪（2，4）5．已知等差数列{lg a n}的公差为－lg2，记，且S4=1，那么的值等于（）(A) 2 (B) (C) (D)6．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)7．已知数列{a n}中，（n∈N），那么数列{a n}的前20项中的最大项和最小项分别为（）(A) a1，a20(B) a1，a9(C) a10，a9(D) a10，a20二、解答题8．已知数列{a n}的通项a n与前n项和S n满足关系式：，求. 9．已知：a > b > 0，数列{a n}的首项为0，它的前6项{a1，a2，…a6}成公差为的等差数列，从第6项开始的所有项{a6，a7，a8，…}成公比为的等比数列.（1）求证：数列{a n}的所有项的和.（2）若a+2b=10，则a，b为何值时，S的值最小？S的最小值是多少？10．在△ABC中，a，b，c分别是解A，B，C的对边，已知a，b，c成等差数列，求∠B的取值范围.11．市场上某种进口轿车的售价36万元，此外一辆轿车一年的养路费、汽油费、年检费，驾驶员工资等约需6万元，同时在使用过程中年折旧费为10%（这辆车每年减少它当年价值的10%），大约使用多少年后，花费在该车上的费用和折旧费之和就达到售价36万元（精确到一年）.12．已知数列{x n}中，x1=a（a≠0），且当n≥2时，。
高中数学：用函数思想解数列题
高中数学：用函数思想解数列题
从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值。
1、利用周期性解题
例1、在数列{a n}中，已知，则等于（）
A. -1
B. -5
C. 1
D. 5
解：因为
所以
两式相加，得
从而有
即{a n}是周期为6的数列，所以
选A
2、利用单调性解题
例2、设，且n>1，求证
证明：令
则
于是
所以
即a n是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，…
又
所以当n＝2，3，4，…时，都有
故
3、利用图象解题
例3、已知数列{a n}的通项公式，则数列{a n}的前30项中最大项与最小项分别为（）
A. a1，a10
B. a1，a9
C. a10，a30
D. a10，a9
解：因为，由图象，知选D。
4、分离参数解题
例4、已知a>0且a≠1，数列{a n}是首项为a，公比为a的等比数列，设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。
解：依题意，得，所以
于是
（1）当a>1时，
所以，故
当时，
所以
故
综上，得。
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问题23 利用方程思想求解数列问题
一、考情分析
数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组. 二、经验分享
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(4) 为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等 三、知识拓展
在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前n 项和公式，有时还要用到以下结论：
(1)在等差数列中a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *
)．若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋
m
，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *
)是公差为md 的等差数列．数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．
(2)在等比数列中a n ＝a m ·q n －m
(n ，m ∈N *)．若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则a k ·a l
＝a m ·a n .公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n
. 四、题型分析
(一) 方程思想在等差数列中的应用
【例1.】已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 2
2＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 【分析】列出关于a 1与d 的方程组，求出a 1与d ，再求a 9. 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－4，d ＝3，
则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.
【点评】数列的通项公式与前n 项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类
最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab ＝4，2b ＝a －2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab ＝4，
2a ＝b －2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝4.
∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.
【小试牛刀】【山东济南外国语学校2019届1月模拟】已知等差数列
的公差为
成等比数列，则
的前n 项和( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】∵等差数列{a n }的公差为2，a 2，a 3，a 6成等比数列， ∴（a 1+4）2
＝（a 1+2）（a 1+10），解得a 1＝﹣1， ∴{a n }的前n 项和S n n +n 2﹣n ＝n 2﹣2n ＝n （n ﹣2）．
故选A ．
(四) 构造一元二次方程求解数列问题 【例5】已知等差数列{}n a 满足，则3a 的取值范围是
【分析】构造关于3a 的一元二次方程
【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解
【小试牛刀】已知数列为正项的递增等比数列，，记数列的前n 项和为，
则使不等式2018成立的最大正整数n 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设正项的递增等比数列{a n}的公比为q＞1，∵a1+a5＝82，a2•a4＝81＝a1a5，
,a a是方程，
所以
15
解方程得a1＝1，a5＝81．
∴q4＝81，解得q＝3．
∴a n＝3n﹣1．
∴数列的前n项和为T n＝2＝223（1）．则不等式化为：20181，即3n＜2018．
∵36＝729，37＝2187．
∴使不等式成立的最大正整数的值为6．
故选B．
五、迁移运用
1．【山东济南2019届期末】已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( ) A．-2 B．2 C．-3 D．3
【答案】B
【解析】由题意可得： 5d＝25，解得d＝2．故选B．
2.【甘肃、青海、宁夏2019届期末联考】设等比数列的前项和为，若，，则A．-60 B．-40 C．20 D．40
【答案】B
3.【广东揭阳2019届模拟】记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( ) A．-2 B．2 C．-8 D．-2或-8
【解析】依题意，解得，故，故选C. 4.【湖北宜昌2019届元1月调研】等比数列的前项和为，若，则公比（）
A．1 B．-1 C． D．-2
【答案】C
q 时，由，得，
【解析】当q=1时满足，当1
整理的，所以q=-1，综上得q=，故选C。
5.【浙江台州2019届期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
6.【山东济南2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和( ) A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵等差数列{a n}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），
解得a1＝﹣1，∴{a n}的前n项和S n n+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．
故选A．
7.【黑龙江哈尔滨师大附中2019届期末】已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数
列的前项和为（）
A． B． C．或 D．或
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．
∴
a 1a 5，即（2+d ）2＝2（2+4d ），整理得2
40d d -=，解得d ＝0或4．∴a n ＝2，或a n ＝2+4（n ﹣1）
＝4n ﹣2．
当d ＝0时，数列{a n }的前n 项和为2n ； 当d ＝4时，则数列{a n }的前n 项和为2n
2n 2
．故选C ．
8.【山东济南外国语学校2019届1月模拟】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。
问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。
问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。
这个问题中，戊所得为（ ） A ． 钱 B ．钱 C ． 钱 D ． 钱 【答案】B
【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ，
由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即a ﹣2d+a ﹣d ＝a+a+d+a+2d ，得a ＝﹣6d ，又五人分五钱，则a ﹣2d+a ﹣d+a+a+d+a+2d ＝5a ＝5， ∴a ＝1，则a+2d ＝a+2×＝．故选B ．
（2） 由（1）
，则有
．
则．
14．【山西吕梁2019届一模】为等差数列的前项和，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.。