工科高等数学复习必备
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是学习数学的一个重要分支，它包括微积分，线性代数，数学分析等多个学科的内容。
在大学阶段，高等数学是理工科学生必修的一门课程，它为学生提供了深入掌握数学知识的基础。
下面将对高等数学中的主要知识点进行总结。
微积分微积分是高等数学的重要内容，它包括微分学和积分学两个部分。
微分学微分学探讨的是函数的变化趋势，它通过导数定义函数的切线和函数在某一点的波动情况。
常用的微分运算有：1、导数的定义和求导法则导数的定义：对于函数f(x)，当x的增量越来越小时，函数在x处的导数为：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h(h→0)导数的求导法则:常数乘积法则：(cf(x))'=cf'(x)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g(x)^22、高阶导数高阶导数定义: 给予函数f(x)，可以通过反复求导得到f(x)的高阶导数。
f'(x),f''(x),f'''(x)...3、微分中值定理和Taylor公式微分中值定理：对于函数f(x)，和它的两个不同点a,b(a<b)，则在f(a)和f(b)之间至少存在一个点c将f(b)-f(a)和f′(c)联系起来。
f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)Taylor公式: 它用多项式函数来描述函数局部的变化特征。
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2+...+f(n)(a)(x-a)^n/n!+o((x-a)^n)其中o((x-a)^n)表示x→a时比(x-a)^n对应的函数趋近于0到一个高阶无穷小量。
高等数学知识点总结
高等数学是大学理工科学生的一门基础课程，涉及到数学分析、线性代数、概率论和数学物理方法等内容。
本文将对高等数学的知识点进行总结，以供参考。
一、数学分析1.极限与连续极限是数学分析的基础概念，主要研究函数在某一点的邻域内的性质。
极限的性质包括保号性、保序性等。
连续性是极限的一种特殊情况，一个函数在某一点的极限等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。
2.导数与微分导数研究函数在某一点的切线斜率，是函数变化率的具体体现。
导数的计算方法包括定义法、导数法则和高阶导数等。
微分是导数的一种应用，主要研究函数在某一点的微小变化。
3.积分与不定积分积分是导数的逆运算，研究函数在某一区间内的累积变化。
积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等。
不定积分是积分的一种扩展，没有明确的积分界限，主要用于求解原函数。
级数是数学分析中的重要部分，研究函数的和式。
常见的级数包括幂级数、泰勒级数和傅里叶级数等。
级数的收敛性判断是级数研究的关键，常用的判断方法有比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
5.多元函数微分学多元函数微分学研究多个变量之间的函数关系。
主要内容包括偏导数、全微分、方向导数和雅可比矩阵等。
重积分是研究函数在空间区域上的累积变化。
重积分的计算方法包括一重积分、二重积分和三重积分等。
7.常微分方程常微分方程是描述自然界和工程技术中具有变化规律的数学模型。
常微分方程的解法包括分离变量法、常数变易法和线性微分方程组等。
二、线性代数矩阵是线性代数的基本工具，用于描述线性方程组和线性变换。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵的行列式用于判断线性方程组的解的情况。
2.线性方程组线性方程组是实际问题中常见的数学模型。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克莱姆法则等。
3.向量空间与线性变换向量空间是具有加法和数乘运算的向量集合。
线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。
4.特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
工科高等数学复习必备
积分与求导公式Ca x x a dx C x a x x a dx Ca x a x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+++=++=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin )ln(arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+=-++-=--='='-='='⎰⎰⎰为奇数为偶数n n n n n n x C a x x a x dx Ca x a x a a x dx xx x x x x x x x x n !!!)!1(2!!!)!1(sin ln ln 21cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 2022222222ππ带拉格朗日余项的麦克劳林公式113222124212112153111321132)1()!1())......(1(!)1)......(1(......!3)2)(1(!2)1(!11)1(cos )!22()1()!2()1(......!4!21cos cos )!12()1()!12()1(......!5!3sin )1(1)1()1()1(......32)1ln()!1(!......!3!2!11+-+++++--++-++++--++--++--+-++=++-+-++-=+-+--++-=++-+-+-+-=++++++++=n n nn n n n n n n n n n n n n n n x n x n n x n x x xx n xn x x x x n x n x x x x x n x n x x x x x e n xn x x x x e ααξξααααααααααααξξξ常用函数在x=0点的幂级数展开式（麦克劳林公式）),(,!...!3!2!11)1(...32)1ln()1( (111))1,1(, (111)3213222+∞-∞∈+++++=-+-+-=+⇒-+-+-=+⇒--∈++++=--x n xx x x e nxx x x x x x x xx x x x x x xnx nn nn n 积分代以常用高阶导数nn n n n nn n n n n n n x n x x n x n kx k kx n kx k kx x n x xn x a a a a ---+-+--=++=+=+--=-=>=)1()!1()1())1(ln()2cos()(cos )2sin()(sin )1)......(1()(!)1()1()0(ln )(1)()()()(11)()(ππααααα[]232222)(1)()()(y y dx dy ds '+''+=曲率弧长微分公式重要极限)0,(0ln )0,(0)0,(0ln 0sin lim lim lim lim 0>=>=>==+→+∞→+∞→∞→βαβαβαβαβαβαx e xx xx xxx x x x xe x x a a x xxx x x nx x =+=+>==→∞→∞→→)1()11()0.(11sin lim lim limlim 0反常积分21,111,101102π=≤>≤>>⎰⎰⎰∞+-+∞dx ep p dx x p p a dx x x p a p 时收敛时发散当时发散时收敛）当（级数i e e x e e x nxdxx f b nxdx x f a nx b nx a a x f n n p p n p p a ap ix ix ixix n n n n n n n p n n2sin ,2cos sin )(1cos )(1)sin cos (2)(0,1010,1111ln 11111||1||)0(10210----∞=∞=∞=∞=-=+=⎪⎩⎪⎨⎧==++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<≤<=>=>⎩⎨⎧≤>⎩⎨⎧≥<≠⎰⎰∑∑∑∑欧拉公式傅里叶级数发散发散收敛收敛，发散收敛发散收敛ππππβαππβαβαβαα特殊函数及其性质不连续）点可微，但在（）（在沿任意方向方向导数存，不可微，）点连续，导数不存在在（）（二元函数取整函数双曲函数处可导在处连续不可导在yfx f y x y x y x y x y x f y x y x f x x x x x x x e e x e e x f x x e x f x x f x x f x x xx x f xx x x n x ∂∂∂∂⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=+=≤<-==+=-==⎪⎩⎪⎨⎧=≠==>=≤<⎪⎩⎪⎨⎧=≠=---,0,00001sin )(),(20,0),(1.5][1.4sinh )(cosh ,cosh )(sinh 2cosh ,2sinh .30)0(0,00,)(.20)(,10)(,100,00,1sin )(.12222222222'')(12ααα梯度、通量、散度、环流量、旋度),,(*rot *),,(),,(),,(),,(*)1()()(),,(*,,,),,(),,,(),,,(),(),(),(偏导数空间区域内有一阶连续在包含曲面法方向成右手系，正方向与斯托克斯公式环流量旋度为边界的有向曲面是以为空间有向闭曲线，，某力函数方向向外内有一阶连续偏导数，所围空间区域在闭曲面高斯公式散度轴成钝角法向量与轴成锐角法向量与上的投影）在平面为方程为，（通量为场内一有向曲面有一阶连续偏导数，）（设某向量场处可微在点，函数梯度∑∑Γ•=•++=•∂∂∂∂∂∂=⨯∇=Γ∑Γ++=Ω∑=•∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎩⎪⎨⎧∑-++∑+-+-=∑=∑++=•∑==∂∂+∂∂=∂∂∂∂==∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑ΓΓΓ∑Ω∑∑R Q P S d A rot s d A RdzQdy Pdx s d A RQ P z y x kj i A A k z y x R j z y x Q i z y x P A R Q P dv A div S d A z Ry Q x P A div z Rdxdy Q z P z z Rdxdy Q z P z xoy D y x z z Rdxdy Qdzdx Pdydz S d A R Q P z y x R z y x Q z y x P A y x y x f z j y f i x f y f x f gradz Dy x Dy x常微分方程可分离变量的方程齐次方程)()(222111c y b x a c y b x a f dx dyxydx dy ++++==ϕ一阶线性微分方程))(()()()()(C dx e x Q e y x Q y x P dx dydxx P dx x P +⎰⎰==+⎰-通解伯努利方程)()1()()1(,)()(1x Q n z x P n dxdzy z y x Q y x P dxdyn n -=-+==+-则令可降阶的高阶微分方程dydp py y p y y y f y y x f y x f y n =''=''='''=''=则令)(),(.3),(.2)(.1)(二阶线性微分方程dxe y y y xf y x Q y x P y dx x P ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰==+'+''-)(21121)()()(刘维尔公式二阶常系数齐次线性微分方程()x C x C e y i r ex C C y r r e C e C y r r q pr r qy y p y x xr x r x r βββααsin cos ,)(,,0021212121212121+=±=+==+=≠=++=+'+''特征方程二阶常系数非齐次线性微分方程[][]⎩⎨⎧++=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧====+'+''**是特征根不是特征根是重根，是单根，不是特征根i i k x x R x x R e x y xx P x x P e x f k e x Q x y e x P x f x f q y p y m m x k m m x x m k xm ωλωλωωωωλλλλλλλ,1,0,sin )(cos )(sin )(cos )()(.221,0,)()()(.1)()2()1()2()1(二阶非齐次线性微分方程（常数变易法）()y u u x f y u y u y u y u y u y u y y C y C Y x f y x Q y x P y x x 积分即可得出解出设对应齐次方程的通解为,,0,)()()(21221122112211)(22)(11''⎩⎨⎧=''+''='+'+=+==+'+''欧拉方程dtdD n k y k D D D D dxy d x e x p p p x f y p y x p y x p y x p y x kkk t n n n n n n n n n 即则令是常数其中......,3,2,1,)1)......(2)(1(,,......,,)(211)2(22)1(11)(=+---===+'+++-----（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等数学复习资料大全
高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。
2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。
（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。
（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。
（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。
3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。
4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。
5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。
（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。
6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。
二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。
2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。
3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。
4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。
5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。
三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。
2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。
大一高数重要知识点总结
大一高数重要知识点总结高等数学作为大一学生必修的一门专业课程，是理工科学生学习的基础课之一。
通过学习高等数学，我们可以培养抽象思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力。
下面将对大一高等数学的重要知识点进行总结，以便同学们能够更好地掌握和应用这些知识。
一、极限与连续1. 极限的概念和性质：包括数列极限和函数极限的定义、极限的性质以及极限的运算法则等。
2. 无穷小与无穷大：介绍无穷小和无穷大的定义，讨论在极限计算中的应用。
3. 连续与间断：介绍连续函数的概念和连续函数的性质，分析间断点的类型及其性质。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算：介绍导数的定义、导数的基本性质，以及各类函数的导数计算方法，如常数函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的几何意义：说明导数与函数图像的关系，解释导数的几何意义，包括切线和法线的概念。
3. 微分与微分中值定理：介绍微分的概念和微分中值定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：解释定积分的概念和几何意义，介绍定积分的性质，如线性性质、区间可加性等。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的计算方法，包括换元积分法、分部积分法和定积分的几何应用。
3. 不定积分与基本积分公式：介绍不定积分的概念、基本性质和基本积分公式，以及各种函数的不定积分计算方法。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：介绍微分方程的定义、微分方程的阶数、方程的解和方程的解集等基本概念。
2. 常微分方程的解法：介绍常微分方程的一阶线性方程、一阶可分离变量方程和二阶常系数线性齐次方程等的求解方法。
3. 高阶线性方程组与常系数齐次方程的解法：讲解高阶线性方程组的一般解法和常系数齐次方程的通解的计算方法。
此外，大一高等数学还包括了曲线与曲面的方程、空间向量与立体几何、多元函数的极值与条件极值等内容，这些知识点的掌握也是非常重要的。
通过对以上大一高等数学的重要知识点的总结与归纳，我们能够更好地理解和应用这些知识点，提高解决数学问题的能力，为将来的学习打下坚实的数学基础。
高数复习知识点及公式
高数复习知识点及公式一、知识点1、 求直线方程和平面方程2、 求条件极值3、 二重积分4、 曲线积分（弧长积分、坐标积分）5、 曲面积分6、 格林公式7、 高斯公式→空间闭曲面 ※8、 幂级数（求收敛半径、判断正项级数收敛性） 9、 傅里叶级数二、公式空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y m tx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy yvdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuFv u G F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx yx x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学(理工)
高等数学（理工）导言高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
本文档将介绍高等数学课程的主要内容和学习方法，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。
一、微积分1.1 极限与连续•极限的定义•极限的性质与运算法则•连续函数与间断点•导数的定义与计算方法1.2 微分学•函数的导数与导数的几何意义•高阶导数•隐函数的导数•微分中值定理与应用1.3 积分学•不定积分与定积分•定积分的几何意义•反常积分•微积分基本定理二、级数与数列2.1 数列的概念与性质•数列的定义•数列极限的概念与判定•数列的性质与运算法则2.2 级数的概念与运算•级数的定义与收敛性•正项级数与非负项级数•级数的收敛性判别法•常见级数：等比级数、调和级数等2.3 幂级数•幂级数的收敛半径和收敛域•幂级数的和函数•幂级数的运算法则•幂级数在收敛域上的性质2.4 泰勒级数•泰勒级数的定义和性质•泰勒级数展开与应用•函数的典型泰勒展开式•泰勒级数的收敛性分析三、常微分方程3.1 基本概念与解的存在唯一性•常微分方程的定义•解的概念与初值问题•解的存在唯一性定理•分离变量法与线性方程的解法3.2 高阶微分方程•高阶线性微分方程的概念与解法•齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程•常系数线性微分方程的特殊解法•欧拉方程与常系数齐次线性微分方程3.3 变量可分离方程与一阶线性方程•变量可分离方程的概念与解法•一阶线性微分方程的概念与解法•线性微分方程的常数变易法•指数增长与衰减的微分方程3.4 线性方程组与矩阵•线性方程组的基本概念与解法•矩阵的运算法则与性质•初等变换与矩阵的行阶梯形•线性方程组的解的判定与求解四、空间解析几何4.1 点、直线与平面•点的表示与性质•直线的方程与特征•平面的方程与特征•点到直线与平面的距离4.2 空间曲线与曲面•参数方程与曲线方程•曲面的方程与特征•空间曲线与曲面的求交与切线•空间曲线与曲面的长度与曲率4.3 空间向量与坐标系•向量的运算法则与性质•空间直角坐标系与向量的表示•点、直线与平面的向量方程•点到直线与平面的投影五、概率与统计5.1 概率的基本概念与性质•随机试验与样本空间•事件与事件的运算•概率的定义与运算法则•条件概率与独立性5.2 随机变量与概率分布•随机变量的概念与分类•离散型随机变量及其分布•连续型随机变量及其密度函数•期望值与方差的计算5.3 样本统计量与抽样分布•样本均值与样本方差的概念•估计量与抽样分布•正态总体的样本均值分布•极限定理与大样本估计5.4 假设检验与参数估计•假设检验的基本原理与步骤•单侧检验与双侧检验•参数估计的方法与误差分析•假设检验与参数估计的应用六、数学建模6.1 数学建模的基本步骤•问题的分析与理解•建立数学模型•模型的求解与分析•模型的验证与应用6.2 常见数学建模方法•几何建模与数理统计•线性规划与整数规划•动态规划与图论算法•模糊综合评价与神经网络结语高等数学的学习需要时间和耐心，通过合理的学习方法和实践，相信同学们一定能够掌握这门重要的理工科基础课程。
备考必备的10本好书推荐：助力你考试取得好成绩
备考必备的10本好书推荐：助力你考试取得好成绩无论是高考、考研还是其他重要考试，备考阶段都是非常关键的。
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1.《考研英语一本通》这本书是考研英语备考的经典教材，包含了阅读理解、完形填空、翻译等各个部分的习题，涵盖了考试的重点内容。
通过系统的学习和练习，可以帮助考生提高英语水平，从而在考试中取得好成绩。
2.《高等数学（上册）》对于理工科考生来说，掌握好高等数学是至关重要的。
这本教材内容详尽，结构严谨，循序渐进，适合作为复习和巩固数学基础的参考书。
通过反复训练，能够帮助考生理解和掌握数学概念，提高解题能力。
3.《考研政治导论》政治科目在考研中占据重要位置，掌握好政治导论的知识是取得好成绩的关键之一。
这本书系统地介绍了中国共产党的历史、原则和方针政策等内容，可以帮助考生全面了解和把握政治知识。
4.《现代汉语词典》语言文字是各个科目的基础，掌握好汉语词汇的含义和用法尤为重要。
这本词典是权威的汉语工具书，收录了大量的词汇和解释，可以帮助考生查阅和学习词汇，提高语言表达能力。
5.《全真模拟试题：英语四级（CET-4）》对于大学英语四级考试的考生来说，这本模拟试题集是必备的学习资料。
里面包含了大量的听力、阅读、写作和翻译题目，通过反复练习，可以提高考生的英语综合能力和应试技巧。
6.《高分语文阅读理解300篇》语文作为一门综合性的学科，考察的是学生的语言运用和阅读能力。
这本书选取了300篇经典的语文阅读理解题目，通过分析和解答，帮助考生提高对文本的理解和分析能力。
7.《历年真题精讲：心理学》心理学是考研较为热门的科目之一，了解和掌握心理学的知识能够有助于解答相关题目。
这本书汇集了历年来的心理学考研真题，并进行了详细的讲解和解析，帮助考生加深对心理学理论和应用的理解。
8.《大学物理（上册）》物理作为理工科的核心科目，需要考生具备坚实的物理基础。
高等数学教材工科
高等数学教材工科高等数学是一门在工科学习中所必须要掌握的基础课程。
对于工科学生来说，高等数学教材的内容涵盖了他们未来所需要应用的数学知识和技巧。
本文将从工科的角度出发，对高等数学教材的特点和重要性进行论述。
第一章：微积分微积分是高等数学中最重要的一部分，它包括了导数和积分的概念与应用。
对于工科学生来说，微积分为他们理解和分析问题提供了有力的工具。
在工科领域中，微积分常常用于求解物理、力学和电路等问题。
在微积分的学习中，高等数学教材工科版通过清晰的数学符号、准确的定义和详细的推导过程，帮助学生掌握微分和积分的操作方法。
此外，教材中还提供了丰富的例题和习题，帮助学生巩固和应用所学知识。
第二章：线性代数线性代数是工科学生必修的数学课程之一。
它研究向量空间和线性变换，并探究线性方程组的解法和特征值问题。
在线性代数的学习中，高等数学教材工科版通过直观的几何解释和精确的数学表达，帮助学生理解抽象的概念和方法。
在线性代数的学习过程中，高等数学教材工科版注重培养学生的计算能力和问题解决能力。
教材中提供了大量的归纳和推理，引导学生利用矩阵运算和行列式求解实际问题，并着重训练学生的抽象思维和逻辑推理能力。
第三章：概率论与数理统计概率论与数理统计是工科学生在处理实际问题时所需要掌握的一门学科。
概率论研究随机现象的概率规律，数理统计则研究从样本中推断总体的方法和技巧。
在高等数学教材工科版中，概率论与数理统计的内容在理论和应用上都得到了充分的呈现。
教材中通过具体的问题引导学生理解概率和统计的基本概念，同时介绍了常见的概率分布和统计推断方法。
此外，教材还通过案例分析和实际数据的处理，帮助学生将概率论与数理统计的知识应用到工程实践中。
结语：高等数学教材工科版是为工科学生量身定制的教材，在内容和形式上都紧密结合了工科学习的需求。
通过学习高等数学教材，工科学生可以建立起扎实的数学基础，为进一步深入学习工科专业课程奠定坚实的基础。
(完整版)高数知识点总结
(完整版)高数知识点总结高等数学是大学中的一门必修课程，也是理工科学生必修的重要基础课程。
随着科技的飞速发展，高等数学的应用范围日益广泛，因此，掌握高等数学的知识点对于理工科学生来说至关重要。
本文将针对高等数学中的一些重要知识点进行总结和梳理，方便各位学习者进行整理和加深理解。
1. 极限极限是高等数学中最基础的概念之一。
在数学和物理学中，极限用来描述一个函数或序列中的值趋近于某一值的过程。
极限的求解需要掌握一些重要的公式，如等价无穷小替换、洛必达法则等。
2. 导数导数是描述函数变化率的概念，也是高等数学中非常基础的知识点。
在实际问题中，求导数可以帮助我们计算速度、加速度、斜率等物理量，因此，熟练掌握导数的计算方法非常重要。
3. 积分积分是高等数学中的重要知识点之一，可以用来求解曲线下面的面积以及求解函数的反导数。
在实际问题中，积分也是解决问题的常用工具之一。
4. 偏导数偏导数是描述多元函数变化率的概念，和一元函数的导数类似。
在实际问题中，偏导数可以用来计算函数在某个方向上的变化率，非常适用于物理学和工程学中的问题。
5. 微分方程微分方程是高等数学中的重要分支之一，广泛应用于物理学、工程学、生物学等学科领域。
解微分方程可以帮助我们预测自然现象的走势和发展趋势，对于实际问题的解决非常有帮助。
6. 泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一条非常重要的定理，可以将一个函数在某个点周围展开成多项式的形式，用于近似计算函数的值和函数的导数值。
7. 多元函数极值多元函数极值是高等数学中的另一个非常重要的知识点，用于寻找函数的最大值和最小值，并且可以应用于物理学和工程学的实际问题中。
8. 傅里叶级数傅里叶级数是高等数学中非常重要的一个分支，可以将一个固定周期的函数表示为若干个正弦函数和余弦函数的线性组合，应用于各种信号处理、噪声抑制的领域中。
9. 线性代数线性代数是高等数学中非常重要的一个分支，涉及矩阵、行列式、线性方程组、向量空间等概念，广泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
如何备考高等数学(工本)
基本呈正态分布，试卷中各章节知识点的分布也比 式依然一筹莫展。表 2 中，本文就总结历年考试真
较平均。
题，对这个问题展开详尽叙述。
接下来结合最近六年，即 2010 至 2015 年的十
综上所述，第一章是基础，向量的运算相当
月份《高等数学（工本）》真题，动态地呈现出自 重要，在空间几何中平面方程和直线方程的构建以
合应用”四个认知层次，其在试卷中所占分值的比 且近年对曲面曲线积分和常微分方程的考查力度有
例约为 20%、30%、30%、20%。按照试卷难度可 所加大。无穷级数的试题比例则稳定于 20%。
分为：易、较易、较难、难四个档次，它们所占分 值比例约为 2:4:3:1。[2]
三、基于试卷结构的备考策略 不过上述数据也仅能反映出试卷题型中每章
题型分配
考查内容
一是空间中的位置关系，如点点距离、点面距离、对称点等；二是向量点乘运算及其
向量代数 与解析几何
一道选择题、一道填空题和一道 计算题，总共 10 分
应用，判断两向量位置关系，如是否垂直或是计算向量之间的夹角；三是判别特殊的 曲面方程，比如旋转面、柱面、一些特殊的二次曲面；四是考查空间中平面方程和直 线方程，这一部分也需要用到向量关系及运算。对于前三方面的考查基本会以小题的
第一部分是二重积分的计算，如二重积分根据积分区域 D 的类型化成二次积分，或是 用极坐标变换化的方法来解，还有两种情形是可以简化二重积分的，当被积函数为 1
重积分
一道填空题、一道选择题和两道 时和积分区域具有对称性而被积函数又有相应的奇偶性时；第二部分是三重积分的计
计算题，总共 15 分
算，如按照积分区域 D 的类型采用“先一后二”的方法还是“先二后一”的方法来化
工科高等数学教材全解
工科高等数学教材全解工科高等数学是大学工科专业中的一门重要课程，它包含了微积分、线性代数、概率统计等多个分支知识。
对于学习者来说，一本全面而准确的教材是十分重要的。
本文将全面解读工科高等数学教材，为你提供相关知识的全面解释和解题技巧。
一、微积分微积分是工科高等数学中的核心内容之一，它主要包括极限、导数、积分等知识点。
通过学习微积分，我们能够了解函数的变化规律、曲线的特性等。
在微积分的学习中，我们要掌握极限的计算方法、导数的求解技巧以及积分的应用等。
同时，还需要注意函数的性质和曲线的图像，这是解题的关键所在。
二、线性代数线性代数是工科高等数学中的另一个重要部分，它主要研究向量、矩阵、线性方程组等内容。
线性代数的学习中，我们需要了解向量的定义和运算法则，熟练掌握矩阵的乘法和逆矩阵的求解方法，并且要能够运用线性代数解决实际问题。
三、概率统计概率统计是工科高等数学的基础，它主要包括概率理论和统计学两个部分。
在概率理论的学习中，我们需要了解随机变量、概率分布以及事件的概率计算等。
而在统计学的学习中，我们则需要掌握描述统计和推断统计的基本方法，能够运用样本数据进行参数估计和假设检验。
以上仅是对工科高等数学教材内容的简要介绍，具体的知识点还需根据不同的教材来确定。
在学习过程中，我们要注重理论与实际的结合，尝试将数学知识应用到实际问题中去。
同时，做好练习题和习题课的巩固工作，通过反复练习，提高自己的解题能力和技巧。
总结起来，工科高等数学教材是我们学习工科数学的重要依据，通过系统学习和深入思考，我们能够掌握其中的关键知识和解题技巧。
希望本文对你在工科高等数学学习中有所帮助！。
高等数学(理工类)课程的主要内容
高等数学（理工类）课程的主要内容一、函数、极限与连续函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形特征，初等函数，简单应用问题的函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义和性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大；无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则和两个重要极限；连续函数的概念，函数间断点的分类；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质(最大值最小值定理和介值定理)。
二、导数与微分导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数；隐函数及参数方程所确定的函数的导数，相关变化率；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。
一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用三、中值定理与导数的应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；泰勒中值定理；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数图形的拐点及其求法；渐近线，函数图形的描绘；函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用；弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆的概念与曲率半径的计算法。
四、不定积分原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数和简单无理函数的不定积分，以及可化为有理函数的积分。
五、定积分定积分的概念与定积分的近似计算；定积分的性质，定积分中值定理；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分。
六、定积分的应用定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、变力沿直线所作的功等。
七、空间解析几何与向量代数向量的概念，向量的线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦；向量的数量积与向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；曲面及其方程，球面及其方程，旋转轴为坐标轴的旋转曲面及其方程，母线平行于坐标轴的柱面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。
学习高等数学之前需要学习哪些数学知识
学习高等数学之前需要学习哪些数学知识我们上了大学之后，如果我们报的是理工科的院校，一定会学习的一门科目就是高等数学了。
对于高等数学，很多人一听到就感到很难学习，不知道从何下手。
其实，我们在学习之前做好充分的准备，然后再去学习还是不难的。
下面就是我小编为大家总结的学习高等数学之前需要学习的一些内容，大家看看。
首先,理解概念.数学中有很多概念.概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质,才能真正地理解一个概念.
其次,掌握定理.定理是一个正确的命题,分为条件和结论两部分.对于定理除了要掌握它的条件和结论以外,还要搞清它的适用范围,做到有的放矢.
第三,在弄懂例题的基础上作适量的习题.要特别提醒学习者的是,课本上的例题都是很典型的,有助于理解概念和掌握定理,要注意不同例题的特点和解法法在理解例题的基础上作适量的习题.作题时要善于总结----不仅总结方法,也要总结错误.这样,作完之后才会有所收获,
才能举一反三.
第四,理清脉络.要对所学的知识有个整体的把握,及时总结知识体系,这样不仅可以加深对知识的理解,还会对进一步的学习有所帮助.
高等数学中包括微积分和立体解析几何,级数和常微分方程.其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用.微积分的理论是由牛顿和莱布尼茨完成的.(当然在他们之前就已有微积分的应用,但不够系统)无穷小和极限的概念微积分的基本概念的理解有很大难度.
希望我们同学们在学习高等数学之前把上面的内容都仔细的看一遍，然后按照上面去学习，那么接下来的高等数学的学习就不难了。
工科高等数学 教材
工科高等数学教材一、引言工科高等数学是大学工科专业中一门重要的基础课程，它为学生提供了理论和方法论的基础，为他们日后的学习和工作打下坚实的数学基础。
本教材旨在系统而全面地介绍工科高等数学的核心内容和解题方法，以帮助学生掌握数学思维和计算技巧，提高他们的数学能力。
二、基本概念1. 数列与级数数列是按照一定规律排列的数的序列，级数是数列的和。
教材将详细介绍数列的表示方法、数列的收敛性、级数的性质等内容，并通过具体的例题进行演示。
2. 极限与连续极限是数学分析中最核心的概念之一，它描述了函数在某个点上的性质。
教材将引导学生理解极限的定义、性质和运算规则，并讲解连续函数的概念和特性。
3. 导数与微分导数是研究函数变化率的重要工具，微分则是导数的几何解释。
教材将介绍导数的计算方法、导数的基本性质以及微分的概念和运算法则，并通过实际问题展示导数在工程中的应用。
4. 不定积分与定积分不定积分是求解导数反问题的方法，定积分则是计算曲线下的面积或者物理量的方法。
教材将详细介绍不定积分的计算规则、定积分的定义和性质，并通过实例演示积分的应用。
5. 常微分方程常微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型，也是工科应用中常见的数学工具。
教材将引导学生理解常微分方程的基本概念和解法，并通过经典的实际问题引导学生掌握常微分方程建模和求解的方法。
三、教材特色1. 理论与实践相结合教材在讲解数学理论的同时，注重与实际问题的联系，通过实例和案例分析，让学生更好地理解理论知识的应用。
2. 简明易懂的讲解教材采用简明易懂的语言和逻辑结构，避免冗长的推导和抽象的概念，使学生更容易掌握和理解数学的基本原理。
3. 多样化的练习题教材提供了大量的练习题，涵盖不同难度和类型，旨在帮助学生巩固所学知识，培养解决实际问题的能力。
四、教学建议1. 定期复习工科高等数学的知识点相对较多，学生应当定期进行复习，巩固基础知识，并及时解决遇到的问题。
2. 善于归纳总结学生应该善于总结归纳，抓住重点，形成属于自己的学习方法和解题策略。
工科类高等数学自学教材
工科类高等数学自学教材第一章：导数与微分在工科领域，高等数学是一门重要的学科，对于学习相关专业的学生而言，掌握高等数学的基本理论和方法是非常必要的。
本教材旨在帮助读者系统性地学习和掌握工科类高等数学知识，特别是导数与微分的概念和应用。
1.1 导数的定义导数是微积分的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在本章中，我们将从导数的定义开始，讲解导数的计算和性质，并通过一些实例来加深对导数的理解。
1.2 导数的应用导数作为数学工具，在工科领域具有广泛的应用。
本节将介绍导数在工程、物理和经济等领域中的实际应用，如速度、加速度、最优化问题等。
1.3 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在某一区间上的变化情况。
本节将介绍微分中值定理的概念、证明以及应用，如函数的单调性、曲线的切线等。
第二章：不定积分不定积分是微积分中的另一个重要概念，它与导数密切相关，是导数的逆运算。
在本章中，我们将介绍不定积分的定义、性质和计算方法，并通过一些例题来加深对不定积分的理解和应用。
2.1 基本积分表基本积分表是不定积分中的重要工具，它包含了一些常见函数的不定积分形式。
本节将介绍一些常见函数的基本积分表，以及利用基本积分表进行不定积分的方法。
2.2 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是不定积分与定积分之间的重要联系，它将定积分与不定积分建立了起连接。
本节将介绍牛顿-莱布尼兹公式的概念和推导过程，以及应用场景。
第三章：定积分与其应用定积分是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一区间上的累积效应。
在工科领域，定积分有广泛的应用，如面积计算、物理量的平均值等。
本章将介绍定积分的定义、计算方法和应用。
3.1 定积分的定义定积分是将函数在某一区间上的值进行求和，得到一个数值结果。
本节将介绍定积分的定义和性质，以及定积分与不定积分的关系。
3.2 定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，如几何法、分割求和法、换元法等。
工科高数主要知识点回顾
工科高数主要知识点回顾第七章 空间解析几何与向量代数 1.向量运算（数量积，向量积）),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则θcos 212121b a z z y y x x b a ⋅=++=⋅222111z y x z y x k j ib a =⨯ 2.两个向量垂直、平行的充要条件2121210//z z y y x x b a b a ==⇔=⨯⇔ 00212121=++⇔=⋅⇔⊥z z y y x x b a b a例如（2006填空题1）3.向量的方向余弦，两向量的夹角余弦公式212121121212112121211cos ,cos ,cos zy x z zy x y z y x x ++=++=++=γβα222222212121212121cos zy x zy x z z y y x x ba ba ++++++=⋅=θ4.关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的问题，总是转化为向量与向量的问题 例如（2006选择题1）第八章 多元函数微分法及其应用1.多元函数的极限（化为一元函数的极限问题） 例如（2005填空题4）2.偏导数的定义0000000000),(),(lim),(),(lim),(0x x y x f y x f x y x f y x x f y x f x x x x --=∆-∆+=→→∆ 例如（2005填空题1）3.全微分dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=例如（2005填空题5）4.复合函数的偏导数（链式图）),(),,(),.(y x v v y x u u v u f z ===yvv f y u u f y z x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, 例如（2005选择题8）（2006解答题1） 5.隐函数的求导（两边对x 求偏导）zx F F x z-=∂∂ 例如（2005填空题7）（2006计算题2） 6.方向导数与梯度 梯度),,(z y x f f f gradf = 方向导数γβαcos cos cos z y x f f f lf++=∂∂ 方向导数的存在条件如果函数),(y x f 在点P 可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在 例如（2005选择题4）7.空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线 空间曲线)(),(),(t z t y t x ωψϕ=== 切向量))(),(),((///t t t T ωψϕ=0))(())(())((,)()()(00/00/00/0/00/00/0=-+-+--=-=-z z t y y t x x t t z z t y y t x x ωψϕωψϕ （其他参数方程形式的情形） 空间曲面0),,(=z y x F 法向量),,(z y x F F F n =zy x z y x F z z F y y F x x z z F y y F x x F 000000,0)()()(-=-=-=-+-+- 8.多元函数的极值，条件极值（拉格朗日乘数法）极值点可能存在的地方：驻点，不可导点 驻点处是否为极值是何种极值的判定：yy xy xx f C f B f A ===,,（1）02>-B AC 为极值点，0>A 为极小值点，0<A 为极大值点； （2）02<-B AC 不是极值点.在约束条件0),(=y x ϕ下求函数),(y x f z =的极值构造拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=令偏导等于零⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(00y x f L f L y y y x x x ϕλϕλϕ求出可能的极值点，再根据实际问题的性质判断是否为极值点.例如（2006解答题2）第九章重积分1.二重积分的物理意义所占区域为D 面密度为),(y x ρ的平面薄片的质量⎰⎰=Dd y x M σρ),(2.二重积分的计算（化为二次积分） （1）直角坐标系下若D 为X 型区域，)()(,:21x y x b x a D ϕϕ≤≤≤≤，则⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ若D 为Y 型区域，)()(,:21y x y d y c D ψψ≤≤≤≤，则⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ψψ例如（2006选择题2）（2006计算题4） （2）极坐标系下若)()(,:21θρρθρθ≤≤≤≤b a D ，则⎰⎰⎰⎰=baDd f d d y x f )()(21)sin ,cos (),(θρθρρρθρθρθσ例如（2005填空题2）（2005选择题3） 3.交换积分次序（1）根据二次积分写出积分区域表达式 （2）根据积分区域表达式画出积分区域 （3）将需要的区域表达式形式写出来 （4）写出相应的二次积分 例如（2006填空题3）（2006计算题3） 4.三重积分的计算（化为三次积分） （1）直角坐标系下先算一重积分后算二重积分若Ω在xOy 面上的投影为xy D ，上下曲面方程分别为),(),,(12y x z z y x z z ==，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩxyD y x z y x z dz z y x f dxdy dv z y x f ),(),(21),,(),,(先算二重积分后算一重积分若Ω在z 轴上的投影为21c z c ≤≤，用垂直于z 轴的平面截积分区域得z D ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω21),,(),,(c c D zdxdy z y x f dz dv z y x f例如（2005三） （2）柱面坐标系下若Ω在xOy 面上的投影xy D 在极坐标系下为)()(,21θρρθρθ≤≤≤≤b a ，上下曲面方程分别为),(),,(12θρθρz z z z ==，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbaz z dz z f d d dv z y x f )()(),(),(2121),sin ,cos (),,(θρθρθρθρρθρθρρθ（3）在球面坐标系下ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos sin ===z y r x⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕθϕθϕd drd rr r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(25.利用对称性可以简化积分的计算 积分区域关于0=x 对称，则f 是x 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于0=y 对称，则f 是y 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；积分区域关于0=z 对称，则f 是z 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍6.重积分的应用（曲面面积）曲面),(y x f z =在xOy 面上的投影为D ，则⎰⎰++=Dy x d f f A σ221第十章 曲线积分与曲面积分1.曲线积分的计算（化为定积分）对弧长的曲线积分b t a t z z t y y t x x ≤≤===),(),(),(⎰⎰++=Γbadt z y x t z t y t x f ds z y x f 2/2/2/)()()())(),(),((),,(（参数方程的其他情形） 例如（2005选择题5）对坐标的曲线积分)(),(t y y t x x ==，t 从a 到b⎰⎰+=+baLdt t Qy t Px dy y x Q dx y x P )]()([),(),(// （参数方程的其他情形） 2.两类曲线积分之间的关系⎰⎰ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx )cos cos cos (γβα其中γβαcos ,cos ,cos 为曲线切向量的方向余弦 3.格林公式，积分与路径无关⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂LD Qdy Pdx dxdy y P x Q其中L 为D 的正向边界（外边界逆时针，内边界顺时针）例如（2005选择题6）（2005四）（2006选择题4）（2006解答题3） 4.曲面积分的计算（化为重积分）对面积的曲面积分),(y x z z =，曲面在xOy 面上的投影为xy D ，则⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221)),(,,(),,(例如（2005选择题7）对坐标的曲面积分⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(，曲面取z 轴正向侧时取正，否则取负⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dydz z y z y x P dydz z y x P ),),,((),,(，曲面取x 轴正向侧时取正，否则取负⎰⎰⎰⎰±=∑zxD dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q )),,(,(),,(，曲面取y 轴正向侧时取正，否则取负例如（2006计算题7） 5.两类曲面积分之间的关系⎰⎰⎰⎰∑∑++=++dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz )cos cos cos (γβα其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面法向量的方向余弦应用（1）将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算； 应用（2）将对不同坐标的曲面积分化为对同种坐标的曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==dxdy z y x P dS z y x P dydz z y x P γααcos cos ),,(cos ),,(),,( ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑==dxdy z y x Q dS z y x Q dzdx z y x Q γββcos cos ),,(cos ),,(),,( 6.高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P其中∑为Ω的外表面例如（2005六）第十一章 无穷级数 1.收敛级数的基本性质收敛＋收敛＝收敛；收敛＋发散＝发散 若0lim ≠∞→n n u ，则级数发散2.常用的两个级数 （1）几何级数∑∞=0n nq当1<q 时收敛，1≥q 发散（2）p-级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛，1≤p 时发散 例如（2005填空题6） 3.正项级数的审敛法 比较审敛法的极限形式 设l v u nnn =∞→lim，则（1）∞<<l 0时，∑nu与∑nv 有相同的敛散性； （2）0=l 时，∑nv收敛则∑nu收敛； （3）∞=l 时，∑nv发散则∑nu发散；例如（2006计算题1） 比值审敛法 设l u u nn n =+∞→1lim，则当1<l 时收敛，当1>l 时发散 根值审敛法 设l u n n n =∞→lim ，则当1<l 时收敛，当1>l 时发散4.交错级数的审敛法（莱布尼兹审敛法）若交错级数的一般项满足：绝对值单调递减趋于0，则交错级数收敛 例如（2006选择题5）5.任意项级数收敛的判断（绝对收敛，条件收敛） 例如（2006选择题5）6.幂级数的收敛域 设ρ=+∞→nn n a a 1lim，则收敛半径ρ1=R不能用该定理求收敛半径时，可以考虑用证明本定理的方法 例如（2005五）（2006填空题5）7.幂级数的和函数，函数的幂级数展开（间接法）逐项求导，逐项积分化为已知和函数的幂级数（注意注明收敛域） 例如（2005五）（2006计算题6） 8.周期为π2的函数的傅立叶展开∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f其中 ,2,1,0,cos )(1==⎰-n nxdx x f a n πππ,2,1,sin )(1==⎰-n nxdx x f b n πππ9.收敛定理（狄里克雷充分条件）当x 是)(x f 的连续点时，傅立叶级数收敛于)(x f ；当x 时)(x f 的间断点时，傅立叶级数收敛于)]0()0([21++-x f x f 例如（2005填空题3）第十二章 微分方程1.可分离变量的微分方程（两边积分）dy y g dx x f )()(=例如（2005选择题1）（2006计算题5）2.齐次方程（换元化为可分离变量的微分方程）⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dxdy ，令u x y =3.一阶线性微分方程（1）一阶线性齐次微分方程（可分离变量的微分方程）0)(=+y x p dxdy（2）一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）)()(x q y x p dxdy=+ 设相应线性齐次方程通解为)(x Ce y ϕ=，令)()(x e x u y ϕ=为线性非齐次方程的解，代入线性非齐次方程，化为关于)(x u 的可分离变量的微分方程，求出通解后代回)()(x e x u y ϕ= 例如（2006解答题3） （3）伯努里方程n y x q y x p dxdy)()(=+ 令n y z -=1，化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程，再用常数变易法 4.全微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P解法1：（1）判断是否为全微分方程yPx Q ∂∂=∂∂； （2）积分⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u（3）方程的通解为C y x u =),(解法2：凑微分),(),(),(y x du dy y x Q dx y x P =+ 5.可降阶的高阶微分方程 （1）)()(x f yn =（两端积分n 次）（2）不含y 的二阶方程),(///y x f y = 令)(/x p y =，则///p y =，化为一阶方程 （3）不含x 的二阶方程),(///y y f y =令)(/y p y =，则()p p dxdy dy dp y p dx d y dx d y ////)(====，化为一阶方程 6.高阶线性微分方程解的结构7.二阶常系数齐次线性微分方程（特征方程法）0///=++qy py y特征方程为02=++q pr r（1）有两个不等的实根21,r r ，通解为xr x r e C e C y 2121+=（2）有两个相等的实根21r r =，通解为xr e x C C y 1)(21+=（3）有一对共轭复根bi a r ±=2,1，通解为)sin cos (21bx C bx C e y ax +=例如（2005填空题8）（2006填空题4）。
工科生所需要掌握的数学知识
工科生所需要掌握的数学知识工科生需要掌握的数学知识数学作为一门基础学科，对于工科生来说是非常重要的。
工科生在学习和应用数学的过程中，需要掌握一系列的数学知识，以帮助他们解决问题，进行科学研究和工程设计。
下面我将介绍一些工科生需要掌握的数学知识。
1. 微积分：微积分是研究变化的数学分支，对于工科生来说是非常重要的。
在工程中，很多问题都涉及到了变化的概念，比如速度、加速度、斜率等等。
微积分可以帮助工科生理解和描述这些变化，并解决与之相关的问题。
2. 线性代数：线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
在工程中，很多问题都可以用线性代数的方法进行建模和求解。
比如矩阵运算、线性方程组的求解、向量空间的变换等等。
线性代数的理论和方法在工科中也有广泛的应用，比如电路分析、信号处理等。
3. 概率论与数理统计：概率论与数理统计是研究随机事件和数据分析的数学分支。
在工程中，很多问题都涉及到了随机性和不确定性，比如信号的噪声、系统的可靠性等等。
概率论与数理统计可以帮助工科生理解和描述这些随机事件，并进行概率分析和统计推断。
4. 微分方程：微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学分支。
在工程中，很多问题都可以用微分方程的方法进行建模和求解，比如电路的响应、机械系统的运动等等。
微分方程的理论和方法在工科中有着广泛的应用。
5. 复变函数：复变函数是研究复数域上函数的数学分支。
在工程中，很多问题都可以用复变函数的方法进行建模和求解，比如电路的交流分析、信号的频域分析等等。
复变函数的理论和方法在工科中也有广泛的应用。
6. 数值计算方法：数值计算方法是研究数值近似和计算误差的数学分支。
在工程中，很多问题都需要通过数值计算的方法来求解，比如方程的数值解、积分的数值计算等等。
数值计算方法可以帮助工科生进行有效的数值计算和分析。
7. 图论与组合数学：图论与组合数学是研究图和组合结构的数学分支。
在工程中，很多问题都可以用图论和组合数学的方法进行建模和求解，比如网络的优化、调度问题等等。
高等数学资料
高等数学资料高等数学是大学理工科专业的一门重要课程，它是数学的一个分支，主要研究微积分、线性代数、概率论等内容。
高等数学的学习对于培养学生的逻辑思维能力、创造思维能力以及解决实际问题的能力都有着重要的作用。
高等数学的内容非常广泛，其中微积分是其重要的组成部分。
微积分主要研究函数的极限、函数的连续性、函数的导数和积分等。
在微积分中，我们学习了导数的定义和性质，通过导数可以求出函数的斜率、切线方程、函数的极值等重要信息。
同时，微积分也研究了函数的积分，通过积分可以求出函数的面积、函数的定积分和不定积分等。
微积分的概念和方法可以应用于各个领域，如物理学、经济学、生物学等。
线性代数也是高等数学中的重要内容之一。
线性代数主要研究向量空间、线性方程组、矩阵和行列式等。
在线性代数中，我们学习了向量的概念和性质，通过向量可以表示多个变量的关系。
线性方程组是线性代数中的重要应用，通过求解线性方程组可以得到多个变量的取值。
矩阵是线性代数中的重要工具，通过矩阵可以表示多个变量的线性关系。
行列式是矩阵的一个重要性质，通过行列式可以判断矩阵的特征和性质。
概率论也是高等数学中的重要内容之一。
概率论主要研究随机事件的概率、随机变量的分布和概率分布函数等。
在概率论中，我们学习了概率的定义和性质，通过概率可以描述随机事件发生的可能性。
随机变量是概率论中的重要概念，通过随机变量可以描述随机事件的数值特征。
概率分布函数是概率论中的重要工具，通过概率分布函数可以描述随机变量的取值规律。
高等数学的学习不仅仅是掌握一些概念和方法，更重要的是培养学生的思维能力和解决问题的能力。
在高等数学的学习过程中，我们需要进行大量的思考和实践，通过解决一些实际问题来巩固所学的知识。
高等数学的学习过程中也需要学生具备一定的抽象思维能力，能够将具体问题抽象为数学模型，然后运用数学方法进行求解。
高等数学作为一门重要的理工科课程，对于培养学生的思维能力和解决问题的能力起着重要的作用。
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积分与求导公式Ca x xa dx C x a x x a dxC a x a x a dxC x x xdx C x x xdx C x xdx Cx xdx +=-+++=++=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin)ln(arctan1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan22222222⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+=-++-=--='='-='='⎰⎰⎰为奇数为偶数n n n n n n x Caxx axdxC ax a x aa xdx xx x x x x xx xx n !!!)!1(2!!!)!1(sin ln ln21cot csc )(csc tan sec )(sec csc)(cot sec)(tan 222222222ππ带113222124212112153111321132)1()!1())......(1(!)1)......(1(......!3)2)(1(!2)1(!11)1(cos )!22()1()!2()1( (4)21cos cos )!12()1()!12()1(......!5!3sin )1(1)1()1()1( (3)2)1ln()!1(!......!3!2!11+-+++++--++-++++--++--++--+-++=++-+-++-=+-+--++-=++-+-+-+-=++++++++=n n nn n nnn n n n n n nnn n nxn xn n xn xxxx n xn xxxx n xn xxxx x n xnxxxx x en xn xxxx eααξξααααααααααααξξξ常用函数在x=0点的幂级数展开式（麦克劳林公式）),(,!...!3!2!11)1( (3)2)1ln()1(...111)1,1(, (1113)213222+∞-∞∈+++++=-+-+-=+⇒-+-+-=+⇒--∈++++=--x n xxxx enxxxx x xx x xx x x x x x xnxnn nnn积分代以常用高阶导数nn n nn nn nn n n n nx n xx n x nkx k kx nkx k kx xn x x n x a a a a ---+-+--=++=+=+--=-=>=)1()!1()1())1(ln()2cos()(cos )2sin()(sin )1)......(1()(!)1()1()0(ln)(1)()()()(11)()(ππααααα[]232222)(1)()()(y y dx dy ds '+''+=曲率弧长微分公式重要极限)0,(0ln)0,(0)0,(0ln 0sin lim limlimlim>=>=>==+→+∞→+∞→∞→βαβαβαβαβαβαx ex xxx x xx x x x xex x a a xx xx xx nx x =+=+>==→∞→∞→→)1()11()0.(11s i n limlimlimlim反常积分21,111,101012π=≤>≤>>⎰⎰⎰∞+-+∞dx e p p dx xp p a dx x xpa p时收敛时发散当时发散时收敛）当（级数ie ex e ex nxdxx f b nxdx x f a nx b nx aa x f n n p p n p p a ap ixixixixn nn n nn n p n n2sin ,2cos sin )(1cos )(1)sin cos (2)(0,1010,1111ln11111||1||)0(10210----∞=∞=∞=∞=-=+=⎪⎩⎪⎨⎧==++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<≤<=>=>⎩⎨⎧≤>⎩⎨⎧≥<≠⎰⎰∑∑∑∑欧拉公式傅里叶级数发散发散收敛收敛，发散收敛发散收敛ππππβαππβαβαβαα特殊函数及其性质不连续）点可微，但在（）（在沿任意方向方向导数存，不可微，）点连续，导数不存在在（）（二元函数取整函数双曲函数处可导在处连续不可导在yfx fy x y x yx y x y x f y x y x f x x x x x x x ee x ee x fx x e x f x x f x x f x x xx x f xx xx n x ∂∂∂∂⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=+=≤<-==+=-==⎪⎩⎪⎨⎧=≠==>=≤<⎪⎩⎪⎨⎧=≠=---,0,00001sin )(),(20,0),(1.5][1.4sinh )(cosh ,cosh )(sinh 2cosh ,2sinh .30)0(0,00,)(.20)(,10)(,100,00,1sin )(.12222222222'')(12ααα梯度、通量、散度、环流量、旋度),,(*rot *),,(),,(),,(),,(*)1()()(),,(*,,,),,(),,,(),,,(),(),(),(偏导数空间区域内有一阶连续在包含曲面法方向成右手系，正方向与斯托克斯公式环流量旋度为边界的有向曲面是以为空间有向闭曲线，，某力函数方向向外内有一阶连续偏导数，所围空间区域在闭曲面高斯公式散度轴成钝角法向量与轴成锐角法向量与上的投影）在平面为方程为，（通量为场内一有向曲面有一阶连续偏导数，）（设某向量场处可微在点，函数梯度∑∑Γ∙=∙++=∙∂∂∂∂∂∂=⨯∇=Γ∑Γ++=Ω∑=∙∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎩⎪⎨⎧∑-++∑+-+-=∑=∑++=∙∑==∂∂+∂∂=∂∂∂∂==∇⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑ΓΓΓ∑Ω∑∑R Q P S d A rot s d A RdzQdy Pdx s d A RQ P z y x kj i A A k z y x R j z y x Q i z y x P A R Q P dv A div S d A z Ry Q x P A div z RdxdyQ z P z z Rdxdy Q z P z xoy D y x z z Rdxdy Qdzdx Pdydz S d A R Q P z y x R z y x Q z y x P A y x y x f z j yf i x f y fx fgradz Dy x D y x常微分方程可分离变量的方程齐次方程)()(222111c y b x a c y b x a f dxdyx y dx dy ++++==ϕ一阶线性微分方程))(()()()()(C dx e x Q e y x Q y x P dxdydxx P dx x P +⎰⎰==+⎰-通解伯努利方程)()1()()1(,)()(1x Q n z x P n dxdz y z yx Q y x P dxdynn-=-+==+-则令可降阶的高阶微分方程dydp py y p y y y f y y x f y x f yn =''=''='''=''=则令)(),(.3),(.2)(.1)(二阶线性微分方程dx e y y y x f y x Q y x P y dxx P ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰==+'+''-)(21121)()()(刘维尔公式二阶常系数齐次线性微分方程)x C x C ey i r e x C C y r r eC eC y r r q pr r qy y p y xxr xr xr βββααsin cos ,)(,,0021*********121+=±=+==+=≠=++=+'+''特征方程二阶常系数非齐次线性微分方程[][]⎩⎨⎧++=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧====+'+''**是特征根不是特征根是重根，是单根，不是特征根i i k x x R x x Rex y xx P x x Pe xf k e x Q x y ex P x f x f q y p y m mxkm mxxm k xm ωλωλωωωωλλλλλλλ,1,0,sin )(cos )(sin )(cos )()(.221,0,)()()(.1)()2()1()2()1(二阶非齐次线性微分方程（常数变易法）()yu u x f y u y u y u y u y u y u y y C y C Y x f y x Q y x P y x x 积分即可得出解出设对应齐次方程的通解为,,0,)()()(21221122112211)(22)(11''⎩⎨⎧=''+''='+'+=+==+'+''欧拉方程dtd D n k y k D D D D dxy d x e x p p p x f y p y x p yxp yxp yx k kk t n n n n n n n n n即则令是常数其中......,3,2,1,)1)......(2)(1(,,......,,)(211)2(22)1(11)(=+---===+'+++-----。