浅谈求解空间角的化归思想
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。
空间几何问题的解题思路与方法
空间几何问题的解题思路与方法空间几何问题是数学中重要的一个分支，涉及到解析几何、线性代数、微积分等多个数学学科。
解决空间几何问题需要运用一定的思路和方法，本文将介绍几种常见的解题思路和方法。
一、几何图形的性质与关系在解决空间几何问题时，首先需要熟悉各种几何图形的性质与关系。
比如直线与平面的相交情况，平面与平面的夹角关系等。
对于给定的几何图形，可以运用已知的性质和关系来推导出需要求解的结果。
二、坐标系与向量坐标系是解析几何中重要的工具，可以将几何图形与代数符号相联系。
通过引入坐标系，可以将空间几何问题转化为代数方程或方程组的求解。
在使用坐标系时，需要确定适当的坐标轴和坐标原点，并将几何图形的特征抽象为代数符号。
通过利用向量的性质，可以在坐标系中进行向量运算，计算两点距离、中点坐标等。
三、向量叉乘与双曲面交线向量叉乘是解决空间几何问题的常见方法之一。
通过向量叉乘可以求得两向量所夹平面的法向量，利用法向量可以进一步求解两平面的交线。
在求解双曲面交线问题时，可以将双曲面方程转化为标准形式，并应用向量叉乘的方法来求解交线的方程。
四、平面投影平面投影是解决空间几何问题的重要方法之一。
通过将空间中的几何体在一个平面上的投影，可以简化问题的处理。
平面投影可以应用于求解空间几何体的面积、体积以及几何体之间的位置关系等问题。
五、参数方程与参数化求解参数方程是描述几何图形的一种常用形式，通过引入参数，可以将几何图形的属性与参数相联系。
通过求解参数方程，可以得到几何图形的特征。
在解决空间几何问题时，可以运用参数方程来表示给定几何体之间的关系，并通过求解参数方程来得到结果。
六、三维几何题目的解题方法三维几何题目是空间几何问题的一种典型形式，解决三维几何题目需要清晰的思维和严密的推导。
一种常见的解题方法是利用立体几何中的立体角公式和公式组。
通过列出合适的公式组，可以将几何问题转化为方程组的求解问题。
综上所述，解决空间几何问题需要熟悉几何图形的性质与关系，运用坐标系与向量进行分析和计算，利用向量叉乘求解双曲面交线，应用平面投影简化问题的处理，运用参数方程与参数化求解等方法。
关于空间角的处理方法
关于空间角的处理方法浅谈黎平一中数学组 杨洁 郭繁华立体几何的空间角度中，对三种角度的求解与性质的探究，属于高考永恒的话题，它较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想，现在我就空间角的处理方法作如下归纳：一：异面直线所成的角直线与直线所成角是立体几何的所成角（线线角、线面角、面面角）中最简单的一种，只需要把两条直线（或其中一条直线）平移，使它们相交于一点，就可以把两条异面直线所成角的问题转变为平面中两条相交直线所夹角的问题了.要注意的是角的取值范围，分清那个角是这两条直线的所成角（或者它的补角）.其范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π.例1：如图（1）所示，在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，对角线BD=23213=，AC ，求AC 和BD 所成的角.分析：求异面直线所成的角通常采用“平移线段法”.平移的方法一般有下面三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移，计算异面直线所成的角通常把它放在三角形中进行计算. 解法一：（平移线段法） 如下图所示，分别取AD 、CD 、AB 、BD 的中点E 、F 、G 、H ，连结EF 、FH 、HG 、GE 、GF.由三角形中位线定理知，EF ∥AC ，且EF=43，GE ∥BD ，且GE=413.GE 和EF 所成的锐角（或直角）就是AC 和BD 所成的角.同理，GH=2321=，HF，GH ∥AD ，HF ∥BC.又AD ⊥BC ，∴︒=∠90GHF . ∴.1222=+=HFGHGF在△EFG 中，，GF EFEG 2221==+∴︒=∠90GEF ，即AC 和BD 所成的角为︒90. 解法二：（补形平移） 如右图，在平面BCD 内，过C 作 CE ∥BD ，且CE=BD ，连DE ，则DE ∥BC 且DE=BC. ∴∠ACE 就是AC 和BD 所成的角（若∠ACE 为钝角， 则∠ACE 的补角就是AC 和BD 所成的角）. 又AD ⊥BC,∴AD ⊥DE. ∴.4222=+=DEAD AE在△ACE 中，,4213232222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+CEAC ∴∠ACE=90°，即AC 和BD 所成的角为90°.二：线面角直线与平面所成的角分两种，一是平面的斜线与平面所成的锐角，即斜线与平面内的射影所夹的角；二是平面的垂线与平面所成的直角.直线与平面所成角不存在补角的问题. 直线与平面成角的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π. 例2：如图（4），在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面PAB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小.分析： 求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角. 解法：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点： ∴OD ∥PA,又AC ⊂平面PAB, ∴OD ∥平面PAB. (Ⅱ)∵AB ⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB, 又∵OP ⊥平面ABC, ∴PA=PB=PC.取BC 中点E,连结PE,则BC ⊥平面POE,作OF ⊥PE 于F,连结DF, 则OF ⊥平面PBC ∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角.又OD ∥PA,∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF.在Rt △ODF 中,sin ∠ODF=30O F O D=,∴PA 与平面PBC 所成角为30三：二面角面面成角是立体几何中的所成角问题的重点，二面角的两个面是两个半平面，因此二面角中有钝角存在，二面角的取值范围与线线角、线面角不同，它的取值范围是[0,π].二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小求解，以利用平面几何、三角函数等重要知识.例3：在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.分析：对于求二面角的大小我们可以应用面积射影法.解法：如下图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角. 在Rt △DOE 中，OE =22a,OD =23a,斜边DE =25a,则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sinOMH =630=OMOH故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.四：探索性问题例4在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1） 求证：//EF 平面PAD ；（2） 当平面PCD 与平面ABCD ⊥EF 平面PCD ？解析：（1）取CD 中点G ，连结EG 、FG ，∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG//AD ，FG//PD ，∴平面EFG//平面PAD ， ∴ EF//平面PAD ．（2）当平面PCD 与平面ABCD 成45︒角时，直线EF ⊥平面PCD. 证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。
获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。
纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。
在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。
化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。
数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。
它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。
以下便是其模式。
一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。
（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。
（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。
（4）正难则反原则。
若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。
二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。
这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究
随着教育改革不断深入，许多学科都在不断探索新的研究方法和教学模式。
其中，在小学数学教育中，对于“空间与图形”这一部分的教学，转化思想已经成为了一种重要的研究方向。
首先，我们来谈谈什么是“转化思想”。
转化思想指的是在数学教学中，将数学概念或问题通过变形、扩展或概括等方式，使学生能够更好地理解和掌握数学知识的一种思考方式。
在“空间与图形”这一部分的教学中，转化思想的应用尤为重要。
常见的一些方法包括：视角转换、图形变换、图形拼接、构建思维等等。
以视角转换为例，有些几何问题可能因为角度或位置的不同，就会产生不同的表现方式。
比如，对于一个正方体，我们可以从不同的角度去观察它。
这种观察方式的变换能够帮助学生更好地理解空间的一些基本概念以及立体图形的特点。
除此之外，图形变换也是一个比较常用的方法。
通过对图形的旋转、平移、缩放等变换，不仅能够帮助学生更好地理解几何知识，还能够提高其观察能力和想象能力。
另外，在构建思维方面，许多教师也尝试通过一些流程图、模型图等工具，引导学生去思考问题的解决路径。
这种思维方式同样能够促进学生更好地理解一些数学概念，提高其解决实际问题的能力。
总之，转化思想在小学数学“空间与图形”这一方面的教学中，是一种非常实用的方法。
通过将数学知识进行扩展、变形和概括等操作，不仅能够提高学生对于数学的兴趣和学习热情，还能够帮助学生更好地理解、掌握和应用数学知识。
化归思想──小学数学思想方法的梳理
化归思想──小学数学思想方法的梳理二、化归思想1．化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2．化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
试析初中数学教学中化归思想的应用
试析初中数学教学中化归思想的应用化归思想是初中数学教学中重要的思维工具之一，它是指将复杂的问题转化为简单的问题进行求解的思维方式。
在初中数学教学中，化归思想被广泛应用于各个领域，如代数、几何、概率等，具有重要的理论意义和实际应用价值。
1. 同类项的合并：同类项的合并就是运用化归思想将相同的代数项合并为一个，从而简化计算和推导的过程。
例如，2x+3y+4x=6x+3y。
2. 消去未知数：在解方程的过程中，运用化归思想可以消去未知数，从而得到方程的解。
例如，2x+3=5x-2，将它化归为x的形式：2x-5x=-2-3，得到-x=-5，即x=5。
3. 化简式子：化归思想可以将复杂的式子简化为简单的式子进行计算。
例如，将2x+3y+4x+5y化归为6x+8y。
二、化归思想在几何中的应用1. 图形的分类：运用化归思想可以将图形按照特定的标准进行分类，从而便于进行理解和运用。
例如，根据图形的几何属性将三角形、四边形、圆形等分类。
2. 角度的转化：运用化归思想可以将不同的角度转化为同一单位进行比较。
例如，将角度的度数表示为弧度表示。
3. 空间的计算：运用化归思想可以将复杂的空间计算问题转化为简单的二维计算问题，从而方便学生理解和运用。
例如，将空间中的三角形投影在平面上计算。
2. 事件的判断：运用化归思想可以将事件按照不同的特征进行分类，从而判断事件是否属于同一类别。
例如，将事件按照是否独立进行分类。
总之，化归思想在初中数学教学中具有广泛的应用价值，它可以帮助学生理解和认识数学问题，提高解决问题的能力和思维水平。
因此，教师应该引导学生运用化归思想，培养学生对数学问题的分析和抽象能力，帮助他们掌握数学知识，提高数学成绩。
同时，教师还应该根据学生的实际情况，采用多种不同的教学方法和策略，鼓励学生实践和创新，从而促进数学教学的发展和进步。
浅谈化归思想在解三角函数问题中的作用
分 析 ：由已 知 条 件 ｃｓａ ｃ ｓｆ ｃ ｓ７ － 我 们 不 难 想 到 ｏ２ ＋ ｏ２ ＋ ｏ２＝ １ ｌ
问题 ，从 而得 出正 确 的解 答 。 在学 习过 程 中有意 识地 总 结 这 种 要 化 简 为 Ｃ Ｓ ｔＣ Ｓ ＋ Ｏ ： ，而 此 式 我 们 又有 似 曾相 识 的 感 Ｏ ＋ Ｏ２ Ｃ Ｓ １ ５ ｌ ｆ ｙ Ｏ ＋ Ｏ２ Ｃ Ｓ １ ６ ｌ ｆ ７ 科学 的思 维 方 法 ，可使 我 们 在 解 决 问题 的 过 程 中思 维 通 畅 ，从 觉 ，不 难 联 想 到 长方 体 中的 关 系 式 Ｃ Ｓ ｔＣ Ｓ ＋ Ｏ ＝ ，尝 试
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浅谈化归思想在解三角函数问题中的作用
张艳 梅
摘要 ： 本文介绍了 化归思想的作用、定义等，通过例题 阐述了 化归思想在解决三角函数问题中的作用和应用。
质 的 目的 。 以下通 过例 题 阐述 化归 思想 在 解 决 三 角 函数 问题 中 的作 用和 应 用。
一 一
Ｃ
８
Ｄ
、
般化归特 殊
Ｂ
在数 学教学 中，我们经常将 一些 问题 转化为 熟悉的特 殊 问题，从而解决原 问题，比如在三 角函数中利用诱导公式把任
Ｄ。 ＾
而达到事半功倍 的效果 。因此，在数学教学 中，只有 充分 向学 转换成长方体 问题来证明原结论。以 Ｃ Ｓ ， Ｏ ｃ ｓ 为三条棱 Ｏ ￣ Ｃ ， ｏｙ Ｘ 生揭示数 学教材 中蕴涵的化归思想内涵，让他们在掌握数学基 的 长作 长方 体 ，如 图 ｌ 示 。 所 本知识的同时，掌握对化归思想的运用，才能达到提高学生素
高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题
张喜林制[选取日期]高三数学第二轮专题讲座复习：关于求空间的角的问题高考要求空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想 重难点归纳空间角的计算步骤 一作、二证、三算1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°方法 ①平移法；②补形法2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90° 方法 关键是作垂线，找射影3 二面角方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果 4．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
典型题例示范讲解例1在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点(1)求证 四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角；(4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角命题意图 本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强知识依托 平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角 错解分析 对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面技巧与方法 求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法(1)证明 如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB A ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形 ∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面故四边形B ′EDF 是菱形(2)解 如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角在△A ′CP 中， 易得A ′C =3a ，C P =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515 故A ′C 与DE 所成角为另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2aA C a a a DE a '⇒=-=-15cos ,15||||A C DE A C DE A C DE ''⇒<>==' 故A ′C 与DE 所成角为 (3)解 ∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a则cosADB ′=33故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 另法（向量法）∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上 如下图所示 又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线，故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′， 如图建立坐标系，则 (0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a '(0,,0),(,,)DA a DB a a a '⇒=-=-3cos ,3||||DA DB DA DB DA DB ''⇒<>=='，故AD 与平面B ′EDF 所成的角是 (4)解 如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心， 再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ，B故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DEOEOD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 另法（向量法） 如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ''，所以面ABCD 的法向量为(0,0,),m AA a '==下面求面B ′EDF 的法向量n设(1,,)n y z =，由(,,0),(0,,),22a aED a EB a '=-=- 00221002a a y nED y a z nED y az ⎧-+=⎪⎧==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⎩⎪⎪⎩-+=⎪⎩∴(1,2,1)n =∴6cos ,||||6n m n m n m <>==故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为 例2如下图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ,且AA 1与AB 、AD 的夹角都是120°求 (1)AC 1的长；(2)直线BD 1与AC 所成的角的余弦值技巧与方法 数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用21111111222111:(1)||()()()()||||||222AC AC AC AA AC AA AC AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AA AD AB AD=⋅=++=++++=+++⋅+⋅+⋅解22222111112221:||,||||,,120,,9011cos120,cos120,0,22||2AA b AB AD aAA AB AA AD AB AD AA AB b aab AA AD b a ab AB AD AC a b ===<>=<>=︒<>=︒∴⋅=⋅︒=-⋅=⋅︒=-⋅=∴=+-由已知得12,||ab AC ∴=1111112211(2),||2,()()AC a AC AB AD BD AD BA AA AD AB AC BD AB AD AA AD AB AB AA AD AA AB AD AD AB ==+=+=+-∴⋅=++-=⋅+⋅+⋅+-依题意得21111122222111||()()||||||2222AB AD ab BD BD BD AA AD AB AA AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB a b -⋅=-=⋅=+-+-=+++⋅-⋅-⋅=+2212||b a BD +=∴111cos ,||||4BD AC BD AC BD AC ⋅<>==∴BD 1与AC例3如图，l αβ--为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α (1)求证 MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角(1)证明 作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NP A 分别是及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与角，∴∠MPB =∠NP A在Rt △MPB 与Rt △NP A 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立(2)解 设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°,∴BD =AC =3633=MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴PBBDPN PC ===整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0解得sin 2θ=4341或,sin θ=2321或，当sin θ=23时，CN =632a sin θ= 2a ＞PN 不合理，舍去 ∴sin θ=21,∴MN 与β所成角为30°。
化归思想
化归思想1. 化归思想的概念。
人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2. 化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。
空间角的几点思考
空间角的几点思考摘要：数学教学的本质是：学生在教师的引导下能动地建构数学认知结构，并灵活使用该认知结构解决有关数学问题。
数学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，最终提高学生数学解题能力。
不断满足学生继续学习的需要，因此在数学教学中如何帮助学生建构良好的数学认知结构，采取什么样的教学策略，从而提高学生的数学解题能力。
立体几何作为高考重点考察的部分，其中的线面关系知识经常以解答题的形式出现，具体有两类问题：一是关于线面的定性问题，如平行、异面、垂直等；二是关于线面的定量问题，如线线、线面、面面之间所成的角和距离问题。
本文就空间角的处理通法的探究问题→解决问题→通法提炼，谈谈我自己在教学中对数学本质的认识。
关键词：线面角二面角转化1、研究背景1.1 考点背景立体几何是高中数学的重要内容之一，在培养学生观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力等方面具有不可替代的特殊地位，是目前高考数学的重点考查内容。
从题型上看，选择题一般考查空间点、线、面的关系，填空题一般考查几何体的三视图和表面积、体积运算，解答题第一问一般考查空间平行与垂直关系的证明，第二问一般考查学生空间角的运算（近三年依次是：18年线面角、19年线面角、20年二面角）。
其中空间角的计算既是考查的重点也是考查的难点。
1.2 学生情况我所执教的两个教学班，学生对空间关系有了一定的认识，能判断和证明一些简单的空间关系，会计算几何体的表面积与体积，但是在空间角的处理上没有形成一套行之有效的方法，历次考试中的得分率偏低。
基于上述的说明，本文试图从角的本质来探寻一些可以解决空间角的通法，简化空间求教的思维，提升学生的应试水平。
2、空间角的本质立体几何部分的空间角主要有异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角这三种。
其实不管是那一类角，究其本质都是将平面中的角经过平移后产生的几何图形，所以我们要做的工作就是在具体的求解中应用各种手段（平移、构建特殊三角形）将空间角转化为平面角，再运用平面角的计算方法完成求解。
高中数学教学论文-转化与化归思想在立体几何中的体现
转化与化归思想在立体几何中的体现转化与化归的思想，是数学学科与其他学科相比，一个特有的数学思想方法，化归思想的核心是把生问题转化为熟问题，我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程，一个生题变熟题的过程。
因此，解每一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归，所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
本文就其基本理论和其在立体几何中的体现做一简单介绍。
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，这时就需要通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
转化思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论、方法和技巧达到问题的解决，其形式如下图：（1（2题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
化归的数学思想
化归的数学思想1、化归思想的概念。
人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现出由易到难，由简单到复杂的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，往往是通过把不熟悉的知识变成熟悉的知识，把难懂的知识变成简单的知识，一步步地学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归不仅是一种广义的数学思想方法，而且具有普遍意义。
同时，转化思想也是克服各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2、化归所遵循的原则。
化归思想的实质是在已有的简单、具体、基础知识的基础上，把未知的变成已知的，把复杂的变成简单的，把概括的变成特殊的，把抽象的变成具体的，把非常的规划成常规的，从而解决各种问题。
因此，在应用转换思想时，应遵循以下基本原则:（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
(4)形象化原则，即将抽象的问题变成具体的问题。
浅谈转换与化归思想(精)
浅谈转换与化归思想转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。
深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转换和化归。
这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。
一、 转换思想（1）转换思想的内涵转换思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。
要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。
（2）转换思想在同一学科中的应用转换思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。
象数学学科中，数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。
比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。
不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。
再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。
看这样一个问题： 已知：11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a 。
[分析] 这是一个纯粹的代数证明问题，条件的变形是比较艰难的，所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。
再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式，稍加联系，我们完全可以想到：21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现，它们呈现出完全类似的规律性。
[解答]由题意1≤a 、1≤b ，则可设αsin =a ，αcos =b ，πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ，0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了是发现了不同知识模块中的类似规律，加以利用得到新的思路，本题的题设和结论中都没有出现三角函数的形式，最终却必须引进三角函数加以解决，思维已经具有跳跃性，对一般学生来说解决起来还是比较棘手的。
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究我们需要明确转化思想的概念。
转化思想是指将一个问题或一个对象从一种形式或一种表达方式转化为另一种形式或表达方式的过程。
在空间与图形的学习中，转化思想可以帮助学生将抽象的几何问题转化为具体的图形，并通过不同的转化方式来解决问题。
当学生遇到一个几何问题时，可以将其转化为一个实际的、具体的图形，通过观察和比较不同的图形，找到问题的解决方法。
转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究主要包括以下几个方面。
首先是几何图形的转化，包括平移、旋转、镜像等几何变换。
学生可以通过对图形进行不同的转化来认识几何图形的性质和特点，从而提高对几何图形的理解和认知。
其次是几何问题的转化，学生可以将抽象的几何问题转化为具体的图形进行分析和解决。
通过对几何问题进行转化，可以帮助学生深入理解几何问题的本质，提高解决问题的能力。
最后是几何知识的转化，学生可以通过将不同的几何知识联系起来进行转化，提高几何知识的综合应用能力。
将平行线与相交线、直角与斜率等几何概念进行联系和转化，帮助学生理解几何知识的内在联系和应用。
转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究还涉及到教学策略的设计和实施。
教师可以通过创设情境、提供问题、引导探究等方式引导学生进行转化思考。
在学习平移变换时，教师可以给学生提供一些具体的实物模型，引导学生进行操作和观察，通过实际体验来理解平移变换的概念和性质。
教师还可以引导学生进行多角度的观察和比较，帮助学生发现几何图形的特点和规律。
转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究还需要注意培养学生的创新思维和问题解决能力。
学生在进行几何图形的转化过程中，需要灵活运用不同的方法和策略，通过自主探究和实践来解决问题。
教师应该培养学生的创新意识和探索精神，营造积极的学习氛围，激发学生的学习兴趣和动力。
化归思想的含义与应用探析
教学中常用的思想方法． 在数学思想方法中， 化 归法的教学是重点 ， 其应用远 比其他数学思想
方 法广 泛．
一
化归方法包含 三个基本要素 ： １ 把什 么 （） 东西进行化归 ， 即化归的对象 ； ２ 化归到何处 （）
去， 即化归 的 目标 ； ３ 如 何 进 行 化 归 ， （） 即化 归
反 回去 获 得 甲 问题 的求 解 ， 就是 化 归 的 基本 这 想 法 ． 谓化 归 方 法是 通 过 数 学 内部 的联 系 和 所 变 化 ， 变 中实 现 问题 的规范 化 ， 在转 即将待 解决 的问题 化为 规范 问题 ． 在规 范 问题 中， 式 问题是 常见 的一 类 ． 模 在 某 种意 义上 ， 数学 学 习和研 究 的 目的就是 发 现 ，
１
所谓化归就是 问题 的规范化、 模式化． 例如 ， 学
生学 了一元二次方程， 已经 掌握 了求 根公式和 韦达定理等定理， 那么 ， 一元二次方程就是一个
数 学 模式 ， 将 双 二 次方 程 似 ＋ｂ 而 ｘ ＋ｃ＝ ０通
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例 １ Ａ是坐 标平 面上 的点集 是从 Ａ ＋ ＿Ａ
二、 化归法在代数教学 中的应用
化归法能使一个复杂的问题归结为较简单 的问题 ， 补充 、 修改 ， 以便更好地解决 问题 ， 它在 代数 中有着较广泛的应用．
解决或较容易解决 的问题 Ｒ‘ 然后 通过求解 ， 问题 Ｒ‘ 而间接求解原问题 Ｒ ． 在解决数学问题时 ， 人们常将 甲问题 的求 解 化为乙问题 的求解 ， 然后通过乙问题 的求解
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化 归 思 想 的 含 义 与 应 用 探 析
肇庆 沈金 来
数 学 思 想 方 法 是 数 学 知 识 的 重要 组 成 部 分， 也是数 学 教学 的 主要 内容 ， 化归 思想 是数 学
“化归”思想在小学数学教学中的运用
“化归”思想在小学数学教学中的运用一、“化归”思想的内涵“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。
而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。
从而求得原问题的解决。
化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。
它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。
匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。
有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。
”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。
”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。
“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。
翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。
二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透1、数与代数----在简单计算中体验“化归”例１：计算48×53＋47×48机械地应用乘法分配律公式进行计算，学生不容易真正理解。
将48这一数化归成物，即看到了相同的数48，想起了红富士苹果，以物红富士苹果代替数48，相同的数48是化归的对象，红富士苹果是实施化归的途径，于是48×53＋47×48就转化成求53个苹果与47个苹果之和的问题是化归的目标。
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究
关于转化思想在小学数学“空间与图形”中的研究在小学数学教学中，“空间与图形”是一个重要的主题。
学生通过学习这一主题，可以了解各种平面图形和立体图形的特征、性质以及相互之间的关系等。
在这个过程中，转化思想可以为学生提供一个有效的帮助。
一、转化思想的基本概念转化思想是指将问题从一个角度或形式转化为另一个角度或形式，以便更好地理解和解决问题的思维方式和方法。
例如，对于一个图形，我们可以通过旋转、平移、反转或放大缩小等方式，将它转化为另一个图形，来更好地了解它的性质和特征。
1. 旋转旋转是将一个图形绕其本身的一个点或轴旋转一定角度后得到的新图形。
在空间与图形教学中，旋转可以帮助学生了解各种图形的对称性、轮廓线、立体图形的展开图等，例如，学生通过对矩形的旋转，可以明白它的对称性；通过对立方体的展开图进行旋转，学生能够更好地理解立方体的性质和结构等。
2. 平移平移是将一个图形沿着一个方向移动一定的距离后得到的新图形。
在空间与图形教学中，平移可以帮助学生了解各种图形之间的关系与联系，例如，学生可以通过将一个正方形平移之后得到一个重合的正方形，进而了解正方形之间的关系以及平移是一种等价变换等。
3. 反转4. 放大缩小放大缩小是将一个图形沿用一定的比例扩大或缩小，得到的新图形。
在空间与图形教学中，放大缩小可以帮助学生了解图形之间的相似性和变形程度，例如，学生可以通过对圆形或正方形进行放大缩小，从而了解它们之间的相似形和性质等。
三、转化思想的教学策略1. 注重实践在空间与图形的教学中，注重让学生亲自参与实践和操作，通过将图形进行旋转、平移、反转和放大缩小等等方式，让学生能够深入理解和掌握图形的性质和特征。
2. 强调系统性在空间与图形的教学中，强调系统性，即通过在相关知识点之间建立起联系和联系，使得学生能够更好地理解各种图形之间的关系与联系，从而更好地掌握空间与图形的知识。
3. 鼓励创新在空间与图形的教学中，鼓励学生运用转化思想，自主发现和创新。
浅谈高等数学中的化归思想
浅谈高等数学中的化归思想作者：宋姝来源：《科学之友》2009年第01期摘要：化归思想贯穿于高等数学全部内容，是主要的数学思想方法，文章介绍了化归思想的含义，并阐述了化归思想在高等数学的应用及其在教学过程中如何渗透。
关键词：化归思想；数学思想方法；高等数学中图分类号：G642 文献标识码：A文章编号：1000-8136(2009)02-0114-01数学的学习是使学生获得适应未来社会生活必需的数学知识和基本数学思想方法及必要的应用技能，而数学思想方法是数学的精髓。
在数学教学中，只有充分向学生揭示数学教材中蕴涵的思想内涵，让他们在掌握数学基本知识的同时，培养发展他们的数学思想，才能达到提高学生素质的要求。
化归思想方法是数学问题解决的一种重要的思想方法。
1化归思想的含义在对问题作仔细观察的基础上, 展开丰富的联想, 以求唤起对有关旧知识的回忆, 开启思维的大门, 顺利地借助旧知识、旧经验来处理面临的新问题，这种数学思想称之为“化归思想”。
化归思想作为解决问题的一种策略，把那些有待解决或很难解决的问题，通过某种转化过程，归纳为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终实现原问题的解决，即变“正面强攻”为“侧翼攻击”的思维形式。
笛卡儿认为，任何问题都可以化为数学问题，这里的“化”意为“化归”，善于使用化归是数学家思维方式中的一个特点，而数学内部的逻辑联系，讨论问题的条件与结论之间的关系为寻找化归目标及途径提供了可能，所以化归思想在数学方法论中具有特别重要的地位, 可以这样说，化归思想是解决数学问题的最基本的思想。
2化归思想在高等数学中的应用2.1微积分中的应用在导数这一部分，我们要解决的问题是初等函数的求导问题。
首先，通过导数定义得到一些基本初等函数的求导公式。
如：求导公式和导数的四则运算法则。
其次，利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式。
再次，利用化归原则，根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导，隐函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式。
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浅谈求解空间角的化归思想
高中立体几何中的空间角主要包括异面直线的夹角、斜线和平面的夹角、二面角的平面角，这些空间角的定义及求解过程都蕴含着转化与化归的数学思想．通俗地说，先把要解决的A 任务转化为B 任务再把B 任务解决从而使A 任务得以解决，就是转化与化归的数学思想．因此，转化与化归的数学思想有着极广泛的作用，不夸张地说，学习数学的过程就是对转化与化归的数学思想逐步深入理解并自觉运用的过程，这种思想最终表现为一个人独立分析并解决问题的巨大能力，集中体现了一个人的数学素养，理所当然成为历年高考数学必考的核心内容．本文借助实例试对求解空间角的过程进行粗浅探讨，并初步展现转化与化归内涵的丰富性和节奏的美妙感，谨供大家参考．
为了在解题过程中更充分地实现转化与化归，我们先引入一个结论：如图（1），直二面角α―l ―β中，直线AB ⊂α且AB l =A ，CD ⊂β且CD l =C ．若直线AB 、CD 与交线l 所成的角分别为1θ、2θ，且|AC |=m ，则
异面直线AB 与CD 的距离=m
本文用坐标法证明：如图（1）空间坐标系C —xyz ，则A(0，m ，0)在直线AB 上取点E ，使|AE |=1，
在直线CD 上取点F ，使|CF |=1，则 AE =（sin 1θ，±cos 1θ，0)， CF = (0，±cos 2θ，sin 2θ)．.
设与AE 、CF 都垂直的向量为n =(x ，y ，z)，有
AE ·n =0，CF ·n =0，
解方程组，可取n =(±cot 1θ，1，±cot 2θ)，则
异面直线AB 与CD 的距离= ∣CA ·n ／∣n ∣∣= m ／ 我们先探讨2011年高考全国卷Ⅰ（理科）第18题．如图（２），四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD ．
(Ⅰ)证明：PA ⊥BD ； (Ⅱ) 若PD=AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．
对于二面角的求解问题，本文运用转化与化归的数学思想，尝试以下解决途径． 图（1）
途径一：通过坐标求法向量的夹角进行转
化，在此不再叙述． 途径二：通过空间向量的运算进行转化．作
AE ⊥PB 于E ．因为PD ⊥面ABCD ，BD ⊥BC ，
所以由三垂线定理得 BC ⊥PB ，则求二面角
A －P
B －
C 的平面角转化为求向量EA 与BC
的夹角．
连结DE ．易得AD ⊥面PDB ，又AE ⊥PB ，所以由三垂线定理逆定理得DE ⊥PB ．
令AD=1，求得AB=PB=2，
2， AE
2，BE=3／2，又2AC =2AB BC +（ ）=2AB +2AB •BC +2BC =7．另外
2AC =2EA EB BC ++（－ ） =2EA +2EB +2BC －2∣EA ∣∣BC ∣cos ﹤EA ，BC ﹥，
解得 cos ﹤EA ，BC ﹥=－
7．
途径三：通过解三角形进行转化．作AE ⊥PB 于E ，连结DE ，在面PBC 内作EF ⊥PB ，交PC 于F ，连结AF ，则∠AEF 即为所求平面角，转化为解三角形AEF ．
令AD=1．由途径二的计算得
2，
BE=3／2，得点E 、F 为四等分点，所以EF=1／4．又
则∠APC=90︒，得
／4．在⊿AEF 中，由余弦定理得cos ∠AEF=－
7．
途径四：通过拆分目标二面角进行转化．易得二面角D －PB －C 为直二面角，目标转化为求二面角A －PB －D 的平面角．由途径二得，∠DEA 即为所求．令AD=1． 在Rt ⊿DAE 中， sin ∠DEA=
7．设二面角A-PB-C 的平面角为α，则α=（π∕２）＋∠DEA ，所以cos α=－
7.
途径五：将二面角转化为点到平面的距离．可以选择求点A 到面PBC 或点C 到面PAB 的距离，在此我们选择后者．⊿ABC 的面积1S =(1∕2)AB·BC·sin ∠
2， 由途径二的计算得⊿PAB 的面积2S =(1∕2)PB·
2．设C 到面PAB 的距离为h ，又PD=1，A B
图（2）
由等体积法可知1S ·PD=2S ·h ，解得
∕7．又BC ⊥PB ，BC=1，则sin α
7，因为平面角α为钝角，所以cos α=－
7．
途径六：同途径五转化，只是我们选择本文结论求点C 到面PAB 的距离．因为CD ∥AB ，从而CD ∥面PAB ，所以点C 到面PAB 的距离转化为CD 到面PAB 的距离；因为CD 与PA 是异面直线，所以转化为异面直线CD 与PA 的距离；因为面PDA ⊥面ABCD ，所以可用本文结论．又AD=1，∠PAD=45，CD 与AD 所成角为60，代入公式得点C 到面PAB
∕7，下略．
我们再探讨2011年高考全国卷Ⅱ（理科）第19题．如图（3），四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ,BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
（Ⅰ）证明:SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
对于线面角的求解问题，本文运用转化与化归的
数学思想，尝试以下解决途径．
途径一：通过坐标法求向量的夹角进行转化，
在此不再叙述．
途径二：将斜线AB 与面SBC 的夹角转化为
其它斜线与面SBC 的夹角．取AB 中点F ，连结
SF 、DF ，可证AB ⊥面SDF ，则面SDF ⊥面ABCD ；
作SE ⊥DF 于E ，则SE ⊥面ABCD ，作EM ⊥BC 于M ，连结SM ，可证面SEM ⊥面SBC ．转化为斜线EM 与面SBC 的夹角，最后转化为在Rt ⊿SEM 中求∠SME ．
求得
2，又EM=1，则tan ∠
2，所以AB 与面SBC 所成的角为
2)．
途径三：将线面角转化为点A 到面SBC 的
距离．设点A 到面SBC 的距离为h ，AB 与面
SBC 的夹角为α．由等体积法解得h ，则 α=arcsin(h ／AB)．请读者完成计算．
途径四：如图（4），同途径三转化．
作SL ∥AB ， AL ∥SB ．因为SD ⊥面SAB ， 所以面SDC ⊥面SAB ．点A 到面SBC 的距离转化为异面直线AL 与SC 的距离．请读者利
S
图（3）
图（4）
用本文结论求出异面直线AL与SC的距离．
总的说来，“代数”的转化与化归侧重运算，“几何”的转化与化归侧重思维，有时可以减少运算量，两者各有特点，相互映衬，共同构建了求解空间角问题的有效途径．希望转化与化归的数学思想植根我们的心田，提升我们的数学素养，成为我们敢于直面高考和人生的智慧源泉．。