§3.1 多维随机变量及联合分布
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3.1(多维随机变量及其联合分布)
第3章 多维随机变量及其分布 章
3.1 多维随机变量及联合分布 3.2 二维随机变量的边缘分布 3.3 条 件 分 布 3.4 随机变量的相互独立性 3.5 二维随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布 章 在实际问题的研究中， 在实际问题的研究中 ， 只用一个随机变量往 往是不够的． 往是不够的． 例如， 要研究儿童的生长发育情况， 常用身 例如 ， 要研究儿童的生长发育情况 ， 常用 身 体重两个随机变量来描述 两个随机变量来描述； 高和体重两个随机变量来描述； 研究某地区的气候状况需要考虑温度 、 研究某地区的气候状况需要考虑 温度、 湿度 温度 等多个随机变量； 等多个随机变量； 研究国民经济状况， 就需要用GDP、 固定资 研究国民经济状况 ， 就需要用 、 产投资、 各产业产值、 人均消费额等很多随机变 产投资 、 各产业产值 、 人均消费额 等很多随机变 量来描述． 量来描述． 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念 、 理论和应用． 理论和应用．
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 定义3.3 如果二维随机变量 ，Y)只取有限个或可 如果二维随机变量(X， 只取有限个或可 定义 列个数对(x 列个数对 i，yj)，则称 ，Y)为二维离散型随机变 ，则称(X， 为 量，称 P { X = xi , Y = y j } = pij , i , j = 1, 2, L 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律． ， 的分布律， 与 的联合分布律． 也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律． 的分布律． 也可用如下表格形式表示 ， 的分布律
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数 容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质 ， 具有以下的性质 具有以下的性质: 容易证明分布函数 (1) 单调性：F(x，y)分别对 或y是单调不减的，即 单调性： ， 分别对 分别对x或 是单调不减的 是单调不减的， 当 x1 < x2 时，有 F ( x1 , y) ≤ F ( x2 , y) 当 y1 < y2 时，有 F ( x , y1 ) ≤ F ( x, y2 )． (2) 有界性：对任意的 和y，有 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 ，且 有界性：对任意的x和 ，
3.1 多维随机变量及联合分布 3.2 二维随机变量的边缘分布 3.3 条 件 分 布 3.4 随机变量的相互独立性 3.5 二维随机变量函数的分布
第3章 多维随机变量及其分布 章 在实际问题的研究中， 在实际问题的研究中 ， 只用一个随机变量往 往是不够的． 往是不够的． 例如， 要研究儿童的生长发育情况， 常用身 例如 ， 要研究儿童的生长发育情况 ， 常用 身 体重两个随机变量来描述 两个随机变量来描述； 高和体重两个随机变量来描述； 研究某地区的气候状况需要考虑温度 、 研究某地区的气候状况需要考虑 温度、 湿度 温度 等多个随机变量； 等多个随机变量； 研究国民经济状况， 就需要用GDP、 固定资 研究国民经济状况 ， 就需要用 、 产投资、 各产业产值、 人均消费额等很多随机变 产投资 、 各产业产值 、 人均消费额 等很多随机变 量来描述． 量来描述． 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、 本章学习多维随机变量及其分布的有关概念 、 理论和应用． 理论和应用．
3.1.3 二维离散型随机变量及联合分布律 定义3.3 如果二维随机变量 ，Y)只取有限个或可 如果二维随机变量(X， 只取有限个或可 定义 列个数对(x 列个数对 i，yj)，则称 ，Y)为二维离散型随机变 ，则称(X， 为 量，称 P { X = xi , Y = y j } = pij , i , j = 1, 2, L 为(X，Y)的分布律，或X与Y的联合分布律． ， 的分布律， 与 的联合分布律． 也可用如下表格形式表示(X，Y)的分布律． 的分布律． 也可用如下表格形式表示 ， 的分布律
3.1.2 二维随机变量及联合分布函数 容易证明分布函数F(x，y)具有以下的性质 ， 具有以下的性质 具有以下的性质: 容易证明分布函数 (1) 单调性：F(x，y)分别对 或y是单调不减的，即 单调性： ， 分别对 分别对x或 是单调不减的 是单调不减的， 当 x1 < x2 时，有 F ( x1 , y) ≤ F ( x2 , y) 当 y1 < y2 时，有 F ( x , y1 ) ≤ F ( x, y2 )． (2) 有界性：对任意的 和y，有 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 ，且 有界性：对任意的x和 ，
峁诗松 概率论与数理统计
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第三章 多维随机变量及其分布
第29页
3.2.1 边际分布函数
巳知 (X, Y) 的联合分布函数为 F(x, y)，
则
X FX (x) = F(x, +),
Y FY (y) = F(+ , y).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第30页
3.2.2 边际分布列
(4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性) F(b, d) F(b, c) F(a, d) + F(a, c) 0. 注意：上式左边 = P(a<Xb, c<Y d).
17 July 2013
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第三章 多维随机变量及其分布
第6页
3.1.3 联合分布列 二维离散随机变量
第三章 多维随机变量及其分布
第33页
注 意 点 (1)
由联合分布可以求出边际分布.
但由边际分布一般无法求出联合分布.
所以联合分布包含更多的信息.
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第三章 多维随机变量及其分布
第34页
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态： 若 (X, Y) N ( )，
地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
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第三章 多维随机变量及其分布
第15页
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在 非负可积函数 p(x, y)，使得
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。 称p(x, y) 为联合密度函数。
3.1 多维随机变量及其联合分布
第10页
y x ( x , y ) ( F A B a rcta n ) ( C a rcta n ) , x , y R 2 3 其中 A ,B ,C 为常数 , ⑴ 确定A ,B ,C 的值; ⑵ 求 P(2<X<+, 0<Y 3). 解 ⑴ 由分布函数的特征性质知 F ( , ) 1A ( B ) ( C ) 1, A 0, B 0 , C 0 , 2 2 2 2 F (, ) A ( B ) (C ) 0 , 0, C 0, 2 2 B 2 2 F (, ) A ( B ) (C ) 0 ,
• 类似于一维随机变量可视为直线(一维空间)上的随机点, 二维随机变量可视为平面上(二维空间)的随机点 . • 使用分布函数, 概率分布和概率密度等函数,来刻划作为 一个整体的二维随机变量的统计规律.
第3页
3.1 二维随机变量及其联合分布
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2
(以下仅讨论两维随机变量) 设( X , Y ) 为二维 r.v., 对任何一对实数( x , y ), 事件
X
Y
y1
y2
…
yj …
x1 x2 … xi …
p11 p21 … pi1 …
p12 p22 … pi2 …
… … … … …
p1j p2j … pi j …
… … … … …
第12页
3.1 二维随机变量及其联合分布
联合分布列的基本性质
(1) pij 0,
i, j = 1, 2,… (非负性)
(规范性)
量 X 1 , X 2 , , X n 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量.
y x ( x , y ) ( F A B a rcta n ) ( C a rcta n ) , x , y R 2 3 其中 A ,B ,C 为常数 , ⑴ 确定A ,B ,C 的值; ⑵ 求 P(2<X<+, 0<Y 3). 解 ⑴ 由分布函数的特征性质知 F ( , ) 1A ( B ) ( C ) 1, A 0, B 0 , C 0 , 2 2 2 2 F (, ) A ( B ) (C ) 0 , 0, C 0, 2 2 B 2 2 F (, ) A ( B ) (C ) 0 ,
• 类似于一维随机变量可视为直线(一维空间)上的随机点, 二维随机变量可视为平面上(二维空间)的随机点 . • 使用分布函数, 概率分布和概率密度等函数,来刻划作为 一个整体的二维随机变量的统计规律.
第3页
3.1 二维随机变量及其联合分布
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2
(以下仅讨论两维随机变量) 设( X , Y ) 为二维 r.v., 对任何一对实数( x , y ), 事件
X
Y
y1
y2
…
yj …
x1 x2 … xi …
p11 p21 … pi1 …
p12 p22 … pi2 …
… … … … …
p1j p2j … pi j …
… … … … …
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3.1 二维随机变量及其联合分布
联合分布列的基本性质
(1) pij 0,
i, j = 1, 2,… (非负性)
(规范性)
量 X 1 , X 2 , , X n 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量.
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
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例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
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二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
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一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
概率3.1节-多维随机变量及其联合分布.ppt
c, x 2 y 2 R 2 , f ( x, y ) 2 2 2 0, x y R ,
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
(1)求常数c，（2）计算原点到该点的距 离D小于等于a的概率；（3）计算E(D).
二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的联合密度 函数为
p ( x, y ) 2 1 2 1 2
( x 1 ) 2 1 exp{ [ 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 ) 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
2
2
]}, x, y ,
则称(X,Y)服从二维正态分布，记为 其中参数满足
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
p( x1 , , ( x1 , , xn ) D, , xn ) S D 0, 其他.
则称 布，记为
服从D上的多维均匀分
例3 考虑一个半径为R的圆，按如下方式 随机地在圆内投点：落在圆内任一区域 内的概率只与这个区域的面积有关，与 该区域在圆内的位置及形状无关。如果 令圆心表示原点，且令X和Y表示所投点 的坐标，设它们的联合密度函数为
y
(,)
F ( , ) 1
y
x
(x, y)
x
F ( , ) 0
(,)
y
F ( x , ) 0
x
F ( , y) 0
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
概率论第三章
8 July 2010
联合密度函数的基本性质 (1) p(x, y) ≥ 0. (非负性) (2) (正则性)
注意: P{(X,Y) ∈D} = ∫∫ p(x, y)dxdy
D
8 July 2010
3.1.5
一,多项分布
常用多维分布 常用多维分布
若每次试验有r 种结果:A1, A2, ……, Ar 记 P(Ai) = pi , i = 1, 2, ……, r 记 Xi 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为:
2x
+∞
1 2x +∞ 1 3y +∞ = A e × e 2 0 3 0
=A/6 所以, A=6
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例3.1.4
6e(2x+3y) , x ≥ 0, y ≥ 0 若 (X, Y) ～ p( x, y) = 其 它 0,
试求 P{ X< 2, Y< 1}.
8 July 2010
注 意 点 (2)
二维正态分布的边际分布是一维正态: 若 (X, Y) N ( ), 则 XN( ), YN( ).
二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.
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例3.2.1 设 (X, Y)服从区域 D={(x, y), x2+y2 <1} 上的均匀分布,求X 的边际密度p(x). 解: 由题意得
e y , 0 < x < y p( x, y) = 其 他 0,
求概率P{X+Y≤1}. 解: P{X+Y≤1}=
1/2
1x x
y=x
x+y=1
= ∫ dx∫
1多维随机变量及其联合分布
3.1多维随机变量及其分布教学目标：本节讲解的是多维随机变量及其分布.通过本节的教学，要求学生正确理解多维随机变量及其分布，掌握多维随机变量及其分布的计算方法，运用定义和性质解决有关问题.教学重点：多维随机变量及其分布的定义与性质. 教学难点：多维随机变量及其分布的证明与计算. 二维随机变量定义1 设E 是随机试验，则由定义在E 的样板空间Ω上的随机变量X 与Y 构成的有序对),(Y X 称为二维随机变量（或二维随机向量）。
定义2 对任意实数y x ,，二元函数},{)}(){(),(y Y x X P y Y x X P y x F ≤≤≡≤≤=称为二维随机变量),(Y X 的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
若把二维随机变量),(Y X 看成平面上随机点),(Y X 的坐标，则分布函数),(y x F 就表示随机点落在以点),(y x 为顶点的左下方的无限矩形域内的概率。
),(),(),(),(},{111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤< 分布函数具有以下基本性质： （1）1),(0≤≤y x F ，且对任意固定的y ，0),(=-∞y F ， 对任意固定的x ，0),(=-∞x F ， 0),(=-∞-∞F ，1),(=∞∞F 。
（2）),(y x F 分别是x 和y 的不减函数。
（3）),(),0(y x F y x F =+，),()0,(y x F y x F =+，即),(y x F 关于x 或y 均右连续。
（4）若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F如果二维随机变量),(Y X 可能取的值是有限对或可列无限对，则称),(Y X 是二维离散型随机变量。
),(Y X 的分布律或X 和Y 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{， ,2,1,=j i 。
多维随机变量及其分布
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量，用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均，反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量，即离散程度。在多维随机变量中，期望值是一个向量，
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
定义
连续型随机变量是在一定范围内 可以取任何值的随机变量，通常 用X表示。
例子
人的身高、体重、时间等。
概率分布
连续型随机变量的概率分布可以 用概率密度函数（PDF）表示， 即f(x)表示随机变量取某个值的概 率密度。
随机变量的期望和方差
期望
期望是随机变量取值的平均值，用E(X)表示。对于离散型随机变量，E(X)=∑xp(x)； 对于连续型随机变量，E(X)=∫xf(x)dx。
复杂度并提高模型的泛化能力。
Part
07
总结与展望
总结多维随机变量及其分布的主要内容
定义与性质
多维随机变量是多个随机变量的组合，具有多维度的特性 。其定义基于概率空间，每个维度都有独立的概率分布。
联合概率分布
多维随机变量的联合概率分布描述了所有维度同时发生的 概率。通过联合概率分布，可以计算各种联合事件的概率 。
总结词
独立性是多维随机变量的一个重要性质，表示多个随机变量之间没有相互依赖关系。
详细描述
在多维随机变量中，如果多个随机变量之间相互独立，那么一个随机变量的取值不会影响到另一个随 机变量的取值。独立性的判断对于概率论和统计学中的许多问题至关重要，如联合概率分布、条件概 率和贝叶斯推断等。
Part
06
边缘概率分布
第三章第一节多维随机变量及其联合分布
P{ X x1 ,Y y2 }P{ X x1,Y y1} 0,
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1) 0.
P135例3.1.1举出因不满足性质4而不为分布函数的 例子.
二、多维随机变量及其联合分布函数
1.多维随机变量
证 由概率的性质可知0 F( x, y) 1.又因为对任意的
正整数n,
n
lim X x lim X m ,
x
n m 1
n
lim X x lim X m ,
x
n m 1
由概率的连续性得
F (, y) 0,
对.
F (, ) 0, F (, ) 1.
2o 有界性 对任意的x和y,有0 F ( x, y) 1, 且有
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x
对于任意固定的 x, F( x,) lim F( x, y) 0, y F (,) lim F ( x, y) 0, x y F (,) lim F ( x, y) 1. x y
y
2(1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
解
(1) 因为
f ( x, y)d x d y 1,
所以
2 4 k (6 x y)d y d x 1， 02 k 1; 8
(2) P{X 1,Y 3}
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y2 ) F ( x1, y1) 0.
P135例3.1.1举出因不满足性质4而不为分布函数的 例子.
二、多维随机变量及其联合分布函数
1.多维随机变量
证 由概率的性质可知0 F( x, y) 1.又因为对任意的
正整数n,
n
lim X x lim X m ,
x
n m 1
n
lim X x lim X m ,
x
n m 1
由概率的连续性得
F (, y) 0,
对.
F (, ) 0, F (, ) 1.
2o 有界性 对任意的x和y,有0 F ( x, y) 1, 且有
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x
对于任意固定的 x, F( x,) lim F( x, y) 0, y F (,) lim F ( x, y) 0, x y F (,) lim F ( x, y) 1. x y
y
2(1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4)当x 2,1 y 2时, F ( x, y) p11 p21 1 3; (5)当x 2, y 2时, F ( x, y) p11 p21 p12 p22 1.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
解
(1) 因为
f ( x, y)d x d y 1,
所以
2 4 k (6 x y)d y d x 1， 02 k 1; 8
(2) P{X 1,Y 3}
§3.1 多维随机变量及联合分布
例3.1.6 把三个相同的球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子 内，则1号盒、2号盒分别放入的球数是二维随机变量， 求联合分布列和边际分布列？
解： 设Ｘ为1号盒所放入的球数，Ｙ为2号盒所放入的球数。 取值范围都是 0， 2 3。 1，，
P(Ｘ i,Ｙ j) P(Ｘ i)P(Ｙ j| Ｘ i) i 1 i 2 3-i 其中 P(Ｘ i) C3 ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3
讨论事件的概率。
3、对于不在同一样本空间的两个随机变量的讨论，要用更
多数学工具，本章不涉及。
定义3.1.2 若（X(), Y()）在平面上只取有限个（或可列个） 点，则称（X( ), Y()） 为离散型二维随机变量。
定义若（X( ), Y( )）在平面上的取值充满某个区域 （或整个 平面），则称（X( ), Y( )）为连续型二维随机变量。
本教材也是象数学分析那样，着重研究二维随机变量，多
随机变量的性质与二维随机变量没有本质上的差别。
二、 X，Y的联合分布列
定义31 4 设(X( ), Y( ))为离散型二维随机变量， .. 称 Pij =P(Ｘ xi，Ｙ y j ),
i, j 1, 2, 3, „„
为Ｘ，Ｙ的联合分布列。
§3.1 多维随机变量及联合分布 一、多维随机变量
例3.1.1 任掷两枚骰子，有36种结果：
（， 1,2 13 14 15 16 1 1）（ ）（ , ）（ , ）（ , ） （ , ） 1 （2, ）（2, ）（2, ）（2, ）（2, ）（2, ） 2 3 4 5 6 , （31）（3, ）（3, ）（3, ）（3, ）（3, ） 2 3 4 5 6 （4, ) （4, ）（4, ）（4, ）（4, ）（4, ） 2 3 4 5 6 1 1 （5, ）（5, ）（5, ）（5, ）（5, ） （5, ） 2 3 4 5 6 （6, ）（6, ）（6, ）（6, ）（6, ）（6, ） 2 3 4 5 6 1
3_1多维随机变量的联合分布
X1，X2，… ，Xn是定义在Ω 上的n个随机变量，称随机变量组
(X1，X2，…，Xn)
为定义在Ω 上的n维随机变量(或n维随机向量).
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一、二维随机变量（X,Y）的联合分布函数 1.定义 设(X,Y)为二维随机变量，x,y为两个任意实数,则称二元函数 F(x, y)= P{X≤x, Y≤y} 为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称X,Y的联合分布函数. 2.几何意义 F(x,y)表示随机点 (X,Y) 落在以 (x,y) 为顶 点，且位于该点 左下方的无穷矩形区域内的概率.
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二、二维离散型随机变量的联合分布列 1.定义 若随机向量（X,Y）所有可能取值为有限对或可列多对时, 则称（X,Y）为二维离散型随机变量. 2.（X,Y）的联合分布列(律) 若（X,Y）的所有可能取值为（xi, yj），i , j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, 3.联合分布列的性质 i , j =1,2,…， 则称这一列式子为（X,Y）的联合概率分布或联合分布列.
例2. 对某市成年男子身体状况进行抽样调查，了解身高(X),
体重(Y)情况. 则(X,Y)为两个随机变量. 总之，在实际问题中某些随机试验的结果经常用多个随机变 量来描述.
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一、
多维随机变量的联合分布
多维随机变量(向量)的概念
定义 设随机试验 E 的样本空间为Ω ={ω }，
0
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例3. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为
4 xy , f ( x, y ) 0, 0 x 1, 0 y 1
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3
P(（X，Y） G )
（x，y ） G
P( x, y) dxdy
y
dy
0
1
1 y
0
4e
2( x y )
dx
x y 1
0
2e
0
1
2y
1 e
2
21 y
dy
x
(e
0
1
2y 2
e )d (2y )
1 3e
(1) Pij 0, i, j 1, 2,3,„„
(2)
P
i j
ij
1
例31.3 袋中有5个形状相同的球，其中3个新的，个旧的， . 2 从中任取一球，无返回地取两次， 1 第一次取新球 设 Ｘ 第一次取旧球 0 求 Ｘ，Ｙ 得联合分布列。 1 Ｙ 0 第二次取新球 第二次取旧球
用 表示针与直线的交角。
x d/2
0
L x sin 2
A
定义3.1.1 若X( ), Y( )是同一个样本空间上的两个随机变量， 则称（X( ), Y( )）为二维随机变量。 也称二维随机向量。
说明：
1、所谓两个随机变量在同一个样本空间上，是指两个变量 描述一个样本点 2、对于二维随机变量，将在平面上用平面点集表示事件，
1 j 1 3 i j P(Ｙ j | Ｘ i) C ( ) ( ) 2 2
j 3 i
0i j3
1 i 2 3 -i C j ( 1 ) j ( 1 ) 3 i j （ （ 于是 P(Ｘ i，Ｙ j) C ） ） 3i 2 2 3 3 1 3! 0i j3 27 i! j!(3 i j)!
§3.1 多维随机变量及联合分布 一、多维随机变量
例3.1.1 任掷两枚骰子，有36种结果：
（， 1,2 13 14 15 16 1 1）（ ）（ , ）（ , ）（ , ） （ , ） 1 （2, ）（2, ）（2, ）（2, ）（2, ）（2, ） 2 3 4 5 6 , （31）（3, ）（3, ）（3, ）（3, ）（3, ） 2 3 4 5 6 （4, ) （4, ）（4, ）（4, ）（4, ）（4, ） 2 3 4 5 6 1 1 （5, ）（5, ）（5, ）（5, ）（5, ） （5, ） 2 3 4 5 6 （6, ）（6, ）（6, ）（6, ）（6, ）（6, ） 2 3 4 5 6 1
x
4
5
P( Y f (X) ) 0 2 F x, y) ( P( x, y) (有限或可列个点、个别线除外） xy
例3.1.5 设（X，Y）的密度函数为 Ce 2( x y ) P ( x, y ) 0 求 1 常数C ; 0 x, y 其他
对于一个样本空间中的一个样本点如果要用更多的变量来
描述，就有n维随机变量（随机向量）的定义：
定义3.1.3 若X1 ( ), X 2 ( )............X n () 是同一个样本空间上 的两个随机变量，则称{X1 ( ), X 2 ( )............X n }( ) 为 n维随机变量。也称n维随机向量。
(1,0)
x
x＜0 或y＜0 0 x＜1， y＜1 0 x 1, 0 y＜1 或y 1, 0 x＜1 x 1, y 1
四、二维连续型随机变量 定义3.4 若存在函数P( x，y )，使得对任意 x，y R 2，都有
F(x，y )=
x -
y
-
P(u，v)dudv
设 A “针与直线相交” L 则 A （ , x) | 0 x sin 2
针落在平面上的一个位置（一个样 本点）要用两个变量来描述，且所 有样本点充满平面上的一个矩形区 域
d 则 （，x) | 0 , 0 x 2
讨论事件的概率。
3、对于不在同一样本空间的两个随机变量的讨论，要用更
多数学工具，本章不涉及。
定义3.1.2 若（X(), Y()）在平面上只取有限个（或可列个） 点，则称（X( ), Y()） 为离散型二维随机变量。
定义若（X( ), Y( )）在平面上的取值充满某个区域 （或整个 平面），则称（X( ), Y( )）为连续型二维随机变量。
例3.1.4：掷两枚硬币，求F(x,y) (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
P(Ｘ i,Ｙ j) 0.25， i, j 0,1.
y
(1,1)
(0,1)
当 x＜0, 或ｙ＜0 时， (0, 0) F(x, y) 0 当 0 x＜ y＜ 时， 1,0 1 F(x, y) 0.25 F(x, y) 当x 1,0 y＜ 时， 1 0 F(x, y) 0.5 0.25 当0 x＜ 1 时， 1,y 0.5 F(x, y) 0.5 当 x 1, y 1 时， 1 F(x, y) 1
五、常用多维分布 （1）多项分布
多维分布最重要的是多维离散分布，他是二项分布的推广。 二项分布是描述n重被努里试验，每次试验只有两种结果， 事件A发生和事件A不发生。A发生k次的概率。
P(X k) C p (1 p)
k n k
n k
k 0,1, 2,.......n.
三项分布是描述n 次重复试验的，每次试验有三种结果… 四项分布是描述n 次重复试验的，每次试验有四种结果…
如图 F(x ,y )是: （X，Y）落入区域 （- X x ； Y y ) - 的概率。
F x ,y)的性质: (
(X, Y)
(与F x)的性质类似：) (
1
单调性 F( x, y )是分别关于x，y的单调非减函数。 对y１ y２ Ｒ，若y１ y2 , 则F( x ，y1 ) F( x ，y2） ，
F(x, y )分别关于x，y右连续性 F( x 0，y ) F( x ，y ) , F( x，y 0) F( x，y )
4 (X , Y)落入任意矩形区域内的概率
P( x1＜Ｘ x2；y1＜Ｙ y2 )
F x2，y2 )-F x1,y2 )-F x2 ,y1 )+F x1,y1 ) ( ( ( (
证明：性质1、2、3、的证明类似一维随机变量，
这里仅对4做出证明。
（从图形上，用多除少补的方法可直接得出）。
对任意的 x1 x2 和 y1 y2 设 A=(X x1 ), B=(X x2 ), C=(Y y1 ), D=(Y y2 )
P[(B A) (D C)] P(BD A C） （ ) P(BD) P(ABD CBD) P(BD) P(AD CB) P(BD) P(AD) PCB) P(ABCD)
P(X x2 ,Y y2 ) P(X x1Y y2 )
P( x2 ) F( x1, y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y1 )
P(X x2 ,Y y1 ) P(X x1 ,Y y1 )
2
F( x, y)
x
-
y
-
P(u,v)dudv
0 0
x
y
0
4e
2( u+v )
dudv
0 x, y 其他
x 2e2u du y 2e2vdv 0 x, y 0 0 0 其他
1 e2x 1 e2y 0 x, y 0 其他
每一个可能结果都用两个数来表示，就是二维随机变量。 并且易知：
1 P(Ｘ i,Ｙ j) 36
i, j 1, 2,3, 4,5, 6.
例31 2（蒲丰投针问题）平面上有等距平行线一族，线距为d, ..
向平面上任投一根长度为L（L<d) 针，求针与直线相交的概率？
解：以x表示针的中点到最近直线的距离，
解：在n 次重复试验中，A1发生的次数为X，A2发生的 次数为Y，A3发生的次数为Z， （X=i,Y=j,Z=k）这件事相当于n次试验中恰有i次A1发生，
余n i次中恰有j次A 2发生，余n i j次中恰有k次A 3发生， 最后余n i j k次为A 4发生。
解：P Ｘ 0，Ｙ 0 P(Ｘ 0)P(Ｙ 0 |Ｘ 0)
2 1 2 5 4 20
P Ｘ 0，Ｙ 1 P(Ｘ 0)P(Ｙ 1|Ｘ 0)
2 3 6 5 4 20
P Ｘ 1，Ｙ 0 P(Ｘ 1)P(Ｙ 0 |Ｘ 1) 3 2 6 5 4 20
i 3
例3.1.7随机试验E有4种结果A1，A 2，A3，A 4 , 且P(A1 ) p1 , P(A 2 ) p 2 , p(A3 ) p3 , P(A 4 ) p 4 , pi 1 ,将E进行n次
i 1 4
重复试验，求A1发生i次，A 2发生j次,A3发生K次的概率?
2 F(x，y)；
3（X，Y）落入区域G内概率，区域G如图。
解： 1 1
-
-
P( x, y)dxdy
0
0
0
Ce
2( x y )
dxdy
C e dx
2x
0
C4
1 1 e dy C 2 2
2y
即对x１ x２ Ｒ，若x１ x2 , 则F( x1，y ) F( x2，y ) ，
2 有界性 对( x, y) R 2， 有 0 F( x, y) 1 F(, y) F(-, x) F(, ) 0 F(, ) 1