2018上海市浦东新区建平中学高三三模数学试卷及答案
2018学年上海市建平中学高三(上)9月月考数学试卷 解析版
2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为．5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=．6．（3分）设，则=．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l215．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．2017-2018学年上海市建平中学高三（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）在（x+a）5的二项式展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则非零实数a的值为1．【分析】利用（x+a）5二项式展开式的通项公式写出展开式中含x2的系数和x3的系数，列方程求出a的值．=•x5﹣r•a r，【解答】解：（x+a）5的二项式展开式中，通项公式为T r+1∴含x2的系数为•a3，x3的系数为•a2，由题意知•a3=•a2，即10a3=10a2，解得a=1或a=0；∴非零实数a的值为1．故答案为：1．2．（3分）袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为．【分析】从袋中任取2个球，基本事件总数n=，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，由此能求出所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率．【解答】解：袋中共有15个除颜色外完全相同的球，其中10个白球5个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n==105，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m=，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p==．故答案为：．3．（3分）设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为．【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，∴=，即==e2﹣1=，则e2=，则e=，设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，∵若点（4，2）在C上，∴λ==8﹣4=4，即双曲线方程为﹣y2=4，即，故答案为：4．（3分）已知集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a的取值集合为{0}∪（，+∞）．【分析】利用分类讨论的思想①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根，故△＜0，进一步求出结果．【解答】解：集合{x|（x﹣1）（x2﹣x+a）=0，x∈R}中的所有元素之和为1，则：①当a=0时，集合只有0和1两个元素，故满足所有的元素和为1．②当f（x）=x2﹣x+a没有零点，即）x2﹣x+a=0没有实根．故△＜0，即1﹣4a＜0解得：a．综合①②得：，故答案为：{0}∪（，+∞）5．（3分）已知x∈C，且x5﹣1=0，则=4，或﹣1．【分析】由x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，得x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，进而得到答案．【解答】解：∵x∈C，且x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=0，故x=1，或x4+x3+x2+x+1=0，当x=1时，=4，当x4+x3+x2+x+1=0时，==﹣1，故=4，或﹣1故答案为：4，或﹣1．6．（3分）设，则=1+．【分析】由已知求出|z n|，再由无穷递缩等比数列所有项和的求解方法求解．【解答】解：∵，∴=，则==．故答案为：1+．7．（3分）若复数z满足，则复数|z﹣1﹣i|的最大值为．【分析】设出z=a+bi（a，b∈R），则由，得z在复平面内对应点的轨迹，再由|z﹣1﹣i|的几何意义求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由，得a2+b2+2a≤0，即（a+1）2+b2≤1．复数z在复平面内对应点的轨迹如图：∴复数|z﹣1﹣i|的最大值为|PC|+1=．故答案为：．8．（3分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P的直线上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得Q（﹣1，1）由即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|==3，故答案为：3．9．（3分）已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．【分析】满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．【解答】解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．对于②，可取满足题意．对于③，经验证不满足．故答案为：②．10．（3分）集合，若B⊆A，则实数a的取值范围是{a|1＜a} ．【分析】根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：集合，化简集合A={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]．∵B⊆A，当B=∅时，则4（a﹣2）2﹣4a＜0，可得：1＜a＜4．当B≠∅时，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x+a≤0有解．则4（a﹣2）2﹣4a≥0，f（1）≥0，f（4）≥0，，可得：3＜a综上可得：实数a的取值范围是{a|1＜a}．故答案为：{a|1＜a≤}．11．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴A到BC的距离=点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积1，则△MBC的面积S△MBC=，S△MBC=丨MB丨×丨MC丨sin∠BMC=，∴丨MB丨×丨MC丨=．∴•=丨MB丨×丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨×丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．12．（3分）已知函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[，]∪{} ．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：函数f（x）=（a＞0且α≠1）在R上单调递减，则：；解得，≤a≤．由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故答案为：[，]∪{}．二、选择题13．（3分）若a、b为实数，则ab（a﹣b）＜0成立的一个充要条件是（）A．B．C．D．【分析】先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【解答】解：ab（a﹣b）＜0⇔a2b﹣ab2＜0⇔a2b＜ab2⇔⇔＜故选：D．14．（3分）l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥αC．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥αD．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1⊂α，故B、C错误；如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．故选：D．15．（3分）已知数列{a n}共有5项，满足a1＞a2＞a3＞a4＞a5≥0，且对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，则下列命题中，假命题的序号是（）A．数列{a n}中一定存在一项为0B．存在1≤i＜j≤5，使得ia i=ja jC．数列{a n}一定是等差数列D．集合A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤5}中元素个数为15．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，因此0∈{a n}，由于a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0），可得a3﹣a4=a4，即a3=2a4，以此类推可得：a2=3a4，a1=4a4．分析选项即可判断出结论．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤5），有a i﹣a j仍是该数列的某一项，∴a i﹣a i=0，∴当a5=0时，则a4﹣a5=a4∈{a n}，（a4＞0）．必有a3﹣a4=a4，即a3=2a4，而a2﹣a3=a3或a4，若a2﹣a3=a3，则a2﹣a4=3a4，而3a4≠a3，a4，a5，舍去；若a2﹣a3=a4∈{a n}，此时a2=3a4，同理可得a1=4a4．可得数列{a n}为：4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）；据此分析选项：易得A、B、C正确；对于D、集合A={x|x=a i+a j，1≤i≤j≤5}={8a4，7a4，6a4，5a4，4a4，3a4，2a4，a4，0（a4＞0）}中共有9个元素，D错误；故选：D．16．（3分）已知函数f（x）=，有下列四个结论：①对任意x∈D，f（x）+f（﹣x）=0恒成立；②存在m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实根；③对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）=f（x2）；④对任意k∈（1，+∞），函数g（x）=f（x）﹣kx有三个零点．上述结论正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过函数的基本性质﹣﹣奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R）是奇函数，∴任意x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立，故①正确；令m=，|f（x）|=，可解得，x=1或x=﹣1，故②正确；当x≥0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增当x＜0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在（﹣∞，0）单调递增，故函数在R上单调递增，对任意x1，x2∈D，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；故③错误；由③中分析可得：f'（x）∈（0，1]，故对任意k∈（1，+∞），函数y=f（x）的图象与y=kx只有原点一个交点，即函数g（x）=f（x）﹣kx有一个零点，故④错误．故选：B．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=8，BC=5，AA1=4，平面α截长方体得到一个矩形EFGH，且A1E=D1F=2，AH=DG=5．（1）求截面EFGH把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【分析】（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，转化求解体积推出结果即可．（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，证明HG⊥AM，推出AM⊥平面EFGH．通过计算求出AM=4．AF，设直线AF与平面α所成角为θ，求解即可．解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面α一个法向量，利用直线AF与平面α所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（6分），第2小题满分8分）解：（1）由题意，平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱，，…（2分），…（4分）所以，．…（6分）（2）解法一：作AM⊥EH，垂足为M，由题意，HG⊥平面ABB1A1，故HG⊥AM，所以AM⊥平面EFGH．…（2分）=10，）因为，，所以S△AEH因为EH=5，所以AM=4．…（4分）又，…（6分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）解法二：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），…（2分）故，，…（3分）设平面α一个法向量为，则即所以可取．…（5分）设直线AF与平面α所成角为θ，则．…（7分）所以，直线AF与平面α所成角的正弦值为．…（8分）18．已知数列{a n}是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S n是它的前n项和，满足S4=5S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log a a n（a＞0且a≠1），求数列{b n}的前n项和T n的最值．【分析】（1）公比q∈N*，q≠1，由S4=5S2．可得=，解得q．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，利用等差数列的求和公式可得数列{b n}的前n项和T n=log a2，对a分类讨论，利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）公比q∈N*，q≠1，∵S4=5S2．∴=，解得q=2．∴a n==2n﹣5．（2）b n=log a a n=（n﹣5）log a2，∴数列{b n}的前n项和T n=log a2=log a2，a＞1时，（T n）min=T4=T5=﹣10log a2．0＜a＜1时，（T n）max=T4=T5=﹣10log a2．19．某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知AB=18米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为θ．（1）若θ=60°，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1°）（2）如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？【分析】（1）利用正弦定理，即可求解；（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，求出Q 的轨迹方程，即可得出结论．【解答】解：（1）△AEQ中，AQ=2EQ，∠AEQ=120°…（2分）由正弦定理，得：所以…（4分）所以所以应在矩形区域ABCD内，按照与夹角为25.7°的向量方向释放机器人乙，才能挑战成功…（6分）（2）以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建平面直角坐标系，设Q（x，y）（y≥0）…（8分）由题意，知AQ=2EQ，所以所以（x﹣3）2+y2=36（y≥0）…（11分）即点Q的轨迹是以（3，0）为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD内的部分所以当AD≥6米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲…（14分）20．设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．【分析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，A点坐标为（﹣a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x﹣y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty﹣2，推出直线DE过定点（﹣2，0）．【解答】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=﹣1，又A点坐标为（﹣a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x﹣y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=当，即时，S取最大值．△APQ的最大值为．…（10分）故S△APQ（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=﹣1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=﹣x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2﹣1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=﹣2或﹣1，又DE不过A点，即s≠﹣1，故s=﹣2．所以DE的方程为x=ty﹣2，故直线DE过定点（﹣2，0）．…（16分）21．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}．（1）用列举法表示集合C；（2）设集合C的含n个元素所有子集为C n，记有限集合M的所有元素和为S （M），求S（C1）+S（C2）+…+S（C n）的值．（3）已知集合P，Q是集合C的两个不同子集，若P不是Q的子集，且Q不是P的子集，求所有不同的有序集合对（P，Q）的个数n（P，Q）．【分析】（1）先求出集合A，B，进而可得集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}（2）C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，进而可得答案；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．去除满足P⊊Q和Q⊊P的元素个数，可得答案．【解答】解：（1）∵集合A={x|x2﹣x﹣2≤0，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={x|lg（x2+x+8）=1}={﹣2，1}，集合C={x|x=ab，a∈A，b∈B}={﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2}．（2）n∈N*时，对C的任一元素a，因为C共有6个元素，故含有元素a的子集为25个，故C的每一元素a在“总和”S（M）中均出现25次，故S（C1）+S（C2）+…+S（C n）=（﹣4﹣2﹣1+0+1+2）•25=﹣128；（3）集合C有26个子集，不同的有序集合对（P，Q）有26（26﹣1）个．若P⊊Q，并设Q中含有k（1≤k≤n，k∈N•）个元素，则满足P⊊Q的有序集合对（P，Q）有=36﹣26个．同理，满足Q⊊P的有序集合对（P，Q）有36﹣26个．故满足条件的有序集合对（P，Q）的个数为n（P，Q）=26（26﹣1）﹣2（36﹣26）=2702．。
高三数学-2018年上海高三数学统考试卷(理科)解答 精品
2018年上海市高三数学教学质量抽查试卷（理科）（解答）一、填空题（4分×12＝48分）： 1、 已知函数x x f 24)(-=，则=-)0(1f 2 。
2、 函数x y 21log =的定义域是 10≤<x 。
3、 已知0<x ，则函数xx y 1+=的最大值是 2- 。
4、 计算：=+-+-+-10109107310821091101022222C C C C C 1 。
5、 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，AA ===,,1，点M 是棱BC 的中点。
若以向量c b a ,,表示向量M D 1，则M D 1＝ c b a 21-+- 。
6、 一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长分别为4,3,2，则此三棱锥的体积等于4（立方单位）。
7、 =++++++++∞→2004200322004321lim 2002200320032n n n n n n n 2004 。
8、 从编号为5,4,3,2,1的五名男乒乓运动员中任选三名参加决赛，则1号运动员参加决赛的概率是53。
9、 函数)32sin(π-=x y 的图像是中心对称图形，点 )0,6(π是它的一个对称中心。
10、在极坐标系中，若过点)0,3(且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于B A ,两点，则线段AB的长为 32 。
11、若P 是双曲线191622=-y x 上的一点，1F 和2F 该双曲线的两个焦点，且︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积是 39 。
12、一种电子锁含有十个密码特征数9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，每张钥匙卡上都记有这十个密码特征数中的某六个。
电子锁在扫描了若干张钥匙卡后，若能读取到所有密码特征数，则锁打开。
现有D C B A ,,,四张钥匙卡，前三张卡的密码特征数依次是{}{}{}8,6,5,4,3,2,9,7,5,4,3,2,5,4,3,2,1,0。
2018届上海市建平中学高三上学期期中考试数学试题(3)
上海市建平中学2018届高三上学期期中考试数学试题2017.11一.填空题1. 函数f (x) Tog2(x—3)的定义域是 ___________x _12. 若集合A ={x| 0}，则C R A二 ________x_33. 函数f (x)二sinx的零点是_________4 J!4. 已知二是第二象限角且cos ，则sin(二-')二__________5 42 1T5. 在扇形OAB中，中心角• AOB二幺，若弧AB的长为2二，则扇形OAB的面积为36. 函数y =sin(2x ')的单调递增区间为______________47. 函数f(x) =2cos2x sin2 x -1，x • ［0「］的值域为___________28. 函数f(x) =As in •‘X ( A .0，u >0 )在［0,二］上至少取到一次振幅，则频率的最小值为_________9. 已知函数f (x)满足：对任意a,b R，a中b，都有af (a) bf (b) af (b) bf (a)，则不等式f(|x|) ■ f(2x 1)的解集为______________Q *10. 若关于x的不等式x -axcos二x・4一0对任意N成立，则实数a的取值范围是11. 设函数f (x)、g(x)的定义域均为R，若对任意x1,x^ R，且x1：：：x2，具有f (x1^l f (x2)，则称函数f (x)为R上的单调非减函数，给出以下命题：①若f(x)关于点(a,0)和直线x=b( b=a)对称，则f (x)为周期函数，且2(b - a)是f(x)的一个周期；②若f(x)是周期函数，且关于直线X二a对称，则f(x)必关于无穷多条直线对称；③若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则f(x)的图像是一条直线；④若f(x)是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y轴的直线对称，则f (x)是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是___________12. 已知a1、a2、a3、a°与d、b?、R、是8个不同的实数，若方程|x—a1||x—a2||x—a3||x—a4|=|x—b1||x—b2||x— b3「|x — b4| 有有限多个解，则此方程的解最多有_________ 个3选择题13.将函数y =sin2x 的图像向左平移 二个单位，得到函数（）的图像4A. y =sin2xB. y=cos2xC. y =—sin 2xD. y = —cos2x14. 下列函数在其定义域上既是奇函数，又是增函数的是（15.下列关于充分必要条件的判断中，错误的是（）A. “ x • （0,二）”是“ sinx • — - 2 ”的充分条件2sin xB. “ a b _2 ”是“ ab _1 ”的必要条件 1C. “ x 0 ”是“ X • — _ 2 ”的充要条件xD. “ a 0， b • 0 ”是“ a b 2一 ab ”的非充分非必要条件16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆 汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时, 消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速 80千米/小时, 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题（1） 若cosB讨，求b 的值；（2） 若a =讦3，求 ABC 的面积的最大值A. y = lg(x . x -1)B.C.y =7^7 22-12D. y =2x1-2"17.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 cos A 二VHHI F ，1x 118.设函数 f(x)=4 -1 ( x_0 )的反函数为 f —(x), g(x^log 4(3x 1). (1 )求 f "(x)；(2)若函数h(x) =2g(x) - f 」(x)的图像与直线y =a 有公共点，求实数 a 的取值范围19.某工程队共有500人，要建造一段6000米的高速公路，工程需要把 500人分成两组, 甲组的任务是完成一段 4000米的软土地带，乙组的任务是完成剩下的 2000米的硬土地带, 据测算，软、硬土地每米的工程量是 30工(工为计量单位)和 40工.(1 )若平均分配两组的人数，分别计算两组完工的时间，并求出此时全队的筑路工期； (2 )如何分配两组的人数会使得全队的筑路工期最短？20.已知函数 f (x) = x | x 「a | bx ， a,b R .(1 )若a=0，判断f (x)的奇偶性，并说明理由; (2 )若b=0，求f(x)在［1,3］上的最小值;f (x) f (x) - g(x) 21.给定函数 f(x)、g(x)，定义 F(f(x),g(x)) .l g(x) f(x)<g(x)/、"口f (x)+g(x) + | f (x)—g(x) |(1)证明:F(f(x),g(x))：(2 )若 f(x) =si n2x-cosx ， g(x) =si n2x cosx ，证明：F (f (x), g(x))是周期函数; (3)若 f(x)=A t Si n “X ，in 2x ， A=0，- - 0 , i =1,2，证明：f (x) • g(x)是周期函数的充要条件是为有理数.(3)若 b0， 且 f(x)二a 2b 2有三个不同实根,十的取值范围.填空题三.解答题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018年上海市浦东新区建平中学高考数学三模试卷及解析〔精品解析版〕
A．
C． 16．（3 分）定义
命题：
B． D． ，已知函数 f（x）、g（x）定义域都是 R，给出下列
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（1）若 f（x）、g（x）都是奇函数，则函数 F（f（x），g（x））为奇函数；
（2）若 f（x）、g（x）都是减函数，则函数 F（f（x），g（x））为减函数；
（3）若 fmin（x）＝m，gmin（x）＝n，则 Fmin（f（x），g（x））＝F（m，n）； （4）若 f（x）、g（x）都是周期函数，则函数 F（f（x），g（x））是周期函数．
（1）当
时，求 EF 的长；
（2）当步道围成的△AEF 面积 S 最小时，这样的设计既美观同时成本最少，求 S 的最小 值？
20．已知椭圆
的左右焦点为 F1、F2，过 M（m，0）（M 不过椭圆的顶点和中心）
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且斜率为 k 直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，与 y 轴交于点 N，且
18．已知函数 f（x）＝ax+k•bx，其中 k∈R，a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1． （1）若 ab＝1，试判断 f（x）的奇偶性； （2）若 a＝2，b＝ ，k＝16，证明 f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴．
19．某城市为了丰富市民的休闲生活，现决定修建一块正方形区域的休闲广场 ABCD（如图）， 其中正方形区域边长为 1 千米，AE、EF、AF 为休闲区域内的直步道，且∠EAF＝45°， 其余区域栽种花草树木，设∠EAB＝θ．
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
14．（3 分）将函数
的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把图象上
各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得图象的解析式为（ ）
上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试卷+Word版含答案
绝密★启用前上海市浦东新区建平中学2018届高三上学期10月月考数学试题一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共20分）.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|x≥0}，则A∩B= ．2．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的定义域为．3．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x+x﹣1的值域为．4．（5分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= ．6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为．7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为．8．（5分）已知不等式≤1的解集为A，若1∉A，则实数a的取值范围是．9．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，若f（a）＞f（2a﹣1），则实数a的取值范围是．10．（5分）若集合A={x|x2+4x+a=0}，集合B={t|函数f（x）=4x2﹣8x+t（4﹣t）至多有一个零点}，则A∪B的元素之和的函数关系式f（a）= ．11．（5分）当m＞0时，方程（mx﹣1）2﹣=m在x∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=，记函数g（x）=f（x）﹣t，若存在实数t，使得函数g（x）有四个零点，则实数a的取值范围是．二、选择题13．（5分）下列函数中，与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），给出下列命题：①若f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0；②若f（x）是奇函数，且f（﹣1）=f（1），则f（x）至少有三个零点；③若f（x）在R上不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若f（x）的最大值和最小值分别为M、m（m＜M），则f（x）的值域为[m，M]．则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知U=R，P={x|＞a}，Q={x|x2﹣3x≤10}．（1）若a=1，求（∁U P）∩Q；（2）若P∩Q=P，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=+（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式f（x）≥．19．某城市要建造一个边长为2km的正方形市民休闲OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，过对边OA上一点M的区域OABD内作一次函数y=kx+m（k＞0）的图象，与线段DB 交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区．（1）写出函数关系式m=f（k）；（2）设点P的横坐标为t，将四边形MABN的面积S表示关于t的函数S=g（t），并求S的最大值．。
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
上海市建平中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()//a b c λ+，则λ=（ ） A ．14 B ．12C ．1D ．2 2． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．6103515++B ．610+35+14C ．6103515++D ．4103515++【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．3． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．24． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．AC BD =C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为455． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R AB =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知数列｛n a ｝满足nn n a 2728-+=（*∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．211 B ．227 C ． 32259 D ．32435 8． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 9． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 10．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）A ．48B ．36C ．24D ．18【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设全集______.14．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式210bx ax ++>的解集 为___________.15．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0ektP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了 消除27.1%的污染物，则需要___________小时.【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用. 16．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 三、解答题（本大共6小题，共70分。
浦东新区高三三模(2018.05)
浦东新区高三三模数学试卷2018.05一. 填空题1. 直线310x y ++=的倾斜角的大小是2. 已知集合2{|0}5x A x x -=<+，2{|230,}B x x x x =--≥∈R ，则A B =I 3. 函数cos(2)4y x π=+的单调递减区间是4. 方程114162x x +-=⋅的解为5. 设复数z 满足(1)32i z i +=-+，则z =6. 某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取 名学生7. 函数sin cos cos()()2sin cos sin x x x f x xx xπ+-=-的最小正周期T =8. 已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为 9. 已知△ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ， 则sin cos B B +的取值范围是10. 若不等式||2x a +≤在[1,2]x ∈时恒成立，则实数a 的取值范围是11. 12x y -+=的值域是 12. 已知数列{}n a 满足1223n n na a a +=+-，其首项1a a =，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 已知非空集合A 、B 满足A B ，给出以下四个命题：① 若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件 ② 若x A ∉，则x B ∈是不可能事件 ③ 若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件 ④ 若x B ∉，则x A ∉是必然事件 其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 414. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）， 用过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几 何体的左视图为（ ）A. B. C. D.15. 设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于点(,0)6π对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3π个单位得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 16. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(,)A a a ，P 是函数1(0)y x x=<图象上一动点，若 点P 、A 之间的最短距离为22a 的所有值为（ ） A. 10- B. 1 C. 10 1 D. 不存在三. 解答题17. 若23()3()sin()cos()0)f x x x x ωωωω=-->的图像的最高点都在直线y m = (0)m >上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求ω和m 的值；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若点(,0)2A 是函数()f x 图像的一个对称中心，且1a =，求△ABC 外接圆的面积.18. 在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥ 平面ABCD ，6PD =. （1）求四棱锥P –ABCD 的体积； （2）求异面直线PB 与DC 所成角的大小.19. 已知各项都不为零的无穷数列{}n a 满足：110n n n n a a a a +++-=. （1）证明1{}na 为等差数列，并求11a =时数列{}n a 中的最大项； （2）若2018a 为数列{}n a 中的最小项，求1a 的取值范围.PBCD20. 设抛物线24(0)y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，过M 作直线l 交抛物线于B A 、两点.（1）求线段AB 中点的轨迹；（2）若线段AB 的垂直平分线交对称轴于0(,0)N x ，求0x 的取值范围；（3）若直线l 的斜率依次取23,,,,,n p p p p L L 时，线段AB 的垂直平分线与对称轴的交 点依次为123,,,,,n N N N N L L ， 当01p <<时，求：12233411111n n S N N N N N N N N +=+++++L L 的值.21. 已知函数20182018,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（1）分别求((1))f f -、((2018))f f 的值； （2）讨论(())()f f x m m =∈R 的解的个数；（3）若对任意给定的[1,)t ∈+∞，都存在唯一的x ∈R ，满足22(())2f f x a t at =-，求实数a 的取值范围.参考答案一. 填空题 1.56π 2.(5,1]-- 3. 3[,]88k k k ππππ-+∈Z 4. 1x = 5. 13i - 6. 40 7. π 8. 0.889. 10. [3,0]- 11. (,0)[2,)-∞+∞U 12. 1(0,)(2,)2+∞U 11. 令1,0,1≠≥=-t t t x , 则3,2,4)3(1)2(11222≠≥++-=--=-+=u u uu u u t t y 04)3(,214)3(43,2733,2≠++-≤++-⇒≠+≥+⇒≠≥uu u u u u u u u u24)3(104)3(1≥++-<++-⇒uu u u 或，所以值域为),2[)0,(+∞-∞Y二. 选择题13. C 14. D 15. B 16. C16. 设1(,)P x x，2222211()()[()]2AP x a a x a a x x =-+-=+-+-；由0x <，则12x x+≤-，分两种情况：（1）当2a ≤-时，min AP =，则a = （2）当2a >-时，min AP ==1a =； ∴满足条件的实数a的所有值为：1三. 解答题17.（1）2()()sin()cos()sin(2)3f x x x x x π=ω-ωω=-ω-……(3分) 由题意知，函数()f x 的周期为π，且最大值为m ，所以1,1m ω==. ……(3分)（2）(,0)2A 是函数()f x 图像的一个对称中心，所以sin()03A π-=，又因A 为ABC ∆的内角，所以3A π=，……(3分)在ABC ∆中，设外接圆半径为R，由12sin sin 3a R A ===π得R = ……(3分)所以ABC ∆的外接圆的面积23S R π=π= ……(2分)18.（1）211463233V sh ==⋅⋅= ……………6分 （2）因为AB ∥DC ，所以∠PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角，……………8分 因为PD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥P A ，……………10分 在Rt △P AB 中，PA=，AB=4，tan ∠PBA∠PBA=，………13分 异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan2．…………………………………14分 19.（1）由111111101n n n n n n n n n na a a a a a a a a a ++++++-=⇒-=⇒-=…………2分 ∴1{}na 是等差数列，且公差1d =； …………………2分当11a =时，1111(1)n n n n a a a n=+-=⇒=…………………1分 数列{}n a 递减数列，最大项为11a = …………………1分（2）由（1）知1111n n a a =+-； …………………1分 当110a >时，数列1{}n a 是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列{}n a 中就没有最小项，故110a <；…………………1分由数列1{}na 是递增数列，且2018a 是{}n a 的最小项，∴20181a 是数列1{}n a 中的最大负项， …………………2分从而有201810a <1111201702017a a ⇒+<⇒>-…………2分 又201910a >1111201802018a a ⇒+>⇒<- ∴1a 取值范围是11(,)20172018--…2分 20.（1）设直线)(:p x k y AB +=，联立px y 42=，0)42(22222=+-+p k x p pk x k ，…（1分） 由0≠k 且0>∆得到：102<<k ……(1分) 设AB的中点为),(y x P ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=)(22221p x k y p k p x x x ，……(1分) 消去k 得，)()(22p x p x p y >+=……(1分)实际轨迹为该抛物线位于直线p x =右方的两段抛物线弧……(1分) （2）设AB 的中点为),('y x P ''，……(1分)则线段AB 的垂直平分线的方程为：)'(1'x x ky y --=-……(1分) 令0=y ，得'2')'(2'''''20x p px p x p x p x y x ky x +=++=++=+=，……(2分) p x >'由，得px 30>……(1分)（3）∵x p x '+=20，由（1）知AB 中点的横坐标p kp x -=22'，∴pk p x +=202……(1分)则当n p k =时，点n N 的横坐标p p p p p x n nn +=+=-12222，……(1分) 同理1+n N 的横坐标p p x n n +=++1212，∴1221)1(2||++-=n n n p p N N ，……(1分))1(2||12121p p N N n n n -=++……(1分)∴数列}||1{1+n n N N 为一无穷递缩等比数列，所有项的和为223)1(2p p S -=……(2分)21.（1）((1))1;f f -=-……(2分)((2018))0f f =……(2分)（2）20182018,1(())log (log ),1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩……(2分)画图(())y f f x =，……(1分)0m <，0解；0m =，2解；01m <≤，4解；1m >，3解. ……(3分)（3）画函数(())y f f x =的图……(1分) 可知，222a t at -的取值必须大于1；……(2分)即当[1,)t ∈+∞时，222a t at -的值域包含于(1,)+∞；……(1分) 当0a =时，2220a t at -=，舍去；……(1分)当114a≤时，21211,2a a a a ->⇒><-；……(1分)当114a>时，22112()144a a a a ⋅-⋅>，舍去；……(1分) 综上所述，1(,)(1,)2a ∈-∞-+∞U .……(1分)。
2018-2019年浦东新区高三下三模数学试卷及答案
1 / 16浦东新区高三下三模数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}x B x =<，则A B =____________.2. 设复数21i zi，其中i 为虚数单位，则Im z =____________. 3. 抛物线22y x =的准线方程为_____________.4. 高为π，体积为2π的圆柱的侧面展开图的周长为 ．5. 三阶行列式20181201924202036x中，第2行第1列元素2019的代数余子式的值是9，则x =__.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是____________． 7. 在1020191(2)x+展开式中，4x 项的系数为____________．(结果用数值表示)8. 设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a ，231lim 2n na a a a ，则公比q的取值范围是_______________. 9. 已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上的一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记为d (P ,l )．设A (-3,1)，B (0,1)，C (-3,-1)，D (2,-1)，AB l =1,CD l =2，若),(y x P 满足),(),(21l P d l P d =，则y 关于x 的函数解析式为____________．10. 圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为____________．2 / 1611. 已知数列n a 满足11+1033n n n na a ,a a a a nN ，，数列n a 有最大值M和最小值m ，则Mm的取值范围为_________________. 12. 凸四边形就是没有角度数大于180° 的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形. 如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，BC =，AC CD ⊥，AC CD =．当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 14. 已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.关于函数，下列说法正确的是( D ) A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是奇函数 D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-15. 已知函数()y f x =是定义域为的偶函数． 当0x ≥时，5sin , 0x 2 44()1() 1 , x 22x x f x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩， 若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．5(,1)2--B ．59(,)24--C.599(,)(,1)244---- D ．9(-1)4-，16. 定义：在平面直角坐标系xoy 中，设点1122P x ,y Q x ,y ，，则1212d P,Qx x y y 叫做P,Q 两点的“垂直距离”. 已知点00M x ,y 是直线0ax by c 外一定点，点N 是直线0ax by c 上一动点，则M ,N 两点的“垂直距离”的最小值为（ ）)(x f x 6π)(x g )(x g ]2,4[ππ4π-=x )(x g )(x g ABCD3 / 16（A ）00max ,ax by c a b（B 00by c （C ）00+ax by ca b（D ）00ax by c三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA AD AB ===，4BC =． （1）若PB 中点为E ．求证：//AE PCD 平面；（2）若060PAB ∠=，求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)上海途安型号出租车价格规定：起步费16元，可行3千米； 3千米以后按每千米按2.5元计价，可再行12千米；以后每千米都按3.8元计价. 假如忽略因交通拥挤而等待的时间.（1） 请建立车费y （元）和行车里程x （千米）之间的函数关系式；（2） 注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的，如：小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一（路线一总长8.91千米）须付车费31元，走路线二（路线二总长8.71千米）也须付车费31元. 将上述函数解析式进行修正（符号[]x 表示不大于x 的最大整数，符号x ⎡⎤⎢⎥表示不小于x 的最小整数）；并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元？（注：两校区路线长31.62千米）AB C4 / 1619．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)函数()1f x mx x a x =--+，（1）若1,0m a ==，试讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，试讨论()f x 的零点的个数。
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
上海市建平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若集合,则= ( )ABC D2． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 3． 设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04． 已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{﹣1，1}5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 6． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.7． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.8． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-9． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如右图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 10．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．12+B．12 C. 34 D ．0 11．已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．12．已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积12S c =， 则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．15．已知,0()1,0x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2(2)()f x f x ->的解集为________．【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 16．三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
2018学年上海市建平中学高三高考模拟考试卷
【D】
【答案】：
15.已知 ，若 ，则 的值不可能是（）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】：
16.对于直角坐标平面 内的点 (不是原点), 的“对偶点” 是指：满足 且在射线 上的那个点。若 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”
【A】一定共线
【B】一定共圆
【C】要么共线，要么共圆
【D】既不共线，也不共圆
【答案】：
三、解答题（14+14+16+16+18）
17.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=4,∠ABC=30∘，D. E分别是BC、AP的中点，
(1)求三棱锥P−ABC的体积；
(2)若异面直线AB与ED所成角的大小为 ，求tan 的值。
【答案】：
当 只要取
由 有正整数解
所以 都是 中的项，所以
综上所述，
（3）存在。证明如下
之间的项数为 ，即证明对任意正整数 ，都有
即
由
所以首项 的等差数列 满足题意
2017-2018学年上海市浦东新区建平中学高三高考模拟考试卷
一．填空题：（本大题满分54分，共有12题）
1.已知集合 , ,则 _______.
【答案】：
2.不等式不等式 的解集是_______.
【答案】：
3.若行列式 ，则 _____.
【答案】：2
4. 且 ，则点 的坐标是_________.
【答案】：
(2)若双曲线C的方程为 ,弦 轴,记直线PA与直线QB的交点为M,求动点M的轨迹方程;
(3)过双曲线 的左焦点F,且斜率为k的直线l与双曲线C交于 、 两点,求证:对任意的 ,在伴随曲线 上总存在点S,使得 .
上海市浦东新区达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题含解析
上海市浦东新区达标名校2018年高考三月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．12．将函数()sin(2)3f x xπ=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π3．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．194．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值5．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+6．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289 C ．329D ．3277．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）． A ．()ln f x x x = B ．()x x f x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-11．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1D ．1-12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三(上)12月月考数学试卷(A卷)
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线 x 23−y 2=1 的焦距为___ ．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x -1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N *}.则M∩N=___ ．3.（填空题.3分）设{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36.则{a n }的通项公式为___ ．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43.cos （α+β）= √55.则tanβ=___ ．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．13.（单选题.3分）已知直线n 在平面α内.直线m 不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π615.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.316.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三（上）12月月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）双曲线x23−y2=1的焦距为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意.由双曲线的标准方程可得a、b的值.由双曲线的几何性质计算可得c的值.由焦距的定义即可得答案．【解答】：解：根据题意.双曲线x 23−y2=1 .其中a2=3.b2=1.则c= √a2+b2 =2.则其焦距2c=4；故答案为：4．【点评】：本题考查双曲线的标准方程.关键是利用双曲线的几何性质求出c的值．2.（填空题.3分）已知集合M={x|-2≤x-1≤2}.N={x|x=2k-1.k∈N*}.则M∩N=___ ．【正确答案】：[1]{1.3}【解析】：可看出集合N表示正奇数的集合.从而解出集合M.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：M={x|-1≤x≤3}.N是正奇数的集合；∴M∩N={1.3}．故答案为：{1.3}．【点评】：考查描述法、列举法的定义.以及交集的概念及运算．3.（填空题.3分）设{a n}是等差数列.且a1=3.a2+a5=36.则{a n}的通项公式为___ ．【正确答案】：[1]a n=6n-3【解析】：利用等差数列通项公式列出方程组.求出a1=3.d=6.由此能求出{a n}的通项公式．【解答】：解：∵{a n }是等差数列.且a 1=3.a 2+a 5=36. ∴ {a 1=3a 1+d +a 1+4d =36 . 解得a 1=3.d=6.∴a n =a 1+（n-1）d=3+（n-1）×6=6n-3． ∴{a n }的通项公式为a n =6n-3． 故答案为：a n =6n-3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．4.（填空题.3分）若复数z 满足 |i 1+2i1z | =0.其中i 是虚数单位.则z 的虚部为___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：由已知可得zi-1-2i=0.变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：由 |i 1+2i1z | =0.得zi-1-2i=0.∴z=1+2ii=(1−2i )(−i )−i 2=−2−i .∴z 的虚部为-1． 故答案为：-1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题． 5.（填空题.3分）函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（1. 32 ]【解析】：利用开偶次方被开方数非负列出不等式.然后求解即可．【解答】：解：函数f （x ）= √log 12(x −1)−1 有意义.可得： log 12(x −1)−1≥0 .可得0 ≤x −1≤12.解得1 ＜x ≤32 ．函数的定义域为：（1. 32 ]． 故答案为：（1. 32 ]．【点评】：本题考查函数的定义域的求法.对数不等式的解法.考查计算能力． 6.（填空题.3分）（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为___ ． 【正确答案】：[1]40【解析】：运用二项展开式的通项可得结果．【解答】：解：根据题意得.T r+1= ∁5r （x 2）5-r （ 2x ）r = ∁5r 2r x10-3r 令10-3r=4.得r=2∴（x 2+ 2x ）5的展开式中x 4的系数为 ∁52 22=40；故答案为40．【点评】：本题考查二项式定理的简单应用．7.（填空题.3分）已知α.β为锐角.如tanα= 43 .cos （α+β）= √55 .则tanβ=___ ． 【正确答案】：[1] 211【解析】：由已知求得sin （α+β）.进一步求得tan （α+β）.再由tanβ=tan[（α+β）-α].展开两角差的正切求解．【解答】：解：∵α.β为锐角.∵0＜α+β＜π. 又cos （α+β）= √55.∴sin （α+β）= 2√55. 则tan （α+β）=sin (α+β)cos (α+β)=2 ．∵tanα= 43 .∴tanβ=tan[（α+β）-α]= tan (α+β)−tanα1+tan (α+β)tanα = 2−431+2×43=211 ．故答案为： 211 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值.考查诱导公式的应用.是基础题．8.（填空题.3分）在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.则选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为___ （结果用分数表示）【正确答案】：[1] 128【解析】：先求出基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个.由此能求出选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率．【解答】：解：在上海进口博览会期间.要从编号为1.2.3.….8的8名志愿者中选3人参加某项服务工作.基本事件总数n= C 83=56.选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列包含的基本事件有2个. 分别为：（1.4.7）.（2.5.8）.∴选出的志愿者的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为p= 256=128 ． 故答案为： 128 ．【点评】：本题考查概率的求法.考查等差数列、古典概型等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.3分）在平面直角坐标系xOy 中.A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点.B （5.0）.以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.则点A 的横坐标为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：设A （a.2a ）.a ＞0.求出C 的坐标.得到圆C 的方程.联立直线方程与圆的方程.求得D 的坐标.结合 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0求得a 值得答案．【解答】：解：设A （a.2a ）.a ＞0. ∵B （5.0）.∴C （a+52 .a ）. 则圆C 的方程为（x-5）（x-a ）+y （y-2a ）=0． 联立 {y =2x(x −5)(x −a )+y (y −2a )=0.解得D （1.2）．∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a ，−2a)•(−a−32，2−a) =a2−2a−152+2a 2−4a =0 ．解得：a=3或a=-1． 又a ＞0.∴a=3． 即A 的横坐标为3． 故答案为：3．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算.考查圆的方程的求法.是中档题．10.（填空题.3分）设函数f （x ）=（x-2）2sin （x-2）+3在区间[-1.5]的最大值和最小值分别为M.m.则M+m=___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：通过换元以及函数的奇偶性求出M+m 的值即可．【解答】：解：设x-2=t.则t∈[-3.3]. 故f （x ）=g （t ）=t 2sint+3.t∈[-3.3]. 函数y=g （t ）-3是奇函数. 最大值和最小值的和是0. 故M-3+m-3=0. 故M+m=6. 故答案为：6．【点评】：本题考查了函数的奇偶性问题.考查函数最值以及转化思想.换元思想.是一道常规题． 11.（填空题.3分）若实数a 是实数1+2b 与1-2b 的等比中项.则 8ab|a|+2|b| 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] √2【解析】：由a 是1+2b 与1-2b 的等比中项得到4|ab|≤1.再由基本不等式法求得．【解答】：解：a 是1+2b 与1-2b 的等比中项.则a 2=1-4b 2⇒a 2+4b 2=1≥4|ab|． ∴|ab|≤ 14 ．∵a 2+4b 2=（|a|+2|b|）2-4|ab|=1． ∴ 8ab |a|+2|b| = √1+4|ab|≤√1+4|ab|=4 √4(ab )21+4|ab| =4 √44|ab|+(1ab)2 =4 √4(1|ab|+2)2−4∵|ab|≤ 14 . ∴ 1|ab| ≥4. ∴ 8ab|a|+2|b| ≤4 √4(1|ab|+2)2−4≤4 √432 = √2 .故答案为： √2 ．【点评】：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．12.（填空题.3分）已知函数f （x ）= {|x |，x ≤mx 2−2mx +2m ，x ＞m （m ＞0）.若存在实数b.使得函数g （x ）=f （x ）-b 有3个零点.则实数m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（1.+∞）【解析】：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.通过x≤m的图象.可得x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.解不等式即可得到m的范围．【解答】：解：存在实数b.使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根.即为函数y=f（x）的图象和直线y=b有3个不同的交点.即有x＞0时.f（x）不单调.可得|m|＞m2-2m2+2m.（m＞0）.即有m2＞m.解得m＞1．故答案为：（1.+∞）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想.根的个数转化为交点个数.画出函数f（x）的图象是解题的关键.属于中档题．13.（单选题.3分）已知直线n在平面α内.直线m不在平面α内.则“m || n”是“m‖α”的（）A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【正确答案】：B【解析】：由线面平行的性质定理可得“m || n”是“m‖α”的充分条件.由线线.线面关系.可得“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即可得解【解答】：解：由线面平行的性质定理有：直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m || n”则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的充分条件.直线n在平面α内.直线m不在平面α内.若“m‖α”则“m || n”或“m、n异面“则“m‖α”即“m || n”是“m‖α”的不必要条件.即“m || n”是“m‖α”的充分非必要条件.故选：B．【点评】：本题考查了线面平行的性质定理、线线.线面关系.属简单题．14.（单选题.3分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．若△ABC的面积为a2+b2−c24.则C=（）A. π2B. π3C. π4D. π6【正确答案】：C【解析】：推导出S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.从而sinC= a2+b2−c22ab=cosC.由此能求出结果．【解答】：解：∵△ABC的内角A.B.C的对边分别为a.b.c．△ABC的面积为a2+b2−c24.∴S△ABC= 12absinC = a2+b2−c24.∴sinC= a2+b2−c22ab=cosC.∵0＜C＜π.∴C= π4．故选：C．【点评】：本题考查三角形内角的求法.考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．15.（单选题.3分）下面的四个命题中.真命题的个数是（）① 向量a . b⃗ . c .若a‖ b⃗且b⃗ || c .则a || c；② 向量a . b⃗ . c .若a• b⃗ = b⃗• c .则a = c；③ 复数z1.z2.若|z1-z2|=2.则（z1-z2）2=4；④ 公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：B【解析】：举例说明① ② ③ 错误；由等比数列的定义说明④ 正确．【解答】：解：当a=0⃗时.由a‖ b⃗且b⃗ || c .不一定有a || c .故① 为假命题；当a与b⃗ . b⃗与c夹角相等且|a|=|c|时.有a• b⃗ = b⃗• c .故② 为假命题；z1=0.z2=2i.满足|z1-z2|=2.但（z1-z2）2=-4.故③ 为假命题；公比为q等比数列{a n}.令b1=a1+a2+a3+a4.b2=a5+a6+a7+a8.….b n=a4n-3+a4n-2+a4n-1+a4n.….则b nb n−1=a4n−3+a4n−2+a4n−1+a4na4n−7+a4n−6+a4n−5+a4n−4= a1q4n−4+a1q4n−3+a1q4n−2+a1q4n−1a1q4n−8+a1q4n−7+a1q4n−6+a1q4n−5=q4.数列{b n}（n∈N*）是公比为q4的等比数列.故④ 为真命题．∴真命题的个数是1个．故选：B．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查向量共线及向量数量积的概念.考查复数与等比数列的基础知识.是中档题．16.（单选题.3分）已知向量a . b⃗ .满足同| a |=1.| b⃗ |=2.若对任意模为2的向量c .均有| a• c |+| b⃗• c|≤2 √7 .则向量a . b⃗的夹角的取值范围是（）A.[0. π3]B.[ π3 . 2π3]C.[ π6 . 2π3]D.[0. 2π3]【正确答案】：B【解析】：根据向量不等式得到|a+b⃗|≤√7 .平方得到a•b⃗≤1 .代入数据计算得到cosα≤12.再求出向量a . b⃗的夹角的取值范围．【解答】：解：由|a|=1，|b⃗|=2 .若对任意模为 2 的向量c .均有|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 . 则|(a+b⃗)•c|≤|(a+b⃗)|•|c|≤|a•c|+|b⃗•c|≤2√7 .∴ |(a+b⃗)|•2≤2√7，|a+b⃗|≤√7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2+2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≤1.即cosα≤ 12.同时|（a - b⃗）• c|≤|（a - b⃗）|•| c|≤|| a• c + b⃗• c|≤2 √7 .∴|（a - b⃗）|•2≤2 √7 .即| a - b⃗|≤ √7 .平方得到 a⃗⃗⃗ 2+ b⃗2-2 a•b⃗≤7.即a•b⃗≥-1.即cosα≥- 12.综上- 12≤cosα≤ 12.即π3≤α≤ 2π3.∴向量a . b⃗的夹角的取值范围[ π3 . 2π3]．故选：B．【点评】：本题主要考查平面向量数量积的应用.根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系.综台性较强.难度较大．17.（问答题.0分）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移π2个单位长度得到.求y=g（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（1）先将函数化简为f（x）= √2 sin（2ωx+ π4）.再由2π2ω=2π3.可得答案．（2）根据g（x）=f（x- π2）先求出解析式.再求单调区间．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx= sin2ωx+cos2ωx+2=√2sin(2ωx+π4)+2依题意得2π2ω=2π3.故ω的值为32．（Ⅱ）依题意得：g(x)=√2sin[3(x−π2)+π4]+2=√2sin(3x−5π4)+2由2kπ−π2≤3x−5π4≤2kπ+π2(k∈Z)解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z)故y=g（x）的单调增区间为：[23kπ+π4，23kπ+7π12](k∈Z)．【点评】：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．18.（问答题.0分）如图.在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 .PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ .求直线PM 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角表示）【正确答案】：【解析】：（1）推导出PO⊥AC .BO⊥AC .AB⊥BC .PO⊥BO .由此能证明PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能求出直线PM 与平面PAC 所成角的大小．【解答】：证明：（1）∵在三棱锥P-ABC 中.AB=BC=2 √2 . PA=PB=PC=AC=4.O 为AC 的中点．∴PO⊥AC .BO⊥AC .AC 2=AB 2+BC 2.PO= √16−4 =2 √3 . ∴AB⊥BC .∴AO=BO=CO=2. ∴BO 2+PO 2=PB 2.∴PO⊥BO . ∵AC∩BO=O .∴PO⊥平面ABC ．（2）以O 为原点.OB 为x 轴.OC 为y 轴.OP 为z 轴. 建立空间直角坐标系.点M 在棱BC 上.且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 则P （0.0.2 √3 ）.M （ 43，23 .0）.A （0.-2.0）. C （0.2.0）.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 43，23 .-2 √3 ）.平面PAC 的法向量 n ⃗ =（1.0.0）.设直线PM 与平面PAC 所成角为θ. 则sinθ= |PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||n ⃗ |•|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 43√1289 = √24． ∴直线PM 与平面PAC 所成角的大小为arcsin √24 ．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查线面角的大小的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.过点Q （0.1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A.B ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点.直线PA 交y 轴于M.直线PB 交y 轴于N ． OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证：λ+μ为定值．【正确答案】：【解析】：（1）将P 代入抛物线方程.即可求得p 的值.设直线AB 的方程.代入抛物线方程.由△＞0.即可求得k 的取值范围；（2）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M .μ=1-y N .求得直线PA 的方程.令x=0.求得M 点坐标.同理求得N 点坐标.根据韦达定理和向量的坐标表示.即可求得λ+μ为定值．【解答】：解：（1）抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1.2）.∴4=2p .解得p=2. 设过点（0.1）的直线方程为y=kx+1.A （x 1.y 1）.B （x 2.y 2）； 联立方程组可得 {y 2=4xy =kx +1 .消y 可得k 2x 2+（2k-4）x+1=0. ∴△=（2k-4）2-4k 2＞0.且k≠0解得k ＜1. 故直线l 的斜率的取值范围（-∞.0）∪（0.1）； （2）证明：设点M （0.y M ）.N （0.y N ）. 则 MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1-y M ）. OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1）； 因为 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .所以1=λ（1-y M ）.故λ= 11−y M.同理μ= 11−yN. 直线PA 的方程为y-2= 2−y11−x 1（x-1）=2−y 11−y 124（x-1）= 42−y 1（x-1）.令x=0.得y M =2y 12+y 1.同理可得y N =2y 22+y 2. 因为λ+μ= 11−y M+ 11−y N= 2+y12−y 1+ 2+y22−y 2= 8−2y 1y 2(2−y1)(2−y 2)= 8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2[k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1]1−k (x 1+x 2)+k 2x 1x 2 = 8−2(1+4−2kk+1)1−4−2kk+1=2. 即有λ+μ为定值．【点评】：本题考查抛物线的方程.直线与抛物线的位置关系.考查韦达定理的应用.考查转化思想.计算能力.属于中档题．20.（问答题.0分）已知两个城市A.B 相距100km.现计划在两城市之间合建一个垃圾处理厂.垃圾处理厂计划在以AB 为直径的半圆弧 AB̂ 上选择一点C 建造（不能选在点A.B 上）.其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关.对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和.记C 点到城A 的距离为x （单位是km ）.建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比.比例系数为100；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比.比例系数为k.当垃圾处理厂建在 AB ̂ 上距离A 城20公里处时.对城A 和城B 的总影响度为 35128 ． （1）将y 表示成x 的函数；（2）求当垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大时的总影响度y 的值；（3）求垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度的最小值.并求出此时x 的值．（结算结果均用精确值表示）【正确答案】：【解析】：（1）先求出k 的值.再得出解析式；（2）根据三角函数求出距离和的最大值对应的x 的值.再计算影响度； （3）利用导数判断函数的单调性.从而得出y 的最小值及对应的x 的值．【解答】：解：（1）由圆的性质可知BC 2=AB 2-AC 2=10000-x 2. ∴y=100x 2 + k10000−x 2. 把（20. 35128 ）代入上式得： 14 + k9600 = 35128 ． 解得k=225．∴y= 100x 2 + 22510000−x 2 （0＜x ＜100）．（2）设∠BAC=α.则AC=100cosα.BC=100sinα.∴垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和为100（sinα+cosα）=100 √2 sin （α+ π4 ）. ∴当α= π4 时.垃圾处理厂到A.B 两城市距离之和最大.此时x=AC=50 √2 . ∴y= 1005000 + 2255000 =0.065．（3）y′=- 200x 3 + 450x(104−x 2)2 = −200(104−x 2)2+450x 4x 3(104−x 2)2. 令y′=0得：3x 2=2（104-x 2）.解得x=20 √10 ． ∴当0＜x ＜20 √10 时.y′＜0.当20 √10 ＜x ＜100时.y′＞0. ∴当x=20 √10 .y 取得最小值.最小值为 1004000 + 2256000 =0.0625．【点评】：本题主要考查函数模型的建立和应用.考查函数最值的计算.属于中档题．21.（问答题.0分）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r （b ＞0且b≠1.b.r 均为常数）的图象上． （1）求r 的值；（2）当b=2时.记b n = n+14a n（n∈N *）.求数列{b n }的前n 项和T n ；（3）数列{c n }满足.c 1=1.c n+1-c n =2（a n+1-a n ）（n∈N *）.若 12 ＜ cn c m＜2对m.n∈N *恒成立.求实数b 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由等比数列的定义和数列的递推式.解方程可得r 的值；（2）a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.由数列的错位相减法求和.结合等比数列的求和公式.计算可得所求和；（3）运用数列恒等式可得c n =c 1+（c 2-c 1）+（c 3-c 2）+…+（c n -c n-1）.结合数列不等式恒成立.讨论公比b 与1的关系.解不等式可得所求b 的范围．【解答】：解：（1）等比数列{a n }的公比设为q. 对任意的n∈N *.点（n.S n ）均在函数y=b x +r 的图象上. 即S n =b n +r.可得a 1=S 1=b+r.a 2=S 2-S 1=b 2+r-b-r=b 2-b. a 3=S 3-S 2=b 3+r-b 2-r=b 3-b 2.则公比为b.即有b （b+r ）=b 2-b.解得r=-1； （2）当b=2时.可得公比为2.首项为2-1=1. 即a n =2n-1.b n = n+14a n=（n+1）•（ 12 ）n+1.前n 项和T n =2•（ 12 ）2+3•（ 12 ）3+…+（n+1）•（ 12 ）n+1. 可得 12 T n =2•（ 12 ）3+3•（ 12 ）4+…+（n+1）•（ 12 ）n+2.相减可得 12 T n = 12 +（ 12 ）3+（ 12 ）4+…+（ 12 ）n+1-（n+1）•（ 12 ）n+2= 12 + 18(1−12n−1)1−12-（n+1）•（ 12 ）n+2.化简可得T n = 32 -（n+3）•（ 12 ）n+1；（3）数列{c n}满足.c1=1.c n+1-c n=2（a n+1-a n）. 可得c n=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（c n-c n-1）=1+2（a2-a1+a3-a2+…+a n-a n-1）=1+2（a n-a1）=1+2（b-1）（b n-1-1）.由于b＞0且b≠1.若b＞1可得c n递增.且无界.1 2＜c nc m＜2对m.n∈N*恒成立.可得0＜b＜1.考虑n很大.m=1可得12＜1-2（b-1）＜2.解得12＜b＜1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查数列恒等式和数列的错位相减法求和.以及不等式恒成立问题解法.考查运算能力.属于中档题．。
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级月考数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区建平中学高三年级第一学期10月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1—6每题4分，第7—12每题5分） 1、在等差数列{}n a 中，若1684=+a a ，则该数列前11项和=11S ________。
【答案】88【考点】等差数列的前n 项和【难度】基础【分析】由1611184=+=+a a a a ，则()8821111111=+⨯=a a S2、公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=162log a ________。
【答案】5【考点】等比数列的通项公式【难度】基础【分析】由16113=a a ，则()()16221031231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯a a ，则11=a ，由11=a ，则3216=a ，则5log 162=a3、已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则=-)4tan(πα________。
【答案】7-【考点】正切的两角和差公式【难度】基础【分析】由⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，53sin =α，则43-tan =α，则7-)4tan(=-πα4、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解，则实数m 的取值范围是________。
【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,3131,【考点】用行列式解一元二次方程组【难度】基础【分析】关于x 、y 的二元一次方程组由⎩⎨⎧=+-=-4)12(3-y x m y mx 有唯一一组解，则01121≠--=m m D ，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,3131,m5、已知双曲线的方程为1322=-y x ，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为________。
【答案】1【考点】双曲线的标准方程【难度】基础【分析】由()0,2c，渐近线x y 33=则此双曲线的焦点到渐近线的距离为1 6、当函数)20(cos 3sin π≤≤-=x x x y 取得最大值时，=x ________。
2018年2月上海市浦东新区建平中学高三三模数学试卷及答案 精品 精品
建平中学2018年5月高三三模数学试卷及答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则B A ⋂等于1(0,)22．若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b 2- 3．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为_84．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin Csin C =b sin B ．则B ∠=3π5（文） 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是15285．（理）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为36．设2n ≥，若n a 是(1)n x +展开式中含2x 的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =_27．（文）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则z =2x ＋4y 的最小值是6-7．（理）在极坐标系中，若直线l 的方程是sin(πρ的坐标为(2,)π，则点P 到直线l 的距离=d 28．（文）如图，直三棱柱111B A O OAB -中，AOB ∠=12AA =，OA =2OB =,则此三棱柱的主视图面积为8．（理）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为3π的扇形，则此圆锥的高为． 9．不等式1011a xx <-的解集为{}|12x x x <>或，那么a 的值等于1210. 定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图 所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为211.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k =012．（文）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120o .点C 在以O为圆心的圆弧AB 上变动。
2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷
2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．注：结果等价即可得分1．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为．2．（4分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B＝．3．（4分）函数y＝cos（2x+）的单调递减区间是．4．（4分）方程4x+1＝16•2x﹣1的解为．5．（4分）设复数z满足i（z+1）＝﹣3+2i，则＝．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取名学生．7．（5分）函数的最小正周期T＝．8．（5分）已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为．9．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则sin B+cos B的取值范围是．10．（5分）若不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，则实数a的取值范围是．11．（5分）的值域是．12．（5分）已知数列{a n}满足，其首项a1＝a，若数列{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知非空集合A、B满足A⊊B，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件②若x∉A，则x∈B是不可能事件③若任取x∈B，则x∈A是随机事件④若x∉B，则x∉A是必然事件其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．414．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点（如图），用过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．15．（5分）设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．图象C关于点对称C．图象C可由函数g（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为（）A．B．1C．D．不存在三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分17．（14分）若的图象的最高点都在直线y＝m（m＞0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π．（1）求ω和m的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若点是函数f（x）图象的一个对称中心，且a＝1，求△ABC外接圆的面积．18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线PB与DC所成角的大小．19．（14分）已知各项都不为零的无穷数列{a n}满足：a n+1a n+a n+1﹣a n＝0；（1）证明为等差数列，并求a1＝1时数列{a n}中的最大项；（2）若a2018为数列{a n}中的最小项，求a1的取值范围．20．（16分）设抛物线y2＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．（1）求线段AB中点的轨迹；（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0），求x0的取值范围；（3）若直线l的斜率依次取p，p2，p3，…，p n，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，N3，…，N n，…，当0＜p＜1时，求：的值．21．（18分）已知函数，（1）分别求f（f（﹣1）），f（f（2018））的值；（2）讨论|f（f（x））|＝m（m∈R）的解的个数；（3）若对任意给定的t∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2a2t2﹣at，求实数a的取值范围．2018年上海市浦东新区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．注：结果等价即可得分1．（4分）直线x+y+1＝0的倾斜角的大小为．【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．【解答】解：由x+y+1＝0，得，∴直线x+y+1＝0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ＝．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（4分）已知集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B＝{x|﹣5＜x ≤﹣1}．【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|＜0}＝{x|﹣5＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B＝{x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用．3．（4分）函数y＝cos（2x+）的单调递减区间是．【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．4．（4分）方程4x+1＝16•2x﹣1的解为x＝1．【分析】直接利用指数方程，转化求解即可．【解答】解：方程4x+1＝16•2x﹣1，化为方程22x+2＝2x+3，可得2x+2＝x+3，解得x＝1．故答案为：x＝1【点评】本题考查函数与方程的应用，方程的解法，指数的运算法则，考查计算能力．5．（4分）设复数z满足i（z+1）＝﹣3+2i，则＝1﹣3i．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足i（z+1）＝﹣3+2i，∴﹣i•i•（z+1）＝﹣i（﹣3+2i），化为z+1＝2+3i，化为z＝1+3i，∴＝1﹣3i．故答案为：1﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取40名学生．【分析】根据题意计算高三学生人数，再计算高三应抽取的学生数．【解答】解：根据题意，高三学生2400﹣820﹣780＝800，在该学校的高三应抽取120×＝40（名）．故答案为：40．【点评】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．7．（5分）函数的最小正周期T＝π．【分析】先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y＝f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数＝（sin x+cos x）（﹣sin x+cos x）﹣2sin x cos（π﹣x）＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），它的最小正周期是：T＝＝π．故答案为：π【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．8．（5分）已知甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，如果甲乙两位射手的射击相互独立，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为0.88．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：甲、乙两位射手，甲击中目标的概率为0.7，乙击中目标的概率为0.6，甲乙两位射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为：p＝1﹣（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.88．故答案为：0.88．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则sin B+cos B的取值范围是（1，]．【分析】运用等比数列的中项定义和余弦定理，结合基本不等式可得cos B的范围，进而得到B的范围，再由两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，可得所求范围．【解答】解：由△ABC的三边a，b，c成等比数列，可得：ac＝b2＝a2+c2﹣2ac cos B≥2ac﹣2ac cos B，得，由0＜B＜π，故，可得sin B+cos B＝sin（B+），由B+∈（，]，可得sin（B+）∈（，1]，则．故答案为：（1，]．【点评】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．10．（5分）若不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，则实数a的取值范围是[﹣3，0]．【分析】直接求出绝对值不等式的解集，利用恒成立直接求出a的值即可．【解答】解：不等式|x+a|≤2可得x∈[﹣2﹣a，2﹣a]，∵不等式|x+a|≤2在x∈[1，2]时恒成立，∴，解得a∈[﹣3，0]．∴实数a的取值范围是：[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题的应用，考查计算能力．11．（5分）的值域是（﹣∞，0）∪[2，+∞）．【分析】利用换元法，通过化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值，得到函数的值域即可．【解答】解：令，则，，所以值域为（﹣∞，0）∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪[2，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，函数的最值的求法，换元法以及基本不等式的应用，考查中航三鑫以及计算能力．12．（5分）已知数列{a n}满足，其首项a1＝a，若数列{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（0，）∪（2，+∞）．【分析】利用数列{a n}是递增数列，对a讨论，通过第二项大于第一项，求出a的范围即可．当a＝时，a1＝，a2＝a3＝…＝2，不满足题意．由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，其首项a1＝a，数列{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＝a n+﹣3＞0，则a1+﹣3＞0，即a+﹣3＞0，当a＞0时，解得a∈（0，1）∪（2，+∞）．当a＜0时，不等式无解．当a＝时，a1＝，a2＝a3＝…＝2，不满足题意．当a∈（0，）时，取a＝，成立，当a∈（，1）时，取a＝，不成立．∴实数a的取值范围为：（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．【点评】本题考查数列的单调性，注意推出数列的第二项大于第一项，是解题的关键，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）已知非空集合A、B满足A⊊B，给出以下四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件②若x∉A，则x∈B是不可能事件③若任取x∈B，则x∈A是随机事件④若x∉B，则x∉A是必然事件其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由集合的包含关系可得A中的任何一个元素都是B中的元素，B中至少有一个元素不在A中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数．【解答】解：非空集合A、B满足A⊊B，可得A中的任何一个元素都是B中的元素，B中至少有一个元素不在A中，①若任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；②若x∉A，则x∈B是可能事件，故②不正确；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；④若x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题．14．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点（如图），用过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】利用平面的基本性质，画出直观图，然后判断左视图即可．【解答】解：由题意可知：过点B、E、D1的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为：D．故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，是基本知识的考查．15．（5分）设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．图象C关于点对称C．图象C可由函数g（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数【分析】根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性判断即可．【解答】解：对于A，函数的最小正周期为T＝＝π，A错误；对于B，x＝时，f（x）＝sin（2×﹣）＝0，其图象关于点对称，B正确；对于C，f（x）＝sin2（x﹣），其图象可由函数g（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到，∴C错误；对于D，x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），函数f（x）＝sin（2x﹣）先递增后递减，D错误；故选：B．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为（）A．B．1C．D．不存在【分析】设，由x＜0，则，分a≤﹣2、a＞﹣2两种情况求出，能求出满足条件的实数a的所有值．【解答】解：设，由x＜0，则，分两种情况：（1）当a≤﹣2时，，则；（2）当a＞﹣2时，，则a＝1．∴满足条件的实数a的所有值为：．故选：C．【点评】本题考查满足条件的实数a的所有值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分17．（14分）若的图象的最高点都在直线y＝m（m＞0）上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π．（1）求ω和m的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若点是函数f（x）图象的一个对称中心，且a＝1，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得ω和m的值；（2）由是函数f（x）图象的一个对称中心求得A值，再由正弦定理求得外接圆半径，则△ABC外接圆的面积可求．【解答】解：（1），由题意知，函数f（x）的周期为π，且最大值为m，∴ω＝1，m＝1；（2）∵是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，在△ABC中，设外接圆半径为R，由正弦定理得，得．∴△ABC的外接圆的面积．【点评】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求异面直线PB与DC所成角的大小．【分析】（1）由底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．（2）由AB∥DC，得∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角，由此能求出异面直线PB 与DC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6．∴四棱锥P﹣ABCD的体积……………6分（2）∵AB∥DC，∴∠PBA就是异面直线PB与DC所成的角，……………8分∵PD⊥平面ABCD，∴AB⊥PD，又AB⊥AD，∴AB⊥P A，……………10分在Rt△P AB中，P A＝，AB＝4，tan∠PBA＝，∠PBA＝arctan， (13)分∴异面直线PB与DC所成角的大小为arctan．…………………………………14分【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（14分）已知各项都不为零的无穷数列{a n}满足：a n+1a n+a n+1﹣a n＝0；（1）证明为等差数列，并求a1＝1时数列{a n}中的最大项；（2）若a2018为数列{a n}中的最小项，求a1的取值范围．【分析】（1）推导出是等差数列，且公差d＝1，由此能证明数列{a n}递减数列，最大项为a1＝1．（2）由，当时，数列是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列{a n}中就没有最小项，故；再由数列是递增数列，且a2018是{a n}的最小项，能求出a1的取值范围．【解答】证明：（1）由…………2分∴是等差数列，且公差d＝1；…………………2分当a1＝1时，…………………1分数列{a n}递减数列，最大项为a1＝1…………………1分解：（2）由（1）知；…………………1分当时，数列是正项递增数列，此数列没有最大项，从而数列{a n}中就没有最小项，故；…………………1分由数列是递增数列，且a2018是{a n}的最小项，∴是数列中的最大负项，…………………2分从而有…………2分又∴a1的取值范围是：．…………………2分【点评】本题考查等数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，考查等差数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（16分）设抛物线y2＝4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过M作直线l交抛物线于A、B两点．（1）求线段AB中点的轨迹；（2）若线段AB的垂直平分线交对称轴于N（x0，0），求x0的取值范围；（3）若直线l的斜率依次取p，p2，p3，…，p n，…时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，N3，…，N n，…，当0＜p＜1时，求：的值．【分析】（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y2＝4px，利用韦达定理求解AB的中点为P （x，y），求解轨迹方程，得到轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧．（2）设AB的中点为P'（x'，y'），求出线段AB的垂直平分线的方程，然后求解x0＞3p．（3）求出AB中点的横坐标，求出点N n的横坐标，通过数列为一无穷递缩等比数列，求解所有项的和．【解答】解：（1）设直线AB：y＝k（x+p），联立y2＝4px，得：k2x2+（2pk2﹣4p）x+k2p2＝0，……………（1分）由k≠0且△＞0得到：0＜k2＜1．……（1分）设AB的中点为P（x，y），则，……（1分）消去k得，y2＝2p（x+p）（x＞p）．……（1分）实际轨迹为该抛物线位于直线x＝p右方的两段抛物线弧．……（1分）（2）设AB的中点为P'（x'，y'），……（1分）则线段AB的垂直平分线的方程为：．……（1分）令y＝0，得，……（2分）由x'＞p，得x0＞3p．……（1分）（3）∵x0＝2p+x'，由（1）知AB中点的横坐标，∴．……（1分）则当k＝p n时，点N n的横坐标，……（1分）同理N n+1的横坐标，∴，……（1分）．……（1分）∴数列为一无穷递缩等比数列，所有项的和为．……（2分）【点评】本题考查数列的应用，数列求和，数列与函数以及解析几何相结合的应用，考查发现问题解决问题的能力．21．（18分）已知函数，（1）分别求f（f（﹣1）），f（f（2018））的值；（2）讨论|f（f（x））|＝m（m∈R）的解的个数；（3）若对任意给定的t∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2a2t2﹣at，求实数a的取值范围．【分析】（1）直接由分段函数求得f（f（﹣1）），f（f（2018））的值；（2）求出函数y＝|f（f（x））|的解析式并作出图象，数形结合可得|f（f（x））|＝m（m∈R）的解的个数；（3）由题意可得2a2t2﹣at的取值必须大于1，然后根据a的范围分析关于t的二次函数的值域，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣1）＝2018﹣1，∴f（f（﹣1））＝﹣1．∵f（2018）＝1，∴f（f（2018））＝0．（2），画图y＝|f（f（x））|的图象如图，由图可知，当m＜0时，方程|f（f（x））|＝m有0解；当m＝0时，方程|f（f（x））|＝m有2解；当0＜m≤1时，方程|f（f（x））|＝m有4解；当m＞1时，方程|f（f（x））|＝m有3解．（3）要使对任意给定的t∈[1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））＝2a2t2﹣at，则2a2t2﹣at的取值必须大于1；即当t∈[1，+∞）时，2a2t2﹣at的值域包含于（1，+∞）；当a＝0时，2a2t2﹣at＝0，舍去；当时，；当时，＜0，舍去；综上所述，．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把2a2t2﹣at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数求解，是难题．。
上海市浦东新区达标名校2018年高考三月大联考数学试卷含解析
上海市浦东新区达标名校2018年高考三月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（ ）A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④2．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ；②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A ．1B ．13C ．23 D ．435．已知i 是虚数单位，若1zi i =-，则||z =（ ）A 2B ．2C 3D ．36．若数列{}n a 为等差数列，且满足5383a a a ++＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则11S ＝（） A ．27 B ．33 C ．39 D ．447．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( )A ．324B ．5212C ．5312D ．56128．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．33 C ．12 D ．229．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232 B ．12 C ．252 D ．1311．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B ．32C ．12-D ．3- 12．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高三浦东新区三模考试卷（附答案）
浦东三模一 积累应用10分1.按要求填空。
（8分）分）（1）一箪食，得之则生，弗得则死。
（《孟子·鱼我所欲也》）。
）一箪食，得之则生，弗得则死。
（《孟子·鱼我所欲也》）。
（2）三山半落青天外，）三山半落青天外， 。
（。
（ 《登金陵凤凰台》）。
《登金陵凤凰台》）。
（3）黄庭坚《登快阁》中伯牙子期“高山流水”的故事相关的一联是“ ， ”。
”。
答案：1. （1）一豆羹（2）一水中分白鹭洲（以课本为准） 李白（3）朱弦已为佳人绝 青眼聊因美酒横2.按要求选择。
（5分）分）（1）下列句子加点词使用准确的一项是（）下列句子加点词使用准确的一项是（ ）。
（3分）分）A.他的研究成果解决了十多亿人的吃饭问题，令世界为之侧目．．。
B.中国军团在2010年广州亚运会囊括．．金牌199枚，位居金牌榜首位。
枚，位居金牌榜首位。
C.根据最新的福布斯富豪榜，马化腾以453亿美元身家．．成为中国首富。
成为中国首富。
D.很多人有午睡习惯，宿会门上常贴有“午睡时间，谢绝拜访．．”字句。
”字句。
（2）毕业在即，最适合赠送给老师的诗句是（）毕业在即，最适合赠送给老师的诗句是（ ）（2分）分）A.谁言寸草心，报得三春晖。
谁言寸草心，报得三春晖。
B.桃李满天下，春晖遍四方。
桃李满天下，春晖遍四方。
C.桃李不言，下自成蹊。
桃李不言，下自成蹊。
D.杏林好春无数，橘泉甘乐有余。
杏林好春无数，橘泉甘乐有余。
答案：2.（1）C （2）B二 阅读70分（一）阅读下文，完成第3-7题。
（16分）分）文学的乡土与远方①每一位作家都属于他自己的乡土。
这一片乡土，是作家生于斯长于斯的地方。
严格地说，作家的乡土并不属于文学的范畴，它只是一种天然的存在，是作家的“文学之脐．．．．”。
②文学的乡土，②文学的乡土，是作家文学作品中所呈现的地域。
是作家文学作品中所呈现的地域。
是作家文学作品中所呈现的地域。
这种地域，这种地域，这种地域，当然离不开作当然离不开作家的乡土，家的乡土，但已不是作家生长的那片乡土本身，但已不是作家生长的那片乡土本身，但已不是作家生长的那片乡土本身，而是被作家文学化的乡土。
建平中学数学高三试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，有理数是：（）A. √2B. πC. -1/3D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，即分数形式。
C选项-1/3可以表示为-1除以3，是有理数。
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(-1)的值是：（）A. 1B. 0C. -1D. -3答案：C解析：将x=-1代入函数f(x) = 2x + 1中，得到f(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1。
3. 下列不等式中，正确的是：（）A. 3x > 6B. 2x ≤ 4C. 5x < 10D. 4x ≥ 8答案：B解析：将不等式两边同时除以相同的正数或负数，不等号的方向不变。
B选项2x ≤ 4，除以2得到x ≤ 2，不等式成立。
4. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项an的值是：（）A. 15B. 17C. 19D. 21答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
将首项a1=3，公差d=2，项数n=10代入，得到第10项an = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21。
5. 下列各式中，能表示圆的方程是：（）A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. x^2 - y^2 = 1D. x^2 + y^2 = 9答案：B解析：圆的标准方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
B选项x^2 + y^2= 4表示半径为2的圆。
二、填空题6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，那么f(2)的值是：（）答案：-1解析：将x=2代入函数f(x) = x^2 - 4x + 3中，得到f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
7. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，那么∠C的度数是：（）答案：75°解析：三角形内角和为180°，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
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建平中学2018高三三模数学试卷及答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则B A ⋂等于1(0,)22．若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b 2- 3．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为_84．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin Csin C =b sin B ．则B ∠=3π5（文） 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是15285．（理）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为36．设2n ≥，若n a 是(1)n x +展开式中含2x 的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ =_27．（文）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则z =2x ＋4y 的最小值是6-7．（理）在极坐标系中，若直线l 的方程是sin(πρ的坐标为(2,)π，则点P 到直线l 的距离=d 28．（文）如图，直三棱柱111B A O OAB -中，AOB ∠=12AA =，OA =2OB =,则此三棱柱的主视图面积为8．（理）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为3π的扇形，则此圆锥的高为． 9．不等式1011a xx <-的解集为{}|12x x x <>或，那么a 的值等于1210. 定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图 所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为211.在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k =012．（文）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为120o .点C 在以O为圆心的圆弧AB 上变动。
若OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是212. （理）若不等式2210843≥kx y xy+对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是[),k m ∈+∞，则正整数m 只能取1或2 13．（文）对函数x R ∈，函数()f x 满足：21(1),()()2n f x a f n f n +==-，数列{}n a 的前n 项和为3116-，则(1000)f 13．（理）对函数x R ∈，函数()f x 满足：21(1),()()2n f x a f n f n +==-数列{}n a 的前n 项和为3116-，则(1)(2)(1000)f f f +++ 的值为625+14．（文）已知函数()f x 定义域为R ．若存在常数0c >，对于x R ∈，都有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是 ① ③14. （理）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a >当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”． 按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题： ① 若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(=则021>>e e ； ② 若3221,a a a a >>,则31a a >；③ 若21a a >,则对于任意D a ∈,a a +>+21；④ 对于任意向量0>a ，)0,0(=,若21a a >，则21a a ⋅>⋅.其中真命题的序号为 ① ② ③二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知a ，b 是实数，则“5>+b a ”是“⎩⎨⎧>>32b a ”的 （B ）)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件)(D 既不充分也不必要条件16．设P 是△ABC所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则--------------------------- （C ）)(A 0PA PB +=)(B 0PB PC +=)(C 0PC PA +=)(D 0PA PB PC ++=17．集合12121110,,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭在等比数列{}n a 中,若1201201a a <<=,则A 中元素个数为(D ))(A 2012 )(B 2013 )(C 4022 )(D 402318．（文）已知满足条件122≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点（x,y ）构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不 大于y x ,的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则21S S 与的关系是 （A ）)(A 21S S < )(B 21S S = )(C 21S S > )(D 321+=+πS S18．（理）设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：① 存在i i A l ∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ② 存在i i A l ∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③ 三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的个数是 （C ）)(A 0 )(B 1 )(C 2 )(D 3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.已知向量(2sin(),1),(2cos ,(0),3m x n x πωωω=+=> 函数()f x m n=⋅ 的两条相邻对称轴间的距离为.2π （1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）当7[,]1212ππα∈时，若6()5f α=，求cos 2α的值.解：（1）()4sin()cos 3f x m n x x πωω=⋅=+22sin cos x x x ωωω=+sin 2x x ωω=2sin(2)3x πω=+ …………2分22T ππω==1ω∴= (4)分()2sin(2)3f x x π∴=+由222()232k x k k z πππππ-≤+≤+∈得51212k x k ππππ-≤≤+ ∴单调递增区间是5[,]()1212k k k z ππππ-+∈ …………6分 （2）()2sin(2)3f x x π=+ 6()2sin(2)35f παα=+=3sin(2)35πα+= (8)分7[,]1212x ππ∈ 32[,]322x πππ∴+∈ 故4cos(2)35πα+=- …………10分所以41cos 2cos (2)3352ππαα⎡⎤=+-=-⋅=⎢⎥⎣⎦…………12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.（理）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =．（1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求二面角B FC A --的余弦值．（1）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点．又 FC FA =，所以 AC FO ⊥．因为 O BD FO = ， 所以 ⊥AC 平面BDEF ． （2）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ． 由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ， 则2=BD ，所以1OB =，OA OF =所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以CF =，,0)CB =． 设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ．易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ．由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v ． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． 20．（文）如右图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，'O 、O 分别为上、下底面的圆心，E 为上底面圆周上一点，已知60'DO E ∠= ，圆柱侧面积等于64π．（1）求圆柱的体积V ；（2）求异面直线BE 与DO 所成角θ的大小． 解：（1）设圆柱的底面半径为r ，由题意，得2264r r ππ⨯=解得：r =4．22128.V r r ππ∴=⨯=（2）连接B O '，由于DO B O //'，所以，'EBO ∠即为BE 与DO 所成角θ，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接FB ，FO ，由圆柱的性质，得EFB ∆为直角三角形，四边形'EO OF 为矩形，'BO DO == 60E DO '=∠，由等角定理，得 60AOF =∠所以， 120BOF =∠可解得，32F =B 在EFB ∆Rt 中，BE =由余弦定理，2'2'2'cos 2BE BO EO BE BO θ+-==⨯⨯ .703511arccos =∴θ 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数1()2,x a x f x a R -++=∈。