代数值、代数式求值及整式
5讲代数式及代数式求值
代数式及代数式求值一、知识要点1、代数式的概念：单独一个字母,单独一个数,数或表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫做代数式。
注意：等式、不等式都不是代数式，但它们的两边都由代数式组成；注意代数式的书写格式以及是否加括号。
2、代数式的书写要求:①、在含有字母的式子里出现的乘号，通常写作“·”或省略不写，如：a ×b 写成a·b 或ab ；②、字母和数字相乘，数字应写在字母左边，如“4x ”. 当字母前的数字为1或-1时，将“1”省略不写；③、带分数与字母相乘, 把带分数写成假分数；④、在式子中出现除法运算时，一般按分数写法来写； 若式子中有“+、-”运算，式子后面有单位，则式子要用括号括起来。
3、代数式的意义4、代数式求值的一般步骤：（1）代数式化简（2）代入计算（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
5、单项式的概念：单独一个字母,单独一个数,数字与字母只进行了乘法（包含乘方）运算，的式子叫做单项式。
单项式的系数: 与字母相乘的数叫作单项式的系数。
特别注意：“系数”必须包括数字前面的符号,另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了。
单项式的次数：在一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。
6、多项式的概念：几个单项式的代数和叫做多项式。
其中的每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
一个多项式含有几个项就叫几项式。
多项式的次数：在多项式里，次数最高项的次数，就是多项式的次数。
如：多项式2x 5-5x 2y+3xy-1共4项，次数分别为5、3、2、0，故该多项式的次数是五次，称为“五次四项式”。
最高项，二次项，一次项，常数项，7、整式：单项式和多项式统称为整式二、典例解析例1 下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式（1）a 2+1 （2）s=πr 2 （3）223b a - （4）a>b （5）2πr （6）0（7）a-2b（8）5>-3 例2 （1） 当3=-y x 时，求代数式2x-2y-3x+3y 的值。
第2讲 代数式与整式课件
4.多项式: 由几个单项式相② 加 组成的代数式叫做多项式.
5.多项式的次数: 一个多项式中,⑤ 次数最高的项的次数 就是这个多项
式的次数.
【疑难典析】
6.整式:③ 单项式和多项式统称为整式. 字母x的次数是1而不是0;单项式xy
的次数是2;单项式的系数包括它前
面的符号,如-2xy的系数是-2.
C.4035x2018
D.4036x2018
课前考点过关
4. 已知 a,b,c 是△ABC 的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果是 ( B )
A.2a+2b-2c
B.0
5. 若 am=2,an=8,则 am-n=
C.2a+2b
1
4
D.2c
.
6. 如图中的四边形为矩形,根据图形写出一个正确的等式
(1)去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变号;括号前是“-”号,把
括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号. +(b+c)= b+c
(2)整式的加减可以归结为去括号和① 合并同类项.
-(b-c)= -b+c
课前考点过关
【疑难典析】
2.幂的运算
m
am+n
x,y 的值.
原式=(x²+2x+1)+(y²-6y+9)
=(x+1)2+(y-3)2+11.
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,
∴原代数式最小值为11,
此时
x=-1,y=3.
课堂互动探究
探究三 整式的创新应用(微专题)
第4章 代数式专题
第4章 代数式专题【知识要点】1、 列代数式及代数式的求值：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式；代数式分为有理式、无理式，有理式又分为整式、分式，整式分为单项式、多项式。
列代数式时，要注意问题的语言叙述所直接或间接表示的运算顺序。
一般来说，先读的先写；要正确使用表明运算顺序的括号；列代数式时，出现乘法时，通常省略乘号，数与字母相乘，要将数写在字母前面；带分数要化成假分数，然后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”号：出现除法运算时，一般按分数的写法来写。
代数式的求值是用代数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出结果。
列代数式时，如果代数式后跟单位，应该将含有加减运算的代数式用括号括起来。
2、 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
合并同类项的法则就是字母及字母的指数不变，系数相加。
同类项与系数的大小没有关系。
3、 单项式：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
单独一个数或一个字母也是单项式。
单独一个非零数的次数是0。
4、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式。
5、 π是数，是一个具体的数，而不是一个字母。
0是单项式，也是整式。
6、 整式的加减法则：整式的加减实质上是合并同类项。
几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接起来，一般步骤是：（1）如果遇到括号，按去括号法则先去括号；（2）合并同类项。
【例题分析】例1. （2010•湛江）3的正整数次幂：13=3，23=9，3333=27，43=81，53=243， 63=729，73=2187，83=6561…观察归纳，可得20073的个位数字是（ ）A 、1B 、3C 、7D 、9例2. （2010•安顺）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直下去，则第2005次交换位置后，小兔所在的号位是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4例 3. （2009•鄂州）为了求20083222221+++++ 的值，可令S= 20083222221+++++ ，则2S= 2009322222+++，因此2S-S= 20092-1，所以20083222221+++++ =20092-1．仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是（ ）A 、20095-1B 、20105-1C 、4152009-D 、4152010- 例4.. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，____，_____，____这串数是由小明按照一定规则写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次按着写“2，3”，第三次接着写“6，7”第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么这串数的最后三个数应该是下面的（ ）A 、31，32，64B 、31，62，63C 、31，32，33D 、31，45，46例5. （2003•宁波）如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2），（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）个．A 、25B 、66C 、91D 、120【模拟试题】选择题1、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，其中a 0a 1a 2均为0或1，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0=a 0+a 1，h 1=h 0+a 2．运算规则为：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A 、11010B 、10111C 、01100D 、000112、在一列数1，2，3，4，…，200中，数字“0”出现的次数是（ ）A 、30个B 、31个C 、32个D 、33个3、把在各个面上写有同样顺序的数字1～6的五个正方体木块排成一排（如图所示），那么与数字6相对的面上写的数字是（ ）A 、2B 、3C 、5D 、以上都不对4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形（如下图），再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①，②，③，④，相应长方形的周长如下表所示：）A 、288B 、178C 、28D 、1105、如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当==时，有==；②当==时，有=；③当==时，有=；…；则当=时，=（）A、B、C、D、二.填空题6、（2010•南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算，a100﹣a99=_________，a100=_________．7、（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=_________．8、（2007•防城港）瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据，…中，成功地发现了其规律，从而得到了巴尔末公式，继而打开了光谱奥妙的大门．请你根据这个规律写出第9个数_________．9、（2000•江西）有一列数：1，2，3，4，5，6，…，当按顺序从第2个数数到第6个数时，共数了_________个数；当按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m）时，共数了_________个数．10、我们把形如的四位数称为“对称数”，如1991、2002等．在1000～10000之间有_________个“对称数”．11、在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有_________个．12、（2008•武汉）下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依次规律，拼搭第8个图案需小木棒______根．13、（2006•崇左）如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）个点，每个图形总的点数是S，当n=50时，S=_________．14、请你将一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的绳子中间再对折，这样连续对折5次，最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成________段．15、观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为_________．16、如图所示，黑珠、白珠共126个，穿成一串，这串珠子中最后一个珠子是_________颜色的，这种颜色的珠子共有_________个．17、观察规律：如图，PM1⊥M1M2，PM2⊥M2M3，PM3⊥M3M4，…，且PM1=M1M2=M2M3=M3M4=…=M n﹣1M n=1，那么PM n的长是_________（n为正整数）．18、探索规律：右边是用棋子摆成的“H”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要_个棋子．19、现有各边长度均为1cm的小正方体若干个，按下图规律摆放，则第5个图形的表面积是_____cm2．20、正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲，乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过_________分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．三.解答题21、（试比较20062007与20072006的大小．为了解决这个问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（为正整数），从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手，从中发现规律，经过归纳、猜想出结论：（1）在横线上填写“＜”、“＞”、“=”号：12___21，23____32，34_____43，45______54，56______65，…（2）从上面的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n的大小关系是：当n≤_________时，n n+1_________（n+1）n；当n＞_________时，n n+1_________（n+1）n；（3）根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小：20062007_________20072006．22、从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：（1）根据表中规律，求=_________．（2）根据表中规律，则=_________．（3）+++的值是_________．23、从1开始，连续的奇数相加，它们和的情况如下表：（1）如果n=11时，那么S的值为_________；（2）猜想：用n的代数式表示S的公式为S=1+3+5+7+…+2n﹣1=_________；（3）根据上题的规律计算1001+1003+1005+…+2007+2009= _________．。
代数式知识点
第二章：代数式基础知识点：一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式;单独一个数或者一个字母也是代数式;2、代数式的值：用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代数式的值;3、代数式的分类：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算1、概念1单项式：像x 、7、y x 22,这种数与字母的积叫做单项式;单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次数;单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数;2多项式：几个单项式的和叫做多项式;多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项;一个多项式含有几项,就叫几项式; 多项式的次数：多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数;不含字母的项叫常数项;升降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小大到大小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升降幂排列;3同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项;2、运算1整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变;去括号法则：括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变；括号前面是“–”号,把括号和它前面的“–”号去掉,括号里的各项都变号;添括号法则：括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号,括到括号里的各项都变号;整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再合并同类项; 2整式的乘除：幂的运算法则：其中m 、n 都是正整数同底数幂相乘：n m n m a a a +=⋅；同底数幂相除：n m n m a a a -=÷；幂的乘方：mn n m a a =)(积的乘方：n n n b a ab =)(;单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母,用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式;单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;单项除单项式：把系数,同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有字母,则连同它的指数作为商的一个因式;多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项,再把所得的商相加; 乘法公式：平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-三、因式分解1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解;2、常用的因式分解方法：1提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++2运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+± 3十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++4分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解;5运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ,则有： ))((212x x x x a c bx ax --=++3、因式分解的一般步骤：1如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；2提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法；3对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法;4最后考虑用分组分解法;四、分式1、分式定义：形如BA 的式子叫分式,其中A 、B 是整式,且B 中含有字母; 1分式无意义：B=0时,分式无意义； B ≠0时,分式有意义;2分式的值为0：A=0,B ≠0时,分式的值等于0;3分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分;方法是把分子、分母因式分解,再约去公因式;4最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式;分式运算的最终结果若是分式,一定要化为最简分式;5通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程,叫做分式的通分;6最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积;7有理式：整式和分式统称有理式;2、分式的基本性质：1)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；2)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A3分式的变号法则：分式的分子,分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;3、分式的运算：1加、减：同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减；异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减;2乘：先对各分式的分子、分母因式分解,约分后再分子乘以分子,分母乘以分母; 3除：除以一个分式等于乘上它的倒数式;4乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方;五、二次根式1、二次根式的概念：式子)0(≥a a 叫做二次根式;1最简二次根式：被开方数的因数是整数,因式是整式,被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式;2同类二次根式：化为最简二次根式之后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式; 3分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化;4有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式常用的有理化因式有：a 与a ；d c b a +与d c b a -2、二次根式的性质：1 )0()(2≥=a a a ；2⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a aa a ；3b a ab ⋅=a ≥0,b ≥0；4)0,0(≥≥=b a ba b a 3、运算：1二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后,合并同类二次根式;2二次根式的乘法：ab b a =⋅a ≥0,b ≥0;3二次根式的除法：)0,0(≥≥=b a ba b a二次根式运算的最终结果如果是根式,要化成最简二次根式;例题：一、因式分解：1、提公因式法：例1、)(6)(2422x y b y x a -+-分析：先提公因式,后用平方差公式解：略规律总结因式分解本着先提取,后公式等,但应把第一个因式都分解到不能再分解为止,往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查,如果还能分解,应继续分解;2、十字相乘法：例2、136524--x x ；212)(4)(2-+-+y x y x分析：可看成是2x 和x+y 的二次三项式,先用十字相乘法,初步分解;解：略规律总结应用十字相乘法时,注意某一项可是单项的一字母,也可是某个多项式或整式,有时还需要连续用十字相乘法;3、分组分解法：例3、2223--+x x x分析：先分组,第一项和第二项一组,第三、第四项一组,后提取,再公式;解：略规律总结对多项式适当分组转化成基本方法因式分组,分组的目的是为了用提公因式,十字相乘法或公式法解题;4、求根公式法：例4、552++x x 解：略二、式的运算巧用公式例5、计算：22)11()11(ba b a -+--- 分析：运用平方差公式因式分解,使分式运算简单化;解：略规律总结抓住三个乘法公式的特征,灵活运用,特别要掌握公式的几种变形,公式的逆用,掌握运用公式的技巧,使运算简便准确;2、化简求值：例6、先化简,再求值：)74()53(52222xy y x x x +++-,其中x= – 1 y =21- 规律总结一定要先化到最简再代入求值,注意去括号的法则;3、分式的计算：例7、化简)3316(625---÷--a a a a 分析：– 3-a 可看成 392---a a 解：略 规律总结分式计算过程中：1除法转化为乘法时,要倒转分子、分母；2注意负号4、根式计算例8、已知最简二次根式12+b 和b -7是同类二次根式,求b 的值;分析：根据同类二次根式定义可得：2b+1=7–b;解：略规律总结二次根式的性质和运算是中考必考内容,特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容;。
1.3. 整式
A. 2 x 3 y 5xy
2 2 2 ( a b ) a b C.
D. m m m
2 3
6
【解析】A.2 x 3 y 无法计算,故此选项错误；
B. 5m2 m3 5m5 ,故此选项正确;
C. (a b)2 a 2 2ab b2 ，故此选项错误；
4a b 2a 2ab
2
用多项式的每一项除以这个单项式，再把 多项式 除以单 所得的商相加，如 项式 (a2b ab2 ) a (a2b a) (ab2 a) ab b2
第一单元
数与式
5.整式混合运算及求值的一般解题步骤 第1步:运算各项乘除法.
利用整式乘除法法则（单项式乘以单项式、单项式 乘以多项式、多项式除以单项式等）及乘法公式（平方 差公式：(a b)(a b) a 2 b2 , 完全平方公式: (a b)2 a2 2ab b2 将每一项乘法展开,并给每项运算 加上括号. 第2步:去括号. 根据括号前的符号情况,若括号前为“＋”，则去 括号时各项不变号;若括号前为“－”,则去括号时各项 要改变符号．
x 2x 1 2x 2 x 3
2 2
2 ( 2) 3 5. 当 x 2 时，原式=
第一单元
数与式
变式题3
（’14原创）先化简，再求值：
1 x . 2
4 x( x 1) (1 2 x)(1 2 x)，其中
解：原式=4 x 2 4 x +(1 4 x 2 )
第一单元
数与式
第3步:找出同类项并合并. 将算式中同类项连同其前面的符号放在一起,并 用括号括起来,再用合并 同类项法则进行合并. 第4步:得出运算结果. 整式化简的最后结果是算式中各项都是单项式加 法的形式,且不存在同类项. 第5步:代值计算. 将所给值代入整式化简的结果中,并按照运算法则 计算数值.其实质是实数运算.
代数式求值及整式加减
代数式求值及整式的加减一、知识梳理1.用字母表示数的特点（1）任意性：字母可任意表示数或式；（2）限制性：字母的取值应使具体代数式有意义，如ab 中，0≠a ； （3）确定性：字母的取值一旦确定，代数式的值也随之确定；（4）抽象性：字母代替数后，能更准确地反映事物的规律，更具一般性，如n 2（n 为整数）表示偶数.2.代数式的概念用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方以及以后要学的开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式.3.代数式的书写规则（1）字母与字母相乘，数字与字母相乘（数字应写在前面），乘号通常写作“•”或省略不写.但数与数相乘时，仍然用“⨯”.（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写.（3）带分数与字母相乘，省略乘号时应把带分数化成假分数.（4）实际问题中需要写单位时，若代数式的最后结果含有加、减运算，则应将整个式子用括号括起来，再写单位.否则，可直接写单位.例如：a 31千米/小时，a y x )(+天，)(n m +cm ，)(y x -元.（5）相同字母的乘积用乘方表示，如a a a ••，一般写成3a .4.同类项含有相同字母，并且相同字母的次数也相同的项，叫做同类项.几个常数项也是同类项. 如：100a 和200a ，240b 和60b ，-2ab 和10ab.5.合并同类项的法则系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.二、典例剖析例1：下列语句正确的是（ ）A.单独一个数13不是代数式 B.0是代数式 C.r C π2=是一个代数式 D.单独一个字母a 不是代数式例2：如果多项式A 减去 -3x + 5 ,再加上x 2 - x - 7 后得5x 2 - 3x - 1,求多项式A.例3：已知01)12(2=++-y x ，求代数式)2(2)22(222222y xy x y xy x x +--+--+的值.例4： 【1】化简并求值：[]{}b a b a c b a 3)(352325+-----，其中1,3,2-=-=-=c b a .【2】先化简，再求值：22225[(32)2(3)]x x x x x x +---+，其中21-=x .例5:：已知01223344555)12(a x a x a x a x a x a x +++++=-.（1）求a 0;（2）求543210a a a a a a +++++的值;（3）求a 0 -a 1 + a 2 -a 3 +a 4-a 5的值.◆变式◆【1】已知x 取任何一个数时，代数式3)23(-x 总与代数式d cx bx ax +++23的值相等，（1）求d c b a -+-的值；（2）求d 的值.【2】已知为常数，其中e d c b a e dx cx bx ax y ,,,,357++++=，当2=x 时，23=y ；当2-=x 时，35-=y .求e 的值.例6：已知32n m a 与332b n m -是同类项，且229y xy ax A +-=，223y bxy x B +-=.求：[]{})(232A B A B A -+--.◆变式◆已知m y x 251-与1321-n x y 是同类项，则=n m .例 7：如果4x 2 - 3y 2 = 7，并且3x 2 + 2y 2 = 19，求14x 2-2y 2的值.◆变式◆【1】如果x+2y+3z=10, 4x+3y+2z=15,则x+y+z=__________．【2】若222=+-b a b a ，求ba b a b a b a 483622+-+-+的值.【3】已知72=-mn m ，22-=-n mn ，求22n m -与222n mn m +-的值.例8：已知0=++c b a ，求4)11()11()11(++++++ba c a cbc b a 的值.作业1.若2x 2+3x+7的值是9，那么代数式4x 2+6x －11的值为___________.2.243ab π-的系数是___________.3.“x 与5的差的一半”可表示为___________，z y x -+-的相反数是___________.4.当435z y x==时，代数式y z y x 532++的值等于_______ __.5．已知m 是绝对值最小的有理数，且y m b a 22+-与23b a x 的差仍是单项式，试求代数式2x 2－3xy ＋6y 2－3mx 2＋mxy －9mny 2的值.作业1.若a.b.c是自然数，且a＜b,a＋b=719,c－a=923,则a＋b＋c的所有可能性中最大一个值是____________。
代数式与整式的概念及运算
代数式与正式的概念及运算一、代数式的概念1、代数式的概念用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．例1 判断下列式子是不是代数式2、代数式的分类；单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。
多项式：几个单项式的和叫做多项式整式：单项式和多项式统称整式.分式：如果整式A除以整式B,可以表示成AB的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分式.有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：; 2)1 ()8(;0)6(; )4(;01)2(+=≥-nnvtSx; )9(;0 4)7(;)5(;21)3(;43)1(tsxaahx=++练习：1、填空题（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。
2、选择题：（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。
Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。
Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -3、设某数为x ，用x 表示下列各式：（1）某数与12的差；（2）某数的12与13的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数二、列代数式和代数式所表示的实际意义(1) 列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．(2)代数式所表示的实际意义若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)（3）3n+1 （4）100a＋50＋b解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；（3）被3除余1的数；（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数三、代数式的求值1、直接代值例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。
求代数式的值方法
求代数式的值求代数式的值涉及的问题较多，包括整式求值、分式求值、根式求值。
具有很强的综合性，要用到许多的数学思想和方法，具有很强的灵活性。
一、直接公共秩序求值：例1、已知x=－3，y=2，求x 2y+x －y 的值。
二、化简代数式再公共秩序求值：例2、已知a=－3，b=2，求ba b a 1111+-的值。
三、整体代入法（联系配方思想转化）：例3、已知x+y=－4，xy ＝－12，求1111+++++y x x y 的值。
解：1)(122)1)(1()1()1(11112222+++++++=+++++=+++++y x xy y x y x y x x y y x x y （以下略），再代入（x+y ）与xy 即可求得。
四、利用非负数的性质求值。
若A 2＋C B +＝0，则A ＝0，B ＝0，C ＝0。
例4、已知0112=-++b a ，求a 3－b 3的值。
解：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+01012b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a∴a 3－b 3＝33121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝89- 五、换元、消元法例5、已知72=y x ，求22225223yxy x y xy x -++-的值。
解：由72=y x 得y x 72= 把y x 72=代入原式得（以下略） 例6、已知511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值。
（解略） 例7、已知4x －3y －6z=0，x+2y －7z ＝0（z ≠0），求22222285632zy x z y x ++++的值。
分析：三个未知数，两个方程，不能直接求得未知数的值。
可以考虑用含某一个未知数的式子换另两个未知数。
解：由⎩⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x 得⎩⎨⎧=+=-zy x z y x 72634 ∴⎩⎨⎧==z y z x 23（以下略） 六、配方法（配成完全平方式：加上一次项系数一半的平方）：例8、a+b=3，ab=－2，求a 2+b 2与ba ab +的值。
代数式的知识点
代数式的知识点代数式是数学中非常重要的一个概念，它是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式。
接下来，让我们一起深入了解代数式的相关知识点。
首先，代数式包括整式和分式。
整式又分为单项式和多项式。
单项式是只有一个项的代数式，它由数字因数和字母因数组成。
比如，5x 就是一个单项式，其中 5 是数字因数，x 是字母因数。
单独的一个数或一个字母也叫做单项式，像 7 或者 a 。
多项式则是由几个单项式相加或相减组成的代数式。
例如，2x ＋3y 就是一个多项式，它由单项式 2x 和 3y 相加组成。
多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
分式则是形如 A/B 的式子，其中 A、B 是整式，且 B 中含有字母。
例如，2 ／（x ＋ 1) 就是一个分式。
代数式的运算也是非常重要的一部分。
在进行加法和减法运算时，只有同类项才能相加或相减。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如，3x 和 5x 是同类项，可以相加得到 8x 。
乘法运算中，单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如，2x 3y ＝ 6xy 。
单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
比如，2x(3x ＋ 4y) ＝ 6x²＋ 8xy 。
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
比如，（x ＋ 2)（x ＋ 3) ＝ x²＋ 5x ＋ 6 。
除法运算中，单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如，6x²y ÷ 2xy ＝ 3x 。
在代数式的运算中，我们还常常会用到乘法公式。
初中数学知识点总结：代数式的相关概念
初中数学知识点总结：代数式的相关概念 知识点总结 【一】代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：(1)单个数字与字母也是代数式;(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号; (3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
【三】整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
【四】升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
【五】代数式书写要求： 1.代数式中出现的乘号通常用〝·〞表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用〝×〞号; 2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序.如式子(a+b) ·2·a 应写成2a(a+b); 3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘; 4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写; 5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，那么单位直接写在式子后面;如果代数式是和或差的形式，那么必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。
六、系数与次数 单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
整式的加减和代数式求值
整式的加减和代数式求值【考点解析】1、整式包括单项式和多项式⑴单项式是数与字母的积，单个数或字母也是单项式。
⑵多项式是几个单项式的和。
⑶同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项。
⑷把一个多项式按同一字母的指数从大（小）到小（大）的顺序排列起来，叫做把这个多项式进行降（升）幂排列。
⑸掌握去括号、添括号法则，能熟练地进行同类项的合并。
练习：用代数式表示：（1）比x y与的和的平方小x的数。
与的积的2倍大5的数。
（2）比a b（3）甲乙两数平方的和（差）。
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
（7）比a的平方的2倍小1的数。
（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被5整除的数。
（10）任意一个三位数。
2：代数式的求值：（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b-+++-的值。
（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。
（3）已知2a b =；5c a =，求624a b c a b c +--+的值(0)c ≠（4）已知113b a -=，求222a b ab a b ab ---+的值。
（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。
（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。
中考数学 第2讲 代数式及整式的运算(解析版)
第2讲 代数式及整式的运算一、考点知识梳理【考点1 代数式定义及列代数式】1.代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式． 2．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值．【考点2 幂的运算】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． a m •a n ＝a m +n （m ，n 是正整数） 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （a m ）n ＝a mn （m ，n 是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． a m ÷a n ＝a m ﹣n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ） 【考点3 合并同类项】所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项. 把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【考点4 整式的乘法】单项式乘以多项式m(a ＋b)＝am ＋bm多项式乘以多项式(a ＋b)(m ＋n)＝am ＋an ＋bm ＋bn 二、考点分析【考点1 代数式定义及列代数式】【解题技巧】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式；(2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.【例1】（2019.海南中考）当m ＝﹣1时，代数式2m +3的值是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】C ．【分析】将m ＝﹣1代入代数式即可求值；【解答】解：将m ＝﹣1代入2m +3＝2×（﹣1）+3＝1； 故选：C ．【一领三通1-1】（2019.云南中考）按一定规律排列的单项式：x 3，﹣x 5，x 7，﹣x 9，x 11，……，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣1）n ﹣1x 2n ﹣1 B ．（﹣1）n x 2n ﹣1 C ．（﹣1）n ﹣1x 2n +1 D ．（﹣1）n x 2n +1【答案】C ．【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【解答】解：∵x 3＝（﹣1）1﹣1x 2×1+1， ﹣x 5＝（﹣1）2﹣1x 2×2+1， x 7＝（﹣1）3﹣1x 2×3+1， ﹣x 9＝（﹣1）4﹣1x 2×4+1， x 11＝（﹣1）5﹣1x 2×5+1， ……由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n +1， 故选：C ．【一领三通1-2】（2019•台湾）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成，其中正三角形面积为a ，矩形面积为b ．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱，则图2中直角柱的表面积为何？（ ）A ．4a +2bB ．4a +4bC ．8a +6bD ．8a +12b【答案】C ．【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵正三角形面积为a，矩形面积为b，∴图2中直角柱的表面积＝2×4a+6b＝8a+6b，故选：C．【一领三通1-3】（2019•台湾）小宜跟同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为10份意大利面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了几份A餐？（）A．10﹣x B．10﹣y C．10﹣x+y D．10﹣x﹣y【答案】A．【分析】根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面，由题意可得点A餐10﹣x；【解答】解：x杯饮料则在B和C餐中点了x份意大利面，y份沙拉则在C餐中点了y份意大利面，∴点A餐为10﹣x；故选：A．【考点2 幂的运算】【解题技巧】1.在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．2.概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．3.注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．【例2】（2019•广东中考）下列计算正确的是（）A．b6+b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a6【答案】C．【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；B、b3•b3＝b6，故此选项错误；C、a2+a2＝2a2，正确；D、（a3）3＝a9，故此选项错误．故选：B．【一领三通2-1】（2019•甘肃中考）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【答案】C．【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．【一领三通2-2】（2019•海南中考）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．a6÷a2＝a3C．2a2﹣a2＝2 D．（3a2）2＝6a4【答案】A．【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3，A准确；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，B错误；2a2﹣a2＝a2，C错误；（3a2）2＝9a4，D错误；故选：A．【一领三通2-3】（2019•江苏南京中考）计算（a2b）3的结果是（）A．a2b3B．a5b3C．a6b D．a6b3【答案】D．【分析】根据积的乘方法则解答即可．【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．故选：D．【一领三通2-4】（2019•山东济南中考模拟）在平面直角坐标系中，任意两点A（a，b），B（c，d），定义一种运算：A*B＝[（3﹣c），]，若A（9，﹣1），且A*B＝（12，﹣2），则点B的坐标是______．【答案】（﹣1，8）．【分析】根据新运算公式列出关于c、d的方程组，解方程组即可得c、d的值；进一步得到点B的坐标．【解答】解：根据题意，得，解得：．则点B的坐标为（﹣1，8）．故答案为：（﹣1，8）．【考点3 合并同类项】【解题技巧】合并同类项时要注意以下三点：（1）要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；（2）明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；（3）“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．（4）只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)．【例3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【答案】2．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．【一领三通3-1】（2019•山东威海中考）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．3a2+a＝3a3C．a5÷a2＝a3（a≠0）D．a（a+1）＝a2+1【答案】C．【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方的性质，单项式与多项式乘法法则，同底数幂的除法的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项错误；B、3a2+a，不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、a5÷a2＝a3（a≠0），正确；D、a（a+1）＝a2+a，故本选项错误．故选：C．【一领三通3-2】（2019•辽宁沈阳中考）下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2【答案】B．【分析】根据合并同类项、幂的乘法除法、幂的乘方、完全平方公式分别计算即可．【解答】解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．【一领三通3-3】（2019•河北石家庄中考模拟）先化简，再求值：（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a），其中．【分析】首先去括号，合并同类项，将两代数式化简，然后代入数值求解即可．【解答】解：∵（5a2+2a+1）﹣4（3﹣8a+2a2）+（3a2﹣a）＝5a2+2a+1﹣12+32a﹣8a2+3a2﹣a＝33a﹣11，∴当a＝时，原式＝33a﹣11＝33×﹣11＝0；【一领三通3-4】（2019•山东青岛中考模拟）化简求值：已知整式2x2+ax﹣y+6与整式2bx2﹣3x+5y﹣1的差不含x和x2项，试求4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）的值．【分析】根据两整式的差不含x和x2项，可得差式中x与x2的系数为0，列式求出a、b的值，然后将代数式化简再代值计算．【解答】解：2x2+ax﹣y+6﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵两个整式的差不含x和x2项，∴2﹣2b＝0，a+3＝0，解得a＝﹣3，b＝1，4（a2+2b3﹣a2b）+3a2﹣2（4b3+2a2b）＝4a2+8b3﹣4a2b+3a2﹣8b3﹣4a2b＝7a2﹣8a2b，当a＝﹣3，b＝1时，原式＝7a2﹣8a2b＝7×（﹣3）2﹣8×（﹣3）2×1＝7×9﹣8×9×1＝63﹣72＝﹣9．【考点4 整式的乘法】【解题技巧】多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
整式与代数式知识点梳理
整式与代数式知识点梳理一、整式的概念与性质：1.整式的定义与概念：整式是由常数和变量按照代数运算法则通过加减乘除及乘方得到的表达式。
例如，x²+3x-2、2x³-5x²+7x-4等都是整式。
2.整式的次数：整式中变量的最高次数称为整式的次数。
例如，对于x²+3x-2，它的次数是2；对于2x³-5x²+7x-4，它的次数是33.整式的项与系数：整式由多个项组成，每个项由变量和它的系数相乘构成。
例如，对于x²+3x-2，它的三个项分别是x²、3x和-2，它们的系数分别是1、3和-24.整式的相等与相似：如果两个整式的各相应项的系数相等，则称它们相等；如果两个整式仅有常数项不等，但各相应项的次数、变量和系数都相等，则称它们相似。
5.整式的加法、减法与乘法：整式的加法、减法与乘法按照代数运算法则进行。
例如，对于整式x²+3x-2和2x³-5x²+7x-4，它们的加法是3x³-4x²+10x-6，减法是-x³+2x²-4x+2，乘法是2x⁵-5x⁴+7x³-6x²-8x+8二、代数式的概念与性质：1. 代数式的定义与概念：代数式是由数、字母及运算符号组成的表达式。
例如，3x+2y、5a²+3b²、2xy²等都是代数式。
2.代数式的值与解：给代数式中的字母赋予特定的数值，代入代数式中，计算出的结果称为代数式的值；使代数式等于零的数解称为代数式的解。
3.代数式的化简与展开：根据代数式的运算法则，对代数式进行合并同类项、提取公因式、配方法等化简操作，得到一个更简单的代数式就称为代数式的化简；将代数式的乘法运算进行展开，得到一个或多个乘积项的和就称为代数式的展开。
4.代数式的因式分解与求值：根据代数式的运算法则，将代数式分解成若干个乘积的形式，使每个乘积项都是不可再分解的就称为代数式的因式分解；将代数式中的字母用给定的数值代入，计算出的结果称为代数式的值。
习题代数值、代数式求值及整式
ab应用迁移、巩固提高1、 ①、用代数式表示:⑪ 比a 的3倍还多2的数.⑫ b 的34倍的相反数. ⑬ x 的平方的倒数减去21的差.⑭ 9减去y 的31的差.⑮ x 的立方与2的和. ⑯ ｙ的5倍与7的和的一半。
⑰ x 的3倍与y 的商。
②、设某数为x ，用x 表示下列各数（1）．某数的5倍减去3的差； （2）．比某数的一半还多2的数；（3）．某数的521倍与2的差的5倍；（4）．某数的60％除以m 的相反数所得的商。
③、（1）已知长方形的长为a ，宽为b ，用a ，b 表示长方形的周长是 _______________。
（2）已知圆半径的r ，用r 表示圆的周长是_______________。
（3）已知梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，用a,b,h 表示梯形的面积是____________。
④、如果数学书的每张纸长为a ，宽为b ，则纸张的面积和周长分别是多少？⑤、某校七年级有a 名学生，八年级有b 名学生，九年级的人数有c 名学生，学校一共有多少学生⑥、如图所示图形的周长和面积分别是多少？2、 ①、当a 分别取下列值时，求代数式3a(a+1)2的值。
⑪ a=2; ⑫ a= -3; ⑬ a = 12②、一个长、宽分别是a 米、b 米的长方形绿化地，中间圆形区域计划做成花坛，它的半径是r 米，其余部分种植绿草。
⑪ 问需种植绿草的面积是多少平方米？⑫ 当a=10，b=4，r=23 时，求需种植绿草的面积。
（π取3.14，精确到0.01平方米）3、 ①、下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？ab 2、2a+3b 、-4a 2b 4、752ba -②、将多项式3+6x 2y-2xy-5x 3y 2-4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。
③、如果b axy -是关于y x 、的单项式，且系数为2，次数为3，则b a 、分别是多少？④、如果多项式x xy m y xm3)2(52---的次数为4次，且有三项，则m 为多少？（四）、总结反思，拓展升华1、 书写代数式时要注意以下这些问题（1）一般按“先读先写”的原则列代数式。
代数式知识点总结(最新)
代数式知识点总结一、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
注意：（1）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号；（3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
三、整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
四、升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
五、代数式书写要求：1.代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“×”号；2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序．如式子（a+b）·2·a应写成2a(a+b)；3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写；5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。
六、系数与次数单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：（1）单项式的系数包括它前面的符号；（2）若单项式的系数是"1”或-1“时，"1"通常省略不写，但“－”号不能省略。
初中代数式的概念
初中代数式的概念
初中代数式的概念
1．代数式的有关概念．
(1)代数式：代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．
(2)代数式的值；用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果p叫做代数式的值．
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
(3)代数式的分类
2．整式的有关概念
(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．
对于给出的单项式，要注意分析它的系数是什么，含有哪些字母，各个字母的指数分别是什么。
(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式
对于给出的多项式，要注意分析它是几次几项式，各项是什么，对各项再像分析单项式那样来分析
(3)多项式的降幂排列与升幂排列
把一个多项式技某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列
把个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排列起来，叫做把这个多项式技这个字母升幂排列，
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
遇到特殊形式的多项式乘法，还可以直接算：
(3)整式的乘方
单项式乘方，把系数乘方，作为结果的系数，再把乘方的次数与字母的指数分别相乘所得的幂作为结果的因。
整式求值的概念
整式求值的概念
整式求值是指将给定的算式中的变量或未知量代入特定数值后，通过计算得出结果的过程，即用已知的数据替代方程中的变量，计算方程并得出结果的过程。
整式是指由常数和变量以及一些确定的运算符构成的代数式，整式求值是数学中的一个重要概念，在代数学习中应用广泛。
整式由系数、变量和运算符构成，系数是数字或变量的系数，变量表示未知的数量，运算符是加、减、乘、除、幂等运算符，可以使用整式求值法来验证代数式是否真确，求出代数式的值以及解决实际问题。
整式求值的过程就是由已知的常数和变量的取值替换代数式中的变量，再进行简单的运算，最终得到代数式的值。
例如，给定一个整式p(x)=2x²+3x-4，在x=5的情况下需要求p(5)的值，就是将整式中的x替换成5，即p(5)=2(5)²
+3(5)-4=53，53就是整式在x等于5时的值。
整式求值在代数学习中的应用非常广泛，例如在计算圆的周长和面积中，需要使用代数式2πr和πr²来表示圆的周长和面积，当给定半径r的值时，就可以通过代数式求值公式计算出圆的周长和面积。
又如在计算三角形的面积时，需要使用代数式S=1/2×b×h来表示三角形的面积，当已知底边b和高h的值时，就可以通过代数式求值公式计算出三角形的面积。
整式求值在实际应用中起着非常重要的作用，它不仅可以简化计算，减少错误，
还可以帮助我们更好地理解和应用代数式。
在数学学习中，我们要掌握整式求值的方法和技巧，并在实际应用中多加练习和应用，以便更好地理解代数学中的概念和公式。
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代数式、代数求值及整式一、教学目标1、知识与技能目标①、理解代数式及代数求值的意义②、能用代数式表示与数量有关的词语③、确熟练掌握求代数式的值的方法，用代数式解决一些实际生活中的问题④、理解单项式、多项式和整式的定义，并能分辨出它们的不同⑤、能说出单项式的系数、次数⑥、能说出多项式是几次式，能说出多项式的常数项，能将多项式分成几个单项式和的形式，能对多项式进行降幂或升幂排列2、过程与方法ⅰ、通过代数式的的学习，培养学抽象数学、训练学生运用新知识归纳解决实际问题的ⅱ、通过字母与数的转化，培养学生树立分析总结的能力ⅲ、通过整式的分类，让学生初步了解化整为零与化零为整的思想3、情感、态度与价值观⑪、通过师生双向学习，激发学生学习的兴趣，让学生体验到数学知识来源于生活并用于生活⑫、通过整式分类学习，渗透零整对立、统一的辩证思想⑬、通过数与字母的学习，渗透化归思想二、教学重难点重点：把实际问题中的数量关系列成代数式理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值能说出单项式的系数，次数和多项式的次数难点：正确理解题意，从中找出数量关系里的运算顺序并能准确地写成代数式利用代数式解决实际问题能说出多项式是几次多项式三、实景设计（一）、情景导入1、字母表示数的导入：一只青蛙一张嘴，二只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；二只青蛙二张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……1.怎么唱下去?2.十只青蛙怎么唱？3.一百只青蛙怎么唱？4.只青蛙一张嘴，只眼睛条腿，声扑通跳下水；（二）、互动交流、探究归纳1、①、设某数为x，用x表示下列各数：(1)比x大5.(2)比x的2倍小3(3)x 与3的和除以x 的商 (4)x 与5的和3倍．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.②、用代数式表示：(1)甲乙两数和的5倍． 5（m+n ） (2)甲减去乙数的差与甲数的相反数的积． （m-n ）（-m ） (3)甲乙两数的平方和． m 2+n 2(4)甲乙两数和的立方． （m+n ）2(5)乙甲两数之和与乙甲两数的差的积． （n+m ）（n-m ）书写代数式时要注意以下这些问题（1）一般按“先读先写”的原则列代数式。
（2）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。
（3）在代数式中出现除法时，用分数线表示。
2、 以下是一个简单的数值运算程序：输入x•→×（-3）→-2→输出．当输入的x 值为－1时，则输出的数值为 ．输入a输入b( )2 ( )2++2ab输出（ )输入a输入b+( )2输出（ )用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
(a+b)2=a 2+b 23、 ①、 观察并思考：⑪ 2x 、 -2a 2、ab 2、43x 2y2 2234,2,22,2yx ab a x 这些代数式包含哪些运算？ ⑫ 2x+3、a 2+2a-1、3a 2-b 2+2a-3这些代数式包含哪些运算？②、引出概念：单项式、多项式、整式（1） 由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
口答：请说出⑪中的几个单项式的系数和次数。
注意：单独一个非零数的次数是0。
当单项式的系数为1或—1时，这个“1”应省略不写。
（2）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
口答：请说出⑫中的几个多项式是由哪几个单项式组成的？其中有没有常数项？它们的次数分别是多少？为什么？注意：确定多项式的次数时，应先确定每个单项式每个字母的指数；再计算这个单项式中所有字母的指数的和。
（3）单项式、多项式统称为整式。
练习：以小组为单位根据所给出的x 、-2、y 2组成一单项式和多项式，并指出单项式的次数和系数，多项式的次数。
（4）整式的排列：降幂排列：按某一字母的指数由高到底排列 升幂排列：按某一字母的指数由低到高排列（三）、应用迁移、巩固提高1、 ①、用代数式表示:⑪ 比a 的3倍还多2的数. 3a+2⑫ b 的34倍的相反数. b 34- ⑬ x 的平方的倒数减去21的差. 2112-x⑭ 9减去y 的31的差. y 319-⑮ x 的立方与2的和. x 3+3 ⑯ ｙ的5倍与7的和的一半。
)75(21+y ⑰ x 的3倍与y 的商。
yx 3 分析：（1）题目中的语句包含了哪些运算？运算顺序是怎样的？（2）如何表示相反数和倒数？ （3）在什么情况下需要添括号？②、设某数为x ，用x 表示下列各数（1）．某数的5倍减去3的差； （2）．比某数的一半还多2的数；（3）．某数的521倍与2的差的5倍；（4）．某数的60％除以m 的相反数所得的商。
ab③、（1）已知长方形的长为a ，宽为b ，用a ，b 表示长方形的周长是 _______________。
（2）已知圆半径的r ，用r 表示圆的周长是_______________。
（3）已知梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，用a,b,h 表示梯形的面积是____________。
④、如果数学书的每张纸长为a ，宽为b ，则纸张的面积和周长分别是多少？（ab ，2a+2b ）⑤、某校七年级有a 名学生，八年级有b 名学生，九年级的人数有c 名学生，学校一共有多少学生？（a+b+c ） ⑥、如图所示图形的周长和面积分别是多少？（a+2b+21πa ，ab+81πa 2）2、 ①、当a 分别取下列值时，求代数式3a(a+1)2的值。
⑪ a=2; ⑫ a= -3; ⑬ a = 12解 ：⑪ 当a=2时，3a(a+1)2 = 3×2×（2+1）2 =9 ⑫ 当a=-3时，3a(a+1)2 = 3×（-3）×（-3+1）2=9 ⑬ 当a = 12 时， 3a(a+1)2 = 3×12 ×（12 +1）2 = 98②、一个长、宽分别是a 米、b 米的长方形绿化地，中间圆形区域计划做成花坛，它的半径 是r 米，其余部分种植绿草。
⑪ 问需种植绿草的面积是多少平方米？⑫ 当a=10，b=4，r=23 时，求需种植绿草的面积。
（π取3.14，精确到0.01平方米）解：⑪ ab-π (平方米)答：需种植绿草的面积是ab-πr 2(平方米) ⑫ 当a=10，b=4，r=23时ab-πr 2=10×4-3.14×（23 ）2 =40-3.14×49 ≈38.60（平方米）答：当a=10，b=4，r=23 时，需种植绿草的面积是38.60平方米。
3、 ①、下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？ab 2、2a+3b 、-4a 2b 4、752ba 解： ab 2、-4a 2b 4都是数与字母或字母与字母的积，所以它们是单项式。
2a+3b 、2a-5b7 都是由两个单项式的和组成，所以它们是多项式。
注意：2a-5b 7 =2a 7 - 5b 7②、将多项式3+6x 2y-2xy-5x 3y 2-4x 4y 先按字母x 升幂排列，再按x 降幂排列。
分析：为了计算需要，可以将多项式各项的位置根据加法交换律按照其中某一个字母的指数大小顺序来排列。
把多项式x 2+5x+4x 4-3x 3+2按字母x 的指数从大到小的顺序 排列，写成4x 4-3x 3+x 2+5x+2,这叫做把多项式按这个字母降幂排列。
或按字母x 的 指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+ x 2-3x 3+4x 4，,这叫做把多项式按这个字母 升幂排列。
解： 按字母x 升幂排列是3-2xy+6x 2y-5x 3y 2-4x 4y 。
按字母x 降幂排列是-4x 4y-5x 3y 2+6x 2y-2xy+3③、如果b axy -是关于y x 、的单项式，且系数为2，次数为3，则b a 、分别是多少？ ④、如果多项式x xy m y xm3)2(52---的次数为4次，且有三项，则m 为多少？（四）、总结反思，拓展升华1、 书写代数式时要注意以下这些问题（1）一般按“先读先写”的原则列代数式。
（2）数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略不写，字母与字母相乘时乘号省略不写。
（3）在代数式中出现除法时，用分数线表示。
2、代数式求值步骤：（1）确定代数式中的字母 （2）确定字母所代表的数（3）将字母所代表的数带入到字母求解3、 引出概念：单项式、多项式、整式（1）、由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意：单独一个非零数的次数是0。
当单项式的系数为1或—1时，这个“1”应省略不写。
（2）由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
注意：确定多项式的次数时，应先确定每个单项式每个字母的指数；再计算这个单项式中所有字母的指数的和。
（3）单项式、多项式统称为整式。
（4）整式的排列：降幂排列：按某一字母的指数由高到底排列升幂排列：按某一字母的指数由低到高排列（五）、课堂知识反馈1、 ①、代数式2a-b 表示的意义是_____________________________.②、列代数式：⑪ 设某数为x,则比某数大20%的数为_______________.⑫ a 、b 两数的和的平方与它们差的平方和________________.③、 有一棵树苗，刚栽下去时，树高2.1米，以后每年长0.3米，则n 年后的树高为________________，计算10年后的树高为_________米.④、某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在出租后的头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后第n 天（n ＞2的自然数）应收租金 _____________________元.⑤、观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------请你将猜想到的规律用自然数n(n ≥1)表示出来______________________.⑥、一个两位数，个位上的数是a ，十位上的数字比个位上的数小3，这个两位数为_________，当a=5时，这个两位数为_________.⑦、某市出租车收费标准为：起步价5元，3千米后每千米价1.2元，则乘坐出租车走x(x ﹥3)千米应付______________元. ⑧、下列代数式中，书写正确的是（ ）A. ab ·2B. a ÷4C. -4×a ×bD. xy 213 E. mn 35F. -3×6⑨、下列各题中，错误的是（ ）A. 代数式.,22的平方和的意义是y x y x +B. 代数式5(x+y)的意义是5与(x+y)的积C. x 的5倍与y 的和的一半，用代数式表示为25y x + D. 比x 的2倍多3的数，用代数式表示为2x+3 ⑩、 根据下列条件列出的代数式，错误的是（ ）A. a 、b 两数的平方差为a 2-b 2B. a 与b 两数差的平方为(a-b)2C. a 与b 的平方的差为a 2-b 2D. a 与b 的差的平方为(a-b)2⑾、 笔记本每本m 元，圆珠笔每支n 元，买x 本笔记本和y 支圆珠笔，共需（ ）A. （ mx+ny ）元B. (m+n)(x+y)C. （nx+my ）元D. mn(x+y) 元2、 ①、一个两位数，个位上的数是a ，十位上的数字比个位上的数小3，这个两位数为_________，当a=5时，这个两位数为_________.②、如果,0)1(22=-++b a 那么代数式(a+b)2005的值为（ ）A. –2005B. 2005C. -1D. 1③、当x=-2,y=3时,代数式4x 3-2y 2的值为（ ）A. 14B. –50C. –14D. 50④、已知代数式3a 2-2a+6的值为8, 求1232+-a a 的值. ⑤、当a=-1,b=-21,c=211时，求代数式b 2-4ac 的值，并指出求得的这个值是哪些数的平方. ⑥、人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a 表示一个人的年龄，用b 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220-a). ⑪ 正常情况下,在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ ⑫ 一个45岁的人运动时10秒心跳的次数为22次，请问他有危险吗？为什么？3、 ①、判断题(1)31+x 是关于x 的一次两项式． ( ) (2) －3不是单项式．( ) (3)单项式xy 的系数是0．( ) (4)x 3＋y 3是6次多项式．( ) (5)多项式是整式．( ) ②、选择题（1）在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D5个 （2）、多项式－23m 2－n 2是（ ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式 （3）、下列说法正确的是（ ）A ．3 x 2―2x+5的项是3x 2，2x ，5 B ．3x －3y 与2 x 2―2x y －5都是多项式 C ．多项式－2x 2+4x y 的次数是３D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6（4）、下列说法正确的是（ ）A ．整式abc 没有系数B ．2x +3y +4z不是整式 C ．－2不是整式 D ．整式2x+1是一次二项式（5）、下列代数式中，不是整式的是（ ）A 、23x -B 、745ba - C 、xa 523+ D 、－2005（6）、下列多项式中，是二次多项式的是（ ）A 、132+xB 、23x C 、3xy －1 D 、253-x（7）x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、2)(y x - B 、22y x-C 、y x-2D 、2y x -（8）、某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。