2018广东广州市高考数学复习专项检测试题： 07
高三数学-2018广东广州质检 精品
高三数学训练题2018年2月12日15：00—17：00本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第 I 卷 （选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若U ＝｛1，2，3，4，5｝，M ＝｛1，2，4｝，N ＝｛3，4，5｝，则U （M ∩N ）＝（A ）｛4｝ （B ）｛1，2，3｝ （C ）｛1，3，4｝ （D ）｛1，2，3，5｝（2）2211lim 21x x x x →-=--（A ）12 （B ）23（C ）0 （D ）2（3）不等式 |x |≤|x ＋2| 的解集是 （A ）｛x |x ≥－1｝ （B ）｛x |x ≤－1｝ （C ）{x |－1≤x ＜1} （D ）{x |x ≥1} （4）直线y ＝m 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则m 的值是（A ）1 （B ）3 （C ）1或3 （D ）2或4（5）在△ABC 中，“A ＝3π”是“sinA 2（A ）充分而不必要条件 （B ）充分且必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）在等差数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 28＋a 29＋a 30＝165，则此数列前30项和等于（A ）810 （B ）840 （C ）870 （D ）900 （7）椭圆2291x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作PF 1⊥x 轴，交椭圆于点P ，则|PF 2|＝（A ）173 （B ）53 （C ）13 （D ）83（8）39(x-的展开式中常数项是（A ）84 （B ）－84 （C ）36 （D ）－36（9）已知球的表面积为4π，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （A（B（C（D（10）函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （11）将4名医生分配到3间医院，每间医院至少1名医生，则不同的分配方案共有（A ）48种 （B ）12种 （C ）24种 （D ）36种（12）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是 （A ）圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）直线_ B _1_ A _1_ D _1 _ C _1 _ C _ B_ A _ D_ P _ M高三数学训练题第 Ⅱ 卷 （非选择题 共90分）注意事项：⒈ 第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． ⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上.（13）设复数12z =-+，则2z z += （14）某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15∶3∶2.为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n ＝：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______学号：_________封 线 内 答 题（15）设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则z ＝3x ＋y 的最大值是（16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本题满分12分）如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关J A 、J B 、J C ，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内开关J A 、J B 、J C 能够闭合的概率分别是45、35、25，计算：（Ⅰ）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率.（18）（本题满分12分）已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =.（Ⅰ）当a b ⊥时，求tan 2θ； （Ⅱ）求｜a b +｜的最大值.（19）（本题满分12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝12AA 1，点G 为CC 1上的点， 且114CG CC . （Ⅰ）求证：C D 1⊥平面ADG ；（Ⅱ）求二面角C －AG －D 的大小（结果用反余弦表示）：_________________班别：____________姓名：______________学号：______________ D（20）（本题满分12分）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，3(1)2n n S a =-（n ∈N *）（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）求1lim n n n SS →∞+．（21）（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，以双曲线22115y x -=的左准线为准线.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线:1(1)l y k x -=-（k ≠0）垂直平分抛物线C 的弦，求实数k 的取值范围._______班别：____________姓名：________ ______学号：_________不 要 在 密 封 线 内 答 题（22）（本题满分14分）f x a x（a∈R）设()ln（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）证明ln x<高三数学训练题参考答案一、DBACA BAADC DB 二、（13）－1 （14）40 （15）3 （16）①、②、④ 三、（17）解：（Ⅰ）记这段时间内开关J A 能够闭合为事件A ，开关J B 能够闭合为事件B ，开关J C 能够闭合为事件C ，则4()5P A =，3()5P B =，2()5P C = … … … … … 3分根据相互独立事件同时发生的概率公式，在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是43224()()()()555125P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=… … … … … 5分 答：在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率是24125… … … … 6分（Ⅱ）依题意在这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合. 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是1236()()()()[1()][1()][1()]555125P A B C P A P B P C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅=---=⨯⨯=… 9分 因此，这段时间内线路正常工作的概率是1191()125P A B C -⋅⋅= … … … …11分答：在这段时间内线路正常工作的概率是119125… … … … … 12分（18）解：（Ⅰ）3cos sin 0a b θθ⊥⇔+= … … … … … 2分tan 0tan θθ+=⇔= … … 4分∴22tan tan 21tan θθθ==- … … … … … 6分（Ⅱ）(cos ,sin ))(cos 1)a b θθθθ+=+=+ … … … … 7分 ｜a b +｜ … … 8分== … … … … … 9分2= … … 10分当0sin(60)1θ+=时，max ||53a b += … … 12分 （19）解法1（空间向量法）设AB ＝1，11,,2DA i DC j DD k ===，以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D －xyz … … … … … 1分则D （0,0,0），A （1,0,0），C （0,1,0），D 1（0,0,2），B （1,1,0），G （0,1,12）…… 2分（Ⅰ）∵DA ＝（1，0，0），DG ＝（0，1，12）， 1CD ＝（0，－1，2）∴DA ·1CD ＝0， 10DG CD ⋅= ∴1CD DA ⊥，1CD DG ⊥ … … … … 4分 由线面垂直判定定理知CD 1⊥平面ADG（Ⅱ）∵BD ＝（－1，－1,0），AG ＝（－1,1，12），CG ＝（0,0，12） ∴BD ·AG ＝0，BD ·CG ＝0 ∴BD ⊥AG ，BD ⊥CG∴BD ⊥平面CAG ，即BD 为平面CAG 的法向量… … … … 8分 又C D 1⊥平面ADG ，即1CD 为平面AGD 的法向量∴〈BD ，1CD 〉是二面角C －AG －D 的平面角 … … … … 9分 且cos 〈BD ，1CD〉11||||2BD CD BD CD ⋅===…… … 11分 故二面角C －AG －D 的大小为 … … … … 12分 解法2（综合推理法）（Ⅰ）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AD ⊥平面CDD 1，D 1C ⊂平面CDD 1 ∴CD 1⊥AD … … … … 1分在Rt △CDD 1与Rt △GCD 中，1112CD AB DD AA ==，11142CC GC CD AB ==∴1CD GC DD CD= ∴Rt △CDD 1∽Rt △GCD … … … … 3分 ∴∠CD 1D ＝∠GDC ，∠CDG ＋∠DCD 1＝900 ∴CD 1⊥DG … … … … 4分又AD ∩DG ＝D ，AD ⊂平面ADG ，DG ⊂平面ADG ， ∴CD 1⊥平面ADG … … … … 6分（Ⅱ）记DG ∩CD 1＝E ，在平面ACG 中，作CH ⊥AG ，交AG 于H ，连结HE . …7分 又CD ⊥平面ADG ，由三垂线定理的逆定理知，EH ⊥AG∴∠CHE 是二面角C －AG －D 的平面角 … … … 9分设CG ＝1，则CC 1＝4CG ＝4，AB ＝AD ＝12AA 1＝12CC 1＝2在Rt △GCD 中，CD CG CE DG ⋅===在Rt △ACG 中，AC CG CH AG ⋅=在Rt △CEH 中，EH∴cosEH CHE CH ∠==CHE ∠=为所求 … … … 12分 （20）解（Ⅰ）方法1．由113(1)2S a =-，得113(1)2a a =-，∴13a = … … … 1分当n ≥2时，1133(1)(1)22n n n n n a S S a a --=-=---13n n a a -= … … … … … … 4分 ∴数列｛a n ｝是首项为3，公比为3的等比数列 … … … … 6分 ∴a n ＝3n … … … … … … 8分方法2．由1113(1)2a S a ==-，得13a = … … … … … … 1分由21223(1)2S a a a =+=-，得29a = … … … … … … 2分猜想a n ＝3n（n ∈N ＊） … … … … … … 3分 用数学归纳法证明之（略） … … … … … … 8分（Ⅱ）∵a n ＝3n ，∴33(1)(31)22n n n S a =-=- … … … … … … 9分∴1111()311013lim lim lim1313313()3nnn n n n n nn S S +→∞→∞→∞+---====--- … … … … 12分 （21）解（Ⅰ）双曲线22115yx -=的左准线方程是14x =- … 2分故抛物线C 的方程为2y x = … 4分（Ⅱ）设抛物线C 被直线l 垂直平分的弦PQ 的方程为0x ky c ++= … 5分 2200y x y ky c x ky c ⎧=⇒++=⎨++=⎩ … … 6分 ∴△＝240k c -> … … ① … … 7分 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则2121212,()()2y y k x x ky c ky c k c +=-+=-+-+=-又PQ 中点G 22(,)22k c k--在直线1(1)y k x -=-上∴221(1)22k k c k ---=- 即 322k k c k -+=… … … … 9分 代入①得322(2)0k k k k-+-> … … … … 10分即 32240,(2)(22)0k k k k k k k-+<+-+<解之得 20k -<<. 故k 的取值范围是（－2,0）. … … … … 12分（22） 解（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞） … … … … 1分()af x x' （x ＞0） … … … … 3分①若0a ≤，则()a f x x'=-＞0对一切x ∈（0，＋∞）恒成立 … … 4分 ②若a ＞0，则当x ＞0时，()0af x x'>⇔> 2x ⇔>222440x a x a ⇔--> … … … … 5分∴ 222x a >+ … … … … 6分222()0440f x x a x a '<⇔--<∴ 2022x a <<+ … … … … 7分 综上所述，当0a ≤时，f (x )在（0，＋∞)内单调递增；当a ＞0时，f (x )在（0，222a +）内单调递减，在（222a +，＋∞)内单调递增. … … … 8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知g (x )＝ln x 在（0，2+）内单调递减，在（2+，＋∞)内单调递增. … … … 9分min ()(2ln(2g x g =+=+1ln(2=+ … … … 10分∴ln 1ln(2x ≥+. … … … 11分又 2+5＜2e ，∴ 21ln(21ln 10e +>=> … … … 13分∴ ln x > … … … 14分。
广东省广州市天河区普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题07
一轮复习数学模拟试题07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}5,4,3,2,1=A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==A x x y y B ,1212,则B A ⋂= A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {2,4} 2．若复数z 满足i i z +=⋅1，那么=zA 、i +1B 、i -1C 、i -2D 、i +2 3．“p ∨q 是假命题”是“⌝p 为真命题”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是31，乙解决这个问题的概率是41，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 A ．121 B ．21 C ．127 D ． 12115．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若4151183=++-a a a a ，则515S S -的值是A 、5B 、8C 、16D 、206．函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20)2sin(πϕϕx y 图象的一条对称轴在⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为A ．12π B. 6π C. 3πD. 65π 7. 设m 、n 是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α；B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α ；D ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β.8. 从抛物线y x 22=上任意一点M 向圆1)2(:22=-+y x C 作切线MT ，则切线长MT 的最小值为A 、21B 、1C 、2D 、3 9. 如图，目标函数y ax z +=的可行域为四边形OABC （含边界），若)74,32(是该目标函数y ax z +=的最优解，则实数a 的取值范围是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--149,712 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-149,712 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--149,712 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-149,71210．已知B A ,是椭圆长轴的两个端点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为21,k k ，且021≠k k 。
2018广东广州市第十八中学高三数学一轮复习专项检测试题 (4)
集合与常用逻辑用语、函数及不等式 0320.若函数 y A. a 1 【答案】 B1 1 在 2, 上单调递增，那么 a 的取值范围是（ x ax a 22）B. 4 a 1 2C. 1 a 1 2D. a 1 2a 1 1 2 2 【解析】若令 f ( x) x 2 ax a 只要 1 a 1 2 f ( ) f (2) 0 2 【规律解读】已知函数单调性求参数范围的问题，解法是根据单调性的概念得到恒成立的不等式，还要注意定义域的限制，并挖掘题目的隐含条件。
讨论函数的单调性时要注意:必须在定义 域内进行，即函数的单调区间是定义域的子集。
21.设 f x 是定义在 x R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x (0,1) ， f x log 1 1 x ，则函数2f x 在 (1, 2) 上() B．是增函数且 f x 0 D．是减函数且 f x 0A．是增函数且 f x 0 C．是减函数且 f x 0 【答案】D.【解析】已知 x (0,1) ， f x log 1 1 x 单调递增；因为函数 f x 是偶函数所以函数 f x 在2(1, 0) 上单调递减；又因为 f x 是以 2 为周期的函数，所以函数 f x 在 (1, 2) 上单调递减，选择 D.1 22.函数 f ( x ) log 2 x 的零点所在区间为（ ） x 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. (1, 2) D. (2,3) 2 2 【答案】C【解析】函数的定义域是 (0, ) ， y log2 x 是增函数， y 1 1 是减函数所以 f ( x ) log 2 x 为 x x1 1 其定义域上的增函数， f ( ) 3 0 ， f (1) 1 0 ， f (2) 0 ，所以 f (3) 0 ,由函数零点存 2 2在条件知零点所在区间为 (1, 2) .选择 C。
2018年广东卷高考真题文科数学试卷及答案 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = ( )()A {0} ()B {0,2} ()C {,}-20 ()D {,,}-2022．函数lg(1)1x y x +=-的定义域是( )()A (,)-1+∞ ()B [1,)-+∞()C (,)(,)-111+∞U ()D [1,1)(1,)-+∞3. 若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是( )()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 54. 已知51sin(),25πα+= 那么cos α= ( ) ()A 25- ()B 15- ()C 15()D 255. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值为( )()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 76. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积为( )()A 16 ()B 13 ()C 23()D 1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第1象限的直线方程是( )()A 0x y +=()B 10x y ++= ()C 10x y +-=+(i-1) 112 1 2 1 侧视图正视图俯视图图2()D 0x y +=8.设l 为直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )()A 若//,//,l l αβ则//.αβ ()B 若,,l l αβ⊥⊥则//.αβ ()C 若,//,⊥l l αβ则//.αβ ()D 若//,,⊥l ααβ则.⊥l β9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于12，则C 的方程是（ ）()A 22134+=x y ()B 2214=x ()C 22142+=x y ()D 22143+=x y 10.设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题：1) 给定向量b ，总存在向量c ，使得a b c =+； 2) 给定向量b 和c ，总存在实数,λμ，使得a b c λμ=+；3) 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+；4) 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使得a b c λμ=+。
2018最新试题资料-2018届高考数学一轮数列复习精选试题(广州市天河区含答案)
2018届高考数学一轮数列复习精选试题(广州市天河区含
答案)
5 c 数列02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤)
1．函数f(x)定义在[0,1]上,满足且f(1)=1,在每个区间=1,2,…)上, =f(x) 的图象都是平行于x轴的直线的一部分(Ⅰ)求f(0)及的值,并归纳出 )的表达式;
(Ⅱ)设直线轴及=f(x)的图象围成的矩形的面积为 , 求a1,a2及的值
【答案】(Ⅰ) 由f(0)=2f(0), 得f(0)=0
由及f(1)=1, 得
同理,
归纳得
(Ⅱ) 当时,
所以是首项为 ,比为的等比数列
所以
2．已知等差数列满足；又数列满足+…+ ，其中是首项为1，比为的等比数列的前项和。
(I）求的表达式；
(Ⅱ）若，试问数列中是否存在整数，使得对任意的正整数都有成立？并证明你的结论。
广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题
DCBA 2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题18（满分150分，考试时间 120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21ii-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】B 【.解析】22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i +==+=-+--+，所以虚部为1，选B. （2） “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【.解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则有=14aa -⨯-，即24a =，所以2a =±。
所以“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的充分不必要条件，选A.（3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为A ．7B ．8C ．9D ．16【答案】B【.解析】因为点1,)2n n a a y x +=（在直线上，生意12n n a a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列，所以334128a a q ===，选B.（4）如图，在,2.=ABC BD DC AB ,AC ,AD ∆==中若则a =b【答案】C 【.解析】因为2BD DC=，所以23B DB C =。
因为2212()3333AD AB BD a BC a b a a b =+=+=+-=+，选C. （5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 【答案】A【.解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥 其中ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ， AB=AD=2，BC=4，即PA ⊥平面ABCD ，PA=2。
2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)答案(可编辑修改word版)
数学（理科）试题 A 第 1 页 共 11 页( )2018 届广州市高三年级调研测试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBBAADDBACC二．填空题13．1014．415．416．11π三、解答题17．（1）解法 1：由已知，得 a cos B + b cos A = 2c cos A ．由正弦定理，得sin A c os B + sin B cos A = 2 sin C cos A ，… ........................................................... 1 分 即sin( A + B ) = 2 s in C cos A ．… ........................................................................................................... 2 分因为sin( A + B ) = sin(- C ) = sin C ， ..................................................................................................... 3 分所以sin C = 2 s in C cos A ．... .. (4)分因为sin C ≠ 0 ，所以cos A =π1． .......................................................................................................... 5 分2因为0 < A < π ，所以 A = ．… .......................................................................................................... 6 分 3a 2 + c 2 -b 2解法 2：由已知根据余弦定理，得 a ⨯= 2c - b ⨯ 2acb 2 +c 2 - a 2 2bc．… ........................... 1 分 即b 2 + c 2 - a 2 = bc ． .............................................................................................................................. 3 分 b 2 + c 2 - a 21 所以cos A = = 2bc ． .............................................................................................................. 5 分2数学（理科）试题 A 第 2 页 共 11 页⎪ 因为0 < A < π ， 所以 A = π ．… .......................................................................................................... 6 分3（2）解法 1：由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得bc + 4 = b 2 + c 2 ，… .............................................................................................................................. 7 分即(b + c )2 = 3bc + 4 ． ............................................................................................................................... 8 分⎛ b + c ⎫2因为bc ≤ ，… .............................................................................................................................. 9 分2 ⎝ ⎭ 所以(b + c )2 ≤3 (b + c )2 +4 ． 4 即b + c ≤ 4 （当且仅当b = c = 2时等号成立）．... .. (11)分所以 a + b + c ≤ 6 ．故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分 解法 2：因为a =b =c= 2R ，且 a = 2 ， A = π，sin A sin B sin C 3所以b =sin B ，c = 3sin C ．… ............................................................................................... 8 分 34 34 3 ⎡ ⎛ 2π ⎫⎤所以 a + b + c = 2 + (sin B + sin C ) = 2 +3 3 ⎢sin B + sin 3 - B ⎪⎥ ............................. 9 分 ⎣⎝ ⎭⎦= 2 + 4 s in ⎛B + π ⎫ ．…................................................................................................... 10 分6 ⎪ ⎝ ⎭2π π因为0 < B < ，所以当 B = 3 时， a + b + c 取得最大值6 ． 3故△ ABC 周长 a + b + c 的最大值为6 ．… ........................................................................................... 12 分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设 PC 中点为 F ，P连接OF ， EF ．因为O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， FE所以OF PA ，且OF = 1PA ，2A因为 DE P A ，且DE = 1 PA ， O2BC所以OF D E ，且OF = DE ． ............................................................................................................ 1 分4 3 4 3 D数学（理科）试题 A 第 3 页 共 11 页2 3 2 2 ⋅ 2所以四边形OFED 为平行四边形，所以ODE F ，即 BD E F ． ................................................... 2 分 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥BD ． 因为 ABCD 是菱形，所以 BD ⊥ AC ．因为 PA AC = A ，所以 BD ⊥ 平面 PAC ． ....................................................................................... 4 分 因为 BD E F ，所以 EF ⊥ 平面PAC ． ................................................................................................. 5 分 因为 FE ⊂ 平面 PCE ，所以平面 PAC ⊥ 平面 PCE ． ......................................................................... 6 分 （2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45o，所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ． ............................................................................................... 7 分 所以 AC = AB ，故△ ABC 为等边三角形． 设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM ⊥ BC ．以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x ，y ，z 轴，建立空间直 角坐标系 A - xyz （如图）．则 P (0,0，2) ， C( 3,1，0)， E (0,2，1)， D (0,2，0)，PC = ( 3,1，- 2)， CE = (- 3,1，1)， DE = (0,0，1)．…………………………9 分设平面 PCE 的法向量为 n = {x 1, y 1, z 1}，⎧n = 0, ⎧ 3x + y - 2z = 0, ⎪ P C ⎪ 1 1 1 则⎨n 即⎨ ⎩⎪ CE = 0, ⎪⎩- 3x 1 + y 1 + z 1 = 0.令 y = 1, 则⎧⎪x 1 = 3,所以 n = ( 3,1, 2)．… ...................................................................................... 10 分1⎨ ⎩ z 1 = 2.设平面CDE 的法向量为 m = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，⎧⎪m ⋅ = 0, ⎧⎪z 2 = 0,⎧⎪ y = 3,DE 则⎨ 即⎨令 x = 1, 则⎨ 2 所以m = (1, 3, 0)．… .......... 11 分 m ⋅= 0, ⎪- 3x + y + z = 0. 2 ⎪ z = 0. ⎩⎪ CE⎩ 2 2 2 ⎩ 2设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，所以cos= - cos n , m = -= - = - 6 ．4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ．… ................................................................................... 12 分4解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为45 ，且 PA ⊥ 平面 ABCD ，z PEADy BMCxn ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A第 4 页 共 11 页3 2 ⋅ 2⎨ A⎪m ⋅ 5所以∠PCA = 45 ，所以 AC = PA = 2 ．… ........................................................................................... 7 分 因为 AB = BC = 2 ，所以∆ABC 为等边三角形． 因为 PA ⊥ 平面 ABCD ，由（1）知 PA //OF ， 所以OF ⊥ 平面 ABCD ．因为OB ⊂ 平面 ABCD ， OC ⊂ 平面 ABCD ，所以OF ⊥ OB 且OF ⊥OC ． 在菱形 ABCD 中， OB ⊥ OC ．以点O 为原点， OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系O - xyz （如图）．则O (0, 0, 0), P (0, -1, 2), C (0,1, 0), D (- 3, 0, 0), E (- 3, 0,1) ，则 CP = (0, -2, 2), CE = (- 3, -1,1), CD = (- 3, -1, 0) ． (9)分设平面 PCE 的法向量为 n = (x 1 , y 1 , z 1 ) ，⎧⎪n ⋅ CP = 0, ⎧⎪-2 y 1 + 2z 1 = 0, z 则⎨n ⋅ = 0, 即⎨- 3x - y + z P= 0.⎩⎪ CE⎩⎪ 1 1 1 令 y = 1 ，则⎧ y 1 = 1,，则法向量 n = (0,1,1) ．……………10 分E1 ⎨z = 1. ⎩ 1设平面CDE 的法向量为 m = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，DO⎧⎪m ⋅ C E = 0, 则⎨ ⎩ CD = 0, ⎧⎪- 即⎨⎪⎩- 3x 2 - y 2 + z 2 = 0, 3x 2 - y 2 = 0.xBCy令 x 2= 1，则⎧⎪ y 2 = - ⎪⎩z 2 = 0.3,则法向量 m = (1, - 3, 0)．… ................................................................. 11 分设二面角 P - CE - D 的大小为，由于为钝角，则cos= - cosn , m = -= - = - 6 ． 4所以二面角 P - CE - D 的余弦值为-6 ． ................................................................................... 12 分419．解：（1）由已知数据可得 x =2 + 4 + 5 + 6 + 8= 5, y =3 +4 + 4 + 4 + 5= 4 ．… ............................1 分 55因为∑( xi- x )( y i - y ) = (-3) ⨯ (-1) + 0 + 0 + 0 + 3 ⨯1 = 6 ..................................................... 2 分i =1n ⋅ m n ⋅ m数学（理科）试题 A 第 5 页 共 11 页∑ i =1 5(x - x )2i(-1)2 + 02 + 02 + 02 + 122 ∑ i =1n n( x - x ) 2∑ i =1( y - y )2ii2 5 ⋅ 2 910= (-3)2 + (-1)2 + 02 +12 + 322………………………………………………3 分= ．… ....................................................................... 4 分∑( x i- x )( y i- y )6所以相关系数 r =i =1= =≈ 0.95 ．….................... 5 分因为 r > 0.75 ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． ................................................................. 6 分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪．①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元．… ............................................................................... 7 分 ②安装 2 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =3000-1000=2000 元，当 30<X ≤70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y =2×3000=6000 元， 故Y 的分布列为所以 EY = 2000 ⨯ 0.2 + 6000 ⨯ 0.8 = 5200 元． (9)分③安装 3 台光照控制仪的情形：当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =1×3000-2×1000=1000 元， 当 50≤X ≤70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y =2×3000-1×1000=5000 元， 当 30<X ≤70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y =3×3000=9000 元， 故Y 的分布列为Y 1000 5000 9000 P0．20．70．1所以 EY = 1000 ⨯ 0.2 + 5000 ⨯ 0.7 + 9000 ⨯ 0.1 = 4600 元． (11)分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪．… ................................... 12 分5 ∑ i =15( y - y )2inY 2000 6000 P0．20．8数学（理科）试题 A 第 6 页 共 11 页+= ⎝ 1 1 ⎝⎭ 2 ⎪20．解：（1）因为椭圆C 的离心率为 1 ，所以 c = 1，即a = 2c ．… ................................................... 1 分2a 23y 2x 2又 a 2= b 2+c 2，得b 2=3c 2，即b 2= a 2，所以椭圆C 的方程为 4 a 2 + 3 = 1 ． a 2 4⎛ 2 6 ⎫ 2把点 1, 3 ⎪ 代人C 中，解得 a = 4 ．… ........................................................................................... 2 分⎝ ⎭2 所以椭圆C 的方程为y x 1 ．… ...................................................................................................3 分 43（2）解法 1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ．… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4，… ........................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k -6k 2 + 8 ⎫所以 B 3k 2 + , 4 3k 2+ 4 ⎪ ..................................................................................................... 6 分 ⎭因为 MO = MA ，所以 M 在线段OA 的中垂线上，所以 y = 1，因为 y = kx+ 2 ，所以 x = - 1 ，即 M ⎛ - 1 ,1⎫．… ........................................... 7 分M M M Mkk ⎪ ⎝ ⎭设 H (x H, 0) ，又直线 HM 垂直l ，所以 k MH = - ，即k 1 - 1 - x kH = - ．… ................................... 8 分 k所以 x= k - 1 ，即 H ⎛ k - 1 , 0 ⎫．… ................................................................................................... 9 分Hkk ⎪ ⎝ ⎭⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫⎛ 1 ⎫又 F 1 (0,1) ，所以 F 1B = 3k 2 +, 2⎪ ， F 1H = k - , -1⎪ ． ⎝4 3k + 4 ⎭ ⎝ k ⎭-12k ⋅⎛1 ⎫ 4 - 9k2 因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 k - k ⎪ -3k 2 + 4= 0 ，… ....................................................... 10 分数学（理科）试题 A 第 7 页 共 11 页2 632 63⎝ ⎭⎪ ( 2)⎪解得 k 2 = 8．…....................................................................................................................................... 11 分3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分解法 2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程 y = kx +2 ，⎧ y = kx + 2, 由 2 2得(3k 2 + 4) x 2 +12kx = 0 ，… ................................................................................... 4 分 ⎨ x + y= 1, ⎪⎩ 3 4设 A ( x A , y A ) ， B ( x B , y B ) ，则有 x A = 0 ， x B = -12k 3k 2 + 4．… .......................................................... 5 分所以 y B =-6k 2 + 8 ．3k 2+ 4⎛ -12k 4 - 9k 2 ⎫所以 F 1B = 3k 2 + , 4 3k 2 + 4 ⎪ ， F 1H = ( x H , -1) ．… ....................................................................... 6 分-12k 4 - 9k 2 9k 2 - 4因为 F 1B ⋅ F 1H = 0 ，所以 3k 2 + 4 ⋅ x H - 3k 2 + 4 = 0 ，解得 x H = 12k．… ............................... 7 分2 2 22 因为 MO = MA ，所以 x M + y M = x M + ( y M - 2) 1 ⎛ 9k 2 - 4 ⎫，解得 y M = 1．… ......................................... 8 分所以直线 MH 的方程为 y = - k x - 12k ⎪ ． (9)分⎧ y = kx + 2,⎪⎝ ⎭9k 2 + 20 联立⎨ y = - 1 ⎛ x - 9k 2 - 4 ⎫ ⎪ , 解得 y M = 12 (1+ k 2 ) ．… .............................................................. 10 分 ⎩k ⎝ 9k 2 + 20 12k ⎭ 2 8由 y M = = 1 ，解得 k = ．… .......................................................................................... 11 分 12 1+ k 3所以直线l 的方程为 y = ±x + 2 ．… ........................................................................................... 12 分21．解：（1）函数 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ．数学（理科）试题 A 第 8 页 共 11 页a- a2 - a 2 - a 2 1 1 a = ⎧ ⎛ 1 ⎫ ⎫ e e ⎭⎝ ⎭ 当b = 2 时， f ( x ) = a ln x + x 2 ，所以 f '( x ) = a + 2x = 2x 2+ a ．… ........................................... 1 分xx① 当 a > 0 时， f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在(0, +∞) 上单调递增，… ............................................... 2 分- 1⎛ - 1 ⎫⎛ - 1 ⎫2取 x 0 = e a， 则 f e a ⎪ = -1 + e a ⎪ < 0 ，… ................................................................................... 3 分⎝ ⎭ ⎝ ⎭（或：因为0 < x <且 x < 时，所以 f ( x ) = a ln x + x 2 < a ln x + a < a ln + a = 0 ．）e0 0 0 0e因为 f (1) = 1，所以 f ( x 0 ) f (1) < 0 ，此时函数 f ( x ) 有一个零点．… .......................................... 4 分②当 a < 0 时，令 f '( x ) = 0 ，解得 x =当0 < x 时， f '( x ) < 0 ，所以 f ( x ) 在⎛ 上单调递减；当 x f '( x ) > 0 ，所以 f ( x ) 在⎝ a ⎫ - , +∞ 上单调递增．2 ⎪ ⎭要使函数 f ( x ) 有一个零点，则 f= a l n - = 0 即 a = -2e ．… ............................... 5 分 2 综上所述，若函数 f ( x ) 恰有一个零点，则 a = -2e 或a > 0 ．… ....................................................... 6 分（2）因为对任意 x , x ∈⎡1 , e ⎤，有 f ( x ) - f ( x) ≤ e - 2 成立，1 2⎢⎣ e ⎥⎦1 2 因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) ≤ ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ，所以 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max - ⎡⎣ f ( x )⎤⎦min ≤ e - 2 ．… .............................................................................................. 7 分 因为 a + b = 0 ，则 a = -b ． 所以 f ( x ) = -b ln x + x b，所以 f '( x ) =-b + bx b -1 = b (x b -1) ．x x当0 < x < 1时， f '( x ) < 0 ，当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ， 所以函数 f ( x ) 在⎡1 ,1⎫上单调递减，在(1, e ]上单调递增， ⎡ f (x )⎤= f (1) = 1，… ................. 8 分⎢⎣ e ⎪⎣ ⎦min因为 f ⎛ 1 ⎫ = b + e -b与 f (e ) = -b + e b ，所以⎡ f ( x )⎤max f , f (e ) ．… ............... 9 分⎪ ⎣ ⎦max ⎨ ⎪ ⎬ ⎩ ⎝ ⎭ ⎭- a 2 - a 2 - a2数学（理科）试题 A 第 9 页 共 11 页222 e ⎪e ⎪ ⎩ 设 g (b ) =f (e ) - f ⎛ 1 ⎫ = e b - e -b- 2b (b > 0) ， ⎝ ⎭则 g '(b ) = e b + e -b - 2 > 2 - 2 = 0 ．所以 g (b ) 在(0, +∞) 上单调递增，故 g (b ) > g (0) = 0 ，所以 f (e ) > f ⎛ 1 ⎫ ．⎝ ⎭从而 ⎡⎣ f ( x )⎤⎦max = 分f (e )= -b + e b ． ............................................................................................................. 10 所以-b + e b -1 ≤ e - 2 即e b - b - e +1 ≤ 0 ， 设(b ) =e b - b - e +1 (b > 0) ，则'(b ) =e b -1．当b > 0 时，'(b ) > 0 ，所以(b ) 在(0, +∞) 上单调递增．又(1) = 0 ，所以e b - b - e +1 ≤ 0 ，即为(b ) ≤(1) ，解得b ≤ 1 ． ............................................... 11 分因为b > 0 ，所以b 的取值范围为(0,1] ．............................................................................................... 12 分22．解：（1）因为曲线C 的参数方程为⎧ x = cos（为参数），1⎧ x ' = 2x⎨y = 2 sin⎧ x ' = 2 cos 因为⎨ y ' = y . ，则曲线C 2 的参数方程⎨ y ' = 2 s in . ． ........................................................................ 2 分⎩ ⎩所以C 2 的普通方程为 x '2 + y '2 = 4 ． ...................................................................................................... 3 分所以C 2 为圆心在原点，半径为 2 的圆． ................................................................................................... 4 分所以C 2 的极坐标方程为2= 4 ，即= 2 ． ........................................................................................ 5 分（2）解法 1：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ． ....................................................................................... 6 分|2cos- 2sin - 10||2 2cos(π- 10|曲线C 2 + ) 上的点M 到直线l 的距离d = =4 ． ................ 8 分当cos⎛+ π ⎫ =1即=2k π - π (k ∈ Z ) 时， d 取到最小值为|2 - 10| =5 - 2 ． ...................9 分4 ⎪ 4⎝ ⎭当cos ⎛+ π ⎫ = -1即= 3π + 2k π(k ∈ Z ) 时， d 取到最大值为|2 2 +10| =2 + 5．………10 分4 ⎪ 4 2 ⎝ ⎭解法 2：直线l 的普通方程为 x - y - 10 = 0 ．....................................................................................... 6 分2 e b ⋅ e -b2 2数学（理科）试题 A 第 10 页 共 11 页2 2 2 2 ⎨ ⎩⎨⎨ ⎩⎨a - 3 ≥ 1，因为圆C 2 的半径为 2，且圆心到直线l 的距离 d == 5 ，… ................................... 7 分因为5 > 2 ，所以圆C 2 与直线l 相离．… ........................................................................................... 8 分所以圆C 2 上的点 M 到直线l 的距离最大值为 d + r = 5 + 2 ，最小值为 d - r = 5 - 2 ．…10 分23．解：（1）当 a = 1 时， f (x ) =| x +1| ． ................................................................................................... 1 分①当 x ≤ -1时，原不等式可化为-x -1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1． ................................................. 2 分 ②当-1 < x < - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ -2x - 2 ，解得 x ≤ -1，此时原不等式无解．……3 分2③当 x ≥ - 1时，原不等式可化为 x +1 ≤ 2x ，解得 x ≥ 1． .......................................................... 4 分2 综上可知，原不等式的解集为{x x ≤ -1 或 x ≥ 1} ． .......................................................................... 5 分⎧3 - a , （2）解法 1：①当 a ≤ 3 时， g (x ) = ⎪-2x - a - 3, ⎪a - 3, 所以函数 g ( x ) 的值域 A = [a - 3, 3 - a ] ，x ≤ -3, - 3 < x < -a , x ≥ -a .……………………………………6 分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧a - 3 ≤ -2解得 a ≤ 1 ． ................................................................................... 7 分⎩3 - a ≥ 1，⎧3 - a , ②当 a > 3 时， g ( x ) = ⎪2x + a + 3, ⎪a - 3, x ≤ -a , - a < x < -3, x ≥ -3.…………………………………………………8 分所以函数 g ( x ) 的值域 A = [3 - a , a - 3] ， 因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧3 - a ≤ -2解得 a ≥ 5 ． ................................................................................... 9 分⎩综上可知， a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． .................................................................................. 10 分解法 2：因为| x +a | - | x +3 | ≤ ( x +a ) - (x +3) = a - 3 ， ................................................................... 7 分所以 g (x ) = f (x )- | x +3 |=| x +a | - | x +3 |∈[- | a - 3 |,| a - 3 |] ． | 0 - 0 - 10 |2数学（理科）试题 A 第 11 页 共 11 页 ⎨ 所以函数 g (x ) 的值域 A = [- | a - 3 |,| a - 3 |]． (8)分因为[-2,1] ⊆ A ，所以⎧- | a - 3 |≤ -2 解得 a ≤ 1 或 a ≥ 5 ． ⎩| a - 3 |≥ 1，所以a 的取值范围是(-∞,1] [5, +∞) ． ............................................................................................. 10 分。
2018广东广州市高三数学复习专项检测试题：10含解析
三角函数、解三角形及平面向量0437.在△ABC 中，若3sin 4cos 6A B +=，4sin 3cos 1B A +=，则角C 为A.030B. 030或0150C.0150D. 06038.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，已知b=5c ，cosA=，则sinB=（ ）D，sinB 39.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2+b 2=3c 2，则cosC 最小值为 ．40.已知ABC ∆中，，BC=1，sin C C =，则ABC ∆的面积为______．41.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA=（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC ．则A 的大小是 ．42.设△ABC 的内角A 、B,C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足acosB －bcosA ＝35c ，则tan tanA B的值是＿＿＿＿ 【答案】4【解析】333cos cos sin cos -sin cos =sin =sin(+)5553tan =sin cos +sin cos 2sin cos =8sin cos =4.5tan a B b A c A B B A C A B A A B B A A B B A B-=⇒⇒⇒（） 43.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，即sin()2sin cos B C B C +=，所以sin()2sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +==+，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。
广东省广州市2018届高考数学二模试卷(文科)
2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣35．函数f（x）=ln（|x|﹣1）+x的大致图象是（）A．B．C．D．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．10．数列{a n}满足a2=2，a n+（﹣1）n+1a n=1+（﹣1）n（n∈N*），S n为数列{a n}+2前n项和，S100=（）A．5100 B．2550 C．2500 D．245011．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16二、填空题已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．18．（12分）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．19．（12分）如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，．（Ⅰ）求证：EF ⊥AC ；（Ⅱ）求三棱锥E ﹣FAC 的体积．20．（12分）已知定点F （0，1），定直线l ：y=﹣1，动圆M 过点F ，且与直线l 相切．（Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线l 1，l 2，两条切线相交于点P ，求△PAB 外接圆面积的最小值． 21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）+4x 存在极小值点x 0，且，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B 两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}，则A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{0，3}C．{﹣1，0，3}D．{﹣1，0，3，5}【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3，4，5}，B={b|b=n2﹣1，n∈Z}={﹣1，0，3，8，15，…，}，∴A∩B={﹣1，0，3}．故选：C．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2．若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则z=（）A．4+6i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：（3﹣4i+z）i=2+i，则3﹣4i+z===﹣2i+1．∴z=﹣2+2i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），命题q：，，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（¬p）∨q D．（¬p）∧（¬q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用不等式的解法化简命题p，q，再利用复合命题的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∵△=a2﹣4a2=﹣3a2≤0，因此∀x∈R，x2+ax+a2≥0（a∈R），是真命题．命题q：由2x2﹣1≤0，解得≤x，因此不存在x0∈N*，使得，是假命题．则下列命题中为真命题的是p∨q．故选：B．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3， s=﹣1．i=4， s=3，i=5， s=﹣2，i=6， s=4，i=7＞6， 结束循环，输出s=4， 故选：A ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．函数f （x ）=ln （|x |﹣1）+x 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】3O ：函数的图象．【分析】化简f （x ），利用导数判断f （x ）的单调性即可得出正确答案． 【解答】解：f （x ）的定义域为{x |x ＜﹣1或x ＞1}．f （x ）=，∴f′（x ）=，∴当x ＞1时，f′（x ）＞0，当x ＜﹣2时，f′（x ）＞0，当﹣2＜x ＜﹣1时，f′（x ）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．故选A．【点评】本题考查了函数图象的判断，函数单调性的判断，属于中档题．6．在区间[﹣1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若方程x2﹣2ax+4a﹣3=0有两个正根，则满足，即，得＜a≤1或a≥3，∵﹣1≤a≤5则对应的概率P=+=+=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a 的取值范围是解决本题的关键．7．已知三条直线2x﹣3y+1=0，4x+3y+5=0，mx﹣y﹣1=0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．{﹣， } B．{，﹣ } C．{﹣，， } D．{﹣，﹣， }【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】三条直线若两两相交围成一个三角形，则斜率必不相同；否则，只要有两条直线平行，或三点共线时不能构成三角形．【解答】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）l1∥l3，此时m=；l2∥l3，此时m=﹣；（2）三点共线时也不能围成一个三角形2x﹣3y+1=0与4x+3y+5=0交点是（﹣1，﹣）代入mx﹣y﹣1=0，则m=．故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，当斜率相等且截距不相等时两直线平行．属于基础题．8．已知两点A（﹣1，1），B（3，5），点C在曲线y=2x2上运动，则的最小值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设C（x，2x2），得出关于x的函数，根据函数性质求出最小值．【解答】解：设C（x，2x2），则=（4，4），=（x+1，2x2﹣1），∴=4（x+1）+4（2x2﹣1）=8x2+4x=8（x+）2﹣．∴当x=﹣时取得最小值﹣．故选D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，函数最值得计算，属于中档题．9．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】LA ：平行投影及平行投影作图法．【分析】由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，取AA 1的中点N ，可知截面为等腰梯形，利用题中数据可求．【解答】解：取AA 1的中点N ，连接MN ，NB ，MC 1，BC 1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN=BC 1=，MC 1=BN ，=，∴梯形的高为，∴梯形的面积为（）×=，故选C ．【点评】本题的考点是棱柱的结构特征，主要考查几何体的截面问题，关键利用正方体图形特征，从而确定截面为梯形．10．数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），S n 为数列{a n }前n 项和，S 100=（ ） A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450【考点】8H ：数列递推式．【分析】数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．通过分组求和，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{a n }满足a 2=2，a n +2+（﹣1）n +1a n =1+（﹣1）n （n ∈N *），n=2k （k ∈N *）时，a 2k +2﹣a 2k =2，因此数列{a 2k }为等差数列，首项为2，公差为2．n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k +1+a 2k ﹣1=0．∴S 100=（a 1+a 3+…+a 97+a 99）+（a 2+a 4+…+a 100）=0+2×50+=2550．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据区间[0，1]上，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知三棱锥倒立放置，从而得出棱锥的高，根据俯视图找出三棱锥的底面，得出底面积，从而可求出棱锥的体积．【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面水平放置，故三棱锥的高为h=4，∵主视图为直角三角形，∴棱锥的一个侧面与底面垂直，=4，结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，∴S底=∴V==．故选：B．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，根据三视图的特征找出棱锥的底面是关键，属于中档题．二、填空题（2018•广州二模）已知双曲线（a＞0）的离心率为2，则a的值为．【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】求得双曲线的b2=2，由c=和e=，解关于a的方程，即可得到所求值．【解答】解：由双曲线（a＞0）得到b2=2，则c=，所以=2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用离心率公式和基本量a，b，c 的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1=2，，可得+=4，化简解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=2，，∴+=4，化为：q4﹣4q2+4=0，解得q2=2，q＞0，解得q=．则数列{a n}的通项公式a n==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有23个．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．16．已知函数，若f（3a﹣1）≥8f（a），则实数a的取值范围为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性即可．【解答】解：∵，∴f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3a﹣1）≥8f（a），等价为f（|3a﹣1|）≥f（2|a|），∴|3a﹣1|≥2|a|，解得a∈．故答案为．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2018•广州二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC=a．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若BC边上的高等于，求cosA的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求和三角形的三角的关系，以及两角和的正弦公式sinB=cosB，即可求出B，（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，运勾股定理和余弦定理，即可求得cosB，再由正弦定理，即可求出【解答】解：（Ⅰ）因为bcosC+bsinC=a，由正弦定理得，sinBcosC+sinBsinC=sinA．因为A+B+C=π，所以sinBcosC+sinBsinC=sin（B+C）．即sinBcosC+sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．因为sinC≠0，所以sinB=cosB．因为cosB≠0，所以tanB=1．因为B∈（0，π），所以．（Ⅱ）设BC边上的高线为AD，则．因为，则，．所以=，．由余弦定理得=．所以cosA=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2018•广州二模）某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．【解答】解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为=164．所以估计这50名学生身高的方差为s2==80．所以估计这50名学生身高的方差为80．（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．其中至少抽到1名女生的情况有：{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．所以至少抽到1名女生的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2018•广州二模）如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接BD，推导出AC⊥BD，AC⊥FD，从而AC⊥平面BDF．推导出EB∥FD，从而B，D，F，E四点共面，由此能证明EF⊥AC．（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO，由V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO，能求出三棱锥E﹣FAC的体积．【解答】证明：：（Ⅰ）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥FD．因为BD∩FD=D，所以AC⊥平面BDF．因为EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，所以EB∥FD．所以B，D，F，E四点共面．因为EF⊂平面BDFE，所以EF⊥AC．解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接EO，FO．由（Ⅰ）知，AC⊥平面BDFE，所以AC⊥平面FEO．因为平面FEO将三棱锥E﹣FAC分为两个三棱锥A﹣FEO和C﹣FEO，所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO．因为正方形ABCD的边长为a，，所以，．取BE的中点G，连接DG，则FE=DG=．所以等腰三角形FEO的面积为=．所以V E﹣FAC =V A﹣FEO+V C﹣FEO====．所以三棱锥E﹣FAC的体积为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2018•广州二模）已知定点F（0，1），定直线l：y=﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，即可求动圆M的圆心轨迹C的方程；（Ⅱ）证明△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．得到当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【解答】解：（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意|MF|=d．设M（x，y），则有=|y+1|．化简得x2=4y．所以点M的轨迹C的方程为x2=4y．（Ⅱ）设l AB：y=kx+1，代入x2=4y中，得x2﹣4kx﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．所以．因为C：x2=4y，即，所以．所以直线l1的斜率为，直线l2的斜率为．因为，所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是直径．因为|AB|=4（k2+1），所以当k=0时线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2018•广州二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+4x存在极小值点x0，且，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）计算f′（x），讨论a判断f′（x）的符号得出f（x）的单调区间；（II）由导数和二次函数的性质得g′（x）=0在（0，+∞）上有两解列不等式组得出a的范围，根据得出a的范围，再取交集即可．【解答】解：（Ⅰ）因为函数，所以其定义域为（0，+∞）．所以=．当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，f'（x）=．当时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间上单调递减．当时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间上单调递增．综上可知，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅱ）因为g（x）=f（x）+4x=，所以=（x＞0）．因为函数g（x）存在极小值点，所以g'（x）在（0，+∞）上存在两个零点x1，x2，且0＜x1＜x2．即方程x2﹣4x﹣a=0的两个根为x1，x2，且0＜x1＜x2，所以，解得﹣4＜a＜0．则=．当0＜x＜x1或x＞x2时，g'（x）＜0，当x1＜x＜x2时，g'（x）＞0，所以函数g（x）的单调递减区间为（0，x1）与（x2，+∞），单调递增区间为（x1，x2）．所以x=x1为函数g（x）的极小值点x0．由，得．由于等价于．由，得，所以alnx0+a＞0．因为﹣4＜a＜0，所以有lnx0+1＜0，即．因为，所以．解得．所以实数a的取值范围为．【点评】本题考查了导数与函数单调性、极值的关系，函数最值得计算，属于中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2018•广州二模）在平面直角坐标系xOy中．已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l 与曲线C交于A，B两点．（1）求线段AB的长（2）已知点P在曲线C上运动．当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB 的最大面积．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；QL：椭圆的参数方程．【分析】（1）根据题意，将曲线C的参数方程变形为普通方程，将直线x﹣y ﹣2=0代入其中，可得x2﹣3x=0，解可得x的值，由弦长公式计算可得答案；（2）分析可得要使△PAB的面积最大，则必须使P到直线直线l的距离最大，设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），由点到直线l的距离公式可得d=，由余弦函数的性质分析可得当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，代入点的坐标（2cosθ，2sinθ）中可得P的坐标，进而计算可得△PAB的最大面积，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，曲线C的参数方程为，则其普通方程为： +=1，将直线x﹣y﹣2=0代入+=1可得：x2﹣3x=0，解可得x=0或3，故|AB|=|x1﹣x2|=3；（2）要求在椭圆+=1上求一点P，使△PAB的面积最大，则P到直线直线l的距离最大；设P的坐标为（2cosθ，2sinθ），其中θ∈[0，2π），则P到直线l的距离d==，又由θ∈[0，2π），则≤θ+＜，所以当θ+=π，即θ=时，d取得最大值，且d max=3，此时P（﹣3，1），△PAB的最大面积S=×|AB|×d=9．【点评】本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的参数方程，关键是正确将参数方程化为普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•广州二模）（I）已知a+b+c=1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R6：不等式的证明．【分析】（I）利用柯西不等式，即可证明；（Ⅱ）分：①a=、②a＞、③a＜三种情况，分别化简不等式，根据函数y=|2x ﹣1|+|x﹣a|的最小值大于或等于2，求得a的范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c=1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a=时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|=，此时，根据函数y=|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2018年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．1210．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．312．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是．（填写所有正确结论的编号）16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N＝{﹣1，2}，∴集合M∩N中元素的个数为2．故选：B．2．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2，∴2a＝2，即a＝1．故选：C．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．【解答】解：当x≤1时，由y＝2x＝得：x＝log23﹣1，当x＞1时，由y＝2﹣log2x＝得：x＝，综上可得：若输出y＝，则输入x的值为log23﹣1或，故选：A．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得，，故选：B．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大【解答】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵判别式△＝1﹣4（﹣1）＝5＞0，∴∀x∈R，x2+x﹣1＞0不成立，即命题p 是假命题，当x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，即命题q：∃x∈R，2x＞3x，是真命题，则（￢p）∨q是真命题，其余为假命题，故选：C．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，可知A（﹣1，4），化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣7．B（1，0），由图可知，当直线y＝3x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3．∴z＝3x﹣y的取值范围是[﹣7，3]．故选：D．8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝2，再根据五点法作图可得2×+φ＝0，求得φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：设{a n}是公差d不为零的等差数列，∵＝，S7＝﹣21，∴+＝+，7a1+d＝﹣21，∴2a1+9d＝0，a1+3d＝﹣3，解得a1＝﹣9，d＝2．则a10＝﹣9+2×9＝9．故选：B．10．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π【解答】解：由三视图可知长方体的棱长为2，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为1，∴长方体的表面积为（2×2+2×1+2×1）×2＝16，半圆柱的侧面积为π×1×1+2×1＝π+2，∴几何体的表面积为16+π+2＝18+π．故选：A．11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵y＝x3﹣x是奇函数，故y＝x3﹣x的图象关于原点对称，∴y＝x3﹣x+1的函数图象关于点（0，1）对称，∵直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，∴A为函数的对称点，即A（0，1），且B，C两点关于点A（0，1）对称，∴x1+x2+x3＝0，y1+y2+y3＝3．于是（x i+y i）＝3．故选：D．12．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵V P﹣ABC＝S△ABC•P A＝＝，∴AB•BC＝6，∵P A⊥平面ABC，P A＝2，∴O到平面ABC的距离为d＝P A＝1，设△ABC的外接圆半径为r，球O的半径为R，R＝＝．由余弦定理可知AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝AB2+BC2+6≥2AB•BC+6＝18，当且仅当AB＝BC＝时取等号．∴AC≥3．由正弦定理可得2r＝≥＝2，∴r≥．∴R≥．∴当R＝时，球O的体积取得最小值V＝＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝2，||＝，∴•＝||•||•cos＝2××＝2，∴||2＝||2+||2﹣2•＝4+2﹣4＝2，∴||＝，故答案为：14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝1．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2＝，解得a＝1，故答案为：1．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是①③④．（填写所有正确结论的编号）【解答】解：由已知条件可得如下规律等式4＝1+3，9＝3+6，16＝6+10，25＝10+15，36＝15+2149＝21+2864＝28+36，81＝36+45，．．故答案为①③④16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为（﹣2+2，3﹣2）．【解答】解：抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1．圆的圆心为M（2，﹣1），∴d＝PF﹣1，故当FP1PM四点共线且P，P1在M，F之间时，d+|PP1|取得最小值，此时直线MF的方程为：y＝﹣x+1，联立方程组，得：x2+4x﹣4＝0，解得x＝﹣2，或x＝﹣2﹣2（舍），∴y＝3﹣2．故答案为（﹣2+2，3﹣2）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．【解答】解：（1）根据样本数据知，A药店应选择乙药厂购买中药材；（2）（ⅰ）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为＝×（7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）＝15；估计A药店所购买的100件中药材的总质量为100×15＝1500克；（ⅱ）乙药厂所提供的每件中药材的质量n＜15的概率为＝0.5，15≤n≤20的概率为＝0.2，n＞20的概率为＝0.3，则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）；依题意得100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）≤7000，解得a≤75，∴a的最大值为75．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．【解答】（1）证明：连结A1B，CA1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，M是AB1的中点，∴M是A1B的中点，又N是BC的中点，∴MN∥A1C，又MN⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面AA1C1C．（2）解：以A1为原点，以A1B1，A1A，A1C1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则C1（0，0，1），A（0，2，0），M（，1，0），N（，2，），∴＝（，1，﹣1），＝（﹣，1，0），＝（，0，），设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），则，＝0，∴，令y＝1，得＝（2，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．设直线C1M与平面AMN的夹角为θ，则sinθ＝，∴C1到平面AMN的距离d＝|C1M|sinθ＝×＝．∴棱锥C1﹣AMN的高为．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题意可知c＝2，2b＝4，即b＝2，∴a＝＝2．∴椭圆方程为＝1．（2）联立方程组，消去y得：（1+2k2）x2+12kx+28＝0，△＝288k2﹣112（1+2k2）＝64k2﹣112＞0，解得k2＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，x0＝＝﹣，y0＝kx0+3＝，∴k OP＝＝﹣，∵OP∥FM，∴k FM＝k OP＝﹣，∴直线FM的方程为y＝﹣（x﹣2），解方程组，得，即M（，），∵M在椭圆上，∴（）2+2（）2＝8，解得k2＝2，即k＝．∴直线l的方程为y＝x+3或y＝﹣x+3．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx，得f′（x）＝a﹣，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，则x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；当x＝时，函数f（x）取得极小值，其值为f（）＝a（﹣1）﹣ln＝1﹣a+lna，令g（a）＝1﹣a+lna（a＞0），则g′（a）＝﹣，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，当a＞1时，g′（a）＜0，故g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，当a＝1时，g（a）取最大值，其值为g（1）＝0，应用函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，则k≥0，故k的范围是[0，+∞），（2）证明：由（1）可知，当a＝1时，函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，当x＝1时，函数f（x）取最小值为f（1）＝0，故x＞0时，f（x）≥0，即x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1，∀n∈N*，令x＝1+，得ln（1+）≤，故ln（（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）≤+++…+，令S n＝+++…+①，s n＝+++…+②，①﹣②得s n＝+++…+﹣，＝﹣＝1﹣故S n＝2﹣＜2，故ln[（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜2，故（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜e2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．【解答】（1）解：由消去参数t，得直线l的普通方程为y＝﹣（x﹣1）．即+y﹣＝0，由ρ2（1+2sin2θ）＝a，即ρ2+2ρ2sin2θ＝a，把ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入上式得x2+3y2＝a．所以C的直角坐标方程为x2+3y2＝a．（2）解：由消去y，得10x2﹣18x+9﹣a＝0（1），设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2═，x1x2＝．|AB|＝•|x2﹣x1|＝．又由已知|AB|＝，得＝，解得a＝，此时（1）式的判别式△＝4﹣4×5×（2﹣2×）＝12＞0．所以a的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．【解答】解：（1）f（x）≤2，即|2x+1|+|2x﹣1|≤2，当x≤﹣时，得﹣（2x+1）+（1﹣2x）≤2，解得：x≥﹣，故x＝﹣，当﹣＜x＜时，得（2x+1）﹣（2x﹣1）≤2，即2≤2，故﹣＜x＜，当x≥时，得（2x+1）+（2x﹣1）≤2，解得：x≤，故x＝，故不等式f（x）≤2的解集M＝{x|﹣≤x≤}；（2）证明：法一：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，当（a+b）（a﹣b）≥0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b+a﹣b|＝2|a|≤1，当（a+b）（a﹣b）＜0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b﹣a+b|＝2|b|≤1，故|a+b|+|≤1；法二：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，（|a+b|+|a﹣b|）2＝2（a2+b2）+2|a2﹣b2|＝，由于a2≤，b2≤，则4a2≤1，4b2≤1，故（|a+b|+|a﹣b|）2≤1，故|a+b|+|a﹣b|≤1．。
2018广东高考文科数学试卷及答案解析
2018广东高考文科数学试卷及答案解析2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N MN A B C D ===已知集合则答案:B 2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i -==---+-+已知复数满足则答案:D2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B 284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C.5.下列函数为奇函数的是( ).A.x x212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x x x x x xf x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7. 在中, 角A, B, C所对应的边分别为a, b, c, 则是的( ). A. 充分必要条件 C. 必要非充分条件答案 : A 提示 :由正弦定理知都为正数B B. 充分非必要条件 D. 非充分非必要条件8. 若实数k 满足则曲线 A. 实半轴长相等 C. 离心率相等答案:D与曲线的虚半轴长相等 D. 焦距相等提示从而两曲线均为双曲线, 又故两双曲线的焦距相等,选D.9. 若空间中四条两两不同的直线l1 , l2 , l3 , l4 , 满足l4 , 则下列结论一定正确的是与l4既不垂直也不平行答案:D10. 对任意复数定义其中是的共轭复数, 对任意复数z1 , z2 , z3 有如下四个命题:则真命题的个数是（）；； D.4B. l1 / / l4 D. l1与l4的位置关系不确定答案 : B 提示2 ( z2 = z) * z1 + z) 故①是真命题 z) 3对 (z1 z2 左边右边③错, ; ; ;③左边=( z1 *z2 ) z3 = z1 z2 z , 右边综上,只有①②是真命题,故选B.④左边右边左边右边, 故④不是真命题.二、填空题(一)必做题（11-13）11. 曲线在点处的切线方程为 _______ . 答案 : 5提示所求切线方程为即12. 从字母a, b, c, d, e 中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________ . 答案 : 2 5提示13.等比数列的各项均为正数，且，则log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.答案 : 5 提示 : 设2 a 5 , 则14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 则曲线C1与C2交点的直角坐标为_____________ .答案 : (1, 2)2 提示 :由得（）故C1的直角坐标方程为C2的直角坐标方程为交点的直角坐标为(1, 2).15. (几何证明选讲选做题) 如图 1, 在平行四边形ABCD中, 点E在AB上且与DE交于点的周长的周长答案 : 3 则提示 : 显然的周长的周长 AE AE三、解答题16.(本小题满分 12 分) 已知函数3，且 f (（1）求 A 的值；（2）若) ，求解 : (1) f (12 12 3 4 2 2(2)由(1)得3又17. 某车间 20 名工人年龄数据如下表:(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (3)求这20 名工人年龄的方差.解 : (1)这20名工人年龄的众数为30, 极差为(2)茎叶图如下: 1 9 2 8 8 8 9 9 9 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 4 0年龄的平均数为 :30 , 20 1 2 2 故这20名工人年龄的方差为218. 如图 2,四边形ABCD 为矩形平面作如图3折叠 : 折痕EF / / DC , 其中点E , F 分别在线段PD, PC 上, 沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M , 并且证明平面MDF ; (2)求三棱锥的体积.解 : (1)证明 平面平面平面ABCD, 平面PCD 平面平面平面PCD,平面又平面平面平面又易知从而即2 19. 设各项均为正数的数列的前n 项和为S n , 且S n 满足(1)求a1的值; (2)求数列的通项公式;(3)证明：对一切正整数 n ，有解 : (1)令得即即2 2 (2)由得从而当时又解法一 : 当时,解法二以下略.注 : 解法二的放缩没有解法一的精确,在使用中第一项不放缩时才能得到答案)20. 已知椭圆C :的一个焦点为( 5, 0), 离心率为 . 2 a b 3(1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P( x0 , y0 )为椭圆C外一点, 且点P到椭圆C 的两条切线相互垂直, 求点P的轨迹方程. 解椭圆C的标准方程为9 4 (2)若一切线垂直x轴, 则另一切线垂直于y轴, 则这样的点P共4个, 它们的坐标分别为(若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为中并整理得依题意即y0 , 将之代入椭圆方程2 2 2 2 即即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点P的轨迹方程为1 21. 已知函数1)求函数f ( x)的单调区间; 1 1 1 (2)当时, 试讨论是否存在使得f ( x0 )=f ( ).2 2 2解方程的判别式当时此时f ( x)在上为增函数. 当时, 方程的两根为当时此时f ( x)为增函数, 当时此时f ( x)为减函数, 当时此时f ( x)为增函数, 综上时, f ( x)在上为增函数, 当时, f ( x)的单调递增区间为的单调递减区间为解法一若存在使得f ( x0f ( ), 2 2 2 1 1 必须在(0, ) ( ,1)上有解方程的两根为 : 依题意, 0只能是 , 8 4 4即即又由 = , 得故欲使满足题意的x0 存在, 则当时, 存在唯一的满足当时, 不存在使 f ( x0 )解法二若从而由(1)知f ( x)在区间(0,1)上是减函数, 1 1 1 故此时不存在使得f ( x0 )=f ( ); 2 2 2 (ii )若则函数f ( x)在区间上递减, 在区间上递增, 5 1 1 1)若则f ( x)在(0, )上递减, 在( ,1)上递增, 显然此时不存在满足题意的x0 ; 4 2 2 5 1 2)若则若题意中的x0 存在, 则25 25 5 故只需即则故时存在满足题意的x0 ; 2 2 24 12 12 4 5 1 3)若则若题意中的x0 存在, 则故只需即则故时存在满足题意的x0 . 2 2 24 12 4 12 综上所述当时, 存在唯一的x0满足f ( x0 当时, 不存在使相关文档：∙高考文科数学试卷及答案∙广东高考文科数学试卷∙数学文科高考历年真题答案及解析∙广东省小高考数学试卷及答案∙广东高职高考数学试卷及答案∙文科高考数学答案解析∙文科高考英语答案解析∙高考文科数学试卷答案∙高考数学试卷及解析∙高三文科数学试卷及答案更多相关文档请访问：https:///。
2018高考数学复习小单元卷 7.均值不等式与不等式的证明
均值不等式与不等式的证明（均值不等式、不等式的证明、不等式的应用）一、选择题:1. 设变量y x ,满足约束条件0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则1y x +的最大值是( )A ．1B ．14 C ．12D ．2 2. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根，则a 的取值范围是 （ ） A.1->a B. 1=a C. a ≤1 D. a ≥1 3. 已知lg lg 0a b +=，则2211b aa b+++的最小值为 A 4 B12 C 2 D 1 4. 已知,,a b c R ∈，若21,2bc b ca a a>+≥-，则下列结论正确的是（ ）A .,,a b c 同号B .,a c b 同号,与它们异号C .,b c a 同号,与它们异号D .,b c 同号,a 与b,c 符号关系不确定 5. 若二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞，则11a c c a+++的最小值为（ ） A.4B.C. 8D.6. 已知二次函数2()1f x ax bx =++的导函数为()f x '，(0)0f '>，对任意的数x ，都有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．3 D. 52 二、填空题:7. 函数3(0)y x x x=+>的最小值为 . 8. 使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值为 .9. 在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：)(9)(11+=．10. 已知点P 在直线032,012=++=-+y x Q y x 在直线点上上，PQ 中点为0000,2),,(x y x y y x M 则且+>的取值范围是 . 三、解答题:11. 已知某生产厂需要定期购买生产原料，该厂每天需要生产原料200千克，原料的价格为8.1元/千克，每次购买原料需支付运费236元．每次购买来的原料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数，根据实际剩余原料的重量，以每天．．．0．．．03．．元．/．千克支付．．．．． （1）当9天购买一次原料时，求该厂用于原料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次原料，求该厂在这x 天中用于原料的总费用．．．y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次原料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?12. 已知函数2(1)1()(,,),(2)2,(3)3a x f x a b c N f f bx c b -+=∈=<+-,且()f x 的图像按向量e=(1,0)-平移后得到的图像关于原点对称. （1）求()f x 的解析式；（2）设0||1,0||1x t <<<≤.求证：|||||(1)|x t x t f tx ++-<+.均值不等式与不等式的证明参考答案一、选择题:1. B 解析: 不等式组0021x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的可行域如右图所示,可行域内点A(11,33)与点B(-1,0)连线的斜率 最大,其最大值为101314(1)3-=--, 故应选B.2. D 解析: 令 1||y x =, 21y ax =+,分别作出两个 函数的图象如右图所示, 当且仅当a ≥1时 , 两函数图象仅在y 轴左侧有一个交点, 故应选D.3. D 解析: ∵lg lg lg 0a b ab +==, ∴1ab =且a ,b 令tan ,(0,2a παα=∈,则1tan b α=, 22221tan tan 1111tan 1tan b a a b αααα+=+++++33cos sin sin cos αααα=+4422222sin cos (sin cos )2sin cos sin cos sin cos αααααααααα++-==2212sin cos sin cos αααα-=211sin 222sin 21sin 2sin 22αααα-==-, 令sin 2t α=,则(0,1]t ∈,可得函数2()f t t t=-, 此函数为(0,1]t ∈上的减函数, 其最小值为(1)1f =, 故应选D.4. A 解析: 令121212,,1,2b cx x x x x x a a==>+≥-则且，显然,b c 同号.当,a b c 与异号时，12120,0,2x x x x <<--≥，即122x x +≤-，当且仅当121x x ==-时，取等号，与已知122x x +≥-矛盾，所以,,a b c 同号.故应选A.5. A 解析: 由二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,)+∞,可得0a >, 且1121(0f c c a a a a -=-+=-=,即得1c a=,∴2222111111()()224a c a a a a c a a a a a +++=+++=+++≥+=, 当且仅当1a =时,上式取得最小值4, 故应选A.6. A 解析:()2f x ax b'=+，∴(0)0f '>为b ＞0．又∵对任意实数x ，都有f (x )≥0，∴0a >且Δ=b 2−4a ≤0即b 2≤4a ．∴(1)111(0)f a b a f b b b ++==++'112≥≥=． 当且仅当1a b b=且b 2=4a ，即a =1，b =2时，上述“=”成立，即当a =1，b =2时(1)(0)f f '有最小值2．二、填空题:7. 解析:3y x x =+≥, 当且仅当3x x=且0x >即x =,函数取得最小值8. 2解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x +y +2xy ≤a 2(x +y )， 即2xy ≤(a 2－1)(x +y )， ① ∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ， ②当且仅当x =y 时，②中有等号成立.比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值2.解法二：设u ===.∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)，∴y x xy +2≤1，yx xy +2的最大值是1.从而可知，u 的最大值为211=+， 又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2. 9. )12(9)4(11+=解析: 设191x y=+, 则19()1()()x y x y x y x y +=+⨯=+⨯+9101016y x x y =+++=≥,当且仅当9y xx y=,时x y +取得最小值16,解之得4,12x y ==. 10. 51,21(--解析:设点P 的坐标为(12,)b b -, 则点P 关于点00(,)M x y 的对称点Q 00(212,2)x b y b -+-必在直线230x y ++=上,代入可得002122(2)30x b y b -++-+=,即0021x y ++=又由002y x >+可作出不等式组0000210,2,x y y x ++=⎧⎨>+⎩所表示的可行域为如右图所示无端点的射线AC,其中A 51(,)33-, 作直线OB 与直线OA 平行, 则y x 的取值范围为11(,)(,)25OB OA k k =--.三、解答题:11. 解析:当9天购买一次时，该厂用于原料的保管费用P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88（元）（2）①当x ≤7时,y =360x +10x +236=370x +236 ②当 x >7时,y =360x +236+70+6[（7-x ）+（6-x ）+……+2+1]=43232132++x x ∴⎩⎨⎧>++≤+=7,43232137,2363702x x x x x y∴设该厂x 天购买一次原料平均每天支付的费用为f （x ）元⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+=7,43232137236370)(2x x x x x x x x f ， 当x ≤7时,x x f 236370)(+= 当且仅当x=7时,f （x ）有最小值40472826≈（元） 当x ＞7时,xx x x f 4323213)(2++==321144(3++x x ≥393 当且仅当x =12时取等号 ∵393<404,∴当x=12时 f （x ）有最小值393元答：（1）当9天购买一次时，该厂用于原料的保管费用P 为88元；（2） x 天中用于原料的总费用⎩⎨⎧>+-≤+=7,1963937,2363702x x x x x y ，该厂12天购买一次原料才能使平均每天支付的费用最少，最少费用为393元．12. 解答：（1）2(1)1()a x f x bx c b-+=+- ，141(2)2,(3)32a a f f b c b c ++===<++， 又因为()f x 按向量(1,0)e =- 平移后得函数22(11)11()(1)a x ax g x b x c b bx c+-++==++-+ 由g(x)图像关于原点对称得g(-x)=-g(x),即2211ax ax bx c bx c++=--++,bx c bx c -+=--,0c ∴=由12416,2,,10a b a b a a N a a +=+<<∈∴== 且得或当111,2a b ==时当a=0时b=（舍）所以222()(1)1x x f x x x -+=≠- （2）证明：因为0||1,0||1x t <<<≤所以2||2,||||||||2||2,||||t t x x t x t x t x ≤>⎧++-=⎨<≤⎩故||||2x t x t ++-≤又2()11|(1)|||||2(||1)||tx f tx tx tx tx tx ++==+>≠所以|||||(1)|x t x t f tx ++-<+。
2018广东广州市高考数学复习专项检测试题： 09
不等式011、（均值定理）已知0,0a b >>，则11a b++ C ）A 、2B 、、4 D 、52、（均值定理）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ A ）A 、1122a b a b +B 、1212a a b b +C 、1221a b a b +D 、12 3、（不等式解法）不等式252(1)x x +-≥的解集是（ D ） A 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B 、132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C 、(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，， D 、(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ ，，4、（不等式解法）不等式x x x x 22log log +<+的解集是（ A ）A 、)1,0(B 、),1(+∞C 、),0(+∞D 、),(+∞-∞5、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ D ）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -<D 、0b a +>6、（不等式解法）当01a <<时，下列不等式一定成立的是（ A ）A 、(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++> B 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+C 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++D 、(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+7、（均值定理）设0,0a b >>，若是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值为（ B ）A 、8B 、4C 、1D 、14 8、（均值定理）设c b a ,,是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ C ）A 、||||||c b c a b a -+-≤-B 、aa a a 1122+≥+ C 、21||≥-+-ba b a D 、a a a a -+≤+-+213 9、（不等式成立问题）在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗，若对任意实数x ，不等式1)()(<+⊗-a x a x 恒成立，则（ C ）A 、11<<-aB 、20<<aC 、2321<<-aD 、2123<<-a 10、（不等式成立问题）若不等式|4||3|x x a -+-<的解集为非空集合，则实数a的取值范围是（ C ）A 、7a >B 、17a <<C 、1a >D 、1a ≥11、（不等式成立问题）不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为（ A ）A 、(,1][4,)-∞-+∞B 、(,2][5,)-∞-+∞C 、[1,2]D 、(,1][2,)-∞+∞12、（不等式成立问题）已知a b +<<10，若关于x 的不等式22)()(ax b x >-的解集中的整数恰有3个，则（ C ）A 、01<<-aB 、10<<aC 、31<<aD 、63<<a。
广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题及答案09 含答案
2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题18本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ．{}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【.解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【.解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（ ） A ．(2,4) B ．(3,7) C ．(1,1) D ．(1,1)-- 【答案】D【.解析】因为(2,4),A B A C ==所以(1,1B CA C AB =-=--，即(1,1A D B C ==--，选D.4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=【答案】D【.解析】ln y x =单调递增，且为非奇非偶函数，不成立。
2y x =是偶函数，但在(0,)+∞上递增，不成立。
cos y x =为偶函数，但在(0,)+∞上不单调，不成立，所以选D.5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【.解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
广东省广州市备战2018高三数学文科第一轮复习测试试题
2018广州市高考数学（文科）一轮复习测试题18本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i-- C ．3i + D ．3i -2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2xB y y x ==>，则A B I =A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1)3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为. A.15 B.20 C25. D.304．在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ⋅=u u u r”是“四边形ABCD 是菱形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则218a a +=A.36B.35C.34D.33 6．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是：A ．()1x f x e =-B ．1()f x x x -=+C ．1()f x x x -=- D ．()|sin |f x x =-7．已知βα、是两不同的平面，m 、n 是两不同直线，下列命题中不正确A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥8．在图（1）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤则能输出数对(,)x y 的概率为A ．18B ． 38C ． 78D ．149．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，直线240x y -+=与C 交于A ，的值为 A.45B.35C.35-D.45-10．设2()f x x bx c =++，若方程()f x x =无实数根，则方程(())f f x x =A.有四个相异的实根B. 有两个相异的实根C.有一个实根D.无实根 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分20分．图（2）（一）必做题（11－13题）11．计算：1122log sin15log cos15+oo = ．122cos4π=2cos8π=2cos16π=，……请从中归纳出第n2n 个 ．13．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为400元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为4x天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 件． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：2ρ=和曲线2C ：cos()4πρθ+1C 上到2C 的点的个数为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图（2）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ．若CB =2，CE =4，则⊙O 的半径长为 ；AD 的长 为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin a A =． （1）求角C 的大小；（2cos A B -的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17. （本小题满分12分） 一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高.现对10名成年人的脚掌长x 与身高y进行测量，得到数据（单位均为cm ）作为一个样本如上表示.（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程y bx a ∧=+；（2）若某人的脚掌长为26.5cm ，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm 以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的DCBA E F M NPF EA BCD2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率．(参考数据：101()()577.5iii x x y y =--=∑，1021()82.5ii x x =-=∑)18. （本小题满分14分）设}{n a 是各项都为正数的等比数列,{}n b 是等差数列,且111,a b ==，3513,a b +=5321.a b +=(1)求数列}{n a ,{}n b 的通项公式；(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，求数列{}n n S b ⋅的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分）如图（3），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使EF//AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（4）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证：AP ⊥平面DAE ； （3）若2AD =,求四棱锥F-ABCD 的体积. 图（3） 图（4） 20．（本小题满分14分） 如图（5），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆:22ax C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅uuu r uuu r（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线12:,:l y kx m l y kx n =+=+，若1l 、2l C 相切，证明：0m n +=；（3）在（2）的条件下，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．121．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系； （2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，（12x x <） 证明：2111k x x <<．参考答案一．选择题：CDBCC CBADD 解析：8.结合右图易得所求概率为18，选A. 9.联立24240x y x y ⎧=⎨-+=⎩,消去y 得2280x x --=，解得122,x x =-不妨设A 在y 轴左侧，于是A ，B 的坐标分别为(-2,1),(4,4),解法1：由抛物线的定义可得：||1(1)2,AF =--=||4(1)BF =--,||AB =，由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯.故选D. 解法2：由抛物线的定义可得：||1(1)2,AF =--=||4(1)5BF =--=,可求5,2AB AF BF ===，∵(2,0),(4,3)FA FB =-=u u r u u r∴||||cos 8FA FB FA FB AFB ⋅=⋅∠=-u u r u u r u u r u u u r ,∴84cos 2255AFB -∠==-⨯⨯10．因抛物线2()f x x bx c =++开口向上，由方程()f x x =无实数根知，对任意的x R ∈，()f x x >(())()f f x f x x ⇒>>，所以方程(())f f x x =没有实根，故选D.二．填空题： 11.2；12. 12cos2n π+；13.40；14.2；15.3 （2分）；245（3分）. 解析：13．设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y ，则14004004204xx x y x x⋅⋅+==+≥，当且仅当4004x x =，即40x =时“=”成立, 故每批应生产产品40件．14．将方程2ρ=与cos()4πρθ+2222x y +=与20x y --=，知1C 为圆心在坐标原点，半径为2的圆，2C 为直线，因圆心到直线20x y --=15．设r 是⊙O 的半径．由2CE CA CB =⋅，解得r =3.由CO OE CA AD =解得245AD =. 三．解答题：16．解：（1）由条件结合正弦定理得，sin sin a cA C ==----2分 从而sin CC =，tan C =-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<，∴3C π=；--------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23B A π=--------------------------------------------------------------7分 cosA B -2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=--------9分1cos 22A A =+sin()6A π=+--------------10分∵203A π<<，∴5666A πππ<+< 当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值1，------------------------------11分此时,33A B ππ==．-----------------------------------------------------------------------12分17.解：(1)记样本中10人的“脚掌长”为(1,2,10)i x i =L ，“身高”为(1,2,10)i y i =L ，则121()()577.5782.5()niii nii x x y y b x x ==--===-∑∑，------------------------------------------1分 ∵1210...10x x x x +++==24.5，1210...171.510y y y y +++==-----------------3分∴0a y bx =-= -----------------------------------------------------------------------------4分 ∴7y x ∧=---------------------------------------------------------5分 （2）由（20）知7y x ∧=，当26.5x =时，726.5185.5()y cm ∧=⨯=，--------6分 故估计此人的身高为185.5cm 。
2018届广东省广州市高考数学一轮复习专项检测试题07平面向量1
- 让每一个人同等地提高自我平面向量 011、平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ， a2,0 ， b1 ，则 a 2b（ B ）A 、3 B 、23 C 、4D 、122、平面上 O, A, B 三点不共线，设 OAa,OB b ，则OAB 的面积等于（ C ）22(a b)222 ( a b)2A 、 a bB 、a bC 、12 2(a b)222( a b)2a bD 、 1a b223、设向量 a(1,0) ， b 1 , 1 ，则以下结论中正确的选项是（ C ）2 2、 ab B 、 a b2 C 、 ab 与 b 垂直 D 、 a // bA24、在ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 1，点 P 在 AM 上且知足 AP2PM ，则PA (PBPC) 等于（ A）A 、4 B 、 4 C 、4D 、4933 95、如图，设 P, Q 为ABC 内的两点，且2 AB 1 2AB1AC ，APAC ，AQ5 534则 ABP 的面积与 ABQ 的面积之比为（ B ）A 、1B、4C、1D、15543分析图：- 让每一个人同等地提高自我分析：如图，设 AM 21AP AM AN ，由平行四边形法例AB， AN AC ，则55知 NP// AB，因此S ABP AN1，同理可得SABQ1，故S ABP4。
SABC AC5SABC4SABQ56、已知O,N, P在ABC 所在平面内，且OA OB OC ，NA NB NC0 ，且PA PB PB PC PC PA ，则点O,N, P挨次是ABC的（C）A、重心外心垂心B、重心外心心里C、外心重心垂心D、外心重心心里7、已知P是ABC 所在平面内随意一点，且PA PB PC 3PG，则G是ABC 的（C）A、外心B、心里C、重心D、垂心8、已知O是ABC 所在平面内一点，知足OA OB OB OC=，则点 O是ABC 的OC OA（ D ）A、三个内角的角均分线的交点B、三条边的垂直均分线的交点C、三条中线的交点D、三条高的交点9、已知O是平面内的一个点，A, B,C 是平面上不共线的三点，动点P 知足OP OA AB AC,0,，则点P的轨迹必定过ABC的（B）AB ACA、外心B、心里C、重心D、垂心10、已知两点M 1,0 , N 1,0 ，若直线3 x 4 y m0 上存在点P知足- 让每一个人同等地提高自我PM PN0 ，则实数 m 的取值范围是（ D ）A 、 (, 5] [5,) B 、 (,25] [25,) C 、25,25D 、5,511、在ABC 中， AB BC3 , 3 3 ，其面积 S 3 ，则向量 AB 与向量 BC 夹角的取8816值范围是（ A ）A 、6 ,B 、6,C 、4 , D 、6 ,3433412、设两个向量 a2,2cos2, bm,msin，此中 , m,R 。
高考数学二轮复习大题专项练习七参数方程文
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，
2．[2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
3．[2018·黑龙江哈尔滨三中第三次模拟]已知圆锥曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此圆锥曲线的左，右焦点．
大题专项练习
1．解析：(1)半圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，(0≤y≤1)．
化为极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.
(2)则由，得P.
由，得Q.
∴|PQ|＝|ρP－ρQ|＝|1－5|＝4.
即|PQ|的长为4.
2．解析：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
(2)设点P在曲线C上，求点P到l距离的最小值．
6．[2018·厦门外国语学校适应性考试]在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为(2,0)．
(1)求点B，C的直角坐标；
(2)设P是圆C2：x2＋(y＋)2＝1上的任意一点，求|PB|2＋|PC|2的取值范围．
于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
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平面向量01
1、平面向量a 与b 的夹角为 60，()0,2=，1==+（ B ）
A 、、4 D 、12
2、平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于（ C ）
A 、
B 、
C 、3、设向量)0,1(=a ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21,21b ，则下列结论中正确的是（ C ）
A =
B 、2
2=⋅ C 、-与b 垂直 D 、// 4、在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足2AP PM = ，则
()PA PB PC ⋅+ 等于（ A ）
A 、49-
B 、43-
C 、43
D 、49
5、如图，设,P Q 为ABC ∆内的两点，且2155
AP AB AC =+ ，AC AB AQ 4132+=， 则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ B ）
A 、15
B 、45
C 、14
D 、13
解析图： 解析：如图，设25AM AB = ，15
AN AC = ，则AP AM AN =+ ，由平行四边形法则
知//NP AB
，所以5
1==∆∆S S ABC ABP ，同理可得41=∆∆ABC ABQ S S ，故54=∆∆ABQ ABP S S 。
6、已知P N O ,,在ABC ∆
所在平面内，且==，=++， 且⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是ABC ∆的（ C ）
A 、重心 外心 垂心
B 、重心 外心 内心
C 、外心 重心 垂心
D 、外心 重心 内心
7、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++= ，则G 是ABC
∆的（ C ）
A 、外心
B 、内心
C 、重心
D 、垂心
8、已知O 是ABC ∆所在平面内一点，满足OA OB OB OC ⋅=⋅ =OC OA ⋅ ，则点O 是ABC
∆的（ D ）
A 、三个内角的角平分线的交点
B 、三条边的垂直平分线的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条高的交点
9、已知O 是平面内的一个点，C B A ,,是平面上不共线的三点，动点P 满足
[)+∞∈⎫⎛+=,0,λλOA OP ，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ B ） A 、外心 B 、内心 C 、重心 D 、垂心
10、已知两点()()1,0,1,0M N -，若直线340x y m
-+=上存在点P 满足
0PM PN ⋅= ，则实数m 的取值范围是（ D ） A 、(,5][5,)-∞-+∞ B 、(,25][25,)-∞+∞ C 、[]25,25- D 、[]5,5-
11、在ABC ∆中，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈⋅833,83，其面积163=S ，则向量与向量夹角的取值范围是（ A ）
A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ
B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ
C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ
D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,6ππ。