隐函数参数方程求导法则
2.4 隐函数求导法则
2015/10/15 14
dD dt
1 cm / min. D 10 20
例7 一质子沿曲线y 1 x 3 运动，当其在点(2,3)时，
纵坐标y以4 cm / s 的速率增加，问此时横坐标x的变化
率是多少？
1 dy 1 (1 x 3 ) 2 3 x 2 解： y 1 x3 dx 2 dy =4 dt
dy a sin t sin t dy dt 解： a a cos t 1 cos t dx dx dt sin dy 2 1 . t dx 2 1 cos 2 当 t 时, x a ( 1), y a . 2 2
所求切线方程为 y a x a( 2 1)
2015/10/15
即 y x a(2 ) 2
19
例7. 不 计 空 气 的 阻 力 , 以初速度 v0 , 发 射 角
发射炮弹 , 其运动方程为 x v 0 t cos , 1 2 y v 0 t si n gt , 2 求 (1)炮 弹 在 时 刻 t 0的 运 动 方 向 ; ( 2)炮 弹 在 时 刻 t 0的 速 度 大 小 .
2
4
2
1 点(1,1)处的切线方程 y 1 x 1， 2 即 x 2 y 3 0.
2015/10/15
1
2
5
例3 证明双曲线x y a (a 0)上任一点的切线与
2
两坐标轴围成的三角形的面积等于常数2a 2 .
证:在曲线xy a 2上任取一点( x0 , y0 ),
dy dx dy , , . dx dt dt
2015/10/15
隐函数及参数方程确定函数求导法则
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
隐函数与参变量函数求导法则
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即 dy dt dx dx
dt
dt
例6
求由参数方程
x y
t arctan ln(1 t 2 )
t
所表示的函数
y y( x)的导数.
dy
2t
解
dy dx
dt dx
dt
1 t2
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参变量函数求导: 实质上是利用复合函数求导法 则.
dx |x0 x e y x0 1.
y0
例3 求由方程 x3 3xy y3 3所确定的曲线
y f ( x)在点M(1, 2)的切线方程.
解 方程两边对x求导,
3x2 3 y 3xy 3 y2 y 0
y
y y
x2 2x
，y
(1,2)
1 3
所求切线方程为
y 2 1 ( x 1) 3
x 2t, x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
2
上式两边对 x求导得
1 y
y
2x
1 2
1 x1
1 x2
1 x 3
y ex2 2
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
高等数学《隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数》
练习题
一、填空题：
1、设 x 3 2x 2 y 5xy2 5 y 1 0确定了y 是x 的函
数，则 dy dx
=________，d 2 y
(1,1)
dx 2
________.
2、曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程
一、1、 4 ,6x 4 xy 8xy 20 yy 10x( y)2 ；
3
10xy 2x 2 5
2、x 11y 23 0
3、 x y 0 ；
2
2
4、sin t cos t ,2 3 ； 5、e x y y .来自cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
发射炮弹, 其运动方程为
x v0t cos ,
y
v0t
sin
1 2
gt
2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解
(1)
在
t
时刻的运动方向即
0
y v0
vy
v vx
轨迹在
t
时刻的切
0
线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
53隐函数与参数方程的求导法则
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
dy 例1. 设y( x )是 由 方 程 y r 确 定 的 隐 函 数 ， 求 . x dx
2 2 2
解法一： 由方程 2 y 2 r 2解得y r 2 x 2，于是 x
此方法称为对数求导法 。
对数求导法是将 y = f (x) 两端取自然对数后再求导，这里 如有必要，可先将 y = f (x) 两端取绝对值。此方法常用于若干 因式的积、商或根式组成的函数和幂指函数的求导，其好处在 于把积变成和、商变成差、幂指变成乘积。
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
2x 2 y 7x 0， 即 k y y . 2 7 2y
1 由 已 知 l ， 所 求 切 线 的 斜 率 2. k k 2
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
当k 2时，双曲线与所求直线 相切，故
7x 2， 即 7 x 4 y . 2y
高州师范学院
第五章：导数与微分
5.3隐函数与参数方程求导法则
x2 y2 练 习 ： 求 垂 直 于 直 线 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 l: 1 2 7 相切的直线方程。
解：
设 双 曲 线 上 一 点 , y )的 切 线 斜 率 为， 则 由 隐 函 数 求 (x k 导法，有
这即是参数方程所表示 函数的求导法。
高州师范学院
第五章：导数与微分
例.
5.3隐函数与参数方程求导法则
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
隐函数及其参变量函数的求导方法
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用 参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),
y
(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不 妨为 设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称 函 为 .数 隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、 方除 、、 开乘 方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？
第二章 第4节 隐函数及参数方程求导
sec t sec t d 1 ( tan t ) ( tant ) 2 3 dx (a cos t ) 3a cos t sin t 3a sin t dt dt 16
2
4
例10
求曲线的对应 t 0点的切线方程。
2 x 3 t 2t 3 设 y 确 定y f ( x ), e sin t y 1 0
11
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
再设函数x (t ), y (t )都可导, 且 (t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
代入 x 0, y 1, y
x0 y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
6
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
sin x
.
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
x y
dy , 则dx =________.
3
25
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1 、 y 1 xe y ； 2 、 y tan( x y ) ； y 3 、 x y x ( x 0， y 0 ) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
e y cos t 1 y 1 e sin t 6t 2
隐函数与参数方程的求导法教学
设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数, 而变量x与
y之间存在某种关系, 从而它们的变化率dx 与 dt
dy dt
之
间
也相关存变化在率一问
题:
定
关
系已, 知这其样中一两个变个化 率时，如何求出另
相
互
依
赖
的
变 化 率 称 为 相 关 变 化 率. 一个变化率?
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
第四节 隐函数与参数方程的求导法
一、隐函数的导数
01
定义:
y f ( x) 形式的函数称为显函数.
02
隐函数的显化
F ( x, y) 0 y f ( x) 0 3
问题: 若隐函数不易显化或不能显化，如何求导?
04
隐函数求导法:
05
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
06
解出
例1 求由方程xy e x e y 0所确定的隐函数
等式两边取对数,得
例5
设
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求y.
解
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导, 得
1 y 1 1 2 1
y
x 1 3( x 1) x 4
y y[ 1 1 2 1] x 1 3( x 1) x 4
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
线通过原点.
设方程 x3 y3 3xy确定了函数y y( x)
解 方程两边对 x 求所导求,切得线方3程x2为 3 y2 y 显然3通y过原3点xy.
y
隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
5.3隐函数与参数方程求导法则
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3 求由方程 e
函数 y′( x ) 。
解 对方程
x + y − xy − e = 0 确定的隐函数 y = y ( x) 的导
e x + y − xy − e = 0
的两边关于 x 求导， 注意到 y 是 x 的函数，由复合函数的求导法则
(e x + y − xy − e)′ = (e x + y )( x + y )′ − ( xy )′
x = v1t 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y = v2 t − 1 g t 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解 先求速度大小:
dx dy = v1 , 垂直分量为 = v2 − g t , 速度的水平分量为 dt dt
dx 2 d y 2 2 2 v = ( ) + ( ) = v + ( v − gt ) 故抛射体速度大小 1 2 dt dt
F ( x , y1 ) = F ( x , a 2 − x 2 ) ≡ 0
y2 = − a 2 − x 2 ∈ B = ( −∞, 0], F ( x , y2 ) = F ( x , − a 2 − x 2 ) ≡ 0
例如方程 e xy + x 2 y − 1 = 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函 数 y = f ( x ) 形式。
由此解得
= e x + y (1 + y ′) − y − xy ′ = 0 ，
y′ =
ex+ y − x
y − ex+ y
例4
例5
a a b x 例如, y = ( x > 0, a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) b b x a
隐函数与参数方程求导法则
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程 关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 函数为隐函数 . 由 例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数 例5. 设由方程 （其中 为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程 （其中 为参数）确定函数 y cos
y y ( x) , 求
x t 2 2 t (0 1) 例7. 设由方程 2 t y sin y 1
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
说明:
对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u
即
练习1. 设
由方程
确定 , 求
及
2. 设
由方程
所确定，求
二、对数求导法
有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数 但直接求导有困难或很麻烦
( x 1) x 1 观察函数 y , 2 x ( x 4) e
3
yx
sin x
.
求导的方法：两边先取对数，然后再利用隐函数 求导法求导。
注意:
v v 1 y u ln u v vu u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
练习： 求
的导数 .
注意：如果函数是由一个幂指函数与其他函数的 和（差）构成，则不能直接对等式两边同时取对数， 而应先用求导法则，再把幂指函数单独抽出来求导。 例4：求 的导数 .
有些显函数用对数求导法求导很方便 .
如果函数由若干个因式的乘除构成，特别是根 号下套根号的情形，则可用对数求导法则。
练习： 求
的导数 .
三、由参数方程确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x 间的函数关系， y (t )
称此为由参数方程所确定的函数。 例如 x 2t , 2 y t , 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
(含导数 y的方程) 注意：1）千万不要将 看成是常数； 2）对含 的项不能对 直接求导，而 应用复合函数求导法则先对 求导， 再乘以 对 的导数。
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法
例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
又如,
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
ห้องสมุดไป่ตู้
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt