3.1_勾股定理(1)
3.1 勾股定理(1)
（图 9）
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2014-10-14
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以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正
学生思考，提问．
以直角边
之间有什么关系呢？同学们还有什么疑问吗？
的正方形的面
格纸，我们方便计算直角边为整数的情况，若直角边为小数时，所得到
以斜边为边所
积之间也有如上关系吗？
板书一题． 通
2
理的基本应
道已知直角
x
中的任意两 三边．
0
下列图中未知数 x、y、z 的值：
这是一
生活的实例
的运用中渗
144 y
4
z 625 576
育．
169
：一块长约 80 m、宽约 60 m 的长方形草坪，被几个不自觉的学生沿对
一条斜“路”，这种情况在生活中时有发生．请问同学们：
几位同学为什么不走正路，走斜“路”？
奋学习的情感
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课本，提出问题．
学生阅读教材．
让学生
化为自己的
过程，教师巡
难的同学给
全班同学共
面向全体的 巩固新知
习
充分利
课本第 79-80 页练习第 1、2 题．
面阅读的基
下列直角三角形中未知边的长：
8 17 x
上的练习题
让学生口答
边的正方形
动，引发了
增加了研究
炼了学生的
力和动手能
动——数学
（图 2）
拼图，你有什么发现？
活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，
探索勾股定理教学设计
《3.1探索勾股定理（第1课时）》教学设计教学内容：鲁教版七年级上册3.1《探索勾股定理》第一课时.教材分析：勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的.本节课的学习在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础.学情分析：学生通过前面一般三角形的学习，初步掌握了三角形三边长的关系以及直角三角形两锐角之间的关系，但是学生在用割补法求图形面积方面还接触不多，证明也仅仅停留在比较简单的全等三角形的层面上。
因此，本节课为了降低难度，并不涉及勾股定理的验证过程。
素养目标：1.经历探索勾股定理的过程，了解我国勾股定理发展史，培养推理意识、主动探究习惯；2.掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些简单问题；3.体会分类讨论的思想方法，发展几何直观、模型观念.教学重点：掌握勾股定理，并能用勾股定理解决一些简单问题.教学难点：探索勾股定理.教学过程：一情境创设【设计意图】通过一段北斗导航系统的引入，一方面令学生感知它的重要性，另一方面通过将复杂模型简化出一个直角三角形引入课题，向学生灌输一种模型意识.真实情境的创设能提升学生的应用意识.二新课讲解（一）溯源求本【设计意图】本环节意在令学生感知勾股定理在中国的发展史，增加学生的民族自豪感，为后面培养其爱国奠定基础.（二）探究求真【初识】1.在方格纸上分别画出直角边为以下数值的直角三角形并度量斜边长.（1）3cm和4cm （2）6cm和8cm（3）1cm和3cm【设计意图】本环节通过设置两道整数边长的作图令学生先猜想出结论，再通过一道不能精确度量的作图能学生的思想引起冲突，进而思考原因是测量有误差，从而引出用图形-面积法探究直角三角形的三边关系. 【生惑】独立思考1分钟后，小组合作交流3分钟，并解决下列问题： 1..________,____,===C B A S S S 2.表示三个正方形面积之间的关系. 3.描述Rt △ DEF 三边的关系.【设计意图】令学生小组合作正方形面积的求法，从而引出网格中常用割补法求图形的面积. 【又惑】任意一个直角三角形的三边关系是否都满足上面的猜想呢？ 【验证】【终获】勾股定理：直角三角形两直角边的_________等于斜边的平方.如果 用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边长，那么 . 符号语言：（三） 应用 求实例1求下图中字母所代表的正方形的面积.例2在Rt △ABC 中∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . (1)a =6,b =8,求c . (2)b =40,c =41, 求a . （四） 变式 求深在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c . 1.若a =3,b =4,则c =______. 2.若c =5,b =4,则a =______.变式一：a :b =3:4,c =25,则a =_____,b =_____.变式二：其中两边长为3、4，则第三边的平方为_____.【设计意图】习题设计既有对勾股定理公式的直接应用，又有变式练习提升学生能力，其中变式二着重向学生灌输分类讨论的数学思想方法.abcac ba中国的“青朱出入图”青出青入朱入朱出青入青出cb青方朱方a225400A 81225B（五） 小结 求远【设计意图】从大单元角度令学生对直角三角形有整体认知，为后续学习奠定基础。
3.1勾股定理公开课教案-教学设计-精品教案
课题 ：3.1勾股定理（1）班级(层次) 姓名 日期__________【学习目标】1、能说出勾股定理的内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会由特殊到一般和数形结合的思想方法。
3、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
【重点难点】重点：探索直角三角形的三边关系会用面积法推导勾股定理，会用勾股定理解决实际问题。
难点：定理的探索及对证明思路的理解。
【知识回顾】直角三角形性质1：直角三角形的两锐角 性质2： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 性质3: 300角所对的直角边等于斜边的 练一练1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=50°，则∠A= .2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=8，则AB 边上的中线CD= .3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,BC=6，AB= .*4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB,AB 边上的高CD=5，则AB= .【新知探究】 想一想：1.观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积S P ＝________________平方厘米； 正方形Q 的面积S Q ＝________________平方厘米. 问题：如何求S R 的面积，说说你的想法；我们发现，正方形S P 、S Q 、S R 的面积之间的关系是_____ _ ________；BCABCADBCA DAB 2、AC 2、BC 2的关系是 。
【新知归纳】勾股定理：___________________________ _____ ______. 我国古代，把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
3.1勾股定理(1)教学设计
凤凰初中数学配套教学软件_教学设计第 1 页共 6 页2019-7-20数学教学设计教材：义务教育教科书·数学（八年级上册）作者：李贺（徐州高级中学）3.1勾股定理（1）目标1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力．2．让学生经历拼图实验、计算面积的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定值．3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．重点勾股定理的探索过程．难点将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．教学过程（教师）学生活动设计境提出问题们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分你知道第三边的长吗？你知道第三边长的范围吗？又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题．板书：直角三角形三边数量关系．学生思考，回答问题．这是对的不等关系生从原有的发，揭示这节源，符合学理，也自然地的目标，让学一般性的问时，可以先将化为特殊问索猜想归纳么方法来探求？经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？示：平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式、多项式乘多项式．学生讨论．从学生经验出发，将间的关系转积之间的关得解决今天并不陌生，增8x（图1）。
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)
第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2． 考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1； 根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ． 考点：等腰直角三角形． 专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半． 那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2， 那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。
鲁教版七年级上册3.1探索勾股定理(1)——测量和数格子法感知
2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为
5和11，则b的面积为_______.
【解析】如图，因为∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
所以∠ACB=∠DEC.
因为∠ABC=∠CDE，AC=CE，
所以△ABC≌△CDE， 所以BC=DE， 所以，根据勾股定理的几何意义，Sb=Sa+Sc， 所以Sb=Sa+Sc=5+11=16． 答案：16
则AB= 13 ,
（2）、已知：在∆ABC中，∠A=90◦,AC=40,BC=41,
则AB= 9 ,
2、选择：一个直角三角形的两边是3和4，则第三边长的平方是（ A、5 B、7 C、5或 7 D、不能确定
2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男
孩头顶上方3 km处，过了20 s，飞机距离这个男孩
知识点2
勾股定理的变式与应用
【例2】(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的和为 17 cm，面积为30 cm2，试求这个直角三角形的斜边长. 【规范解答】设直角△ABC的两条直角边长分别为a，b，斜边
为 c，
1 ab =30， „„„„„„3分 由题意可得____ a+b =17，_____ 2
9
R
16
？
B
怎么求SR的大小？
有几种方案？
P Q C R
用“补”的方法
SR
49 4 ( 25.
1 4 3) 2
P Q C R
用“割”的方法
1 SR 4 4 3 1 2
25.
探究勾股定理 （1）在图中，正方形A中含
C A B
苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件
圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的 著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其 小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲 知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书 《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边 分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的 方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一 定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别 为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析 当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均 在格点上,求AB2-CA2的值.
鲁教版勾股定理专题练
3.1 探索勾股定理（1）【基础训练】1.直角三角形中,一条直角边长为24 cm,斜边长为25 cm,则另一直角边长为( )(A)7 cm (B)12 cm (C)16 cm (D)49 cm2.直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则下列a,b,c三边关系错误的是( )(A)b2=c2-a2(B)b2=a2-c2 (C)a2=c2-b2(D)c2=b2+a23.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( )(A)5 (B)4 (C)10 (D)84.如图,正方形ABCD的面积为100 cm2,△ABP为直角三角形,∠P=90°,且PB=6 cm,则AP的长为( )(A)10 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)无法确定5.如图所示,图中各正方形内的数字与字母代表其面积,则A的值为 ,B的值为6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.(1)求AB的长;(2)求CD的长.7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32,求BC和CD 的长度.【综合训练】8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )(A)25 (B)7 (C)5和7 (D)25或79.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,分别以它的三边为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为.10.如图,AC=3,BC=2,AD=5,求正方形BEFD的面积.11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长.12.如图,在△A B C中,C D⊥A B于点D,A C=13,A B=14,高C D=12,求B C 的长.【提高训练】13.(核心素养—数学建模)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.3.2探索勾股定理 2【基础训练】1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120 cm,CF=50 cm,那么选取的木条EF的长度至少为( )(A)130 cm (B)150 cm (C)170 cm (D)200 cm2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有( )(A)3米(B)4米(C)5米(D)6米3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为mm.5.在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.7.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE ⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【综合训练】8.如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )(A)72 (B)52 (C)80 (D)769.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)310.(2020济宁附中)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点(不与B,C 重合),若线段AD的长为整数,则AD的长度为( )(A)3 (B)3或4或5 (C)3或4 (D)3或511.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面A′D=2米,求小巷的宽度.12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4 cm,AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求△AED的面积.13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:(1)根据图形验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.【提高训练】14.如图,在△ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求△ABC的面积.3.2 一定是直角三角形吗1、知识升华（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是（2）满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数。
3.1 勾股定理(1)
课 题：3.1 勾股定理（1）课型：新授 主备人：董兰 审核人：凌林 授课时间：2014.10【学习目标】 1．让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程；并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力；2．让学生经历拼图实验、计算面积，在该过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值；3．能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题．【教学重点】勾股定理的探索过程【教学难点】 将边不在格线上的图形转化为边在格线上的图形，以便于计算图形面积．【预习作业】 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =_______。
2、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲 ,它高出水面1米 ,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问这里水深多少?（画出示意图并求解） 【创设情境】1．三角形两边长分别6和8，你知道第三边长吗？第三边长的范围呢？2．如果又已知这两边的夹角是90度，那么第三边的长确定吗？3．已知直角三角形的两边的长，如何求第三边的长呢？二次备课【探索活动】1．用什么方法来探求？曾利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？2.（1）观察这枚邮票图案小方格的个数，你有什么发现？（2）你能分别计算下图中以BC 、AC 、AB 为边的正方形的面积吗？你有什么发现？（3）你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。
你发现了什么？（4）你能把你的发现与三角形ABC 的三边联系起来吗？ （5）由此猜想：直角三角形三边之间有怎样的数量关系？。
3.1.1 勾股定理 课件(共42张PPT) 苏科版八年级数学上册
c （3）图2的面积为 2 ；
（4）图1和图2的面积是否相等？你知道它们是
通过何种变换得到的吗？ 相等
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授
下面我们通过视频动画来看看它们是怎么 变换的：
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授 赵爽所用的这种方法是我
国古代数学家常用的“出入 相补法”。在西方，人们称 勾股定理为毕达哥拉斯定理。 因此“赵爽弦图”这个图案 被选为2002年在北京召开的 国际数学家大会的会徽。
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授
既然等腰直角三角形的三边之间具有 “两直角边的平方和等于斜边的平方” 这一性质，那么一般的直角三角形是否 也有这样的性质呢？
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授
请同学们试着表示出在 下面网格中直角三角形三 边衍生的正方形的面积之 间的关系，看看三个正方 形的面积有着怎样的等量 关系。
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授 古人赵爽的证明思想证实了命题1的正确性，
命题1与直角三角形的边有关，我国把它称作勾 股定理。
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授
同学们我们古人赵爽利用“出入相补法” 的原理证明出了勾股定理，体现了我国古 代数学成就之高。纵观中国数学发展史， 中国古代在数学方面的成就足以开一座陈 列馆，体现出我国古人对数学的钻研精神 和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。所 以我们要以我国优秀的民族文化感到骄傲。 在这个信息多元的时代依然要保持对我们 中华优秀传统文化的自豪感。
苏科版 八年级数学上册
三、新知讲授
同学们还记得我们刚 刚提到的毕达哥拉斯朋 友家的地面图案嘛？我 们现在来一起研究。
勾股定理(1)光明实验学校孙老师
16-X
8
D
C
即X2=256-32X+X2 +64 ∴ X=10 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
4 ： 如 图 ， 已 知 长 方 形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在 边 CD 上 取 一 点 E ， 将 △ ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ， 求CE的长.
c a
b
∵ 1 ab×4+(b-a)² =c²
2
2ab+（b² -2ab+a² ）=c² ∴a² +b² =c²
（二）自主探索三
A
2 2 2 a +b =c
b C
c a B
（三）归纳结论
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用 a 、 b 、 c 分别表示直角三角形的两直角 边和斜边，那么a2+b2=c2。
解：由折叠知点D、F关于AE对称
Rt△ADE≌Rt△AEF从而AF=AD=10cm DE=FE 在Rt△ABF中， ∠B=90°，AB=8，AF=10 ∵BF² =AF² AB² 即BF² =10² -8²且BF＞0 ∴BF=6 从而 FC=BC-BF=10-6=4 设EC=X 则DE=（8-X） 在Rt△CEF中， ∠C=90° ∵EF² =EC² +CF²则（8-X） ² =X² +4²解得X=3 答：EC=3cm。
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒， 飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多 少千米？
C
4000
B
4000
A
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 A 三角形的面积 解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设AB为X，则BC 为（32-2X），BD是（16－x) 由勾股定理得： X2=(16-X)2 +82
3.1勾股定理(1)
C
B
A
P
C
B
P
Q C R
Q
A
C R
用了“补”的方法
用了“割”的方法
C
Q
A
P
B
R
正方形P的面积是 9 个单位面积。 正方形Q的面积是16个单位面积。 正方形R的面积是25个单位面积。
BC2+AC2=AB2
弦
勾股定理
勾
股
直角三角形 两直角边的平方和 等于斜边的平方．
A
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
§2.1勾股定理
邮票赏 析
这是1955年希腊曾经发行的 纪念一位数学家的邮票。
观察这枚邮票上的图 案和图案中各正方形 内小方格的个数，你 有哪些发现？
观察这枚邮票上 的图案和图案中 各正方形内小方 格的个数，你有 哪些发现？
实验
在方格纸上,任 意画一个顶点都在 格点上的直角三角 形;并分别以这个直 角三角形的各边为 一边向三角形外作 正方形,仿照上面的 方法计算以斜边为 一边的正方形的面 积.
3 S1
4 S2 S3
6 S4
(图中标有S 1、S 2、 S 3的四边形都为正方形） 在Rt△ABC中，∠C=90°, 4 (1)AB=5 ，AC=3，则BC=____; 25 (2)BC=4，AC=3,则 S 3 =_______ (3)已知 S 3的面积是100，S 2 的 6 面积是64,则AC=_____; (4)已知 S 2 =144，S 4=16, S 5=9,则 169 S 3 =________.
（2）若梯子下部C向后 移动1米到C1点，那么梯 子上部A向下移动了多少 米？
C1
10 A1
1
C
2022秋八年级数学上册 第3章 勾股定理3.1 勾股定理 1认识勾股定理课件(新版)苏科版
5 在 Rt△ABC 中 ， 斜 边 AB ＝ 2 ， 则 AB2 ＋ BC2 ＋ CA2 ＝ ____8____．
6 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心， AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝____2____．
7 【2019·黔东南州】如图，点E在正方形ABCD的边AB上 ， 若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为____3____．
12 【中考·益阳】在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC
的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的
解题思路完成解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，在△ABC 中， AB＝15，BC＝14， AC＝13，设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝ AC2－CD2＝132－(14－x)2， 所以 152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. 所以 AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以 AD＝12.
14 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
【点拨】利用分割法将四边形 ABCD 分 割 成 △ ABC 和 △ ACD 两 个直角三角形，将这两个直角三 角形面积相加即可得到结果．
解：如图，连接 AC. 因为∠B＝∠D＝90°， 所以△ABC 与△ACD 都是直角三角形． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 AC2 ＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2 ＝252－72＝576，则 AD＝24 m．故 S 四边形 ABCD＝
七上 3.1探索勾股定理(1)
3.1 勾股定理（1）宁阳县实验中学 王蓓 （修改 二十四中 毕建华）教学目标:1、经历在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，体会“割”“补”“拼”求面积的数学方法及数形结合和从特殊到一般的数学思想，并且体验解决问题方法的多样性。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，掌握勾股定理，能用其解决一些简单的实际问题。
教学重点: 探索勾股定理，体会研究方法．教学难点: 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理模块一 自学设计:自学任务一：1、完成课本66-67页的问题，小组并订正答案。
观察图形并回答下列问题：⑴正方形Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ的面积分别是多少？你是怎样得到的？⑵你能发现三个正方形Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ的面积之间有什么关系？（3）若直角三角形的边长分别为a,b,c 你能用直角三角形的边长来表示它们的面积关系吗？（4）通过上述提示你能将上述规律用语言描述吗？（5）如果把直角三角形两直角边分别用a 、b 表示，斜边用c 表示，你能写出这三边之间存在的关系式吗？ （较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
）（6）动手操作：小组分工作三个不同的直角三角形，使其两直角边分别为3cm 和4cm ，6cm和8cm ，5cm 和12cm,分别量出这个直角三角形的斜边长，小组间交流结果讨论前面总结的规律对这个三角形是否成立？（7）通过预习你还有哪些疑惑?归纳总结：如果直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 222a b c += 。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
自学诊断：(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°，① 如果a=3，b=4，则c=________；② 如果a=5，b=12，则c=_______。
(2)下列说法正确的是（ ）A.若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2；B.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2；C.若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A=90°，则a 2+b 2=c 2；D.若a Rt △ABC 的三边，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2.模块二 训练设计一、基础训练：1、直角三角形两边的 等于斜边的平方。
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3.1 勾股定理（1）
邮票赏 析
这是1955年希腊曾经发行的 纪念一位数学家的邮票。 观察这枚邮票图案小方格的个 数，你有什么发现？
SA+SB=SC C
B 图甲 图甲 图乙 4 A的面积 4 B的面积 C的面积 8 1.观察图甲，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
3.1 勾股定理（1）
1．求下列直角三角形中未知边的长：
5 5
x 12 12
8 8
17 17
x
3.1 勾股定理（1）
2．求下列图中未知数x、y、z的值：
144
81 x 144
y 169
例：在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=6，b=8，求c;
（2）若c=25，b=24，求a；
练习.已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，
A
C
SA+SB=SC
A C
B
图乙
A B 图甲
C
SA+SB=SC 2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴正方形A、B、C的 ⑵正方形 面积各为多少？ 面积有什么关系？
图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25
SA+SB=SC c
Aa
C
A a
图甲 图甲 图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
4米
3米
如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D 8-x
X2+42=(8-X)2
8 10 8-x B 6 F
E x C
4
3.1 勾股定理（1）
做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘 米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？ 试用今天学过的知识说明．
AC＝３,求BC的长.
3.1 勾股定理（1）
一架消防队的梯子长25m，在一次
火灾中, 梯子的底部离建筑物15m，此 时，梯子最高能到多少米？ 如果每层楼高4m，要想救上
D
A
一层的人，梯子的底部要向楼的
方向推进多少米？
B
E
C
3.1 勾股定理（1）
《九章算术》中的引葭(jiā) 赴岸问题：
“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央． 出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水 深、葭长各几何．”
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的 面积有什么关系？
SA+SB=SC C a b c c b 图甲 B SA+SB=SC 2 a 2 +b
图乙
A
a
C
3.猜想a、b、c 之间的关系？
2 =c
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
3.1 勾股定理（1）
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
A
股 b
弦
a ＋b ＝c
2 2
2
c
a B
C 勾
3.1 勾股定理（1）
题意是：有一个边长为10尺的正方 形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央， 高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇 沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么 芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．问水 深和芦苇长各多少？
B C B′
D
A
E
3.1 勾股定理（1）
y=0
受台风格美影响，一棵树在离地面4米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
勾股史话
我国是最早了解勾股定理的国家之一． 早在三千多年前，周朝的数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三， 股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、 弦五”．它被记载于我国古代著名的数学著作 《周髀算经》中．在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一 般形式．这一发现，至少早于古希腊人500多年．作为一名中国人， 我们应为我国古人的博学和多思而感到自豪！ 勾股定理是人类文明的成果，几乎所有 拥有古代文化的民族和国家都对勾股定理有 所研究．在地球以外是否存在生命这个问题 上，我国数学家华罗庚曾认为，如果外星人 也拥有文明的话，我们可以用“勾股定理” 的图形，作为人类探寻“外星人”并与“外 星人”联系的“语言”．