第6讲 曲线曲面基础-1
第6讲 曲线曲面基础-1
第6讲 曲线曲面基础-11.Bezier 曲线插值公式：∑==n i i n i P t Bt P 0,)()(伯恩斯坦（Bernstein ）基函数：i n i n i t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(, 2一次Bezier 曲线当1=n 时：)1()(1,0t t B -=，t t B =)(1,1得出：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==∑=0110101,)(')1()()(P P t C tP P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001111)(P P t t C 3二次Bezier 曲线当2=n 时：22,0)1()(t t B -=，t t B 2)(2,1=，22,2)(t t B =得出：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--=+-+---=+-+-==∑=210211022102202,2)21(2)1(22)1(22)1(2)(')1(2)1()()(tP P t P t tP P t tP P t t C P t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211)(P P P t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，2)1(P C =2) 切矢性质：)(2)0('01P P C -=，)(2)1('12P P C -=4三次Bezier 曲线当3=n 时：33,0)1()(t t B -=，t t t B 23,1)1(3)(-=，23,2)1(3)(t t t B -=，33,3)(t t B =得出：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+----=+-+-+-==∑=322221210233221203303,3)1(63)1(3)1(6)1(3)(')1(3)1(3)1()()(P t tP t P t P t tP t P t t C P t P t t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(P P P P t t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，3)1(P C =2) 切矢性质：)(3)0('01P P C -=，)(3)1('23P P C -=5.Bezier 曲线近似作图5.1算法思想递推公式：)()()1()(111t tP t P t t P r i r i r i -+-+-=其中：n r ≤≤1，r n i -≤≤0，)(0t P i 即为i P ，)(0t P n 是曲线上具有参数t 的点。
曲线曲面基本理论
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
感谢您的观看
THANKS
曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
2019精品曲线曲面基本理论课件文档
Kochanek-Bartels:
1
P(0)=Pk P(1)=Pk+1 P(0)in=(1/2)(1-t)[(1+b)(1-c)(pk-pk-1)+(1-b)(1+c)(pk-1-pk)]
2 Hermite Hermite
P(1)out=(1/2(1-t)[(1+b)(1+c)(pk+1-pk)+(1-b)(1-c)(pk+2-pk+1)]
x(u)=axu3+bxu2+cxu+dx y(u)=ayu3+byu2+cyu+dy z(u)=azu3+bzu2+czu+dz
a,b,c,d
� n+1n
4n
� (
)
P2
Pk+1
Pn
P1 P0
Pk Pk-1
1 2 Hermite Hermite Hermite Cardinal Cardinal Cardinal K-B K-B
� uv�u,v� �
�
v
v2 (u,v)
v1
P(u,v) v
u
�
u1
u2 u
�
� uv
� uv(u=u0v=v0) P=P(u0,v)P=P(u,v0) vu(uv)
� upu(uu)
vpv(vv)
� )
�
Cardinal
� Kochanek-Bartels
Cardinal Cardinal
K-B K-B
� c
P2
P1 P0
P3
P4 b<0
P2
我-第六章曲线曲面
20
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边线 分别是圆柱最左、最右的 两条轮廓素线的投影，这 两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的 投影与回转轴的投影重合。
回转曲面的要素——母线和回转轴 有导线导面的曲面的要素——母线、导线、导面
13
曲面的表示方法
14
15
§6－3 曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
圆环
16
圆柱体
圆柱体的形成 圆柱体的投影分析
圆柱表面取点
17
圆柱体的形成
两条平行的直线，以一条为母线另一条为轴线
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
平面与球体截交
球体被任意方向的平面截割，其截交线在空间都是圆。
52
求球体的截交线
2' c'd' 7' 8' 3'4' 5'6'
曲线的形成和分类 曲线投影的一般作图法
圆的投影
2
曲线的形成及分类
曲线可以看作是点运动的轨迹。 根据曲线上各点相对位置的不同，曲线可划分为两类： （1）平面曲线——曲线上所有的点都从属于同一个平 面，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。 （2）空间曲线——曲线上任意连续四点不从属于同一 个平面，如圆柱螺旋线。
第6讲-曲线曲面造型基础
自由曲线曲面（2）
计算机图形学与CAD技术
2．几何方法
几何方法求交是通过对参与求交的曲面的形状大小、相互位置以及方向等进 行计算和判断，识别出交线的形状和类型，从而可精确求出交线。 几何求交适应性不是很广，一般仅用于平面以及二次曲面等简单曲面的求交。 (机械制图画法几何中相贯线作图是几何求交法)
自由曲线曲面（2）
2 25
NURBS具有强大的表示能力，能使造型系统的几何元素表示 统一起来，那么，几何造型系统的求交是否可以简化为NURBS求 交呢？非也 ！
自由曲线曲面（2）
计算机图形学与CAD技术 6.6 曲面求交算法介绍
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精与跟踪 的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对共点、共线、 共面难以处理，从而影响布尔运算的效率和稳定性。 基本的求交算法：
跟踪方法求交是通过先 求出初始交点，然后从已知 的初始交点出发，相继跟踪 计算出下一交点，从而求出 整条交线的方法。
跟踪法的本质是构造交 线满足的微分方程组，先求 出满足方程组的某个某个初 值解，通过数值求解微分方 程组的方法来计算整个交 线。
d i .j,i 0, 1, , m 2; j 0, 1, , n
自由曲线曲面（2）
计算机图形学与CAD技术 4. B样条曲面的反算
b）仍以U向视首末截面数据点处v向切矢为“位置矢量”表示 的“数据点”，又视四角角点扭矢为“端点v向切矢”，应用 曲线反算，求出定义首末u参数边界(即首末截面曲线)的跨界 切矢曲线的控制顶点。 c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即：d i , j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一
S1
S2
画法几何—曲线曲面
n
喉圆 M
纬圆
n
赤道圆
特性：
V
m
1. 经过轴的平面和曲面相交于以轴为对称的两条素线；
2. 垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。
5
§6－2 曲面的形成及表示法
有导线导面的直纹曲面
a(d)
D
Ⅱ
M
A
2 m
1
C
Ⅰ
E
c
B
b
e
立体图
c2
d
e
m 导线：垂直于H面的直线AB
平行于V面的半圆CDE
1
导面：H面 母线：BC
3
35
【例3】求棱柱与正圆锥的相贯线。
4'
3' 1'
5'
6'
2'
4" 3" 1"
2" 5"
6"
7"
6 4
3 1
52
36
37
【例4】求棱柱与圆柱的相贯线。
7 5(6) 3(4) 1(2)
6" 4"
2"
7" 5" 3"
1"
已知相贯线的 两投影求第三
投影
46 2
7
1 35
38
§6－7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线；某些特殊情况是平面曲线。
39
§6－7 两曲面立体相贯
• 两曲面立体的相贯线: 是两曲面的公共点的连线 一般情况是封闭的空间曲线；某些特殊情况是平面曲线。
• 特殊情况 当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
6曲线、曲面
1
c a y 1 b
a
b
b
1
y
a
c
§6－3
2 圆锥
曲面立体的投影
§6－3
2 圆锥
曲面立体的投影
S s
E
在圆锥表面上取点
s
e
(e)
s e 方法之一 :
Байду номын сангаас素线法
§6－3
2 圆锥 s
曲面立体的投影
S
在圆锥表面上取点
s
E
e
(e)
s e 方法之二 :
纬圆法
【例4】已知圆锥表面的曲线ABC的V面投影,完成其它投影。
1. 经过已知直线作一个辅助截平面； 2. 求出此辅助截平面与已知形体的截交线； 3. 确定所求截交线与已知直线的交点。 辅助截平面：一般选择投影面的垂直面或平行面
L
M
N
P
特殊情况(有积聚性)可直接求出贯穿点。
可见性的判别：直线穿进形体内部的那一段线不需要画出，其余与
形体重影的线段应判别可见性，不可见的画虚线。
轴线
正立面投影图
主子午线 喉圆 纬圆 赤道圆 母线（子午线）
二、基本类型 1、圆柱面 2、圆锥面 3、圆台面 4、球面 5、环面
非回转直纹曲面(本章第九节内容)
种类：可展直纹曲面和不可展直纹曲面。 一、锥面 二、柱面 三、双曲抛物面：由直母线沿着两交叉直 导线移动，并始终平行于一个导平面而形 成。 四、锥状面（书中P85图6-7） 五、柱状面
【例1】求直线AB与圆柱的贯穿点。
b n' m' a'
b
n
m a
第六章 曲线曲面
m
（m）
（4） 圆柱面上取点
m
因为M点位在右半圆柱面上，所以它的 侧面投影m不可见。
利用投影 的积聚性
圆柱体表面上的线和点
(a′)
a″
1′
2′
3′
4′
(4″)
(3″)
2″
1″
在圆柱 体表面 的线和 点，可 利用圆 柱面的 积聚性 求解。
a 4
1
2
3
二、圆锥
（1） 圆锥体的组成
两条相交直线，以一条为母线另 一条为轴线回转，即得圆锥面。
作图步骤
1.过o’在Pv上截取o’ c’=o’d’=D/2，得c’d’，即为 所作圆周的正面投影 2.再过o作铅垂联系线，并截取 oa=ob=D/2，得长轴ab； 3.过o作水平线与过c’和d’向下引 的铅垂联系线相交，得短轴cd； 4.最后用“四心扁圆法”作椭圆， 即为所求圆周的水平投影
D/2 d’ a’(o’、b’) c’ b PV
由圆锥面和底面组成的回转体就 是圆锥体。
A1
O1
O
A
（2） 圆锥的三面投影图
水平投影是一个圆（即圆锥 底圆的水平投影），圆心即轴和锥 顶的水平投影，半径等于底圆的半 径；正面和侧面投影是相同的等腰 三角形，此等腰三角形的高等于圆 锥的高，底等于圆锥底圆的直径。
（3）轮廓线素线的投影
正面投影的轮廓素线是圆锥最左、 最右的两条轮廓素线的投影； 侧面投影的轮廓素线是最前、最后 的两条轮廓素线的投影。
第三节 曲面立体的投影
由曲面包围或者由曲面和平面包围 而成的立体，叫做曲面立体。 圆柱、圆锥、球和环是工程上最常 用的最简单的曲面立体，由于包围这种 立体的曲面都属于回转曲面，所以又统 称回转体。
曲线曲面从参数表示的基础知识
曲线曲面从参数表示的基础知识
连续性
设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。
另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。
曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
下面我们来讨论两条曲线的
若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：
P(1)=Q(0) ()
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当a=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：
代入()得：
这个关系式为：
图两条曲线的连续性
我们已经看到，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。
也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。
《曲面与曲线》课件
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更 深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁 、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带 来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如 受力、稳定性等。通过合理的曲面设计 ，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果， 如流动的空间、丰富的光影效果等。曲 面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为 人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定 。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等 。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等 。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球 心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲 。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个 参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染
曲线和曲面造型基础
习 题
2.3 NURBS曲线与曲面
NURBS曲面方程：
2.3 NURBS曲线与曲面
拟合：
2.4 曲线与曲面造型方法
曲线与曲面造型中的常用术语
2.4 曲线与曲面造型方法
光顺：
2.4 曲线与曲面造型方法
几何连续性：
2.4 曲线与曲面造型方法
参数连续性：
2.4 曲线与曲面造型方法
几何连续性：
副法矢：
切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。
2.1 微分几何基础
曲率半径： 定义为密切圆的半径，即
2.1 微分几何基础
例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。
2.1 微分几何基础
空间曲线的挠率：
空间曲线Serret-Frenet公式 ：
2.1 微分几何基础
3、曲面几何 曲面表示的分类：
隐式曲面：
凸包示意图
2.3 NURBS曲线与曲面
端点性质 几何不变性 对称性 凸包性 变差减小性 保凸性
☆ Bézier曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。
2.3 NURBS曲线与曲面
端点性质 几何不变性 对称性 凸包性 变差减小性 保凸性
☆ 是变差减小性的推论。
单位切矢： 不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。 单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。
弧长 ：
单位切矢：
链式法则：
2.1 微分几何基础
曲率：
曲率的定义 ：
链式法则后：
二维显式曲线 y = y(x) 的曲率：
2.1 微分几何基础
法矢：
主法矢的定义 ：
在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标—点的坐标变换。
第6讲 曲线曲面基础-1概要
第6讲 曲线曲面基础-11.Bezier 曲线插值公式：∑==n i i n i P t Bt P 0,)()(伯恩斯坦（Bernstein ）基函数：i n i n i t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(, 2一次Bezier 曲线当1=n 时：)1()(1,0t t B -=，t t B =)(1,1得出：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==∑=0110101,)(')1()()(P P t C tP P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001111)(P P t t C 3二次Bezier 曲线当2=n 时：22,0)1()(t t B -=，t t B 2)(2,1=，22,2)(t t B =得出：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--=+-+---=+-+-==∑=210211022102202,2)21(2)1(22)1(22)1(2)(')1(2)1()()(tP P t P t tP P t tP P t t C P t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211)(P P P t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，2)1(P C =2) 切矢性质：)(2)0('01P P C -=，)(2)1('12P P C -=4三次Bezier 曲线当3=n 时：33,0)1()(t t B -=，t t t B 23,1)1(3)(-=，23,2)1(3)(t t t B -=，33,3)(t t B =得出：⎪⎩⎪⎨⎧+-+--+----=+-+-+-==∑=322221210233221203303,3)1(63)1(3)1(6)1(3)(')1(3)1(3)1()()(P t tP t P t P t tP t P t t C P t P t t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(P P P P t t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，3)1(P C =2) 切矢性质：)(3)0('01P P C -=，)(3)1('23P P C -=5.Bezier 曲线近似作图5.1算法思想递推公式：)()()1()(111t tP t P t t P r i r i r i -+-+-=其中：n r ≤≤1，r n i -≤≤0，)(0t P i 即为i P ，)(0t P n 是曲线上具有参数t 的点。
（4条消息）曲线曲面基本理论
（4条消息）曲线曲面基本理论一、曲线曲面基本理论计算机图形学三大块内容：光栅图形显示、几何造型技术、真实感图形显示。
光栅图形学是图形学的基础，有大量的思想和算法。
几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。
描述物体的三维模型有三种 :线框模型、曲面模型和实体模型线框模型用顶点和棱边来表示物体曲面模型只描述物体的表面和表面的连接关系，不描述物体内部的点的属性实体模型不但有物体的外观而且也有物体内点的描述。
二、曲线曲面基础1 、显示、隐式和参数表示曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y = f（x）。
在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线。
如果一个平面曲线方程，表示成 f（x，y）= 0 的形式，称之为隐式表示。
隐式表示的优点是易于判断一个点是否在曲线上。
2、显式或隐式表示存在的问题（1）与坐标轴相关（2）用隐函数表示不直观，作图不方便（3）用显函数表示存在多值性（4）会出现斜率为无穷大的情形3、参数方程为了克服以上问题，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ), y ( t ) ]空间曲线上任一三维点P可表示为：p ( t ) = [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ]它等价于笛卡儿分量表示：p ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k这样，给定一个t值，就得到曲线上一点的坐标。
假设曲线段对应的参数区间为[a,b]，即a≤t≤b。
为方便期间，可以将区间[ a,b ]规范化成[ 0,1 ]，参数变换为：该形式把曲线上表示一个点的位置矢量的各个分量合写在一起当成一个整体，考虑的是曲线上点之间的相对位置关系而不是它们与所取坐标系之间的相对位置关系。
曲线曲面基本理论
• 在曲线曲面理论中，所要考察的在于两个方面： – 曲线曲面的整体，而不是组成这个整体的各个分量； – 曲线曲面上点之间的相对位置关系，而不是它们与 所取坐标系之间的相对位置关系。
– 由于在许多参数形式之前就存在相应的非参数形式 (如：三次样条曲线有三次样条函数，Bézier曲线有 Bernstein基函数等)，所以，这种对应关系与替换绝 非是等价的。
• 而对于非参数形式下的隐方程，则可转换成等价的参数 形式，只需把所含各坐标都分别表示成某一参数的函数， 使它们适合于该隐式方程。
– 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包
括各种特殊情况。即：既能表示自由型曲线曲面，
又能表示初等解析 具有丰富的表达能力与灵活地响应的能力。
– 易于实现连接，且在许多场合要求的光滑连接。
– 易于实现对形状的控制，既具有整体控制的能力，
又具有局部控制的能力。具有较大的控制的灵活性。
– 曲面上pu×pv=0的点是曲面上的一种奇点。
– 这种奇点与曲线上一阶导矢为零矢量的奇点不同：
• 前者有可能因两非零导矢平行或退化边引起， 就可由重新参数化(参数变换)消除；
• 后者由曲线的重新参数化可能消除不了。
A
10
☆图形表示问题 ☆参数化表示 ● 曲线参数化
◘ 参数化方法 ◘ 对应关系 ◘ 参数化性质
☆离散点表示
曲线的参数化：性质
• 曲线上的点是参数u的矢函数。
– 曲线对参数u求导数等于其各分量对参数u求导，其 结果为一矢量，称为导矢；一阶导矢称为切矢。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第6讲 曲线曲面基础-1
1.Bezier 曲线
插值公式：∑==n i i n i P t B
t P 0,)()(
伯恩斯坦（Bernstein ）基函数：i n i n i t t i n i n t B ---=
)1()!(!!)(, 2一次Bezier 曲线
当1=n 时：)1()(1,0t t B -=，t t B =)(1,1
得出：⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-==∑=0110101,)(')1()()(P P t C tP P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001111)(P P t t C 3二次Bezier 曲线
当2=n 时：22,0)1()(t t B -=，t t B 2)(2,1=，22,2)(t t B =
得出：⎪⎩
⎪⎨⎧+-+--=+-+---=+-+-==∑=210211022102202,2)21(2)1(22)1(22)1(2)(')1(2)1()()(tP P t P t tP P t tP P t t C P t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211)(P P P t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，2)1(P C =
2) 切矢性质：)(2)0('01P P C -=，)(2)1('12P P
C -=
4三次Bezier 曲线
当3=n 时：33,0)1()(t t B -=，t t t B 23,1)1(3)(-=，23,2)1(3)(t t t B -=，33,3)(t t B =
得出：⎪⎩
⎪⎨⎧+-+--+----=+-+-+-==∑=32222121023322120330
3,3)1(63)1(3)1(6)1(3)(')1(3)1(3)1()()(P t tP t P t P t tP t P t t C P t P t t tP t P t P t B t C i i i 写成矩阵形式：[]⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(P P P P t t t t C 1) 端点性质：0)0(P C =，3)1(P C =
2) 切矢性质：)(3)0('01P P C -=，)(3)1('23P P C -=
5.Bezier 曲线近似作图
5.1算法思想
递推公式：)()()1()(111t tP t P t t P r i r i r i -+-+-=
其中：n r ≤≤1，r n i -≤≤0，)(0t P i 即为i P ，)(0t P n 是曲线上具有参数t 的点。
5.2以三次为例
下面演算)(30t P ：)()()1()(212030t tP t P t t P +-=
⎩⎨⎧+-=+-=+-=+-=⇒+-=210201111001001011
1020)1()()()1()()1()()()1()()()()1()(tP P t t tP t P t t P tP P t t tP t P t t P t tP t P t t P ⎩⎨⎧+-=+-=+-=+-=⇒+-=320302122102011112
1121)1()()()1()()1()()()1()()()()1()(tP P t t tP t P t t P tP P t t tP t P t t P t tP t P t t P ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=)()()()()()(23212
1211101010P P t P t P P P t P t P P P t P t P
6.B 样条曲线
插值公式：∑==n
i i k i P u N u P 0
,)()(
B 样条基函数：
⎩⎨⎧≤≤=+其它若0u u 1)(1i 1,i i u u N )()()()()()(1111,111,,+-++-++-+-≤≤--+
--=n k i k i k i k i i k i k i i k i u u u u u u N u u u u u N u u u N 7一次B 样条曲线 ——
8二次B 样条曲线 ——
9三次B 样条曲线 ——
10.B 样条曲线近似作图 ——。