3.函数方程综合应用教师版

三：函数方程应用综合一：知识回顾1：以二次函数，一元二次方程和一元二次不等式为例写出函数的零点与对应方程的根及对应不等式解集之间的联系和区别2：写出零点的存在性定理3：思考零点的个数问题与零点的性质问题常见的处理方法 二：基础检测1．函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B 【分析】利用函数的零点存在定理求解. 【详解】由函数()38ln f x x x =-+，因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>， 所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B2．设函数3y x =与23x y -=的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是（ ） A ．(2,3) B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】判断0x 所在的区间是函数32()3x f x x -=-的零点所在的区间，再利用函数零点存在性定理，得出结论． 【详解】由于函数3y x =与23xy -=的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是函数32()3x f x x -=-的零点所在的区间， 因为函数3y x =与23xy -=-都是增函数，所以函数32()3x f x x -=-为增函数，又因为()1f 1320=-=-<，327028f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以f （1）302f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，031,2x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故选：C ．3．已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点, 作出函数()f x 图象,数形结合可得答案. 【详解】根据函数()241,11,12xx x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 4．已知函数()lg f x x x =的零点为a ，设3a b =，ln c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【分析】根据零点定义将()f x 零点转化成函数lg y x =，y x =01a <<，根据指数函数和对数函数的单调性判断出b ，c 值，之后比较大小即可得出答案.【详解】解：由已知得lg a =01a <<， 则1b >，0c <， 所以c a b <<． 故选：B ． 【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.5．关于x 的方程()()2222220x xx x k ---+=，下列命题正确的有（ ）A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 【答案】AB 【分析】通过换元法，设22t x x =-，方程化为关于t 的二次方程220t t k ++=的根的情况进行分类讨论. 【详解】设22t x x =-，方程化为关于t 的二次方程()220*t t k ++=.当1k >时，方程()*无实根，故原方程无实根.当1k =时，可得1t =-，则221x x -=-，原方程有两个相等的实根1x =.当1k <时，方程()*有两个实根()1212,t t t t <，由122t t +=-可知，11t <-，21t >-.因为()222111t x x x =-=--≥-，所以212x x t -=无实根，222x x t -=有两个不同的实根.综上可知：A ，B 项正确，C ，D 项错误. 故选：AB 【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.6．已知函数()()()2121,0,0x x x x f x e x -⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()23()0f x f x a a R ⎡⎤-⎣+=∈⎦有8个不等实根，则a 的取值范围是（ ）A ．9(2,)4B ．1(0,)4C ．1(,3)3D ．()1,2【答案】A 【分析】由函数()f x 的图象，将方程()()23()0f x f x a a R ⎡⎤-⎣+=∈⎦有8个不等实根，转化为()f x 必须有两个不相等的实数根，且()()1,2f x ∈，令()t f x =，则方程()()23()0f x f x a a R ⎡⎤-⎣+=∈⎦有8个不等实根，转化为方程()23,1,2a t t t ∈+=-有两个不等根求解. 【详解】函数()()()2121,0,0x x x x f x e x -⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图所示：因为关于x 的方程()()23()0f x f x a a R ⎡⎤-⎣+=∈⎦有8个不等实根， 所以()f x 必须有两个不相等的实数根，由函数()f x 的图象可知()()1,2f x ∈，令()t f x =，则方程()()23()0f x f x a a R ⎡⎤-⎣+=∈⎦有8个不等实根，转化为()230,1,2t t a t -+=∈有两个不等根，即()23,1,2a t t t ∈+=-有两个不等根，令()23,1,2m t t t ∈+=-，其图象如图所示：由图象可知：a 的取值范围是9(2,)4故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 7．已知函数2(3),0()2,0k x x f x x k x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．(,4)-∞- B ．(4,)+∞C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(,4)(4,)-∞+∞【答案】B判断可得()g x 为偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，求出()g x 在(0,)+∞上的解析式，根据二次函数知识列式可得解.【详解】因为()()()g x f x f x =-+，所以()()()()g x f x f x g x -=+-=，所以()g x 为偶函数， 因为()g x 有且只有四个不同的零点，所以()g x 在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，且()()02040g f k ==-≠，即0k ≠，当0x >时，0x -<，()(3)f x k x -=-+，2()2f x x k =-，所以()g x =2(3)2k x x k -++-2x kx k =-+在(0,)+∞上有且仅有2个不同的零点，所以2(0)00240g k k k >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆=->⎪⎩，解得4k >. 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题8．若方程2220x x --=的两实数根是1x ，2x ，则()()122122x x x x -+-的值为________. 【答案】-8 【分析】利用根与系数关系求得所求表达式的值.由于方程2220x x --=的两实数根是1x ，2x ，所以12122,2x x x x +=⋅=-， 所以()()122122x x x x -+-()()12122222228x x x x =-+=⨯--⨯=-. 故答案为：8- 【点睛】本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，属于基础题.9．函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2 【分析】根据()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，分0x ≤和0x >时，令()0f x =求解.【详解】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：210．已知函数()1xf x e =-，()22g x x x =-+，若存在a R ∈，使得()()f a g b =，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．[]0,2C ．(1+D ．1⎡⎣【答案】C 【分析】求出函数()f x 的值域，可得出关于实数b 的不等式，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】()11x f x e =->-，所以，()221g b b b =-+>-，整理得2210b b --<，解得11b -<<【点睛】解本题的关键在于求得函数()f x 的值域D ，再由()g b D ∈构建不等式求解.11．已知函数222,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-≥=⎨--<⎩，给出下列四个结论：①存在实数a ，使函数()f x 为奇函数；②对任意实数a ，函数()f x 既无最大值也无最小值； ③对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点；④对于任意给定的正实数m ，总存在实数a ，使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________. 【答案】① ② ③ ④ 【分析】分别作出0a =，0a >和0a <的函数()f x 的图象，由图象即可判断① ② ③ ④的正确性，即可得正确答案. 【详解】如上图分别为0a =，0a >和0a <时函数()f x 的图象，对于① ：当0a =时，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，()f x 图象如图1关于原点对称，所以存在0a =使得函数()f x 为奇函数，故①正确；对于② ：由三个图知当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，所以函数()f x 既无最大值也无最小值；故② 正确；对于③ ：如图2和图3中存在实数k 使得函数()y f x =图象与yk =-没有交点，此时函数()y f x k =+没有零点，所以对任意实数a 和k ，函数()y f x k =+总存在零点不成立；故③ 不正确对于④ ：如图2，对于任意给定的正实数m ，取1a m =+即可使函数()f x 在区间(1,)m -上单调递减，故④正确； 故答案为：① ② ④ 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分段函数图象，涉及二次函数的图象，要讨论0a =，0a >和0a <即明确分段区间，作出函数图象，数形结合可研究分段函数的性质.三、解答题12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()22f x x x =-.（1）求()0f 及()()1ff 的值；（2）若关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()00f =，()()11f f =-；（2）()1,0- 【分析】（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解； （2）由已知只需0x >时，()f x m =有两个解的即可. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的偶函数， 且当0x ≥时，()22f x x x =-，()()1(1)(1)1(0)0,f f f f f ==-==-；（2）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，关于x 的方程()0f x m -=有四个不同的实数解，只需0x >时，()f x m =有两个解，当0x ≥时，()222(1)1f x x x x =-=--， 所以10m -<<【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.13．已知函数()2212xxa a f x -+⋅=+. （1）当1a =时，判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）讨论()f x 的零点个数.【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用奇偶性的定义，判断并证明得()f x 为奇函数；（2）分参得212x a =+，判断其单调性和值域，得零点个数的情况。