平面图形的几何性质和弯曲强度
(建筑力学二版)第4章平面图形的几何性质
惯性矩
定义
惯性矩是描述平面图形抵抗弯 曲变形能力的量，也称为抗弯
矩。
计算方法
通过积分或求和的方法计算平 面图形的质量分布，然后根据 质量分布和几何形状确定惯性 矩。
特性
惯性矩与平面图形的形状和质 量分布有关，不同形状的图形 可能有不同的惯性矩。
应用
在建筑结构中，惯性矩是结构 设计的重要参数，用于计算结 构的弯曲变形、应力分布和稳
定性等。
重心与惯性矩的应用
结构设计
在建筑结构设计中，需要 计算结构的重心位置和惯 性矩，以评估结构的稳定 性和承载能力。
施工安装
在施工安装过程中，需要 确定结构的重心位置，以 防止结构发生倾覆或侧翻。
抗震设计
在抗震设计中，需要计算 结构的惯性矩，以评估结 构在不同地震作用下的响 应和稳定性。
04
三角形
01
02
03
04
三角形是最简单的多边 形，具有稳定性、灵活 性和实用性。
三角形的三个内角之和 等于180度，而三条边 的长度之和等于其周长。
三角形的面积可以通过 底和高来计算，公式为： 面积=(底×高)/2。
三角形的重心位于其三 条中线的交点，同时也 是三条高线的交点。
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分类
根据形状和结构特点，平面图形可分为简单图形和组合图形。简单图形包括直 线、圆、圆弧、椭圆等；组合图形则是由两个或多个简单图形组合而成。
平面图形的几何特性
01
02
03
封闭性
平面图形是封闭的，即其 边界是完整的，没有缺口 或断裂。
大小和形状
平面图形的大小和形状是 固定的，不会因为观察角 度或位置的变化而改变。
刚度分类
中国民航大学 2024 年研究生招生考试大纲 804材料力学
材料力学 804一、参考教材：《材料力学I、II》，第四版，高等教育出版社，单辉祖编著。
二、课程内容的基本要求：第一章：绪论第二章：轴向拉压应力第三章：轴向拉压变形第四章：扭转第五章：弯曲内力第六章：弯曲应力第七章：弯曲变形第八章：应力分析和强度理论第九章：组合变形第十章：压杆稳定第十一章：能量方法第十二章：动载荷第十三章：应力分析的实验方法三、应该掌握的内容和重点内容第一章绪论材料力学的任务、基本概念，变形体的基本假设，杆件变形的基本形式。
第二章轴向拉压应力1、轴向拉（压）的概念、内力、截面法、轴力的计算和轴力图的画法。
2、轴向拉（压）杆件横截面及斜截面上的应力计算；许用应力；强度条件及应用。
3、材料在拉伸、压缩时的机械性能。
4、剪切面、挤压面的概念及其判定；剪应力和挤压的公式及其计算。
重点：1、轴力及轴力图的画法。
2、拉（压）应力及强度计算。
3、材料的主要性能。
第三章轴向拉压变形1、轴向拉（压）杆件的变形，纵向变形、弹性模量、抗拉刚度、横向变形、泊松比等概念；虎克定律及其应用。
2、桁架节点位移计算。
3、简单静不定问题的计算。
重点：1、轴向拉（压）变形计算。
2、静不定问题的分析和计算。
第四章扭转1、外力扭矩的计算，扭矩、扭矩图。
2、圆轴扭转时横截面上的应力分布和计算；强度条件及其应用。
3、圆轴扭转时变形和刚度计算；材料的扭转破坏实验。
4、扭转静不定问题的计算。
重点：1、圆轴扭转应力和强度计算。
2、圆轴扭转变形和刚度计算。
3、简单扭转静不定的计算。
第五章弯曲内力1、平面弯曲、剪力、弯矩的概念。
2、剪力方程、弯矩方程的列法；剪力图与弯矩图的画法。
3、利用微分关系画剪力图和弯矩图。
重点：剪力图与弯矩图的画法。
第六章弯曲应力1、纯弯曲的概念和平面假设；平面图形的几何性质。
2、弯曲正应力公式及应用；弯曲剪应力计算。
3、弯曲强度计算；提高梁的强度的主要措施。
重点：弯曲正应力分析与强度计算。
第七章弯曲变形1、挠度、转角及其关系；挠曲线微分方程式；积分法、叠加法求梁的变形。
《材料力学》学习指导
《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。
理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。
材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。
所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。
⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。
构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。
2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。
计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。
讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。
其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。
对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。
如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。
3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。
该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。
要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。
材料力学平面图形的几何性质
6
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3 组合图形的静矩和形心
常见的一些组合图形
组合图形对某一轴的静矩等于各个简单图形对同一轴的静矩的代数和。
sz
yci
A i
sy
z
ci
A i
yc
Sz A
yci Ai Ai
zc
Sy A
zci Ai Ai
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已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz
yc A
bh 2 2
Sy
zc A
hb 2 2
y
c
h
b
z
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例 试确定下图的形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A 1 7,0z 1 0 4,5 y 1 5
A 2 12 , 0 z2 0 5 ,y 2 60
2、求形心
zc
ziAi z1A1z2A2
y -z z dA dA
(2) 惯性积为零的一对坐标轴称为 惯性主轴；
0
z
(3) 通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；
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§4.4 平行移轴公式
平行移轴公式是指图形对于互相平行轴 的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知 图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图 形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
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已知：矩形 b h
求：Iy和Iz
解：
h
Iz
y2dA
A
材料力学平面图形的几何性质
平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性
平面图形的几何性质
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ，该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分：⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d （A-1）分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩，其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力，则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩；x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
弯曲强度
工程力学第七章弯曲强度•§7-1 工程中的弯曲问题•§7-2 弯曲内力及内力方程•§7-3 剪力及弯矩图•§7-4 截面的几何性质•§7-5 平面弯曲的应力•§7-6平面弯曲应力公式的应用•§7-7弯曲强度•§7-8梁弯曲问题讨论1、纯弯曲:CD梁上，只有弯矩、没有剪力－－纯弯曲AC、DB梁段，即有剪力，又有弯矩－－横力弯曲2、纯弯曲梁的应力:变形平面假设：横截面始终保持为平面，只是相对于一个轴转动了一个角度.2、纯弯曲梁的应力:变形凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层(Neutral Surface)中间层与横截面的交线－－中性轴(Neutral Axis)ρεy=εσE =ρσyE=Z1EI M =ρZI My =σ—曲率半径ρ2、纯弯曲梁的应力:zM>0M<0z正应力分布图2、纯弯曲梁的应力:ZI My =σZ m axm ax I My =σZm axW M =σm axZZ y I W ==m inσW M -z极值正应力—截面抗弯系数2、纯弯曲梁的应力:⎰=AdAy I 2Z m axZZ y I W =644Z dI π=323Z dW π=)1(6444Z απ-=DI )1(3243Z απ-=DW 惯性矩与抗弯系数3、纯弯曲梁的应力:12123300Z bh h b I -=)2//()1212(03300Z h bhh b W -=123Z bh I =62Z bh W =⑦惯性矩与抗弯系数3、纯弯曲梁的应力:梁的正应力计算公式的应用条件和范围:正应力计算公式：ZI My=σ•纯弯曲或细长杆件的横力弯曲•截面对轴的惯性积: I YZ =0•弹性变形阶段要点回顾§7-6 平面弯曲的应力公式的应用例:强度条件:[]σI y Mσzmaxmax max ≤=1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑[]t t σσ≤max ,[]c c σσ≤m ax ,3.变截面梁要综合考虑与M zI[]σσ≤=zI y Mmaxmaxmax 分析（1）（2）弯矩最大的截面M （3）抗弯截面系数最z W 图示为机车轮轴的简图。
平面弯曲知识点总结
平面弯曲知识点总结
一、弯曲的概念
平面弯曲是指一个平面图形在不改变其面积的情况下通过一定的变形使其外形发生变化的过程。
在数学中，弯曲也被称为等距变形或保面积变形。
二、弯曲的基本特点
1. 保角变形：在弯曲过程中，图形中各个角度不变。
2. 保边长：在弯曲过程中，图形中各条边的长度不发生改变。
3. 保面积：在弯曲过程中，图形的面积保持不变。
三、弯曲的分类
1. 等距变形：在弯曲过程中，图形的各个部分之间的距离保持不变。
2. 保面积变形：在弯曲过程中，图形的面积保持不变。
四、弯曲的应用
1. 平面几何中的应用：在平面几何中，弯曲用于研究形状的变化和等距变形的性质。
2. 工程学中的应用：在工程学中，弯曲用于设计建筑结构和道路，以及制造航空器和汽车等。
五、弯曲的基本定理
1. 等距变形的性质：在等距变形中，图形的面积和边长保持不变。
2. 保面积变形的性质：在保面积变形中，图形的各个部分之间的距离保持不变。
六、弯曲的计算
1. 等距变形的计算：在等距变形中，可以利用勾股定理和勾股定理的逆定理来计算图形的各个部分的长度。
2. 保面积变形的计算：在保面积变形中，可以利用图形的面积和周长来计算图形的形状。
七、弯曲的应用
1. 保面积变形的应用：在地图制作和平面拓扑学中应用较多。
2. 等距变形的应用：在制作平面图形和设计工程结构中应用广泛。
综上所述，平面弯曲是一项重要的数学概念，在不同领域都有广泛的应用。
通过对平面弯曲的研究和应用，可以更好地理解和利用图形的形状和变化，为工程设计和科学研究提供更多的可能性和技术支持。
第五章平面图形的几何性质
iy
Iy A
i z 分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。 iy、 式中，
工程力学系
z y dA
第五章 平面图形的几何性质
平面图形对坐标原 点的极惯性矩：
I A 2dA
z
I 2 dA y 2 z 2 dA
A A
z 2 dA y 2 dA
A
yC zC dA yzC dA z yC dA yzdA
A A A A
I yC z C yz A
0
0
工程力学系
平行移轴公式
第五章 平面图形的几何性质
I y I yC z A
2
I z I zC y A
2
I yz I yC zC yz A
工程力学系
第五章 平面图形的几何性质
I y
d I y d
Iy Iz 2
y
Iy Iz 2
cos 2 I yz sin 2
tg 2 0 2 I yz Iy Iz
2 I
Iz 2
sin 2 I yz cos 2 0
I y I z I y I z const
工程力学系
z
z y
第五章 平面图形的几何性质
dA
y
z
o
A
解:
z
y
y
y y cos z sin z z cos y sin
工程力学系
第五章 平面图形的几何性质
2 I y z dA A ( z cos y sin ) 2 dA A
兰州交通大学全日制硕士研究生 入学考试专业课考试大纲
兰州交通大学全日制硕士研究生入学考试专业课考试大纲考试科目代码及名称: 806 材料力学考查要点:1.拉伸、压缩、剪切：拉压变形的内力、应力概念及计算；材料拉压变形的力学性能，线弹性胡克定律；切应力和切应变的概念，剪切实用计算，切应力互等定理，剪切虎克定律；许用应力和许可载荷，安全系数，强度计算及相关概念；结构变形分析，拉压静定问题，应力集中的概念。
2.扭转：圆轴扭转的剪切变形和切应力，纯剪切概念，扭转构件的强度和刚度计算。
3.弯曲内力和弯曲应力：梁的约束；载荷与内力的微分关系，剪力图与弯矩图；平面图形的几何性质；弯曲正应力和弯曲切应力强度计算。
4.梁的变形：梁弯曲变形的微分方程，计算梁变形的积分法，叠加法。
5.应力应变分析：应力状态的概念，平面应力分析的解析法与图解法，主应力和最大切应力；平面与空间问题的广义胡克定律，三向应力状态的基本概念；强度理论。
能利用材料力学的基本知识计算各种组合变形（偏心拉压，斜弯曲，弯扭组合）问题的应力及变形，并应用第三或第四强度理论进行校核。
6.能量法与超静定问题：能量法的基本概念；卡氏定理，虚位移原理及单位力法；超静定问题的求解；构件受冲击时的应力和变形计算。
7.压杆稳定：稳定的概念，两端铰支压杆的稳定性，细长比，临界载荷和临界应力，其它支承形式压杆的稳定问题，当量长度。
欧拉公式的适用范围，临界应力总图。
会分析不同柔度下压杆的临界载荷，并进行细长杆的稳定校核。
题型、分值及考试时间：填空题20%；单项选择题8%；计算题72%。
分值为150分。
考试时间3小时。
参考书目（包括书名、作者、出版社、出版时间）：1．《材料力学》（第四版Ⅰ、Ⅱ），孙训方、方孝淑、关来泰编高等教育出版社2002.42.《材料力学》（第四版Ⅰ、Ⅱ），刘鸿文主编高等教育出版社2004.1。
附_平面图形的几何性质
y
材料力学
FI-2 惯性矩
五、平行轴定理
截面对任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
z
O
y
b
z
C
z0
a
y0
dA
I y I y0 b 2 A
z0
A
I z I z0 a 2 A
y
y0
材料力学
FI-3 惯性积
yzdA：微面积dA对一对 z 正交轴y，z的惯性积
b
Iz
z h
A
y dA
2
h 2 h 2
y 2bdy
dy
y
C
b 3 y 3 h
2
h 2
1 3 bh 12
2
y
1 3 I y z dA hb A 12
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
2. 圆形截面
d
已知
1 d 4 I dA A 32
A
极惯性矩和惯性矩之间的关系 2 I dA ( z 2 y 2 )dA
A
A
y
z 2 dA y 2 dA
A A
I y Iz
截面对任意点的极惯性矩等于此截面对于过该点 任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
1. 矩形截面
dA
O
y z
A
平面图形对一对正交轴y， z的惯性积：
I yz = yzdA
A
y
量纲为长度的四次方。 Iyz可能为正，为负或为零。
平面图形的性质分析
平面图形的性质分析引言：平面图形是我们数学学科的基础，也是日常生活中经常遇到的对象。
通过对平面图形的性质分析，我们可以更好地理解它们的特点和关系，进而运用到实际问题中。
本文将从几何形状、边界特征、对称性以及其他相关性质等方面进行分析和讨论。
一、几何形状的性质分析1.1 直线和曲线直线是最简单的平面图形，具有无限延伸的特点。
曲线则有各种各样的形态，如圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
它们的性质不同，但都有共同的特点，比如曲率、切线和法线等。
1.2 多边形多边形是由若干条线段连接而成的封闭图形，有三角形、四边形、五边形等。
不同类型的多边形有不同的性质，如角度和边长等。
此外，还有一些特殊的多边形，如正多边形和等腰三角形，它们具有特殊的对称性和边长关系。
1.3 圆形圆形是由一个固定点到平面上任意一点的距离相等的点的集合。
圆形的性质有很多，如半径、直径、弧长和面积等。
此外，还有一些与圆相关的概念，如切线、切点和切圆等，它们的性质也是我们需要了解的。
二、边界特征的性质分析2.1 边长边长是指多边形的边的长度。
在分析平面图形的性质时，边长是一个重要的指标。
通过比较边长的大小和关系，我们可以判断图形的形状和特征，比如等腰三角形的边长相等、正方形的四边边长相等等。
2.2 周长周长是指多边形的边长之和。
它是一个图形的外部特征，可以用来衡量图形的大小。
通过计算周长，我们可以比较不同图形的大小，进而分析它们的相对关系。
2.3 弧长弧长是指圆形的弧的长度。
在分析圆形的性质时，弧长是一个重要的指标。
通过计算弧长，我们可以比较不同弧的长度，进而分析它们的相对大小和关系。
三、对称性的性质分析3.1 线对称线对称是指图形相对于某条直线对称。
线对称的性质有很多，如对称轴、对称中心和对称图形等。
通过分析线对称的性质，我们可以判断图形的对称性和特征，进而运用到实际问题中。
3.2 点对称点对称是指图形相对于某个点对称。
点对称的性质有很多，如对称中心、对称轴和对称图形等。
平面图形的性质
平面图形的性质在我们的日常生活中，平面图形无处不在。
从我们居住的房屋形状，到书本页面的轮廓，再到手机屏幕上的图标，平面图形构成了我们所见世界的一部分。
那么，什么是平面图形？平面图形又具有哪些独特的性质呢？平面图形，简单来说，就是在一个平面内由线段、曲线等构成的封闭或不封闭的图形。
常见的平面图形包括三角形、四边形、圆形、多边形等等。
先来说说三角形。
三角形是最为基础和常见的平面图形之一。
它具有稳定性，这一性质在建筑和工程领域有着广泛的应用。
比如，很多桥梁的结构中就运用了三角形的稳定性来确保桥梁的稳固。
三角形的内角和总是180 度，无论其形状大小如何。
根据边的长度和角的大小，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形等不同类型。
等边三角形的三条边长度相等，三个角也都为 60 度；等腰三角形有两条边长度相等，对应的两个角也相等；直角三角形则有一个角为90 度，其两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。
四边形是另一种常见的平面图形。
其中，平行四边形具有两组对边分别平行且相等的性质。
矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角。
菱形也是特殊的平行四边形，其四条边长度相等。
正方形则更加特殊，它既是矩形又是菱形，具有矩形和菱形的所有性质。
圆形是一种优美而独特的平面图形。
圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离被称为半径。
圆的周长与直径的比值是一个固定的数，称为圆周率，通常用π表示。
圆的面积等于π乘以半径的平方。
在实际生活中，我们常见的车轮、井盖等很多物品都做成圆形，这是因为圆形在滚动时能够保持平稳，而且在相同周长的情况下，圆形所围成的面积最大。
多边形也是平面图形家族中的重要成员。
多边形可以根据边的数量分为三角形（三边）、四边形（四边）、五边形（五边）等等。
多边形的内角和公式为：（n 2) × 180 度，其中 n 为多边形的边数。
平面图形的性质在数学、科学、工程、艺术等多个领域都发挥着重要作用。
平面图形的几何性质和弯曲强度
平面图形的几何性质和弯曲强度
编者 材料力学教研室 周际平 一．平面图形几何性质 杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩I P 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
（一）静矩（一次矩）和形心 1．定义：截面图形对y轴的静矩：Sy = ∫ zdA
A
Sy Sz 截面图形形心坐标：yc = , zc = A A
截面图形对z轴的静矩：Sz = ∫A ydA
2．静矩的性质： （1）截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。 静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为 长度的三次方。 （2）截面图形对形心轴的静矩等于零。
（3）组合截面对某一轴的静矩等于各部分对 该轴静矩的代数和。其形心坐标，
yc =
∑A y
i=1 n i
n
ci
∑A
i=1
zc =
∑A z
i=1 n
n
i ci
i
∑A
i=1
i
（二）惯性矩（二次矩）和惯性半径
1．定义：
截面图形对y轴的惯性矩： y = ∫ z 2dA I A
截面图形对z轴的惯性矩： z = ∫A y2dA I 截面图形对y轴的惯性半径：iy =
(a, b为 心 y, z坐 中 纵 标 横 标 形 在 标 的 坐 和 坐 ）
（五）转轴公式 1．设y,z为任一对坐标轴，将其绕O点逆时针 旋转 α角，得到新坐标轴，则有：
I y1 = + cos 2α I yz sin 2α 2 2 I y1 + I z1 = I y + I z I y + Iz I y Iz I z1 = cos 2α + I yz sin 2α 2 2
平面图形的几何性质-材料力学共40页文档
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，决不 回头。 ——左
平面图形的几何性质-材料力学
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
材料力学：学习笔记（3）平面图形的几何性质
材料力学：学习笔记（ 3）平面图形的几何性质
第 4章 平面图形的几何性质
静矩
Sz = ∫AydA Sy = ∫AzdA 形心坐标
Sz
y¯ = A
Sy
z¯ = A
惯性矩
Iy = ∫Az2dA Iz = ∫Ay2dA
图形有对称轴时，对称轴就是形心主惯性轴。
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转轴公式
{
Iy + Iz Iy − Iz Iy1 = 2 + 2 cos2α − Iyzsin2α
Iy + Iz Iy − Iz Iz1 = 2 − 2 cos2α + Iyzsin2α
Iy − Iz
Iy1z1 = 2 sin2α + Iyzcos2α
2Iyz
tan2α0 = − Iy− Iz
当α = α0时，坐标轴y0和z0称为主惯性轴或简称主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩；通过形心C的主惯性轴称为形心主惯性 轴，相应对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，杆件横截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面称为形心主惯性平面。
bh3
矩形：Iy = 12
πR4 πD4
圆形：Iy = 4 = 64 惯性半径
√ Iy
iy = A
√ Iz
izቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= A
极惯性矩 Ip = ∫Aρ2dA Ip = Iz + Iy
惯性积Iyz = ∫AyzdA 平行移轴公式
{ Iy = IyC + a2A Iz = IzC + b2A Iyz = IyCzC + abA
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yc =
∑A y
i=1 n i
n
ci
∑A
i=1
zc =
∑A z
i=1 n
n
i ci
i
∑A
i=1
i
（二）惯性矩（二次矩）和惯性半径
1．定义：
截面图形对y轴的惯性矩： y = ∫ z 2dA I A
截面图形对z轴的惯性矩： z = ∫A y2dA I 截面图形对y轴的惯性半径：iy =
Iy A
Iz 截面图形对z轴的惯性半径：z = i A
A
Sy Sz 截面图形形心坐标：yc = , zc = A A
截面图形对z轴的静矩：Sz = ∫A ydA
2．静矩的性质： （1）截面图形对不同的坐标轴静矩是不同的。 静矩的数值可正、可负、可为零。量纲为 长度的三次方。 （2）截面图形对形心轴的静矩等于零。
（3）组合截面对某一轴的静矩等于各部分对 该轴静矩的代数和。其形心坐标，
2
z
a
(5)
a
正方形对y' 和 z' 轴的惯性矩
z
均为
a4 。而 12
y' 与 z' 轴是形
z'
心主惯性轴， y'及 I z则是形 I ' 心主惯性矩。对所有的形
I 心轴来说， y' 及 I z'中的一个
y'
是最大值，另一个是最小值。
a4 而 I y' = I z' = ，所以正方形对任一形心轴的惯性 12
矩也等于
a4 a4 ,即I z = 12 12
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任 一形心轴的惯性矩为常量。
2a 2a
a
2a 4 2 π a4 πa2 Iz = + a2 + a2 2a 12 64 4
( )
z
( )
7 17π 4 = a 3 64
例2 判断正误
I y1z1 = I y Iz 2 sin 2α + I yz cos 2α
I y+I z
I y Iz
注：待学完第八章后，可将此公式与任意斜截 面上的应力公式相比较，形式相同。
2．主惯性轴、主惯性矩 （1）主惯性轴：若圆形对一对坐标轴的惯性积 等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。 （2）主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。 注意：圆形对通过O点的所有轴的惯性矩中，两个 主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。 （3）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。 注意：对称轴一定是形心主惯性轴。
2．惯性矩的性质
（1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不 同的，但惯性矩恒为正。量纲为长度的四次方。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部 分对该轴的惯性矩之代数和。
3．惯性矩与极惯性矩的关系：I P = I y + I z = ∫A ρ 2dA 4．几种常用图形的几何特性： 见教科书P340、表I—1，其中长方形、圆、圆 环及工字形的公式应该记住。 （三）惯性积 1．定义： 截面图形对y、z轴的惯性积 I yz = ∫A yzdA 2．性质： （1） I yz 的数值可正、可负、可为零。量 纲是长度的四次方。
(a, b为 心 y, z坐 中 纵 标 横 标 形 在 标 的 坐 和 坐 ）
（五）转轴公式 1．设y,z为任一对坐标轴，将其绕O点逆时针 旋转 α角，得到新坐标轴，则有：
I y1 = + cos 2α I yz sin 2α 2 2 I y1 + I z1 = I y + I z I y + Iz I y Iz I z1 = cos 2α + I yz sin 2α 2 2
y1
h
y
1 I y1 = I y + h × bh 2
2
Hale Waihona Puke H hb Bz
BH 3 bh3 Iz = 12 12
Z轴为槽形的形心轴
例1 求图示截面对z轴的惯性矩。
R
(1)
1 π (2R)4 πR4 Iz = × = 2 64 8 1 πR4 πR4 Iz = × = 2 8 16
z
(2)
R
z
a
a
(3)
a a
(4)
z
a4 a 2 1 4 Iz = + a = a 12 2 3
a4 πa4 1 π 4 Iz = = a 3 16 3 16
平面图形的几何性质和弯曲强度
编者 材料力学教研室 周际平 一．平面图形几何性质 杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩I P 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
（一）静矩（一次矩）和形心 1．定义：截面图形对y轴的静矩：Sy = ∫ zdA
（2）若y，z轴中有一个是图形的对称轴。 则 I yz = 0 （四）平行移轴公式 设 yc , zc是通过形心的一对坐标轴，y,z是与其平 行的另一对坐标轴，则有：
I y = I yc + a2 A
I z = I zc + b2 A
(a为y与yc轴之间距离）
(b为z与zc轴之间距离）
I yz = I yczc + abA