第七章 线性离散系统

如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这
种采样称为周期采样；反之，如果信息之间的间隔是时变
的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样。本章仅
讨论等周期采样。如果系统中有几个采样器，则认为它们 是同步等周期的。
1. 采样过程 基于信号的采样理论，一个连续时间信号x(t)在满足一定的
条件下，可以用它的采样信号x*(t)来表示。
dx(t ) d 2 x(t ) (k T) x(k T) x t kT , t kT 数也越高，这将给实现带来困难，并且也会给系统的稳定性 dt dt 2
由上式可知xk(t)的精度越高，所需要的x(kT)的导数的阶
带来不利影响。
在实际使用当中，常利用上式中的第一项x (kT)来重构 信号。由于只用了多项式中的零阶项，且在kT及(k+1)T 之
困难，通常采用z变换法研究离散系统。 z变换可以把离散系统s超
越方程，变换为变量z的代数方程。
7.2.2 采样定理
信号的采样确定了连续时间信号x(t)的采样表达式x*(t)，
那么x*(t)是否仍然保留原连续信号x(t)的所有信息。如果不
是，那么能够保留多少原连续时间信号的信息量？所保留信 息量的理论依据是什么？香农采样定理解决了上述问题。
a
x(t) t
1
xh(t) t
T
b
1 e sT Gh ( s) Lxh (t ) xh (t T ) s
② 零阶保持器的频率特性
如图所示，零阶保持器相当
于一个低通滤波器。但有附加的 相位滞后。
1 e Gh j j e
j
jT
j T e e 2 T 2
零阶保持器的输出
采样信号经零阶保持器保持后，成为阶梯波信号，如图所 示。 如果取两个采样点的中点作平滑，平滑后的信号与原连续 时间信号相比有1/2个采样时间的滞后。T很小的情况下，可忽
略。
7.3 Z 变换与Z 反变换
线性连续系统的动力学模型是线性微分方程，由 Laplace
变换可求得线性连续系统的传递函数，因此Laplace变换是线 性连续系统的分析工具；而线性离散系统的动力学模型是差分 方程，由差分方程也可求得类似于连续系统的离散传递函数， 但这必须借助于Z变换。即Z变换是对线性离散系统进行定性
• 采样周期T的选择要根据实际情况综合考虑，合理选择。
在一般的过程控制系统中：
过程控制参数
流 压 液 温 量 力 位 度
在随动系统中：
s 10c 即 T
采样周期（s）
1 5 5 20
5c
7.2.3 信号保持
信号保持就是将离散时间信号{x(kT)}转换成连续信号x(t)， 更确切地说，也就是如何利用已知的采样数据得到两个相邻采 样时刻kT及(k+1)T之间的原信号x(t)。
用于这种转换工作的装臵称为保持器。
为此将x(t)在两采样时刻kT及(k+1)T 之间展开成泰勒级数：
(k T) x xk (t ) x(k T) x(k T)(t k T) (t k T) 2 2! xk (t ) x(t ) k T t (k 1)T dx(t ) x(k T) dt
和定量分析的数学工具。
有关Z变换的说明
① 对函数x(t) 的Z变换实际上是对x(t)的离散序列x*(t)的Z变换，
这是因为Z变换只能反映连续时间函数在采样时刻上的性质， 而其在非采样时刻的信息则无从表现，因此可以认为连续时 间函数与相应的离散时间函数具有相同的Z变换； ② Z变换可由拉氏变换直接推导得出，它们都是将一个时域函 数变换为相应的复域函数并且具有许多相类似的特性，如e-sT 表示一个延迟时间为T的延时环节，而z 迟一个采样周期T，即一步延迟；
n


(8.2.3)
即x*(t)由一系列脉冲构成， (t-nT)仅表示采样发生的 时刻， x(nT)则表示在nT时刻所得到的离散信号值。 若函数x(t)，在t<0时等于零，则x*(t)可表示为：
x (t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
自动控制原理
第七章 线性离散系统
本章主要学习了解线性离散系统，包括计算机控制系统
的一些基本概念；线性离散系统的基本结构和分析方法；掌握
有关数字控制系统的一些基本知识。其主要内容为： 7.1 概述
7.2 信号的采样和采样定理
7.3 Z变换与Z反变换 7.4 离散系统的传递函数 7.5 线性离散系统的稳定性分析
采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的 信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样
信号。
采样系统的个性——采样过程和采样信号保持 采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制；（2）需分析 稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。
7.1.1 模/数(A/D)变换
A/D变换是将连续信号 变换成离散数字信号的装臵, 它由三部分构成，即采样、 量化和编码。 1. 采样器 采样器完成对信号的采样。
7.1 概述
控制系统的基本类型
控制系统按它所包含的信号形式通常可划分为
连续控制系统 系统中各处均为连续时间信号。
离散控制系统 系统中有一处或多处离散时间信号(信号是脉冲
或数码)。 采样控制系统 系统中离散信号是脉冲序列形式的离散系统。 数字/计算机控制系统 系统中离散信号是数字序列形式的离散 系统。
Ｕh(t)
T 2T … (b)
保持器的作用则是将解码后的脉冲信 号保持规定的时间，使时间上离散的信 号变成时间上连续的信号，如图c所示.
T 2T … (c)
D/A转换过程
7.2 信号的采样与采样定理 7.2.1 信号的采样
1. 采样过程 采样系统对来自传感器的连续信息在某些规定的时间 瞬时取值。
* n 0 n 0
采样过程可图解如下：
采样过程的数学描述
x (t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
* n 0 n 0
采样信号的拉氏变换
X * ( s) x(nT )e nTs
n 0
用拉氏变换法研究离散系统，尽管可以得到eTs的有理函数， 但却是复变量s的超越函数，不便于进行分析和设计。为克服这一
t kT
,
d 2 x(t ) (k T) x dt 2
t kT
x(t)在kT时刻展开成泰勒级数:
(k T) x xk (t ) x(k T) x(k T)(t k T) (t k T) 2 2! xk (t ) x(t ) k T t (k 1)T
换器的位数。
例如一个10位，量程为-5 ~ 5V的A/D转换器，其量 化单位为
q 5 (5) 0.0098 V 10 mV 10 2 1
即该A/D转换器的分辨率为10mV。 量化误差：由于模数转换后得到的相应数码没有精确的代 表被测的模拟量，由此产生的误差。
3. 编码器
编码器将量化后的离散信号编码成二进制数据，供数 字控制器使用。
间x (kT)保持不变，故称这种信号重构装臵为零阶保持器。
保持器是具有外推功能的元件，现在时刻(kT+τ)的输出 信号取决于过去时刻(kT)离散信号的外推。
3.零阶保持器 –常值外推 ① 零阶保持器数学模型
零阶保持器的单位脉冲响应如图，
输入一个理想单位脉冲，输出可表示为 两个阶跃函数之和。传递函数为 δ(t)
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
t
(c) 离散量化信号
t
A/D转换过程
7.1.2 数/模（D/A）变换
D/A转换器是一种硬件装 臵，由解码器和保持器两部分 组成，如图a所示。
Ｕ＊(t)
110 100 010
数字 输入
模拟 输出
解码器 保持器
Ｕ＊(t)
(a)
Ｕh(t)
解码器的功能将数字量转 换为幅值等于该数字量的模 拟脉冲信号，如图b所示.
续信号。
采样定理
• 采样定理只是给出了选择采样周期的基本原则，而未给出
解决实际问题的具体公式。 • 采样周期选的越小，对系统控制过程的信息了解便越多， 控制效果也会越好。但T选的过短，将增加不必要的计算 负担，造成实现较复杂控制规律的困难 ；T选的过长，又 会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，甚 至有可能导致整个控制系统失去稳定性。
性质，即：



f (t ) (t nT )dt f (nT ), n 0,1,2,
因此，理想采样开关闭合一次，相当于在该时刻作用 一个单位脉冲函数。采样开关以T为周期闭合，相当于一系
列单位脉冲函数的作用。
则采样信号可以表示为：
x* (t )
n
x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
1. 采样周期 T
采样信号只在采样时刻等于连续信号，而在采样时刻之间采 样信号与连续信号的关系并不确定。采样周期若选得不合适，则
采样信号会严重失真，如图所示，因此采样周期的选择非常重要。
采样周期过长 信号失真
同一信号不同采样周期的采样结果对比
采样周期 0.2ms
采样周期 1.6 ms
采样周期 16 ms
T
j
T
2
e 2j
j
T
2
sin(T / 2) j2T T sin T e T 2 2 T / 2
2
T
T
零阶保持器除了允许主频谱分量通过之外，还允许一部分附加高频分量通过。
因此复现出的信号与原信号是有差别的。
为了对比，下图是一阶保持器的频率特性，与零阶保 持器（虚线所示）相比，其相位滞后更为严重，且高频分 量更多。
离散控制系统的特点
• 采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统的抗
干扰能力。
• 允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。 • 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，经济性好。 • 由数字计算机构成的数字校正装臵，效果比连续式校正装臵好，且由软 件实现的控制规律易于改变，控制灵活，容易实现一些复杂的控制算法。 • 对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳 定。
xτ *(t) x(t)
T
模拟 输入 采样
数字 输出
量化
编码
x(t)
x*(t)
x * (t )
x*(t)
x*(t) τ T
a
b
c
2.量化器 量化器将采样信号x*(t)在各采样时刻的幅值变换成二 进制数最低位所代表量
* * xmax xmin (即量化单位)的整数倍， q 2n 1
式中
* * xmax , xmin 分别为A/D输入的最大值和最小值，n为A/D转
样。

信号的基本类型
幅值
Baidu Nhomakorabea
时间
连
续
离
散
连续
离散
数字控制系统的一般结构
r*
计算机 A/D 模/数
u*
D/A 数/模
u
功放
uc
被控 对象
y
f*
f
量测及 变 换
数字控制系统的核心 是 计 算 机 ， A/D将 连 续 信 号 转 换 成 数 字 信 号 ， D/A 将数字信号转换成连续信 号，这种系统仍然是一个 闭环控制系统。
如图所示，连续信号经过采样开关成为时间上离散的采样信 号x*(t)，即一个离散脉冲序列{x(0), x(T), x(2T), …}.
T：采样周期
fs=1/T：采样频率 s= 2/T：采样角频率 ：采样开关闭合时间。通常≪T，可以假设 =0。
2. 采样信号的表示 采样信号的表示需要借助于 函数。由于 函数具有采样
离散控制系统的研究方法
• 研究连续线性系统所用的方法，例如拉氏变换、传递函数和频率特性 等不再适用。 • 通过Z变换这个数学工具，可以把以前学习过的传递函数、频率特性
等概念应用于离散控制系统。
• Z变换具有和连续系统中拉氏变换同等的作用，是研究线性离散系统 的重要数学工具。
• 与连续系统对比，只是运用了不同的数学工具，所研究的内容范围一
采样频率越低，信号中的高频成分损失越多，曲线越光滑。
采样定理
若对一个具有有限频谱 fmax的连续信号x(t)进行采样, 当采样频率满足 fs >2fmax
时,则采样信号x*(t)能无失真地恢复到原来的连续信号x (t) .
从物理意义上来理解采样定理：如果选择这样一个采
样频率，使得对连续信号中所含最高频率的信号来说，能 做到在其一个周期内采样两次以上，则在经采样获得的离 散信号中将包含连续信号的全部信息。反之，如果采样次 数太少，即采样周期太长，那就做不到无失真的再现原连