《应用一元二次方程》PPT课件
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北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
湘教版九年级PPT课件：2.5 一元二次方程的应用
解：(1)设 x 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2， 依题意得：12(5－x)·2x＝6，解得：x1＝2，x2＝3. 故 2 秒或 3 秒后，△PBQ 的面积等于 6 cm2；
(2)设 x 秒后，PQ 的长度等于 5 cm， 依题意，得：(5－x)2＋(2x)2＝52， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2. 故 2 秒后，PQ 的长度等于 5 cm；
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量
关系是：
今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率
设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据
等量关系，可列出方程：
40%(1+x)2=90%
整理，得 (1+x)2=2.25
解得
x1=0.5=50%，x2= -2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。
课后练习
1．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下 降．某市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆 竹销售量为9.8万箱．求该市2013年到2015年烟花爆竹年 销售量的平均下降率．
解：设咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下 降率是x，依题意得：20(1－x)2＝9.8，解这个方程，得x1＝ 0.3，x2＝1.7，由于x2＝1.7不符合题意，故x＝0.3＝30%. 答：咸宁市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降 率为30%.
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
整理，得
解得
x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
课堂练习
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm， BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其中一 点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出 发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
《一元二次方程》数学PPT课件(10篇)
4-7x2=0
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数
3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
1x2 ＋1x－8＝0
1
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋00x＋4＝0 －7
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
抢答： 一元二次方程
2x2+x+4=0
-4y2+2y=0 3x2-x-1=0
4x2-5=0
二次项系数
一次项系数
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0 (6) x2 6 (7)4x2 1 (2x 3)2 3
(8)( x )2 2 x 6 0
练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么？ (1)7x2－6x＝0 (2)2x2－5xy＋6y＝0
?
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
为 (50-2x)cmБайду номын сангаас.
① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2.
③ 都是整式方程;
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
冀教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第1课时)
24.4 一元二次方程的应用
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
一元二次方程的应用PPT课件
2、教学目标
知识目标： 能用一元二次方程解决简单的几何 型应用问题。
能力目标： 进一步提高数学建模的能力，培养学 生动手操作、观察归纳能力，培养学 生问题意识能力。
情感目标： 帮助学生体验数学学习活动中的成功 与快乐，使他们认识到数学来源于生 活，在生活中学习数学，学好数学更 好地为生活服务。
3、重难点分析：
）
又AC=AC （
）
所以△ABC≌△CDA （
）
所以： AB=CD，AD=B 平（行四边形的）性质定理：平行四边形 的两组对边分别相等。
❖（1）定义、命题、公理、定理的概 念。
❖（2）命题的真假。
❖（3）命题的形式与命题的题设和结 论。
(4) 说明一个命题是假命题,只需举 一反例
❖
（假）
3、圆的切线垂直于圆的半径。 （假）
4、等腰三角形的底角必是锐角。 （真）
5、正数与负数的和仍是负数。
（假）
6、一个数的平方必是正数。
（假）
7、一个三角形的两个角、一边和另一三角形的两个
角、一边分别相等的三角形全等。
（假）
阅读理解
阅读教材P93第二段及以后的内 容并回答下列内容： ❖ 1、公理与定理有什么区别？ ❖ 2、公理与定理有什么相同的？ 有什么作用？ 3、你能说出一个学过的定理吗？
小考卷2
一、把下面的命题改写成“如果……那 么……”的形式。 1、两直线平行，同旁内角互补。 2、同圆的半径相等。 3、有两个角相等的两个三角形相似。 4、等角的补角相等。 5、圆是轴对称图形，又是中心对称图形。
小考卷3
判断下列命题的真假：
细心！
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第2课时)
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
3．某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部
门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商
为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050
元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百
年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年
废气减少的百分率各是多少?
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么?
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使
废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减
少的百分率)
(2)未知量之间的数量关系是什么?
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分
价的百分率都为x，则x满足( D )
A．16(1＋2x)＝25
B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25
D．25(1－x)2＝16
2.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，
如果每月的增长率x相同，那么 ( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196x
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）.
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
课堂小结
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，
x为增长率，2为增长次数，b为
增长后的量
平均变化
率问题
注意：增长
率不可为负，
但可以超过1
注意：下降
率不能超过1
一元二次方程的应用课件
02
一元二次方程的应用场景
几何问题
直角三角形问题
在直角三角形中，常常需要利用一元 二次方程来求解某一边的长度。例如 ，已知直角三角形的两个直角边长度 ，求斜边的长度。
勾股定理问题
勾股定理是一元二次方程在几何中应 用的一个典型例子。已知直角三角形 的两条直角边，我们可以利用勾股定 理来求解斜边的长度。
检验解的有效性
解出方程后需要进行检验，确保解是 有效的，避免出现不符合原方程的解 。
解法的拓展与提高
拓展解法的应用范围
通过学习更多的一元二次方程的解法，可以拓展解法的应用范围 ，解决更多的问题。
提高计算能力
通过不断的练习和总结，可以提高计算能力，减少计算失误，提高 解题效率。
掌握多种解法
掌握多种一元二次方程的解法，可以更加灵活地解决问题，根据实 际情况选择最合适的解法。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是 常数，且 a ≠ 0。这个方程只含 有一个未知数 x，且 x 的最高次 数为2。
一元二次方程的一般形式
总结词
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
详细描述
一元二次方程的应用ppt 课件
• 一元二次方程的基本概念 • 一元二次方程的应用场景 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程的实际应用案例 • 一元二次方程的解法总结与反思
01
一元二次方程的基本概念
一元二次方程的定义
总结词
一元二次方程是只含有一个未知 数，且未知数的最高次数为2的方 程。
详细描述
一元二次方程的一般形式包含了三个项：ax^2、bx 和 c，其中 a、b、c 是常 数，且 a ≠ 0。这个形式是所有一元二次方程的基础。
《应用一元二次方程》一元二次方程演示课件 PPT
思考:这个问题设什么为x?有几种设法?
思考:(1)若设年平均增 （1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到____ _ _万元（用代数式表示）
892（1+x)2=2083
长率为x,你能用x的代 1254（1+y)2=3089
上网计算 思考:(1)若设年平均增长率为x,你能用x的代数式表示2002年的台数吗?
1月1日 12月31日 12月31日 12月31日 12月31日
问题1：截止2000年12月31日，我国的上网计算机 总台数为892万台；截止2002年12月31日，我国的 上网计算机总台数为2083万台；
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国计 算机上网总台数的年平均增长率（精确到0.1%）
解 2第、二关章键之一处元：二分次析方题程解意，方找出程等量并关系检，列验出方根程。的准确性及是否符合实际意义并作答。
练一练:
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
练一练:
某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生 人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是 前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学 生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?
(2) 上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日与2000 年12月31日至2002年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较大?
2001年12月31日总台数为1254万台， 2003年12月31日总台数为3089万台
(2)解：设2001年12月31日至2003年12月31日上网计 算机总台数的年平均增长率为y，由题意得
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C B
线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段 BC的比例中项,也可写成AC2=AB· BC.
学习一元二次方程之后, 我们可以求得 5 1 AC BC 2 0.618. AB /plus/view.php?aid=39504 AC 1
心动
x 100 300 2 x .
2 2 2
A
北
整理, 得3 x 1200 x 100000 0.
2
东 D
解这个方程, 得
100 6 x1 200 118.4, 3 100 6 x2 200 不合 意, 舍去 . 3
B E
F
C
相遇时补给船大约航行 了118 .4 海里. /plus/view.php?aid=39533
不如行动
运用方程能解决 这个问题吗
解 :由
AC CB , 得 AC 2 AB CB. AB AC
A
C
B
设AB 1, AC x, 则CB 1 x.
x 1 1 x , 即 x 2 x 1 0. 解这个方程, 得
2
x1
1 5 x . 2
解:(1)连接DF,则DF⊥BC.
AB BC , AB BC 200海里, AC 2 AB 200 2海里,∠C=450. 1 CD AC 100 2海里 2 DF CF , 2 DF CD. A
2 DF CF CD 2 2 100 2 100海里. 2
D
北 东
小岛 D 和小岛 F 相距100 海里.
B
E
F
C
/plus/view.php?aid=39506
例题欣赏
☞
行家看门道
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海 里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 2 4 ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.b2-4ac≥0. /plus/view.php?aid=39502
小结
• 1.审; • 2.设; • 3.列;
拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 4.解;方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. /plus/view.php?aid=39524
独立 作业
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其 和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛 义德得到多少钱?
1 5 , 2 1 5 x2 (不合题意, 舍去). 2
黄金比
AC 1 5 0.618. AB 2
/plus/view.php?aid=39503
源于生活,服务于生活
运用方程还能解决什 问题
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海 里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要 目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛 F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿 A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿 南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
( 60 2 x )( 40 2 x ) 800 .
整理得 : 2 x 50 x 400 0 . 解这个方程, 得 :
x1 10; x2 40(不合题意, 舍去).
x
60-2x
40-2x
800cm2
答 : 截去的小正方形的边长 为10 cm.
/plus/view.php?aid=39522
学习是件很愉快的事
随堂练习
• 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东 行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙 一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么 相遇时,甲,乙各走了多远?” 乙:3x C
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得 A (7x-10)2=(3x)2 +102.
整理得:2x2-7x=0. 解这个方程,得 ∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). ∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5. 答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
10
7x-10
B 甲:
源于生活的数学
4.学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形 相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验, 彩纸面积为相片面积的 2时较美观, 求镶上彩纸条的宽. (精确到0.1厘米)
3
解 : 设彩纸条的宽为xcm, 根据题意, 得 2 (18 2 x )(12 2 x ) 18 12 18 12. 3 2 整理得 : x 15 x 36 0 . 解这个方程, 得 : 15 3 41 x1 2.1; 2 15 3 41 x2 0(不合题意, 舍去). 2 • 答:彩纸条的宽约为 2.1cm. /plus/view.php?aid=39526
整理得 :
x 14 x 24 0 .
2
2
2 2
P
8m
解这个方程, 得 : x1 2; x2 12(不合题意, 舍去).
答：2秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积 的一半.
C
6m
Q
B
/plus/view.php?aid=39527
下课了!
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” /plus/view.php?aid=39501
/plus/view.php?aid=39523
想一想
先胜为快
3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小 正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的 边长.
解 : 设截去的小正方形边长为xcm, 根据题意, 得
A
北
(1).小岛D与小岛F相距多少海里? (2).已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里)
D
B
E
F
C
/plus/view.php?aid=39507
例题欣赏
☞
行家看门道
/plus/view.php?aid=39520
动脑筋
•
争先赛
2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
解 : 设长方形绿地的宽为xm, 根据题意, 得
整理得 :
x ( x 10 ) 900 .
独立 作业
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出 发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们 的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的 一半? • 解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半. 1 1 1 A • 根据题意，得 (8 x )( 6 x ) 8 6.
回顾与思考 1
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
你知道黄金比为什么是 0.618吗?
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割 点,AC与AB的比称为黄金比. A
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊
AC BC , 那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
应用一元二次方程
/plus/view.php?aid=39496
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
x 2 10 x 900 0 .
x x+10
解这个方程, 得 :
x1 5 5 37 25.41; x2 5 5 37 0(不合题意, 舍去). x 10 5 5 37 10 5 5 37 35.41. 答 : 这块长方形绿地的长和宽分别约是 25.41m,35.41m.
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型. • 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方法——即方程的思想.
/plus/view.php?aid=39530
解 : 设赛义德得到的钱数为 x, 根据题意, 得
x ( 20 x ) 96.
整理得 : x 2 20 x 96 0.
线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段 BC的比例中项,也可写成AC2=AB· BC.
学习一元二次方程之后, 我们可以求得 5 1 AC BC 2 0.618. AB /plus/view.php?aid=39504 AC 1
心动
x 100 300 2 x .
2 2 2
A
北
整理, 得3 x 1200 x 100000 0.
2
东 D
解这个方程, 得
100 6 x1 200 118.4, 3 100 6 x2 200 不合 意, 舍去 . 3
B E
F
C
相遇时补给船大约航行 了118 .4 海里. /plus/view.php?aid=39533
不如行动
运用方程能解决 这个问题吗
解 :由
AC CB , 得 AC 2 AB CB. AB AC
A
C
B
设AB 1, AC x, 则CB 1 x.
x 1 1 x , 即 x 2 x 1 0. 解这个方程, 得
2
x1
1 5 x . 2
解:(1)连接DF,则DF⊥BC.
AB BC , AB BC 200海里, AC 2 AB 200 2海里,∠C=450. 1 CD AC 100 2海里 2 DF CF , 2 DF CD. A
2 DF CF CD 2 2 100 2 100海里. 2
D
北 东
小岛 D 和小岛 F 相距100 海里.
B
E
F
C
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☞
行家看门道
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海 里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 2 4 ac 0时, 它的根是 :
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.b2-4ac≥0. /plus/view.php?aid=39502
小结
• 1.审; • 2.设; • 3.列;
拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 4.解;方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. /plus/view.php?aid=39524
独立 作业
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其 和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛 义德得到多少钱?
1 5 , 2 1 5 x2 (不合题意, 舍去). 2
黄金比
AC 1 5 0.618. AB 2
/plus/view.php?aid=39503
源于生活,服务于生活
运用方程还能解决什 问题
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海 里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要 目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛 F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿 A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿 南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
( 60 2 x )( 40 2 x ) 800 .
整理得 : 2 x 50 x 400 0 . 解这个方程, 得 :
x1 10; x2 40(不合题意, 舍去).
x
60-2x
40-2x
800cm2
答 : 截去的小正方形的边长 为10 cm.
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学习是件很愉快的事
随堂练习
• 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东 行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙 一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么 相遇时,甲,乙各走了多远?” 乙:3x C
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得 A (7x-10)2=(3x)2 +102.
整理得:2x2-7x=0. 解这个方程,得 ∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). ∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5. 答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
10
7x-10
B 甲:
源于生活的数学
4.学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形 相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验, 彩纸面积为相片面积的 2时较美观, 求镶上彩纸条的宽. (精确到0.1厘米)
3
解 : 设彩纸条的宽为xcm, 根据题意, 得 2 (18 2 x )(12 2 x ) 18 12 18 12. 3 2 整理得 : x 15 x 36 0 . 解这个方程, 得 : 15 3 41 x1 2.1; 2 15 3 41 x2 0(不合题意, 舍去). 2 • 答:彩纸条的宽约为 2.1cm. /plus/view.php?aid=39526
整理得 :
x 14 x 24 0 .
2
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8m
解这个方程, 得 : x1 2; x2 12(不合题意, 舍去).
答：2秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积 的一半.
C
6m
Q
B
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下课了!
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” /plus/view.php?aid=39501
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想一想
先胜为快
3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小 正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的 边长.
解 : 设截去的小正方形边长为xcm, 根据题意, 得
A
北
(1).小岛D与小岛F相距多少海里? (2).已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里)
D
B
E
F
C
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例题欣赏
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动脑筋
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争先赛
2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
解 : 设长方形绿地的宽为xm, 根据题意, 得
整理得 :
x ( x 10 ) 900 .
独立 作业
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出 发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们 的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的 一半? • 解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一半. 1 1 1 A • 根据题意，得 (8 x )( 6 x ) 8 6.
回顾与思考 1
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
你知道黄金比为什么是 0.618吗?
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割 点,AC与AB的比称为黄金比. A
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊
AC BC , 那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
应用一元二次方程
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回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
x 2 10 x 900 0 .
x x+10
解这个方程, 得 :
x1 5 5 37 25.41; x2 5 5 37 0(不合题意, 舍去). x 10 5 5 37 10 5 5 37 35.41. 答 : 这块长方形绿地的长和宽分别约是 25.41m,35.41m.
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型. • 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方法——即方程的思想.
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解 : 设赛义德得到的钱数为 x, 根据题意, 得
x ( 20 x ) 96.
整理得 : x 2 20 x 96 0.