高中数学向量的概念教案新人教A版必修

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学新教材高中数学第六章平面向量及其应用平面向量的概念教学用书教案新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6．１平面向量的概念素养目标·定方向素养目标学法指导１．理解向量的有关概念及向量的几何表示.（直观想象）２．理解共线向量、相等向量的概念.（数学抽象）３．正确区分向量平行与直线平行.（逻辑推理）４．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.（数学建模）１．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.２．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.３．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.必备知识·探新知知识点１向量的基本概念与表示１．向量的概念（１）向量：既有__大小__又有__方向__的量叫做向量.（２）数量：只有大小没有__方向__的量称为数量.２．有向线段（１）有向线段：具有__方向__的线段叫做有向线段.（２）表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作__错误!__.（３）有向线段错误!的长度：线段AB的长度也叫做有向线段错误!的长度，记作__|错误!|__.（４）有向线段的三要素：__起点__、__方向__、__长度__.３．向量的表示方法几何表示用__有向线段__来表示向量，有向线段的长度表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__.即用有向线段的起点、终点字母表示，如错误!，…字母表示用小写字母a，b，c，…表示[知识解读] 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b，c.书写用错误!，错误!，错误! .４．向量的相关概念向量的模向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或模），记作__|错误!|__零向量长度为0的向量叫做零向量，记作__0__单位向量长度等于__１个单位长度__的向量，叫做单位向量知识点２相等向量与共线向量１．平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作__a∥b__；规定：零向量与任意向量__平行__，即对任意向量a，都有__0∥a__.２．相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，记作a＝b.３．共线向量：平行向量也叫做共线向量.[知识解读] １．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.２．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量（平行向量）有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.关键能力·攻重难题型探究题型一向量的有关概念１时间、摩擦力、重力都是向量；２两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；３若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；４在菱形ABCD中，一定有错误!＝错误!.其中所有正确命题的序号为__３４__.[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.[解析] 时间不是向量，故１不正确.两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故２不正确.单位向量的长度为１，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，１为半径的圆上，故３正确.４显然正确，故所有正确命题的序号为３４.[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.【对点练习】１下列说法中正确的是（ D ）Ａ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小Ｂ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小Ｃ．向量的大小与方向有关Ｄ．向量的模可以比较大小[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.题型二向量的几何表示及应用典例２某人从A点出发向东走了５米到达B点，然后改变方向按东北方向走了１0错误!米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了１0米到达D点.（１）作出向量错误!，错误!，错误!.（２）求错误!的模.[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.[解析] （１）作出向量错误!，错误!，错误!，如图所示：（２）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝１0错误!米，CD＝１0米，所以BD ＝１0米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝５米，BD＝１0米，所以AD＝错误!＝５错误!（米），所以|错误!|＝５错误!.[归纳提升] 向量的两种表示方法及应用（１）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.（２）字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示但需是黑体，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如错误!，错误!，错误!等.便于向量的运算.【对点练习】２在如图的方格纸中，画出下列向量.（１）|错误!|＝３，点A在点O的正西方向；（２）|错误!|＝３错误!，点B在点O北偏西４５°方向；（３）求出|错误!|的值.[解析] 取每个方格的单位长为１，依题意，结合向量的表示可知，（１）（２）的向量如图所示.（３）由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|错误!|＝错误!＝３．题型三共线向量与相等向量典例３如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点.（１）写出与错误!共线的向量；（２）写出与错误!长度相等的向量；（３）写出与错误!相等的向量.[分析] （１）共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；（２）在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；（３）相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与错误!的方向相同的向量.[解析] （１）∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与错误!共线的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.（２）∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝错误!BC，BD＝DC＝错误!BC，∴EF＝BD＝DC.∵AB，BC，AC均不相等，∴与错误!长度相等的向量为错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.（３）与错误!相等的向量为错误!，错误!.[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法寻找相等向量先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线寻找共线向量先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量【对点练习】３如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__１２３__.（填序号）１错误!＝错误!；２错误!∥错误!；３错误!与错误!共线；４错误!＝错误!.[解析] ∵错误!与错误!方向相同，长度相等，∴１正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴错误!∥错误!，２正确；∵AB∥DC，∴错误!∥错误!共线，３正确；∵错误!与错误!方向不同，∴二者不相等，４错误.易错警示混淆向量的有关概念Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个[错解] D[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.[正解] １忽略了0与0的区别，a＝0；２混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；３两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；４当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：（１）区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.（２）零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.（３）平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.【对点练习】４下列说法正确的是（ C ）Ａ．平行向量就是向量所在直线平行的向量Ｂ．长度相等的向量叫相等向量Ｃ．零向量的长度为0Ｄ．共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选Ｃ．。

高中数学(平面向量的实际背景及基本概念)教案6 新人教A版必修4 教案

向量的物理背景与概念一教学目标1 知识与技能（1）了解向量产生的物理背景，理解位移的概念；（2）理解向量的概念，向量的几何意义，能用向量表示点的位置；（3）初步理解零向量，相等向量，共线向量的意义2 过程与方法（1）通过向量概念的形成过程体会由实例引入概念的方法；（2）由实例体验用向量表示点的位置的方法3 情感，态度，价值观：通过本节的学习，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，从而激发学生学习数学的兴趣二教学重点与难点1 教学重点————向量的概念；2 教学难点————对向量概念的理解三教学方法采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。

四教学过程练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.例题2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中:(1)试找出与FE共线的向量；(2)确定与FE相等的向量；(3)OA与BC相等吗？若不相等，则它们之间有什么关系？例题分析：例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：（1）平行向量的方向一定相同（2）不相等的向量一定不平行（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）存在与任何向量都平行的向量吗（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的充要条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上．例2：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，(1)找出与向量 DE相等的向量；(2)找出与向量 DF共线的向量．学生讨论后回答，教师订正讲解学生自主完成，然后回答，其他学生纠正师：如何找相等向通过习题的设置巩固向量的相关概念将问题给学生，让学生去归纳小结7 用向量表示点的位置利用向量可以确定一点相对与另一点的位置例题3：天津位于北京东偏南50度，114km，用向量表示天津相对于北京的位置。

高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。

这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。

体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。

3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。

人教A版高中数学必修四新课标优秀教案示范教案平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量本章教材分析1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2.教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3.本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.整体设计教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.三维目标1.通过实例,利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素,搞清数量与向量的区别.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.3.在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性.重点难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.图1思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出,各走了相同的路程,怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田”,让学生在图上画出马、象走过的路线引入也是一个不错的选择.推进新课新知探究提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,假设A 为起点、B 为终点,我们就说线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.已知,线段AB 的长度也叫做有向线段的长度,记作|AB |.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.图2知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B 的有向线段,对应的向量记作:AB . 这里要提醒学生注意的方向是由点A 指向点B,点A 是向量的起点.2°用字母a ,b ,c ,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a ,书写用)3°向量(或a )的大小,就是向量(或a )的长度(或称模),记作||(或|a |).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a ＞b 就没有意义,而|a |>|b |有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a →来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、CD.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C 两地的位移.(精确到1 km)图5分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.变式训练一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.图6解:根据题意画出示意图,如图6所示.||=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°,∴△ABC为正三角形.∴||=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.图7例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.图8例3 如图8,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中所示向量与相等的量.活动:本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.解:OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.点评:向量相等是一个重要的概念,今后经常用到.让学生在训练中明确,向量相等不仅大小相等,还要方向相同.变式训练本例变式一:与向量OA长度相等的向量有多少个？(11个)本例变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？(存在)例4 下列命题正确的是( )A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b 共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,即只有C正确.答案:C点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确,只需举一个反例即可.要启发学生注意这两方面的结合.变式训练1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧C.两个点D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B知能训练课本本节练习.解答:1.通过具体的例子,让学生动手画两个方向不同、大小不等的力(向量),图略.2.|AB|,|BA|,这两个向量的长度相等,但它们不等.点评:向量是既有大小,又有方向的量.长度相等的两个向量未必是两个相等的量.3.||=2,|CD|=2.5,||=3,|GH|=22.点评:方格纸是学生学习几何、向量等内容的好工具.在方格纸中,长度和角度非常容易表现.建议在向量内容的学习中把方格纸作为重要的学具.4.(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同.点评:方向相同的两个向量,如果它们的起点相同,它们的终点只与长度有关.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.作业课本习题2.1 1、2.设计感想本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.。

高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册

6。

1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。

例1。

在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。

相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。

通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。

向量的概念及表示教案

向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。

2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。

2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。

（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。

3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。

（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。

4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。

三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。

2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。

2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。

3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。

3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。

5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。

高中数学向量及其应用教案

高中数学向量及其应用教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念和表示方法；
2. 掌握向量的运算规则和性质；
3. 能够应用向量解决实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：
1. 向量的概念及表示方法；
2. 向量的运算（加法、减法、数量积、向量积）；
3. 向量的性质和运算规则；
4. 向量在几何和物理中的应用。

三、教学过程：
1. 引入向量的概念，介绍向量的定义和表示方法；
2. 讲解向量的加法和减法，进行相关练习；
3. 讲解向量的数量积和向量积，进行相关练习；
4. 总结向量的性质和运算规则；
5. 应用向量解决几何和物理问题，如力的合成、平面向量几何等；
6. 汇总课程内容，进行综合练习和讨论，巩固所学知识；
7. 布置作业，让学生练习和应用向量的知识。

四、教学方式：
1. 讲授教学法，结合实例讲解向量的概念和运算规则；
2. 分组讨论和练习，提高学生的合作能力和解决问题的能力；
3. 案例分析和应用实践，引导学生将所学知识应用到实际问题中。

五、教学资源：
1. 教科书和教辅材料；
2. 多媒体教学工具；
3. 实验器材和实际问题的案例。

六、评价与反思：
1. 考察学生的学习效果和掌握程度；
2. 认真听取学生的反馈意见，及时调整教学方法和内容；
3. 总结教学经验，不断改进教学方式，提高教学效果。

通过以上教学范本，相信能够帮助教师更好地设计和实施高中数学向量及其应用的教学活动，提升学生的学习效果和能力。

希望教师们能够根据实际情况，灵活运用这一模板，更好地开展教学工作。

人教A版新课标高中数学必修二教案《平面向量的概念》

《平面向量的概念》教学设计本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。

在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。

另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。

本节将学习平面向量的概念、表示及关系。

现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。

（1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。

教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。

1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。

2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。

【问题1】老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜，如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？【设计意图】创设情境，建构概念。

通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。

只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸◆教材分析 ◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备 ◆教学过程A B显向量的两大要素，同时引出向量的概念。

【预设师生活动】（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。

（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。

（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。

类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。

新教材高中数学第1章空间向量基本定理教案新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学教案新人教A 版选择性必修第一册：1.2 空间向量基本定理学习目标核心素养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x ，y ，z )是否唯一？[提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． (2)唯一确定． 2．正交分解 (1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i ，j ，k }表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA →，OB →，OC →}不能构成空间的一个基底，则O ，A ，B ，C 四点共面． ( ) (2)若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量． ( ) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)×2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以和向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c[答案] D3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD → B ．AB →，AA 1→，AB 1→ C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→ C [由题意知，D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]4．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [由m 与n 共线，得1x ＝－1y ＝11，∴x ＝1，y ＝－1.]基底的判断x a b y b c z c a a b c 列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．(1)C [如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→.由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，故选C.](2)[解] 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x ，y ，使OA →＝xOB →＋yOC →成立，∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3 ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y 使得OA →＝xOB →＋yOC →，所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．[跟进训练]1．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a 或bC [由题意和空间向量的共面定理，结合p ＋q ＝(a ＋b )＋(a －b )＝2a ，得a 与p ，q 是共面向量，同理b 与p ，q 是共面向量，所以a 与b 不能与p ，q 构成空间的一个基底；又c 与a 和b 不共面，所以c 与p ，q 构成空间的一个基底．]用基底表示向量【例2】如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.[思路探究]利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利利用向量运算进行分拆→直至向量用a ，b ，c 表示[解] 连接BO (图略)，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．[跟进训练]2．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且PM →＝23PC →，PN →＝ND →，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ，y ，z 的值分别为( )A ．－23，16，16B ．23，－16，16 C ．－23，16，－16D ．－23，－16，16D [如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN →＝EN →－EM →＝12CD →－(PM→－PE →)＝12CD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫23PC →－12PC →＝12CD →－16PC →＝－12AB →－16(－AP →＋AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →，比较知x ＝－23，y ＝－16，z ＝16，故选D.]正交分解在立体几何中的应用[探究问题]1．取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？[提示] 若取单位正交基底{i ，j ，k }，那么|i |＝|j |＝|k |＝1.且i ·j ＝j ·k ＝i ·k ＝0，这是其他一般基底所没有的．2．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，如何表示向量AC ′.[提示] AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→＝12(AB →＋AD →)＋12(AD →＋AA ′→)＋12(AB →＋AA ′→)＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→.【例3】如图，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA 1长为b ，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，求异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值．[思路探究] 取基底{AB →，AD →，AA 1→}→用基底表示向量BD 1→和AC →→求|BD 1→|，|AC →|和BD 1→·AC →→求BD 1→与AC →的夹角余弦值→得异面直线所成角的余弦值[解] {AB →，AD →，AA 1→}可以作为空间的一个基底，且|AB →|＝a ，|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ，〈AB →，AD →〉＝90°，〈AA 1→，AB →〉＝120°，〈AA 1→，AD →〉＝120°. 又BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →，AC →＝AB →＋AD →，∴|BD 1→|2＝|AD →|2＋|AA 1→|2＋|AB →|2＋2AD →·AA 1→－2AD →·AB →－2AA 1→·AB →＝a 2＋b 2＋a 2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a 2＋b 2，|AC →|2＝|AB →|2＋2AB →·AD →＋|AD →|2＝2a 2， ∴|BD 1→|＝2a 2＋b 2，|AC →|＝2a .∴BD 1→·AC →＝(AD →＋AA 1→－AB →)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →－|AB →|2－AB →·AD →＝0＋a 2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a 2－0＝－ab .∴|cos〈BD 1→，AC →〉|＝|BD 1→·AC →||BD 1→||AC →|＝|－ab |2a 2＋b 2·2a ＝b4a 2＋2b 2. ∴异面直线BD 1和AC 所成角的余弦值为b4a 2＋2b2.1．[变结论]在本例条件不变的前提下，求|AC 1→|. [解] 由条件可知|AB →|＝|AD →|＝a ，|AA 1→|＝b ，且〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝120°，AB →⊥AD →. ∴|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→ ＝a 2＋a 2＋b 2＋0＋4×a ×b ×cos 120° ＝2a 2＋b 2－2ab .∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab .2．[变结论]在本例条件不变的前提下，证明BD ⊥面AA 1C 1C . [解] 由条件知，BD →＝AD →－AB →，∵BD →·AA 1→＝AA 1→·(AD →－AB →)＝AA 1→·AD →－AA 1→·AB → ＝a ×b ×cos 120°－a ×b ×cos 120°＝0. ∴BD ⊥AA 1.又因四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .∴BD ⊥面AA 1C 1C .基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤 (1)设出基向量．(2)用基向量表示出直线的方向向量．(3)用|a |＝a ·a 求长度，用a ·b ＝0⇔a ⊥b ，用cos θ＝a ·b|a ||b |求夹角． (4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组{a ，b ，c }可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －bD ．a ＋b ，a －b ，a ＋2bC [空间基底必须不共面．A 中a ＝12[]a ＋b＋a －b，不可为基底；B 中b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]，不可为基底；D 中32(a ＋b )－12(a －b )＝a ＋2b ，不可为基底．]2．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由题意知，向量OA →，OB →，OC →共面，从而O ，A ，B ，C 四点共面．]3．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z ，使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．x ＝y ＝z ＝0 [由于{a ，b ，c }是空间的一个基底，所以当x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z＝0.]4．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取{AB →，AD →，AA 1→}为基底，若G 为面BCC 1B 1的中心，且AG →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.2 [如图，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BC 1→＝AB →＋12(BC →＋BB 1→)＝AB →＋12AD →＋12AA 1→.由条件知x ＝1，y ＝12，z ＝12.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋12＝2.]5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修4

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.1。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。

新人教A版必修一平面向量的概念教案

2019-2020学年新人教A 版必修一平面向量的概念教案平面向量的线性运算|(1)(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案] 23平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三共线向量定理的应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案] 121．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB →＝λAC →，则A 、B 、C 三点共线．2．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，AF →＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2，又CD →＝－8e 1－2e 2，∴CD →＝－2AC →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)∵AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝3e 1－2e 2. ∵A ，C ，F 三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2，又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1. 消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n＝6. 答案：6A 组考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．(2015·嘉兴一模)已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，所以m －n ＝－2.答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎨⎧－23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎨⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.(2016·青岛一模)已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解：如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组高考题型专练1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．(2015·高考陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．(2015·高考安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。

高数人教A版必修26.1平面向量的概念课件

情景一：
问题2 物理中的位移、力、速度、加速度这些量又怎样共同的特征？
请同学们比较一下年龄、身高、长度、面积、体积、质量与上述的量是否
一致？
小船的位移，小船由A地向东南方向航行
15 n mile到达B地（速度的大小为10 n
mile/h）。“由A地航行15 n mile”，而
不指明“向东南方向”航行，那么小船就
)
)
课本P5习题6.1
2．如图，点 O 是 ABCD 的对角线的交点，且 OA a, OB b, AB c ，分别写出 ABCD 和
折线 MPQRST 中与 a, b, c 相等的向量.
【答案】与 a 相等的向量有： CO, QP , SR ；与b 相等的向量有： DO, PM ；
与 c 相等的向量有： DC , RD, ST .
用有向线段表示向量，使向量有了直观形象。
特别地：
1.长度为0的向量叫做零向量，记作；
2.长度等于1一个单位长度的向量，叫做单位向量。有时记作
向量也可以用字母 , , ……表示。
4.常见的向量
概念3：
常见的向量：
1.长度为0的向量叫做零向量，记作；
2.长度等于1一个单位长度的向量，叫做单位向量。有时记作；
注：
1.向量的两个要素：大小，方向
2.向量与数量的区分：
数量只有大小，可以比较大小
向量有大小和方向，而方向是不能比较大小的，因此向量不能
比较大小。
3.向量的表示
情景二：
由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用
数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量。
问题3 那么，该如何表示向量呢？
我们以小船的位移为例

高一数学(人教A版)平面向量的概念-教案

教案向量的有关概念的生成环节1.数量与向量：新冠肺炎疫情牵动着全世界每个人的心，疫情在世界各地陆续爆发，防疫物资在疫情爆发地都被抢购一空. 最为抢手的防疫物资—口罩、消毒酒精、医用防护服. 我们会关心这些量：口罩的价格、消毒水的容量、浓度；防护服的尺寸、库存数量、有效防护时间等等. 这些量在取定单位后，只用一个实数就可以表示出来：3元，75%，180cm…有些量并不是如此.我国的抗击疫情的决心之大、速度之快，得到了全球各AB国的肯定. 疫情爆发以来，各地源源不断的向武汉捐赠抗疫物资.我们在疫情地图上找到北京、武汉，如果记北京为点A，武汉为点B. 北京到武汉的位移，这个量你会如何说明？我们知道，北京到武汉的位移，大小是连接A，B两点的线段长度，其方向由A点指向B点. 如果是武汉到北京的位移呢？其大小是连接B，A两点的线段长度，其方向由B点指向A点. 看来“位移”这个量，就不是只能用一个数字说明的了. 位移除了大小，还有方向.那么生活中还有哪些量具有和位移一样的特征呢?比如在物理中我们常见的物理量：质量、力、速度，你能指出与位移具有同样特征的量么?我们知道，质量只有大小；而力、速度，既有大小又有方向. 至此我们发现，生活中的量从是否具有方向这个角度上，可以分为只有大小没有方向的量，比如身高、价格、速率、路程；和既有大小又有方向的量，比如速度、加速度、力、位移.在数学中，我们把像位移、速度、力等等这些既有大小又有方向的量抽象出来，叫做向量.(1)向量：既有大小又有方向的量.(2)数量：只有大小没有方向的量.记作ABAB、BA头来表示，向量AB a向量的大小称为向量AB的长度，或称为AB向量之间的关系环节5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做：相等向量. 记作：a =b.比如，平行四边形ABCD，对边AB，CD平行且相等. 如果分别给它们一个方向，由A指向B的方向、由D指向C的方向，那么AB,DC就是一组长度相等且方向相同的向量，它们是一组相等向量，记作：AB=DC,AB,DC这组向量之间的数量关系、位置关系都很特殊. 如果只看位置关系，方向相同、方向相反，都是向量方向上的特殊关系.环节6.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行记作a b ;规定零向量与任意向量平行. 概念理解1.平行向量所在的直线一定互相平行吗？平行向量指的是向量在方向上的两个特殊的关系，相同方向或者相反方向. 方向相同的向量，可以处在一组平行线上，像图中的向量a 与向量b ；也可以处在一条直线上，也就是共线:图中的向量b 和向量c . 方向相反的向量同理. 所在的直线可能平行，也可能共线. 所以，因此，平行向量所在的直线可能平行，也可能共线.概念理解2.平行是否等价于相同方向呢?向量的平行对应两种情况，方向相同或者相反. 两个向量平行，它们的方向未必一致，有两种可能：相同或相反. 概念理解3.平行向量与共线向量.如图，设 a,b,c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O,分别作OA OB OC ===a, b , c ，那么点A 、B 、C 的位置关系如何？我们发现，A 、B 、C 三点共线. 由于平移不改变向量的长度和方向，任意一组平行可以平移到同一条直线上. 因此，平行向量也叫共线向量，是描述同一种方向特征的不同名称.向量的有关概念6思考：（1）平行向量所在的直线一定互相平行吗？平行向量所在的直线可能平行，也可能共线.abc易混淆概念辨析环节7.有向线段与向量：概念辨析1.有向线段与向量的区别与联系.根据前面的学习我们知道，起源于物理，我们用：有向线段来表示向量，这句话明确了二者的联系；但为什么不干脆说有向线段就是向量，向量就是有向线段？这二者有什么区别？是否数学中的向量等同于物理中的矢量？二者的区别就在于起点. 向量与起点无关. 有向线段的位置是固定的，与起点位置有关；我们在做受力分析的时候，力的大小、方向、作用点缺一不可，这是物理中的矢量；而在抽象成数学中的向量之后，其“作用点”已经不起作用. 有向线段是几何图形，是向量的直观表示.环节8.共线向量是否共线？平行向量是否平行？概念辨析.共线向量所在直线是否共线？如果非零向量 ,AB CD 是共线向量，那么点A 、B 、C 、D 是否一定共线？平行向量也叫共线向量，它们是一回事，指两个非零向量方向相同或相反（零向量与任意向量平行、共线）. 向量中，// a b 就读作向量、a b 平行或者向量、a b 共线. 如图上的两组向量，满足两向量共线，但不满足端点共线.也可能出现共线向量的端点共线的情形. 共线向量所在直线，可能平行、可能共线.环节9.练习(1)若a与b是单位长度，那么a=b.单位向量都相等么？(由于单位向量可指向任意方向，错误)(2)方向为南偏西60︒的向量与北偏东60︒的向量是共线向量. (方向相反的向量一定共线，正确)(3)若两向量不相等，则它们不共线. (向量相等，大小相等、方向相同，两个条件需要同时满足；但不等，只需要一个条件不满足即可. 反例是一组共线但长度不等的向量，错误)(4)若=AB DC，则A，B，C，D组成平行四边形.(=AB DC是平行四边形的必要条件，这个命题在定义相等向量中曾举例说明；但是不是充分条件呢?由于=AB DC 时，端点A、B、C、D可能共线，不能组成四边形，错误)针对：单位向量、相等向量、共线向量，易理解失误的概念，设计问题，其中（1）、（2）为课本课后练习.例题例题的分析与解答环节10.例题的分析与解答.如图，设O是正六边形中心.(1)分别写出图中的共线向量；(2)分别写出图中与OA、OB、OC相等的向量.根据共线向量的定义，我们需要找到在图中与OA方向相同或者方向相反的向量，即，如果做出直线l 与向量OA平行，那么所有可以通过平移移动到l的向量都符合题意.正六边形的边、对角线之间存在着丰富的、特殊的数量关系：倍数关系、相等关系，特殊的位置关系：平行、共线，是我们理解向量有关概念的很好的载体. 根据正六边形的几何性质确定，向量OA与DO、CB、FE是共线向量. 其中，OA=DO=CB，OA与FE是一组相反向量，它们方向相反，大小相等.共线向量所在直线可能平行也可能共线，容易漏解，需要提示如何避免；相等向量在共线的前提下，寻找方向相同同时模相等的向量.如果时间容许可以进行追问，若没有图形中给定的向量方向，以第三组共线向量为例，以正六边形的端OBEO DC、AF，其中，OB EO DC.第三组，与OC共线的向量是：FO、AB ED它们不仅方向共线，而且方向相同，大小相等，OC=FO AB=EDOC有：CO、OF、BA ED小结回顾与展望环节11.小结回顾与展望小结1：本节课小结关于向量的概念，我们从实际生活中、物理中抽象出概念，引入既有大小又有方向的量. 向量的定义决定了它兼有代数、几何特征. 受到带箭头的线段表示力的启发，用有向线段表示向量，并符号化. 类比研究数的方法，也为向量体系的完备制订“规则”，在研究向量时首先找到特殊的向量进行研究. 研究了特殊而要的向量，接下来研究特殊而重要的关系：相等、平行.小结2：数学历史文化中的向量向量的定义方法和符号表示，我们仅仅经历了一节课的时间，在历史上向量从在物理中的使用到进入数学，蓬勃的发展，经历了漫长的时间. 向量概念萌芽于两千多年前，由古希腊著名学者亚里士多德最早提出；牛顿则最先使用有向线段表示力. 莱布尼兹利用向量研究几何问题的视角，逐渐形成了现在的向量理论体系. 而向量进入数学并得到发展的标志出现在1797年，丹麦测量学家韦塞尔把复数表示为向量并将坐标平面上的点用向量表示出来，自此，二者都如虎添翼，彻底实现了几何问题的代数化.小结3：本节课在章节中的位置介绍，向量学习展望我们不妨展望一下，对于这个全新的研究对象，我们还会研究什么? 如何运算？如何坐标化？进而可以应用在哪些方面. 在应用到各领域后，可能还会遇到新的问题，需要我们回到物理、回到数学中继续研究和加以解决. 1. 下列量中哪些是向量？悬挂物体受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度. 2. 画两条有向线段，分别表示一个竖直向下，大小为18N 的力和一个水平向右，大小为28N 的力. (1cm 长等于10N)3. 指出图中各向量的长度. (规定小方格边长为0.5)4. 将向量用具有相同起点O 的有向线段表示.（1）当=OM ON 时，判断终点M 与N 的位置关系;（2）当 OM 与ON 是平行向量，且||2||1==OM ON 时，求向量MN 的长度，并判断MN 的方向与ON 方向之间的关系.。

人教A版高中数学必修四向量的加法运算及其几何意义教案新

第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置OAaaa bb b2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.A B CA BCA BCA BCa +b a +baa b baｂｂａa（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例二（P94—95）略练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：P103第２、３题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

平面向量的概念教学设计-高一下学期数学人教A版(2019) 必修第二册

平面向量的概念教学设计一．教学内容分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景，深刻的数学内涵。

向量既是代数的研究对象，也是几何的研究对象，是沟通几何和代数的一个桥梁，也是进一步学习和研究其他数学领域问题的一个基础，在解决实际问题中发挥着非常重要的作用，本章内容通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系，在此基础上，用向量的语言方法表述和解决现实中数学和物理中的一些问题。

二．学情分析：向量是本册书新引入的概念，学生对新概念的接受是比较困难的。

但是在生活中和物理学的学习过程中是经常用到的，所以对本节课应该从实际生活方面引入，激发学生的学习兴趣，让学生们都参与到积极探究新知识的学习过程中，激发学生的学习兴趣和求知欲。

三．教学目标设定【知识与技能】1.掌握向量的概念2.能正确进行平面向量的几何表示【过程与方法】通过学生对向量的学习，使学生对现实生活中向量和数量的概念有一定清楚的认识，培养学生分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】1.激发学生的求知欲，培养学生良好的数学思维习惯以及勤于动脑的学习习惯。

2.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心。

四．教学方法的选择1.结合本节课的内容特点和学情分析，本节课主要采用问题启发，任务驱动的教学方法;2.学生自主思考探究，小组交流讨论的学习方式。

五．教学媒体的选择教科书，黑板，粉笔，教师语言，手势，板书，多媒体计算机，PPT。

六．教学重难点【重点】向量的概念以及其几何表示【难点】对向量概念的理解七．教学过程（一）创设情景，导入新课情境导入--教师活动：在生活中，我们会遇到很多量。

其中一些量，在取定单位之后只用一个实数就能表示出来，比如长度，质量。

就像老师手里这支粉笔，长6cm，重0.6g。

还有一些量，则不是这样。

小船由A地向东南方向航行15n mile到达B地，如果仅指出由A地航行15n mile，不指明方向，小船一定能到达B地吗？学生活动：学生就教师提出的问题进行，思考，回答得出：不一定，如果小船向其他方向航行，则无法到达B地。