二轮复习1.4：导数及其应用(1)

Байду номын сангаас解析
(2)设 A(x0，y0)，则 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0)＝3ax2 0，
x0 1 C2 在 A 处的切线的斜率为－k ＝－ ， y0 OA 又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直， x0 3 2 3 3 所以(－ )· 3ax0＝－1，即 y0＝3ax0，又 ax0＝y0－1，所以 y0＝ ， y0 2 5 1 1 3 代入 C2：x ＋y ＝ ，得 x0＝± ，将 x0＝± ，y0＝ 代入 y＝ax3＋1(a>0)， 2 2 2 2
5.利用导数解决函数与不等式综合问题 （1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质 （一般第一问先让解决出来） ，如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的 不等式. （2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法 下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指 数） ，移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等 式一边需要出现函数关系式. （3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函 数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现 一个“巧妙”.
求参数的范围时，注意不要漏掉“等号” ．
３．利用导数研究函数的极值与最值 (1) 确定定义域． (2)求导数 f ' x ． (3)①若求极值，则先求方程 f ' x 0 的根，再检验 f ' x 在方程根左、右 值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) ②若已知极值大小或存在的情况， 则转化为已知方程 f ' x 0 根的大小或存 在情况，从而求解．
解 (1)由 f(0)＝1，f(1)＝0，得 c＝1，a＋b＝－1，则 f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex， 依题意需对任意 x∈(0,1)，有 f′(x)<0. 当 a>0 时，因为二次函数 y＝ax2＋(a－1)x－a 的图象开口向上，而 f′(0)＝－a<0， 所以需 f′(1)＝(a－1)e<0，即 0<a<1. 当 a＝1 时，对任意 x∈(0,1)有 f′(x)＝(x2－1)ex<0，f(x)符合条件； 当 a＝0 时，对任意 x∈(0,1)，f′(x)＝－xex<0，f(x)符合条件； 当 a<0 时，因为 f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件． 故 a 的取值范围为 0≤a≤1.
2 2 e x － y － e ＝0 例 1. （1）过点 1,0 作曲线 y e 的切线，则切线方程为___________.
x
3 (2) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 A 施 曲 线 C1 : y ax 1 a 0 与 曲 线
C2 : x 2 y 2
4.利用导数研究函数零点问题 函数的零点问题，可以转化为所求函数与 x 轴交点问题求解， 利用求导分析函数单调性，得出函数极值，边界值（极限） ，从而作 出函数大致图象，结合图象可解决函数零点个数、范围问题. 原函数导数或极值点不易确定时可以考虑分类变量， 求变量对应的新 函数 （不含参） 的图象， 利用图象研究零点存在及零点个数问题.网]
1.4 导数及其应用（1）
1.利用导数求曲线的切线问题 在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法. 在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某 点的要切线往往不止一条； 切线与曲线的公共点不一定只有一个 公切线问题 分别设出两曲线的切点，写出各自的切线方程，由两切线重合得到对于系 数的关系，从而解决公切线的条数，参数取值（范围）等问题.
5 的一个公共点 , 若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相 2
垂直,则实数 a 的值是_____________________.
解析
(1)设切点为 P(x0，ex0)，则切线斜率为 ex0，
切线方程为 y－ex0＝ex0(x－x0)， 又切线经过点(1,0)，所以－ex0＝ex0(1－x0)， 解得 x0＝2，切线方程为 y－e2＝e2(x－2)， 即 e2x－y－e2＝0.
2 2
得 a＝4.
例 2 ． 已 知 函 数 f ( x) (ax2 bx c)e x 在 0,1 上 单 调 递 减 且 满 足
f (0) 1, f (1) 0 .
（1）求 a 的取值范围； （2）设 g ( x) f ( x) f ( x) ，求 g ( x) 在 0,1 上的最大值和最小值.
例 1. (2)在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 施曲线 C1 : y ax 1 a 0 与曲线
3
C2 : x 2 y 2
5 的一个公共点 , 若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相 2
4 垂直,则实数 a 的值是_____________________.
２．函数的导数与单调性的关系 (1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符 号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个 函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个 区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究． (2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分 类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零 的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范 围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整 合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数 f x 单调递增，则 f ' x 0 ”