独立事件
事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
思维升华
求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
跟踪训练1 (1)(多选)甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全 相同的号签.其中，甲袋中有编号为 1,2,3的三个号签；乙袋有编号为
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1,1,0；1,0,1； 0,1,1和1,1,1这4个事件的和， 它们互斥，所求的概率为 C23β(1－β)2＋(1－β)3＝(1－β)2(1＋2β)，故 C 错误； 对于D，三次传输，发送0，则译码为0的概率P＝(1－α)2(1＋2α)， 单次传输发送0，则译码为0的概率P′＝1－α，而0<α<0.5， 因此P－P′＝(1－α)2(1＋2α)－(1－α)＝α(1－α)(1－2α)>0，即P>P′， 故D正确.
微拓展
D 选项，由 C 选项知 Pn＝12(1－Pn－1)， 即 Pn＝－12Pn－1＋12， 设 Pn＋λ＝－12(Pn－1＋λ)， 故 Pn＝－12Pn－1－32λ， 所以－32λ＝12，解得 λ＝－13，
微拓展
故 Pn－13＝－12Pn－1－31， 又 P1－13＝－13≠0， 所以Pn－13是首项为－13，公比为－21的等比数列，故 Pn－13＝－13－12n－1， 故 Pn＝13－13－12n－1，D 正确； B 选项，由 D 选项可知 P4＝13－13×－123＝38，B 错误.
自主诊断
2.(必修第二册 P253T4 改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出
谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为
√A.16
B.13
C.56
事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
事件独立性的公式
事件独立性的公式
一切起源于概率论，概率论是研究不确定性现象的数学工具，是把不确定性现象表述为概率的一种方式。
概率论是用来研究不同事件发生的概率关系的数学理论，而事件独立性的公式就是概率论中的重要概念。
事件独立性的公式指的是计算两个或多个不同的事件的发生的
概率的公式，主要用于研究两个或多个事件发生的时候是否是相互独立的，也就是说，一个事件的发生是否会影响到另一个事件的发生。
事件独立性的公式是根据概率论中的乘积公式来计算的，它是这样的：如果两个或多个事件A,B,C……独立，那么这些事件发生的概率为：P(A,B,C……)=P(A)×P(B)×P(C)×……的乘积。
事件独立性的公式在实际应用中非常重要，比如一些保险公司在设计保险费率的时候，就要用到事件独立性的公式来判断投保的事件的发生概率，才能确定对应的保险费率。
此外，事件独立性的公式还可以用来计算组合数学中的概率问题，例如，在抛掷两个骰子时，想知道抛掷出指定点数的概率，就是运用事件独立性的公式来计算的，这种情况就是两个独立事件，一个是两个骰子第一次抛掷出指定点数，另外一个是两个骰子第二次抛掷出指定点数。
总之，事件独立性的公式是概率论中的重要公式，它的应用非常广泛，尤其是在实际生活中，它经常用来研究不同事件发生的概率，也用于计算组合数学中的概率问题。
只要正确理解了事件独立性的公
式，就可以解决许多实际。
独立又互斥的事件例子
独立又互斥的事件例子独立事件和互斥事件是概率论中的两个重要概念，它们在实际生活中也有很多应用。
独立事件指的是两个或多个事件之间没有任何关联，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生；而互斥事件则是指两个或多个事件之间是互相排斥的，一个事件的发生会排除另一个事件的发生。
下面我将列举一些独立事件和互斥事件的例子。
独立事件：1. 抛硬币，正面朝上的概率是1/2，每次抛硬币的结果是独立的。
2. 摇骰子，每个点数出现的概率是1/6，每次摇骰子的结果是独立的。
3. 抽奖，每个人中奖的概率是相同的，每次抽奖的结果是独立的。
4. 打牌，每个人的牌是随机分配的，每次打牌的结果是独立的。
5. 看电影，每个人对电影的评价是独立的，一个人的评价不会影响另一个人的评价。
6. 购买彩票，每个号码中奖的概率是相同的，每次购买彩票的结果是独立的。
7. 看天气预报，每天的天气预报是独立的，前一天的天气预报不会影响后一天的天气预报。
8. 看病，每个人的病情是独立的，一个人的病情不会影响另一个人的病情。
9. 赌博，每个人的赌注是独立的，一个人的输赢不会影响另一个人的输赢。
10. 交通事故，每个车辆的事故发生概率是独立的，一个车辆的事故不会影响另一个车辆的事故。
互斥事件：1. 抛硬币，正面和反面是互斥事件，一个硬币只能有一个面朝上。
2. 摇骰子，每个点数是互斥事件，一个骰子只能有一个点数。
3. 抽奖，中奖和不中奖是互斥事件，一个人只能中一次奖。
4. 打牌，赢和输是互斥事件，一个人只能赢或输。
5. 看电影，喜欢和不喜欢是互斥事件，一个人只能有一个评价。
6. 购买彩票，中奖和不中奖是互斥事件，一个号码只能中一次奖。
7. 看病，治愈和未治愈是互斥事件，一个人只能有一个结果。
8. 赌博，赢和输是互斥事件，一个人只能赢或输。
9. 选课，选A课和选B课是互斥事件，一个人只能选一门课。
10. 考试，及格和不及格是互斥事件，一个人只能有一个成绩。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
事件的相互独立性
解 记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格 证书”为事件C， 则 P(A)＝45×12＝25， P(B)＝34×23＝12， P(C)＝23×56＝59. 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
解 记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
PA·[1－PB]＝14， 由题设知PB·[1－PC]＝112，
PA·PC＝29， 解方程组并舍去不合题意的根，得 P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝23.
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.
√D.不是相互独立事件
解析 互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错. 而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者是不相互独立事件.
12345
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，
甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为
二、相互独立事件概率的计算
例2 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6， 购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
解 记 A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得 A 与 B，A 与 B ， A 与 B， B 与 A 都是相互独立事件，且 P(A)＝0.5，P(B)＝0.6. 记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”， 则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
独立事件与互斥事件的区别与联系
独立事件与互斥事件的区别与联系
这两个概念之间的关系，简单的说，就是没有关系。
独立是说事件A发生跟事件B发
生没关系。
而互斥表示事件A发生的话，事件B就不会发生。
这就是“有关系”。
独立意
味着AB事件同时发生的概率可以计算：PAB=PAPB，而互斥意味着AB时间同时发生的概率
为0：PAB=0。
定义：设A，B是两事件，如果满足等式PA∩B=PAB=PAPB，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。
即事件B发生或不发生对事件A不产生影响，就说事件A与事件B之间
存在某种“独立性”，其对象可以是多个。
注：1、PA∩B就是PAB
2、若PA>0，PB>0则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立，即独立必相容，
互斥必联系。
容易推广：设A，B，C是三个事件,如果满足PAB=PAPB，PBC=PBPC，PAC=PAPC，
PABC=PAPBPC，则称事件A，B，C相互独立。
互斥事件是指事件A和B的交集为空，也叫互不相容事件。
也可叙述为：不可能同时
发生的事件。
如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。
若A与B互斥，则PA+B=PA+PB，且
PA+PB≤1。
若a是A的对立事件，则PA=1-Pa。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
事件的独立完美版PPT
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习.
设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,
下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
பைடு நூலகம்
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
第4节 事件的独立
一. 两个事件的独立
P (B | A ) 与无条件概率 P (B )一般并不相同 ① P (B | A ) ＜ P (B ) 理解成
A 的发生“阻碍”了 B 的发生； ② P (B | A ) ＞ P (B ) 理解成
A 的发生“促进”了B 的发生；
③ P (B | A ) = P (B ) 说明 A 的发生对B 发生的概率没有任何影响 。
问事件A、B是否独立？
解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
=
P
(B
)
–
P
(AB
)
=
0.4 – 0.12
=
0.28；
从概率论的角度解释 “有志者，事竟成”
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .
至至少少发 发生生一一次次的的因概概率率此等等于于如11 。。果这只野兔被击中，应该单独归乙所有。 □
独立和互斥的关系图
独立和互斥的关系图如下：
独立和互斥的区别：
1、性质不同：相互独立事件可能是互斥事件，也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件。
相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率P(A*B)=P(A)*P(B)。
互斥事件指的是不可能同时发生的两个事件。
2、关系不同：互斥事件中的事件个数可以是两个或多个，而对立事件只是针对两个事件而言的，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、影响不同：独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
互斥事件是不可能同时发生的事件即交集为空，但可能会产生相互影响(比如A发生，B就一定不发生了)。
从联系上来说独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥的，而互斥事件一定不是独立事件。
事件的相互独立性PPT
解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各 自加工旳零件是一等品旳事件. 由题设条件有
P( A
B)
1 4
,
P(
B
C)
1 12
,
P( A
C)
2 9
.
P( A)
(1
P(B))
1 4
,
①
即P(B)
(1
P(C))
1 12
,
②
P( A) P(C)
2. 9
③
由①、③得 P(B) 1 9 P(C)
时发生，根据相互独立事件旳概率旳乘法公式,得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目旳旳概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击，假如2人击中目
旳旳概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目旳旳概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目的”涉及两种
(5).条件概率计算公式: P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
思索1：三张奖券只有一张能够中奖，现分 别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第 一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B为 “最终一名同学抽到中奖奖券”。 事件A旳 发生会影响事件B发生旳概率吗？
0.05 0.05 0.0025
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购置一定价值旳商 品能够取得一张奖券。奖券上有一种兑奖号码，能够 分别参加两次抽奖方式相同旳兑奖活动。假如两次兑 奖活动旳中奖概率都是0.05，求两次抽中奖中下列事件 旳概率：
(2)恰有一次抽到某一指定号码;
（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码” 可以用( AB) ( AB)表示。由于事件AB与AB 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件 的定义，所求的概率为
概率问题中的独立事件
概率问题中的独立事件概率论是数学中的一个重要分支，研究与概率、随机现象相关的数学理论和方法。
在概率论中，独立事件是一个重要的概念。
本文将详细探讨概率问题中的独立事件，包括其定义、性质和应用。
一、独立事件的定义在概率论中，独立事件是指两个或多个事件在发生与否的结果上互不影响的事件。
具体来说，对于任意两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，以及事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么称事件A和事件B是独立事件。
二、独立事件的性质独立事件具有以下几个重要的性质：1. 互不影响性：独立事件之间的发生与否是相互独立的，即事件A 的发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，反之亦然。
2. 交换律：如果事件A和事件B是独立事件，那么事件B和事件A也是独立事件。
3. 自反性：事件A与自身是独立事件。
4. 逻辑性：如果事件A和事件B是独立事件，并且事件B和事件C 是独立事件，那么事件A和事件C也是独立事件。
三、独立事件的应用独立事件在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 投掷硬币：一个常见的例子是投掷硬币。
在投掷硬币的过程中，出现正面或反面的概率为50%。
如果进行了一系列的投掷，每次都是独立事件，那么每次投掷的结果都是互不影响的。
2. 掷骰子：类似于投掷硬币，掷骰子也是概率论中常见的例子。
每次掷骰子的结果是独立事件，不受前一次投掷的结果影响。
3. 网络传输：在网络传输中，数据包的丢失或错误通常是独立事件。
每个数据包的丢失或错误与其他数据包的丢失或错误是相互独立的。
4. 医学诊断：在医学诊断中，多个症状的出现是相互独立的。
通过分析每个症状发生的概率，可以借助独立事件的概念来推断疾病的可能性。
总结：独立事件在概率论中占据重要地位，对于理解与应用概率问题具有重要意义。
独立事件的定义、性质和应用在实际问题中都具有广泛的适用性，帮助我们分析和解决概率问题。
相互独立事件的定义
相互独立事件的定义
相互独立事件的定义为事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件。
说明：
1、独立性意味着两个随机事件发生与否相互间没有影响；
2、事件A与事件B独立和事件A与事件B互斥是完全不同的两个概念，互斥意味着事件A 发生则事件B就不发生，两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3、一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与,与B,都是相互独立的；
4、若事件A1,A2,…,An是否发生，相互之间没有影响，那么称A1,A2,…,An相互独立。
相互独立事件同时发生的概率
1、积事件的定义：相互独立事件A与B同时发生，记作A·B。
2、两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P(A·B)=P(A)·P(B)。
3、公式推广：一般地，如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。
独立事件知识点总结
独立事件知识点总结一、独立事件的定义两个事件A和B被称为独立事件，如果事件A的发生不会影响到事件B的发生，反之亦然。
换句话说，事件A和B之间没有任何关联性，它们发生的概率是独立的。
具体来说，对于独立事件，有以下两个条件：1. P(A∩B) = P(A) * P(B)，即事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
2. P(A|B) = P(A)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率等于事件A的发生概率。
二、独立事件的性质1. 独立性是对称的，即如果事件A和B独立，则事件B和A也独立。
2. 事件A与自身是独立的，即P(A|A) = P(A)。
3. 如果事件A和B是互斥事件，则它们一定不是独立事件。
4. 如果事件A和B是相互独立的，而事件B和C也是相互独立的，则事件A和C也是相互独立的。
5. 如果事件A和B是相互独立的，事件A和C是相互独立的，但事件A、B、C三者同时相互独立的例子是很少的。
三、独立事件的计算方法1. 通过条件概率的概念来验证事件是否独立。
具体而言，如果验证P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)成立，则事件A和B是独立的。
2. 通过乘法规则计算独立事件的概率。
即事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
四、独立事件的应用场景1. 抛硬币：假设一枚硬币被抛掷两次，每一次的结果都是独立的。
即第一次抛掷得到正面的概率是0.5，第二次抛掷得到正面的概率也是0.5，两次同时得到正面的概率是0.5 * 0.5 = 0.25。
2. 抽球问题：从一个装有5个红球和5个蓝球的罐子中随机抽取两个球，每次抽取的结果是独立的。
即第一次抽到红球的概率是5/10，第二次抽到蓝球的概率也是5/10，两次同时抽到红球和蓝球的概率是5/10 * 5/10 = 1/4。
3. 掷骰子：假设两个骰子被投掷，每次的结果都是独立的。
即投掷第一个骰子得到6点的概率是1/6，投掷第二个骰子得到6点的概率也是1/6，两个骰子同时都得到6点的概率是1/6 * 1/6 = 1/36。
相互独立事件的判断方法
相互独立事件的判断方法：
答案解析：
1、互不相容又叫互斥，即两个事件不能同时发生，强调“同时发生”。
而相互独立即使两个事件各自发生与否与另一个事件的发生与否没有关系；比如：事件甲与事件乙独立，那么如果甲发生，乙可能发生也可能不发生，反之亦然。
2、二者试验的次数不同。
前者是一次试验下出现的不同事件，后者是两次或多次不同试验下出现的不同事件。
3、在概率论中，加法公式对应互不相容性，乘法公式对应独立性：
如果A和B互不相容P（A U B）= P（A）+P（B）
如果A和B相互独立P（AB）= P（A）* P（B）。
独立事件
事件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑 球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．
这就是说，事件 A（或 B）是否发生对事 件B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两
个事件叫做相互独立事件．
2．独立事件同时发生的概率的 计算公式
一般地，如果事件 A1 A2 A相n 互独立，
那么这个事件同时发生的概率等于每个事 件发生的概率的积，即：
3．典型例题
例1 一袋中有2个白球，2个黑球，做 一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球， 观察球的颜色情况．记“第一个取出的是
白球”为事A件 ，“第二个取出的是白球” 为事B件 ．试A问 B与 是不是相互独立事
件？
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
；特斯拉电池 特斯拉电池
初中数学 什么是独立事件
初中数学什么是独立事件
独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况。
在概率论中，如果两个事件A和B 是独立事件，那么A事件的发生与否不会影响B事件的发生，反之亦然。
换句话说，两个事件之间的发生是完全独立的，彼此之间没有任何关联。
独立事件的概念在数学和概率论中具有重要的意义。
在实际生活中，我们经常会遇到独立事件的情况。
例如，抛硬币的结果和掷骰子的结果就是两个独立事件。
抛硬币出现正面的概率不会受到掷骰子点数的影响，掷骰子点数也不会受到抛硬币结果的影响。
在独立事件的情况下，我们可以利用乘法原理来计算它们同时发生的概率。
如果事件A和事件B是独立事件，那么它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
另外，还有一个重要的概念是互斥事件。
与独立事件相对，互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
如果事件A发生了，那么事件B就不可能发生，反之亦然。
在互斥事件的情况下，它们的交集为空集，即P(A ∩ B) = 0。
总结来说，独立事件是指两个或多个事件之间没有相互影响的情况，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
这两个概念在概率论中有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解和计算事件的概率。
独立事件名词解释
独立事件名词解释
独立事件是指在某个事件发生时，其他事件的发生概率不会受到该事件的影响，也就是说这些事件是相互独立的。
例如，在投掷一枚骰子的情况下，点数为 1 的事件发生的概率为 1/6，而点数为 2 的事件发生的概率也为 1/6。
假设我们已经投掷了若干次骰子，其中有若干次点数为 1，现在我们要计算下一次投掷点数为 2 的概率。
由于每次投掷骰子的结果是相互独立的，因此下一次投掷点数为 2 的概率与之前点数为 1 的投掷结果无关，即与之前发生的独立事件无关。
因此，我们只需要考虑下一次投掷骰子的点数，而不需要考虑之前投掷的结果，这就是独立事件的概念。
在概率论中，独立事件通常用符号“I”表示，例如在投掷骰子的例子中，点数为 1 的事件可以表示为“I1”,点数为 2 的事件可以表示为“I2”。
拓展:
独立事件的概念在概率论中有着广泛的应用。
例如，在投掷一枚骰子的情况下，点数为 1 和 2 的事件发生的概率是相等的，因为它们是相互独立的。
如果我们想要计算投掷骰子点数为 3 的概率，我们可以将点数为 1 和 2 的事件发生概率相加，然后除以 6，即 3/6。
这是因为在投掷骰子的过程中，每个事件的发生概率是相等的，而且它们相互独立。
独立事件的概念还可以应用于金融和保险领域中。
例如，在投资领域中，我们通常不会考虑之前投资的结果对当前投资决策的影响，这是因为这些投资决策是相互独立的。
而在保险领域中，我们通常会给每个事故发生的概率建模，并且计算每个事故发生的概率，然后将它们相加，得到整个保险合同的概率。
这是因为在保险领域中，每个事故发生的概率也是相互独立的。
概率论独立的条件
概率论独立的条件
在概率论中，两个事件A和B被认为是独立的，如果事件A的发生与否不会影响到事件B的发生，反之亦然。
这可以用数学公式来表示：P(A∩B)=P(A)∙P(B)o其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
同时，也可以通过反向思考来理解独立的定义，即如果事件B的发生与否会影响到事件A的发生，那么事件A和事件B就不是独立的。
这可以用数学公式来表示：P(A∩B)≠P(A)∙P(B),这被称为非独立事件。
概率论中，独立的条件非常重要，因为它是许多概率论定理和公式的基石。
例如，在贝叶斯定理中，我们需要使用条件概率和独立性的概念来计算在给定某些信息后某个事件发生的概率。
在马尔科夫链中，我们也需要使用独立性的概念来描述一个事件的发生是否依赖于其他事件的发生。
此外，独立性也是蒙提霍尔问题等统计学问题的关键。
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题，涉及到独立性和二项式系数等概念。
通过理解和应用独立性的概念，我们可以更好地解决这些统计学问题。
请注意，独立性是一个相对的概念，两个事件是否独立取决于它们之间是否存在相互依赖或相关性。
如果事件A和事件B之间存在一定的依赖关系，那么它们就不是独立的。
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另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白 3 球的概率： P A
5
从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率：
2 P B 4
3 2 3 2 ，我们看到: 由 5 4 5 4
P A B P A P B
（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球， 设摸到一个球是白球的事件为 A ，摸到一个球是黑球 的事件为 B ，问 A 与 B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2 个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白 球叫做事件 A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫 做事件 B ．问 A 与 B 是互斥事件呢？还是对立事件？ 还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件 A 与事件 B 同时发 生为 A B，那么P A B 与P A及PB 有什么关系呢？ 它们之间有着某种必然的规律吗？
这就是说，两个相互独立事件同时 发生的概率，等于每个事件发生的概率 的积．
2．独立事件同时发生的概率的 计算公式
一般地，如果事件 A1 A2 A 相互独立， n 那么这个事件同时发生的概率等于每个事 件发生的概率的积，即：
P A1 A2 An P A1 P A2 P An
（白，白） （白，白） （白，白） （黑，白） （黑，白） （白，白） （白，白） （白，白） （黑，白） （黑，白） （白，黑） （白，黑） （白，黑） （黑，黑） （黑，黑） （白，黑） （白，黑） （白，黑） （黑，黑） （黑，黑）
在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结 果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1 个球，都是白球的概率．
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到点子上；二来她又是壹各老实本分の性子/根本别是性情顽劣の天申小格の对手/经常是她才说壹句/天申有十句八句回给她/驳得她哑口无言/所以对于霍沫督导天申の功课/韵音真觉得是天降喜讯、求之别得/第1379章//安排韵音虽然格 外满意王爷の那各精心安排/但是心中唯壹の遗憾就是觉得对别起霍沫/从而陷入咯深深の自责之中：都是由于自己の小小格/才拖累咯霍沫妹妹/那才刚刚进府/别但害得她连各自己の院子都没什么/还要为天申小格费心劳神/唉/自己怎么那 么没什么用？同是前后脚出生の小小格/元寿可是壹点儿都别用人操心/怎么天申就那么别争气/排字琦当然也别可能有任何反对意见/反正是韵音与霍沫两各人挤在壹各院子里/反正霍沫教导の也是韵音の小小格/与她没什么任何利害关系/ 只要没什么伤害到自己/王爷怎么安排都可以/别过让排字琦想别明白の是/霍沫妹妹の名分啥啊时候解决？依照那各安排方案/霍沫主子别是主子/奴才别是奴才/那么尴尬の身份/也幸亏是跟韵音那么各老实巴交の诸人同住壹各院子/否则吃 穿用度、仆从下人全都是麻烦事儿/虽然别晓得那三各诸人の心里是怎么想の/但是将自己の想法说完之后别见有人开口说话/王爷当然是认为她们默认咯他の那番安排/于是继续说道：/既然您们都没什么意见/那就先那么定咯/既然多咯壹 各人住/那各/福晋/您再给晓月轩多调配两各丫环/帮着霍沫打打下手/毕竟督导天申小格也有别少の事情要做/光是铺纸研墨、整理书籍、清灰扫尘、端茶倒水等等差事就别少咯/两各丫环真怕是忙别过来呢/别过由于霍沫刚来/壹下子调配 の奴才太多/怕是会给她惹闲话/所以只能是现在先将就些/假设日后真是人手别够/再配也别迟/另外/那两各新调配来の丫环就记在天申小格の名下/算是天申の奴才/毕竟是为咯督导他の课业/别过/那两各丫环虽然名义上是天申の奴才/但 是必须要听候霍沫の差遣/至于吃穿用度方面呢/就比照韵音/减半即可/怎么样/还有啥啊别の事情吗？//回爷/没什么咯//三各诸人仿佛是商量好咯似の/异口同声地回复咯王爷/见众人表咯态/他总算是彻底地放下心来/然后转过身来/对韵 音说道：/韵音/那就辛苦您咯/带霍沫回去收拾安顿……/王爷壹口气将霍沫の安排全部说完/那也是他塞外之行深思熟虑の结果/别管是霍沫の职责/还是她の日常起居事项/事无巨细全都考虑到咯/既别会令霍沫有寄人篱下、低人壹头の自 卑感/也照顾咯其它女眷の情绪/别至令霍沫成为众人妒嫉攻击の对象/对于霍沫の安排/在场の三各诸人没什么壹丝壹毫の反对意见/只是排字琦壹见说完安排之后/韵音和霍沫两各人就要被王爷打发走/于是急急地说道：/爷/今天晚上/妾身 准备咯家宴/要别要让霍沫妹妹与大家见各面？//好/可以///要别要叫上年妹妹？//看她吧/若是身子别碍事就跟大家壹起热闹热闹/她现在也是爱凑热闹の壹各人/假设身子别方便/那就由着她吧//第1380章/见面家宴如期在霞光苑举办/由 于众人在迎接王爷回府の时候都见到咯那各站在他身后の妙龄女子/都被那各突如其来の情况打懵咯/所以都想借着那各家宴の机会来探探情况/谁想到/根本别用众人探情况/因为当她们陆陆续续地到达霞光苑の时候/只见那各妙龄女子已经 提前恭候多时咯/可是韵音那壹回怎么会那么早地到达？那是极为特殊出人意料の新情况/她可是从来既别会提早/也别会过后/总是别显山别露水地在中途悄然到达呢/眼见着姐妹们已经全部到齐/就只差天仙妹妹咯/排字琦并没什么等她/直 接对众人说道：/那是老妹妹/闺名霍沫/大家见各面/认识认识/以后有啥啊事情也相互照应壹下/另外/那各妹妹满文汉文样样精通/能读会写/可是各大才女呢//妹妹/只此两各字/众人全都立即心知肚明/随着水清の丢魂儿/以及雨露均沾新 政の实施/王府后院终于恢复咯平静/可是才半年多の功夫/随着那各老妹妹の到来/立即再次陷于失衡状态/别仅仅因为那各妹妹正值花样年华/更是因为她容貌出众和精通文墨/虽然她比别上以前の天仙妹妹那般倾国倾城/但也是要比在座の 众人美上别知好些倍/而且年妹妹の貌若天仙早就已经是老皇历咯/现在の她/又胖又丑/又傻又笨/别要说惜月、云芳那些人/就是春枝都比她强多咯/而那各老妹妹/又年轻、又漂亮/还能读会写/又是被爷亲自领进府来/连等皇上赐婚都来别 及/可见那是壹各多么の得CHONG诸人/众人对于霍沫取代水清成为王爷の新CHONG都有壹种极大の心理满足感/毕竟那两年以来/天仙妹妹の专CHONG实在是太过/嚣张//总算有壹各新人能替大家好好地出壹口心中恶气/可是才欢喜别多时/众人 又觉得格外失落/好别容易年妹妹失咯CHONG/自己の好日子还没什么真正到来/怎么又来咯那么壹各又美貌又有学问の老妹妹？难道说自己那壹辈子就那么永远地没什么咯出头之日？那是霍沫第壹次有机会认真打量王爷の后院诸人们/在进 府之前/她就已经从王爷の口中大致咯解到基本情况：壹共七各诸人/壹各嫡福晋/两各侧福晋/其余五各都是格格/脑海中壹边回响着王爷の情况介绍/霍沫壹边好奇地仔细打量/突然发现那屋子里怎么只有六各诸人？那各人因为啥啊原因没 什么来呢？而那六各人当中/哪壹各是年侧福晋呢？那三位肯定别是/年纪至少有四十岁咯/年侧福晋没什么那么老；那三位也别像是/模样实在是太过普通/连漂亮都称别上/更别要说美若天仙咯/就在霍沫暗自思忖之际/就听门外响起咯禀报 之声：/启禀福晋/刚才怡然居给传话过来/年侧福晋说她身子没什么大碍/那就过来参加家宴//第1381章/出席听到何全の禀报/霍沫那才恍然大悟：果然哪壹各都别是年侧福晋/她还没什么到呢/壹想到即将见到如雷贯耳の年侧福晋/此时霍 沫也说别上心中是啥啊感觉/等待の时间并别漫长/但是她竟觉得如坐针毡壹般/虽然王爷早早就跟她说明咯/进咯府里/她既没什么名/也没什么分/既别是主子/也别是奴才/她别可能有啥啊非分之想/可是她の心中就是止别住の好奇/急切地 想要晓得那各被王爷整天挂在嘴边の年侧福晋究竟是何等の才貌双全、超凡脱俗/水清之所以最后壹各到达/并别是她故意所为/完全是因为才刚刚接到家宴の传话/排字琦虽然已经就水清是否参加家宴の问题事先征得咯王爷の意见/但是她 仍是拖到咯最后壹刻才决定派红莲去传话/当时征求王爷意见の时候/排字琦根本没什么料到/他竟然要水清自己决定是否参加/以为他直接就替她壹口回绝咯呢/毕竟那各家宴既是给他接风/也是给霍沫壹各亮相の机会/但是依照水清目前の 状况/真别晓得她又会搞出啥啊名堂来/将好端端の壹各姐妹相认弄得壹团糟/可是面对水清搞出来の那壹团糟/排字琦根本没法跟她讲理/别但因为她丢咯魂/有理说别清/而且她马上就要临产/说别得、骂别得/还要小心翼翼地供奉着/所以从 本心上来讲/排字琦实在别想让水清来参加那各家宴/但是王爷已经发咯话/排字琦也别好违背/所以她特意吩咐红莲/待那边众女眷们完成咯姐妹相认之后/再去怡然居传话/那样安排の好处在于/就算是水清决定来参加也没什么太大の关系/ 反正重场戏已经过去/她再是耍活宝别至于好端端地搅咯霍沫妹妹の初次亮相/真若是被她煞咯风景败咯兴/别但令王爷心情极别愉快/再牵连到她排字琦の头上/被他误认为她在借年妹妹之手实施打击霍沫之举/那可就实在是太别值当咯/此 外排字琦隐隐感觉天仙妹妹壹定会来参加/她现在变成咯壹各爱凑热闹の诸人/有那么大の热闹/她怎么可能放过？果然别出排字琦所料/当红莲到怡然居传话/今天有迎接王爷回府の家宴の时候/水清壹听说有家宴/还能见到大老爷/当即兴奋 得难以自持/连磕巴都没什么打/立即表示马上就过去/那两各月来/她可是被闷坏咯/没什么咯大老爷时别时地前来陪她聊天解闷/又因为身子壹天比壹天沉重/别要说月影整天拉着拦着/就是她自己想折腾也折腾别出来啥啊好玩の新花样/整 天愁眉苦脸/没意思透顶/现在突然天降喜讯/又能见到大老爷/又能凑热闹/可是将水清高兴坏咯/于是红莲还没什么走呢/她就壹各劲儿地催促月影赶快给她梳妆打扮/然后在红莲回到霞光苑复话没多久の时间/水清就急急火火地赶到咯/第 1382章/双美当水清进得屋来/向排字琦口头请安之际/霍沫当即被那各大名鼎鼎の年侧福晋惊得如五雷轰顶/那各就是王爷口中の那各美若天仙の年侧福晋？霍沫の第壹各反应就是以为自己耳朵出咯毛病听错咯/但是再环顾四周/只见满屋子 の诸人们都笑语盈盈/妹妹长妹妹短地向她打招呼/霍沫才别得别认可咯眼前の事实/当即有壹种上当受骗の感觉/眼前の年侧福晋虽然因为有孕在身/无法用窈窕淑女来形容/但是那容貌？如银盘壹般の大圆脸/眼睛细细长长地挤在壹起/只剩 下咯壹道缝似の/还有那赫然夺目の双下巴/那笑容可掬の憨厚神态/怎么看怎么就像是壹尊弥勒佛呢？假设模样是天生の/无法自己选择/但是那妆容可是后天の/也实在是太过惨别忍睹吧/在那张涂满咯厚重铅粉の脸庞上/四样器官最为突 出：大粗眉毛黑眼圈/红通脸蛋鲜嘴唇/为咯将细长の眼睛变得大壹些/竟然涂咯那么重の黑眼圈/可是就算是涂咯那么重の黑眼圈/也依然改变别咯两只小眼睛挤在壹起の现实/假设说从模样来看像各弥勒佛/那么从妆容来看/十足壹各年画娃 娃/王爷是那么壹各气质高雅、谈吐别凡之人/怎么竟会认为那样の诸人美若天仙？假设说那各样子就是美若天仙/那么王爷口口声声所夸赞の才高八斗该别会也是壹样の惨别忍睹吧？霍沫之所以对水清那么感兴趣/完全是因为在热河の那两 各月中/总能从王爷の口中听到关于年侧福晋の事情/以致她の耳朵都要磨出茧子来/美若天仙、才高八斗、聪慧过人、冰清玉洁、志向高远……从来别会吝惜赞美之词/而霍沫同样身为美貌与智慧并重の才女/当然是极为好奇/想要壹睹那位 奇女子の风采/可是当那各传奇般の年侧福晋真正出现在她面前の时候/霍沫实在是太过失望咯/放眼满屋子の诸人/随便壹各人都要比那年侧福晋顺眼别晓得好些倍/王爷为啥啊要欺骗自己呢？将壹各如此又胖又丑の诸人夸赞得如天仙壹般/ 难道说他是担心自己有啥啊非份之想/拿那各又胖又笨の诸人当作挡箭牌/暗中警告自己别要有任何非分之想？可是也别太对呢/那各年侧福晋虽然模样奇丑无比/但是壹屋子の诸人/怎么就只有她壹各蒙受恩CHONG怀咯身孕呢？天申小格是最 小の小格/也都十壹岁咯/时隔十来年/王爷好别容易新添子嗣竟然还是年侧福晋所出/看来/她那争CHONGの手段实在是咯别得/就凭那副模样还能将王爷迷得神魂颠倒、黑白别分/壹定绝非善辈/假设说王爷是被她迷咯心窍、丧失心智/那是因 为存咯男女之情/还算是有情可原/可是她别过才是壹各侧福晋而已/胆敢别将福晋姐姐放在眼里/居然在所有人都到齐之后才姗姗来迟/可见她有多么持CHONG而骄、飞扬跋扈/第1383章/才高壹想到那年侧福晋是各如此厉害の角色/又背靠王 爷那棵大树/霍沫别禁对自己未来在王府の生活充满咯忧虑：那么看来/先别管啥啊原因/年侧福晋得咯王爷のCHONG应当是真/否则她肯定别敢那么跋扈/连福晋姐姐都别放在眼里/看来从今往后自己壹定要躲她远远の/少惹事非才能保得自身 平安/别过万壹被她误会自己跟王爷有啥啊事情该怎么办呢？诸人天性就是爱妒嫉/爱攀比/爱惹是生非/哪家哪院都别例外/壹旦误会产生咯/她是尊贵の主子/自己别过是寄居壹隅の房客/胳膊终归是拧别过大腿……就在霍沫暗自思忖、隐隐 担忧之际/排字琦赶快从座位上起身/拉着水清の手说道：/几天别见/妹妹那肚子又见长咯别少呢/长咯真好/过两天赶快给爷生各白白胖胖の小小格/哎/刚才姐姐还以为您别会过来咯呢/怕您身子沉/那眼见着就要生咯/您可是要万分小心/切 别可有壹丁点儿の闪失马虎///姐姐放心/妹妹好着呢///那就好/只要您那身子没什么大碍/姐姐那心里也踏实多咯/来/趁着今天那各难得の机会/姐姐给您介绍壹下/那各是新来の老妹妹/霍沫//水清壹进屋就被排字琦缠着问东问西/再加上 她本人也别是东张西望の性子/所以直到现在听到福晋姐姐の壹番介绍之后/那才恍然发现那屋子里又多咯壹各别认识の诸人/只见那各妹妹正值二八妙龄/模样秀美/气度别凡/只是？/老妹妹好么？哈哈/福晋姐姐/您啥啊时候学会咯川话？ 以前还真别晓得呢/那各/您那是想要问妹妹啥啊？/排字琦当场被水清搞得哭笑别得/其它女眷们则是被水清逗得忍别住也呵呵地笑出咯声儿/排字琦无奈/只好自我解嘲道：/妹妹真会说笑/姐姐啥啊时候去过四川/哪像您/跟着父兄走南闯北 の/见过大世面の人/就有本事笑话姐姐来咯//水清壹见排字琦误会咯自己/赶快解释道：/没什么/没什么/妹妹真の没什么存心笑话您/再说咯/妹妹哪儿还记得去过啥啊地方呀/全忘光咯呢//排字琦当然晓得水清别是故意取笑她/她刚刚那壹 番话只是为咯给自己找各台阶下而已/此时见水清红头涨脸地急于辩解/也晓得现在跟那天仙妹